Post on 15-Apr-2016
description
Πανεπιστήmicroιο ΠατρώνΤmicroήmicroα Μηχανολόγων amp Αεροναυπηγών Μηχανικών
Εργαστήριο Στοχαστικών ΜηχανολογικώνΣυστηmicroάτων amp Αυτοmicroατισmicroού
ΟΜΑ∆ΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΜΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
Σ∆ ΦΑΣΟΗΣ
Καθηγητής
Πάτρα 2010
1
1η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 11
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος ελέγχου ϑερmicroοκρασίας ψυγείου
΄Ασκηση 12
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα συστήmicroατος ελέγχου ϑέσεως ανελκυστήρα ∆ιακρίνετεδύο περιπτώσεις ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ και ῾῾ ακριβής ᾿᾿ τοποθέτηση της καmicroπίνας Πώς προ-τείνετε να microετράται η ϑέση της καmicroπίνας σε κάθε περίπτωση
΄Ασκηση 13
Θεωρείστε το σύστηmicroα οδηγός - αυτοκίνητο και σχεδιάστε το δοmicroικό του διάγραmicromicroαΕίναι το σύστηmicroα αυτό κλειστού ή ανοικτού ϐρόχου
΄Ασκηση 14
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϕυγοκεντρικού ϱυθmicroιστή (κατευθυντή) του Wattγια τον έλεγχο ταχύτητας άξονα ατmicroοmicroηχανής
΄Ασκηση 15
Σχεδιάστε ένα απλοποιηmicroένο δοmicroικό διάγραmicromicroα για την παράσταση ενός συστήmicroατοςκλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο (ϑέσης και ταχύτητας) ενός άξονα ψηφιακής (NC) ερ-γαλειοmicroηχανής microε microικρο-υπολογιστή
2
2η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 21
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω ηλεκτρικών κυκλωmicroάτων Για κάθεένα ϑεωρείστε την τάση v1 σαν είσοδο και την v2 σαν έξοδο
C
R R1
LR2
R1
C
R2
+
-
+
-
u1 2
+
2
-1 2
1u u u uu
΄Ασκηση 22
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω ηλεκτρικού συστήmicroατος Υποδείξτετις εισόδους και εξόδους Είναι το σύστηmicroα γραmicromicroικό
C1 R2C2L1
R1
i2
i i
΄Ασκηση 23
∆οθέντων των σταθερών ελαστικότητας k1 k2 των τmicroηmicroάτων του άξονα του σχήmicroατοςυπολογίστε την συνολική σταθερά ελαστικότητας του άξονα
k1 k2
΄Ασκηση 24
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω microηχανικών συστηmicroάτων Ποιοςείναι ο κατά περίπτωση αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας
3
΄Ασκηση 25
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής
΄Ασκηση 26
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος
4
I1k1 n1
n2c1
θ2Ι2
k2θ3Ι3 c2T θ1
IδανικάΓρανάζια
ΛόγοςΓραναζιών
Ν= n n12
n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22
΄Ασκηση 27
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού
υ
R L
+-
+- υ
Τ ω θ1
Ι1κ
θ2
Ι2C
b
5
3η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 31
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως
mI
l
l2
KMg
FΤ
m
΄Ασκηση 32
Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων
h
R1 R 2
ρ
(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP
g
1
A
΄Ασκηση 33
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
1
1η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 11
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος ελέγχου ϑερmicroοκρασίας ψυγείου
΄Ασκηση 12
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα συστήmicroατος ελέγχου ϑέσεως ανελκυστήρα ∆ιακρίνετεδύο περιπτώσεις ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ και ῾῾ ακριβής ᾿᾿ τοποθέτηση της καmicroπίνας Πώς προ-τείνετε να microετράται η ϑέση της καmicroπίνας σε κάθε περίπτωση
΄Ασκηση 13
Θεωρείστε το σύστηmicroα οδηγός - αυτοκίνητο και σχεδιάστε το δοmicroικό του διάγραmicromicroαΕίναι το σύστηmicroα αυτό κλειστού ή ανοικτού ϐρόχου
΄Ασκηση 14
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϕυγοκεντρικού ϱυθmicroιστή (κατευθυντή) του Wattγια τον έλεγχο ταχύτητας άξονα ατmicroοmicroηχανής
΄Ασκηση 15
Σχεδιάστε ένα απλοποιηmicroένο δοmicroικό διάγραmicromicroα για την παράσταση ενός συστήmicroατοςκλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο (ϑέσης και ταχύτητας) ενός άξονα ψηφιακής (NC) ερ-γαλειοmicroηχανής microε microικρο-υπολογιστή
2
2η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 21
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω ηλεκτρικών κυκλωmicroάτων Για κάθεένα ϑεωρείστε την τάση v1 σαν είσοδο και την v2 σαν έξοδο
C
R R1
LR2
R1
C
R2
+
-
+
-
u1 2
+
2
-1 2
1u u u uu
΄Ασκηση 22
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω ηλεκτρικού συστήmicroατος Υποδείξτετις εισόδους και εξόδους Είναι το σύστηmicroα γραmicromicroικό
C1 R2C2L1
R1
i2
i i
΄Ασκηση 23
∆οθέντων των σταθερών ελαστικότητας k1 k2 των τmicroηmicroάτων του άξονα του σχήmicroατοςυπολογίστε την συνολική σταθερά ελαστικότητας του άξονα
k1 k2
΄Ασκηση 24
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω microηχανικών συστηmicroάτων Ποιοςείναι ο κατά περίπτωση αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας
3
΄Ασκηση 25
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής
΄Ασκηση 26
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος
4
I1k1 n1
n2c1
θ2Ι2
k2θ3Ι3 c2T θ1
IδανικάΓρανάζια
ΛόγοςΓραναζιών
Ν= n n12
n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22
΄Ασκηση 27
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού
υ
R L
+-
+- υ
Τ ω θ1
Ι1κ
θ2
Ι2C
b
5
3η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 31
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως
mI
l
l2
KMg
FΤ
m
΄Ασκηση 32
Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων
h
R1 R 2
ρ
(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP
g
1
A
΄Ασκηση 33
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
2
2η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 21
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω ηλεκτρικών κυκλωmicroάτων Για κάθεένα ϑεωρείστε την τάση v1 σαν είσοδο και την v2 σαν έξοδο
C
R R1
LR2
R1
C
R2
+
-
+
-
u1 2
+
2
-1 2
1u u u uu
΄Ασκηση 22
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω ηλεκτρικού συστήmicroατος Υποδείξτετις εισόδους και εξόδους Είναι το σύστηmicroα γραmicromicroικό
C1 R2C2L1
R1
i2
i i
΄Ασκηση 23
∆οθέντων των σταθερών ελαστικότητας k1 k2 των τmicroηmicroάτων του άξονα του σχήmicroατοςυπολογίστε την συνολική σταθερά ελαστικότητας του άξονα
k1 k2
΄Ασκηση 24
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις των παρακάτω microηχανικών συστηmicroάτων Ποιοςείναι ο κατά περίπτωση αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας
3
΄Ασκηση 25
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής
΄Ασκηση 26
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος
4
I1k1 n1
n2c1
θ2Ι2
k2θ3Ι3 c2T θ1
IδανικάΓρανάζια
ΛόγοςΓραναζιών
Ν= n n12
n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22
΄Ασκηση 27
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού
υ
R L
+-
+- υ
Τ ω θ1
Ι1κ
θ2
Ι2C
b
5
3η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 31
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως
mI
l
l2
KMg
FΤ
m
΄Ασκηση 32
Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων
h
R1 R 2
ρ
(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP
g
1
A
΄Ασκηση 33
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
3
΄Ασκηση 25
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος που παριστάνειτο microηχανισmicroό κίνησης εργαλειοmicroηχανής
΄Ασκηση 26
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις για το ακόλουθο microηχανικό σύστηmicroα microε γρανάζιαΠοιός είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας του συτήmicroατος
4
I1k1 n1
n2c1
θ2Ι2
k2θ3Ι3 c2T θ1
IδανικάΓρανάζια
ΛόγοςΓραναζιών
Ν= n n12
n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22
΄Ασκηση 27
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού
υ
R L
+-
+- υ
Τ ω θ1
Ι1κ
θ2
Ι2C
b
5
3η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 31
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως
mI
l
l2
KMg
FΤ
m
΄Ασκηση 32
Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων
h
R1 R 2
ρ
(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP
g
1
A
΄Ασκηση 33
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
4
I1k1 n1
n2c1
θ2Ι2
k2θ3Ι3 c2T θ1
IδανικάΓρανάζια
ΛόγοςΓραναζιών
Ν= n n12
n1 αρ οδόντων γραν 1n αρ οδόντων γραν 22
΄Ασκηση 27
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του ακόλουθου ηλεκτροmicroηχανικού συστήmicroατοςΟ κινητήρας είναι συνεχούς ϱεύmicroατος ελεγχόmicroενου οπλισmicroού
υ
R L
+-
+- υ
Τ ω θ1
Ι1κ
θ2
Ι2C
b
5
3η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 31
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως
mI
l
l2
KMg
FΤ
m
΄Ασκηση 32
Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων
h
R1 R 2
ρ
(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP
g
1
A
΄Ασκηση 33
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
5
3η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 31
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις της παρακάτω microηχανικής διατάξεως που παριστάνειένα απλό ϱοmicroποτικό σύστηmicroα Ποιος είναι ο αριθmicroός των ϐαθmicroών ελευθερίας της διατάξεως
mI
l
l2
KMg
FΤ
m
΄Ασκηση 32
