Post on 21-Jul-2015
Θ ε ώ ξ ε κ α I ( 1 ν Θ ε ώ ξ ε κ α Γ η α κ έ ζ ω λ )
Τν άζξνηζκα ηωλ ηεηξαγώλωλ δπν πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην δηπιάζην ηνπ ηεηξαγώλνπ ηεο δηακέζνπ πνπ
πεξηέρεηαη κεηαμύ ηωλ πιεπξώλ απηώλ, απμεκέλν θαηά ην κηζό ηνπ ηεηξαγώλνπ ηεο ηξίηεο πιεπξάο.
Θ ε ώ ξ ε κ α I I ( 2 ν Θ ε ώ ξ ε κ α Γ η α κ έ ζ ω λ )
Η δηαθνξά ηωλ ηεηξαγώλωλ δύν πιεπξώλ ελόο ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ην δηπιάζην γηλόκελν ηεο ηξίηεο πιεπξάο επί ηελ
πξνβνιή ηεο αληίζηνηρεο δηακέζνπ πάλω ζηελ πιεπξά απηή. Απόδειξη
Έζησ ΑΓ > 𝛢𝛣 (𝛽 > 𝛾)
Φέξλνπκε ηε δηάκεζν ΑΜ νπόηε ηζρύεη:
ΜΒ = ΜΓ =ΒΓ
2=
α
2
Σηα ηξίγσλα ΑΜΓ, ΑΜΒ έρνπκε
1.𝛢𝛭 = 𝛢𝛭 2. 𝛣𝛭 = 𝛤𝛭3. 𝛢𝛤 > 𝛢𝛣
𝛦𝜑 .3 §3.12 (56) Μ 1 > Μ 2
Φέξλνπκε ην ύςνο ΑΓ, ηόηε ην Γ είλαη κεηαμύ ηνπ Β θαη Μ γηαηί Μ 2 < 90°, νπόηε ΔΜ = προβαΑΜ.
Μ 1 > 90 θαη Μ 2 < 90° γηαηί
Αλ Μ 1 = Μ 2 = 90° ηόηε ε ΑΜ ζα είλαη δηάκεζνο θαη ύςνο καδί. Άξα ην
ηξίγσλν ΑΒΓ ζα είλαη ηζνζθειέο κε ΑΒ = ΑΓ. Άηνπν γηαηί από ππόζεζε έρνπκε
ΑΓ > 𝛢𝛣.
Αλ Μ 1 < 90° Δπεηδή Μ 2 < Μ 1 ζα έρνπκε: Μ 1 < 90°
Μ 2 < 90° + Μ 1 + Μ 2 < 180°
Άηνπν γηαηί Μ 1 + Μ 2 = 180°
Άξα ε κόλε πεξίπηωζε πνπ είλαη απνδεθηή είλαη ε 𝚳 𝟏 > 𝟗𝟎 𝛋𝛂𝛊 𝚳 𝟐 < 𝟗𝟎°
Δθαξκόδνπκε ην ΘΙΙ(190) ζην ηξίγωλν ΑΜΓ :
ΑΓ2 = ΑΜ2 + ΜΓ2 + 2 ⋅ ΜΓ ⋅ πξνβΜΓ
ΑΜ ⟺
β2 = κ
α2 +
α
2
2
+ 2α
2∙ ΓΜ ⟺
β2 = κ
α2 +
α2
4+ α ∙ ΓΜ (2)
Δθαξκόδνπκε ην ΘΙ(189) ζην ηξίγωλν ΑΜΒ: ΑΒ2 = ΑΜ2 + ΒΜ2 − 2 ∙ ΒΜ ∙ προβΒΜΑΜ ⟺
γ2 = μα2 +
α
2
2
− 2α
2∙ ΔΜ ⟺
γ2 = μα2 +
α2
4− α ∙ ΔΜ (1)
Γηα ην 1ν Θεώξεκα ηωλ δηακέζωλ έρνπκε:
Από ηηο (1) θαη (2) κε πξόζζεζε θαηά κέιε έρνπκε:
2 β2 = μα
2 +α2
4+ α ∙ ΔΜ
1 γ2 = μα2 +
α2
4− α ∙ ΔΜ
+ β2 + 𝛾2 = 2μα
2 + 2α2
4⇒
⇒ 𝛃𝟐 + 𝜸𝟐 = 𝟐𝛍𝛂𝟐 +
𝛂𝟐
𝟐
Γηα ην 2ν Θεώξεκα ηωλ δηακέζωλ έρνπκε:
Από ηηο (1) θαη (2) κε αθαίξεζε θαηά κέιε έρνπκε:
2 β2 = κ
α2 +
α2
4+ α ∙ ΓΜ
1 γ2 = κα2 +
α2
4− α ∙ ΓΜ
− 𝛃𝟐 − 𝜸𝟐 = 𝟐𝛂 ∙ 𝚫𝚳
Θεώρηµα ΙΙ §5.9 (Σελ. 109)
Αν η διάµεσος ενός τριγώνου ισούται µε το µισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την
πλευρά αυτή.