Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Πίνακας ΣυχνοτήτωνΑθροιστική Συχνότητα

Σχετική ΣυχνότηταΑθροιστική Σχετική Συχνότητα

Διαγράμματα

Επιμέλεια

Κόλλας Γ. Αντώνιος [Μαθηματικός]

ViΠίνακας Συχνοτήτων...

Ας υποθέσουμε πως θέλουμε να αναλύσουμε τα αποτελέσματα της γραπτής εξέτασης στο μάθημα «Πληκτικά Μαθηματικά», από ένα δείγμα 40 φοιτητών.

«Η βαθμολογία στο μάθημα τωνΠληκτικών Μαθηματικών»

Για να μπορέσουμε να επεξεργαστούμε τις μετρήσεις με μαθηματικό τρόπο, χρειάζεται να ορίσουμε μια μεταβλητή (δηλ. ένα όνομα) - έστω Χ - η οποία θα αντιπροσωπεύει την ποσότητα την οποία μετράμε. Άρα...

Το σύνολο των μετρήσεων που έχουμε κάνει (δηλαδή, το πόσες βαθμολογίες μετρήσαμε) λέγεται μέγεθος ν του δείγματος και για το παράδειγμά μας είναι:

Συνεπώς, στο παράδειγμά μας θα είναι:

Χ = Αυτό που μετράμε ...

ν = 40

Έστω, λοιπόν, ότι αφού εξετάστηκαν οι 40 φοιτητές συγκεντρώθηκαν οι παρακάτω βαθμολογίες:

5, 3, 7, 6, 2, 10, 8, 6, 4, 4,

6, 9, 1, 5, 5, 7, 7, 3, 7, 6,

5, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 5, 1,

10, 8, 6, 7, 2, 1, 9, 4, 8, 5

Μια καλή ιδέα, γι’ αρχή, θα ήταν να ταξινομήσουμε τις βαθμολογίες, ξαναγράφοντάς τες από τη μικρότερη προς τη

...

1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3

3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5,

5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7,

7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10,10

1, 1, 1, 1, 12, 2, 23, 3, 3, 34, 4, 4, 4, 45, 5, 5, 5, 5, 56, 6, 6, 6, 67, 7, 7, 7, 78, 8, 89, 9

10, 10

Φυσικά, ακόμα καλύτερα θα ήταν κάπως έτσι:

το 1 → 5 φορές

το 2 → 3 φορές

το 3 → 4 φορές

το 4 → 5 φορές

το 5 → 6 φορές

το 6 → 5 φορές

το 7 → 5 φορές

το 8 → 3 φορές

το 9 → 2 φορές

το 10 → 2 φορές

Υπάρχει, όμως, και μια εξυπνότερη ιδέα: αντί να γράφουμε πολλές φορές τον ίδιο αριθμό, είναι προτιμότερο να τον γράφουμε μόνο μια φορά και δίπλα να σημειώνουμε το πόσες φορές τον συναντάμε, δηλαδή...

Τώρα, αντί να γράφουμε συνεχώς τη λέξη «φορές», θα ήταν προτιμότερο να φτιάξουμε ένα μικρό πίνακα:

Βαθμολογία Πόσες φορές

1 5

2 3

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Οι διάφορες βαθμολογίες που διαβάζουμε στην πρώτη στήλη δεν είναι παρά οι διαφορετικές «τιμές» που μπορεί να πάρει η μεταβλητή Χ την οποία μετράμε.

Οι διαφορετικές αυτές τιμές, που παίρνει γενικά το μέγεθος Χ, συμβολίζονται με xi .

Συνεπώς:

x1 = 1 x6 = 6x2 = 2 x7 = 7x3 = 3 x8 = 8x4 = 4 x9 = 9x5 = 5 x10 = 10

Πόσες φορέςΒαθμολογία

210

29

38

57

56

65

54

43

32

51

Πόσες φορέςΒαθμολογία

210

29

38

57

56

65

54

43

32

51x1 =

x2 =

x3 =

x4 =

x5 =

x6 =

x7 =

x8 =

x9 =

x10 =

Το i είναι απλά ένα είδος μετρητή, που

παίρνει τις τιμές

i = 1, 2, 3, …

Επιπλέον, το πόσες φορές μετράμε την κάθε τιμή, δηλαδή οι αριθμοί που καταγράψαμε στη 2η στήλη, ονομάζεται «συχνότητα» της αντίστοιχης τιμής.