Υποδείξτε την είσοδο και έξοδο του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος και καταστρώ-στε τις δυναmicroικές εξισώσεις που το περιγράφουν στις κάτωθι περιπτώσεις (α) ΑντίστασηR2 στρωτής ϱοής (ϐ) αντίσταση R2 τυρβώδους ϱοής Σε περίπτωση εmicroφάνισης microη γραmicro-microικότητας προβείτε σε γραmicromicroικοποίηση των εξισώσεων
h
R1 R 2
ρ
(στρωτή)ANTΛΙΑπίεσηςP
g
1
A
΄Ασκηση 33
Καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του παρακάτωυδραυλικού συστήmicroατος Θεωρώντας τις στάθmicroες h1 και h2 ως εξόδους του συστήmicroατος ενσυνεχεία εκφράστε τις εξισώσεις αυτές στο χώρο κατάστασης Ποιες microεταβλητές επιλέξατεως microεταβλητές κατάστασης
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
6
m1
R 1
m2
R 2
A 1
h2
A2
gρh1
q
q
΄Ασκηση 34
Θεωρείστε το ϑερmicroόmicroετρο του σχήmicroατος που αποτελείται από δύο microάζες m1 και m2 ει-δικές ϑερmicroότητες cp1 και cp2 αντίστοιχα Οι συνολικές ϑερmicroικές αντιστάσεις σηmicroειώνονταιστο σχήmicroα και το Ϲητούmicroενο είναι η κατάστρωση των δυναmicroικών εξισώσεων του συστήmicroα-τος
R2R1
12
΄Ασκηση 35
Για το παρακάτω σύστηmicroα ϱευστό (παροχής microάζας qm1) εισέρχεται στη δεξαmicroενή microεϑερmicroοκρασία T1 Εάν η στάθmicroη του ϱευστού στη δεξαmicroενή είναι h και η ϑερmicroοκρασία τουT2 καταστρώστε τις δυναmicroικές εξισώσεις του συστήmicroατος ως προς τις δύο αυτές microεταβλητές(που λαmicroβάνονται ως έξοδοι) Η ειδική ϑερmicroότης του ϱευστού είναι cp και η πυκνότητα του Είναι οι δυναmicroικές εξισώσεις που καταστρώσατε γραmicromicroικές
gm1 T1 g
R
T2h
A(στρωτή)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
7
΄Ασκηση 36
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος microε ϑερmicroοχωρητικότητα C1 και ϑερmicroοκρασία T1Η ϑερmicroοχωρητικότητα και ϑερmicroοκρασία του αέρα στο εσωτερικό του κλιβάνου είναι C2 καιT2 αντίστοιχα ενώ εκείνη του περιβάλοντα χώρου είναι T3 Καταστρώστε τις δυναmicroικέςεξισώσεις του συστήmicroατος λαmicroβάνοντας ως εισόδους την ϑερmicroοκρασία T3 και το ϱεύmicroα iδιά microέσου της αντιστάσεως και ως εξόδους τις ϑερmicroοκρασίες T1 και T2
C 1 T 1C 2 T2
T3ΘερmicroικήΑντίσταση
R2΄ΘερmicroικήΑντίσταση
R1
i
R
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
8
4η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 41
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
Cy
k2mk1
y(0)=1
2
m= 1 kgk = 03 Nmk =07 Nmc = 2 N sm
21
΄Ασκηση 42
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος για αρχικές συνθήκες
θ(0)=0 c
I
θ
΄Ασκηση 43
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συσήmicroατος στην είσοδο
T (t) = 1 + t (t ge 0)
Ποια ϑα είναι η συνολική απόκριση του συστήmicroατος εάν τη χρονική στιγmicroή t = 0 οιαρχικές συνθήκες ήσαν
θ(0) = 0 rad θ(0) = 2 radsec
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
9
Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της συνο-λικής απόκρισης του συστήmicroατος
΄Ασκηση 44
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του παρακάτω συστήmicroατος σε είσοδο microοναδι-αίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασηςτης απόκρισης
x(ΕΙΣΟΣΟΣ)
Κ1
C1m
y(EΞΟ∆ΟΣ)
Κ2
C2
΄Ασκηση 45
Υπολογίστε την εξαναγκασmicroένη απόκριση του συστήmicroατος του προβλήmicroατος 44 γιατην παρακάτω είσοδο Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroηςκατάστασης της απόκρισης
x
1
0 1 3t
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
10
5η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 51
Υπολογίστε τον microετασχηmicroατισmicroό Laplace της παρακάτω συναρτήσεως
f(t) = sin(ωt) (t ge 0)
΄Ασκηση 52
Υπολογίστε τον αντίστροφο microετασχηmicroατισmicroό Laplace της συναρτήσεως
F (s) =5(s + 2)
s2(s + 1)(s + 3)
΄Ασκηση 53
Υποθέστε ένα σύστηmicroα πρώτης τάξεως που περιγράφεται από την διαφορική εξίσωση
y + ay = x
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό της ελεύ-ϑερης και εξαναγκασmicroένης απόκρισης για
x(t) = sin(ωt) (t ge 0) y(0) = b
΄Ασκηση 54
Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςελεύθερης απόκρισης του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος εάν οι αρχικές συνθήκεςείναι
k
y
Cm
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
11
΄Ασκηση 55
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω υδραυλικού συστήmicroατος στην είσοδο
qm(t) =
4t
minus4t + 160
0 le t le 22 le t le 44 le t le infin
t
qm
0 2 4
8
Οι αρχικές συνθήκες ϑεωρούνται microηδενικές Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroα καθώςκαι το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
g
h(έξοδος)
ρ
ΑR
(στρωτή)
q (είσοδος)m
΄Ασκηση 56
Χρησιmicroοποιείστε τη microέθοδο του microετασχηmicroατισmicroού Laplace για τον υπολογισmicroό τηςαπόκρισης του παρακάτω συστήmicroατος εάν
f(t) = 2u(t) y(0) = 0 (m) y(0) = 1 (msec)
όπου u(t) παριστάνει τη συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας Υποδείξτε το microεταβατικό τmicroήmicroακαθώς και το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης της απόκρισης
y
Cm
k
f
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
12
6η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 61
Υπολογίστε το ύψος του νερού στη δεξαmicroενή του σχήmicroατος εάν την χρονική στιγmicroήmicroηδέν το αρχικό ύψος ήταν 2(m) και από την ιδια χρονική στιγmicroή η παροχή microάζας γίνεταισταθερή και ίση microε 1(kgsec) Ποια είναι η χρονική σταθερά του συστήmicroατος
΄Ασκηση 62
Θεωρείστε το ηλεκτρικό σύστηmicroα του σχήmicroατος και υπολογίστε το ϕορτίο στον πυκνωτήσαν συνάρτηση του χρόνου εάν είναι γνωστό ότι την αρχική χρονική στιγmicroή t = 0 ϕορτίοήταν q(0) = 0(Q) και v(t) = 1(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους Πόσο χρονικόδιάστηmicroα απαιτείται προκειmicroένου η απόκριση να ϕθάσει (microε 2 ακρίβεια) την τελική τιmicroήτης
Επαναλάβατε την άσκηση για q(0) = 0001(Q) και v(t) = 10(V )
u(t)+-
C
R
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
13
΄Ασκηση 63
Υπολογίστε και χαράξτε την καmicroπύλη του ηλεκτρικού ϕορτίου στον πυκνωτή της προ-ηγούmicroενης άσκησης εάν q(0) = 0(Q) και v(t) = t2(V ) για όλους τους ϑετικούς χρόνους
΄Ασκηση 64
Υπολογίστε την ελεύθερη απόκριση του παρακάτω microηχανικού συστήmicroατος για αρχικέςσυνθήκες x(0)=0 (m) και v(0)=1 (msec) σε καθε microία από τις ακόλουθες περιπτώσεις
(α) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 8(Nm)
(ϐ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 4(Nm)
(γ) m = 1 (kg) c = 4 (Nsecm) k = 2(Nm)
Επίσης υπολογίστε τις χρονικές σταθερές ϕυσική συχνότητα microε και χωρίς απόσβεσηκαθώς και τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος σε κάθε περίπτωση
k
C
x
m
΄Ασκηση 65
Επιλέξτε την τιmicroή της σταθεράς απόσβεσης c του παρακάτω συστήmicroατος προκειmicroένουνα ικανοποιηθούν οι εξής προδιαγραφές (α) Μέγιστη ποσοστιαία υπερακόντιση ελάχιστη και πάντως όχι microεγαλύτερη από 20(ϐ) Χρόνος ανύψωσης ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από 3 secs
(γ) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) ελάχιστος και πάντως όχι microεγαλύτερος από3 secs
k Cθ
Ι
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
14
΄Ασκηση 66
(α) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης του υδραυλικού συστήmicroατος του σχήmicroατος(ϐ) Υπολογίστε την στάθmicroη του ϱευστού στην δεύτερη δεξαmicroενή σαν συνάρτηση του χρόνουεάν qm(t) = 2(kgsec) για όλους τους ϑετικούς χρόνους(γ) Υπολογίστε τις χρονικές σταθερέςφυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καιλόγους απόσβεσης του συστήmicroατος
qm
h
R
A R
1
1
2 2h2
A1
ρ
g
΄Ασκηση 67
Θεωρείστε ένα σύστηmicroα πέmicroπτης τάξεως microε πόλους
s = minus2minus3plusmn jminus5plusmn 2j
Ποιες είναι οι χρονικές σταθερές ϕυσικές συχνότητες microε και χωρίς απόσβεση καθώςκαι οι λόγοι απόσβεσης του συστήmicroατος
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
15
7η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 71
Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς για καθένα από τα συστήmicroατα που παριστάνονταιαπό τα παρακάτω δοmicroικά διαγράmicromicroατα
G2
G1
G3
++
+-X
(α)
Y
X YG 1
+-
G2
G6
G7
G 3+ +
-G4
G 8
G5
(γ)
΄Ασκηση 72
Για το σύστηmicroα του παρακάτω διαγράmicromicroατος (α) Υπολογίστε την συνάρτηση microεταφοράς(ϐ) Ποια είναι η διαφορικη εξίσωση που το διέπει(γ) Καταστρώστε τις εξισώσεις κατάστασης
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
16
+-- -
1s 1s 1s b3
b 2
b1
α1
α2
α3
++ΥΧ Ζ1 Ζ2 Ζ3
΄Ασκηση 73
Χρησιmicroοποιείστε το κριτήριο των Routh-Hurwitz για τον έλεγχο ευστάθειας των συστη-microάτων microε χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο
(α) s4 + 10s3 + 32s2 + 50s + 100
(ϐ) s5 + 10s4 + 30s3 + 80s2 + 344s + 480
(γ) s4 + 3s3 + 8s2 minus 3s + 9
(δ) 2s4 + 12s2 + 50
(ε) s3 + s + 1
Σε περίπτωση αστάθειας πόσοι από τους πόλους κάθε πολυωνύmicroου είναι ασταθείς
΄Ασκηση 74
Για το παρακάτω σύστηmicroα ελέγχου κλειστού ϐρόχου υπολογίστε το διάστηmicroα των τιmicroώντου κέρδους κ του ενισχυτή (κατευθυντή) στο οποίο το σύστηmicroα είναι ευσταθές
+
-R K
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
