Cohérence temporelle et Cohérence spatiale

Rappel d’interférences (fentes de Young)

Franges claires si diff. de chemin opt. = λ (δ = m 2π)Franges sombres si diff. de ch. opt. = λ/2 (δ = (m+1) π)Sur l’écran, les franges seront espacées de : λ D/a

minmax

minmax

II

IIV

+−=

Rappel d’interférences (Interféro Michelson)

Translation de M2 : les franges seront espacées de λ/2

0.E+00 2.E-07 4.E-07 6.E-07

Translation M2 (m)I

Notion intuitive de cohérence

Interférence entre 2 ondes :

Détection: échelle de temps ~ 1 ms - 1 s

Vibration lumière : ~ 1014 - 1015 Hz

Cohérence = relation de phase constante entre les 2 ondes

2 trains d’onde indépendants : les déphases entre eux sont aléatoires et imprédictibles : pas d’interférence à l’échelle de temps de la détection

I = I 1 + I2

tEEIII 2121 2rr

•++=

Sources idéales - réellesSources non monochromatiquesSources à spectre continu

Raies d’émission: largeur est liée à :

• collision entre atomes (Lorentzienne)

• déplacement des atomes (Gaussienne)

Même une raie laser n’est pas monochromatique

Sources non ponctuellesFilament d’une lampe

Diaphragme de dimension non nulle

Même une étoile n’est pas ponctuelle!

Cohérence temporelleSource non monochromatique (largeur ∆λ)

2 Interprétations :

1. Mélange des systèmes de franges car interfrange proportionnel à λSimulations Michelson :

λ0=600 nm

∆λ=24 nm

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.E+00 1.E-06 2.E-06 3.E-06 4.E-06 5.E-06 6.E-06 7.E-06 8.E-06 9.E-06 1.E-05

Diff. Chemin opt. (m)

I

Cohérence temporelle

2. Trains d’onde de durée limitée τ et de lg L= c. τsi δ>L : pas d’interférence

Cohérence temporelle

Les 2 approches sont équivalentes :

Principe d’incertitude d’Heisenberg:

∆E . ∆t ~h

h∆ν . τ ~h

τ ~1/∆νA une largeur de raie ∆ν correspond une longueur de train d’onde Lc = c . τ = c/∆ν

τ est appelé le temps de cohérence

Lc est appelée la longueur de cohérence

Cohérence temporelle

Qq grandeurs caractéristiques :

∆ν = c ∆λ/λ2 τ ~1/∆ν Lc = c . τ

Source ∆ν ∆λ (nm) ∆τ (s) Lc

Laser + étalon 3 MHz 2.6E-6 3.3E-07 100 mLaser He-Ne 1 GHz 1.3E-3 1.0E-09 30 cmRaie d'émission 100 GHz 0.14 1.0E-11 3 mmFiltre 5E12 Hz 6 2E-13 60 µmSpectre Vis 3E14 Hz 300 3.4E-15 1 µm

Cohérence temporelleInterférence en lumière blanche :

Lc~1 µm

Fentes de Young: Toute déviation de l’axe engendre une perte de cohérence : mixage des couleurs

Application : spectre cannelé : zones sombres dans le spectre = franges sombres pour λi, λj, ...

Profilomètre à résolution < 1 nm !

Cohérence temporelleThéorème de Wiener et Kintchine :Source ponctuelle quasimonochromatique / dispositif de Young

Source d’intensité I échantillonée en νi

Les échantillons ont une intensité Iνi

Solution :

Application: Spectro par TF

∑ +=i

iiII )2cos1( τπυυ

∫ += υπυτυ dII )2cos1(

[ ])2cos(12 00 ttII ατπυγ ++=

[ ][ ][ ]centrée normalisée spectrale Intensité

)'(

)(2exp)( 00

TF

ITF

diI

nt

nt

==

−−= ∫νγ

υτυυπυυγ

υ

υoù Sens physique de γ(degré complexe de cohérence temporelle):

tII

IIV γ=

+−=

minmax

minmax

Cohérence temporelle

En résumé :

τ ~1/∆ν Lc = c . τ = longueur de cohérence

Il faut une différence de chemin optique L < Lc

pour garantir la cohérence temporelle c-à-d la détection de franges dans une expérience d’interférence

Source étendue dans l’exp. de Young :

Chaque point de la source donne un système de franges : mixage en P

(Explique l’utilisation de fentes au lieu de trous)

Cohérence Spatiale

)(2

12 uuSrrr

−•∆=∆Φλπ

Cohérence Spatiale

θ a =diff. ch. opt. (SS1-SS2)

Moyenne sur l’étendue de la source = 0 si θ a ∼ λLes fentes de Young doivent être espacées de a < ds pour garantir la cohérence spatiale

où ds = λ / θ = largeur de cohérence

Qq grandeurs caractéristiques :

Source: soleil : θ~32 arcmin ds ~ 54 µm

Laser He-Ne : θ~3 arcmin ds ~ 0.6 mm

a

Cohérence Spatiale

Exemple : Interféromètre stellaire (de Michelson)

a .

a

Cohérence Spatiale

Perte totale de cohérence si

Cohérence spatiale suffisante si

Détermination exp de θ : Bételgeuse : θ~47 10-3 arcsec : a = 1.1 m

Méthode donnant une résolution >>

Etoile non résolue = source ponctuelle : interférences OK

Etoile résolue = source incohérente : interférences KO !

θλ2

<a

θλ2

=a

disque <>

diam. étoile!!

Cohérence spatialeThéorème de van Cittert et Zernike :Source étenduemonochromatique / dispositif de Young

Source d’intensité I échantillonnée en Si

Les échantillons ont une intensité ISi

Solution :

où

Sens physique de γ(degré complexe de cohérence spatiale) :

sII

IIV γ=

+−=

minmax

minmax

∑ +=i

iiSII )2cos1( πυτ

∫∫ +=S

sS dSII )2cos1( πυτ

[ ])2cos(12 0 spsII απυτγ ++=[ ]

[ ][ ]centrée normalisée spatiale intensité

2exp

TF

ITF

dSiI

nss

nss

==

= ∫γ

πυτγ

Cohérence SpatialeEn résumé :

ds = λ / θ = largeur de cohérence

Il faut des fentes espacées de a < ds pour garantir la cohérence spatialeEn fait, le degré de cohérence spatiale entre S1 et S2 est donné par l’amplitude en S1 de la figure de diffraction produite par S et centrée en S2

Ex : Source = trou

Figure de diffraction = Sinc (en fait, fct Bessel)

S

Cohérence SpatialeEn résumé:

ds = λ / θ = largeur de cohérence

Il faut des fentes espacées de a < ds pour garantir la cohérence spatialeEn fait, le degré de cohérence spatiale entre S1 et S2 est donné par l’amplitude en S1 de la figure de diffraction produite par S et centrée en S2

Ex : Source = trou

Figure de diffraction = Sinc

S

Visualisation de la zone de cohérence spatiale

Filtre Spatial :

Figure de diffraction du pinhole (5-40 µm)

Sur l’écran, on visualise la figure d’Airy (Bessel)

Lobe central : cohérence spatiale OK

==> Interférences possibles