Πόσες φορέςΒαθμολογία

210

29

38

57

56

65

54

43

32

51

Πόσες φορέςΒαθμολογία

210

29

38

57

56

65

54

43

32

51

Συνεπώς:

ν1 = 5 ν6 = 5ν2 = 3 ν7 = 5ν3 = 4 ν8 = 3ν4 = 5 ν9 = 2ν5 = 6 ν10 = 2

ν1 =

ν2 =

ν3 =

ν4 =

ν5 =

ν6 =

ν7 =

ν8 =

ν9 =

ν10 =

Η συχνότητα κάθε τιμής xi συμβολίζεται με νi .

i-σιχτίρ με τα μαθηματικά !!!

Έτσι, ο πίνακας που είχαμε φτιάξει αρχικά γράφεται τώρα ακριβέστερα, όπως φαίνεται παρακάτω, και ονομάζεται:

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

1 52 3

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

... γενικότερα τις συχνότητες που εμφανίζεται καθεμία απ’ τις τιμές xi, τότε θα βρούμε το πλήθος όλων των μετρήσεων, δηλαδή το μέγεθος ν του δείγματος. Συνεπώς:

Παρατηρώντας τον πίνακα, είναι προφανές πως αν προσθέσουμε:

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

12

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα

(*) Το κ είναι απλά ένας συμβολισμός που δείχνει πως έχουμε υποθετικά κ διαφορετικές τιμές xi.

ν = ν1 + ν2 + ... + νκ *ν = 40

τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «1» (δηλ. τη συχνότητα ν1)

τις φορές που εμφανίζεται η τιμή «2» (δηλ. τη συχνότητα ν2)

και τα λοιπά ...

Πόσοι φοιτητές έγραψαν 9

Πόσοι φοιτητές έγραψαν έως και 7

Πόσοι φοιτητές έγραψαν το πολύ 4

Πόσοι φοιτητές έγραψαν λιγότερο από 5

Πόσοι φοιτητές έγραψαν περισσότερο από 5

Πόσοι φοιτητές έγραψαν τουλάχιστον 5

Πόσοι φοιτητές έγραψαν μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων)

Πόσοι φοιτητές έγραψαν πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8

κλπ...

Με τη βοήθεια της στήλης των συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, σε ένα σωρό ερωτήσεις των παρακάτω τύπων:

Το ζητούμενο σε καθεμία από τις ερωτήσεις αυτές είναι, πρωτίστως, να καταλάβουμε τι ακριβώς μας ζητάει και ποιες περιπτώσεις περιλαμβάνει. Ή, με άλλα λόγια, να μπορέσουμε να «μεταφράσουμε» τη γλώσσα της γραμματικής στη γλώσσα των μαθηματικών.

Βαθμολογία που Έγραψαν...

Μαθηματική σχέση που αντιστοιχεί

Συχνότητες που αντιστοιχούν

9 (ακριβώς)Σημαίνει αυτό (ακριβώς)

που λέει! x = 9 ν9 2

έως και 7Έγραψαν:

1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7x ≤ 7 ν1 + ν2 + ... + ν7 33

το πολύ 4Έγραψαν:

1, 2, 3, άντε και 4x ≤ 4 ν1 + ν2 + ν3 + ν4 17

λιγότερο από 5Έγραψαν:

1, 2, 3, 4 (όχι όμως και 5)x < 5 ν1 + ν2 + ν3 + ν4 17

περισσότερο από 5Έγραψαν:

6, 7, 8, 9, 10 (όχι όμως 5)x > 5 ν6+ν7+ν8+ν9+ν10 17

τουλάχιστον 7Έγραψαν:

7, 8, 9 & 10x ≥ 7 ν7 + ν8 + ν9 + ν10 12

μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων)

Έγραψαν:8, 9, 10

8 ≤ x ≤ 10 ν8 + ν9 + ν10 7

πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8

Έγραψαν:5, 6, 7 (όχι όμως κι 8)

5 ≤ x < 8 ν5 + ν6 + ν7 16

Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι) ...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

1 5

2 3

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

ΝiΑθροιστική Συχνότητα...