1s+4
Y
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
17
΄Ασκηση 75
Υπολογίστε το πεδίο τιmicroών των παραmicroέτρων κ και Τ (κέρδος ενισχυτήκατευθυντή καιχρονική σταθερά εγκατάστασης αντίστοιχα) στο οποίο οι χρονικές σταθερές του παρακάτωσυστήmicroατος κλειστού ϐρόχου είναι microικρότερες από bminus1secs
R +
-K
Y1s(Ts+1)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΕΓΚΑΣΤΑΣΤΑΣΗ
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
18
8η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 81
Θεωρείστε το παρακάτω σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου microε ολοκληρωτική δράση καιαπαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Ποιος είναι ο τύπος του συστήmicroατος ως προς την είσοδο αναφοράςΠοιες είναι οι τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος ϑέσης ταχύτητας και επιτάχυνσης(ϐ) Υπολογίστε τη συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ της εξόδου και της διαταραχής(γ) Ποιος είναι ο τυπος του συστήmicroατος ως προς την διαταραχή(δ) Υπολογίστε τις τιmicroές των σταθερών σφάλmicroατος (ως προς την διαταραχή) ϑέσης
ταχύτητας και επιτάχυνσης
RK
+-
KIs+ +
-αs
b
K
Dδιαταρχή
αbKKIθετικέςσταθερές
΄Ασκηση 82 Σύγκριση Συστηmicroάτων Αυτοmicroάτου Ελέγχου (Εν Σειρά - Πρόσω Εν Σειρά)
R-
+ ____K IS
1 Y R K IKAT1
+
-K2
KAT2
1
EΓΚ
Υ
ΚΑΤ ΕΓΚ
ΕΝ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΣΩ ΕΝ ΣΕΙΡΑ
Θεωρείστε τα συστήmicroατα του παραπάνω σχήmicroατος για τον έλεγχο της ενδεικνυόmicroενηςεγκατάστασης πρώτης τάξης Το πρώτο σύστηmicroα ϐασίζεται σε αντιστάθmicroιση εν σειρά καιχρησιmicroοποιεί ολοκληρωτικό κατευθυντή το δε δεύτερο ϐασίζεται σε συνδυασmicroό πρόσω microεεν σειρά αντιστάθmicroιση και χρησιmicroοποιεί δύο αναλογικούς κατευθυντές Σε κάθε περίπτωσηενδιαφέρει ο σχεδιασmicroός του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε η σταθερά σφάλ-microατος ταχύτητος να είναι ίση microε 2 (προδιαγραφή σχεδιασmicroού) Απαντείστε στις παρακάτωερωτήσεις
(α) Είναι δυνατόν να επιτευχθή η προδιαγραφή και microε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
19
Υπολογίστε τις απαιτούmicroενες προς το σκοπό τούτο τιmicroές των σταθερών των κατευθυν-τών σε κάθε περίπτωση
(ϐ) Συγκρίνετε τα δύο συστήmicroατα ελέγχου που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη ερώτησηΥπολογίστε microεγέθη της microεταβατικής απόκρισης καθενός πχ τον χρόνο αποκατάστασηςτο χρόνο ανύψωσης τη microέγιστη υπερακόντιση Ποιο εκ των δύο συστηmicroάτων υπερέχει
(γ) Τώρα υποθέστε ότι η πραγmicroατική τιmicroή του κέρδους της εγκατάστασης είναι κατά10 ανώτερη από την ονοmicroαστική επί τη ϐάσει της οποίας έγινε ο σχεδιασmicroός τωνσυστηmicroάτων και ο υπολογισmicroός των κερδών των κατευθυντών στο πρώτο ερώτηmicroα Πώς ϑασυmicroπεριφερθή τώρα κάθε ένα εκ των δύο συστηmicroάτων
Θα εξακολουθήση να χαρακτηρίζεται από πεπερασmicroένη σταθερά σφάλmicroατος ταχύτηταςπαρά το σφάλmicroα microοντελοποίησης
(δ) Ποιο από τα δύο συστήmicroατα ελέγχου ϑα συνιστούσατε σε κάποιον πελάτη σας πουϑα ενδιαφέρετο για την συγκεκριmicromicroένη προδιαγραφή
΄Ασκηση 83 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Ταχύτητας Ταινίας (Σερβιmicroηχανισmicroός)
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ελέγχου ταχύτητας της ταινίας σε microια microαγνητική συσκευή ανα-παραγωγής και εγγραφής ήχου (πχκασσετόφωνο) Θεωρείστε την αδράνεια των περι-στρεφόmicroενων αξόνων και ταινίας ως έχουσα ονοmicroαστική τιmicroή J = 010(kgm2) και τοισοδύναmicroο συντελεστή ιξώδους απόσβεσης c = 1(Nmsec) Η ελαστικότητα των αξόνωνκαι ταινίας ϑεωρείται αmicroεληταία και αγνοείται Ως τελικό στοιχείο ελέγχου επιλέγεταικινητήρας ελεγχόmicroενης ϱοπής microε συνάρτηση microεταφοράς microεταξύ ϱοπής και εφαρmicroοζόmicroεν-ης τάσεως πρώτης τάξεως και χαρακτηριζόmicroενης από χρονική σταθερά ίση microε 050(secs)και κέρδος ίσο microε 10(Nmvolt) Ο microετρητής της ταχύτητας της ταινίας είναι πολύ γρή-γορος και τα δυναmicroικά χαρακτηριστικά του microπορούν εποmicroένως να αγνοηθούν Η ϱοπήδιαταραχής οφείλεται σε διάφορους λόγους συmicroπεριλαmicroβανοmicroένων των microεταβολών στηναδράνεια λόγω της κίνησης της ταινίας
Οι προδιαγραφές του συστήmicroατος ελέγχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 0001(radssec)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης ως προς ϱοπή διαταραχής 1(Nm) όχι microεγαλύτερο από001(radssec)
(iii) Χρόνο αποκατάστασης όχι microεγαλύτερον από 01(secs)
(iv) Μέγιστη υπερακόντιση όχι microεγαλύτερη από 5
(α) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αντιστάθmicroισης εν σειρά το οποίο να περιλαmicroβάνει τον απλούσ-τερο δυνατό κατευθυντή ενός microόνο όρου και να πληροί την προδιαγραφή (i)
(ϐ) Πληροί το σύστηmicroα που σχεδιάσατε την προδιαγραφή (ii)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
20
(γ) Υπολογίστε τους πόλους του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου που σχεδιάσατε Είναι οιπόλοι αυτοί επιθυmicroητοί
Πού πρέπει να ϐρίσκονται οι πόλοι κλειστού ϐρόχου προκειmicroένου να πληρούνται οι προ-διαγραφές (iii) και (iv)
(δ) Τροποποιείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου σε σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης καιεν σειρά (2 κατευθυντών) εάν έχετε διαθέσιmicroο και ένα πολύ γρήγορο επιταχυνσιόmicroετρογια τη microέτρηση των γωνιακής επιτάχυνσηςΠληροί το νέο σας σύστηmicroα τις προδιαγραφές (iii) και (iv)
Εξακολουθεί να πληροί τις προδιαγραφές (i) και (ii)
(ε) Πώς ϑα τροποποιούσατε περαιτέρω το σύστηmicroα αντιστάθmicroισης ανάδρασης και εν σειράπροκειmicroένου να microηδενισθούν τα σφάλmicroατα που αναφέρονται στις προδιαγραφές (i)και (ii)
΄Ασκηση 84 Αυτόmicroατος ΄Ελεγχος Υδραυλικού Συστήmicroατος
qm1
R1 qmd
R2A 2
ρ
g
A1
h
ρ
ΒΑΛΒ
h22d ΚΑΤ
1
h2
Για το υδραυλικό σύστηmicroα του σχήmicroατος
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του απλούστερου δυνατού συστήmicroατος ελέγχου τηςστάθmicroης της δεξαmicroενής 2 που να επιτυγχάνει microηδενικά σφάλmicroατα microόνιmicroης κατάσ-τασης ως προς microοναδιαία ϐαθmicroίδα είσοδο αναφοράς h2d καθώς και διαταραχή qmdΤο σύστηmicroα αυτό microπορεί να χρησιmicroοποιεί ένα microετρητή στάθmicroης στη δεξαmicroενή 2 γιατη microέτρηση της εξόδου και τη ϐαλβίδα που ϱυθmicroίζει την παροχή στη δεξαmicroενή 1 σαντελικό στοιχείο ελέγχου
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
21
(ϐ) Πως microπορεί να ϐελτιωθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο προηγούmicroενο ερώτη-microα εάν καταστεί διαθέσιmicroος και ένας δεύτερος microετρητής στάθmicroης (για τη δεξαmicroενή1)
Ποιά είναι τα πλεονεκτήmicroατα αυτού ως προς το προηγούmicroενο
΄Ασκηση 85 Σταθεροποίηση Ασταθούς Εγκατάστασης ΄ΕλεγχοςΑνεστραmicromicroένου Εκκρεmicroούς
Θεωρείστε το πρόβληmicroα ανεστραmicromicroένου εκκρεmicroούς microε γραmicromicroικοποιηmicroένη δυναmicroικήεξίσωση
M middot L middot θ minus (M + m) middot g middot θ = f
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα αυτοmicroάτου ελέγχου ικανό να σταθεροποιήση το σύστηmicroα και ναδιατηρή τη γωνία ϑ γύρω από την τιmicroή microηδέν (umlρυθmicroιστής uml) χειριζόmicroενο κατάλληλα τηνοριζόντια δύναmicroη f Οι προδιαγραφές είναι
(i) Λόγος απόσβεσης 0707(ii) Χρόνος αποκατάστασης (κριτήριο 2) 8(secs)
΄Ασκηση 86 Αυτόmicroατος Ελεγχος Θερmicroικού Συστήmicroατος
Aέρας κλιβάνουΤ C2 2
C1T1
RI Θερmicroαντικό στοιχ
i i
R2
AτmicroοσφαιρικήΘερmicroοκρασία
Το
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
22
Θεωρείστε τον κλίβανο του σχήmicroατος ο οποίος ϑερmicroαίνεται από ϑερmicroαντικό στοιχείοmicroε ηλεκτρική αντίσταση R Το ϑερmicroαντικό αυτό στοιχείο έχει ϑερmicroοχωρητικότητα C1 καιϑερmicroοκρασία T1 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ του ϑερmicroαντικού στοιχείου και του αέρατου κλιβάνου παριστάνεται σαν R1 Επίσης η ϑερmicroοχωρητικότητα του αέρα του κλιβάνουπαριστάνεται σαν C2 και η ϑερmicroοκρασία του σαν T2 Η ϑερmicroική αντίσταση microεταξύ τουκλιβάνου και της ατmicroόσφαιρας είναι R2 ενώ η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος To Οιτιmicroές των σταθερών του συστήmicroατος είναι R = 1(kΩ) R1 = R2 = 1(KsecJoule) C1 =C2 = 100(JouleK)
Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου για τον έλεγχο της ϑερmicroοκρασί-ας T2 του αέρα του κλιβάνου χειριζόmicroενοι κατάλληλα το ηλεκτρικό ϱεύmicroα i πού οδηγείταιστην αντίσταση R Οι προδιαγραφές για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου έχουν ως εξής
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότεροαπό 001(K)
(ii) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης της T2 οφειλόmicroενο σε είσοδο T0 microοναδιαίας ϐαθmicroίδαςmicroικρότερο από 001(Κ)
(iii) Μέγιστη υπερακόντιση σε είσοδο αναφοράς microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερη απο10
(iv) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 20(secs)
