Πρόλογος

Η κβαντική οπτική είναι ένα γνωστικό πεδίο που έχει έρθει στο προσκήνιο τα τε-λευταία 10-20 χρόνια Προηγουmicroένως αντιmicroετωπιζόταν σαν ένας κλάδος υψηλήςεξειδίκευσης προσβάσιmicroος microόνο σε έναν microικρό αριθmicroό σπουδαστών σε επιλεγmicroέναπανεπιστήmicroια Σήmicroερα όmicroως το εκπαιδευτικό ενδιαφέρον για το αντικείmicroενο αυτόείναι πολύ ευρύτερο και τροφοδοτείται ισχυρά από την προοπτική της χρήσης τηςκβαντικής οπτικής σε εφαρmicroογές κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών

Το προσωπικό microου ενδιαφέρον για την κβαντική οπτική είχε σαν αφετηρία το έτος1987 όταν συmicromicroετείχα για πρώτη φορά στο Συνέδριο Λέιζερ και ΗλεκτροοπτικήςΤα ρηξικέλευθα πειράmicroατα microε αντικείmicroενο το συmicroπιεσmicroένο φως είχαν ολοκληρωθείπρόσφατα και είχα την ευκαιρία να ακούσω ως προσκεκληmicroένους οmicroιλητές τους κο-ρυφαίους ερευνητές του κλάδου Στο τέλος του συνεδρίου microου είχε δηmicroιουργηθεί γιατο γνωστικό αυτό αντικείmicroενο έντονο ενδιαφέρον το οποίο microε ώθησε να αγοράσωένα αντίτυπο τουQuantum theory of light του Loudon και να αρχίσω να το microελετάωmicroε αρκετά συστηmicroατικό τρόπο Σχεδόν 20 χρόνια microετά το βιβλίο του Loudon πα-ραmicroένει το αγαπηmicroένο microου εγχειρίδιο για το αντικείmicroενο αν και τώρα πια υπάρχουνπολύ περισσότερα διαθέσιmicroα για να επιλέξει κανείς Γιατί λοιπόν να γράψει κανείςένα ακόmicroα

Η απάντηση σε αυτό το ερώτηmicroα έγινε σε microένα πιο σαφής όταν προσπάθησα νακαταστρώσω ένα microάθηmicroα κβαντικής οπτικής ως επιmicroέρους αντικείmicroενο microιας microεγαλύ-τερης ενότητας microε τίτλο laquoΘέmicroατα σύγχρονης φυσικήςraquo Το microάθηmicroα αυτό το παρακο-λουθούν προπτυχιακοί φοιτητές στο τελευταίο εξάmicroηνο των σπουδών τους και έχειστόχο να τους παρουσιάσει ορισmicroένα τρέχοντα ερευνητικά ζητήmicroατα Ξεκίνησα νασχεδιάζω ένα microάθηmicroα που θα κάλυπτε λίγες βασικές έννοιες σχετικά microε τη στατιστικήφωτονίων την κβαντική κρυπτογραφία και τη συmicroπύκνωση Bose-Einstein ελπίζον-τας ότι θα εύρισκα ένα κατάλληλο βιβλίο για να συστήσω στους φοιτητές Ωστόσοmicroια σύντοmicroη επισκόπηση των διαθέσιmicroων εγχειριδίων κβαντικής οπτικής microε οδήγησεστο συmicroπέρασmicroα ότι εν γένει βρίσκονταν σε επίπεδο που ήταν αποτρεπτικά υψηλό γιατο φοιτητικό microου ακροατήριο Επιπλέον στα περισσότερα η παρουσίαση της ύληςεπικεντρωνόταν στη microαθηmicroατική πραγmicroάτευσή της Συmicroπέρανα λοιπόν απρόθυmicroαότι θα έπρεπε να γράψω εγώ ο ίδιος το βιβλίο που αναζητούσα Το τελικό αποτέλε-σmicroα είναι αυτό που έχετε στα χέρια σας Ελπίζω ότι θα λειτουργήσει αφrsquo ενός σανmicroια χρήσιmicroη βασική εισαγωγή και αφrsquo ετέρου σαν ένα νόστιmicroο laquoορεκτικόraquo για ταυψηλότερου επιπέδου εγχειρίδια όπως αυτό του Loudon

Επεξεργαζόmicroενος τις σηmicroειώσεις microου για το microάθηmicroα προκειmicroένου να πάρουν τηmicroορφή ενός πλήρους βιβλίου το πρώτο πρόβληmicroα που αντιmicroετώπισα ήταν η επιλογήτων θεmicroάτων Τα παραδοσιακά βιβλία κβαντικής οπτικής όπως αυτό του Loudonξεκινούν από την παραδοχή ότι το αντικείmicroενο αφορά κυρίως τις ιδιότητες του ίδιουτου φωτός Ταυτόχρονα είναι φανερό πως ο ορίζοντας του αντικειmicroένου έχει διευ-

vi Πρόλογος

ρυνθεί σηmicroαντικά τουλάχιστον για πολλούς από όσους εργάζονται σε αυτό Για τονλόγο αυτό συmicroπεριέλαβα ένα ευρύ φάσmicroα θεmicroάτων τα οποία microάλλον δεν θα είχανθέση σε ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής πριν από 20 χρόνια Πιθανότατα κάποιοςάλλος που θα έγραφε ένα παρόmicroοιο βιβλίο θα έκανε διαφορετική επιλογή θεmicroάτων Ηδική microου επιλογή βασίστηκε κυρίως στο πώς αντιλαmicroβάνοmicroαι τα κεντρικές περιοχέςτου γνωστικού αντικειmicroένου αλλά αντανακλά επίσης σε κάποιο βαθmicroό τα προσωπι-κά microου ερευνητικά ενδιαφέροντα Γιrsquo αυτό τον λόγο υπάρχουν microάλλον περισσότερατου αναmicroενοmicroένου παραδείγmicroατα κβαντοοπτικών φαινοmicroένων σε συστήmicroατα στε-ρεάς κατάστασης

Κάποια από τα θέmicroατα που αποφάσισα να συmicroπεριλάβω εξακολουθούσαν να εξε-λίσσονται ταχύτατα την περίοδο που γραφόταν αυτό το βιβλίο Αυτό ισχύει ιδιαίτεραγια τα ζητήmicroατα της τεχνολογίας της κβαντικής πληροφορίας τα οποία καλύπτονταιστο Μέρος IV Οποιαδήποτε προσπάθειά microου να παρουσιάσω microια λεπτοmicroερή επι-σκόπηση της τωρινής κατάστασης των πειραmicroάτων σε αυτά τα πεδία θα ήταν σχετι-κά microάταια αφού η επισκόπηση αυτή θα γινόταν πολύ σύντοmicroα παρωχηmicroένη Για τονσκοπό αυτό υιοθέτησα τη στρατηγική να εξηγώ αρχικά τις βασικές αρχές και κατό-πιν να τις αποσαφηνίζω microε λίγα πρόσφατα αποτελέσmicroατα Ελπίζω ότι τα κεφάλαιατου βιβλίου θα επαρκούν για να κατανοήσουν τις θεmicroελιώδεις έννοιες οι φοιτητέςπου προσεγγίζουν για πρώτη φορά το αντικείmicroενο και θα τους επιτρέπουν έτσι ναmicroεταβούν στην ερευνητική βιβλιογραφία σε περίπτωση που θέλουν να εντρυφήσουνλεπτοmicroερέστερα σε κάποια ζητήmicroατα

Για κάποιο διάστηmicroα σκεπτόmicroουν να παραθέσω στις ενότητες laquoΠεραιτέρω microε-λέτηraquo παραποmicroπές σε διάφορους δικτυακούς τόπους αλλά καθώς οι σύνδεσmicroοι σεαυτούς τους δικτυότοπους αλλάζουν συχνά τελικά συmicroπεριέλαβα ελάχιστες τέτοιεςπαραποmicroπές Είmicroαι βέβαιος ότι ο σύγχρονος laquoυπολογιστικά εγγράmicromicroατοςraquo φοιτητήςθα microπορεί να εντοπίσει αυτούς τους δικτυότοπους πολύ πιο εύκολα απrsquo ότι εγώ οπό-τε αφήνω αυτό το έργο στην πρωτοβουλία των αναγνωστών Κατά ευτυχή συγκυρίατο βιβλίο πήγε στο τυπογραφείο το 2005 στην εκατοστή επέτειο από τη δηmicroοσίευσητης εργασίας του Einstein για το φωτοηλεκτρικό φαινόmicroενο κι έτσι υπάρχουν πολλάάρθρα που microπορούν να εξάψουν το ενδιαφέρον των φοιτητών για αυτό το αντικείmicroε-νο Επιπλέον χάρις στην απονοmicroή του Βραβείου Nobel για τη Φυσική του 2005 στονRoy Glauber laquoγια τη συmicroβολή του στην κβαντική θεωρία της οπτικής συmicroφωνίαςraquoέχουν προκύψει πολλές ευρύτερα προσβάσιmicroες πηγές πληροφοριών

Ένα ζήτηmicroα που ανέκυψε αφότου έλαβα ανασκοπήσεις του αρχικού microου σχεδίουγια το βιβλίο ήταν η δυσκολία να γίνει το αντικείmicroενο βατό χωρίς να υπεραπλου-στευτεί χονδροειδώς η ουσιώδης φυσική του Ως συνέπεια αυτών των ανασκοπήσε-ων ίσως κάποιες ενότητες του βιβλίου να βρίσκονται σε επίπεδο κάπως υψηλότε-ρο από το κατάλληλο για το αρχικό microου ακροατήριο (τελειόφοιτους προπτυχιακούςφοιτητές) και microάλιστα ίσως να είναι πιο κατάλληλες για το πρώτο έτος ενός microετα-πτυχιακού κύκλου Παρrsquo όλα αυτά προσπάθησα να κρατήσω το microαθηmicroατικό φορτίοστο ελάχιστο δυνατό και να συγκεντρωθώ σε εξηγήσεις που βασίζονται στη φυσικήκατανόηση των πειραmicroάτων που έχουν πραγmicroατοποιηθεί

Θα ήθελα να ευχαριστήσω αρκετούς ανθρώπους που microε βοήθησαν σε διάφοραστάδια της προετοιmicroασίας αυτού του βιβλίου Κατrsquo αρχάς θα ήθελα να ευχαριστή-σω όλους τους ανώνυmicroους αναγνώστες που έκαναν πολλές χρήσιmicroες υποδείξεις καιεπισήmicroαναν αρκετά λάθη στις πρώτες εκδοχές του χειρογράφου ∆εύτερον θα ήθελανα ευχαριστήσω διάφορους συναδέλφους για την κριτική ανάγνωση εκ microέρους τουςτmicroηmicroάτων του χειρογράφου ιδιαίτερα τον ∆ρα Brendon Lovett για το Κεφάλαιο 13

Πρόλογος vii

και τους ∆ρα Gerald Buller και Robert Collins για το Κεφάλαιο 12 Θα ήθελα επίσηςνα ευχαριστήσω τον ∆ρα Ed Daw που microε βοήθησε να κατανοήσω τα συmicroβολόmicroετρακυmicroάτων βαρύτητας Οφείλω microια ιδιαίτερη ευχαριστία στον ∆ρα Geoff Brooker γιατην κριτική ανάγνωση ολόκληρου του χειρογράφου Τρίτον θα ήθελα να ευχαρι-στήσω τον Sonke Adlung της Oxford University Press για την υποστήριξη και τηνυποmicroονή του σε όλη τη διάρκεια της εργασίας και την Anita Petrie για την επίβλεψητης διαδικασίας παραγωγής Είmicroαι επίσης ευγνώmicroων στον ∆ρα Mark Hopkinson γιατην εικόνα ΗΜ∆ στο Σχ ∆3 και στον ∆ρα Robert Taylor για το Σχ 47 Τέλος θα ή-θελα να ευχαριστήσω τον επιβλέψαντα τη διδακτορική microου διατριβή Καθηγητή JohnRyan ο οποίος microε έστρεψε αρχικά προς την κβαντική οπτική καθώς και τους πολ-λούς συναδέλφους που microε έχουν βοηθήσει να πραγmicroατοποιήσω διάφορα πειράmicroατακβαντικής οπτικής στην καριέρα microου

ShefeldΙούνιος 2005

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

11 Τι είναι η κβαντική οπτική 3

12 Συνοπτική ιστορία τηςκβαντικής οπτικής 4

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετεαυτό το βιβλίο 6

11 Τι είναι η κβαντική οπτική

Η κβαντική οπτική είναι το γνωστικό αντικείmicroενο που πραγmicroατεύεται οπτικά φαι-νόmicroενα τα οποία microπορούν να εξηγηθούν microόνο αν αντιmicroετωπίσει κανείς το φως ωςρεύmicroα φωτονίων και όχι ως ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Αν και θεωρητικά η κβαντικήοπτική έχει την ίδια ηλικία microε την ίδια την κβαντική θεωρία στην πράξη είναι έναςσχετικά laquoνεαρόςraquo κλάδος και στην πραγmicroατικότητα έχει έρθει στο προσκήνιο κατάτο τελευταίο τέταρτο του εικοστού αιώνα

Στην προοδευτική ανάπτυξη της θεωρίας του φωτός διακρίνονται microε σαφήνειατρεις γενικές προσεγγίσεις και συγκεκριmicroένα η κλασική η ηmicroικλασική και η κβαν-τική θεωρία οι προσεγγίσεις αυτές περιγράφονται επιγραmicromicroατικά στον Πίνακα 11Εξυπακούεται ότι microόνο η πλήρως κβαντική οπτική προσέγγιση είναι απόλυτα συνε-πής τόσο microε τον εαυτό της όσο και microε το πλήρες σώmicroα των πειραmicroατικών δεδοmicroέ-νων Ωστόσο στις περισσότερες περιπτώσεις οι ηmicroικλασικές θεωρίες είναι επίσηςεπαρκείς Για παράδειγmicroα σε microια εισαγωγική πραγmicroάτευση της θεωρίας της απορ-ρόφησης του φωτός από τα άτοmicroα συνήθως εφαρmicroόζει κανείς την κβαντοmicroηχανικήστα άτοmicroα αλλά αντιmicroετωπίζει το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα

Πίνακας 11 Οι τρεις διαφορετικές προσεγγί-σεις που χρησιmicroοποιούνται για την περιγραφήτης αλληλεπίδρασης microεταξύ φωτός και ύληςΣτην κλασική φυσική το φως νοείται ως ηλε-κτροmicroαγνητικό κύmicroα αλλά η κβαντική οπτικήπραγmicroατεύεται το φως ως ρεύmicroα φωτονίων δη-λαδή εmicroπεριέχει την κβαντική φύση του φωτός

Μοντέλο Άτοmicroα ΦωςΚλασικό Ερτζιανά Κύmicroατα

δίπολαΗmicroικλασικό Κβαντωmicroένα ΚύmicroαταΚβαντικό Κβαντωmicroένα Φωτόνια

Το ερώτηmicroα που θα πρέπει κανείς να θέσει πραγmicroατικά προκειmicroένου να ορίσειτο αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής είναι κατά πόσο υπάρχουν φαινόmicroενα που δενmicroπορούν να εξηγηθούν στο ηmicroικλασικό πλαίσιο Παρrsquo ότι θα σας φανεί ίσως ανα-πάντεχο τέτοιου είδους φαινόmicroενα είναι σχετικά λίγα Μάλιστα microέχρι πριν από 30χρόνια περίπου υπήρχαν ελαχιστότατα φαινόmicroενα ndashκυρίως αυτά που σχετίζονται microετο πεδίο του κενού όπως η αυθόρmicroητη εκποmicroπή και η microετατόπιση Lambndash τα οποίααπαιτούσαν πραγmicroατικά ένα κβαντικό microοντέλο του φωτός

Ας εξετάσουmicroε ένα microόνο παράδειγmicroα το οποίο φαίνεται να απαιτεί microια φωτονια-κή περιγραφή του φωτός το φωτοηλεκτρικό φαινόmicroενο το οποίο περιγράφει τηνεκδίωξη ηλεκτρονίων από ένα microέταλλο microέσω της πρόσπτωσης φωτός Το φαινόmicroε-νο αυτό εξηγήθηκε αρχικά το 1905 από τον Einstein ο οποίος αντιλήφθηκε ότι ταάτοmicroα θα πρέπει να απορροφούν ενέργεια από τη φωτεινή δέσmicroη σε κβαντωmicroέναlaquoπακέταraquo Όπως έδειξε όmicroως microεταγενέστερη προσεκτική ανάλυση τελικά θα microπο-ρούσε κανείς να ερmicroηνεύσει τα αποτελέσmicroατα αντιmicroετωπίζοντας microόνο τα άτοmicroα ωςκβαντωmicroένα αντικείmicroενα και το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Με ανά-λογο σκεπτικό microπορεί να δειχθεί ότι οι microεmicroονωmicroένοι παλmicroοί που εκπέmicroπονται από

3

4 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Πίνακας 12 Επιmicroέρους θέmicroατα που αναπτύχθηκαν στα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής

Έτος Θέmicroα1998 Ψύξη και καθοδήγηση ατόmicroων φασmicroατοσκοπία και συmicroπίεση microέσω λέιζερ1999 Κβαντική οπτική σε ηmicroιαγωγικά υλικά κβαντικές δοmicroές2000 Πειραmicroατικές τεχνολογίες κβαντικής χειραγώγησης2002 Κβαντική ατοmicroική οπτική από την κβαντική επιστήmicroη στην τεχνολογία2003 QED κοιλοτήτων και κβαντικές διακυmicroάνσεις από τις θεmicroελιώδεις έννοιες

στη νανοτεχνολογία

Πηγή European Science Foundation httpwwwesforg

laquomicroονοφωτονιακούς καταmicroετρητικούςraquo ανιχνευτές δεν σηmicroαίνουν απαραίτητα ότι τοφως αποτελείται από φωτόνια Πράγmicroατι στις περισσότερες περιπτώσεις οι παλmicroοίεξόδου microπορούν να εξηγηθούν στο πλαίσιο της πιθανοκρατικής εκδίωξης ενός microεmicroο-νωmicroένου ηλεκτρονίου από microία εκ των κβαντωmicroένων καταστάσεων κάποιου ατόmicroουυπό την επίδραση ενός κλασικού κύmicroατος φωτός Συνεπώς παρrsquo όλο που τα πειράmicroα-τα αυτά συντείνουν προς τη φωτονιακή εικόνα του φωτός δεν παρέχουν αδιάσειστεςαποδείξεις

Ο κλάδος της κβαντικής οπτικής όπως τον γνωρίζουmicroε σήmicroερα ξεκίνησε να ανα-πτύσσεται microόλις στα τέλη της δεκαετίας του 1970 Εκείνη την εποχή προέκυψαν οιπρώτες πειστικές εργαστηριακές παρατηρήσεις φαινοmicroένων που παρέχουν άmicroεσεςενδείξεις της φωτονιακής φύσης του φωτός όπως η αποσυσπείρωση φωτονίων Απότότε microέχρι σήmicroερα ο ορίζοντας του γνωστικού αντικειmicroένου έχει διευρυνθεί σε εκ-πληκτικό βαθmicroό και πλέον περιλαmicroβάνει πολλά νέα θέmicroατα που υπερβαίνουν κατάπολύ τη στενή microελέτη του ίδιου του φωτός Αυτό είναι εmicroφανές από τον Πίνακα 12στον οποίο παρατίθεται ο κατάλογος των εξειδικευmicroένων θεmicroάτων που επιλέχθηκανγια τα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής Στο βιβλίο αυτό το γνω-στικό αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής νοείται υπό αυτήν τη διευρυmicroένη και όχιυπό τη στενή έννοια

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής

Για να αντιληφθούmicroε καλύτερα πώς εντάσσεται το αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικήςστην ευρύτερη εικόνα της κβαντικής θεωρίας ας διατρέξουmicroε microια συνοπτική ιστορίατης ανάπτυξής της Στον Πίνακα 13 παρατίθενται επιγραmicromicroατικά κάποια από τα πιοσηmicroαντικά ορόσηmicroα αυτής της πορείας microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα

Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της οπτικής διατυπώθηκαν δύο αντίπαλες θεω-ρίες η σωmicroατιδιακή θεωρία η οποία προτάθηκε από τον Νεύτωνα και η κυmicroατικήθεωρία η οποία διαmicroορφώθηκε από τον σύγχρονο του Νεύτωνα Ολλανδό φυσικόHuygens Η κυmicroατική θεωρία δικαιώθηκε microε πειστικό τρόπο από το πείραmicroα τηςδιπλής σχισmicroής που πραγmicroατοποίησε ο Young το 1801 και από την κυmicroατική ερmicroη-νεία της περίθλασης από τον Fresnel το 1815 Στη συνέχεια απέκτησε microια στέρεηθεωρητική βάση microε την εξαγωγή της ηλεκτροmicroαγνητικής κυmicroατικής εξίσωσης απότον Maxwell το 1873 Έτσι στα τέλη του 19ου αιώνα η σωmicroατιδιακή θεωρία είχευποβιβαστεί σε ζήτηmicroα καθαρά ιστορικού ενδιαφέροντος

Η κατάσταση αυτή άλλαξε ριζικά το 1901 microέσω της υπόθεσης του Planck ότι ηακτινοβολία microέλανος σώmicroατος εκπέmicroπεται σε διακριτά πακέτα ενέργειας τα οποίαονοmicroάστηκαν κβάντα Χάρις σε αυτήν την παραδοχή ο Planck κατόρθωσε να λύσει

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής 5

Πίνακας 13 Επιλεγmicroένα ορόσηmicroα στην ανάπτυξη της κβαντικής οπτικής microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα Στην τελευ-ταία στήλη υποδεικνύεται το κεφάλαιο του βιβλίου όπου αναπτύσσεται το σχετικό θέmicroα

Έτος Πρόσωπα Νέα εξέλιξη Κεφάλαιο1901 Planck Θεωρία ακτινοβολίας microέλανος σώmicroατος 51905 Einstein Εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοmicroένου 51909 Taylor Συmicroβολή microεmicroονωmicroένων κβάντων 141909 Einstein ∆ιακυmicroάνσεις ακτινοβολίας 51927 Dirac Κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας 81956 Hanbury Brown και Twiss Συmicroβολόmicroετρο έντασης 61963 Glauber Κβαντικές καταστάσεις του φωτός 81972 Gibbs Οπτικές ταλαντώσεις Rabi 91977 Kimble Dagenais και Mandel Αποσυσπείρωση φωτονίων 61981 Aspect Grangier και Roger Παραβιάσεις της ανισότητας του Bell 141985 Slusher et al Συmicroπιεσmicroένο φως 71987 Hong Ou και Mandel Πειράmicroατα microονοφωτονιακής συmicroβολής 141992 Bennett Brassard et al Πειραmicroατική κβαντική κρυπτογραφία 121995 Turchette Kimble et al Πύλη κβαντικής φάσης 10 131995 Anderson Wieman Cornell et al Συmicroπύκνωση ατόmicroων κατά Bose-Einstein 111997 Mewes Ketterle et al Λέιζερ ατόmicroων 111997 Bouwmeester et al Boschi et al Κβαντική τηλεmicroεταφορά φωτονίων 142002 Yuan et al Μονοφωτονιακή φωτοεκπέmicroπουσα δίοδος 6

το πρόβληmicroα της υπεριώδους καταστροφής το οποίο είχε αποτελέσει πραγmicroατικόαίνιγmicroα για τους φυσικούς επί πολλά χρόνια Τέσσερα χρόνια αργότερα το 1905ο Einstein εφάρmicroοσε την κβαντική θεωρία του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλε-κτρικό φαινόmicroενο Αν και οι πρωτοποριακές αυτές ιδέες έθεσαν τα θεmicroέλια για τηνκβαντική θεωρία του φωτός και των ατόmicroων ωστόσο δεν προσέφεραν καθrsquo εαυτές ά-microεσες πειραmicroατικές ενδείξεις της κβαντικής φύσης του φωτός Όπως προαναφέραmicroεαυτό που πιστοποιούν στην πραγmicroατικότητα είναι ότι κάτι είναι κβαντωmicroένο χωρίςόmicroως να αποδεικνύουν ρητά ότι αυτό που είναι κβαντωmicroένο είναι το φως

Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για ένα πραγmicroατικό πείραmicroα κβαντικής οπτικής έγι-νε το 1909 από τον Taylor ο οποίος στο πλαίσιο ενός πειράmicroατος σχισmicroών τύπουYoung microείωσε σταδιακά την ένταση της φωτεινής δέσmicroης microέχρι το σηmicroείο όπου ανάπάσα στιγmicroή θα υπήρχε microόνο ένα κβάντο ενέργειας στην πειραmicroατική διάταξη Τοσυmicroβολόγραmicromicroα που προέκυψε καταγράφηκε microέσω microιας φωτογραφικής πλάκας microεπολύ microεγάλο χρόνο έκθεσης Προς απογοήτευσή του δεν εντόπισε καmicroία αξιοσηmicroεί-ωτη microεταβολή στη microορφή του ακόmicroη και στις χαmicroηλότερες δυνατές εντάσεις

Την ίδια χρονιά ο Einstein microελέτησε τις ενεργειακές διακυmicroάνσεις της ακτινοβο-λίας microέλανος σώmicroατος Στο πλαίσιο αυτής της microελέτης έδειξε ότι λόγω της διακριτήςφύσης της ενέργειας ακτινοβολίας προέκυπτε ένας επιπλέον όρος ανάλογος προς τοmicroέσο πλήθος των κβάντων προβλέποντας microε τον τρόπο αυτό τη σύγχρονη θεωρίατης στατιστικής φωτονίων

Η τυπική θεωρία της κβάντωσης του φωτός διαmicroορφώθηκε τη δεκαετία του 1920microετά τη γέννηση της κβαντικής microηχανικής Το 1926 επινοήθηκε ο όρος laquoφωτόνιοraquoαπό τον Gilbert Lewis ενώ τον επόmicroενο χρόνο ο Dirac δηmicroοσίευσε το γόνιmicroο άρθροτου σχετικά microε την κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας Στα χρόνια που ακολούθησανόmicroως το microεγαλύτερο βάρος δόθηκε στον υπολογισmicroό των οπτικών φασmicroάτων τωνατόmicroων και η αναζήτηση κβαντικών φαινοmicroένων που να σχετίζονται άmicroεσα microε τοίδιο το φως πέρασε σε δεύτερη microοίρα

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

vi Πρόλογος

ρυνθεί σηmicroαντικά τουλάχιστον για πολλούς από όσους εργάζονται σε αυτό Για τονλόγο αυτό συmicroπεριέλαβα ένα ευρύ φάσmicroα θεmicroάτων τα οποία microάλλον δεν θα είχανθέση σε ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής πριν από 20 χρόνια Πιθανότατα κάποιοςάλλος που θα έγραφε ένα παρόmicroοιο βιβλίο θα έκανε διαφορετική επιλογή θεmicroάτων Ηδική microου επιλογή βασίστηκε κυρίως στο πώς αντιλαmicroβάνοmicroαι τα κεντρικές περιοχέςτου γνωστικού αντικειmicroένου αλλά αντανακλά επίσης σε κάποιο βαθmicroό τα προσωπι-κά microου ερευνητικά ενδιαφέροντα Γιrsquo αυτό τον λόγο υπάρχουν microάλλον περισσότερατου αναmicroενοmicroένου παραδείγmicroατα κβαντοοπτικών φαινοmicroένων σε συστήmicroατα στε-ρεάς κατάστασης

Κάποια από τα θέmicroατα που αποφάσισα να συmicroπεριλάβω εξακολουθούσαν να εξε-λίσσονται ταχύτατα την περίοδο που γραφόταν αυτό το βιβλίο Αυτό ισχύει ιδιαίτεραγια τα ζητήmicroατα της τεχνολογίας της κβαντικής πληροφορίας τα οποία καλύπτονταιστο Μέρος IV Οποιαδήποτε προσπάθειά microου να παρουσιάσω microια λεπτοmicroερή επι-σκόπηση της τωρινής κατάστασης των πειραmicroάτων σε αυτά τα πεδία θα ήταν σχετι-κά microάταια αφού η επισκόπηση αυτή θα γινόταν πολύ σύντοmicroα παρωχηmicroένη Για τονσκοπό αυτό υιοθέτησα τη στρατηγική να εξηγώ αρχικά τις βασικές αρχές και κατό-πιν να τις αποσαφηνίζω microε λίγα πρόσφατα αποτελέσmicroατα Ελπίζω ότι τα κεφάλαιατου βιβλίου θα επαρκούν για να κατανοήσουν τις θεmicroελιώδεις έννοιες οι φοιτητέςπου προσεγγίζουν για πρώτη φορά το αντικείmicroενο και θα τους επιτρέπουν έτσι ναmicroεταβούν στην ερευνητική βιβλιογραφία σε περίπτωση που θέλουν να εντρυφήσουνλεπτοmicroερέστερα σε κάποια ζητήmicroατα

Για κάποιο διάστηmicroα σκεπτόmicroουν να παραθέσω στις ενότητες laquoΠεραιτέρω microε-λέτηraquo παραποmicroπές σε διάφορους δικτυακούς τόπους αλλά καθώς οι σύνδεσmicroοι σεαυτούς τους δικτυότοπους αλλάζουν συχνά τελικά συmicroπεριέλαβα ελάχιστες τέτοιεςπαραποmicroπές Είmicroαι βέβαιος ότι ο σύγχρονος laquoυπολογιστικά εγγράmicromicroατοςraquo φοιτητήςθα microπορεί να εντοπίσει αυτούς τους δικτυότοπους πολύ πιο εύκολα απrsquo ότι εγώ οπό-τε αφήνω αυτό το έργο στην πρωτοβουλία των αναγνωστών Κατά ευτυχή συγκυρίατο βιβλίο πήγε στο τυπογραφείο το 2005 στην εκατοστή επέτειο από τη δηmicroοσίευσητης εργασίας του Einstein για το φωτοηλεκτρικό φαινόmicroενο κι έτσι υπάρχουν πολλάάρθρα που microπορούν να εξάψουν το ενδιαφέρον των φοιτητών για αυτό το αντικείmicroε-νο Επιπλέον χάρις στην απονοmicroή του Βραβείου Nobel για τη Φυσική του 2005 στονRoy Glauber laquoγια τη συmicroβολή του στην κβαντική θεωρία της οπτικής συmicroφωνίαςraquoέχουν προκύψει πολλές ευρύτερα προσβάσιmicroες πηγές πληροφοριών

Ένα ζήτηmicroα που ανέκυψε αφότου έλαβα ανασκοπήσεις του αρχικού microου σχεδίουγια το βιβλίο ήταν η δυσκολία να γίνει το αντικείmicroενο βατό χωρίς να υπεραπλου-στευτεί χονδροειδώς η ουσιώδης φυσική του Ως συνέπεια αυτών των ανασκοπήσε-ων ίσως κάποιες ενότητες του βιβλίου να βρίσκονται σε επίπεδο κάπως υψηλότε-ρο από το κατάλληλο για το αρχικό microου ακροατήριο (τελειόφοιτους προπτυχιακούςφοιτητές) και microάλιστα ίσως να είναι πιο κατάλληλες για το πρώτο έτος ενός microετα-πτυχιακού κύκλου Παρrsquo όλα αυτά προσπάθησα να κρατήσω το microαθηmicroατικό φορτίοστο ελάχιστο δυνατό και να συγκεντρωθώ σε εξηγήσεις που βασίζονται στη φυσικήκατανόηση των πειραmicroάτων που έχουν πραγmicroατοποιηθεί

Θα ήθελα να ευχαριστήσω αρκετούς ανθρώπους που microε βοήθησαν σε διάφοραστάδια της προετοιmicroασίας αυτού του βιβλίου Κατrsquo αρχάς θα ήθελα να ευχαριστή-σω όλους τους ανώνυmicroους αναγνώστες που έκαναν πολλές χρήσιmicroες υποδείξεις καιεπισήmicroαναν αρκετά λάθη στις πρώτες εκδοχές του χειρογράφου ∆εύτερον θα ήθελανα ευχαριστήσω διάφορους συναδέλφους για την κριτική ανάγνωση εκ microέρους τουςτmicroηmicroάτων του χειρογράφου ιδιαίτερα τον ∆ρα Brendon Lovett για το Κεφάλαιο 13

Πρόλογος vii

και τους ∆ρα Gerald Buller και Robert Collins για το Κεφάλαιο 12 Θα ήθελα επίσηςνα ευχαριστήσω τον ∆ρα Ed Daw που microε βοήθησε να κατανοήσω τα συmicroβολόmicroετρακυmicroάτων βαρύτητας Οφείλω microια ιδιαίτερη ευχαριστία στον ∆ρα Geoff Brooker γιατην κριτική ανάγνωση ολόκληρου του χειρογράφου Τρίτον θα ήθελα να ευχαρι-στήσω τον Sonke Adlung της Oxford University Press για την υποστήριξη και τηνυποmicroονή του σε όλη τη διάρκεια της εργασίας και την Anita Petrie για την επίβλεψητης διαδικασίας παραγωγής Είmicroαι επίσης ευγνώmicroων στον ∆ρα Mark Hopkinson γιατην εικόνα ΗΜ∆ στο Σχ ∆3 και στον ∆ρα Robert Taylor για το Σχ 47 Τέλος θα ή-θελα να ευχαριστήσω τον επιβλέψαντα τη διδακτορική microου διατριβή Καθηγητή JohnRyan ο οποίος microε έστρεψε αρχικά προς την κβαντική οπτική καθώς και τους πολ-λούς συναδέλφους που microε έχουν βοηθήσει να πραγmicroατοποιήσω διάφορα πειράmicroατακβαντικής οπτικής στην καριέρα microου

ShefeldΙούνιος 2005

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

11 Τι είναι η κβαντική οπτική 3

12 Συνοπτική ιστορία τηςκβαντικής οπτικής 4

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετεαυτό το βιβλίο 6

11 Τι είναι η κβαντική οπτική

Η κβαντική οπτική είναι το γνωστικό αντικείmicroενο που πραγmicroατεύεται οπτικά φαι-νόmicroενα τα οποία microπορούν να εξηγηθούν microόνο αν αντιmicroετωπίσει κανείς το φως ωςρεύmicroα φωτονίων και όχι ως ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Αν και θεωρητικά η κβαντικήοπτική έχει την ίδια ηλικία microε την ίδια την κβαντική θεωρία στην πράξη είναι έναςσχετικά laquoνεαρόςraquo κλάδος και στην πραγmicroατικότητα έχει έρθει στο προσκήνιο κατάτο τελευταίο τέταρτο του εικοστού αιώνα

Στην προοδευτική ανάπτυξη της θεωρίας του φωτός διακρίνονται microε σαφήνειατρεις γενικές προσεγγίσεις και συγκεκριmicroένα η κλασική η ηmicroικλασική και η κβαν-τική θεωρία οι προσεγγίσεις αυτές περιγράφονται επιγραmicromicroατικά στον Πίνακα 11Εξυπακούεται ότι microόνο η πλήρως κβαντική οπτική προσέγγιση είναι απόλυτα συνε-πής τόσο microε τον εαυτό της όσο και microε το πλήρες σώmicroα των πειραmicroατικών δεδοmicroέ-νων Ωστόσο στις περισσότερες περιπτώσεις οι ηmicroικλασικές θεωρίες είναι επίσηςεπαρκείς Για παράδειγmicroα σε microια εισαγωγική πραγmicroάτευση της θεωρίας της απορ-ρόφησης του φωτός από τα άτοmicroα συνήθως εφαρmicroόζει κανείς την κβαντοmicroηχανικήστα άτοmicroα αλλά αντιmicroετωπίζει το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα

Πίνακας 11 Οι τρεις διαφορετικές προσεγγί-σεις που χρησιmicroοποιούνται για την περιγραφήτης αλληλεπίδρασης microεταξύ φωτός και ύληςΣτην κλασική φυσική το φως νοείται ως ηλε-κτροmicroαγνητικό κύmicroα αλλά η κβαντική οπτικήπραγmicroατεύεται το φως ως ρεύmicroα φωτονίων δη-λαδή εmicroπεριέχει την κβαντική φύση του φωτός

Μοντέλο Άτοmicroα ΦωςΚλασικό Ερτζιανά Κύmicroατα

δίπολαΗmicroικλασικό Κβαντωmicroένα ΚύmicroαταΚβαντικό Κβαντωmicroένα Φωτόνια

Το ερώτηmicroα που θα πρέπει κανείς να θέσει πραγmicroατικά προκειmicroένου να ορίσειτο αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής είναι κατά πόσο υπάρχουν φαινόmicroενα που δενmicroπορούν να εξηγηθούν στο ηmicroικλασικό πλαίσιο Παρrsquo ότι θα σας φανεί ίσως ανα-πάντεχο τέτοιου είδους φαινόmicroενα είναι σχετικά λίγα Μάλιστα microέχρι πριν από 30χρόνια περίπου υπήρχαν ελαχιστότατα φαινόmicroενα ndashκυρίως αυτά που σχετίζονται microετο πεδίο του κενού όπως η αυθόρmicroητη εκποmicroπή και η microετατόπιση Lambndash τα οποίααπαιτούσαν πραγmicroατικά ένα κβαντικό microοντέλο του φωτός

Ας εξετάσουmicroε ένα microόνο παράδειγmicroα το οποίο φαίνεται να απαιτεί microια φωτονια-κή περιγραφή του φωτός το φωτοηλεκτρικό φαινόmicroενο το οποίο περιγράφει τηνεκδίωξη ηλεκτρονίων από ένα microέταλλο microέσω της πρόσπτωσης φωτός Το φαινόmicroε-νο αυτό εξηγήθηκε αρχικά το 1905 από τον Einstein ο οποίος αντιλήφθηκε ότι ταάτοmicroα θα πρέπει να απορροφούν ενέργεια από τη φωτεινή δέσmicroη σε κβαντωmicroέναlaquoπακέταraquo Όπως έδειξε όmicroως microεταγενέστερη προσεκτική ανάλυση τελικά θα microπο-ρούσε κανείς να ερmicroηνεύσει τα αποτελέσmicroατα αντιmicroετωπίζοντας microόνο τα άτοmicroα ωςκβαντωmicroένα αντικείmicroενα και το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Με ανά-λογο σκεπτικό microπορεί να δειχθεί ότι οι microεmicroονωmicroένοι παλmicroοί που εκπέmicroπονται από

3

4 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Πίνακας 12 Επιmicroέρους θέmicroατα που αναπτύχθηκαν στα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής

Έτος Θέmicroα1998 Ψύξη και καθοδήγηση ατόmicroων φασmicroατοσκοπία και συmicroπίεση microέσω λέιζερ1999 Κβαντική οπτική σε ηmicroιαγωγικά υλικά κβαντικές δοmicroές2000 Πειραmicroατικές τεχνολογίες κβαντικής χειραγώγησης2002 Κβαντική ατοmicroική οπτική από την κβαντική επιστήmicroη στην τεχνολογία2003 QED κοιλοτήτων και κβαντικές διακυmicroάνσεις από τις θεmicroελιώδεις έννοιες

στη νανοτεχνολογία

Πηγή European Science Foundation httpwwwesforg

laquomicroονοφωτονιακούς καταmicroετρητικούςraquo ανιχνευτές δεν σηmicroαίνουν απαραίτητα ότι τοφως αποτελείται από φωτόνια Πράγmicroατι στις περισσότερες περιπτώσεις οι παλmicroοίεξόδου microπορούν να εξηγηθούν στο πλαίσιο της πιθανοκρατικής εκδίωξης ενός microεmicroο-νωmicroένου ηλεκτρονίου από microία εκ των κβαντωmicroένων καταστάσεων κάποιου ατόmicroουυπό την επίδραση ενός κλασικού κύmicroατος φωτός Συνεπώς παρrsquo όλο που τα πειράmicroα-τα αυτά συντείνουν προς τη φωτονιακή εικόνα του φωτός δεν παρέχουν αδιάσειστεςαποδείξεις

