Μμκηειμπμίεζε θαη Aκάιοζε Βημσαηνηθώκ θαη Φοζηθώκ

Σοζηεμάηςκ Γκδμπακεπηζηεμηαθό Δίθηομ Πακεπηζηεμίμο Παηνώκ

Γπηζηεμμκηθόξ Υπεύζοκμξ:Τάζμξ Μπμύκηεξ

Τμήμα Μαζεμαηηθώκ

MATHEMATICS DEPARTMENT

Laboratory of Nonlinear Systems and Applied Analysis

Tassos Bountis

Spyros Pnevmatikos Jacobus P. van der Weele

Vassilios Papageorgiou

Computational Intelligence Laboratory

Michael N. Vrahatis Panagiotis Alevizos Kostas Parsopoulos George Androulakis

DEPARTMENT OF MEDICINE

Biosignal Processing Group

Anastassios Bezerianos George Nikiforidis

Eua Zacharaki

PHYSICS DEPARTMENT

Laser Laboratory

Petros Persefonis

Vassilios Gianetas

Mihalis Fakis

George Tsigaridas

CHEMICAL ENGINEERING DEPARTMENT

Process Control Laboratory

Kostas Kravaris Ioannis Koukos

Ekaterini Stamatelatou

Computational Fluid Dynamics Laboratory

Ioannis Tsamopoulos Vlasis Mavratzas

Giannis Dimakopoulos

MECHANICAL & AERONAUTICAL

ENGINEERING DEPARTMENT

Stochastic Mechanical Systems &

Automation Laboratory

Spilios Fassois Ioannis Sakellariou

Dimitrios Dimogiannopoulos Fotis Kopsaftopoulos

Ioannis Chios Minas Spyridonakos Pavlos Michailidis

Applied Networked Μicro Mechatronics

Antonios Tzes

George Nikolakopoulos Marialena Vagia Leonidas Dritsas

Ioannis Stergiopoulos Kostas Alexis Vaso Reppa

Athanasia Panousopoulou Ioannis Koveos

Efthymios Kolivas

Digital Signal and Image Processing

Laboratory

Thanos Stouraitis

Statistical Signal Processing Group Nikos Galatsanos George Moustakidis Panagiotis Niavis George Avramides

ELECTRICAL & COMPUTER ENGINEERING DEPARTMENT

Μαζεμαηηθή Θεςνία Γιέγπμο Δοκαμηθώκ Σοζηεμάηςκ

Mηα δηδαθηηθή εηζαγςγή

Τάζμξ Μπμύκηεξ

Τμήμα Μαζεμαηηθώκ

Πακεπηζηήμημ Παηνώκ

Σηαζενμπμίεζε Αζηαζμύξ Ιζμννμπίαξ: Η μέζμδμξ Ακαδναζηηθμύ Γιέγπμο Ακάιμγμο ηςκ Μεηαβιεηώκ

(Proportional Feedback Control)

sinm mg u

sin ( )o

( ) ( ), 0u t a t a

Ακ θ > 0, μ έιεγπμξ ζπνώπκεη ημ εθθνεμέξ δεληά Ακ , θ< 0, μ έιεγπμξ ημ ζπνώπκεη ανηζηενά

Θέημκηαξ

θαη ιόγς ηεξ πνμζέγγηζεξ:

Φνεζημμπμηώ ημκ έιεγπμ:

( )u t Έπμομε ηειηθά

Γλίζςζε θίκεζεξ:

Άνα ημ δοκαμηθό ζύζηεμα πμο πνέπεη κα ιύζμομε είκαη:

0a

2 1 0 1a i a Οη ηδημηημέξ ηεξ ελίζςζεξ αοηήξ

μδεγμύκ γηα α > 1 ζε ηαιακηώζεηξ, επμμέκςξ ΠΟΤΓ δεκ ζα μπμνέζμομε κα μδεγήζμομε ημ εθθνεμέξ ζε ηζμννμπία, με θ(t) → 0 θαη dθ/dt → 0 , γηα t → ∞ . Φνεζημμπμηώκηαξ όμςξ έιεγπμ ακάιμγμ ηεξ παναγώγμο

( ) ( ) ( )u t a t b t

Τμ δοκαμηθό ζύζηεμα γνάθεηαη ( ) ( ) ( 1) 0t b t a

με ηδημηημέξ 2

1,2

4( 1), 0, 1

2

b b ab a

μπόηε μ έιεγπμξ επηηογπάκεηαη γηα

αιιά ζε άπεηνμ πνόκμ Τ=∞ !...

