ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ

ΣΤΑΤΙΚΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση

διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με

διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων και των εξωγενών

μεταβλητών.

Στη συγκριτική στατική ανάλυση αγνοούμε την διαδικασία προσαρμογής

των μεταβλητών. Απλά συγκρίνουμε την αρχική (πριν την αλλαγή)

κατάσταση ισορροπίας με την τελική (μετά την αλλαγή) κατάσταση

ισορροπίας.

Ποιοτική συγκριτική στατική ανάλυση: ενδιαφέρεται για την κατεύθυνση της

μεταβολής

Ποσοτική συγκριτική ανάλυση: ενδιαφέρεται για το μέγεθος της της μεταβολής .

Το βασικό πρόβλημα στην συγκριτική στατιστική ανάλυση είναι η εύρεση του ρυθμού

μεταβολής

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

x

xfxxf

x

y

)()( 00Η μεταβολή του y ανα μονάδα μεταβολής του x:

A

Q0 Q1 Q2

C0

C2

C1 }ΔC

B

D

K

G

HF E

Q

C

0

C=f(Q)

Η έννοια της κλίσης της καμπύλης είναι η αντίστοιχη

γεωμετρική έννοια της παραγώγου.

Η κλίση της ευθείας KG μετράει την κλίση της καμπύλης συνολικού

κόστους στο σημείο Α

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

1. Κανόνας Σταθερής

συνάρτησης0)(

)(

xfdx

dy

kxfy

2. Κανόνας Δυναμοσυνάρτησης

1)(

)(

n

n

nxxfdx

dy

xxfy

1)(

)(

n

n

cnxxfdx

dy

cxxfy

Γενίκευση του κανόνα της δυναμοσυνάρτησης

23 3)( xxfxy

23 12)(4 xxfxy

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΔΥΟ Ή

ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ

ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

1. Κανόνας αθροίσματος (διαφοράς)

)()()()()]()([ xgxfxgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

233 45)15(15 xxdx

dxy

22233

33333

451827)6()9(

)69(6915

xxxxdx

dx

dx

d

xxdx

dxxxy

π.χ

Γενίκευση του κανόνα αθροίσματος

)()()()]()()([ xhxgxfxhxgxfdx

d

o x

yxy2

11

2

1

dx

dy

o x

y

50106

1 3 xxy

102

1 2 xdx

dy

50

-10

o x

y

)3(1

)3(5

xx

xxy

)3(1

)3(1

x

x

dx

dy

5

-1

ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Κανόνας γινομένου:

)()()()()()()()()]()([ xgxfxgxfxfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d

π.χ.

xxxxx

xdx

dxx

dx

dxxx

dx

d

1818)3(2)6)(32(

)32()3()3()32()]3)(32[(

22

222

Γενίκευση του κανόνα )()()()()()()()()()]()()([ xhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxfdx

d

Οικονομικό παράδειγμα

QdQ

dRMR

QQQQQARR

QAR

215

15)15(

15

2

)()(

)()()(1)(

)(

)(

QfQQfMRARMR

QfQQfQQfQfdQ

dRMR

QQfQARR

QfAR

Κανόνας Πηλίκου:)(

)()()()(

)(

)(2 xg

xgxfxgxf

xg

xf

dx

d

22 )1(

5

)1(

)1)(32()1(2

1

)32(

xx

xx

x

x

dx

dπ.χ.

Οικονομικό παράδειγμα: Σχέση μεταξύ οριακού κόστους και μέσου κόστους

60243 2 QQMC

60122 QQAC

60

60

Q

])(

)([1)]1)(()([)(

/..)..(

2 Q

QCQC

QQ

QCQQC

Q

QC

dQ

d

QCACQfC

Q

QCQCάόά

Q

QC

dQ

d

Q

)()(.........0

)(

0

Η κλίση της καμπύλης AC θα είναι θετική, μηδέν ή

αρνητική εάν και μόνον εάν η καμπύλη του οριακού

κόστους θα βρίσκεται επάνω, θα τέμνει ή θα βρίσκεται

κάτω της καμπύλης AC

Συναρτήσεις Παράγωγοι

f(x)=c (σταθερά) f’(x)=0

f(x)=x f’(x)=1

f(x)=xn f’(x)=nxn-1

f(x)=sin x f’(x)=cos x

f(x)=cos x f’(x)=-sin x

f(x)=ex f’(x)=ex

f(x)=ln x f’(x)=x-1

Παράγωγοι βασικών Συναρτήσεων

Συναρτήσεις Παράγωγοι

f(x)=d(x)+g(x) f’(x)= d’(x)+g’(x)

f(x)= d(x)•g(x) f’(x)= d’(x)•g(x)+ d(x)•g’(x)

f(x)= c•d(x) f’(x)=c•d’(x)

f(x)= (d(x))n f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

f(x)=ln d(x) f’(x)=d’(x) •(d(x))-1

f(x)=logcd(x) f’(x)=d’(x)•(d(x))-1•(ln c)-1

f(x)=cd(x) f’(x)=cd(x) •d’(x)•ln c

f(x)= d(g(x)) f’(x)=d’g(x)•g’(x)

f(x)=d-1(x) f’(x)= (d’(x)) –1

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

Εφαρμογή 1: Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης:4f(x) = 2x

Η παράγωγος της συνάρτησης

f(x) είναι:

Η συνάρτηση είναι γινόμενο

σταθεράς επί συνάρτηση:

Η παράγωγος της g είναι:

4όπου

f(x) = 2 g(x)

g(x) = x

'

4 3g'(x) = x = 4x

3 3

f(x) = 2 g(x)

f'(x) = 2 g'(x) = 2 4x = 8x

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ

Εφαρμογή 2 : Να υπολογισθεί η παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης:

4 3 2f(x) = 2x + x +3x +5x +1

Η παράγωγος του αθροίσματος

συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των

παραγώγων:

4

3

2

g = 2x

h = x

i = 3x f(x) = g+h+ j+i+k

j = 5x

k = 1

3 2

f'(x) = g'+h'+ j' +i' +k' =

8x +3x +6x +5

' '4 4 3 3

'3 2

' '2 2

'

'

g' = 2x = 2 x = 2 4x = 8x

h' = x = 3x

i' = 3x = 3 x = 3 2x = 6x

j' = 5x = 5 x' = 5 1= 5

k' = 1 = 0

Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν

άθροισμα συναρτήσεων:

Οι παράγωγοι των επιμέρους συναρτήσεων

είναι:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ

Εφαρμογή3 : Να υπολογισθεί η παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων:

g(x)f(x) =

h(x)Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν

γινόμενο συναρτήσεων:

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= [d(x)]n τότε

f’(x)=n•[d(x)]n-1• d΄(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση h-1 :

Οπότε έχουμε τελικά:

-1g 1f = = g = g h

h h

22 ' '

'-1h = -1 h h = - h h

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= d(x)•e(x)

τότε f΄(x)= d΄(x)•e(x)+ d(x)•e΄(x)

'''

' -1 -1 -1f = g h = g h g h

2

'

2

'

''

' -1' -1 'f = g h = g h - g h h

g h- g hf =

h

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ

Εφαρμογή 4: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:3 4(1) y = (3x - x +1)

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι της

μορφής:

4

3όπου

y = (d)

d = 3x - x +1

Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= (d(x))n τότε

f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)

Συνεπώς για την συνάρτηση y έχουμε:

4 3y' = [(d) ]' = 4d d'

Υπολογίζουμε την παράγωγο της d(x): 3 2(d)' = (3x - x +1)' = 3 - 3x

Οπότε έχουμε τελικά:3 3 2y' = 4(3x - x +1) (3 - 3x )

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΤΡΗΣΕΩΝ

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

1. Ο Αλυσιδωτός κανόνας

)(

)(

xgy

yfz

)()( xgyfdx

dy

dy

dz

dx

dz

zyxfέgέ

....

)()()( whxgyfdw

dx

dx

dy

dy

dz

dw

dzΓενίκευση του κανόνα

Οικονομικό παράδειγμα:

)()(

)(

)(

LgQfdL

dQ

dQ

dR

dL

dR

LgQ

QfR

dR/dQ=MR

dQ/dL= MPPL

dR/dL=MRPL

MRPL=MR*MPPL

ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΤΡΗΣΕΩΝ

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ2. Ο κανόνας της αντίστροφης συνάρτησης

Μονοτονικές συναρτήσεις

)()( 2121 xfxfxx Αύξουσα ή μονοτονικά αύξουσα συνάρτηση

)()( 2121 xfxfxx Φθίνουσα ή μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση

dxdydy

dx 1

15

11

015......

4

45

xdx

dydy

dx

xdx

dyxxyπ.χ.

ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ

).....,,,( 321 nxxxxfy

ix

y

Η μερική παράγωγος του y ως προς xi

Συμβολισμός

Υπάρχουν αρκετοί εναλλακτικοί τρόποι

συμβολισμού για την μερική παράγωγο:

Βρίσκω την Μερική Παράγωγο

Η μερική παράγωγο ως προς το x είναι η

παράγωγος της συνάρτησης f με μία μεταβλητή

όταν το y παραμένει σταθερό:

Παράδειγμα

Έστω f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2, βρείτε την fx(2, 1)

and fy(2, 1).

Λύση: Διατηρώντας την μεταβλητή y σταθερή

παραγωγίζοντας ως προς x, έχουμε

fx(x, y) = 3x2 + 2xy3

και ως εκ τούτου

fx(2, 1) = 3 · 22 + 2 · 2 · 13 = 16

Λύση (2)

Διατηρώντας την x σταθερή και παραγωγίζοντας

ως προς y, έχουμε

fx(x, y) = 3x2y2 – 4y

και ως εκ τούτου

fx(2, 1) = 3 · 22 · 12 – 4 · 1 = 8

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρική ερμηνεία (2)

Σημειώστε ότι …

C1 είναι το γράφημα της συνάρτησης f(x) = f(x, b), έτσι η

κλίση της εφαπτομένης T1 στο σημείο P είναι f′(a) = fx(a,

b);

C2 είναι το γράφημα της συνάρτησης f(y) = f(a, y), έτσι η

κλίση της εφαπτομένης T2 στο P είναι f′(b) = fy(a, b).