Αν θέλουμε ν’ απαντούμε κατευθείαν στις ερωτήσεις του τύπου «το πολύ» τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια νέα στήλη, που θα την ονομάζουμε «αθροιστική συχνότητα» και θα τη συμβολίζουμε με Νi.

Τη στήλη αυτή θα τη φτιάχνουμε ως εξής:

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5

2 3

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

το ίδιο 5

Αντιγράφουμε στην πρώτη σειρά την 1η συχνότητα όπως ακριβώς είναι (δηλ. τη ν1) και συνεχίζουμε σε κάθε νέα σειρά προσθέτοντας μία-μία όλες τις συχνότητες, φτιάχνοντας έτσι ένα κλιμακωτό άθροισμα. Ας το δούμε αυτό να γίνεται, σταδιακά, στο παράδειγμά μας...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

προσθέτω

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

προσθέτωίσον = 8

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3 8

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

προσθέτω

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3 8

3 4

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

προσθέτωίσον = 12

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3 8

3 4 12

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

προσθέτω

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3 8

3 4 12

4 5

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

προσθέτωίσον = 17

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3 8

3 4 12

4 5 17

5 6

6 5

7 5

8 3

9 2

10 2

Άθροισμα 40

…και με την ίδια λογική...

23

28

33

36

38

40

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

1 5 5

2 3 8

3 4 12

4 5 17

5 6 23

6 5 28

7 5 33

8 3 36

9 2 38

10 2 40

Άθροισμα 40

fiΣχετική Συχνότητα...

Στο παράδειγμά μας, δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο ν’ αντιληφθούμε τι σημαίνει ότι 6 άτομα στα 40 έγραψαν τη βάση, γιατί οι αριθμοί είναι μικροί και στρογγυλοί. Τι θα συνέβαινε όμως αν είχαμε 373 άτομα στα 475 ή 1.430 άτομα στα 9.822;

100ΣΥΝΟΛΟ

ΜΕΡΟΣΠΟΣΟΣΤΟ

Όταν δηλαδή στο δημοτικό λέγαμε ότι από τα 8 κομμάτια μιας πίτσας φάγαμε τα 6, τότε το κλάσμα 6/8 = 0,75 σήμαινε ότι φάγαμε το 0,75∙100 = 75% της πίτσας!

Γενικότερα, κάθε φορά που αντιμετωπίζουμε μεγάλα και «περίεργα» νούμερα και ζητάμε να κατανοήσουμε τί σχέση έχει το μέρος με το σύνολο, τότε χρησιμοποιούμε την έννοια του ποσοστού. Όπως γνωρίζουμε, το ποσοστό το μετράμε συνήθως με βάση το 100, δηλαδή «επί τοις εκατό (%)», όπως συνηθίζουμε να λέμε. Άρα:

σύνολομέρος

Στη Στατιστική το μέγεθος εκείνο που προσδιορίζει τι ποσοστό ενός δείγματός καταλαμβάνει κάποια τιμή xi λέγεται «σχετική συχνότητα» και συμβολίζεται με fi . Σύμφωνα με όσα είπαμε πριν θα είναι, λοιπόν:

ν

νf ii

πχ. Για το παράδειγμα των 40 φοιτητών είναι: f1 = 5 / 40 = 0,125

Συνήθως, μετατρέπουμε το δεκαδικό που προκύπτει σε ποσοστό % - όπως ήδη έχουμε πει - πολλαπλασιάζοντας το με το 100. Έτσι προκύπτει μια ακόμα στήλη: η σχετική συχνότητα (%). Δηλαδή...

f1 = 0,125 ή 0,125∙100 = 12,5 %.

Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

1 5 52 3 83 4 124 5 175 6 236 5 287 5 338 3 369 2 38

10 2 40

Άθροισμα 40

40

5

v

vf 11 0,125 ∙ 100 12,5

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

1 5 5 0,125 12,52 3 83 4 124 5 175 6 236 5 287 5 338 3 369 2 38

10 2 40

Άθροισμα 40

40

3

v

vf 22 0,075 ∙ 100 7,5

Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

1 5 5 0,125 12,52 3 8 0,075 7,53 4 124 5 175 6 236 5 287 5 338 3 369 2 38

10 2 40

Άθροισμα 40

40

4

v

vf 33 0,10 10∙ 100

Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

1 5 5 0,125 12,52 3 8 0,075 7,53 4 12 0,10 104 5 17 0,125 12,55 6 23 0,15 156 5 28 0,125 12,57 5 33 0,125 12,58 3 36 0,075 7,59 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40 1 100

f1 =

f2 =

f3 =

f4 =

f5 =

f6 =

f7 =

f8 =

f9 =

f10 =

…και τα λοιπά...