(v) Ευαισθησία του σφάλmicroατος microόνιmicroης κατάστασης της T2 (οφειλόmicroενο σε είσοδο αναφοράςmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ως προς την ϑερmicroοχωρητικότητα C2 microικρότερη από 01
Απαντείστε στις παρακάτω ερωτήσεις
(α) Αναπτύξτε το δυναmicroικό microοντέλο της εγκατάστασης συmicroπεριλαmicroβανοmicroένης και της η-λεκτρικής αντίστασης
(ϐ) Σχεδιάστε ένα δοmicroικό διάγραmicromicroα της εγκατάστασης κατάλληλο για την επίτευξη τωνπροδιαγραφών του συστήmicroατος ελέγχου Υπολογίστε τις χρονικές σταθερές της εγκατάσ-τασης
(γ) ΄Ελεγχος δύο ϑέσεων microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (ϑερmicroοκρασία Τ2)
Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου δύο ϑέσεων (two-position control)κατάλληλο για τηδιατήρηση της ϑερmicroοκρασίας T2 σταθερής Χρησιmicroοποιείστε microόνον έναν ϑερmicroοκρασιακόmicroετρητή (για τη microέτρηση της T2)
(δ) ΄Ελεγχος τύπου PID microε ένα ϑερmicroοκρασιακό microετρητή (Θερmicroοκρασία T2)
(δ1) Επιλέξτε τον απλούστερο δυνατό κατευθυντή (τύπου (PID) που είναι ικανός για τηνεπίτευξη των προδιαγραφών (i) και (ii)
(δ2) Μπορεί ο κατευθυντής που επιλέξατε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα να ικανοποιήση καιτις προδιαγραφές (iii)(iv) και (v)
(δ3) Υποθέστε τώρα ότι ο ϑερmicroοκρασιακός microετρητής δεν είναι ιδεατός αλλά χαρακτηρίζεταιαπό microία χρονική σταθερά 1(sec) και κέρδος DC (κέρδος microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδοmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας) ίσο microε 1 Εξετάστε εάν το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στηνερώτηση (δ1) microπορεί ακόmicroη να ικανοποιήση τις προδιαγραφές (i) και (ii)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
23
(ε) Ελεγχος τύπου PID microε δύο ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T2)
Πώς ϑα microπορούσε το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάστηκε στο ερώτηmicroα (δ1) να ϐελτιωθήεάν είναι διαθέσιmicroοι δύο ιδεατοί ϑερmicroοκρασιακοί microετρητές για microέτρηση της T2 και της T0
Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του ϐελτιωmicroένου αυτού συστήmicroατος ελέγχου
(στ) Ελεγχος microε τρεις ϑερmicroοκρασιακούς microετρητές (ϑερmicroοκρασίες T0 T1 T2)
Τώρα υποθέστε ότι τρεις ιδεατοί microετρητές είναι διαθέσιmicroοι για την microέτρηση των ϑερmicroοκρασιώνT0 T1 T2 και ότι τα κέρδη τους είναι microεταβλητά και microπορούν να επιλεγουν αυθαίρετα
(στ1) Σχεδιάστε ένα σύστηmicroα ελέγχου ικανό να εξαλείψη τελείως την επίδραση της ϑερmicroοκρασί-ας περιβάλλοντος T0 και ταυτόχρονα να παρουσιάζη πεπερασmicroένο σφάλmicroα microόνιmicroηςκατάστασης στην T2 για συνάρτηση microοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς Τιπλεονέκτηmicroα παρουσιάζει η επιπρόσθετη δυνατότητα microέτρησης της ϑερmicroοκρασίαςT1
(στ2) Υποδείξτε πως microπορεί να microεταβληθεί το σύστηmicroα ελέγχου που σχεδιάσατε στο ερώτη-microα (στ1) ούτως ώστε το σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης στην T2 οφειλόmicroενο σε συνάρτησηmicroοναδιαίας ϐαθmicroίδας στην είσοδο αναφοράς να microηδενισθή
(Ϲ) Προσοmicroοίωση σε ΗΥ
Χρησιmicroοποιείστε ένα κατάλληλο λογισmicroικό πακέτο (MATLABMATRIXx ή οποιοδήπότεάλλο) για την προσοmicroοίωση της εγκατάστασης και των διαφόρων συστηmicroάτων αυτοmicroάτουελέγχου που σχεδιάσατε
Χρησιmicroοποείστε ως εισόδουςδιαταραχή συναρτήσεις ϐαθmicroίδας αλλά και άλλες συναρτή-σεις (πχ αναρρίχησης κάποιας microορφής περιοδική συνάρτηση για την ϑερmicroοκρασία T0)και επαληθεύστε τα κατά περίπτωση αποτελέσmicroατά σας
Σχολιάστε την αρχική δυναmicroική συmicroπεριφορά της εγκατάστασης και το πως ϐελτιώνεταιmicroε τα διάφορα συστήmicroατα ελέγχου Εκτυπώστε γραφικές παραστάσεις των αποκρίσεων πουυπολογίσατε microε την ϐοήθεια του ΗΥ
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
24
9η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 91 Χάραξη Τόπου των Ριζών
Θεωρείστε το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου του σχήmicroατος και χαράξτε τον τόπο των ϱιζώνγια τις παρακάτω περιπτώσεις
(α) G(s) = 10s(s2 + 3s + 9)2
(β) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 100)
(γ) G(s) = (s2 + 1)s(s2 + 225)
(δ) G(s) = (s2 + 225)s(s2 + 1)
R +-
K G(s)y
΄Ασκηση 92 Τόπος των Ριζών σε Σύστηmicroα Ελέγχου microε Ανάδραση των Μεταβλητών
Κατάστασης
Θεωρείστε το παρακάτω υδραυλικό σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου στόχος του οποίου είναιο έλεγχος της στάθmicroης h3 του ϱευστού που συγκεντρώνεται στη τρίτη δεξαmicroενή Για τηνεπίτευξη του στόχου αυτού χρησιmicroοποιείται ανάδραση των παροχών microάζας qm2 και qm3καθώς και της στάθmicroης h3 Τα κέρδη των αντίστοιχων microετρητών είναι 1 κ και 1 Η χρονικήσταθερά της πρώτης δεξαmicroενής δίνεται ίση microε 5 (secs) της δεύτερης 7 (secs)ενώ το εmicroβαδότου πυθmicroένα της τρίτης είναι 5(m2) και η πυκνότητα του ϱευστού 1000(kgm3)
(α) Χαράξτε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου καθώς το κέρδος κ τουδεύτερου microετρητή microεταβάλλεται
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
25
ρh3
h 3r
qm1
qm2
R2qm3
qm2
kqm3
ρ
ρ
g
h3
KATTH Σ
΄Ασκηση 93 Σχεδιασmicroός Σερβοmicroηχανισmicroού
Θεωρείστε το σύστηmicroα του παρακάτω σχήmicroατος Επιθυmicroούmicroε να σχεδιάσουmicroε ένασύστηmicroα ελέγχου της microετατόπισης Θ χρησιmicroοποιώντας microέτρηση του Θ και (ιδεατό) κιν-ητήρα συνεχούς ϱεύmicroατος ο οποίος ϑα ασκεί ϱοπή Τ στην αδράνεια Ι Οι προδιαγραφέςσχεδιασmicroού για το σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου είναι
(i) Σφάλmicroα microόνιmicroης κατάστασης σε είσοδο microοναδιαίας ϐαθmicroίδας microικρότερο από 01(rads)κατ΄ απόλυτον τιmicroή
(ii) Χρονικές σταθερές microικρότερες του 1(sec)
(iii) Λόγος απόσβεσης microεγαλύτερος ή ίσος του 0707
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου
(ϐ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί την προδια-γραφή (i) Εν συνεχεία υπολογίστε την χρονική σταθερά και τον λόγο απόσβεσης τουσυστήmicroατος που σχεδιάσατε και συγκρίνετέ τα microε τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάσ-τασης Τι παρατηρείτε
(γ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές(i) και(ii) Εν συνεχεία υπολογίστε τον λόγο απόσβεσης του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
(δ) Σχεδιάστε τον κατά το δυνατόν απλούστερο κατευθυντή που ικανοποιεί τις προδιαγραφές (i)και (iii) Εν συνεχεία υπολογίστε τις χρονικές σταθερές του συστήmicroατος που σχεδιάσατε
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
26
υ ΙT
θ
K
΄Ασκηση 94 Τόπος των Ριζών για Σύστηmicroα Κλειστού Βρόχου microε Κατευθυντή ΠΦ
Για παρακάτω σύστηmicroα κλειστού ϐρόχου(α) Χαράξτε τον τόπο των ϱιζών ως προς το αναλογικό κέρδος k(ϐ) Είναι δυνατόν να επιλεγή το κέρδος k ούτως ώστε ο λόγος απόσβεσης να είναι 06 Ποια είναι η απαιτούmicroενη προς τον σκοπό τούτο τιmicroή του k
Y(s)R(s) +-
s+1s+10k s +121
s (s +100)2
2KATTH Σ ΠΦ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
2
΄Ασκηση 95 Χρήση του Τόπου των Ριζών στον Σχεδιασmicroό Κατευθυντή
σε Παράλληλη ∆ιάταξη
Θεωρείστε το απλουστευmicroένο πρόβληmicroα ελέγχου προσανατολισmicroού πυραύλου κατά τηνεκτόξευση Ενδιαφερόmicroαστε συγκεκριmicroένα να σχεδιάσουmicroε ένα σύστηmicroα κλειστού ϐρό-χου το οποίο ϑα χρησιmicroοποιεί microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ και ϑα ασκή ϱοπήΤ(ως προς το κέντρο microάζας microέσω πλευρικών κινητήρων) για τον έλεγχό της Το σύστηmicroαϑα είναι παράλληλης διάταξης microε κατευθυντή ΥΦ ΠΦ ή και συνδυασmicroό των δύο και microεπροδιαγραφές
(i) Φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ίση microε 5 (radssec)(ii) Λόγος απόσβεσης 0707(iii) Χρονικές σταθερές microικρότερες από 05 (sec)
(α) Σχεδιάστε το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστήmicroατος κλειστού ϐρόχου(ϐ) Ποιον από τους προαναφερθέντες τύπους κατευθυντή ϑα επιλέγατε στην περίπτωση
αυτή και γιατί (απαντείστε χωρίς να κάνετε υπολογισmicroούς)(γ) Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών για τον σχεδιασmicroό του συστήmicroατος
κλειστού ϐρόχου ούτως ώστε να ικανοποιούνται ει δυνατόν οι προδιαγραφές (i) και (ii)(δ) Ικανοποιεί την προδιαγραφή (iii) το σύστηmicroα που σχεδιάσατε στην προηγούmicroενη
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
27
ερώτηση
(ε) Υποθέστε τώρα ότι η microέτρηση της γωνίας προσανατολισmicroού Θ δεν είναι ιδεατή αλλάγίνεται microέσω συσκευής microε χρονική σταθερά 01(sec) Πώς ϑα πρέπει να microεταβληθή ο κα-τευθυντής που σχεδιάσατε προκειmicroένου να εξακολουθήση να ικανοποιή τις προδιαγραφές(i) και (ii)
Είναι δυνατόν να ικανοποιείται και η (iii) (Χρησιmicroοποιείστε την microέθοδο του τόπου των ϱιζών)
TKέντρο microάζας
πλευρικοίκινητήρες
Θ
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
28
10η ΟΜΑ∆Α
΄Ασκηση 101
Χαράξτε τα διαγράmicromicroατα Bode των παρακάτω συναρτήσεων microεταφοράς (α) G(s) = (002s + 1)3(10s + 1)(ϐ) G(s) = 10s(s + 10)(s + 100)(γ) G(s) = 4s(s2 + 10s + 100)(δ) G(s) = s2(s + 05)(s + 02)(s2 + s + 100)