Ο κλάδος της κβαντικής οπτικής όπως τον γνωρίζουmicroε σήmicroερα ξεκίνησε να ανα-πτύσσεται microόλις στα τέλη της δεκαετίας του 1970 Εκείνη την εποχή προέκυψαν οιπρώτες πειστικές εργαστηριακές παρατηρήσεις φαινοmicroένων που παρέχουν άmicroεσεςενδείξεις της φωτονιακής φύσης του φωτός όπως η αποσυσπείρωση φωτονίων Απότότε microέχρι σήmicroερα ο ορίζοντας του γνωστικού αντικειmicroένου έχει διευρυνθεί σε εκ-πληκτικό βαθmicroό και πλέον περιλαmicroβάνει πολλά νέα θέmicroατα που υπερβαίνουν κατάπολύ τη στενή microελέτη του ίδιου του φωτός Αυτό είναι εmicroφανές από τον Πίνακα 12στον οποίο παρατίθεται ο κατάλογος των εξειδικευmicroένων θεmicroάτων που επιλέχθηκανγια τα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής Στο βιβλίο αυτό το γνω-στικό αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής νοείται υπό αυτήν τη διευρυmicroένη και όχιυπό τη στενή έννοια

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής

Για να αντιληφθούmicroε καλύτερα πώς εντάσσεται το αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικήςστην ευρύτερη εικόνα της κβαντικής θεωρίας ας διατρέξουmicroε microια συνοπτική ιστορίατης ανάπτυξής της Στον Πίνακα 13 παρατίθενται επιγραmicromicroατικά κάποια από τα πιοσηmicroαντικά ορόσηmicroα αυτής της πορείας microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα

Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της οπτικής διατυπώθηκαν δύο αντίπαλες θεω-ρίες η σωmicroατιδιακή θεωρία η οποία προτάθηκε από τον Νεύτωνα και η κυmicroατικήθεωρία η οποία διαmicroορφώθηκε από τον σύγχρονο του Νεύτωνα Ολλανδό φυσικόHuygens Η κυmicroατική θεωρία δικαιώθηκε microε πειστικό τρόπο από το πείραmicroα τηςδιπλής σχισmicroής που πραγmicroατοποίησε ο Young το 1801 και από την κυmicroατική ερmicroη-νεία της περίθλασης από τον Fresnel το 1815 Στη συνέχεια απέκτησε microια στέρεηθεωρητική βάση microε την εξαγωγή της ηλεκτροmicroαγνητικής κυmicroατικής εξίσωσης απότον Maxwell το 1873 Έτσι στα τέλη του 19ου αιώνα η σωmicroατιδιακή θεωρία είχευποβιβαστεί σε ζήτηmicroα καθαρά ιστορικού ενδιαφέροντος

Η κατάσταση αυτή άλλαξε ριζικά το 1901 microέσω της υπόθεσης του Planck ότι ηακτινοβολία microέλανος σώmicroατος εκπέmicroπεται σε διακριτά πακέτα ενέργειας τα οποίαονοmicroάστηκαν κβάντα Χάρις σε αυτήν την παραδοχή ο Planck κατόρθωσε να λύσει

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής 5

Πίνακας 13 Επιλεγmicroένα ορόσηmicroα στην ανάπτυξη της κβαντικής οπτικής microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα Στην τελευ-ταία στήλη υποδεικνύεται το κεφάλαιο του βιβλίου όπου αναπτύσσεται το σχετικό θέmicroα

Έτος Πρόσωπα Νέα εξέλιξη Κεφάλαιο1901 Planck Θεωρία ακτινοβολίας microέλανος σώmicroατος 51905 Einstein Εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοmicroένου 51909 Taylor Συmicroβολή microεmicroονωmicroένων κβάντων 141909 Einstein ∆ιακυmicroάνσεις ακτινοβολίας 51927 Dirac Κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας 81956 Hanbury Brown και Twiss Συmicroβολόmicroετρο έντασης 61963 Glauber Κβαντικές καταστάσεις του φωτός 81972 Gibbs Οπτικές ταλαντώσεις Rabi 91977 Kimble Dagenais και Mandel Αποσυσπείρωση φωτονίων 61981 Aspect Grangier και Roger Παραβιάσεις της ανισότητας του Bell 141985 Slusher et al Συmicroπιεσmicroένο φως 71987 Hong Ou και Mandel Πειράmicroατα microονοφωτονιακής συmicroβολής 141992 Bennett Brassard et al Πειραmicroατική κβαντική κρυπτογραφία 121995 Turchette Kimble et al Πύλη κβαντικής φάσης 10 131995 Anderson Wieman Cornell et al Συmicroπύκνωση ατόmicroων κατά Bose-Einstein 111997 Mewes Ketterle et al Λέιζερ ατόmicroων 111997 Bouwmeester et al Boschi et al Κβαντική τηλεmicroεταφορά φωτονίων 142002 Yuan et al Μονοφωτονιακή φωτοεκπέmicroπουσα δίοδος 6

το πρόβληmicroα της υπεριώδους καταστροφής το οποίο είχε αποτελέσει πραγmicroατικόαίνιγmicroα για τους φυσικούς επί πολλά χρόνια Τέσσερα χρόνια αργότερα το 1905ο Einstein εφάρmicroοσε την κβαντική θεωρία του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλε-κτρικό φαινόmicroενο Αν και οι πρωτοποριακές αυτές ιδέες έθεσαν τα θεmicroέλια για τηνκβαντική θεωρία του φωτός και των ατόmicroων ωστόσο δεν προσέφεραν καθrsquo εαυτές ά-microεσες πειραmicroατικές ενδείξεις της κβαντικής φύσης του φωτός Όπως προαναφέραmicroεαυτό που πιστοποιούν στην πραγmicroατικότητα είναι ότι κάτι είναι κβαντωmicroένο χωρίςόmicroως να αποδεικνύουν ρητά ότι αυτό που είναι κβαντωmicroένο είναι το φως

Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για ένα πραγmicroατικό πείραmicroα κβαντικής οπτικής έγι-νε το 1909 από τον Taylor ο οποίος στο πλαίσιο ενός πειράmicroατος σχισmicroών τύπουYoung microείωσε σταδιακά την ένταση της φωτεινής δέσmicroης microέχρι το σηmicroείο όπου ανάπάσα στιγmicroή θα υπήρχε microόνο ένα κβάντο ενέργειας στην πειραmicroατική διάταξη Τοσυmicroβολόγραmicromicroα που προέκυψε καταγράφηκε microέσω microιας φωτογραφικής πλάκας microεπολύ microεγάλο χρόνο έκθεσης Προς απογοήτευσή του δεν εντόπισε καmicroία αξιοσηmicroεί-ωτη microεταβολή στη microορφή του ακόmicroη και στις χαmicroηλότερες δυνατές εντάσεις

Την ίδια χρονιά ο Einstein microελέτησε τις ενεργειακές διακυmicroάνσεις της ακτινοβο-λίας microέλανος σώmicroατος Στο πλαίσιο αυτής της microελέτης έδειξε ότι λόγω της διακριτήςφύσης της ενέργειας ακτινοβολίας προέκυπτε ένας επιπλέον όρος ανάλογος προς τοmicroέσο πλήθος των κβάντων προβλέποντας microε τον τρόπο αυτό τη σύγχρονη θεωρίατης στατιστικής φωτονίων

Η τυπική θεωρία της κβάντωσης του φωτός διαmicroορφώθηκε τη δεκαετία του 1920microετά τη γέννηση της κβαντικής microηχανικής Το 1926 επινοήθηκε ο όρος laquoφωτόνιοraquoαπό τον Gilbert Lewis ενώ τον επόmicroενο χρόνο ο Dirac δηmicroοσίευσε το γόνιmicroο άρθροτου σχετικά microε την κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας Στα χρόνια που ακολούθησανόmicroως το microεγαλύτερο βάρος δόθηκε στον υπολογισmicroό των οπτικών φασmicroάτων τωνατόmicroων και η αναζήτηση κβαντικών φαινοmicroένων που να σχετίζονται άmicroεσα microε τοίδιο το φως πέρασε σε δεύτερη microοίρα

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

Πρόλογος vii

και τους ∆ρα Gerald Buller και Robert Collins για το Κεφάλαιο 12 Θα ήθελα επίσηςνα ευχαριστήσω τον ∆ρα Ed Daw που microε βοήθησε να κατανοήσω τα συmicroβολόmicroετρακυmicroάτων βαρύτητας Οφείλω microια ιδιαίτερη ευχαριστία στον ∆ρα Geoff Brooker γιατην κριτική ανάγνωση ολόκληρου του χειρογράφου Τρίτον θα ήθελα να ευχαρι-στήσω τον Sonke Adlung της Oxford University Press για την υποστήριξη και τηνυποmicroονή του σε όλη τη διάρκεια της εργασίας και την Anita Petrie για την επίβλεψητης διαδικασίας παραγωγής Είmicroαι επίσης ευγνώmicroων στον ∆ρα Mark Hopkinson γιατην εικόνα ΗΜ∆ στο Σχ ∆3 και στον ∆ρα Robert Taylor για το Σχ 47 Τέλος θα ή-θελα να ευχαριστήσω τον επιβλέψαντα τη διδακτορική microου διατριβή Καθηγητή JohnRyan ο οποίος microε έστρεψε αρχικά προς την κβαντική οπτική καθώς και τους πολ-λούς συναδέλφους που microε έχουν βοηθήσει να πραγmicroατοποιήσω διάφορα πειράmicroατακβαντικής οπτικής στην καριέρα microου

ShefeldΙούνιος 2005

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

11 Τι είναι η κβαντική οπτική 3

12 Συνοπτική ιστορία τηςκβαντικής οπτικής 4

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετεαυτό το βιβλίο 6

11 Τι είναι η κβαντική οπτική

Η κβαντική οπτική είναι το γνωστικό αντικείmicroενο που πραγmicroατεύεται οπτικά φαι-νόmicroενα τα οποία microπορούν να εξηγηθούν microόνο αν αντιmicroετωπίσει κανείς το φως ωςρεύmicroα φωτονίων και όχι ως ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Αν και θεωρητικά η κβαντικήοπτική έχει την ίδια ηλικία microε την ίδια την κβαντική θεωρία στην πράξη είναι έναςσχετικά laquoνεαρόςraquo κλάδος και στην πραγmicroατικότητα έχει έρθει στο προσκήνιο κατάτο τελευταίο τέταρτο του εικοστού αιώνα

Στην προοδευτική ανάπτυξη της θεωρίας του φωτός διακρίνονται microε σαφήνειατρεις γενικές προσεγγίσεις και συγκεκριmicroένα η κλασική η ηmicroικλασική και η κβαν-τική θεωρία οι προσεγγίσεις αυτές περιγράφονται επιγραmicromicroατικά στον Πίνακα 11Εξυπακούεται ότι microόνο η πλήρως κβαντική οπτική προσέγγιση είναι απόλυτα συνε-πής τόσο microε τον εαυτό της όσο και microε το πλήρες σώmicroα των πειραmicroατικών δεδοmicroέ-νων Ωστόσο στις περισσότερες περιπτώσεις οι ηmicroικλασικές θεωρίες είναι επίσηςεπαρκείς Για παράδειγmicroα σε microια εισαγωγική πραγmicroάτευση της θεωρίας της απορ-ρόφησης του φωτός από τα άτοmicroα συνήθως εφαρmicroόζει κανείς την κβαντοmicroηχανικήστα άτοmicroα αλλά αντιmicroετωπίζει το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα

Πίνακας 11 Οι τρεις διαφορετικές προσεγγί-σεις που χρησιmicroοποιούνται για την περιγραφήτης αλληλεπίδρασης microεταξύ φωτός και ύληςΣτην κλασική φυσική το φως νοείται ως ηλε-κτροmicroαγνητικό κύmicroα αλλά η κβαντική οπτικήπραγmicroατεύεται το φως ως ρεύmicroα φωτονίων δη-λαδή εmicroπεριέχει την κβαντική φύση του φωτός

Μοντέλο Άτοmicroα ΦωςΚλασικό Ερτζιανά Κύmicroατα

δίπολαΗmicroικλασικό Κβαντωmicroένα ΚύmicroαταΚβαντικό Κβαντωmicroένα Φωτόνια

Το ερώτηmicroα που θα πρέπει κανείς να θέσει πραγmicroατικά προκειmicroένου να ορίσειτο αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής είναι κατά πόσο υπάρχουν φαινόmicroενα που δενmicroπορούν να εξηγηθούν στο ηmicroικλασικό πλαίσιο Παρrsquo ότι θα σας φανεί ίσως ανα-πάντεχο τέτοιου είδους φαινόmicroενα είναι σχετικά λίγα Μάλιστα microέχρι πριν από 30χρόνια περίπου υπήρχαν ελαχιστότατα φαινόmicroενα ndashκυρίως αυτά που σχετίζονται microετο πεδίο του κενού όπως η αυθόρmicroητη εκποmicroπή και η microετατόπιση Lambndash τα οποίααπαιτούσαν πραγmicroατικά ένα κβαντικό microοντέλο του φωτός

Ας εξετάσουmicroε ένα microόνο παράδειγmicroα το οποίο φαίνεται να απαιτεί microια φωτονια-κή περιγραφή του φωτός το φωτοηλεκτρικό φαινόmicroενο το οποίο περιγράφει τηνεκδίωξη ηλεκτρονίων από ένα microέταλλο microέσω της πρόσπτωσης φωτός Το φαινόmicroε-νο αυτό εξηγήθηκε αρχικά το 1905 από τον Einstein ο οποίος αντιλήφθηκε ότι ταάτοmicroα θα πρέπει να απορροφούν ενέργεια από τη φωτεινή δέσmicroη σε κβαντωmicroέναlaquoπακέταraquo Όπως έδειξε όmicroως microεταγενέστερη προσεκτική ανάλυση τελικά θα microπο-ρούσε κανείς να ερmicroηνεύσει τα αποτελέσmicroατα αντιmicroετωπίζοντας microόνο τα άτοmicroα ωςκβαντωmicroένα αντικείmicroενα και το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Με ανά-λογο σκεπτικό microπορεί να δειχθεί ότι οι microεmicroονωmicroένοι παλmicroοί που εκπέmicroπονται από

3

4 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Πίνακας 12 Επιmicroέρους θέmicroατα που αναπτύχθηκαν στα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής

Έτος Θέmicroα1998 Ψύξη και καθοδήγηση ατόmicroων φασmicroατοσκοπία και συmicroπίεση microέσω λέιζερ1999 Κβαντική οπτική σε ηmicroιαγωγικά υλικά κβαντικές δοmicroές2000 Πειραmicroατικές τεχνολογίες κβαντικής χειραγώγησης2002 Κβαντική ατοmicroική οπτική από την κβαντική επιστήmicroη στην τεχνολογία2003 QED κοιλοτήτων και κβαντικές διακυmicroάνσεις από τις θεmicroελιώδεις έννοιες

στη νανοτεχνολογία

Πηγή European Science Foundation httpwwwesforg

laquomicroονοφωτονιακούς καταmicroετρητικούςraquo ανιχνευτές δεν σηmicroαίνουν απαραίτητα ότι τοφως αποτελείται από φωτόνια Πράγmicroατι στις περισσότερες περιπτώσεις οι παλmicroοίεξόδου microπορούν να εξηγηθούν στο πλαίσιο της πιθανοκρατικής εκδίωξης ενός microεmicroο-νωmicroένου ηλεκτρονίου από microία εκ των κβαντωmicroένων καταστάσεων κάποιου ατόmicroουυπό την επίδραση ενός κλασικού κύmicroατος φωτός Συνεπώς παρrsquo όλο που τα πειράmicroα-τα αυτά συντείνουν προς τη φωτονιακή εικόνα του φωτός δεν παρέχουν αδιάσειστεςαποδείξεις

Ο κλάδος της κβαντικής οπτικής όπως τον γνωρίζουmicroε σήmicroερα ξεκίνησε να ανα-πτύσσεται microόλις στα τέλη της δεκαετίας του 1970 Εκείνη την εποχή προέκυψαν οιπρώτες πειστικές εργαστηριακές παρατηρήσεις φαινοmicroένων που παρέχουν άmicroεσεςενδείξεις της φωτονιακής φύσης του φωτός όπως η αποσυσπείρωση φωτονίων Απότότε microέχρι σήmicroερα ο ορίζοντας του γνωστικού αντικειmicroένου έχει διευρυνθεί σε εκ-πληκτικό βαθmicroό και πλέον περιλαmicroβάνει πολλά νέα θέmicroατα που υπερβαίνουν κατάπολύ τη στενή microελέτη του ίδιου του φωτός Αυτό είναι εmicroφανές από τον Πίνακα 12στον οποίο παρατίθεται ο κατάλογος των εξειδικευmicroένων θεmicroάτων που επιλέχθηκανγια τα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής Στο βιβλίο αυτό το γνω-στικό αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής νοείται υπό αυτήν τη διευρυmicroένη και όχιυπό τη στενή έννοια

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής

Για να αντιληφθούmicroε καλύτερα πώς εντάσσεται το αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικήςστην ευρύτερη εικόνα της κβαντικής θεωρίας ας διατρέξουmicroε microια συνοπτική ιστορίατης ανάπτυξής της Στον Πίνακα 13 παρατίθενται επιγραmicromicroατικά κάποια από τα πιοσηmicroαντικά ορόσηmicroα αυτής της πορείας microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα

Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της οπτικής διατυπώθηκαν δύο αντίπαλες θεω-ρίες η σωmicroατιδιακή θεωρία η οποία προτάθηκε από τον Νεύτωνα και η κυmicroατικήθεωρία η οποία διαmicroορφώθηκε από τον σύγχρονο του Νεύτωνα Ολλανδό φυσικόHuygens Η κυmicroατική θεωρία δικαιώθηκε microε πειστικό τρόπο από το πείραmicroα τηςδιπλής σχισmicroής που πραγmicroατοποίησε ο Young το 1801 και από την κυmicroατική ερmicroη-νεία της περίθλασης από τον Fresnel το 1815 Στη συνέχεια απέκτησε microια στέρεηθεωρητική βάση microε την εξαγωγή της ηλεκτροmicroαγνητικής κυmicroατικής εξίσωσης απότον Maxwell το 1873 Έτσι στα τέλη του 19ου αιώνα η σωmicroατιδιακή θεωρία είχευποβιβαστεί σε ζήτηmicroα καθαρά ιστορικού ενδιαφέροντος

Η κατάσταση αυτή άλλαξε ριζικά το 1901 microέσω της υπόθεσης του Planck ότι ηακτινοβολία microέλανος σώmicroατος εκπέmicroπεται σε διακριτά πακέτα ενέργειας τα οποίαονοmicroάστηκαν κβάντα Χάρις σε αυτήν την παραδοχή ο Planck κατόρθωσε να λύσει

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής 5

Πίνακας 13 Επιλεγmicroένα ορόσηmicroα στην ανάπτυξη της κβαντικής οπτικής microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα Στην τελευ-ταία στήλη υποδεικνύεται το κεφάλαιο του βιβλίου όπου αναπτύσσεται το σχετικό θέmicroα

Έτος Πρόσωπα Νέα εξέλιξη Κεφάλαιο1901 Planck Θεωρία ακτινοβολίας microέλανος σώmicroατος 51905 Einstein Εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοmicroένου 51909 Taylor Συmicroβολή microεmicroονωmicroένων κβάντων 141909 Einstein ∆ιακυmicroάνσεις ακτινοβολίας 51927 Dirac Κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας 81956 Hanbury Brown και Twiss Συmicroβολόmicroετρο έντασης 61963 Glauber Κβαντικές καταστάσεις του φωτός 81972 Gibbs Οπτικές ταλαντώσεις Rabi 91977 Kimble Dagenais και Mandel Αποσυσπείρωση φωτονίων 61981 Aspect Grangier και Roger Παραβιάσεις της ανισότητας του Bell 141985 Slusher et al Συmicroπιεσmicroένο φως 71987 Hong Ou και Mandel Πειράmicroατα microονοφωτονιακής συmicroβολής 141992 Bennett Brassard et al Πειραmicroατική κβαντική κρυπτογραφία 121995 Turchette Kimble et al Πύλη κβαντικής φάσης 10 131995 Anderson Wieman Cornell et al Συmicroπύκνωση ατόmicroων κατά Bose-Einstein 111997 Mewes Ketterle et al Λέιζερ ατόmicroων 111997 Bouwmeester et al Boschi et al Κβαντική τηλεmicroεταφορά φωτονίων 142002 Yuan et al Μονοφωτονιακή φωτοεκπέmicroπουσα δίοδος 6

