ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑκαι

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ(ΚΕΦ 24)

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Ένας πυκνωτής έχει ως σκοπό να αποθηκεύει ηλεκτρική

ενέργεια που μπορεί να ελευθερώνεται με ελεγχόμενο τρόπο σε βραχύ χρονικό διάστημα.

Ένας πυκνωτής αποτελείται από 2 χωρικά διαχωρισμένους αγωγούς που φορτίζονται με +Q και -Q αντίστοιχα.

Η χωρητικότητα ορίζεται ως ο λόγος του φορτίου στον αγωγό του πυκνωτή προς τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των αγωγών.

QCV

≡

• Εξαρτάται η χωρητικότητα μόνο από τον πυκνωτή και ανεξάρτητα από το φορτίο και το δυναμικό;

Παράδειγμα 1:Πυκνωτής με παράλληλα πλακίδια

d

A

-+

Υποθέτουμε +σ, - σ πυκνότητες φορτίου σε κάθε πλακίδιο εμβαδού Α και διαφορά δυναμικού V:

Το φορτίο Q: Η ένταση Ε του πεδίου εντός των

πλακών (Gauss): Το δυναμικό V (υπολογίστηκε στο

προηγούμενο κεφάλαιο) :

Q Aσ=

B AV V V E d∆ = − = ⋅

0 0

QEA

σε ε

= =

0Q ACV d

ε≡ =

• Παρατηρούμε ότι η χωρητικότητα εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία (A, d).

Τελικά

Παράδειγμα 2:Κυλινδρικός Πυκνωτής

a

b L

r

• Υποθέτουμε φορτίο +Q, -Q ομογενώς κατανεμημένο στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V.

Υπενθύμιση: Κυλινδρική συμμετρίαEr

L

Er

+ + +Q

• Gaussian επιφάνεια κυλινδρική ακτίνας r και μήκους L

• Ο κύλινδρος έχει φορτίο Q

• Από το νόμο του Gauss

02 QE dr rLEπ

ε⋅ = =∫

02QE

Lrπε=

Παράδειγμα 2:Κυλινδρικός Πυκνωτής

a

bL

r

+σ

- σ +Q, -Q ομογενώς στην επιφάνεια των κυλίνδρων με διαφορά δυναμικού V.

02QE

Lrπε=

Αν υποθέσουμε το +Q είναι στον εσωτερικό κύλινδρο, τότε η διαφορά δυναμικού V είναι θετική εάν πάρουμε το μηδέν του δυναμικού στο r = b:

0 0ln

2 2

a a b

b b a

Q Q bV E dr E dr drrL L aπε πε

= − ⋅ = − ⋅ = = ∫ ∫ ∫

02

ln

Q LCbVa

πε≡ =

πάλι: εξαρτάται από τη γεωμετρίαΤα ομοαξονικά καλώδια έχουν χωρητικότητα (χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους καλωδίου)

a

b

+Q-Q

Παράδειγμα 3:α. Φορτισμένη σφαίρα

Υπολογισμός χωρητικότητας: +Q, -Q στην επιφάνεια των σφαιρών

με διαφορά δυναμικού V.

20 0 0

1 1 1( )4 4 4

bb b

a baa a

Q dr Q QV V E r drr a brπε πε πε

− = = = − = − ∫ ∫

00

4 41 1

Q abCV b a

a b

πε πε≡ = =− −

Φορτισμένη σφαίρα έχει την ικανότητα να αποθηκεύει ορισμένο φορτίο σε δεδομένο δυναμικό (έναντι V=0 στο άπειρο)

00

0, 44

RQ QV V C R

R Vπε

πε∞ = = ⇒ = =∆

β. Σφαιρικός πυκνωτής

Και πάλι εξαρτάται από τη γεωμετρία

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ/ ΜΟΝΑΔΕΣ

Οι χωρητικότητες αυτών των πυκνωτών (υπάρχει αέρας ανάμεσα στους αγωγούς) έχουν την μορφή C = ε0 Gόπου G είναι γεωμετρικός παράγοντας, με διαστάσεις μήκουςπ.χ. G = 4π R, 4π ab/(b-a), 2πL, A/d, κτλ.

Μονάδες του C (=Q/V)[C] = Cb/Volt=Farad

1 Farad = 1 Coulomb προς Volt

Παρατήρηση: Όπως το Coulomb έτσι και το Farad είναι μεγάλη μονάδα. Πρακτικά οι χωρητικότητες μετρώνται σε (μF), nanofarad (nF) ή ακόμη και picofarad (pF).

(προς τιμή του Faraday)

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΠΟΘΗΚΕΥΟΜΕΝΗ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗΓια μεταφέρουμε φορτίο dq από σημείο με V = 0 (π.χ. το (–) πλακίδιο ενός πυκνωτή) στο (+) πλακίδιο, που φέρει φορτίο +q και συνεπώς βρίσκεται σε δυναμικό V = q/C, απαιτείται έργο:

dW = V·dq = (q/C)·dqΣυνεπώς, για να φορτίσουμε τον πυκνωτή από q = 0 σε q = Q απαιτείται έργο:

Αυτό το έργο αποθηκεύεται στον πυκνωτή ως ενέργεια. Που;

Θεωρείστε πυκνωτή με παράλληλα πλακίδια με χωρητικότητα C = ε0A/d. Εδώ

όγκος του πυκνωτή

όπου τ = Ad είναι ο όγκος μεταξύ των πλακιδίων, που «γεμίζει» από το ηλεκτρικό πεδίο E = σ/ε0.