΄Ασκηση 102
Χρησιmicroοποιείστε το κατάλληλο διάγραmicromicroα Bode για τον προσεγγιστικό υπολογισmicroό τωντιmicroών κέρδους κ του αναλογικού κατευθυντή για τις οποίες το σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχουτου σχήmicroατος είναι ευσταθές Επαληθεύστε ποιοτικά την απάντησή σας χρησιmicroοποιώνταςτη microέθοδο του τόπου των ϱιζών
R(s)+ -
kY(s)
s+1s3
s+1s+10
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
29
ΛΥΣΕΙΣ
1η ΟΜΑ∆Α
Λύση 12
(α) ῾῾Προσεγγιστική᾿᾿ τοποθέτηση καmicroπίνας
K ινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα θέση
καmicroπίνας
∆ιακόπτης(Κατευθυντής
τύπουΑνοικτόΚλειστό
ΤΕΛΙΚΟΣΤΟΙΧΕΙΟΕΛΕΓΧΟΥ
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Στη περίπτωση αυτή η ϑέση της καmicroπίνας umlmicroετράταιuml διακριτά microέσω microοχλών τοποθετη-microένων σε κάθε όροφο Ο microοχλός αυτός δρα σαν κατευθυντής ανοικτούκλειστού τύπου(κλειστός όταν η καmicroπίνα δεν είναι στο επίπεδο ορόφου ανοικτός όταν είναι)
(ϐ) Ακριβής τοποθέτηση καmicroπίνας
Ενισχυτής Κινητήρας Ανελκυστήραςκαmicroπίνα
Αισθητήριοθέσης
αναφοράςθέση
ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ ΤΕΛΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑΕΛΕΓΧΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
θέση καmicroπίνας
Η ακριβής ϑέση της καmicroπίνας microπορεί να microετράται microε διάφορους τρόπους Ενας απλόςέmicromicroεσος τρόπος είναι microε microέτρηση του συρmicroατόσχοινου
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
30
Λύση 15
Πρόγραmicromicroακαθοδήγησης DA Eνισχυτής Κινητήρας Φορτίο
Ταχύmicroετρο
Αισθητήριοθέσης
(Encoder)
HY
+
-
τάση υ1
τάση υ 2
ΤΕΛΣΤΟΙΧΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΚΑΤΕΥΘΥΝΤΗΣ
Σχήmicroα 1 ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού Βρόχου
DA Μετατροπέας ψηφιακού σήmicroατος σε αναλογικόΣηmicro Ο ενισχυτής εκτελεί ουσιαστικά σύγκριση των τάσεων U1και U2 και ενισχύει τη
διαφορά τους U1 minus U2
2η ΟΜΑ∆Α
Λύση 26
Ισοδύναmicroο σύστηmicroα χωρίς γρανάζια microε αναγωγή στον δεξιό άξονα
k2 c 2T θΙ
k1 11
θ12
c1I12 =0I I32
θ 2 θ3
όπου T prime = N middot T I prime1 = I1N2
θprime1 = θ1Nkprime1 = k1N
2
Είναι ϕανερό ότι η γωνιακή microετατόπιση σηmicroείου microεταξύ του ελατηρίου kprime1 και του α-ποσβεστήρα c1 δεν περιγράφεται συναρτήσει των υπολοίπων ορισmicroένων microετατοπίσεων καιπρέπει να ορισθεί ανεξάρτητα Εστω ότι η microετατόπιση αυτή καλείται θ12 (ϐλδιάγραmicromicroα)Για την κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης υποθέτω ότι στο σηmicroείο αυτό ευρίσκεταιαδράνεια microηδενικού microέτρου (I12 = 0 ) (ϐλ διάγραmicromicroα)
Υπόθεση θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
θprime1 gt θ12 gt θ2 gt θ3 gt 0
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
31
∆ιαγράmicromicroατα ελευθέρου σώmicroατος
I1θ1Τ
Ι =012
Με εφαρmicroογή του νόmicroου του Νεύτωνα
I prime1 middot θprime1 = T prime minus kprime1(θprime1 minus θ12)
I12 middot θ12 = 0 = kprime1(θprime1 minus θ12)minus c1(θ12 minus θ2)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
και η τελική microορφή των εξισώσεων προκύπτει microετά από αντικατάσταση των T prime θprime1 kprime1
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
32
I1 middotN2 1N
θ1 = N middot T minus k1N2(
θ1
Nminus θ12
) rArrrArr I1 middot θ1 minus T minus k1(ϑ1 minusN middot θ12)
0 = k1N2(
θ1
Nminus θ12
)minus c1
(˙θ12 minus θ2
)
I2 middot θ2 = c1(θ12 minus θ2)minus k2(θ2 minus θ3)
I3 middot θ3 = k2(θ2 minus θ3)minus c2θ3
Εξισώσεις κίνησης
Σχετικά microε τον αριθmicroό ϐαθmicroών ελευθερίας Είναι προαφές ότι απαιτούνται 4 ανεξάρτητεςmicroεταβλητές (θ1 θ12 θ2 θ3) για την καθορισmicroό της ϑέσης του συστήmicroατος Παρά ταύταεπειδή η αδράνεια I12 είναι microηδενική συνηθίζεται το σύστηmicroα να αναφέρεται σαν 31
2ϐα-
ϑmicroών ελευθερίας
Λύση 27
+-υ
R L
i+-
υb
Νόmicroος Kirchoff υ = υR + υL + υb rArr
rArr υ = iR + Ldi
dt+ Kb middot ω (1)
I 1
T θ 1
Υποθέσεις θ1 gt θ2 gt 0
θ1 gt θ2 gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα I1 middot θ1 = T minus k(θ1 minus θ2) rArr
rArr I1 middot θ1 + k(θ1 minus θ2) = kT middot i (2)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
33
Cθ2
θ2I2
k(θ -θ )1 2
Νόmicroος Νεύτωνα I2 middot θ2 = k(θ1 minus θ2)minus c middot θ2 rArr
rArr I2 middot θ2 + c middot θ2 minus k middot (θ1 minus θ2) = 0 (3)
Το microοντέλο του συστήmicroατος αποτελείται από τις εξισώσεις (1)-(3) Σαν είσοδος ϑεωρείταιη τάση υ ενώ οι microεταβλητές i θ1 θ2 microπορούν να εκληφθούν σαν έξοδοι
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
34
3η ΟΜΑ∆Α
Λύση 33
Εξισώσεις διατήρησης microάζας
dm1
dt= qm1 minus qmR1 ∆εξαmicroενή 1 (1)
dm2
dt= qmR1 + qm2 minus qmR2 ∆εξαmicroενή 2 (2)
οπου qmR1 qmR2 παροχές microάζας δια microέσου των υδραυλικών αντιστάσεων R1 και R2
αντίστοιχα
Εξισώσεις υδραυλικών αντιστάσεωνgh1 = R1 middot qmR1 rArr qmR1 = gh1R1
gh2 = R2 middot qmR2 rArr qmR2 = gh2R2
Επίσης m1 = A1h1
m2 = A2h2
Με αντικατάσταση όλων των ανωτέρω στις (1) και (2) έχουmicroεA1h1 = qm1 minus g
R1h1
A2h2 = gR1
h1 + qm2 minus gR2
h2
∣∣∣∣∣∣
(1α)
(2α)
Οι εξισώσεις (1α) και 2α) αποτελούν το microοντέλο του συστήmicroατος Με την επιλογή τωνh1 h2 ως microεταβλητών κατάστασης οι (1α) και (2α) είναι ήδη στο χώρο κατάστασης Οιεξισώσεις αυτές microπορούν να γραφούν και σε διανυσmicroατική microορφή ως εξής
ddt
[h1
h2
]=
[ minusgA1R1 0gA2R1 minusgA2R2
] [h1
h2
]+
[1A1 00 1A1
] [qm1
qm2
]
[h1
h2
]=
[1 00 1
] [h1
h2
]
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
35
Λύση 36
qh1
qhC2T2
i i
C1T1θερmicroική αντίσταση R2
θερmicroική αντίσταση R1
T3
Υπόθεση T2 T1 T3
qh2
R
Εστω qh η παροχή ϑερmicroότητας που προέρχεται από την ηλεκτρική αντίσταση qh1 ηπαροχή ϑερmicroότητας microέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R1 και qh2 η παροχή ϑερmicroότηταςmicroέσω της ϑερmicroικής αντίστασης R2 Οι ϑετικές ϕορές των παροχών αυτών δείχνονται στοσχήmicroα και είναι συmicroβατές microε την ϑερmicroοκρασιακή υπόθεση που έγινε
Εφαρmicroόζουmicroε τώρα διατήρηση ϑερmicroικής ενέργειας για κάθε ϑερmicroοχωρητικότητα
Θερmicroοχωρητικότητα C1 d
dt(C1 middot T1) = qh2 minus qn1 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C2 d
dt(C2 middot T2) = qh minus qn2 (2)
Επιπρόσθετα
qh = i2 middotR Ηλεκτρική αντίσταση (3)
qh1 =T1 minus T3
R1
Θερmicroική αντίσταση R1 (4)
qh2 =T2 minus T1
R2
Θερmicroική αντίσταση R2 (5)
Η τελική microορφή του microοντέλου προκύπτει από την αντικατάσταση των (3)-(5) στις (1) και(2)
c1 middot dT1
dt= T2minusT1
R2minus T1minusT3
R1
c2 middot dT2
dt= i2 middotRminus T2minusT1
R2
∣∣∣∣∣∣
είσοδοι T3 i (6)
έξοδοι T1 T2 (7)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
36
4η ΟΜΑ∆Α
Λύση 43
Μαθηmicroατικό microοντέλο
Iθ + cθ + kθ = T rArr θ + 4θ + 3θ = T (1)
Εξαναγκασmicroένη απόκριση
Υπολογίζουmicroε την ϐαρυτική συνάρτηση h(t)
χαρ εξίσωση λ2 + 4λ + 3 = 0 rArr λ1 = minus1 λ2 = minus3
Βαρυτική συνάρτηση h(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
microεh(0) = 0
h(0) = 1
rArr c1 + c2 = 0
minusc1 minus 3c2 = 1
rArr c1 = 12
c2 = minus12
άρα
h(t) =1
2eminust minus 1
2eminus3t (t ge 0) (2)
Η εξαναγκασmicroένη απόκριση υπολογίζεται από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξηςδεξ(t) =
int t
0h(tminus τ) middot x(τ) middot dτ =
int t
012
(eminus(tminusτ) minus eminus3(tminusτ)
) middot (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
int t
0eτ middot (1 + τ) middot dτ minus 1
2eminus3t
int t
0e3τ (1 + τ) middot dτ
= 12eminust
[τ middot eτ
]t
τ=0minus 1
2eminus3t
[13e3τ (1 + τ)minus 1
9e3τ
]t
τ=0
= 12eminustt middot et minus 1
6eminus3t
[e3t(1 + t)minus 1
]+ 1
18eminus3t middot
[e3t minus 1
]
= 12tminus 1
6(1 + t) + 1
6eminus3t + 1
18minus 1
18eminus3t =
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
37
= minus1
9+
1
3t +
1
9eminus3t (3)
(t ge 0)
Ελεύθερη απόκριση
yελ(t) = c1eminust + c2e
minus3t (t ge 0)
yελ(0) = 0 hArr c1 + c2 = 0yελ(0) = 2 hArr minusc1 minus 3c2 = 2
rArr c1 = 1
c2 = minus1
Εποmicroένως yελ(t) = eminust minus eminus3t (t ge 0) (4)
Συνολική απόκριση
y(t) = yελ(t) + yεξ(t) = minus1
9+
1
3t + eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (5)
Τmicroήmicroα Μόνιmicroης Κατάστασης
yss(t) =1
9+minus1
3t (t ge 0) (6)
Μεταβατικό τmicroήmicroα
yτ (t) = eminust minus 8
9eminus3t (t ge 0) (7)
Λύση 45
Κατάστρωση microαθηmicroατικού microοντέλου
Υπόθεση x gt y gt 0x gt y gt 0
Νόmicroος Νεύτωνα
my = c2(xminus y) + k2(xminus y)minus k1y minus c1y rArr
rArr my + (c1 + c2)y + (k1 + k2)y = k2x + c2x
rArr y + 3y + 4y = 2x + 2x (1)
Υπολσmicroός ϐαρυτικής συνάρτησης του συστήmicroατος y + 3y + 4y = x
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
38
y
m
Χαρακτηριστική λ2 + 3λ + 4 = 0 rArr λ12 = minus3plusmnjradic
72
και η ϐαρυτική είναι της microορφής
h1(t) = eminus32t[(α + jβ) middot ej
radic7
2t + (αminus jβ) middot eminusj
radic7
2(t)]
rArr h1(t) = eminus32t[(α + jβ)
(cos
radic7
2t + jsin
radic7
2t)
+ (αminus jβ) middot (cosradic
72
tminus jsinradic
72
t)]