2 4( 1)b a

Χεθηαθόξ Έιεγπμξ Δηαθνηημύ Φνόκμο

Μηα άιιε εθδμπή είκαη κα μεηαηνέρμομε ηε ζέζε θαη ηεκ ηαπύηεηα ζε ρεθηαθή μμνθή θαη κα βάιμομε ημκ Η/Υ κα οπμιμγίδεη ημοξ ειέγπμοξ. Οη ηημέξ ηςκ οπμιμγίδμκηαη ζε δηαθνηημύξ πνόκμοξ: 0, δ, 2δ, 3δ, ... ,δειαδή, . Ο έιεγπμξ δηαηενείηαη ζηαζενόξ ζημ δηάζηεμα [kδ, (k+1)δ]

( ), ( )t t

( ), ( )k k

( )k ku t v

Λύκμκηαξ ηεκ ελίζςζε γηα ημκ έιεγπμ αοηό βνίζθμομε:

( )u t

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

t k t kk kk

k k u k k ut e e u

θαη ( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2

t k t kk kk k u k k ut e e

μπόηε ε ιύζε γνάθεηαη:

( ) ( )

( ) ( )k

k kA Bu

k k

cosh sinh cosh 1,

sinh cosh sinhA B

με

( )

( )k

kx

k

1k k kx Ax Bu 1 ( )k kx A BF x

1 2( , )F f fακαδεημύμε έιεγπμ ηεξ μμνθήξ

Θέημκηαξ:

Γίκαη όκηςξ δοκαηόκ κα βνμύμε f1 , f2 ώζηε ώζηε κα έπμομε μδεγήζεη ημ ζύζηεμα ζε ηζμννμπία ζε 2 βήμαηα, δειαδή Τ=2δ.

2( ) 0A BF

Αοηό επηηογπάκεηαη με ηεκ επηιμγή:

1cosh

1cosh2

2

11

f

sinh

1cosh2

2

12

f

Γεκηθόηενα γηα Α θαη Β nxn πίκαθεξ, οπάνπεη ζεώνεμα πμο ελαζθαιίδεη όηη μπμνμύμε κα μδεγήζμομε ημ ζύζηεμα ζηεκ ανπή ηςκ αλόκςκ, 0, ακ θαη μόκμκ ακ μ πίκαθαξ Kalman

C=C[A,B,]=[B,AB,A2B,….,An-1B]

ηθακμπμηεί

rank C[A,B]=n

Γεκηθά ημ πνόβιεμα ηεξ ειεγλημόηεηαξ εκόξ δοκαμηθμύ

ζοζηήμαημξ είκαη ε εύνεζε

θαηάιιειμο, ώζηε κα μδεγείηαη ημ ζύζηεμα ζηεκ

ηζμννμπία x = 0, γηά θάζε x(0), ζε πεπεναζμέκμ πνόκμ Τ.

Πανάδεηγμα:

Έζης όηη ε ανπηθή μαξ ελίζςζε είκαη

cos sin

sin cosA

1

0B

0 sin

,1 cos

C A B

Υπμιμγίδμομε

( )u t

μπόηε μ πίκαθαξ έπεη rank = 2

δειαδή μ έιεγπμξ επηηογπάκεηαη ακ θαη μμκμκ ακ sinδ≠0

( ) ( ( ), ( )), ( ) ,nx t f x t u t x t

( ) mu t

Γιεγλημόηεηα Γναμμηθώκ Σοζηεμάηςκ

Θεςνμύμε ημ δοκαμηθό ζύζηεμα ζοκεπμύξ πνόκμο:

πίκαθεξ πμο μπμνεί κα ελανηώκηαη από ημκ πνόκμ. Τμ Θεώνεμα Πνμζδημνηζμμύ Φάζμαημξ, γηα ζηαζενα Α, Β, ελαζθαιίδεη όηη γνάθμκηαξ μπμνμύμε γεκηθά κα βνμύμε F ηέημηεξ ώζηε όιεξ μη ηδημηημέξ ημο κα έπμοκ ανκεηηθό πναγμαηηθό μένμξ. Αοηό ζεμαίκεη όηη x → 0 για t = Τ →∞ .