Συνεπώς fx και fy αποτελούν τις κλίσεις των

εφαπτομένων γραμμών στο σημείο P(a, b, c) των C1

και C2.

Ερμηνεία (3)

Η μερική παράγωγος μπορεί να ερμηνευτεί ως

ρυθμός μεταβολής.

Εάν z = f(x, y), τότε…

∂z/∂x αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής της z σε

κάθε αλλαγή του x όταν η y παραμένει σταθερή.

Ομοίως, ∂z/∂y αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής

της z ως προς y όταν η x παραμένει σταθερή.

Παράδειγμα 1

Εάν f(x, y) = 4 – x2 – 2y2, βρείτε την fx(1, 1) και

fy(1, 1).

Ερμηνεύστε αυτά τα νούμερα ως κλίσεις.

Λύση: Έχουμε

Παράδειγμα 1 (2)

Το γράφημα της f είναι παραβολή

z = 4 – x2 – 2y2 και το κάθετο επίπεδο y = 1 τέμνει

την παραβολή z = 2 – x2, y = 1.

Η κλίση της εφαπτομένης ευθείας σε αυτή τη

παραβολή στο σημείο (1, 1, 1) είναι fx(1, 1) = –2.

Ομοίως, το επίπεδο x = 1 τέμνει το γράφημα της f

στην παραβολή z = 3 – 2y2, x = 1.

Παράδειγμα 1 (3)

Η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στην παραβολή

στο σημείο (1, 1, 1) είναι fy(1, 1) = –4:

Παράδειγμα 2

Εάν

Λύση: Χρησιμοποιώντας το Αλυσιδωτό Κανόνα,

έχουμε:

. and βρεθούν να ,1

,y

f

x

f

y

xyxf

Παράδειγμα 3

Βρείτε τις ∂z/∂x και ∂z/∂y εάν z έχει οριστεί ως

συνάρτηση των x και y ως

x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1

Λύση: Για να βρούμε ∂z/∂x, παραγωγίζουμε προς

x, και ως σταθερό όρο το y:

Λύση

Λύνοντας ως προς ∂z/∂x, παίρνουμε

Ομοίως, παραγώγιση ως προς το y δίνει

…Περισσότερες από δύο

μεταβλητές

Μερική παραγώγιση μπορεί να εφαρμοστεί σε

συναρτήσεις τριών ή/και περισσοτέρων

μεταβλητών , π.χ.

Εάν w = f(x, y, z), τότε fx = ∂w/∂x είναι ο ρυθμός

μεταβολής του w σε σχέση με την αλλαγή του x

όταν y και z διατηρούνται σταθερά.

Γεωμετρική ερμηνεία δεν υπάρχει μιας και το

σχήμα της f ανήκει στον 4-διάστατο χώρο.

Γενικά, εάν u = f(x1, x2 ,…, xn), τότε

και επίσης μπορεί να γραφτεί

…Περισσότερες από δύο

μεταβλητές

Παράδειγμα

Να βρεθούν οι fx , fy , και fz εάν f(x, y, z) = exy

ln z.

Λύση: Διατηρώντας y και z σταθερά και

παραγωγίζοντας ως προς x, έχουμε

fx = yexy ln z

Ομοίως,

fy = xexy ln z and fz = exy/z

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΤΙΚ ΑΝΑΛΥΣΗ

dPcQ

bPaQ

0,

0,

dc

ba

db

caP

db

bcadQ

Παράγωγοι συγκριτικής στατικής

dba

P

1

22 )(

)(

)(

)(1)((0

db

ca

db

cadb

b

P

a

P

dbc

P

1

2 2

0(( ) 1( ) ( )

( ) ( )

P b d a c a c P

d b d b d b

0

c

P

a

P

0

d

P

b

P

D

D’

S

Q

P

Αύξηση του b

D

S’S

Q

P

Αύξηση του d

D

D’

S

Q

P

Αύξηση του α

α

α’

D

S’

SQ

P

Αύξηση του c

-C

-C’

ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

Οι μερικές παράγωγοι αποτελούν έναν τρόπο ελέγχου της

συναρτησιακής (γραμμικής ή μη) εξάρτησης μεταξύ των στοιχείων ενός

συνόλου n συναρτήσεων n μεταβλητών.

n

nn

n

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

J

...

.....

.....

.....

..

||

1

1

2

1

1

1Η Ιακωβιανή |J| θα είναι ταυτοτικά

μηδέν για όλες τις τιμές των x1, x2,

…xn εάν και μόνο εάν οι n

συναρτήσεις είναι συναρτησιακά

(γραμμικά ή μη ) εξαρτημένες

2

221

2

12

211

9124

32

xxxxy

xxy

y=f(x)

A

B x00

θmθα

y

x

y=f(x)

A

Bx00

θmθα

y

x

Εφαρμογή των Διαφορικών στην

Ελαστικότητα σημείου