το πρόβληmicroα της υπεριώδους καταστροφής το οποίο είχε αποτελέσει πραγmicroατικόαίνιγmicroα για τους φυσικούς επί πολλά χρόνια Τέσσερα χρόνια αργότερα το 1905ο Einstein εφάρmicroοσε την κβαντική θεωρία του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλε-κτρικό φαινόmicroενο Αν και οι πρωτοποριακές αυτές ιδέες έθεσαν τα θεmicroέλια για τηνκβαντική θεωρία του φωτός και των ατόmicroων ωστόσο δεν προσέφεραν καθrsquo εαυτές ά-microεσες πειραmicroατικές ενδείξεις της κβαντικής φύσης του φωτός Όπως προαναφέραmicroεαυτό που πιστοποιούν στην πραγmicroατικότητα είναι ότι κάτι είναι κβαντωmicroένο χωρίςόmicroως να αποδεικνύουν ρητά ότι αυτό που είναι κβαντωmicroένο είναι το φως

Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για ένα πραγmicroατικό πείραmicroα κβαντικής οπτικής έγι-νε το 1909 από τον Taylor ο οποίος στο πλαίσιο ενός πειράmicroατος σχισmicroών τύπουYoung microείωσε σταδιακά την ένταση της φωτεινής δέσmicroης microέχρι το σηmicroείο όπου ανάπάσα στιγmicroή θα υπήρχε microόνο ένα κβάντο ενέργειας στην πειραmicroατική διάταξη Τοσυmicroβολόγραmicromicroα που προέκυψε καταγράφηκε microέσω microιας φωτογραφικής πλάκας microεπολύ microεγάλο χρόνο έκθεσης Προς απογοήτευσή του δεν εντόπισε καmicroία αξιοσηmicroεί-ωτη microεταβολή στη microορφή του ακόmicroη και στις χαmicroηλότερες δυνατές εντάσεις

Την ίδια χρονιά ο Einstein microελέτησε τις ενεργειακές διακυmicroάνσεις της ακτινοβο-λίας microέλανος σώmicroατος Στο πλαίσιο αυτής της microελέτης έδειξε ότι λόγω της διακριτήςφύσης της ενέργειας ακτινοβολίας προέκυπτε ένας επιπλέον όρος ανάλογος προς τοmicroέσο πλήθος των κβάντων προβλέποντας microε τον τρόπο αυτό τη σύγχρονη θεωρίατης στατιστικής φωτονίων

Η τυπική θεωρία της κβάντωσης του φωτός διαmicroορφώθηκε τη δεκαετία του 1920microετά τη γέννηση της κβαντικής microηχανικής Το 1926 επινοήθηκε ο όρος laquoφωτόνιοraquoαπό τον Gilbert Lewis ενώ τον επόmicroενο χρόνο ο Dirac δηmicroοσίευσε το γόνιmicroο άρθροτου σχετικά microε την κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας Στα χρόνια που ακολούθησανόmicroως το microεγαλύτερο βάρος δόθηκε στον υπολογισmicroό των οπτικών φασmicroάτων τωνατόmicroων και η αναζήτηση κβαντικών φαινοmicroένων που να σχετίζονται άmicroεσα microε τοίδιο το φως πέρασε σε δεύτερη microοίρα

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

11 Τι είναι η κβαντική οπτική 3

12 Συνοπτική ιστορία τηςκβαντικής οπτικής 4

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετεαυτό το βιβλίο 6

11 Τι είναι η κβαντική οπτική

Η κβαντική οπτική είναι το γνωστικό αντικείmicroενο που πραγmicroατεύεται οπτικά φαι-νόmicroενα τα οποία microπορούν να εξηγηθούν microόνο αν αντιmicroετωπίσει κανείς το φως ωςρεύmicroα φωτονίων και όχι ως ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Αν και θεωρητικά η κβαντικήοπτική έχει την ίδια ηλικία microε την ίδια την κβαντική θεωρία στην πράξη είναι έναςσχετικά laquoνεαρόςraquo κλάδος και στην πραγmicroατικότητα έχει έρθει στο προσκήνιο κατάτο τελευταίο τέταρτο του εικοστού αιώνα

Στην προοδευτική ανάπτυξη της θεωρίας του φωτός διακρίνονται microε σαφήνειατρεις γενικές προσεγγίσεις και συγκεκριmicroένα η κλασική η ηmicroικλασική και η κβαν-τική θεωρία οι προσεγγίσεις αυτές περιγράφονται επιγραmicromicroατικά στον Πίνακα 11Εξυπακούεται ότι microόνο η πλήρως κβαντική οπτική προσέγγιση είναι απόλυτα συνε-πής τόσο microε τον εαυτό της όσο και microε το πλήρες σώmicroα των πειραmicroατικών δεδοmicroέ-νων Ωστόσο στις περισσότερες περιπτώσεις οι ηmicroικλασικές θεωρίες είναι επίσηςεπαρκείς Για παράδειγmicroα σε microια εισαγωγική πραγmicroάτευση της θεωρίας της απορ-ρόφησης του φωτός από τα άτοmicroα συνήθως εφαρmicroόζει κανείς την κβαντοmicroηχανικήστα άτοmicroα αλλά αντιmicroετωπίζει το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα

Πίνακας 11 Οι τρεις διαφορετικές προσεγγί-σεις που χρησιmicroοποιούνται για την περιγραφήτης αλληλεπίδρασης microεταξύ φωτός και ύληςΣτην κλασική φυσική το φως νοείται ως ηλε-κτροmicroαγνητικό κύmicroα αλλά η κβαντική οπτικήπραγmicroατεύεται το φως ως ρεύmicroα φωτονίων δη-λαδή εmicroπεριέχει την κβαντική φύση του φωτός

Μοντέλο Άτοmicroα ΦωςΚλασικό Ερτζιανά Κύmicroατα

δίπολαΗmicroικλασικό Κβαντωmicroένα ΚύmicroαταΚβαντικό Κβαντωmicroένα Φωτόνια

Το ερώτηmicroα που θα πρέπει κανείς να θέσει πραγmicroατικά προκειmicroένου να ορίσειτο αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής είναι κατά πόσο υπάρχουν φαινόmicroενα που δενmicroπορούν να εξηγηθούν στο ηmicroικλασικό πλαίσιο Παρrsquo ότι θα σας φανεί ίσως ανα-πάντεχο τέτοιου είδους φαινόmicroενα είναι σχετικά λίγα Μάλιστα microέχρι πριν από 30χρόνια περίπου υπήρχαν ελαχιστότατα φαινόmicroενα ndashκυρίως αυτά που σχετίζονται microετο πεδίο του κενού όπως η αυθόρmicroητη εκποmicroπή και η microετατόπιση Lambndash τα οποίααπαιτούσαν πραγmicroατικά ένα κβαντικό microοντέλο του φωτός

Ας εξετάσουmicroε ένα microόνο παράδειγmicroα το οποίο φαίνεται να απαιτεί microια φωτονια-κή περιγραφή του φωτός το φωτοηλεκτρικό φαινόmicroενο το οποίο περιγράφει τηνεκδίωξη ηλεκτρονίων από ένα microέταλλο microέσω της πρόσπτωσης φωτός Το φαινόmicroε-νο αυτό εξηγήθηκε αρχικά το 1905 από τον Einstein ο οποίος αντιλήφθηκε ότι ταάτοmicroα θα πρέπει να απορροφούν ενέργεια από τη φωτεινή δέσmicroη σε κβαντωmicroέναlaquoπακέταraquo Όπως έδειξε όmicroως microεταγενέστερη προσεκτική ανάλυση τελικά θα microπο-ρούσε κανείς να ερmicroηνεύσει τα αποτελέσmicroατα αντιmicroετωπίζοντας microόνο τα άτοmicroα ωςκβαντωmicroένα αντικείmicroενα και το φως ως κλασικό ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα Με ανά-λογο σκεπτικό microπορεί να δειχθεί ότι οι microεmicroονωmicroένοι παλmicroοί που εκπέmicroπονται από

3

4 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Πίνακας 12 Επιmicroέρους θέmicroατα που αναπτύχθηκαν στα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής

Έτος Θέmicroα1998 Ψύξη και καθοδήγηση ατόmicroων φασmicroατοσκοπία και συmicroπίεση microέσω λέιζερ1999 Κβαντική οπτική σε ηmicroιαγωγικά υλικά κβαντικές δοmicroές2000 Πειραmicroατικές τεχνολογίες κβαντικής χειραγώγησης2002 Κβαντική ατοmicroική οπτική από την κβαντική επιστήmicroη στην τεχνολογία2003 QED κοιλοτήτων και κβαντικές διακυmicroάνσεις από τις θεmicroελιώδεις έννοιες

στη νανοτεχνολογία

Πηγή European Science Foundation httpwwwesforg

laquomicroονοφωτονιακούς καταmicroετρητικούςraquo ανιχνευτές δεν σηmicroαίνουν απαραίτητα ότι τοφως αποτελείται από φωτόνια Πράγmicroατι στις περισσότερες περιπτώσεις οι παλmicroοίεξόδου microπορούν να εξηγηθούν στο πλαίσιο της πιθανοκρατικής εκδίωξης ενός microεmicroο-νωmicroένου ηλεκτρονίου από microία εκ των κβαντωmicroένων καταστάσεων κάποιου ατόmicroουυπό την επίδραση ενός κλασικού κύmicroατος φωτός Συνεπώς παρrsquo όλο που τα πειράmicroα-τα αυτά συντείνουν προς τη φωτονιακή εικόνα του φωτός δεν παρέχουν αδιάσειστεςαποδείξεις

Ο κλάδος της κβαντικής οπτικής όπως τον γνωρίζουmicroε σήmicroερα ξεκίνησε να ανα-πτύσσεται microόλις στα τέλη της δεκαετίας του 1970 Εκείνη την εποχή προέκυψαν οιπρώτες πειστικές εργαστηριακές παρατηρήσεις φαινοmicroένων που παρέχουν άmicroεσεςενδείξεις της φωτονιακής φύσης του φωτός όπως η αποσυσπείρωση φωτονίων Απότότε microέχρι σήmicroερα ο ορίζοντας του γνωστικού αντικειmicroένου έχει διευρυνθεί σε εκ-πληκτικό βαθmicroό και πλέον περιλαmicroβάνει πολλά νέα θέmicroατα που υπερβαίνουν κατάπολύ τη στενή microελέτη του ίδιου του φωτός Αυτό είναι εmicroφανές από τον Πίνακα 12στον οποίο παρατίθεται ο κατάλογος των εξειδικευmicroένων θεmicroάτων που επιλέχθηκανγια τα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής Στο βιβλίο αυτό το γνω-στικό αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής νοείται υπό αυτήν τη διευρυmicroένη και όχιυπό τη στενή έννοια

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής

Για να αντιληφθούmicroε καλύτερα πώς εντάσσεται το αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικήςστην ευρύτερη εικόνα της κβαντικής θεωρίας ας διατρέξουmicroε microια συνοπτική ιστορίατης ανάπτυξής της Στον Πίνακα 13 παρατίθενται επιγραmicromicroατικά κάποια από τα πιοσηmicroαντικά ορόσηmicroα αυτής της πορείας microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα

Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της οπτικής διατυπώθηκαν δύο αντίπαλες θεω-ρίες η σωmicroατιδιακή θεωρία η οποία προτάθηκε από τον Νεύτωνα και η κυmicroατικήθεωρία η οποία διαmicroορφώθηκε από τον σύγχρονο του Νεύτωνα Ολλανδό φυσικόHuygens Η κυmicroατική θεωρία δικαιώθηκε microε πειστικό τρόπο από το πείραmicroα τηςδιπλής σχισmicroής που πραγmicroατοποίησε ο Young το 1801 και από την κυmicroατική ερmicroη-νεία της περίθλασης από τον Fresnel το 1815 Στη συνέχεια απέκτησε microια στέρεηθεωρητική βάση microε την εξαγωγή της ηλεκτροmicroαγνητικής κυmicroατικής εξίσωσης απότον Maxwell το 1873 Έτσι στα τέλη του 19ου αιώνα η σωmicroατιδιακή θεωρία είχευποβιβαστεί σε ζήτηmicroα καθαρά ιστορικού ενδιαφέροντος

Η κατάσταση αυτή άλλαξε ριζικά το 1901 microέσω της υπόθεσης του Planck ότι ηακτινοβολία microέλανος σώmicroατος εκπέmicroπεται σε διακριτά πακέτα ενέργειας τα οποίαονοmicroάστηκαν κβάντα Χάρις σε αυτήν την παραδοχή ο Planck κατόρθωσε να λύσει

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής 5

Πίνακας 13 Επιλεγmicroένα ορόσηmicroα στην ανάπτυξη της κβαντικής οπτικής microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα Στην τελευ-ταία στήλη υποδεικνύεται το κεφάλαιο του βιβλίου όπου αναπτύσσεται το σχετικό θέmicroα

Έτος Πρόσωπα Νέα εξέλιξη Κεφάλαιο1901 Planck Θεωρία ακτινοβολίας microέλανος σώmicroατος 51905 Einstein Εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοmicroένου 51909 Taylor Συmicroβολή microεmicroονωmicroένων κβάντων 141909 Einstein ∆ιακυmicroάνσεις ακτινοβολίας 51927 Dirac Κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας 81956 Hanbury Brown και Twiss Συmicroβολόmicroετρο έντασης 61963 Glauber Κβαντικές καταστάσεις του φωτός 81972 Gibbs Οπτικές ταλαντώσεις Rabi 91977 Kimble Dagenais και Mandel Αποσυσπείρωση φωτονίων 61981 Aspect Grangier και Roger Παραβιάσεις της ανισότητας του Bell 141985 Slusher et al Συmicroπιεσmicroένο φως 71987 Hong Ou και Mandel Πειράmicroατα microονοφωτονιακής συmicroβολής 141992 Bennett Brassard et al Πειραmicroατική κβαντική κρυπτογραφία 121995 Turchette Kimble et al Πύλη κβαντικής φάσης 10 131995 Anderson Wieman Cornell et al Συmicroπύκνωση ατόmicroων κατά Bose-Einstein 111997 Mewes Ketterle et al Λέιζερ ατόmicroων 111997 Bouwmeester et al Boschi et al Κβαντική τηλεmicroεταφορά φωτονίων 142002 Yuan et al Μονοφωτονιακή φωτοεκπέmicroπουσα δίοδος 6

το πρόβληmicroα της υπεριώδους καταστροφής το οποίο είχε αποτελέσει πραγmicroατικόαίνιγmicroα για τους φυσικούς επί πολλά χρόνια Τέσσερα χρόνια αργότερα το 1905ο Einstein εφάρmicroοσε την κβαντική θεωρία του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλε-κτρικό φαινόmicroενο Αν και οι πρωτοποριακές αυτές ιδέες έθεσαν τα θεmicroέλια για τηνκβαντική θεωρία του φωτός και των ατόmicroων ωστόσο δεν προσέφεραν καθrsquo εαυτές ά-microεσες πειραmicroατικές ενδείξεις της κβαντικής φύσης του φωτός Όπως προαναφέραmicroεαυτό που πιστοποιούν στην πραγmicroατικότητα είναι ότι κάτι είναι κβαντωmicroένο χωρίςόmicroως να αποδεικνύουν ρητά ότι αυτό που είναι κβαντωmicroένο είναι το φως

Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για ένα πραγmicroατικό πείραmicroα κβαντικής οπτικής έγι-νε το 1909 από τον Taylor ο οποίος στο πλαίσιο ενός πειράmicroατος σχισmicroών τύπουYoung microείωσε σταδιακά την ένταση της φωτεινής δέσmicroης microέχρι το σηmicroείο όπου ανάπάσα στιγmicroή θα υπήρχε microόνο ένα κβάντο ενέργειας στην πειραmicroατική διάταξη Τοσυmicroβολόγραmicromicroα που προέκυψε καταγράφηκε microέσω microιας φωτογραφικής πλάκας microεπολύ microεγάλο χρόνο έκθεσης Προς απογοήτευσή του δεν εντόπισε καmicroία αξιοσηmicroεί-ωτη microεταβολή στη microορφή του ακόmicroη και στις χαmicroηλότερες δυνατές εντάσεις

Την ίδια χρονιά ο Einstein microελέτησε τις ενεργειακές διακυmicroάνσεις της ακτινοβο-λίας microέλανος σώmicroατος Στο πλαίσιο αυτής της microελέτης έδειξε ότι λόγω της διακριτήςφύσης της ενέργειας ακτινοβολίας προέκυπτε ένας επιπλέον όρος ανάλογος προς τοmicroέσο πλήθος των κβάντων προβλέποντας microε τον τρόπο αυτό τη σύγχρονη θεωρίατης στατιστικής φωτονίων

Η τυπική θεωρία της κβάντωσης του φωτός διαmicroορφώθηκε τη δεκαετία του 1920microετά τη γέννηση της κβαντικής microηχανικής Το 1926 επινοήθηκε ο όρος laquoφωτόνιοraquoαπό τον Gilbert Lewis ενώ τον επόmicroενο χρόνο ο Dirac δηmicroοσίευσε το γόνιmicroο άρθροτου σχετικά microε την κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας Στα χρόνια που ακολούθησανόmicroως το microεγαλύτερο βάρος δόθηκε στον υπολογισmicroό των οπτικών φασmicroάτων τωνατόmicroων και η αναζήτηση κβαντικών φαινοmicroένων που να σχετίζονται άmicroεσα microε τοίδιο το φως πέρασε σε δεύτερη microοίρα

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

4 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Πίνακας 12 Επιmicroέρους θέmicroατα που αναπτύχθηκαν στα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής

Έτος Θέmicroα1998 Ψύξη και καθοδήγηση ατόmicroων φασmicroατοσκοπία και συmicroπίεση microέσω λέιζερ1999 Κβαντική οπτική σε ηmicroιαγωγικά υλικά κβαντικές δοmicroές2000 Πειραmicroατικές τεχνολογίες κβαντικής χειραγώγησης2002 Κβαντική ατοmicroική οπτική από την κβαντική επιστήmicroη στην τεχνολογία2003 QED κοιλοτήτων και κβαντικές διακυmicroάνσεις από τις θεmicroελιώδεις έννοιες

στη νανοτεχνολογία

Πηγή European Science Foundation httpwwwesforg

laquomicroονοφωτονιακούς καταmicroετρητικούςraquo ανιχνευτές δεν σηmicroαίνουν απαραίτητα ότι τοφως αποτελείται από φωτόνια Πράγmicroατι στις περισσότερες περιπτώσεις οι παλmicroοίεξόδου microπορούν να εξηγηθούν στο πλαίσιο της πιθανοκρατικής εκδίωξης ενός microεmicroο-νωmicroένου ηλεκτρονίου από microία εκ των κβαντωmicroένων καταστάσεων κάποιου ατόmicroουυπό την επίδραση ενός κλασικού κύmicroατος φωτός Συνεπώς παρrsquo όλο που τα πειράmicroα-τα αυτά συντείνουν προς τη φωτονιακή εικόνα του φωτός δεν παρέχουν αδιάσειστεςαποδείξεις

Ο κλάδος της κβαντικής οπτικής όπως τον γνωρίζουmicroε σήmicroερα ξεκίνησε να ανα-πτύσσεται microόλις στα τέλη της δεκαετίας του 1970 Εκείνη την εποχή προέκυψαν οιπρώτες πειστικές εργαστηριακές παρατηρήσεις φαινοmicroένων που παρέχουν άmicroεσεςενδείξεις της φωτονιακής φύσης του φωτός όπως η αποσυσπείρωση φωτονίων Απότότε microέχρι σήmicroερα ο ορίζοντας του γνωστικού αντικειmicroένου έχει διευρυνθεί σε εκ-πληκτικό βαθmicroό και πλέον περιλαmicroβάνει πολλά νέα θέmicroατα που υπερβαίνουν κατάπολύ τη στενή microελέτη του ίδιου του φωτός Αυτό είναι εmicroφανές από τον Πίνακα 12στον οποίο παρατίθεται ο κατάλογος των εξειδικευmicroένων θεmicroάτων που επιλέχθηκανγια τα πρόσφατα Ευρωπαϊκά Συνέδρια Κβαντικής Οπτικής Στο βιβλίο αυτό το γνω-στικό αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικής νοείται υπό αυτήν τη διευρυmicroένη και όχιυπό τη στενή έννοια