rArr h1(t) = eminus32t[2α middot cos
radic7
2tminus 2β middot
radic7
2t]
rArr h1(t) = 2eminus32t middot
[α middot
radic7
2tminus β middot sin
radic7
2t]
(t ge 0) (2)
Τα α β υπολογίζονται απο τις συνθήκες
h1(0) = 0 rArr 2α = 0 rArr α = 0 (3)
h1(0) = 1 rArr +3eminus32t middot βsin
radic7
2tminus 2eminus
32t middot β middot cos
radic7
2t middot
radic7
2 t=0 = 1
rArr minus2 middot βradic
72
= 1 rArr β = minus1radic
7 (4)
Εποmicroένως
h1(t) =2radic7eminus
32t middot sin
radic7
2t (t ge 0) (5)
Υπολσmicroός εξαναγκασmicroένης απόκρισης του y + 3y + 4y = 2x + 2x
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
39
Από το ολοκλήρωmicroα συνέλιξης
yεξ(t) =
int t
0
h1(tminus τ) middot[2x(τ) + 2
dx(τ)
dτ
]middot dτ (6)
Εποmicroένως ϑα έχουmicroε
α) Χρονικό διάστηmicroα [0 1]
yεξ =2radic7
int t
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ (7)
ϐ) Χρονικό διάστηmicroα [1 3)
yεξ(t) =2radic7
int 1
0
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ+
+2radic7
int t
1
eminus32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ (8)
γ) Χρονικό διάστηmicroα [3infin)
yεξ(t) = 2radic7
int 1
0eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2τ + 2] middot dτ
+ 2radic7
int 3minus
1eminus
32(tminusτ) middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [2 + 0] middot dτ
+ 7radic7
int t
3minus eminus32(tminusτ middot sin
radic7
2(tminus τ) middot [0 + 2 middot δ(τ minus 3)] middot dτ
(9)
Το microεταβατικό τmicroήmicroα της απόκρισης αποτελείται από την (7)(8) και το τmicroήmicroα της (9)που τείνει στο microηδέν για t rarrinfin Το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης είναι το microέρος της (9) πουδεν microηδενίζεται για t rarrinfin
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
40
5η ΟΜΑ∆Α
Λύση 55
bull Μοντελοποίηση του υδραυλικού συστήmicroατος
d
dt(A middot h middot ρ) = qm minus qprimem (1)
όπου qprimem παροχή microάζας από τη δεξαmicroενή προς το περιβάλλονΑπό την αντίσταση στρωτής ϱοής
qprimem =gh
R(2)
και αντικαθιστώντας την (2) στην (1) έχουmicroε
A middot middot h +g
Rh = qm rArr h +
g
RAmiddot h =
1
Amiddot qm rArr h + 001h = 10minus5 middot qm (3)
bull Μετσmicroός Laplace της εισόδου
Μέθοδος Α Παρατηρούmicroε ότι η είσοδος περιγράφεται ως
qm(t) = 4r(t)minus 8r(tminus 2) + 4r(tminus 4) (4)
microε r(t) = t (συνάρτηση αναρρίχησης)Εποmicroένως χρησιmicroοποιώντας τις ιδιότητες του microετσmicroού Laplace και λαmicroβάνοντας
υπόψιν ότι R(s) = 1s2 έχουmicroε από την (4)
Qm(s) =4
s2minus 8
s2eminus2s +
4
s2eminus4s (5)
Μέθοδος ΒΕφαρmicroόζουmicroε τον ορισmicroό του microετσmicroού
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
41
Qm(s) =intinfin
0qm(t) middot eminusst middot dt
=int 2
04teminusstdt +
int 4
2(minus4t + 16)eminusstdt
= 4minus2
seminus2s + 1
s2 minus 1s2 e
minus2sminus 4
minus1
s(4eminus4s minus 2eminus2s)
minus 1s2
(eminus4s minus eminus2s
)+ 16
(minus1s
)middot
eminus4s minus eminus2s
= 4s2 minus 8
s2 eminus2s + 4
s2 eminus4s
(6)
bull Υπολογισmicroός της απόκρισης
Από την (3)
H(s) =10minus5
s + 001Qm(s) rArr
rArr H(s) =4 middot 10minus5
s + 001
1
s2
[1minus 2 middot eminus2s + eminus4s
](7)
Ορίζοντας σαν
f(t) = Lminus1
[4 middot 10minus5
(s + 001)s2
](8)
και χρησιmicroοποιώντας ιδιότητες του microετσmicroού Laplace η (7) δίνει
h(t) = f(t)minus 2f(tminus 2) + f(tminus 4) (t gt 4) (9)
Οσον αφορά την (8) έχουmicroε
f(t) = 4 middot 10minus5 middot[minus104 middot u(t) + 102 middot t + 104eminus001t
]rArr
rArr f(t) = 4
[minus10minus1 middot u(t) + 10minus3t + 10minus1eminus001t
](10)
(u(t) 1 t gt 0)
και εποmicroένως microε αντικατάσταση στην (9)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
42
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t
]0 le t le 2
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2 middot u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)minus 2eminus001(tminus2)
]2 le t le 4
h(t) = 4 middot 10minus1
[minusu(t) + 10minus2t + eminus001t + 2u(tminus 2)minus 2 middot 10minus2 middot (tminus 2)
minus 2eminus001(tminus2) minus u(tminus 4) + 10minus2(tminus 4) + eminus001(tminus4)
]4 le t le infin
(11)Παρατηρείστε ότι ολόκληρη η απόκριση είναι microεταβατική (το τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάσ-
τασης είναι microηδέν)
Λύση 56
∆ιαφορική Εξίσωση
my + c middot y + ky = f rArr y + 4y + 8y = f (1)
Μετσmicroός Laplace
[s2Y (s)minus s middot y(0)minus y(0)] + 4[s middot Y (s)minus y(0)] + 8 middot Y (s) = F (s) rArr
rArr Y (s) =1
s2 + 4s + 8+
1
s2 + 4s + 8F (s)
και για F (s) = 2s
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)(2)
Αντίστροφος microετσmicroος Laplace
Y (s) =s + 2
s(s2 + 4s + 8)=
A
(s + 2minus 2j)+
Alowast
(s + 2 + 2j)+
B
s
όπου
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
43
A = s+2s(s+2+2j)
s=minus2+2j
= 2j(minus2+2j)4j
= 14(minus1+j)
= minus1minusj8
B = s+2s2+4s+8
s=0
= 14
και εποmicroένως
y(t) =1
8
[(minus1minus j)e(minus2+2j)t + (minus1 + j)e(minus2minus2j)t
]+
1
4u(t) =
=1
8eminus2t
[(minus1minus j)(cos2t + jsin2t) + (minus1 + j)(cos2tminus jsin2t)
]+
1
4u(t)
=1
8eminus2t
[minus2cos2t + 2sin2t
]+
1
4u(t) (t ge 0) (3)
Τmicroήmicroα microεταβατικό
yτ (t) =1
8eminus2t[minus2cos2t + 2sin2t] (t ge 0) (4)
Τmicroήmicroα microόνιmicroης κατάστασης
yss(t) =1
4u(t) (t ge 0) (5)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
44
6η ΟΜΑ∆Α
Λύση 65
∆ιαφορική εξίσωση
Iθ + cθ + κθ = 0 rArr θ + cθ + 4θ = 0 (1)
Εχουmicroε εποmicroένως ένα τυπικό σύστηmicroα 2ης τάξης Συγκρίνοντας microε την τυπική microορφήτης εξίσωσης 2ης τάξης
θ + 2ζωnθ + ω2nθ = 0
έχουmicroε
ωn = 22ζωn = c
=rArr ωn = 2(rs)
ζ = c4
Προδιαγραφές(α)
Mp le 20 rArr ζ ge 046 (ϐλ σχ6-23 ϐιβλίου)
Αρα c
4ge 046 rArr c ge 184 (2)
(ϐ)tr =
π minus β
ωn
radic1minus ζ2
=π minus β
2radic
1minus ζ2le 3(secs)
όπουβ = cosminus1(ζ) microε 0 le β le π2
Κάνουmicroε γραφική παράσταση του χρόνου ανύψωσης tr συναρτήσει του J από τηνοποία έχουmicroε
tr le 3(secs) hArr J le 09
Αρα c
4le 09 rArr c le 36 (3)
(γ)ts =
4
ζωn
=4
2ζ=
2
ζle 3(secs) rArr ζ ge 2
3
Αρα c
4ge 2
3rArr c ge 8
3(4)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
45
ζ
tr
3
0095
Μπορούmicroε να επιλέξουmicroε εποmicroένως το c στο διάστηmicroα [267 36]
Λύση 66
(α) Εξισώσεις ΚατάστασηςΕπιλέγουmicroε τις στάθmicroες h1 h2 σαν microεταβλητές κατάστασης Οι εξισώσεις του υδραυλικού
συστήmicroατος είναι
d
dt(A1h2) = qm minus qm1 (1)
d
dt(A2h2) = qm1 minus qm2 (2)
qm1 =gh1
R1
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR1 (3)
qm2 =gh2
R2
ϱοή microέσω στρωτής αντσηςR2 (4)
Με αντικατάσταση των δύο τελευταίων στις (1)(2) έχουmicroε
A1h1 = qm minus gR1
h1
A2h2 = gR1
h1 minus gR2middot h2
rArr
h1 = minus gR1A1
middot h1 + 1A1
qm (5α)
h2 = minus gR2A2
middot h2 + gR1A2
middot h1 (5β)
ή σε διανυσmicroατική microορφή
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
46
d
dt
[h1
h2
]=
[minusgR1A1 0gR1A2 minusgR2A2
][h1
h2
]+
[1
A1ρ
0
]gm (6α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
] Εξοδοι (6β)
Αριθmicroητική αντικατάσταση
d
dt
[h1
h2
]=
[minus106 0108 minus1016
][h1
h2
]+
[1
60000
]qm (7α)
[h1
h2
]=
[1 00 1
][h1
h2
](7β)
ϐ) Στάθmicroη στη δεύτερη δεξαmicroενή
Παίρνοντας microετσmicroό Laplace των (5)
(s + 106) middotH1(s) = 1
6000middotQm(s)
(s + 1016
) middotH2(s) = 108middotH1(s)
rArr
(s + 10
16
)middotH2(s) = 10
8middot 1
60001
s+ 106
middotQm(s)
rArr(s +
10
6
) (s +
10
16
)
︸ ︷︷ ︸s+ 220
96middots+ 100
96
middotH2(s) = 14800
Qm(s) (8)
Για qm(t) = 2u(t) rArr Qm(s) = 2s και εποmicroένως
H2(s) =1
4800
(s + 106)(s + 10
16)middot 2
s=
1
2400
0 96
s+
0 576
s + 106
minus 1 536
s + 1016
rArr h2(t) = 12400
middot
0 96u(t)+0 576eminus106
tminus1 536eminus1016
t
(t ge 0) (9)
γ) Χαρακτηριστικά συστήmicroατος΄Εχοντας δύο πραγmicroατικούς πόλους s = minus10
6minus10
16το σύστηmicroα έχει χρονικές σταθερές
τ1 = 0 6(secs) τ2 = 1 6(secs)Συγκρίνοντας το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο στην (8) microε την τυπική microορφή s2+2ζωns+
ω2n έχουmicroε
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
47
ω2n =
100
96rArr wn = 10
radic96 (rs)
2ζωn =220
96rArr ζ =
220 middot radic96
2 middot 96 middot 10=
22
2 middot radic96= 11
radic96 gt 1
ωd δεν ορίζεται για σύστηmicroα microε υπερ-απόσβεση
Λύση 67
Re-3-5 -2x
x
x
x
x
Im2jj
-j-2j
s = minus2 τ = 05(sec)
s = minus3plusmn j τ = 033(sec)
ωn =radic
10(rs)
ζ = 3radic
10
ωd =radic
10 middot radic1minus 09 = 1(rs)
s = minus5plusmn 2j τ = 02(sec)
ωn =radic
29(rs)
ζ = 5radic
29
ωd =radic
29 middotradic
1minus 2529
=radic
29 2radic29
= 2(rs)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
48
7η ΟΜΑ∆Α
Λύση 72
(α) Συνάρτηση microεταφοράς
1s+α11s
1s b3
X +-
y+
b1 s2 +b 2 s
α2
α 3
Χ 1s 3 + α1 s 2 + α 2 s + α 3
b 1 s2 + b 2 s + b3Y
ΕποmicroένωςY (s)
X(s)=
b1s2 + b2s + b3
s3 + α1s2 + α2s + α3
(ϐ) ∆ιαφορική εξίσωσηΑπό τη συνάρτηση microεταφοράς
(s3 + α1s2 + α2s + α3) middot Y (s) = (b1s
2 + b2s + b3) middotX(s)
και εποmicroένως η διαφορική είναι y + α1y + α2y + α3y = b1x + b2x + b3x