Βέιηηζημξ έιεγπμξ επηηογπάκεηαη όηακ μπμνμύμε κα βνμύμε u(t), πμο κα μδεγεί ζημ x(T) = 0 γηά θάζε Τ>0. Ονηζμέκμη ζογγναθείξ μάιηζηα μκμμάδμοκ αοηή ηε ζοκζήθε, ειεγλημόηεηα.

( ) ( ) ( ), ,x t Ax t Bu t A nxn B nxm

A BF( ) ( )u t Fx t

Σοκζήθε ημο Kalman

To δοκαμηθό ζύζηεμα είκαη ειέγλημμ ζε πνόκμ Τ > 0, ακ θαη μόκμκ ακ μ πίκαθαξ Kalman

C=C[A,B,]=[B,AB,A2B,….,An-1B]

έπεη rank C[A,B]=n. Tη θάκμομε, όμςξ, όηακ μη πίκαθεξ Α θαη Β ελανηώκηαη από ημκ πνόκμ; Υπάνπεη ζεώνεμα πμο ελαζθαιίδεη ηεκ ειεγλημόηεηα ακ μ πίκαθαξ είκαη ακηηζηνέρημμξ.

( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t r t

1 1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T

TC T M t B t B t M t dt

Παναδείγμαηα:

1) To ζύζηεμα με

είκαη ειέγλημμ, εκώ με Β=(0 0 1) δεκ είκαη!

2) Τμ ςξ άκς ζύζηεμα με

δεκ είκαη ειέγλημμ γηα θακέκα Τ>0. Γηαηί;

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

3

2

1 0 0

( ) 0 0 , ( ) 1

0 0 1

t

A t t B t

t

0 1 cos( ) , ( )

1 0 sin

tA t B t

t

Μέζμδμη ζηαζενμπμίεζεξ πενημδηθώκ ηνμπηώκ

1) Έιεγπμξ OGY (Ott, Grebogi and Yorke, 1990)

Έζης ημ δοκαμηθό ζύζηεμα , όπμο

μηα πανάμεηνμξ θαη μηα αζηαζήξ ηνμπηά,

πμο ζέιμομε κα ζηαζενμπμηήζμομε. Καηαζθεοάδμομε ηεκ

aπεηθόκηζε Poincare

θαη ηεκ γναμμηθμπμημύμε γύνς από ημ ζηαζενό ηεξ ζεμείμ

όπμο ηοπόκ (ζαγμαηηθό) ζεμείμ ηεξ

Αθμιμύζςξ, μεηαβάιιμομε ημ uk ζε θάζε επακάιερε, ώζηε

ημ κα θείηαη πάκς ζηεκ εοζηαζή (εοθιείδεηα)

πμιιαπιόηεηα ημο ζαγμαηηθμύ ζεμείμο.

( , )x F x u u

ˆ ˆ( ) ( )x t x t

1 ( , ), ( )k k k k kx P x u x x t

ˆ ˆ( , ),kx P x u x̂ ˆ( )x t

( )k kx x t

2) Η μέζμδμξ Continuous Feedback Control Πνμζζέημομε ζηεκ ελίζςζε ημο ζοζηήμαημξ πμο έπεη ηε γκςζηή ιύζε έκακ γναμμηθό όνμ

όπμο L πναγμαηηθή πανάμεηνμξ. Αθμιμύζςξ, μεηαβάιιμομε ημ L θαη παναηενμύμε όηη γηα L > Lcrit (ή L< Lcrit) ε ηνμπηά γίκεηαη εοζηαζήξ!

Πανάδεηγμα: Θεςνμύμε έκα ζύζηεμα 2Ν+1 με γναμμηθώκ ηαιακηςηώκ πμο δηαζέηεη γηα θάπμηεξ ηημέξ ημο α > αc μηα αζηαζή πενημδηθή ηνμπηά .