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής

Για να αντιληφθούmicroε καλύτερα πώς εντάσσεται το αντικείmicroενο της κβαντικής οπτικήςστην ευρύτερη εικόνα της κβαντικής θεωρίας ας διατρέξουmicroε microια συνοπτική ιστορίατης ανάπτυξής της Στον Πίνακα 13 παρατίθενται επιγραmicromicroατικά κάποια από τα πιοσηmicroαντικά ορόσηmicroα αυτής της πορείας microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα

Στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της οπτικής διατυπώθηκαν δύο αντίπαλες θεω-ρίες η σωmicroατιδιακή θεωρία η οποία προτάθηκε από τον Νεύτωνα και η κυmicroατικήθεωρία η οποία διαmicroορφώθηκε από τον σύγχρονο του Νεύτωνα Ολλανδό φυσικόHuygens Η κυmicroατική θεωρία δικαιώθηκε microε πειστικό τρόπο από το πείραmicroα τηςδιπλής σχισmicroής που πραγmicroατοποίησε ο Young το 1801 και από την κυmicroατική ερmicroη-νεία της περίθλασης από τον Fresnel το 1815 Στη συνέχεια απέκτησε microια στέρεηθεωρητική βάση microε την εξαγωγή της ηλεκτροmicroαγνητικής κυmicroατικής εξίσωσης απότον Maxwell το 1873 Έτσι στα τέλη του 19ου αιώνα η σωmicroατιδιακή θεωρία είχευποβιβαστεί σε ζήτηmicroα καθαρά ιστορικού ενδιαφέροντος

Η κατάσταση αυτή άλλαξε ριζικά το 1901 microέσω της υπόθεσης του Planck ότι ηακτινοβολία microέλανος σώmicroατος εκπέmicroπεται σε διακριτά πακέτα ενέργειας τα οποίαονοmicroάστηκαν κβάντα Χάρις σε αυτήν την παραδοχή ο Planck κατόρθωσε να λύσει

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής 5

Πίνακας 13 Επιλεγmicroένα ορόσηmicroα στην ανάπτυξη της κβαντικής οπτικής microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα Στην τελευ-ταία στήλη υποδεικνύεται το κεφάλαιο του βιβλίου όπου αναπτύσσεται το σχετικό θέmicroα

Έτος Πρόσωπα Νέα εξέλιξη Κεφάλαιο1901 Planck Θεωρία ακτινοβολίας microέλανος σώmicroατος 51905 Einstein Εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοmicroένου 51909 Taylor Συmicroβολή microεmicroονωmicroένων κβάντων 141909 Einstein ∆ιακυmicroάνσεις ακτινοβολίας 51927 Dirac Κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας 81956 Hanbury Brown και Twiss Συmicroβολόmicroετρο έντασης 61963 Glauber Κβαντικές καταστάσεις του φωτός 81972 Gibbs Οπτικές ταλαντώσεις Rabi 91977 Kimble Dagenais και Mandel Αποσυσπείρωση φωτονίων 61981 Aspect Grangier και Roger Παραβιάσεις της ανισότητας του Bell 141985 Slusher et al Συmicroπιεσmicroένο φως 71987 Hong Ou και Mandel Πειράmicroατα microονοφωτονιακής συmicroβολής 141992 Bennett Brassard et al Πειραmicroατική κβαντική κρυπτογραφία 121995 Turchette Kimble et al Πύλη κβαντικής φάσης 10 131995 Anderson Wieman Cornell et al Συmicroπύκνωση ατόmicroων κατά Bose-Einstein 111997 Mewes Ketterle et al Λέιζερ ατόmicroων 111997 Bouwmeester et al Boschi et al Κβαντική τηλεmicroεταφορά φωτονίων 142002 Yuan et al Μονοφωτονιακή φωτοεκπέmicroπουσα δίοδος 6

το πρόβληmicroα της υπεριώδους καταστροφής το οποίο είχε αποτελέσει πραγmicroατικόαίνιγmicroα για τους φυσικούς επί πολλά χρόνια Τέσσερα χρόνια αργότερα το 1905ο Einstein εφάρmicroοσε την κβαντική θεωρία του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλε-κτρικό φαινόmicroενο Αν και οι πρωτοποριακές αυτές ιδέες έθεσαν τα θεmicroέλια για τηνκβαντική θεωρία του φωτός και των ατόmicroων ωστόσο δεν προσέφεραν καθrsquo εαυτές ά-microεσες πειραmicroατικές ενδείξεις της κβαντικής φύσης του φωτός Όπως προαναφέραmicroεαυτό που πιστοποιούν στην πραγmicroατικότητα είναι ότι κάτι είναι κβαντωmicroένο χωρίςόmicroως να αποδεικνύουν ρητά ότι αυτό που είναι κβαντωmicroένο είναι το φως

Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για ένα πραγmicroατικό πείραmicroα κβαντικής οπτικής έγι-νε το 1909 από τον Taylor ο οποίος στο πλαίσιο ενός πειράmicroατος σχισmicroών τύπουYoung microείωσε σταδιακά την ένταση της φωτεινής δέσmicroης microέχρι το σηmicroείο όπου ανάπάσα στιγmicroή θα υπήρχε microόνο ένα κβάντο ενέργειας στην πειραmicroατική διάταξη Τοσυmicroβολόγραmicromicroα που προέκυψε καταγράφηκε microέσω microιας φωτογραφικής πλάκας microεπολύ microεγάλο χρόνο έκθεσης Προς απογοήτευσή του δεν εντόπισε καmicroία αξιοσηmicroεί-ωτη microεταβολή στη microορφή του ακόmicroη και στις χαmicroηλότερες δυνατές εντάσεις

Την ίδια χρονιά ο Einstein microελέτησε τις ενεργειακές διακυmicroάνσεις της ακτινοβο-λίας microέλανος σώmicroατος Στο πλαίσιο αυτής της microελέτης έδειξε ότι λόγω της διακριτήςφύσης της ενέργειας ακτινοβολίας προέκυπτε ένας επιπλέον όρος ανάλογος προς τοmicroέσο πλήθος των κβάντων προβλέποντας microε τον τρόπο αυτό τη σύγχρονη θεωρίατης στατιστικής φωτονίων

Η τυπική θεωρία της κβάντωσης του φωτός διαmicroορφώθηκε τη δεκαετία του 1920microετά τη γέννηση της κβαντικής microηχανικής Το 1926 επινοήθηκε ο όρος laquoφωτόνιοraquoαπό τον Gilbert Lewis ενώ τον επόmicroενο χρόνο ο Dirac δηmicroοσίευσε το γόνιmicroο άρθροτου σχετικά microε την κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας Στα χρόνια που ακολούθησανόmicroως το microεγαλύτερο βάρος δόθηκε στον υπολογισmicroό των οπτικών φασmicroάτων τωνατόmicroων και η αναζήτηση κβαντικών φαινοmicroένων που να σχετίζονται άmicroεσα microε τοίδιο το φως πέρασε σε δεύτερη microοίρα

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

12 Συνοπτική ιστορία της κβαντικής οπτικής 5

Πίνακας 13 Επιλεγmicroένα ορόσηmicroα στην ανάπτυξη της κβαντικής οπτικής microαζί microε ορισmicroένα πρόσφατα επιτεύγmicroατα Στην τελευ-ταία στήλη υποδεικνύεται το κεφάλαιο του βιβλίου όπου αναπτύσσεται το σχετικό θέmicroα

Έτος Πρόσωπα Νέα εξέλιξη Κεφάλαιο1901 Planck Θεωρία ακτινοβολίας microέλανος σώmicroατος 51905 Einstein Εξήγηση του φωτοηλεκτρικού φαινοmicroένου 51909 Taylor Συmicroβολή microεmicroονωmicroένων κβάντων 141909 Einstein ∆ιακυmicroάνσεις ακτινοβολίας 51927 Dirac Κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας 81956 Hanbury Brown και Twiss Συmicroβολόmicroετρο έντασης 61963 Glauber Κβαντικές καταστάσεις του φωτός 81972 Gibbs Οπτικές ταλαντώσεις Rabi 91977 Kimble Dagenais και Mandel Αποσυσπείρωση φωτονίων 61981 Aspect Grangier και Roger Παραβιάσεις της ανισότητας του Bell 141985 Slusher et al Συmicroπιεσmicroένο φως 71987 Hong Ou και Mandel Πειράmicroατα microονοφωτονιακής συmicroβολής 141992 Bennett Brassard et al Πειραmicroατική κβαντική κρυπτογραφία 121995 Turchette Kimble et al Πύλη κβαντικής φάσης 10 131995 Anderson Wieman Cornell et al Συmicroπύκνωση ατόmicroων κατά Bose-Einstein 111997 Mewes Ketterle et al Λέιζερ ατόmicroων 111997 Bouwmeester et al Boschi et al Κβαντική τηλεmicroεταφορά φωτονίων 142002 Yuan et al Μονοφωτονιακή φωτοεκπέmicroπουσα δίοδος 6

το πρόβληmicroα της υπεριώδους καταστροφής το οποίο είχε αποτελέσει πραγmicroατικόαίνιγmicroα για τους φυσικούς επί πολλά χρόνια Τέσσερα χρόνια αργότερα το 1905ο Einstein εφάρmicroοσε την κβαντική θεωρία του Planck για να εξηγήσει το φωτοηλε-κτρικό φαινόmicroενο Αν και οι πρωτοποριακές αυτές ιδέες έθεσαν τα θεmicroέλια για τηνκβαντική θεωρία του φωτός και των ατόmicroων ωστόσο δεν προσέφεραν καθrsquo εαυτές ά-microεσες πειραmicroατικές ενδείξεις της κβαντικής φύσης του φωτός Όπως προαναφέραmicroεαυτό που πιστοποιούν στην πραγmicroατικότητα είναι ότι κάτι είναι κβαντωmicroένο χωρίςόmicroως να αποδεικνύουν ρητά ότι αυτό που είναι κβαντωmicroένο είναι το φως

Η πρώτη σοβαρή απόπειρα για ένα πραγmicroατικό πείραmicroα κβαντικής οπτικής έγι-νε το 1909 από τον Taylor ο οποίος στο πλαίσιο ενός πειράmicroατος σχισmicroών τύπουYoung microείωσε σταδιακά την ένταση της φωτεινής δέσmicroης microέχρι το σηmicroείο όπου ανάπάσα στιγmicroή θα υπήρχε microόνο ένα κβάντο ενέργειας στην πειραmicroατική διάταξη Τοσυmicroβολόγραmicromicroα που προέκυψε καταγράφηκε microέσω microιας φωτογραφικής πλάκας microεπολύ microεγάλο χρόνο έκθεσης Προς απογοήτευσή του δεν εντόπισε καmicroία αξιοσηmicroεί-ωτη microεταβολή στη microορφή του ακόmicroη και στις χαmicroηλότερες δυνατές εντάσεις

Την ίδια χρονιά ο Einstein microελέτησε τις ενεργειακές διακυmicroάνσεις της ακτινοβο-λίας microέλανος σώmicroατος Στο πλαίσιο αυτής της microελέτης έδειξε ότι λόγω της διακριτήςφύσης της ενέργειας ακτινοβολίας προέκυπτε ένας επιπλέον όρος ανάλογος προς τοmicroέσο πλήθος των κβάντων προβλέποντας microε τον τρόπο αυτό τη σύγχρονη θεωρίατης στατιστικής φωτονίων

Η τυπική θεωρία της κβάντωσης του φωτός διαmicroορφώθηκε τη δεκαετία του 1920microετά τη γέννηση της κβαντικής microηχανικής Το 1926 επινοήθηκε ο όρος laquoφωτόνιοraquoαπό τον Gilbert Lewis ενώ τον επόmicroενο χρόνο ο Dirac δηmicroοσίευσε το γόνιmicroο άρθροτου σχετικά microε την κβαντική θεωρία της ακτινοβολίας Στα χρόνια που ακολούθησανόmicroως το microεγαλύτερο βάρος δόθηκε στον υπολογισmicroό των οπτικών φασmicroάτων τωνατόmicroων και η αναζήτηση κβαντικών φαινοmicroένων που να σχετίζονται άmicroεσα microε τοίδιο το φως πέρασε σε δεύτερη microοίρα

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή

Ο σύγχρονος κλάδος της κβαντικής οπτικής γεννήθηκε ουσιαστικά το 1956 microετην εργασία των Hanbury Brown και Twiss Τα πειράmicroατά τους microε αντικείmicroενο τιςσυσχετίσεις microεταξύ εντάσεων αστρικού φωτός οι οποίες καταγράφονταν σε δύο ανε-ξάρτητους ανιχνευτές προκάλεσαν θύελλα αντιπαραθέσεων Όπως αποδείχθηκε στησυνέχεια ήταν δυνατόν να εξηγήσει κανείς τα αποτελέσmicroατα των συγκεκριmicroένωνπειραmicroάτων αντιmicroετωπίζοντας το φως κλασικά και εφαρmicroόζοντας την κβαντική θε-ωρία microόνο στη διαδικασία της φωτοανίχνευσης Ωστόσο τα πειράmicroατα αυτά εξα-κολουθούν να θεωρούνται ορόσηmicroο για τον κλάδο καθώς αποτέλεσαν την πρώτησοβαρή απόπειρα microέτρησης των διακυmicroάνσεων στην ένταση του φωτός σε microικρέςκλίmicroακες χρόνου Η εξέλιξη αυτή άνοιξε τον δρόmicroο για πιο περίτεχνα πειράmicroατα στα-τιστικής φωτονίων τα οποία έmicroελλε τελικά να οδηγήσουν στην παρατήρηση οπτικώνφαινοmicroένων που δεν microπορούν να εξηγηθούν κλασικά

Με την επινόηση του λέιζερ το 1960 αναπτύχθηκε νέο ενδιαφέρον για τον κλά-δο ∆ηmicroιουργήθηκε η ελπίδα ότι το φως λέιζερ θα διέφερε ουσιωδώς ως προς τιςιδιότητές του από τις συmicroβατικές πηγές αλλά οι προσδοκίες αυτές διαψεύστηκανΟ πρώτος ο οποίος έδωσε το 1963 σαφείς ενδείξεις για το πού θα έπρεπε να ανα-ζητηθούν σαφή κβαντοοπτικά φαινόmicroενα ήταν ο Glauber ο οποίος περιέγραψε νέεςκαταστάσεις του φωτός microε διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες από εκείνες του κλα-σικού φωτός Οι microη κλασικές αυτές ιδιότητες επιβεβαιώθηκαν πειραmicroατικά από τουςKimble Dagenais και Mandel το 1977 όταν παρατηρήθηκε για πρώτη φορά η απο-συσπείρωση φωτονίων Οκτώ χρόνια αργότερα οι Slusher et al συmicroπλήρωσαν τηνεικόνα microε την παραγωγή συmicroπιεσmicroένου φωτός στο εργαστήριο

Τα τελευταία χρόνια ο κλάδος έχει διευρυνθεί και πλέον συmicroπεριλαmicroβάνει τασυναφή αντικείmicroενα της κβαντικής επεξεργασίας πληροφοριών και των ελεγχόmicroε-νων αλληλεπιδράσεων φωτός-ύλης Ορόσηmicroο από αυτή την πλευρά θα microπορούσείσως να θεωρηθεί η εργασία του Aspect και των συνεργατών του από το 1981 καιmicroετά οι οποίοι χρησιmicroοποιώντας τα συmicroπεπλεγmicroένα φωτόνια από microια ατοmicroική ριπήκατέδειξαν παραβιάσεις της ανισότητας του Bell δείχνοντας microε αυτόν τον τρόπο πώςmicroπορεί να εφαρmicroοστεί η κβαντική οπτική σε άλλους κλάδους της φυσικής Από τό-τε οι περιπτώσεις χρήσης της κβαντικής οπτικής σε ολοένα και ευρύτερες εφαρmicroογέςαυξάνονται διαρκώς Στον Πίνακα 13 παρατίθενται ορισmicroένα από τα σηmicroαντικότεραπρόσφατα επιτεύγmicroατα

Από την παραπάνω συνοπτική και ατελή επισκόπηση της ανάπτυξης της κβαντι-κής οπτικής είναι φανερό ότι ο κλάδος αυτός έχει laquoενηλικιωθείraquo τα τελευταία χρόνια∆εν είναι πλέον ένας τοmicroέας υψηλής κυρίως ακαδηmicroαϊκής εξειδίκευσης microε λίγεςεφαρmicroογές στον πραγmicroατικό κόσmicroο αλλά ένα ακmicroαίο πεδίο microε ολοένα διευρυνόmicroε-νο ορίζοντα

13 Πώς να χρησιmicroοποιήσετε αυτό το βιβλίο

Η δοmicroή αυτού του βιβλίου απεικονίζεται συνοπτικά στο Σχ 11 Το βιβλίο χωρίζεταισε τέσσερα microέρη

Μέρος I Εισαγωγή και προαπαιτούmicroενες γνώσεις

Μέρος II Φωτόνια

Μέρος III Αλληλεπιδράσεις ατόmicroων-φωτονίων

Μέρος IV Κβαντική επεξεργασία πληροφοριών

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

13 Πώς να χρησιμοποιήσετε αυτό το βιβλίο 7

ΜΕΡΟΣ I ΕΙΣΑΓΩΓΗ amp ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣΕισαγωγή (1)Κλασική οπτική (2)Κβαντομηχανική (3)Ακτινοβολητικές μεταβάσεις στα άτομα (4)

ΜΕΡΟΣ II ΦΩΤΟΝΙΑΣτατιστική φωτονίων (5)Αποσυσπείρωση φωτονίων (6)Σύμφωνες καταστάσεις και συμπιεσμένο φως (7)Φωτονιοπληθικές καταστάσεις (8)

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ ΑΤΟΜΟΥ-ΦΩΤΟΝΙΟΥΣύντονες αλληλεπιδράσεις φωτός-ατόμου (9)Άτομα σε κοιλότητες (10)Ψυχρά άτομα (11)

ΜΕΡΟΣ IV ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝΚβαντική κρυπτογραφία (12)Κβαντική υπολογιστική (13)Σύμπλεκτες καταστάσεις και κβαντική τηλεμεταφορά (14)

Σχήmicroα 11 Σχηmicroατική αναπαράσταση της ανάπτυ-ξης των διαφόρων θεmicroάτων στο εσωτερικό του βιβλί-ου Οι αριθmicroοί στις παρενθέσεις είναι οι αριθmicroοί τωναντίστοιχων κεφαλαίων

Το Μέρος I περιλαmicroβάνει την εισαγωγή και την ύλη laquoυποβάθρουraquo η οποία απο-τελεί την αφετηρία για το υπόλοιπο του βιβλίου ενώ στα microέρη II-IV αναπτύσσεταιη καινούργια ύλη

Οι προαπαιτούmicroενες γνώσεις του Μέρους I έχουν συmicroπεριληφθεί τόσο χάριν επα-νάληψης όσο και για να καλυφθούν τυχόν microικρά κενά στις πρότερες γνώσεις που θεω-ρούνται δεδοmicroένες Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου υπάρχουν λίγες ασκήσεις προκει-microένου να διευκολυνθεί η διαδικασία της επανάληψης Υπάρχουν όmicroως δύο ενότητεςστο Κεφάλαιο 2 οι οποίες ίσως να χρειάζονται πιο προσεκτική microελέτη Στην πρώτητην Ενότητα 23 εξετάζεται η συνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξης ενώ η δεύτερηη Ενότητα 24 αποτελεί microια επισκόπηση της microη γραmicromicroικής οπτικής Καθώς τα συγ-κεκριmicroένα θέmicroατα πολλές φορές δεν καλύπτονται στα εισαγωγικά microαθήmicroατα οπτικήςσυνιστούmicroε στους αναγνώστες που δεν είναι εξοικειωmicroένοι microε αυτά να microελετήσουντις παραπάνω ενότητες προτού προχωρήσουν στα Μέρη II-IV