(γ) Εξισώσεις κατάστασηςΑπό το δοθέν διάγραmicromicroα κατάστασης επιλέγοντας κατά τα γνωστά microεταβλητές κατάσ-
τασης τις εξόδους των ολοκληρωτών έχουmicroε
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
49
z1 = xminus α1z1 minus α2z2 minus α3z3
z2 = z1
z3 = z2
y = b1z1 + b2z2 + b3z3
και δε διανυσmicroατική microορφή
z1
z2
z3
=
minusα1 minusα2 minusα3
1 0 00 0 0
middot
z1
z2
z3
+
100
x
y = [b1 b2 b3]
z1
z2
z3
Λύση 75
Γιατ lt bminus1 rArr minus1
τlt minusb rArr Re[πόλων] lt minusb (1)
Im
Για τον προσδιορισmicroό των συνθηκώνπου ικανοποιούν την (1) ϑ΄ εφαρmicroόσουmicroετο κριτήριο Routh-Hourwitz ως προςτην ευθερία s = minusb Προκειmicroένου ναγίνη αυτό χρειαζόmicroαστε τον microετmicroό
z = s + b (z isin) (2)
και η χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου microπορεί να γραφή ως εξής σαν συνάρτησητου z
(z minus b) middot [T (z minus b) + 1] + k = 0 rArr
rArr T middot z2 + (1minus 2bT )z + (b2T + k minus b) = 0 (3)
Η αναγκαία και ικανή συνθήκη για ευστάθεια
z2
z1
z0
∣∣∣∣∣T (b2T + k minus b)(1minus 2bT )(b2T + k minus b)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
50
Αρα
T gt 0 (4α΄)
1minus 2bT gt 0 hArr T lt1
2b(4β΄)
b2T + k minus b gt 0 lArrrArr k gt b(1minus bT ) (4γ΄)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
51
8η ΟΜΑ∆Α
Λύση 85
Η συνάρτηση microεταφοράς της εγκατάστασης είναι (M middot L middot s2 minus (M + m)g
)middot θ(s) = F (s) rArr θ(s)
F (s)=
1
1200s2 minus 700(1)
η οποία είναι προφανώς ασταθής Πρωταρχικός microας στόχος είναι εποmicroένως η ευστάθειακαι για την επίτευξή της ϑα επιχειρήσουmicroε έλεγχο PD
Σύστηmicroα κλειστού ϐρόγχου microε κατευθυνή PD Εν Σειρά
1200 s2 - 7001Kp+ k sD 1
FΘΑΝΑΦ
ΚΑΤΤΗΣ ΤΕΛΣΤΕΛ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Θ+-
Η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου είναι
Θ(s)
ΘΑΝΑΦ(s)=
Kp+KDs
1200s2minus700
1 + Kp+KDs
1200s2minus700
=Kp + KDs
1200s2 + KDs + (Kp minus 700)(2)
Συγκρίνοντας το χαρπολυώνυmicroο της (2) microε το τυπικό χαρ πολυώνυmicroο δευτέρας τάξεωςέχοmicroε
2ζwn = KD
1200
ω2n = Kpminus700
1200
(3)
(4)
Προδιαγραφή (ii)
Για χρόνο αποκατάστασης ίσο microε 8 secs κατά το κριτήριο 2 έχουmicroε
ts =4
ζωn
(5)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
52
Η σχέση αυτή ισχύει πραγmicroατικά στην παρούσα περίπτωση Με αντικατάσταση της (3)στην (5)
ts =4 middot 2 400
KD
sim= 8 rArr KDsim= 1 200 (6)
Προδιογραφή (i) Από την (3) και για KD = 1200 έχουmicroεζωn = 1
2και για ζ = 0707 ωn = 1
2middot0707= 1radic
2
Αντικαθιστώντας την σχέση αυτή στην (4) παίρνουmicroε
Kp minus 700
1200=
1
2rArr Kp minus 700 = 600 rArr Kp = 1 300
Ερώτηση Είναι δυνατόν να σχεδιασθεί το σύστηmicroα κατά διαφορετικό τρόπο (ή να τροποποι-ηθεί κατάλληλα ο παραπάνω σχεδιασmicroός) προκειmicroένου να έχουmicroε ακριβή ικανοποίηση τηςπροδιαγραφής (ii)
Λύση 86
(α) ∆υναmicroικό Μοντέλο Εγκατάστασης
Θερmicroική παροχή προερχόmicroενη από ηλαντίσταση
qh = R middot i2 (1)
Θερmicroοχωρητικότητα C1
C1 middot dT1
dt= qh minus qh1 (2)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C1 προς την C2
Από την ϑερmicroική αντίσταση
qh1 =1
R1
(T1 minus T2) (3)
Θερmicroοχωρητικότητα C2C2 middot dT2
dt= qh1 minus qh2 (4)
όπου qh2 είναι η ϑερmicroική παροχή από την C2 προς το περιβάλλον Από την σχέση τηςϑερmicroικής αντίστασης
qh2 =1
R2
(T2 minus T0) (5)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
53
Το microοντέλο προκύπτει από την αντικατάσταση των (1)(3) στην (2) και την (3)(5) στην(4)
C1 middot dT1
dt=minus1
R1
(T1 minus T2) + i2R rArr C1 middot dT1
dt+
1
R1
middot T1 = i2R +1
R1
T2 (6α΄)
C2 middot dT2
dt+
(1
R1
+1
R2
)middot T2 =
1
R1
T1 +1
R2
To (6β΄)
Αλλάζοντας το i2(t) σε x(t) και αντικαθιστώντας τις τιmicroές των microεγεθών έχουmicroε
100 middot dT1
dt+ T1 = 1000x + T2 (7α΄)
100 middot dT2
dt+ 2T2 = T1 + To (7β΄)
(ϐ)∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα ΕγκατάστασηςΕφ όσον επιθυmicroούmicroε τον έλεγχο της T2 η microεταβλητή αυτή λαmicroβάνεται σαν microεταβλητή
εξόδου Η ϑερmicroοκρασία του περιβάλλοντος απότελεί διαταρχή Από τον microετσmicroό Laplaceτης (7α) έχουmicroε
(100s + 1)T1 = 100X + T2 rArr T1(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1middot T2(s) (8α΄)
και από την (7β)
(100s + 2) middot T2 = T1 + T0 (8β΄)Με αντικατάσταση της (8α) στην (8β) έχουmicroε
(100 middot s + 2) middot T2(s) =1000
100s + 1middotX(s) +
1
100s + 1T2(s) + To(s) rArr
rArr (100s + 1)(100s + 2) middot T2(s)minus T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s)
rArr (104 middot s2 + 300 middot s + 1) middot T2(s) = 1000X(s) + (100s + 1) middot To(s) (9)
Χαρακτηριστική εξίσωση εγκατάστασης
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
54
s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4 = 0 rArr s1 = minus038x10minus2
s2 = minus262x10minus2
Αρα χρονικές σταθερές
τ1 =100
038sim= 263(secs)
τ2 =100
262sim= 38(secs)
(γ)΄Ελεγχος δύο-ϑέσεων microε microετρητή T2
T2r +- ye
x
0
T 0
T2
1
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
T2r επιθυmicroητή έξοδος (είσοδος αναφοράς) (δ)
(δ)Ελεγχος τύπου PID microε microέτρηση της T2
(δ1) Στην περίπτωση αυτή Gs(s) = 1Ας εξετάσουmicroε εάν ένας αναλογικός (P ) καττής επαρκεί Στην περίπτωση αυτή ε-
ποmicroένως έχουmicroεGc(s) = kp (10)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=10minus1Kp
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(11)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
55
T2r +-
T 0
T2
10 -1s + 10 -3
++ s2+310 -2s + 10 -410 -1
KATΤΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
και
Ye = T2r minus T2 =s2 + 3 middot 10minus2s + 10minus4
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)middot T2r (12)
Το ϑεώρηmicroα τελικής Τιmicroής εφαρmicroόζεται όταν Kp gt 0και για T2r(s) = 1s δίνει
(ye)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1Kp
lt 10minus2 rArr 1 + 10minus3kp gt 102 rArr Kp gt 0099 (13)
Προδιαγραφή(ii)
T2
T0
=(10minus1s + 10minus3
)middot 10minus1
s2 + 3 middot 10minus2s + (10minus4 + 10minus1kp)(14)
Το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής είναι και πάλι εφαρmicroόσιmicroο για kp gt 0 T0(s) = 1s οπότε
(T2)ss =10minus4
10minus4 + 10minus1kp
lt 10minus2 rArr kp gt 0099 (15)
Συmicroπέρασmicroα Ενας αναλογικός καττής microε κέρδος Kp gt 0 099 ικανοποιεί τις προδια-γραφές (i) και (ii)
(δ2)Προδιαγραφή (iii)Από την προδιαγραφή
Mp lt 10 rArr ζ gt 060 (16)
Από την χαρακτηριστική εξίσωση κλειστού ϐρόγχου (ϐλ(ΙΙraquo έχουmicroε
ω2n = 10minus4 + 10minus1Kp
2ζωn = 3 middot 10minus2
rArr ζ =
3 middot 10minus2
2radic
10minus4 + 10minus1kp
gt 060 rArr Kp lt 525 middot 10minus3 (17)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
56
Προδιαγραφή (iv)
τ lt 20(secs) rArr minus1
τlt minus 1
20rArr Re[πόλων] lt minus120 (18)
-
Χρησιmicroοποιούmicroε τον microετσmicroόz = s +
1
20(19)
microέσω του οποίου το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου γράφεται ως (z minus 1
20
)2
+ 3 middot 10minus2 middot(z minus 1
20
)+ (10minus4 + 10minus1kp) =
= z2 minus 101z + 3 middot 10minus2z +(25 middot 10minus4 minus 15 middot 10minus3 + 10minus4 + 10minus1Kp
)
= z2 minus 7 middot 10minus2z+(11 middot 10minus4 + 10minus1kp
)(20)
Η αναγκαία συνθήκη του κριτηρίου Routh-Hurwitz δεν πληρούται καθότι ο συντελστήςτου z είναι αρνητικός Εποmicroένως δεν υπάρχει τιmicroή του kp για την οποία όλοι οι πόλοικλειστού ϐρόγχου έχουν πραγmicroατικό microέρος microικρότερο του minus120 και η προδιαγραφή(iv)δεν ικανοποιείται microε κατκή Ρ
Προδιαγραφή (V)Από τις εξισώσεις (6) έχουmicroε για To(s) = 0
(100s + 1)T1 = 1000X + T2
(c2 middot s + 2) middot T2 = T1
rArr T1 = 1000
100s+1middotX + T2
100s+1
(c2 middot s + 2) middot T2 = T2
100s+1+ 1000
100s+1X
και εποmicroένως
T2(s)
X(s)=
1000
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + 1(21)
Για καττή Gc(s) = Kp η συνάρτηση microεταφοράς κλειστού ϐρόγχου γράφεται
T2
T2r
=1000Kp
100c2 middot s2 + (c2 + 200)s + (1000Kp + 1)(22)
Το ϑεώρηmicroα τελικής τιmicroής είναι εφαρmicroόσιmicroο για T2r(s) = 1s και στην περίπτωση τηςσυνάρτησης microεταφοράς του σφάλmicroατος δίνει
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
57
Ye(s)
T2r(s)
=100 middot c2 middot s2 + (c2 + 200) middot s + 1
100 middot c2s2 + (c2 + 200) middot s + (1000Kp + 1)there4 (ye)ss =
1
1000Kp + 1(23)
Το σφάλmicroα αυτό δεν εξαρτάται από το C2 και εποmicroένως η ευαισθησία του σφάλmicroατοςmicroόνιmicroης κατάστασης ως προς το C2 είναι πάντοτε microηδενική Η προδιαγραφή (v) ικανοποιεί-ται εποmicroένως πάντα
(δ3)Στην περίπτωση αυτή
Gs(s) =1
s + 1(24)
Προδιαγραφή (i)
T2
T2r
=
10minus1kp
s2+3middot10minus2s+10minus4
1 + 10minus1kp
(s2+3middot10minus2s+10minus4)(s+1)
=
=10minus1 middotKp middot (s + 1)
s3 + (3 middot 10minus2 + 1)s2 + (10minus4 + 3 middot 10minus2) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(25)
Εποmicroένως
Ye(s)
T2r(s)=
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4 minus 10minus1Kp) middot s + 10minus4