Έτσι, ο πίνακας μας, με την προσθήκη της fi αποκτάει 2 νέες στήλες:

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Τα αθροίσματα 1 και 100 δεν είναι τυχαία, παρά είναι εκείνα ακριβώς που πρέπει να βρίσκουμε ΠΑΝΤΑ στη βάση της στήλης fi και fi (%), αντίστοιχα.

403836332823171285

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

10,050,05

0,0750,1250,125

0,150,125

0,100,0750,125

ΣχετικήΣυχνότητα

fi

402235565435

Συχνότητα

νi

510

ΣχετικήΣυχνότητα

fi (%)

Τιμές

xi

100Άθροισμα

597,58

12,5712,56

15512,54

1037,52

12,51

403836332823171285

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

10,050,05

0,0750,1250,125

0,150,125

0,100,0750,125

ΣχετικήΣυχνότητα

fi

402235565435

Συχνότητα

νi

510

ΣχετικήΣυχνότητα

fi (%)

Τιμές

xi

100Άθροισμα

597,58

12,5712,56

15512,54

1037,52

12,51

f1 + f2 + … + fκ = 1ή

f1% + f2% + … + fκ% = 100%

Με άλλα λόγια στη μαθηματική γλώσσα, αυτό που πρέπει να ισχύει είναι:

Μικρές αποκλίσεις είναι δυνατό να συμβούν, πχ. 0,98 ή 1,01 εξαιτίας στρογγυλοποιήσεων που πιθανόν έχουν γίνει στους προηγούμενους υπολογισμούς. Δεν πρέπει να μας ανησυχεί κάτι τέτοιο!

Αυτός είναι κι ένας τρόπος να κάνουμε έμμεσα την επαλήθευσή μας!

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε 9

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε έως και 7

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε το πολύ 4

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε λιγότερο από 5

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε περισσότερο από 5

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε τουλάχιστον 5

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε μεταξύ 8 και 10

Τι ποσοστό των φοιτητών έγραψε πάνω απ’ τη βάση & λιγότερο από 8

κλπ...

Με τη βοήθεια της στήλης των σχετικών συχνοτήτων μπορούμε τώρα ν’ απαντήσουμε, εύκολα, στις ίδιες ερωτήσεις που απαντήσαμε νωρίτερα, όταν αντί για απόλυτους αριθμούς μας ζητάνε ποσοστό (%):

Στον επόμενο πίνακα, παρατηρούμε ότι αθροίζουμε ακριβώς τις ίδιες περιπτώσεις, μόνο που κοιτάζουμε στη στήλη των fi αντί εκείνης των νi.

Βαθμολογία που έγραψαν...

Μαθηματική σχέση που αντιστοιχεί

Σχετικές συχνότητες

9 (ακριβώς)Σημαίνει αυτό (ακριβώς)

που λέει! x = 9 f9 5 %

έως και 7Έγραψαν:

1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7x ≤ 7 f1 + f2 + ... + f7 82,5 %

το πολύ 4Έγραψαν:

1, 2, 3, άντε και 4x ≤ 4 f1 + f2 + f3 + f4 42,5 %

λιγότερο από 5Έγραψαν:

1, 2, 3, 4 (όχι όμως και 5)x < 5 f1 + f2 + f3 + f4 42,5 %

περισσότερο από 5Έγραψαν:

6, 7, 8, 9, 10 (όχι όμως 5)x > 5 f6 + f7 + f8 + f9 + f10 42,5 %

τουλάχιστον 7Έγραψαν:

7, 8, 9 & 10x ≥ 7 f7 + f8 + f9 + f10 30 %

μεταξύ 8 και 10 (συμπεριλαμβανομένων)

Έγραψαν:8, 9, 10

8 ≤ x ≤ 10 f8 + f9 + f10 17,5 %

πάνω από τη βάση αλλά λιγότερο από 8

Έγραψαν:5, 6, 7 (όχι όμως κι 8)

5 ≤ x < 8 f5 + f6 + f7 40 %

Αν θες να συμβουλευτείς τον πίνακα, μετακινήσου μπροστά & πίσω (με τα βελάκια ή το ποντίκι) ...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

1 5 5 0,125 12,5

2 3 8 0,075 7,5

3 4 12 0,10 10

4 5 17 0,125 12,5

5 6 23 0,15 15

6 5 28 0,125 12,5

7 5 33 0,125 12,5

8 3 36 0,075 7,5

9 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40 1 100

FiΑθροιστική Σχετική Συχνότητα...