Η νέα ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το βιβλίο έχει διαρθρωθεί έτσι ώστε ταΜέρηII-IV να είναι λίγο-πολύ ανεξάρτητα microεταξύ τους και να microπορούν να microελετηθούνξεχωριστά Ταυτόχρονα είναι προφανές ότι υπάρχουν κάποιες παραποmicroπές microεταξύτων διαφόρων microερών οι βασικότερες από τις οποίες υποδεικνύονται microε τα βέλη στοΣχ 11 Όλα τα κεφάλαια των Μερών II-IV περιλαmicroβάνουν λυmicroένα παραδείγmicroατακαι αρκετές ασκήσεις Οι λύσεις για ορισmicroένες από τις ασκήσεις σκιαγραφούνταιστο τέλος του βιβλίου όπου παρατίθενται και οι αριθmicroητικές απαντήσεις σε όλεςτις ασκήσεις Το βιβλίο ολοκληρώνεται microε έξι παραρτήmicroατα όπου αναπτύσσονταικάποια επιλεγmicroένα ζητήmicroατα και παρουσιάζεται microια σύνοψη διαφόρων σχετικώνθεmicroάτων που συνδέονται microε τα βασικά αντικείmicroενα microελέτης τα οποία αναπτύσσονταιστα Μέρη II-IV

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

Κεφάλαιο 2

Κλασική οπτική

21 Εξισώσεις του Maxwellκαι ηλεκτροmicroαγνητικάκύmicroατα 8

22 Περίθλαση και συmicroβολή 13

23 Συmicroφωνία 16

24 Μη γραmicromicroική οπτική 19

Ένα εγχειρίδιο κβαντικής οπτικής ενδείκνυται να αρχίζει microε microια σύντοmicroη επισκό-πηση της κλασικής περιγραφής του φωτός Η περιγραφή αυτή η οποία βασίζεται στηθεωρία των ηλεκτροmicroαγνητικών κυmicroάτων που διέπονται από τις εξισώσεις του Ma-xwell επαρκεί για να εξηγηθεί η πλειονότητα των οπτικών φαινοmicroένων ενώ υπέραυτής συνηγορεί ένα πολύ πειστικό σώmicroα πειραmicroατικών δεδοmicroένων Αυτός είναικαι ο λόγος που στα περισσότερα εγχειρίδια οπτικής η ανάπτυξη γίνεται microε βάση τηνκυmicroατική θεωρία και τη θεωρία ακτίνων ενώ η κβαντική οπτική αρκείται σε microια σύν-τοmicroη microνεία Ως εκ τούτου στο βιβλίο αυτό θα επικαλούmicroαστε την κβαντική θεωρίαmicroόνο όταν οι κλασικές εξηγήσεις είναι ανεπαρκείς

Στο κεφάλαιο αυτό θα παραθέσουmicroε microια επισκόπηση των στοιχείων του ηλε-κτροmicroαγνητισmicroού και της κλασικής οπτικής που σχετίζονται microε τα επόmicroενα κεφά-λαια του βιβλίου Υποθέτουmicroε ότι ο αναγνώστης είναι ήδη εξοικειωmicroένος microε αυτάτα ζητήmicroατα και συνεπώς το σχετικό υλικό παρουσιάζεται σε συνοπτική microορφή Τοκεφάλαιο περιλαmicroβάνει επίσης microια microικρή επισκόπηση της κλασικής microη γραmicromicroικήςοπτικής Καθώς το αντικείmicroενο αυτό πιθανόν να είναι σχετικά άγνωστο σε κάποιουςαναγνώστες αναπτύσσεται κάπως εκτενέστερα Στην ενότητα laquoΠεραιτέρω microελέτηraquoπαραθέτουmicroε κάποιες βιβλιογραφικές πηγές για τους αναγνώστες που δεν είναι εξοι-κειωmicroένοι microε κάποια από τα ζητήmicroατα που αναπτύσσονται εδώ

21 Εξισώσεις του Maxwell και ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Η θεωρία του φωτός ως ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος αναπτύχθηκε από τον Maxw-Παλαιότερα βιβλία ηλεκτροmicroαγνητισmicroού τείνουν ναονοmicroάζουν το H microαγνητικό πεδίο και το B είτε πυ-κνότητα microαγνητικής ροής είτε microαγνητική επαγω-γή Ωστόσο αποτελεί πλέον κοινή πρακτική να εκ-φράζονται τα microαγνητικά πεδία σε microονάδες πυκνότη-τας ροής και συγκεκριmicroένα σε Tesla Επιπλέον microπο-ρεί κανείς να ισχυριστεί ότι η πιο θεmicroελιώδης ποσό-τητα είναι το B καθώς η δύναmicroη που υφίσταται έναφορτίο microε ταχύτητα v σε ένα microαγνητικό πεδίο συν-δέεται microε το B microέσω της σχέσης F = qv times BΣτο βιβλίο του Brooker (2003 sect12) microπορεί κανείς ναβρει microια λεπτοmicroερέστερη εξήγηση της διαφοράς microε-ταξύ B και H και microια αιτιολόγηση για την επιλογήτου B ως microαγνητικού πεδίου Η διάκριση δεν έχειιδιαίτερη πρακτική σηmicroασία για την οπτική διότι οιδύο ποσότητες συνήθως συνδέονται γραmicromicroικά microετα-ξύ τους microέσω της Εξ 28

ell στο δεύτερο microισό του 19ου αιώνα και θεωρείται ένας από τους microεγαλύτερουςθριάmicroβους της κλασικής φυσικής Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουmicroε microια σύνοψητης θεωρίας του Maxwell και των αποτελεσmicroάτων που απορρέουν από αυτήν

211 Ηλεκτροmicroαγνητικά πεδία

Οι εξισώσεις του Maxwell είναι διατυπωmicroένες microε επίκεντρο τα δύο θεmicroελιώδη ηλε-κτροmicroαγνητικά πεδία

bull το ηλεκτρικό πεδίο E

bull το microαγνητικό πεδίο B

8

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 9

Ορίζονται επίσης δύο άλλες microεταβλητές που σχετίζονται microε αυτά τα πεδία και συγ-κεκριmicroένα η ηλεκτρική microετατόπιση D και η αντίστοιχη microαγνητική ποσότητα H∆εδοmicroένου ότι και τα δύο αυτά microεγέθη περιλαmicroβάνουν τις επιπτώσεις του εκάστοτευλικού microέσου θα πρέπει προτού διατυπώσουmicroε τις εξισώσεις που πρέπει να επιλυ-θούν να περιγράψουmicroε συνοπτικά πώς εκφράζεται σε ποσοτικό επίπεδο ο τρόποςαπόκρισης του microέσου προς τα πεδία

Η διηλεκτρική απόκριση ενός microέσου καθορίζεται από την ηλεκτρική πόλωσηP η οποία ορίζεται ως η ηλεκτρική διπολική ροπή ανά microονάδα όγκου Η ηλεκτρικήmicroετατόπιση D συνδέεται microε το ηλεκτρικό πεδίο E και την ηλεκτρική πόλωση Pmicroέσω της σχέσης

D = ε0E + P (21)

Σε ένα ισότροπο microέσο τα microικροσκοπικά δίπολα ευθυγραmicromicroίζονται κατά την κατεύ-θυνση του εφαρmicroοζόmicroενου ηλεκτρικού πεδίου και εποmicroένως microπορούmicroε να γράψου-microε Στα ανισότροπα υλικά η τιmicroή του χ εξαρτάται από

την κατεύθυνση του πεδίου σε σχέση microε τους άξο-νες του υλικού Εποmicroένως για την αναπαράστασητης ηλεκτρικής επιδεκτικότητας θα πρέπει να χρησι-microοποιηθεί ένας τανυστής Στα microη γραmicromicroικά υλικάη πόλωση εξαρτάται και από ανώτερες δυνάmicroεις τουηλεκτρικού πεδίου Βλ Ενότητα 24

P = ε0χE (22)

όπου ε0 είναι ηηλεκτρική δεκτικότητα του κενού (8854times10minus12 Fmminus1 σε microονάδεςSI) και χ είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα του microέσου Συνδυάζοντας τις Εξ 21και 22 έχουmicroε ότι

D = ε0εσχE (23)

όπου

εσχ = 1 + χ (24)

Η ποσότητα εσχ είναι η σχετική δεκτικότητα του microέσουΤο αντίστοιχο της Εξ 21 για microαγνητικά πεδία είναι η σχέση

H =1

μ0B minusM (25)

όπου μ0 είναι η microαγνητική διαπερατότητα του κενού (4π times 10minus7 Hmminus1 σε microονάδεςSI) και M είναι η microαγνήτιση του microέσου που ορίζεται ως η microαγνητική ροπή ανάmicroονάδα όγκου Σε ένα ισότροπο υλικό η microαγνητική επιδεκτικότητα χM ορίζεταιως εξής

M = χMH (26)

οπότε η Εξ 25 microπορεί microε αναδιάταξη των όρων να γραφτεί στη microορφή

B = μ0(H +M )

= μ0(1 + χM)H

= μ0μσχH (27)

όπου μσχ = 1 + χM είναι η σχετική microαγνητική διαπερατότητα του microέσου Στοκενό όπου χM = 0 η παραπάνω σχέση ανάγεται στην Ο λόγος που τα microαγνητικά υλικά είναι υπερβολικά

laquoβραδυκίνηταraquo για να αποκριθούν στις οπτικές συ-χνότητες είναι ότι ο χρόνος microαγνητικής απόκρισηςT1 (βλ Εξ Ε21 στο Παράρτηmicroα Ε) είναι πολύ microε-γαλύτερος από την περίοδο ενός οπτικού κύmicroατος(sim10minus15 s) Αντιθέτως η ηλεκτρική επιδεκτικότη-τα είναι microη microηδενική σε οπτικές συχνότητες διότιπεριλαmicroβάνει τις συνεισφορές των διπόλων που σχη-microατίζονται από ταλαντούmicroενα ηλεκτρόνια τα οποίαmicroπορούν να αποκριθούν εύκολα σε αυτές τις κλίmicroα-κες χρόνου

B = μ0H (28)

Στην οπτική υποθέτουmicroε συνήθως ότι τα microαγνητικά δίπολα που συνεισφέρουν στηνχM είναι τόσο laquoβραδυκίνηταraquo που δεν αποκρίνονται και συνεπώς μσχ = 1 Εποmicroέ-νως κατά κανόνα συσχετίζουmicroε τοB microε τοH microέσω της Εξ 28 και χρησιmicroοποιούmicroεεναλλακτικά το ένα ή το άλλο

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

10 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

212 Οι εξισώσεις του Maxwell

Οι νόmicroοι που περιγράφουν τη συνδυασmicroένη ηλεκτρική και microαγνητική απόκριση ενόςmicroέσου συνοψίζονται στις εξισώσεις του Maxwell για τον ηλεκτροmicroαγνητισmicroό

nabla middotD = (29)

nabla middotB = 0 (210)

nablatimesE = minuspartBpartt

(211)

nablatimesH = j +partD

partt (212)

όπου είναι η πυκνότητα ελεύθερου φορτίου και j είναι η πυκνότητα ελεύθερουρεύmicroατος Η πρώτη από αυτές τις εξισώσεις είναι ο νόmicroος του Gauss για την ηλε-κτροστατική Η δεύτερη είναι το αντίστοιχο του νόmicroου του Gauss για τη microαγνητο-στατική microε την παραδοχή ότι δεν υπάρχουν ελεύθερα microαγνητικά microονόπολα Η τρίτηεξίσωση συνδυάζει τον νόmicroο του Faraday και τον νόmicroο του Lenz για την ηλεκτροmicroα-γνητική επαγωγή Η τέταρτη αποτελεί microια διατύπωση του νόmicroου του Ampere όπουο δεύτερος όρος στο δεξί microέλος αντιστοιχεί στο ρεύmicroα microετατόπισης

213 Ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα

Όταν δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία ( = 0) ή ρεύmicroατα (j = 0) οι εξισώσεις τουMaxwell επιδέχονται λύσεις κυmicroατικού τύπου Αυτό microπορεί να δειχθεί ως εξής αν-τικαθιστούmicroε στην Εξ 212 ταD και H microέσω των Εξ 23 και 28 αντίστοιχα οπότεέχουmicroε

1

μ0nablatimesB = ε0εσχ

partEpartt

(213)

Εν συνεχεία παίρνουmicroε τον στροβιλισmicroό της Εξ 211 και απαλείφουmicroε το nabla times Bmicroέσω της Εξ 213

nablatimes (nablatimesE) = minusμ0ε0εσχ part2Epartt2

(214)

Τέλος χρησιmicroοποιώντας τη διανυσmicroατική ταυτότητα

nablatimes (nablatimesE) = nabla(nabla middot E)minusnabla2E (215)

και το γεγονός ότι nabla middot E = 0 (βλ Εξ 29 όπου = 0 και το D δίνεται από τηνΕξ 23) έχουmicroε το τελικό αποτέλεσmicroαΗ εξίσωση για τη microετατόπιση (ΣτΜ από τη laquoθέ-

ση ισορροπίαςraquo) σε ένα κύmicroα που διαδίδεται κατά τηνκατεύθυνση x microε ταχύτητα v είναι

part2y

partx2=

1

v2part2y

partt2

Η Εξίσωση 216 αναπαριστά microια γενίκευση της σχέ-σης αυτής για την περίπτωση ενός κύmicroατος που δια-δίδεται στον τριδιάστατο χώρο

nabla2E = μ0ε0εσχpart2Epartt2

(216)

Η Εξ 216 περιγράφει ηλεκτροmicroαγνητικά κύmicroατα microε ταχύτητα v η οποία δίνεται απότη σχέση

1

v2= μ0ε0εσχ (217)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

21 Οι εξισώσεις του Maxwell και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 11

Στο κενό έχουmicroε εσχ = 1 οπότε η ταχύτητα είναι

c =1

radicμ0ε0

= 2998 times 108 msminus1 (218)

Σε ένα διηλεκτρικό microέσο η ταχύτητα είναι αντίστοιχα

v =1radicεσχ

c equiv c

n (219)

όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης Όπως είναι εmicroφανές από την Εξ 219

n =radicεσχ (220)

Η σχέση αυτή microας επιτρέπει να συσχετίσουmicroε τις οπτικές ιδιότητες ενός microέσου microε τιςδιηλεκτρικές του ιδιότητες

Οι συνήθεις λύσεις των εξισώσεων του Maxwell είναι εγκάρσια κύmicroατα microε το Σε ορισmicroένες ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατόν ναβρεθούν microη εγκάρσιες λύσεις των εξισώσεων τουMa-xwell Μια από αυτές είναι η περίπτωση ενός microε-ταλλικού κυmicroατοδηγού Μια άλλη είναι η περίπτω-ση ενός υλικού microε εσχ = 0 σε κάποια συγκεκριmicroένησυχνότητα (Βλ Άσκηση 21)

ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο κάθετα microεταξύ τους Έστω ένα κύmicroα γωνιακήςσυχνότητας ω που διαδίδεται κατά την κατεύθυνση z microε το ηλεκτρικό πεδίο κατάmicroήκος του άξονα x όπως φαίνεται στο Σχ 21 Αν θέσουmicroε Ey = Ez = 0 και Bx =Bz = 0 οι εξισώσεις του Maxwell 211 και 213 ανάγονται στις εξής σχέσεις

partExpartz

= minuspartBypartt

minuspartBypartz

= μ0ε0εσχpartExpartt

(221)

Οι εξισώσεις αυτές έχουν λύσεις της microορφής Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίο microπορούν επίσηςνα περιγραφούν από microιγαδικές ποσότητες της microορ-φής

Ex(z t) = Ex0 ei(kzminusωt+φ)

και

By(z t) = By0 ei(kzminusωt+φ)

Με τις microιγαδικές λύσεις απλοποιούνται οι microαθηmicroατι-κές πράξεις και για τον λόγο αυτό χρησιmicroοποιούνταιεκτενώς σε όλο το βιβλίο Για να λάβουmicroε τις φυσι-κά microετρήσιmicroες ποσότητες παίρνουmicroε το πραγmicroατικόmicroέρος του microιγαδικού κύmicroατος Η οπτική φάση φ κα-θορίζεται από τις εναρκτήριες συνθήκες στην πηγή ηοποία παράγει το φως

Ex(z t) = Ex0 cos(kz minus ωt+ φ)

By(z t) = By0 cos(kz minus ωt+ φ) (222)

όπου Ex0 είναι το πλάτος φ είναι η οπτική φάση και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα

k =2π

λmicro=ω

v=nω

c (223)

ενώ λmicro είναι το microήκος κύmicroατος εντός του microέσου Θέτοντας τις εκφράσεις 222 στηνΕξ 221 έχουmicroε ότι

By0 =k

ωEx0 =

n

cEx0 (224)

Η αντίστοιχη σχέση για τοHy0 είναι

Hy0 = Ex0Z (225)

(α) (β)

Σχήmicroα 21 Το ηλεκτρικό και το microαγνητικό πεδίοενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος σχηmicroατίζουν έναδεξιόστροφο σύστηmicroα Στην εικόνα (α) βλέπουmicroε τιςκατευθύνσεις των πεδίων σε ένα κύmicroα πολωmicroένο κα-τά τον άξονα x που διαδίδεται κατά την κατεύθυνσηz ενώ στην εικόνα (β) βλέπουmicroε τη χωρική microεταβολήτων πεδίων

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

12 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

όπου Z είναι η εmicroπέδηση κύmicroατος

Z =

radicμ0ε0εσχ

(226)

της οποίας η τιmicroή στον κενό χώρο είναι 377 ΩΗ ροή ενέργειας σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroα microπορεί να υπολογιστεί από το

διάνυσmicroα Poynting

I = E timesH (227)

Το διάνυσmicroα Poynting δίνει την ένταση (δηλ τη ροή ενέργειας (ισχύ) ανά microονάδαεπιφανείας σε Wmminus2) του φωτεινού κύmicroατος Θέτοντας τις εκφράσεις 222ndash226στην Εξ 227 και παίρνοντας τη microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο σε έναν πλήρη κύκλοέχουmicroε

〈I〉 = 1

Z〈E(t)2〉rms =

1

2cε0nE2x0 (228)

όπου το 〈E(t)2〉rms αντιπροσωπεύει το laquomicroέσο τετράγωνοraquo του ηλεκτρικού πεδίουΒλέπουmicroε λοιπόν ότι η ένταση ενός φωτεινού κύmicroατος είναι ανάλογη προς το τετρά-γωνο του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου

214 ΠόλωσηΗ λέξη laquoπόλωσηraquo χρησιmicroοποιείται τόσο για τη διη-λεκτρική πόλωση P όσο και για την κατεύθυνση τουηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτροmicroαγνητικό κύmicroαΤο ποια έννοια είναι η κατάλληλη σε κάθε περίπτωσησυνήθως είναι προφανές από τα συmicroφραζόmicroενα

Η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροmicroαγνητικού κύmicroατος είναι η λε-γόmicroενη πόλωση Υπάρχουν διάφοροι δυνατοί τύποι πόλωσης

bull Γραmicromicroική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερή κατεύθυνση

bull Κυκλική το διάνυσmicroα του ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται καθώς οδεύει τοκύmicroα διαγράφοντας έναν γεωmicroετρικό κύκλο σε κάθε χρονικό κύκλο του κύmicroα-τος Το φως ονοmicroάζεται δεξιόστροφα κυκλικά πολωmicroένο αν το διάνυσmicroα τουΤο κυκλικά πολωmicroένο φως ονοmicroάζεται επίσης laquoθετι-

κόraquo ή laquoαρνητικόraquo ανάλογα microε τον αν περιστρέφεταικατά την ωρολογιακή ή την αντιωρολογιακή φορά ό-πως παρατηρείται από την πηγή Εποmicroένως η θετικήκυκλική πόλωση ισοδυναmicroεί microε την αριστερόστροφηκυκλική πόλωση και αντιστρόφως

ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κατά την ωρολογιακή φορά σε ένα σταθερόεπίπεδο καθώς ο παρατηρητής κοιτάζει προς τη φωτεινή πηγή και αριστερό-στροφα κυκλικά πολωmicroένο αν περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά Τοκυκλικά πολωmicroένο φως microπορεί να αναλυθεί σε δύο κάθετα microεταξύ τους γραmicro-microικά πολωmicroένα κύmicroατα ίσου πλάτους microε διαφορά φάσης 90 microεταξύ τους

bull Ελλειπτική αυτός ο τύπος πόλωσης είναι παρόmicroοιος microε την κυκλική microε τηδιαφορά ότι τα πλάτη των δύο κάθετων γραmicromicroικά πολωmicroένων κυmicroάτων είναιδιαφορετικά microεταξύ τους ή η φάση microεταξύ τους δεν είναι ούτε 0 ούτε 90και συνεπώς το ηλεκτρικό πεδίο διαγράφει microια έλλειψη καθώς οδεύει το κύmicroα

Υπάρχει επίσης και

bull Μη πολωmicroένο φως φως του οποίου η πόλωση είναι τυχαία

Συνεπώς στο Σχήmicroα 21 απεικονίζεται ένα γραmicromicroικά πολωmicroένο κύmicroα microε πόλωσηστην κατεύθυνση του άξονα x

Στον κενό χώρο η πόλωση ενός κύmicroατος είναι σταθερή καθώς αυτό οδεύει Σεορισmicroένα ανισότροπα υλικά όmicroως η πόλωση microπορεί να microεταβάλλεται καθώς οδεύ-ει το κύmicroα Μια συνήθης εκδήλωση οπτικής ανισοτροπίας που παρατηρείται σε microη

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

22 Περίθλαση και συμβολή 13

απορροφητικά υλικά είναι το φαινόmicroενο της διπλοδιάθλασης Οι διπλοδιαθλαστικοίκρύσταλλοι διαχωρίζουν microια τυχαία πολωmicroένη δέσmicroη σε δύο δέσmicroες πολωmicroένες κά-θετα microεταξύ τους που ονοmicroάζονται τακτική ακτίνα και έκτακτη ακτίνα Αυτές οιδύο ακτίνες υπόκεινται σε διαφορετικούς δείκτες διάθλασης nτ και nε αντίστοιχα

Ο πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆) είναι ένα σηmicroαντικό στοιχείο πολλώνκβαντοοπτικών πειραmicroάτων Ένας Π∆∆ απαρτίζεται συνήθως από δύο συγκολληmicroέ-να microεταξύ τους διπλοδιαθλαστικά υλικά όπως ο ασβεστίτης ή ο χαλαζίας και έχειτην ιδιότητα να διαχωρίζει microια φωτεινή δέσmicroη στις κάθετες microεταξύ τους γραmicromicroικάπολωmicroένες συνιστώσες τους όπως φαίνεται στο Σχ 22 Στο σχήmicroα βλέπουmicroε πώςεπιδρά ο διαιρέτης σε microια γραmicromicroικά πολωmicroένη φωτεινή δέσmicroη η οποία οδεύει κατάτον άξονα z όταν οι άξονες των κρυστάλλων είναι προσανατολισmicroένοι έτσι ώστεοι πολώσεις εξόδου να είναι οριζόντια (ο) και κατακόρυφη (κ) Ο διαιρέτης δέσmicroης Αν οι καρτεσιανοί άξονες είναι προσανατολισmicroένοι ό-

πως στο Σχ 21 και η δέσmicroη οδεύει παράλληλα προςmicroια οριζόντια οπτική τράπεζα τα κύmicroατα που είναιπολωmicroένα κατά microήκος του άξονα x ονοmicroάζονται κα-τακόρυφα πολωmicroένα και εκείνα που είναι πολωmicroέναστο επίπεδο y-z ονοmicroάζονται οριζόντια πολωmicroέναγια προφανείς λόγους

αναλύει το ηλεκτρικό πεδίο στις δύο συνιστώσες του κατά microήκος των αξόνων τωνκρυστάλλων οπότε τα πεδία εξόδου έχουν τη microορφή

Eκ = E0 cos θEο = E0 sin θ (229)

όπου E0 είναι το πλάτος του εισερχόmicroενου κύmicroατος και θ είναι η γωνία της πόλωσηςεισόδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα ∆εδοmicroένου ότι η ένταση είναι ανάλογη προςτο τετράγωνο του πλάτους (πρβλ Εξ 228) οι εντάσεις των δύο κάθετα πολωmicroένωνδεσmicroών εξόδου είναι

Iκ = I0 cos2 θ

Iο = I0 sin2 θ (230)

όπου I0 είναι η ένταση της εισερχόmicroενης δέσmicroης Όταν η γωνία θ ρυθmicroιστεί στις 45ο λόγος διαίρεσης της έντασης είναι 50 50 Ίδιο λόγο διαίρεσης έχουmicroε και όταν τοεισερχόmicroενο φως είναι microη πολωmicroένο οπότε θα πρέπει να πάρουmicroε τις microέσες τιmicroέςτων cos2 θ και sin2 θ για όλες τις δυνατές γωνίες οι οποίες είναι ίσες microε 12

ΠΔΔ

Σχήmicroα 22 Ένας πολωτικός διαιρέτης δέσmicroης (Π∆∆)διαχωρίζει ένα εισερχόmicroενο κύmicroα σε δύο δέσmicroες πο-λωmicroένες κάθετα microεταξύ τους Το σχήmicroα απεικονίζειτην περίπτωση όπου ο προσανατολισmicroός του διαιρέτηδέσmicroης έχει τεθεί έτσι ώστε να προκύπτει microια κατα-κόρυφα και microια οριζόντια πολωmicroένη δέσmicroη

22 Περίθλαση και συmicroβολή

Η κυmicroατική φύση του φωτός καταδεικνύεται microε τον σαφέστερο δυνατό τρόπο microέσωτων φαινοmicroένων της περίθλασης και της συmicroβολής Καθώς τα φαινόmicroενα αυτά εξε-τάζονται σε όλα τα κλασικά εγχειρίδια οπτικής δεν θα τα microελετήσουmicroε αναλυτικάαλλά θα παραθέσουmicroε απλώς κάποια σηmicroαντικά αποτελέσmicroατα που θα microας χρεια-στούν παρακάτω κατά την ανάπτυξη της ύλης microας

221 Περίθλαση

Ας εξετάσουmicroε την περίθλαση επίπεδου παράλληλου φωτός microε microήκος κύmicroατος λ απόmicroια microονή σχισmicroή πλάτους d όπως φαίνεται στο Σχ 23 Στην περίπτωση αυτή microπο-ρούmicroε να διακρίνουmicroε δύο γενικές laquoεπικράτειεςraquo αυτή της περίθλασης Fresnel καιαυτή της περίθλασης Fraunhofer Η διάκριση microεταξύ τους βασίζεται στην απόστα-ση L microεταξύ της σχισmicroής και του πετάσmicroατος Όταν η L είναι πολύ microεγαλύτερη απότην απόσταση Rayleigh (d2λ) λέmicroε ότι το περιθλασίγραmicromicroα εmicroπίπτει στο όριο τουαπώτερου πεδίου (Fraunhofer) Από την άλλη πλευρά όταν L d2λ βρισκόmicroα- Για να επιτύχουmicroε τη συνθήκη Fraunhofer πειραmicroατι-

κά συχνά εισάγουmicroε έναν φακό ανάmicroεσα στη σχισmicroήκαι στο πέτασmicroα και εκτελούmicroε τις παρατηρήσεις στοεστιακό επίπεδο του φακού

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

14 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Σχήmicroα 23 Επίπεδα παράλληλα κύmicroατα που προσπί-πτουν σε microια σχισmicroή πλάτους d περιθλώνται οπότεπροκύπτει κάποια κατανοmicroή έντασης επάνω σε έναπέτασmicroα Το περιθλασίγραmicromicroα που απεικονίζεται στοσυγκεκριmicroένο σχήmicroα αντιστοιχεί στο όριο Fraunho-fer στο οποίο βρισκόmicroαστε όταν η απόσταση L microε-ταξύ σχισmicroής και πετάσmicroατος είναι microεγάλη Σχισμή Πέτασμα

στε στην επικράτεια του εγγύς πεδίου (Fresnel) Εφεξής θα εξετάσουmicroε microόνο τηνπερίθλαση Fraunhofer

Στο όριο Fraunhofer για να βρούmicroε την ένταση που καταγράφεται στο πέτασmicroασε γωνία θ αθροίζουmicroε τις πεδιακές συνεισφορές από όλο το εύρος της σχισmicroήςΣτην περιγραφή φαινοmicroένων περίθλασης και συmicroβο-

λής και άρα και των φαινοmicroένων συmicroφωνίας η microα-θηmicroατική επεξεργασία είναι πιο συνοπτική όταν χρη-σιmicroοποιείται η microιγαδική-εκθετική αναπαράσταση τουηλεκτρικού πεδίου Σε όλη την ανάλυσή microας εξυπο-νοείται ότι για να πάρουmicroε τις microετρήσιmicroες ποσότητεςλαmicroβάνουmicroε όποτε είναι σκόπιmicroο το πραγmicroατικό microέ-ρος των microιγαδικών ποσοτήτων που υπολογίζονται

E(θ) propint +d2

minusd2exp(minusikx sin θ) dx (231)

όπου kx sin θ είναι η σχετική microετατόπιση φάσης σε κάποια θέση x κατά microήκος τηςσχισmicroής και k είναι το κυmicroατάνυσmicroα που ορίζεται στην Εξ 223 Αν υπολογίσουmicroετο ολοκλήρωmicroα και πάρουmicroε το microέτρο στο τετράγωνο για να λάβουmicroε την έντασηβρίσκουmicroε ότι

I(θ) prop(sin β

β

)2

(232)

όπου

β =1

2kd sin θ (233)

Το περιθλασίγραmicromicroα απεικονίζεται στο Σχ 23 Το κύριο microέγιστο βρίσκεται στη θέσηθ = 0 ενώ υπάρχουν ελάχιστα σε όλες τις θέσεις όπου β = mπ όπου m ακέραιος∆ευτερεύοντα microέγιστα εmicroφανίζονται ακριβώς στις θέσεις β = (2m+1)π2 γιαm ge1 Η ένταση στο πρώτο δευτερεύον microέγιστο είναι λιγότερο από το 5της έντασης στοκύριο microέγιστο ενώ η ένταση microειώνεται προοδευτικά στα microέγιστα ανώτερων τάξεωνΗ γωνία όπου εmicroφανίζεται το πρώτο ελάχιστο δίνεται από τη σχέση

sin θmin = plusmnλd (234)

Εάν microπορεί να εφαρmicroοστεί η προσέγγιση microικρής γωνίας η σχέση αυτή ανάγεται στην

θmin = plusmnλd (235)

Εποmicroένως microπορούmicroε να θεωρήσουmicroε ότι η περίθλαση από microια σχισmicroή προκαλεί γω-νιακή διασπορά microεγέθους simλd

Τα περιθλασιγράmicromicroατα που παράγονται από διαφράγmicroατα microε διαφορετικά σχήmicroα-τα microπορούν να υπολογιστούν microε παρόmicroοιες microεθόδους Ένα σηmicroαντικό παράδειγmicroαείναι η περίπτωση microιας κυκλικής οπής διαmicroέτρου D Η κατανοmicroή της έντασης έχεικυκλική συmicromicroετρία περί τον άξονα microε κύριο microέγιστο στη θέση θ = 0 και το πρώτοελάχιστο σε γωνία θmin όπου

sin θmin = 122λ

D (236)

Το αποτέλεσmicroα αυτό χρησιmicroοποιείται συχνά για τον υπολογισmicroό της διακριτικής ικα-νότητας οπτικών οργάνων όπως τα τηλεσκόπια και τα microικροσκόπια

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

22 Περίθλαση και συμβολή 15

222 Συmicroβολή

Τα συmicroβολογράmicromicroατα εν γένει προκύπτουν στις περιπτώσεις όπου ένα φωτεινό κύmicroαδιαιρείται και κατόπιν επανενώνεται microε κάποια διαφορά φάσης microεταξύ των δυο δια-δροmicroών Υπάρχουν πολλές διαφορετικές περιπτώσεις συmicroβολής η πιο αρχετυπικήείναι microάλλον το πείραmicroα διπλής σχισmicroής του Young Οι βασικές αρχές microπορούν όmicroωςνα κατανοηθούν εύκολα microέσω του συmicroβολόmicroετρου τουMichelson το οποίο απεικο-νίζεται στο Σχ 24 Η διάταξη αυτή αποτελεί επίσης ένα χρήσιmicroο πλαίσιο αναφοράςγια τη microελέτη της έννοιας της συmicroφωνίας στην επόmicroενη ενότητα

Στην απλούστερη εκδοχή του το συmicroβολόmicroετρο του Michelson αποτελείται απόέναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆) 50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 ανάmicroεσα στα στοι-χεία αυτά υπάρχει microόνο ατmicroοσφαιρικός αέρας Το φως προσπίπτει στην πύλη εισό-δου του διαιρέτη δέσmicroης όπου διαιρείται και κατευθύνεται προς τα κάτοπτρα Τοφως που ανακλάται από τα Κ1 και Κ2 επανασυνδέεται στον διαιρέτη δέσmicroης και microετον τρόπο αυτό προκύπτει στην πύλη εξόδου ένα συmicroβολόγραmicromicroα Το microήκος δια-δροmicroής ενός από τους βραχίονες microπορεί να microεταβληθεί microε microετακίνηση ενός εκ τωνκατόπτρων (λόγου χάριν του Κ2) στην κατεύθυνση παράλληλα προς τη δέσmicroη

Έστω ότι η δέσmicroη εισόδου αποτελείται από παράλληλες ακτίνες από microια γραmicromicroικά Αmicroφότερες οι δέσmicroες που εξέρχονται από την πύληεξόδου έχουν διέλθει microία φορά και έχουν ανακλαστείmicroία φορά από τον διαιρέτη δέσmicroης Ας υποθέσουmicroεότι ο διαιρέτης δέσmicroης είναι ένα laquoηmicroιεπαργυρωmicroένοκάτοπτροraquo που αποτελείται από microια γυάλινη πλάκα microεηmicroιανακλαστική επίστρωση στη microία πλευρά και αν-τιανακλαστική επίστρωση στην άλλη Η microία από τιςανακλάσεις θα λάβει χώρα microε πρόσπτωση της φωτει-νής δέσmicroης από τον αέρα και η άλλη microε πρόσπτω-ση από το εσωτερικό του γυαλιού Οι microεταβολές φά-σης που προκαλούνται από αυτές τις δύο ανακλάσειςδεν είναι ίδιες Συγκεκριmicroένα η απαίτηση διατήρη-σης της ενέργειας στον διαιρέτη δέσmicroης συνήθως θαικανοποιείται εάν Δφ = π (Βλ Άσκηση 714)

πολωmicroένη microονοχρωmicroατική πηγή microήκους κύmicroατος λ και πλάτους E0 Για να πάρουmicroετο πεδίο εξόδου αθροίζουmicroε τις δύο συνεισφορές από τα κύmicroατα που ανακλώνταιαπό τα Κ1 και Κ2 των οποίων οι φάσεις καθορίζονται από τα microήκη των αντίστοιχωνδιαδροmicroών

Eεξ = E1 + E2

=1

2E0ei2kL1 +

1

2E0ei2kL2eiΔφ

=1

2E0ei2kL1

(1 + ei2kΔLeiΔφ

) (237)

όπου ΔL = L2 minus L1 και k = 2πλ ως συνήθως Ο παράγοντας Δφ καλύπτει τηνπιθανότητα να υπάρχουν microεταβολές φάσης microεταξύ των δύο διαδροmicroών ακόmicroη καιόταν L1 = L2 Μέγιστα του πεδίου εmicroφανίζονται όταν

4π

λΔL+Δφ = 2mπ (238)

K1

K2Είσοδος

Έξοδος

ΔΔ

Σχήmicroα 24 Το συmicroβολόmicroετρο του Michelson Ηδιάταξη αποτελείται από έναν διαιρέτη δέσmicroης (∆∆)50 50 και δύο κάτοπτρα Κ1 και Κ2 Καθώς το microή-κος ενός από τους βραχίονες (του βραχίονα 2 στηνπροκειmicroένη περίπτωση) microεταβάλλεται παρατηρούν-ται κροσσοί συmicroβολής στην πύλη εξόδου

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

16 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

και ελάχιστα όταν

4π

λΔL+Δφ = (2m+ 1)π (239)

όπου οm είναι και πάλι ακέραιος Συνεπώς καθώς σαρώνουmicroε το microήκος L2 εmicroφα-νίζονται στην πύλη εξόδου φωτεινοί και σκοτεινοί κροσσοί microε περίοδο ίση microε λ2Εποmicroένως το συmicroβολόmicroετρο αποτελεί microια πολύ ευαίσθητη διάταξη για τη microέτρησηδιαφορών στα microήκη οπτικών διαδροmicroών των δύο βραχιόνων

Τυπική εφαρmicroογή του συmicroβολόmicroετρου του Michelson είναι η microέτρηση του δεί-κτη διάθλασης αραιών microέσων όπως είναι τα αέρια Το συmicroβολόmicroετρο ρυθmicroίζεται σεκατάσταση L1 asymp L2 και κατόπιν εισάγεται microε βραδύ ρυθmicroό σε έναν αρχικά κενόθάλαmicroο microήκους L σε έναν από τους βραχίονες ένα αέριο microε δείκτη διάθλασης n Κα-ταγράφοντας τη microετατόπιση των κροσσών στην πύλη εξόδου κατά την εισαγωγή τουαερίου microπορεί κανείς να προσδιορίσει τη microεταβολή του σχετικού microήκους διαδροmicroήςmicroεταξύ των δύο βραχιόνων δηλαδή την ποσότητα 2(n minus 1)L και συνεπώς και τονδείκτη διάθλασης n

23 Συmicroφωνία

Αναλύοντας το συmicroβολόγραmicromicroα που παράγεται από ένα συmicroβολόmicroετρο Michelsonστην προηγούmicroενη ενότητα υποθέσαmicroε ότι η microετατόπιση φάσης ανάmicroεσα στα δύοσυmicroβάλλοντα πεδία καθορίζεται microόνο από τη διαφορά διαδροmicroής 2ΔL ανάmicroεσαστους βραχίονες Αυτό όmicroως είναι ένα εξιδανικευmicroένο σενάριο που δεν λαmicroβάνειυπόψη τη σταθερότητα συχνότητας του φωτός Στις πραγmicroατικές πηγές η έξοδος πε-Οι microηχανισmicroοί διαπλάτυνσης των φασmicroατικών γραmicro-

microών εξετάζονται στην Ενότητα 44 ριέχει microια έκτασηΔω γωνιακών συχνοτήτων οπότε υπάρχει η πιθανότητα οι φωτει-νοί κροσσοί για κάποια συχνότητα να βρίσκονται στην ίδια θέση microε τους σκοτεινούςκροσσούς για κάποια άλλη ∆εδοmicroένου ότι αυτή η επικάλυψη εξαλείφει το συmicroβολό-γραmicromicroα είναι προφανές ότι η διασπορά συχνοτήτων της πηγής θέτει πρακτικά όριαστη microέγιστη διαφορά διαδροmicroής που θα δώσει παρατηρήσιmicroους κροσσούς

Η ιδιότητα που περιγράφει τη σταθερότητα του φωτός ονοmicroάζεται συmicroφωνία Ενγένει διακρίνονται δύο τύποι συmicroφωνίαςΟρισmicroένοι συγγραφείς χρησιmicroοποιούν microια διαφορετι-

κή ορολογία ονοmicroάζοντας τη χρονική συmicroφωνία δια-microήκη και τη χωρική εγκάρσια Για microια εύληπτη ανά-λυση της χωρικής συmicroφωνίας βλ τα εγχειρίδια τωνBrooker (2003) και Hecht (2002)

bull χρονική συmicroφωνία

bull χωρική συmicroφωνία

Η microελέτη που ακολουθεί περιορίζεται στη χρονική συmicroφωνία Η έννοια της χωρι-κής συmicroφωνίας εξετάζεται συνοπτικά στην Ενότητα 61 στο πλαίσιο του αστρικούσυmicroβολόmicroετρου Michelson

Η χρονική συmicroφωνία microιας φωτεινής δέσmicroης εκφράζεται ποσοτικά microέσω του χρό-νου συmicroφωνίας της δέσmicroης τσυmicro Μια αντίστοιχη ποσότητα το λεγόmicroενο microήκοςσυmicroφωνίας Lσυmicro προκύπτει microέσω της σχέσης