Πράγματι, η παρουσία αυτού του πεδίου είναι το βασικό χαρακτηριστικό που ξεχωρίζει έναν φορτισμένο από έναν αφόρτιστο πυκνωτή.

Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η ενέργεια αποθηκεύεται στο πεδίο E με ενεργειακή πυκνότητα ue (δηλ. ενέργεια ανά μονάδα όγκου) που δίνεται από

ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΥΚΝΩΤΩΝ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

(1) Παράλληλη σύνδεση πυκνωτώνΠρόβλημα:Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής (‘ισοδύναμος’) Ceq θα φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C1 και C2 μαζί, ενώ έχει την ίδια διαφορά δυναμικού V μεταξύ των πλακιδίων;

Απάντηση: Q1 = C1 V, Q2 = C2 V, Q = Q1 + Q2 = (C1 +

C2)V = Ceq V, οπότε Ceq = C1 + C2.

(2) Σύνδεση πυκνωτών σε σειράΠρόβλημα: Ποιας χωρητικότητας πυκνωτής (‘ισοδύναμος’) Ceq θα έχει την ίδια ολική διαφορά δυναμικού V = V1 + V2 στα άκρα του ενώ φέρει το ίδιο φορτίο όπως οι C1

και C2.

Απάντηση: V1 = Q/C1, V2 = Q/C2

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ Παρατήρηση:

Εισάγοντας ένα μη αγώγιμο υλικό μεταξύ των πλακιδίων πυκνωτή αλλάζει η ΤΙΜΗ της χωρητικότητας του.

Ορισμός:Η διηλεκτρική σταθερά υλικού είναι ο λόγος της χωρητικότητας του πυκνωτή όταν είναι πλήρης από το διηλεκτρικό υλικό, προς αυτήν χωρίς το υλικό. δηλ.

κ πάντοτε > 1 (π.χ., γυαλί = 5.6; νερό = 78) Τα διηλεκτρικά ΑΥΞΑΝΟΥΝ τη χωρητικότητα πυκνωτή

(γενικά πολύ καλό, αλλιώς πρέπει να αυξήσω το μέγεθος του πυκνωτή)

Επιτρέπουν την αποθήκευση περισσότερης ενέργειας σε δεδομένο πυκνωτή.

0

CC

κ =

Όταν δηλαδή ένα διηλεκτρικό (μονωτής), παρεμβάλλεται σε έναν πυκνωτή, αυξάνει την χωρητικότητα από C0 σε C = κ C0, όπου κ είναι η διηλεκτρική σταθερά.

Συνεπώς, και σύμφωνα με τον ορισμό C = Q/V: • για V σταθερό, το Q αυξάνει από Q0 σε Q = κQ0, • για Q σταθερό, V ελαττώνεται από V0 σε V = V0/κ.

Αυτό πρέπει να σημαίνει και ότι• E ελαττώνεται από E0 σε E = E0/κ.

ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

+-

Παράδειγμα επίπεδου πυκνωτή Φορτισμένος επίπεδος πυκνωτής σε

κενό σε δυναμικό V0. Σε κάθε πλακίδιο υπάρχει Q = C V0 +++++++++++++

- - - - - - - - - - - - -

Q

κ

+++++++++++++

- - - - - - - - - - - - -

Q

κ

Εισάγουμε υλικό διηλεκτρικής σταθεράς κ . Το φορτίο Q παραμένει σταθερό

VV V= 0

κ

Δυναμικό ελαττώνεται από V0 σε

E E= 0κ

Το ηλεκτρικό πεδίο επίσης:

και C = κ · C0= κ ·ε0·G = ε·G

E

γεωμετρικός παράγοντας

σχετική διηλεκτρική σταθερά υλικούσχετική επιτρεπτότητα

διηλεκτρική σταθερά του κενούεπιτρεπτότητα του κενού

διηλεκτρική σταθερά υλικούεπιτρεπτότητα του υλικού

(i) Για την κλειστή επιφάνεια με διακεκομμένη γραμμή:

ε0E0 = σf (1)(σf = επιφανειακή πυκνότητα ελεύθερου φορτίου)(ii) Για την κλειστή επιφάνεια με συνεχή γραμμή:

ε0E = σf – σi (2)(σi = πυκνότητα επαγόμενου ή δέσμιου φορτίου)

ΛΟΓΟΣ: ΠΟΛΩΣΗΕφαρμόζοντας το νόμο του Gauss(για E = σταθερό) στα δυο παραλληλεπίπεδα που φαίνονται:

Όμως είπαμε ότι Ε=Ε0/κ άρα:σχέση (1)/ σχέση (2) και λύση ως προς σi:σi = σf ( 1-1/κ)και αντικαθιστώντας στην (2):

κ·ε0 ·Ε = ε ·Ε = σf = μέσω της (1) = ε0 ·Ε0

Επέκταση του νόμου του Gauss για να περιλαμβάνει διηλεκτρικά:

Γενικός κανόνας: Όλες οι εκφράσεις και οι νόμοι που ισχύουν για το κενό ισχύουν και για διηλεκτρικά υλικά εάν το ε0 αντικατασταθεί από την διηλεκτρική σταθερά του, ε, του διηλεκτρικού. Δηλαδή:

ή