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THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
1 THEORIE DES POUTRES1.1 Dfinition :Soit une surface plane de centre de gravit G.Soit une courbe quelconque G0G1..La poutre G0G1 est le solide engendr par la surface lorsque G dcrit la courbe G0G1, le plan de restant en chaque point normal la courbe G0G1.
G0
G1
G
La courbe G0G1 est appele fibre moyenne de la poutre (cest la courbe qui relie les centres de gravit des sections)
n
n
THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
1 THEORIE DES POUTRES1.1 Dfinition :Soit une surface plane de centre de gravit G.Si G0G1.est une courbe plane, la poutre est dite plane.Si G0G1 est une droite, la poutre est dite droite.Si les sections qui forment la poutre prsentent un axe de symtrie, la poutre est dite plan moyen.
La plupart des poutres tudies ici seront droites, plan moyen et charges dans le plan moyen.
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THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Hypothse de llasticit du matriau : application de la loi de Hooke
Comportement lastique => application du principe de superposition ( l effet de la somme est gal la somme des effets )
E
=
( ) ( ) ( )2121 +=+ Les dformes des poutres sont faibles devant les dimensions des poutres :
E e (MPa) (MPa)
Acier 200 000 500 0.0025 Soit 2,5 mm/m de raccourcissementBton 30 000 30 0.001 Soit 1 mm/m de raccourcissement
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1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Hypothse de Navier-Bernouilli
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1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint VenantLes rsultats* de la RDM Poutres ne seront valables que dans des sections suffisamment loignes des zones de chargement intense (en particulier charges ponctuelles et appuis).* Ces rsultats seront le calcul des contraintes et des dformations en fonction des sollicitations
Fonctionnement en poutre :-Compression des fibres suprieures;-Traction des fibres infrieures
1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint VenantLes rsultats* de la RDM Poutres ne seront valables que dans des sections suffisamment loignes des zones de chargement intense (en particulier charges ponctuelles et appuis).* Ces rsultats seront le calcul des contraintes et des dformations en fonction des sollicitations
Fonctionnement en bielles
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1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint Venant
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Chargement ponctuel :1 MN sur une section S=1m
Chargement rparti :1 MN/m
Zone rgularise : = 1MPa
1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint Venant
THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
Zo
ne
de
rgula
risation
de
s co
ntraintes
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1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Principe de Saint Venant
THEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
Contrainte uniforme = 1 MPa
1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats* de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les longueurs sont grandes devant les dimensions des section transversales ;- les rayons de courbures des fibres moyennes sont grandes devant les dimensions des section transversales ;- les sections transversales varient lentement;
* Ces rsultats seront le calcul des contraintes et des dformations en fonction des sollicitations
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1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les longueurs sont grandes devant les dimensions des section transversales (L/H > 20) ;
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mmEI
FLfthor 73.0483
== mmfmesure 90.0= Ecart = 23%Fonctionnement en poutre
1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les longueurs sont grandes devant les dimensions des section transversales (L/H > 20) ;
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mmEI
FLfthor 36.0483
==
Fonctionnement en bielles
mmfmesure 62.0=
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1 THEORIE DES POUTRES1.2 Principes et hypothses utilises dans le cadre de la thorie des poutres : Gomtrie des poutresLes rsultats de la RDM Poutres sont dautant plus valables que :- les sections transversales varient lentement;
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SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURELes efforts appliqus la tour doivent descendre vers la base (fondation). Un petit tronon dx de la tour est non seulement soumis leffort w mais doit galement transmettre la base les efforts qui lui viennent de plus haut.
x
wH
y
z
Efforts subis par une section la hauteur x.
w
x
y
)( xHwT =
2)(21
xHwM =
21
wHC =
et transmis au reste de la tour
wH
21
wHC =
x
y
z
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SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE
La poutre G0G1 soumise un chargement quelconque est en quilibre. Donc toutes les parties qui composent la poutre sont en quilibre. Chacune des partie G et Ddlimite par la section est en quilibre. En particulier, D est en quilibre sous laction :
- des efforts qui lui sont directement appliqus;- des efforts transmis par la section
G D
G0 G1G
R1R0
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SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE
D est en quilibre sous laction :- des efforts extrieurs directement appliqus D :
-des efforts de contact de G sur D dont le torseur rsultant, calcul en G, cdg de la section, est appel torseur de cohsion : ce torseur caractrise laction de G sur D transmise par
[ ]DextF
df
y
[ ]GcohT
dS
dSdSdf
M
G
G D
GxzdS
Repre local
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SOLLICITATIONS = EFFORTS INTERNES MIS EN EVIDENCE PAR UNE COUPURE
[ ]DextF
D
dSdSdf
M
G
G
Gxz
y
Equilibre : [ ]GcohT+ = [ ]0Donc : [ ]GcohT = - [ ]DextFou : [ ]GcohT = + [ ]GextF
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COMPOSANTES DU TORSEUR DE COHESION
Les composantes sont exprimes dans un repre local :- laxe x est tangent la fibre moyenne et perpendiculaire la section de coupure,- les axes y et z sont dans le plan de la section de coupure
[ ]GcohTGzz
yy
x
MTMTMN
= = [ ]GextF = - [ ]DextF
y
D
G
G
Gxz
N
Ty
Tz
Mx
My
Mz
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CONVENTIONS DE SIGNE DANS UN PROBLEME PLAN Caractrisation par les efforts de gaucheOn fait le bilan des actions extrieures appliques gauche de la coupure et on calcule leur torseur par rapport au cdg de la section de coupure avec les conventions de signe suivantes :
x
y
z
G
N > 0
Ty > 0
Mz> 0
= xFN
= yy FT
= Gextz FMM /)( ,G
Caractrisation par les efforts de droiteOn fait le bilan des actions extrieures appliques droite de la coupure et on calcule leur torseur par rapport au cdg de la section de coupure avec les conventions de signe inverses :
= xFN
= yy FT
= Gextz FMM /)( ,Dx
y
z
GN > 0
Ty > 0
Mz> 0
D , [ ]DextF
G , [ ]GextF
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EXEMPLES DE SOLLICITATIONSTHEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
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EXEMPLES DE SOLLICITATIONSTHEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
EXEMPLES DE SOLLICITATIONSTHEORIE DES POUTRES - SOLLICITATIONS
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RELATIONS ENTRE SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES
D
dSdSdf
L action locale de G sur D au point M est une petite force dfLa quantit est appele contrainte. Elle a pour composantes :
dSdf
M
G
G
Gxz
y
dSdS
Contrainte normale, projection de la contrainte sur la normale la section de coupure (repre local)
Contrainte tangente, projection de la contrainte dans le plan de coupure (repre local), ayant 2 composantes y et z
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RELATIONS ENTRE SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES2 SOLLICITATIONS
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NdSS
= .Ces quations dquivalence donnent les relations entre contraintes et solliciations :
yS
y TdS =
z
S
MdSy = ..
yS
MdSz = ..
( )x
Syz MdSzy = ... z
Sz TdS =
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RELATIONS ENTRE SOLLICITATIONS ET CONTRAINTES2 SOLLICITATIONS
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