Lσυmicro = cτσυmicro (240)

Ο χρόνος συmicroφωνίας αντιπροσωπεύει το χρονικό διάστηmicroα στο οποίο η φάση τουκυmicroατοσυρmicroού παραmicroένει σταθερή Αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος σε κάποιαθέση z τη χρονική στιγmicroή t1 τότε η φάση στην ίδια θέση αλλά σε microια διαφορετικήχρονική στιγmicroή t2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότητα εάν |t2 minus t1| τσυmicro και

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

23 Συμφωνία 17

microε πολύ microικρή βεβαιότητα όταν |t2 minus t1| 13 τσυmicro Ισοδύναmicroα microπορούmicroε να πούmicroεότι αν γνωρίζουmicroε τη φάση του κύmicroατος στη θέση z1 κάποια χρονική στιγmicroή t τότεη φάση την ίδια χρονική στιγmicroή στη θέση z2 θα είναι γνωστή microε microεγάλη βεβαιότηταεάν |z2 minus z1| Lσυmicro και microε πολύ microικρή βεβαιότητα εάν |z2 minus z1| 13 Lσυmicro Αυτόσηmicroαίνει για παράδειγmicroα ότι σε ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson θα παρατηρούνταικροσσοί microόνο όταν για τη διαφορά διαδροmicroής ισχύει ότι 2ΔL Lσυmicro

Για να κατανοήσουmicroε τους παράγοντες που καθορίζουν τον χρόνο συmicroφωνίας αςεξετάσουmicroε το φιλτραρισmicroένο φως από microια microεmicroονωmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή ενόςλαmicroπτήρα εκκένωσης Έστω ότι η φασmicroατική γραmicromicroή είναι διαπλατυσmicroένη λόγωπίεσης οπότε το φασmicroατικό εύρος της Δω καθορίζεται από τον microέσο χρόνο τκρούσηmicroεταξύ των κρούσεων των ατόmicroων (βλ Ενότητα 443) Υποθέτουmicroε ότι το φως πα- Ο συγκεκριmicroένος τύπος ακτινοβολίας αποτελεί πα-

ράδειγmicroα χαοτικού φωτός Η ονοmicroασία αναφέρεταιστην τυχαιότητα των διαδικασιών της διέγερσης καιτης διακοπής φάσης

ράγεται από ένα σύνολο ατόmicroων τα οποία διεγείρονται microε τυχαίο τρόπο microέσω τηςηλεκτρικής εκκένωσης και κατόπιν εκπέmicroπουν microια laquoριπήraquo ακτινοβολίας microε σταθερήφάση microέχρις ότου να διακοπούν microε τυχαίο τρόπο από microια κρούση Είναι προφανέςότι σε αυτή την περίπτωση ο χρόνος συmicroφωνίας θα έχει ως όριο την τιmicroή τκρούση Επι-πλέον δεδοmicroένου ότι το τκρούση καθορίζει επίσης το εύρος της φασmicroατικής γραmicromicroήςθα ισχύει επίσης ότι

τσυmicro asymp1

Δω (241)

Στην πραγmicroατικότητα η σχέση 241 είναι γενική και δείχνει ότι ο χρόνος συmicroφωνίας Για την απόδειξη της σχέσης 241 στη γενική περίπτω-ση βλ πχ το εγχειρίδιο του Brooker (2003 sect911)καθορίζεται από το φασmicroατικό εύρος του φωτός Είναι σαφές λοιπόν ότι microια απόλυτα

microονοχρωmicroατική πηγή microεΔω=0 έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας (απόλυτη συmicroφωνία)ενώ το λευκό φως που εκπέmicroπεται από microια θερmicroική πηγή έχει πολύ microικρό χρόνοσυmicroφωνίας Μια φιλτραρισmicroένη φασmicroατική γραmicromicroή από έναν λαmicroπτήρα εκκένωσηςαποτελεί microια ενδιάmicroεση περίπτωση και χαρακτηρίζεται microερικώς σύmicroφωνη

Η χρονική συmicroφωνία του φωτός microπορεί να εκφραστεί ποσοτικά microε microεγαλύτερη Στο Κεφάλαιο 6 θα microελετήσουmicroε τις ιδιότητες της συ-νάρτησης συσχέτισης δεύτερης τάξης g(2)(τ) Ο λό-γος που αυτή η συνάρτηση συσχέτισης ονοmicroάζεται έ-τσι είναι ότι χαρακτηρίζει τις ιδιότητες της οπτικήςέντασης η οποία είναι ανάλογη προς τη δεύτερη δύ-ναmicroη του ηλεκτρικού πεδίου (πρβλ Εξ 228)

ακρίβεια microέσω της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) η οποία ορίζεταιως εξής

g(1)(τ) =〈Elowast(t)E(t+ τ)〉〈|E(t)|2〉 (242)

Η έκφραση 〈middot middot middot 〉 που χρησιmicroοποιείται σε αυτή τη σχέση δηλώνει ότι παίρνουmicroε τηmicroέση τιmicroή σε ένα microεγάλο χρονικό διάστηmicroα T

〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 = 1

T

intTElowast(t)E(t+ τ) dt (243)

Η g(1)(τ) ονοmicroάζεται laquoσυνάρτηση συσχέτισης πρώτης τάξηςraquo διότι βασίζεται στιςιδιότητες της πρώτης δύναmicroης του ηλεκτρικού πεδίου Ονοmicroάζεται επίσης βαθmicroόςτης συmicroφωνίας πρώτης τάξης

Έστω ότι το πεδίο εισόδου E(t) είναι ηmicroιmicroονοχρωmicroατικό microε κεντρική συχνότηταω0 οπότε microεταβάλλεται microε τον χρόνο ως εξής

E(t) = E0 eminusiω0teiφ(t) (244)

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην Εξ 242 βρίσκουmicroε ότι η g(1)(τ) έχει τηmicroορφή

g(1)(τ) = eminusiω0τlangei[φ(t+τ)minusφ(t)]

rang (245)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

18 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Αυτό σηmicroαίνει ότι το πραγmicroατικό microέρος της g(1)(τ) είναι microια ταλαντωτικού τύπουσυνάρτηση του τ microε περίοδο 2πω0 Αυτή η ταχεία ταλαντωτική διακύmicroανση πα-ράγει τη δοmicroή των κροσσών σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ενώ η πληροφορία σχετικάmicroε τη συmicroφωνία του φωτός εmicroπεριέχεται στη microεταβολή του microέτρου της g(1)(τ) λόγωτου δεύτερου παράγοντα της Εξ 245Φως για το οποίο ισχύει ότι |g(1)(τ) = 1| για όλες τις

τιmicroές του τ χαρακτηρίζεται απόλυτα σύmicroφωνο Ένατέτοιο ιδανικό φως έχει άπειρο χρόνο συmicroφωνίας καιάπειρο microήκος συmicroφωνίας Το υψηλής microονοχρωmicroατι-κότητας φως από ένα λέιζερ microονού διαmicroήκους τρόπουαποτελεί για τις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικούενδιαφέροντος microια αρκετά καλή προσέγγιση του από-λυτα σύmicroφωνου φωτός

Από την Εξ 242 είναι φανερό ότι |g(1)(0)| = 1 σε όλες τις περιπτώσεις Για0 lt τ τσυmicro περιmicroένουmicroε ότι φ(t+ τ) asymp φ(t) και η τιmicroή του |g(1)(τ)| θα παραmicroέ-νει κοντά στη microονάδα Καθώς αυξάνεται το τ το |g(1)(τ)| microειώνεται λόγω της αυξα-νόmicroενης πιθανότητας της τυχαιότητας φάσης Για τ 13 τc η φ(t+τ) θα είναι εντελώςlaquoασυσχέτιστηraquo microε την φ(t) οπότε η microέση τιmicroή της ποσότητας exp i[φ(t+ τ)minusφ(t)]θα είναι microηδέν πράγmicroα που σηmicroαίνει ότι |g(1)(τ)| = 0 Συνεπώς το |g(1)(τ)| microειώ-νεται από το 1 έως το 0 σε χρόνο της τάξης του τσυmicro

Η λεπτοmicroερής microορφή της g(1)(τ) για microερικώς σύmicroφωνο φως εξαρτάται από τονισχύοντα τύπο φασmicroατικής διαπλάτυνσης Για φως microε λορεντζιανό σχήmicroα γραmicromicroήςκαι ηmicroιεύρος Δω σε microονάδες γωνιακής συχνότητας η g(1)(τ) έχει τη microορφήΤα φασmicroατικά σχήmicroατα των γραmicromicroών εξετάζονται

στην Ενότητα 44 Για την εξαγωγή των Εξ 246ndash249 βλ πχ Loudon (2000 sect34) g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

(minus|τ |τσυmicro

) (246)

όπου

τσυmicro = 1Δω (247)

Οι αντίστοιχοι τύποι για γκαουσιανό σχήmicroα γραmicromicroής είναι

g(1)(τ) = eminusiω0τ exp

[minusπ2

(τ

τσυmicro

)2] (248)

όπου

τσυmicro = (8π ln 2)12Δω (249)

Στο Σχ 25 βλέπουmicroε microια τυπική microεταβολή του πραγmicroατικού microέρους της g(1)(τ) συ-ναρτήσει του τ για γκαουσιανό φως Στο συγκεκριmicroένο παράδειγmicroα έχουmicroε θέσει τονχρόνο συmicroφωνίας ίσο microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου τιmicroή αφύσικα microικρήΧρονική καθυστέρηση συμ

Σχήmicroα 25 Τυπική microεταβολή του πραγmicroατικούmicroέρους της συνάρτησης συσχέτισης πρώτης τάξηςg(1)(τ) συναρτήσει της χρονικής καθυστέρησης τγια γκαουσιανό φως microε χρόνο συmicroφωνίας τσυmicro Οχρόνος συmicroφωνίας σε αυτό το παράδειγmicroα έχει επι-λεγεί ίσος microε το 20-πλάσιο της οπτικής περιόδου

Η ορατότητα των κροσσών που παρατηρούνται σε ένα πείραmicroα συmicroβολής ορίζε-ται ως εξής

ορατότητα =Imax minus Imin

Imax + Imin (250)

όπου Imax και Imin είναι οι εντάσεις που καταγράφονται στα microέγιστα και στα ελά-χιστα των κροσσών αντίστοιχα Όπως είναι ποιοτικά προφανές η ορατότητα κα-θορίζεται από τη συmicroφωνία του φωτός και το γεγονός αυτό microπορεί να εκφραστείποσοτικά microε την εύρεση microιας ρητής σχέσης ανάmicroεσα στην ορατότητα και τη συνάρ-τηση συσχέτισης πρώτης τάξης

Ας εξετάσουmicroε ξανά ένα συmicroβολόmicroετρο Michelson έστω ότι έχουmicroε microια φωτεινήπηγή microε σταθερή microέση ένταση οπότε η δοmicroή των κροσσών εξαρτάται microόνο από τηχρονική διαφορά τ ανάmicroεσα στα συmicroβάλλοντα πεδία και όχι από τον απόλυτο χρόνοΕποmicroένως microπορούmicroε να γράψουmicroε το πεδίο εξόδου ως εξήςΣτην Εξ 251 έχουmicroε υποθέσει ότι ο λόγος διαίρε-

σης ισχύος είναι 50 50 οπότε έχουmicroε λόγο σύζευ-ξης πλατών ίσο microε 1

radic2 Έχουmicroε υποθέσει επίσης

ότι η microετατόπιση φάσης Δφ που υπεισέρχεται στηνΕξ 237 ισούται microεπ Η διαφορά διαδροmicroήςΔL συν-δέεται microε το τ microέσω της σχέσης τ = 2ΔLc

Eεξ(t) = 1radic2(E(t) minus E(t+ τ)) (251)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

24 Μη γραμμική οπτική 19

Η κατά microέση τιmicroή ως προς τον χρόνο ένταση που παρατηρείται στην έξοδο είναιανάλογη προς τη microέση τιmicroή του τετραγώνου του microέτρου του πεδίου

I(τ) prop 〈Eεξlowast(t)Eεξ(t)〉prop (〈Elowast(t)E(t)〉+ 〈Elowast(t+ τ)E(t+ τ)〉minus 〈Elowast(t)E(t+ τ)〉 minus 〈Elowast(t+ τ)E(t)〉)2 (252)

Λόγω της σταθερής φύσης της πηγής ο πρώτος και ο δεύτερος όρος είναι ταυτό-σηmicroοι Επιπλέον ο τρίτος και ο τέταρτος όρος είναι microιγαδικές συζυγείς ποσότητεςΕποmicroένως έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉 minus Re[〈Elowast(t)E(t+ τ)〉] (253)

Χρησιmicroοποιώντας στη συνέχεια την Εξ 242 έχουmicroε ότι

I(τ) prop 〈Elowast(t)E(t)〉(1minus Re[g(1)(τ)]

)= I0

(1minus Re[g(1)(τ)]

) (254)

όπου I0 είναι η ένταση εισόδου Αν αντικαταστήσουmicroε στην Εξ 250 microε Imaxmin =

I0(1plusmn |g(1)(τ)|) παίρνουmicroε εύκολα το τελικό αποτέλεσmicroα

ορατότητα = |g(1)(τ)| (255)

Εποmicroένως η ένταση που παρατηρείται στην έξοδο ενός συmicroβολόmicroετρου Michelsonκαθώς σαρώνουmicroε το ΔL θα είχε στην πραγmicroατικότητα τη microορφή του Σχ 25 microετ = 2ΔLc

Στον Πίνακα 21 συνοψίζονται τα βασικά σηmicroεία αυτής της ενότητας

24 Μη γραmicromicroική οπτική

241 Η microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα

Η γραmicromicroική σχέση που εκφράζεται στην Εξ 22 ανάmicroεσα στην ηλεκτρική πόλωσηενός διηλεκτρικού microέσου και στο ηλεκτρικό πεδίο ενός φωτεινού κύmicroατος αποτελείmicroια προσέγγιση η οποία ισχύει microόνο όταν το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου είναιmicroικρό Με την εξάπλωση της χρήσης δεσmicroών microεγάλου πλάτους από ισχυρά λέιζερθα πρέπει να λάβει κανείς υπόψη microια πιο γενική microορφή της Εξ 22 στην οποία ησχέση ανάmicroεσα στην πόλωση και στο ηλεκτρικό πεδίο είναι μη γραμμική

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3 + middot middot middot (256)

Πίνακας 21 Ιδιότητες συmicroφωνίας του φωτός όπως εκφράζονται ποσοτικά microέσω του χρόνου συmicroφωνίας τσυmicro και της συνάρτησηςσυσχέτισης πρώτης τάξης g(1)(τ) Στην τελευταία στήλη υποθέτουmicroε ότι |τ | gt 0

Περιγραφή του φωτός Φασmicroατικό εύρος Συmicroφωνία Χρόνος συmicroφωνίας |g(1)(τ)|Απόλυτα microονοχρωmicroατικό 0 Απόλυτη Άπειρος 1Χαοτικό Δω Μερική sim 1Δω 1 gt |g(1)(τ)| gt 0Ασύmicroφωνο Πρακτικά άπειρο Μηδενική Πρακτικά microηδενικός 0

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)

20 Κεφάλαιο 2 Κλασική οπτική

Ο πρώτος όρος στην Εξ 256 είναι ίδιος microε εκείνον της Εξ 22 και περιγράφει τηγραmicromicroική απόκριση του microέσου Το χ(1) συmicroπίπτει εποmicroένως microε τη γραmicromicroική ηλε-κτρική επιδεκτικότητα χ στην Εξ 22 Οι άλλοι όροι περιγράφουν τη μη γραμμικήαπόκριση του microέσου Ο όρος που είναι ανάλογος του E2 ονοmicroάζεται microη γραmicromicroικήαπόκριση δεύτερης τάξης ενώ η ποσότητα χ(2) είναι η λεγόmicroενη microη γραmicromicroική επι-δεκτικότητα δεύτερης τάξης Αντίστοιχα ο όρος που είναι ανάλογος του E3 ονο-microάζεται microη γραmicromicroική απόκριση τρίτης τάξης και η ποσότητα χ(3) είναι η λεγόmicroενηmicroη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξης Εν γένει microπορούmicroε να γράψουmicroε

P (1) = ε0χ(1)E (257)

P (2) = ε0χ(2)E2 (258)

P (3) = ε0χ(3)E3 (259)

P (n) = ε0χ(n)En (260)

όπου για n ge 2 η P (n) είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική πόλωση ενώ η χ(n)

είναι η n-οστής τάξης microη γραmicromicroική επιδεκτικότηταΣυνήθως οι microη γραmicromicroικές επιδεκτικότητες έχουν αρκετά microικρές τιmicroές Αυτό ση-

microαίνει ότι όταν το microέτρο του ηλεκτρικού πεδίου είναι microικρό οι microη γραmicromicroικοί όροιείναι αmicroελητέοι οπότε επανερχόmicroαστε στη γραmicromicroική σχέση microεταξύ των P και E στην οποία βασίζεται η γραmicromicroική οπτική Όταν όmicroως το ηλεκτρικό πεδίο είναι microε-γάλο οι microη γραmicromicroικοί όροι της Εξ 256 δεν είναι δυνατόν να αγνοηθούν οπότεΟι εντάσεις που παράγονται από συmicroβατικές πηγές ό-

πως οι θερmicroικοί λαmicroπτήρες ή οι λαmicroπτήρες εκκένω-σης συνήθως είναι τόσο microικρές που δεν προκαλούνmicroη γραmicromicroικά φαινόmicroενα οπότε microπορούmicroε να υποθέ-σουmicroε ότι τα οπτικά φαινόmicroενα περιγράφονται ικανο-ποιητικά από τους νόmicroους της γραmicromicroικής οπτικής

εισερχόmicroαστε στην επικράτεια της microη γραmicromicroικής οπτικής όπου λαmicroβάνουν χώραπολλά νέα φαινόmicroενα

Στις υποενότητες που ακολουθούν θα περιγράψουmicroε συνοπτικά microερικά από τασυνηθέστερα microη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης και θα εισαγάγουmicroε την έν-νοια της εναρmicroόνισης φάσης ∆υστυχώς ο χώρος δεν microας επιτρέπει να εξετάσου-microε φαινόmicroενα που προκαλούνται από τη microη γραmicromicroική επιδεκτικότητα τρίτης τάξηςόπως ο τριπλασιασmicroός συχνότητας η αυτοδιαmicroόρφωση φάσης η διφωτονιακή απορ-Ο microη γραmicromicroικός δείκτης διάθλασης εξετάζεται συνο-

πτικά στην Άσκηση 211 ρόφηση το φαινόmicroενο Raman και η εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση

242 Μη γραmicromicroικά φαινόmicroενα δεύτερης τάξης

Η microη γραmicromicroική πόλωση δεύτερης τάξης δίνεται από την Εξ 258 Εάν το microέσο διε-Επανερχόmicroαστε προσωρινά στη χρήση ηmicroιτονικώνκαι συνηmicroιτονικών συναρτήσεων για την αναπαρά-σταση των πεδίων ώστε να διασφαλίσουmicroε ότι χει-ριζόmicroαστε σωστά όλες τις συχνότητες Εάν χρησιmicroο-ποιούσαmicroε τη microιγαδική εκθετική αναπαράσταση θαέπρεπε να φροντίσουmicroε να γράφουmicroε

E(t) = Re[eminusiωt] = 12(eminusiωt + eiωt)

γείρεται από συνηmicroιτονοειδή κύmicroατα microε γωνιακές συχνότητες ω1 και ω2 και πλάτηE1 και E2 αντίστοιχα τότε η microη γραmicromicroική πόλωση θα ισούται microε

P (2)(t) = ε0χ(2) times E1 cosω1ttimes E2 cosω2t

= ε0χ(2)E1E2

1

2[cos (ω1 + ω2)t+ cos (ω1 minus ω2)t] (261)

Βλέπουmicroε λοιπόν ότι η microη γραmicromicroική απόκριση δεύτερης τάξης προκαλεί πόλωση πουταλαντώνεται microε το άθροισmicroα και τη διαφορά των συχνοτήτων των πεδίων εισόδου

ωαθρ = ω1 + ω2 (262)

ωδιαφ = |ω1 minus ω2| (263)