Παραδείγματα Παιγνίων

Παύλος Σ. Εφραιμίδης v1.3, 01/06/2014

Παίγνιο • Τι περιλαμβάνει ένα παίγνιο:

– Παίκτες

– Πιθανές κινήσεις για κάθε παίκτη

– Απόδοση ή όφελος για κάθε παίκτη σε κάθε πιθανή έκβαση του παιγνίου

• Παραδοχές:

– Το όφελος κάθε παίκτη προσδιορίζεται από την απόδοση (payoff). Δεν υπάρχουν οφέλη ή κόστη εκτός του payoff.

– Κάθε παίκτης έχει πλήρη γνώση του παιγνίου (παίκτες, κινήσεις και αποδόσεις). Υπάρχουν και παίγνια με ελλιπή πληροφόρηση, πχ. Bayesian games.

– Όλοι οι παίκτες είναι ορθολογιστές, δηλαδή επιθυμούν να μεγιστοποιήσουν ο καθένας την απόδοσή του.

– Όλοι οι παίκτες έχουν “common knowledge” του παιγνίου: ο καθένας γνωρίζει τη δομή του παιγνίου, ο καθένας γνωρίζει ότι κάθε άλλος γνωρίζει τη δομή, ο καθένας γνωρίζει ότι κάθε άλλος γνωρίζει ότι αυτός γνωρίζει τη δομή, κοκ.

Examples Algorithmic Game Theory 2

Το δίλημμα του φυλακισμένου

B B

Προδίδει

(Συνεργάζεται με

τις αρχές)

Δεν προδίδει

A

Προδίδει

(Συνεργάζεται με τις

αρχές) 3 , 3 0 , 4

A Δεν προδίδει 4 , 0 1 , 1

Examples Algorithmic Game Theory 3

Ο πίνακας δείχνει το κόστος (τα έτη φυλάκισης)

για κάθε παίκτη για κάθε πιθανή εκδοχή του

παιγνίου.

Κοινή εργασία (project)

B B

Εργάζεται Λουφάρει

A Εργάζεται 2 , 2 0 , 3

A Λουφάρει 3 , 0 1 , 1

Examples Algorithmic Game Theory 4

Ο πίνακας δείχνει το όφελος κάθε παίκτη.

Χρήση αναβολικών από αθλητές

B B

Όχι αναβολικά Χρήση

αναβολικών

A Όχι αναβολικά 3 , 3 1 , 4

A Χρήση αναβολικών 4 , 1 2 , 2

Examples Algorithmic Game Theory 5

Ο πίνακας δείχνει το όφελος κάθε παίκτη. Οι

αριθμοί είναι αυθαίρετοι και αποτυπώνουν μόνο

τις σχετικές προτιμήσεις των παικτών.

Τσιτσάνης ή Βαμβακάρης

B B

Τσιτσάνης Βαμβακάρης

A Τσιτσάνης 10 , 5 0 , 0

A Βαμβακάρης 0 , 0 5 , 10

Examples Algorithmic Game Theory 6

Ο πίνακας δείχνει την ικανοποίηση κάθε παίκτη.

Το παίγνιο Τσιτσάνης ή Βαμβακάρης είναι ουσιαστικά ένα παίγνιο

συντονισμού (coordination game) μεταξύ των δύο παικτών.

Μάχη των φύλων (Battle of the Sexes)

B B

Bach Stravinsky

A Bach 10 , 5 0 , 0

A Stravinsky 0 , 0 5 , 10

Examples Algorithmic Game Theory 7

Μονά - Ζυγά

B B

Μονά Ζυγά

A Μονά 1 , -1 -1 , 1

A Ζυγά -1 , 1 1 , -1

Examples Algorithmic Game Theory 8

Με ζυγό άθροισμα κερδίζει ο παίκτης Α, με μονό ο παίκτης Β.

Παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ή αυστηρά ανταγωνιστικό

παίγνιο (strictly competitive game)

Πέτρα – Ψαλίδι – Χαρτί (Rock-Paper-Scissors)

B B B

Πέτρα Ψαλίδι Χαρτί

A Πέτρα 0 , 0 1 , -1 -1 , 1

A Ψαλίδι -1 , 1 0 , 0 1 , -1

A Χαρτί 1 , -1 -1 , 1 0 , 0

Examples Algorithmic Game Theory 9

Γεράκι-Περιστέρι (Hawk-Dove)

B B

Επιθετική

Συμπεριφορά

Παθητική

Συμπεριφορά

A Επιθετική

Συμπεριφορά 0 , 0 6 , 1

A Παθητική

Συμπεριφορά 1 , 6 3 , 3

Examples Algorithmic Game Theory 10

Πίνακας κέρδους των παικτών.

Κυνήγι ελαφιού

• Παίκτες: Κυνηγοί

• Ενέργεια (κάθε κυνηγού): {Ελάφι, Λαγός}

• Προτιμήσεις: Κάθε παίκτης προτιμάει την έκβαση «όλοι οι παίκτες να συμμετέχουν στο κυνήγι ελαφιού».

Εάν έστω και ένας δεν συμμετέχει στο κυνήγι ελαφιού τότε αποτυγχάνει το κυνήγι ελαφιού. Σε αυτή την περίπτωση κάθε κυνηγός θα προτιμούσε να έχει κυνηγήσει μόνος του λαγό.

Examples Algorithmic Game Theory 11

Κυνήγι ελαφιού για δύο παίκτες

B B

ελάφι λαγός

A ελάφι 10 , 10 0 , 7

A λαγός 7 , 0 7 , 7

Examples Algorithmic Game Theory 12

Συντονισμός

B B

Χ Υ

A Χ 10 , 10 0 , 0

A Υ 0 , 0 10 , 10

Examples Algorithmic Game Theory 13

Συντονισμός κοινής ωφέλειας (Συντονισμός κατά Pareto)

B B

Χ Υ

A Χ 10 , 10 0 , 0

A Υ 0 , 0 5 , 5

Examples Algorithmic Game Theory 14

• Υπάρχουν δύο pure NE (και ένα mixed NE) • Μόνο το ένα pure NE είναι Pareto efficient

Μη συμμετρικό παίγνιο

B B

Χ Υ

A Χ 1 , 3 2 , 5

A Υ 0 , 2 1 , 3

Examples Algorithmic Game Theory 15

THE ULTIMATUM GAME

Examples Algorithmic Game Theory 16

The Ultimatum Game

• The game: – 2 players: The first player (proposer) and the

second player (responder)

– A sum of money, for example 10€

– The first player proposes how to divide the money: an amount from 1 to 10€ for the second player and the rest for himself

– The second player either accepts the offer (both players receive the agreed money) or rejects and neither players receives anything.

Examples Algorithmic Game Theory 17

Equilibria

• Many Nash equilibria

• Only one NE is subgame perfect

– accept any amount (for the second player)

Examples Algorithmic Game Theory 18

Experiments

• Ultimatum games in four different countries (United states, Yugoslavia, Japan and Israel): Only small differences. – Offers below 30% were often rejected

• Ultimatum games among the Machiguenga Indians, a Peruvian Amazon hunter-gatherer tribe: – average offers were much lower (median 20%)

and offers of 15% were often accepted.

Examples Algorithmic Game Theory 19

Experiments

• Experiments with children sharing chocolate coins

• Experiment with chimpanzees!

Examples Algorithmic Game Theory 20

Βιολογία

• Η διαδικασία της φυσική επιλογής μπορεί

να θεωρηθεί ένα εξελικτικό παίγνιο

(evolutionary game)

• Σύμπραξη διαφορετικών οργανισμών

• Ακόμα και τα φυτά μπορεί να θεωρηθεί ότι

παίζουν παίγνια

• Μια ερμηνεία του γιατί γεννιούνται

(σχεδόν) ίσο πλήθος αντρών και γυναικών

Examples Algorithmic Game Theory 21

Πηγές/Αναφορές

• Κεφάλαια 1 και 2: An Introduction to Game Theory,

M. Osborne, Oxford University Press, 2004

• Ultimatum game:

– Game Theory Evolving, Gintis, 2000

– Wikipedia entry

• Κεφάλαιο 6: Networks, Crowds, and Markets, D.

Easley and J. Kleinberg, 2010.

Examples Algorithmic Game Theory 22