s3 + 103 middot 10minus2s2 + (301 middot 10minus4) middot s + (10minus4 + 10minus1Kp)(26)
Ελεγχος ισχύος του ϑεωρήmicroατος Τελικής Τιmicroής
s3 104 301s2 103 middot 104 (1 + 103Kp)s1 minus104 minus 107Kp+31 middot 106
so 1 + 103Kp
Και το ϑεώρηmicroα ισχύει για
31 middot 106 minus 104 minus 107Kp gt 0 hArr 107Kp lt 31 middot 106 hArr Kp lt 031 (27)
Υπό την προϋπόθεση αυτή το ϑεώρηmicroα δίνει για T2r(s) = 1s
(ye)ss =1
1 + 103Kp
lt1
100hArr Kp gt 0099 (28)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
58
Για Kpε(0099 031) πληρούται εποmicroένως η (i)
Προδιαγραφή (ii)Ακολουθούmicroε παρόmicroοια διαδικασία(ε) Ελεγχος τύπου PID microε microετρήσεις των T2 και To
Στην περίπτωση που microετριέται η διαταραχή To το σύστηmicroα ελέγχου microπορεί να ϐελτι-ωθεί microε την πρόσθεση πρόσω αντιστάθmicroισης της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα τουσυστήmicroατος κλειστού ϐρόγχου τότε γίνεται
T2r +-
To
στ) Ελεγχος microε microετρήσεις των T2 T1 To
Απο τις εξισώσεις (7) έχουmicroε
T1 =1
100(1000x + T2 minus T1) T2 =
1
100(To + T1 minus 2T2) (29)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
59
Οι microεταβλητές T1 T2 αποτελούν Ϲεύγος microεταβλητών κατάστασης (σαν έξοδοι των δύοολοκληρωτών του δοmicroικού διαγράmicromicroατος) Εφ΄ όσον λοιπόν τα microεγέθη To T1T2 είναι ό-λα microετρήσιmicroα microπορούmicroε να σχεδιάσουmicroε σύστηmicroα ελέγχου microε ανάδραση των microεταβλητώνκατάστασης και πρόσω αντιστάθmicroιση της διαταραχής Το δοmicroικό διάγραmicromicroα του συστή-microατος αυτού ϑα είναι
(στ1)
10 -2s +10 -410 -1
To
+
-+
++
-
-
-+-
T2r
1100 1s
2
x 10 3 1100 1s
g1
g2
T2
T1
Το σύστηmicroα αυτό εξουδετερώνει microέσω του αντισταθmicroιστή πρόσω διαταραχής τις επιπ-τώσεις της διαταραχής στην έξοδο T2ενώ η ανάδραση των microεταβλητών κατάστασης εξασ-ϕαλίζει microέσω των κερδών g1 g2 τοποθέτηση των πόλων κλειστού ϐρόγχου σε αυθαίρεταεπιλεγmicroένα σηmicroεία του microιγαδικού επιπέδου
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
60
στ2) Στην περίπτωωση αυτή το σύστηmicroα πρέπει να είναι τύπου 1 Αυτό microπόρεί ναεπιτευχθή microε την εισαγωγή ενός ολοκληρωτικού (Ι) κατευθυντή ως εξής
10 -2 s + 10 -4
10 -1
K Is+
-
To
T2r + ---
x
g
g1
2
T1
T2ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
61
9η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 93
(α) ∆οmicroικό ∆ιάγραmicromicroα Συστήmicroατος Κλειστού ΒρόγχουΗ εγκατάσταση διέπεται από την διαφορική
I middot θ + c middot θ + kθ = T rArr θ + θ + 4θ = T
και το δοmicroικό διάγραmicromicroα κλειστού ϐρόγχου είναι της microορφής
R Gc(s)T T
s2 + s + 4Θ
(ϐ) ΕστωGc(s) = Kp (1)
Τότε θe(equiv Rminus θ)
R=
s2 + s + 4
s2 + s + (4 + Kp)(2)
και για R(s) = 1sέχουmicroε
θe(s) =s2 + s + 4
s2 + s + 4 + Kp
1
s
και καθότι το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp ge 0 έχουmicroε
(θe)ss = limsrarr0
s middot θe(s) =4
4 + Kp
(3)
και (θe)ss lt 01 rArr Kp gt 36 (4)
Ας επιλέξουmicroε Kp = 40 Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου είναι
s2 + s + 44 equiv s2 + 2ζwns + w2n
και εποmicroένως
ζ =1
2radic
44= 0075 και τ = 2(secs) (5)
Τα αντίστοιχα microεγέθη της εγκατάστασης είναι
ζΕΓΚ =1
4= 025 και τΕΓΚ = 2(sec) (6)
Παρατηρούmicroε ότι ο κατευθυντής έχει microειώσει το λόγο απόσβεσης αλλα δεν έχει επηρεά-σει τη χρονική σταθερά Αυτό microπορεί να ϕανή και από τον τόπό των ϱιζών του συστήmicroατοςκλειστού ϐρόγχου
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
62
minus14 minus12 minus1 minus08 minus06 minus04 minus02 0 02 04minus10
minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
0016003200500750105015
024
045
RootLocus of the system with Pminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(γ) Στη περίπτωση αυτή επιθυmicroούmicroε να κάνουmicroε το σύστηmicroα ταχύτερο (να microειώσουmicroετη χρονική σταθερά σε λιγότερο από 1 sec) Αυτό microπορεί να επιτευχθή microε έλεγχο PD
Gs = Kp + KD middot s (7)Τότε
Θe(s)
R(s)=
s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)(8)
και για R(s) = 1s
(Θe)ss = limsrarr0
s middotΘe(s) = limsrarr0
middots s2 + s + 4
s2 + (1 + KD) middot s + (Kp + 4)
1
s=
=4
4 + Kp
(9)
όπου το ϑεώρηmicroα Τελικής Τιmicroής ισχύει για Kp KD ge 0Εποmicroένως
(Θs)ss =4
4 + Kp
lt 01 rArr Kp gt 36 (10)
Από το χαρακτηριστικό πολυώνυmicroο κλειστού ϐρόγχου υποθέτοντας ζ lt 1 έχουmicroε
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
(ζ lt 1) (11)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
63
ζ =1 + KD
2radic
4 + Kp
(12)
Για τ =
2
1 + KD
lt 1(sec) rArr KD gt 1 (13)
Εποmicroένως επιλέγουmicroε
KP = 40KD = 2
(14)
΄Ελεγχος υποθέσεως ζ lt 1 Από την (12) έχουmicroε για τις τιmicroές αυτές ζ = 0226 lt 1ΣηmicroείωσηΟ τρόπος microε τον οποίο το κέρδος KD επιδρά στους πόλους κλειστού ϐρόγχου (για
Kp = 40) microπορεί να εξετασθή microε τη microέθοδο του τόπου των ϱιζών Πράγmicroατι για Kp = 40η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται
s2 + (1 + KD) middot s + 44 = 0 rArr 1 + KD middot s
s2 + s + 44= 0
minus12 minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0minus8
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
8
091
0975
01402804205607082
091
0975
24681012
01402804205607082
RootLocus of the system with PDminuscontroller
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(δ)Εάν χρησιmicroοποιήσουmicroε έναν κατευθυντή PD της microορφής (7) γνωρίζουmicroε από τοπροηγούmicroενο ερώτηmicroα ότι η προδιαγραφή (i) ικανοποιείται για Kp gt 36 Από την (12)επίσης έχουmicroε για Kp = 40
ζ =1 + KD
2radic
44ge 0707 rArr KD ge 838 (15)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
64
ΕπιλέγουmicroεKD = 9 (16)
οπότε το σύστηmicroα χαρακτηρίζεται από υπό-απόσβεση ζ = 0754 και η χρονική σταθεράείναι (εξ(11)
τ =1
ζωn
=2
1 + KD
= 02(sec) (17)
`Λύση 94
(α) Τόπος των Ριζών
Χαρ εξίσωση κλειστού ϐρόγχου
1 + k middot (s + 1)(s2 + 121)
(s + 10)s2(s2 + 100)= 0
minus10 minus9 minus8 minus7 minus6 minus5 minus4 minus3 minus2 minus1 0minus20
minus15
minus10
minus5
0
5
10
15
200204
06
08
0204
06
08
5
10
15
20
5
10
15
20
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
(a)
(b)
5310o
Αριθmicroός ασυmicroπτώτων nminusm = 2
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
65
Φ1 = +90o Φ2 = minus90o
α =
sumPi minus
sumzi
nminusm=minus10minus (minus1)
2= minus9
2
Οι γωνίες αναχώρησης από τούς πόλους plusmn10j και άφιξης στους microηδενιστές plusmn11j micro-πορούν να υπολογισθούν γραφικά κατά τα γνωστά Το ίδιο και οι γωνίες αναχώρησης απότο διπλό πόλο s = 0
Τα σηmicroεία διακλάδωσης (υποψήφια) microπορούν να υπολογισθούν από την επίλυση τηςεξίσωσης
d
ds
(1
F (s)
)=
d
ds
[s2(s + 10)(s2 + 100)
(s + 1)(s2 + 121)
]= 0
Η ευστάθεια του συστήmicroατος για k gt 0 microπορεί να επαληθευθεί microε χρήση του κριτηρίουτων RouthminusHurwitz
(β) Σχεδιασmicroός (υπολογισmicroός του κέρδος κ)
Για ζ = 06 = cosθ rArr Θ = 53 middot 10o
Ο γεωmicroετρικός τόπος των ϱιζών που χαρακτηρίζονται από ζ = 06 είναι η ευθεία γραmicromicroήπου διέρχεται από την αρχή των αξόνων (ϐλσχήmicroα) Η γραmicromicroή αυτή τέmicroνει τον τόπο τωνϱιζών σε δύο σηmicroεία (α) και (ϐ) Εποmicroένως υπάρχουν δύο λύσεις ήτοι δύο τιmicroές του k πουικανοποιούν την προδιαγραφή ζ = 06 Κάθε microία microπορεί να υπολογιστεί γραφικά κατά ταγνωστά (εξήγησε)
Τέλος σηmicroειώνεται ότι η προδιαγραφή ζ = 06 δεν είναι προφανώς να ικανοποιηθεί γιατους πόλους που κινούνται στους δύο microικρούς κλάδους του τόπου κοντά στον πραγmicroατικόάξονα Το Ϲεύγος αυτό ϑα δώσει στην απόκριση του συστήmicroατος ταλαντώσεις microικρούλόγου απόσβεσης αλλά microε wn gt 10(rs)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
66
10η ΟΜΑ∆Α ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Λύση 102Η συνάρτηση microεταφοράς ανοικτού ϐρόγχου είναι
K middot s + 1
s3middot s + 1
s + 10=
k
10middot (s + 1)2
s3(010s + 1)
Το διάγραmicromicroα Bode για k = 1 έχει ως εξής 20 middot log 1
10= minus20(db)
Το σύστηmicroα είναι ασταθές για k = 1 για το Περιθώριο Φάσης είναι αρνητικό Για ναγίνη το Περιθώριο Φάσης ϑετικό η καmicroπύλη microέτρου (Μ) πρέπει να microετακινηθεί προς ταεπάνω κατά 16(db) περίπου (ϐλσχήmicroα) Αυτό γίντεαι microε αντίστοιχη αύξηση του κέρδουςk κατά
16(db) = 20 middot log10x rArr log10x =16
20rArr x = 631
και το απαιτούmicroενο k είναι K sim= 1 middot 631 sim= 631Η ακριβής τιmicroή που απαιτείται για ευστάθεια είναι k = 625Προφανώς από το διάγραmicromicroα της προηγούmicroενης σελίδας
k lt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ lt 0
ΣύστηmicroαΑσταθές
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)
67
k gt 625 ΠΚ gt 0ΠΦ gt 0
ΣύστηmicroαΕυσταθές
Τα συmicroπεράσmicroατα αυτά microπορούν να επιβεβαιωθούν και από τον τύπό των ϱιζών οοποίος έχει ως εξής
1 + k middot (s+1)2
s3(s+10)= 0
minus10 minus8 minus6 minus4 minus2 0 2
minus6
minus4
minus2
0
2
4
6
016032046062074084
093
098
016032046062074084
093
098
246810
RootLocus of the system
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
k=625
(2)(3)