Στη συνέχεια, με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάσαμε τη στήλη Νi (δηλ. τις αθροιστικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη νi (δηλ. τις συχνότητες)…

Η «αθροιστική σχετική συχνότητα» συμβολίζεται με Fi . Από μια άποψη, εκφράζει για τα αντίστοιχα Νi ό,τι εκφράζει και η fi για τα αντίστοιχα vi, δηλαδή το ποσοστό. Για το λόγο αυτό, πολύ συχνά, δίπλα στην απλή στήλη Fi θα κατασκευάζουμε και την Fi (%), απλά πολλαπλασιάζοντας με το 100.

…θα κατασκευάσουμε τη στήλη Fi (δηλ. τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες) κοιτάζοντας τη στήλη fi (δηλ. τις σχετικές συχνότητες)...

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,52 3 8 0,075 7,53 4 12 0,10 104 5 17 0,125 12,55 6 23 0,15 156 5 28 0,125 12,57 5 33 0,125 12,58 3 36 0,075 7,59 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40

το ίδιο 0,125 ∙ 100 12,5 %

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,5 0,125 12,5 %2 3 8 0,075 7,53 4 12 0,10 104 5 17 0,125 12,55 6 23 0,15 156 5 28 0,125 12,57 5 33 0,125 12,58 3 36 0,075 7,59 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40

προσθέτω

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,5 0,125 12,5 %2 3 8 0,075 7,53 4 12 0,10 104 5 17 0,125 12,55 6 23 0,15 156 5 28 0,125 12,57 5 33 0,125 12,58 3 36 0,075 7,59 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40

προσθέτωίσον = 0,20 ∙ 100 20 %

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,5 0,125 12,5 %2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 %3 4 12 0,10 104 5 17 0,125 12,55 6 23 0,15 156 5 28 0,125 12,57 5 33 0,125 12,58 3 36 0,075 7,59 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40

προσθέτω

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,5 0,125 12,5 %2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 %3 4 12 0,10 104 5 17 0,125 12,55 6 23 0,15 156 5 28 0,125 12,57 5 33 0,125 12,58 3 36 0,075 7,59 2 38 0,05 5

10 2 40 0,05 5

Άθροισμα 40

προσθέτω

ίσον = 0,30 ∙ 100 30 %

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,5 0,125 12,5 %2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 %3 4 12 0,10 10 0,30 30 %4 5 17 0,125 12,5 0,425 42,5%5 6 23 0,15 15 0,575 57,5 %6 5 28 0,125 12,5 0,70 70 %7 5 33 0,125 12,5 0,825 82,5 %8 3 36 0,075 7,5 0,90 90 %9 2 38 0,05 5 0,95 95 %

10 2 40 0,05 5 1 100 %

Άθροισμα 40 1 100

F1 =

F2 =

F3 =

F4 =

F5 =

F6 =

F7 =

F8 =

F9 =

F10 =

…και τα λοιπά...

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Τιμές

xi

Συχνότητα

νi

Αθροιστική

συχνότητα

Νi

Σχετική Συχνότητα

fi

Σχετική Συχνότητα

fi (%)

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi

Αθροιστική

Σχετική Συχνότητα

Fi (%)

1 5 5 0,125 12,5 0,125 12,5 %2 3 8 0,075 7,5 0,20 20 %3 4 12 0,10 10 0,30 30 %4 5 17 0,125 12,5 0,425 42,5%5 6 23 0,15 15 0,575 57,5 %6 5 28 0,125 12,5 0,70 70 %7 5 33 0,125 12,5 0,825 82,5 %8 3 36 0,075 7,5 0,90 90 %9 2 38 0,05 5 0,95 95 %

10 2 40 0,05 5 1 100 %

Άθροισμα 40 1 100

F1 =

F2 =

F3 =

F4 =

F5 =

F6 =

F7 =

F8 =

F9 =

F10 =

Έτσι, ο πίνακας συχνοτήτων, σιγά-σιγά, ολοκληρώνεται...