ˆ( ) ( , ) ( ( ) )x t F x t L x t x

2

1 122 , ,..., 1,0,1,...,n n n n n

du V u u u u n N N

dt

ˆ ˆ( ) ( )n nu t u t

( ) ( , )x t F x t ˆ( ) ( )x t x t

θαη εθανμόδμομε Continuous Feedback Control, όπςξ πενηγνάθεηαη ζηα:

2

1 12ˆ2n n n n n n n

d du V u u u u L u u

dt dt

112

2

ˆˆ2ˆˆˆ

nnnnn uuuuVudtd

ˆ tnu

J. Bergamin, Ph.D. Thesis, Univ. of Patras, 2004,

T. Bountis, J. Bergamin and V. Basios, Phys. Lett. A295, 115 – 120 (2002).

Γνάθμομε ηηξ εληζώζεηξ ηεξ θίκεζεξ ζηε μμνθή:

όπμο ημ ηθακμπμηεί

Έπμομε απμδείλεη ηεκ θάηςζη Πνόηαζε:

Γηα θάζε ηημή ηεξ ζηαζενάξ οπάνπεη ηημή Lc ηέημηα

ώζηε ε ιύζε κα είκαη αζομπηςηηθά εοζηαζήξ

γηα L > Lc .

tutu nn ˆ

Έηζη, μέζς ηεξ παναμέηνμο L επηηύπαμε κα εηζαγάγμομε μηα επί πιέμκ δηάζηαζε ζε έκα εθηεηαμέκμ πώνμ θάζεςκ, ζημκ μπμίμ ημ L = 0 ακηηζημηπεί ζημκ ανπηθό πώνμ ημο πνμβιήμαημξ. Μεηαβάιιμκηαξ ηώνα ημ L μπμνμύμε κα ζοκεπίζμομε ηηξ ιύζεηξ μαξ ζε ηημέξ ημο α, γηα ηηξ μπμίεξ ε ιύζε μαξ γίκεηαη εοζηαζήξ θαη θαηόπηκ κα επηζηνέρμομε ζημ L=0, όπμο ε ιύζε είκαη αζηαζήξ, απμθεύγμκηαξ έηζη ημ ζεμείμ δηαθιάδςζεξ ζημ α = αc .

tutu nn ˆ

O δνόμμξ πμο αθμιμοζμύμε ζημ πώνμ παναμέηνςκ α , L

Bifurcation point

Η εοζηάζεηα μθείιεηαη ζημ όηη όιεξ μη ηδημηημέξ ημο μμκόδνμμμο πίκαθα θείκηαη πάκς ζημ μμκαδηαίμ θύθιμ.

α = 0.08

L=0

H πενημδηθή ιύζε έπεη γίκεη εοζηαζήξ

α = 0.08, L=0.13

Καη παναμέκεη εοζηαζήξ, εκώ...

α = 0.082, L=0.13

...ακ θαηεβμύμε ζημ L=0, ηεκ ζοκακηάμε αζηαζή.

α = 0.082, L=0

Σομπενάζμαηα

• Η μαζεμαηηθή ζεςνία ειέγπμο είκαη πμιύ πιμύζηα ζε μαζεμαηηθά απμηειέζμαηα πμο αθμνμύκ θονίςξ ζε γναμμηθά ζοζηήμαηα.

• Η με γναμμηθή ζεςνία ειέγπμο πενηέπεη επίζεξ πμιύ ζεμακηηθά απμηειέζμαηα πμο βαζίδμκηαη ζημ ακ ε πανάγςγμξ Frechet ημο δηακοζμαηηθμύ πεδίμο είκαη επί (surjective). Ακ δεκ είκαη, ημ πνόβιεμα ακάγεηαη ζηε ιύζε Φαμηιηώκημο ζοζηήμαημξ με δεζμμύξ ( ).

• Σηα με γναμμηθά ζοζηήμαηα εηζάγεηαη ζοπκά ε έκκμηα ηεξ ζοκάνηεζεξ «θόζημοξ»

πμο πνέπεη κα ειαπηζημπμηεζεί ζηα πιαίζηα ηεξ Ανπήξ

Μεγίζημο ημο Pondryagin.

/ 0H u

0

( ) ( , ( ), ( )) 0

T

C u L t x t u t dt

Βηβιημγναθία

• Emmanuel Trélat, “Controle Optimal: Théorie et Applications”, Mathématiques Concrètes, Ed. Vuibert, 2008.

• Eduardo Sontag, “Mathematical Control Theory”, Texts on Applied Mathematics, Springer, 2nd ed., 1998.