Διαγράμματα...

Με αυτό το στόχο, έχουν αναπτυχθεί διάφοροι τρόποι απεικόνισης των δεδομένων ενός δείγματος σε κατάλληλα διαγράμματα. Δύο απ’ τα συνηθέστερα είναι:

Συνηθιζούμε να λέμε ότι μια εικόνα αξίζει όσο χίλιες λέξεις και η Στατιστική δεν αποτελεί εξαίρεση. Πολύ συχνά, παρατηρώντας ένα διάγραμμα μπορούμε να εξάγουμε άμεσα συμπεράσματα ταχύτερα απ’ ότι αν προσπαθούσαμε να επεξεργαστούμε νοητικά τα αριθμητικά δεδομένα ενός πίνακα συχνοτήτων.

τα ραβδογράμματα και

τα κυκλικά διαγράμματα.

Ας ξεκινήσουμε, με ένα απλό ραβδόγραμμα συχνοτήτων.

Καταρχάς, σχεδιάζουμε 2 κάθετους άξονες.

Στον οριζόντιο άξονα παριστάνουμε τις τιμές xi της μεταβλητής Χ.

Στον κατακόρυφο άξονα παριστάνουμε τις συχνότητες vi των αντίστοιχων xi.

νi

xiΆξονας των τετμημένων

Άξο

νας

των

τετ

αγμ

ένω

ν

Στη συνέχεια, τοποθετούμε τις τιμές xi πάνω στον άξονα. Εδώ θέλει προσοχή, καθώς στα ραβδογράμματα ο άξονας xi ΔΕΝ είναι αριθμητικός άξονας, αλλά ένας απλός άξονας διακριτών θέσεων, χωρίς καμία συνέχεια ανάμεσά τους. Έτσι, δεν έχει κανένα νόημα να πούμε ότι ανάμεσα στις τιμές 1 και 2 υπάρχουν οι τιμές 1,2 ή 1,75 κλπ.

νi

xi

Γι’ αυτό το λόγο, ΔΕΝ σχεδιάζουμε τις τιμές πάνω στις γραμμές του οριζόντιου άξονα...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

...αλλά ανάμεσά τους...

Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε...

νi

xi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Από χρώματα ...

ΜΠ

ΛΕ

ΚΟ

ΚΚ

ΙΝΟ

ΚΙΤ

ΡΙΝ

Ο

ΠΡ

ΑΣΙΝ

Ο

ΚΑ

ΦΕ

ΡΟ

Ζ

ΜΩ

Β

ΓΑ

ΛΑ

ΖΙΟ

ΠΟ

ΡΤΟ

ΚΑ

ΛΙ

ΛΑ

ΔΙ

Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε...

νi

xi

Από χρώματα ...

ΜΠ

ΛΕ

ΚΟ

ΚΚ

ΙΝΟ

ΚΙΤ

ΡΙΝ

Ο

ΠΡ

ΑΣΙΝ

Ο

ΚΑ

ΦΕ

ΡΟ

Ζ

ΜΩ

Β

ΓΑ

ΛΑ

ΖΙΟ

ΠΟ

ΡΤΟ

ΚΑ

ΛΙ

ΛΑ

ΔΙ

Αν θέλουμε να το κατανοήσουμε αυτό καλύτερα, αρκεί να φανταστούμε ότι στα ραβδογράμματα δεν είναι απαραίτητο να έχουμε αριθμητικές τιμές μιας ποσοτικής μεταβλητής αλλά ο,τιδήποτε...

νi

xi

Από χρώματα ...

Σειρά έχουν τώρα οι συχνότητες vi, τις οποίες και τοποθετούμε στον κατακόρυφο άξονα, κανονικά, ΠΑΝΩ στις γραμμές του άξονα, αφού πρόκειται για αριθμητικό άξονα.

Είμαστε, πλέον, έτοιμοι να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. Από κάθε τιμή xi «υψώνουμε» ένα κατακόρυφο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μια «μπάρα» όπως λέμε συχνά, δανειζόμενοι απ’ την αγγλική ορολογία.

νi

xi

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

νi

xi

5

3

4

5

6

5 5

3

2 2

Οι μπάρες που σχεδιάζουμε μπορεί να είναι λεπτές...

Είμαστε, πλέον, έτοιμοι να σχεδιάσουμε το αντίστοιχο ραβδόγραμμα. Από κάθε τιμή xi «υψώνουμε» ένα κατακόρυφο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, μια «μπάρα» όπως λέμε συχνά, δανειζόμενοι απ’ την αγγλική ορολογία.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

6

5

4

3

2

1

νi

xi

5

3

4

5

6

5 5

3

2 2

...ή μπορεί πάλι να είναι όσο παχιές παίρνει!

Μπορούμε, επίσης, να κατασκευάσουμε ραβδογραμμάτα και για τα υπόλοιπα στατιστικά εργαλεία, όπως για παράδειγμα για την αθροιστική συχνότητα ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

35

30

25

20

15

10

5

Νi

xi

58

12

17

23

28

33

36 3840

… ή για την αθροιστική σχετική συχνότητα ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,000

0,875

0,750

0,625

0,500

0,375

0,250

0,125

Fi

xi

0,12

5

0,20

0,30

0,42

5 0,57

5 0,70

0,82

5 0,90 0,95 1

Τα κυκλικά διαγράμματα έχουν μια δυσκολία παραπάνω, καθώς αντί για ορθογώνια παραλληλόγραμμα χρειάζεται να σχεδιάζουμε επίκεντρες γωνίες. Αυτό και μόνο αρκεί για να προκαλέσει ζωηρά κύματα αντιδράσεων από το κοινό!

Το καλό της υπόθεσης είναι πως αρκεί να καταλάβουμε τι σχέση έχει κάθε γωνία του διαγράμματος με την αντίστοιχη σχετική συχνότητα.

Έτσι θα μπορούμε να κατανοούμε και να «διαβάζουμε» ένα τέτοιο διάγραμμα κάθε φορά που το συναντάμε, αλλά και να υπολογίζουμε το ένα από τα δύο μεγέθη όταν, φυσικά, γνωρίζουμε το άλλο.

Αρκεί, λοιπόν, να γνωρίζουμε ότι το ποσοστό του κύκλου που καταλαμβάνει κάθε γωνία ισούται με το ποσοστό του δείγματος που καταλαμβάνει κάθε τιμή xi, με άλλα λόγια τη σχετική συχνότητα fi :

οi 360

φf

ˆ ή

oi 360fφ ˆ

xi νi fi φi

1 5 0,125

2 3 0,075

3 4 0,10

4 5 0,125

5 6 0,15

6 5 0,125

7 5 0,125

8 3 0,075

9 2 0,05

10 2 0,05

40 1

φ1 = 360∙0,125 = 45ο

45ο

45ο

1

xi νi fi φi

1 5 0,125

2 3 0,075

3 4 0,10

4 5 0,125

5 6 0,15

6 5 0,125

7 5 0,125

8 3 0,075

9 2 0,05

10 2 0,05

40 1

φ2 = 360∙0,075 = 27ο

45ο

45ο

1

27ο

27ο

2

xi νi fi φi

1 5 0,125

2 3 0,075

3 4 0,10

4 5 0,125

5 6 0,15

6 5 0,125

7 5 0,125

8 3 0,075

9 2 0,05

10 2 0,05

40 1

φ3 = 360∙0,10 = 36ο

45ο

45ο

1

27ο

27ο

236ο

36ο

3

xi νi fi φi

1 5 0,125 45ο

2 3 0,075 27ο

3 4 0,10 36ο

4 5 0,125 45ο

5 6 0,15 54ο

6 5 0,125 45ο

7 5 0,125 45ο

8 3 0,075 27ο

9 2 0,05 18ο

10 2 0,05 18ο

40 1 360ο

…και τα λοιπά...

1

23

4

5

6

78

9

10

45ο

27ο36ο

45ο

54ο

45ο

45ο27ο

18ο

18ο

Στο επόμενο επεισόδιο: «Έχετε κλάση; Κανένα πρόβλημα! Η Στατιστική καλύπτει διακριτικά κάθε σας ανάγκη!»

τέλος

1ου μέρους