Circuitos Eltricos e Eletrnicos
INSTITUTO SUPERIOR DE CINCIA E TECNOLOGIADE MOAMBIQUE
Licenciatura em Engenharia Informtica
TEOREMAS DE CIRCUITOS ELTRICOS
Eng. Adlio Francisco Tembe, MSc.
Sumrio
Teorema de Kennelly
Mtodo das leis de Kirchoff
Princpio de Superposio
Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas
2
Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas
Regra de Cramer
Teorema de Thevenin e de Norton
Teorema de Kennelly
Transformao Estrela-Tringulo
3A
CBCABABC R
RRRRRRR ++=
B
CBCABAAC R
RRRRRRR ++=
C
CBCABAAB R
RRRRRRR ++=
Teorema de Kennelly
Transformao Tringulo-Estrela
4
BCACAB
ACABA RRR
RRR++
=
BCACAB
BCABB RRR
RRR++
=
BCACAB
BCACC RRR
RRR++
=
Transformaes estrela-tringulo e vice-versa
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dadoaplicando o mtodo de transformao.
1 passo: Transformando o tringuloconstitudo pelas resistncias R2 , R3e R5, obtemos :
J = 1A; R1
= 1; R2
= 1; R3
=1; R
4= 4; R
5= 1, R
6=
2.
;33,0532
5225 =++
=
RRRRRR
;33,0532
3223 =
++=
RRRRRR
.33,0532
5335 =++
=
RRRRRR 5
25R
1R
35R
RJ
23R
6R
a d
c
2 passo: Depois da transformao pode-serepresentar o circuito do seguinte modo:
3 passo: Com o circuito simplificadopode-se proceder ao clculo domesmo:
Transformaes estrela-tringulo e vice-versa
1
4RJ 6
b
1I 4I 6I;33,2635356 =+= RRR ;33,4423234 =+= RRR
;51,1234356
234356 =+
=
RRRRRp ;84,12525 =+= RRR pp
;65,0125
251 ARR
RJI
p
p=
+= ;35,0125 AIJI == ;12,0
234356
356254 ARR
RII =+
=
;23,04256 AIII == ;19,03562525 VRIRIU ad =+= ;19,05
5 ARUI ad ==
;16,0512 AIIJI == .04,0423 AIII == 6
Fazendo o equilbrio de potncias, obtm-se:
WIRIRIRIRIRIRP ac 65,0649,0266255244233222211arg =+++++=
WJRIJUP 65,0===
Transformaes estrela-tringulo e vice-versa
WJRIJUP abFonte 65,011 ===
7
Consideremos que r seja o nmero total de ramos num circuito,rc o nmero de ramos contendo fontes de corrente e N onmero de ns. Supondo conhecidas as correntes nos ramoscom fontes de correntes, ento o nmero de equaes deKirchoff obtido como se segue:
MTODO DAS LEIS DE KIRCHOFF
8
Kirchoff obtido como se segue:
Assinala-se no esquema com uma seta, o sentido positivo daCorrente em cada ramo;
Fixa-se o sentido positivo de circulao em cada malha;
Mtodo das leis de Kirchoff
Para que as equaes sejam independentes, as equaes da 1 lei de Kirchoffdevem ser tantas, quantos so os ns menos uma, ou N -1. As que traduzem a 2lei de Kirchoff devem ser tantas quantos so os ramos sem fontes de corrente,menos o nmero de equaes da 1 lei de Kirchoff:
1)1()( +== NrrNrrN cceq
9
1)1()( +== NrrNrrN cceq
A ttulo de exemplo, consideremos o circuito dado.
4R3R
1E
1R 2E2R
O circuito dado tem 2 ns,identificados pelas letras a, e b.
De acordo com a 1 lei de Kirchoffdevem ser escrita 1 equao, que
O nmero de ramos 3 e no temosnenhuma fonte de corrente.
4R3R
1E
1R 2E2Ra
Mtodo das leis de Kirchoff
devem ser escrita 1 equao, queFica:
De acordo com a 2 lei de Kirchoff devem ser escritas 2 equaesdas malhas indicadas a tracejado:
0321 =+ III
13311 EIRIR =+ 233242 )( EIRIRR =++
b
10
Considerando os seguintes dados:
E1
= 12 V; E2
= 12 V; R1
= 4 ; R2
= 5 ; R3
= 5 ; R4
= 5
A soluo ser: I1
= 1,09 A; I2
= 0,44 A; I3
= 1,53 A
Fazendo o equilbrio de potncias:
Mtodo das leis de Kirchoff
Fazendo o equilbrio de potncias:
WIEIEPFonte 36,18)44,009,1(122211 =+=+=
WxxxIRRIRIRP ac
39,1844,01053,1509,14)( 2222242233211arg
=
++=+++=
11
Princpio da Superposio
Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontesindependentes, qualquer tenso (ou corrente) do circuito pode ser calculadacomo a soma algbrica de todas as tenses (ou correntes) individuais causadaspelas atuao isolada de cada fonte independente, isto , com todas as outrasfontes independentes mortas.
12
Princpio da Superposio
Este principio dita que ao se considerar o circuito em partes, montar-se-ocircuitos de numero igual ao numero das fontes independente no circuito.E ao consideramos a ao de uma nica fonte, sero curto circuitadas todasfontes de tenso restantes e mantidas em aberto as fontes de corrente.
13=
6'
1gVI
Considerando apenas afonte de tenso
Princpio da Superposio
Considerando apenas a fonte de corrente
3''
2gII =
14
3''I =
A corrente I resultante da ao das duas fontes ser:
36"'
21 gg IVIII +=+=
Exemplo: Considerando o circuito dado, calcular todas as correntesusando o mtodo de sobreposio:
E1
= 2 V; E2
= 4 V; R1
= 4 ; R2
= 5 ; R3
= 10 .
Princpio da Superposio
1E
1R 2R
3R2E
1E
1R 2R
3R2E
1I 2I3I
15
Correntes da fonte 1:
1E
1R 2R
3R
I
2I
3I AIIIRR
RIIAI
RRRRRR
REI eqeq
18,0
09,0155
.27,0;27,033,72
33,715504.
32
2131
23
2311
==
==
+===
=+=+
+==
Princpio da Superposio
1I 3I AIII 18,0312 ==
Correntes da fonte 2:
2E
1R 2R
3R1I 2I
3I AIII
RRR
IIAI
RRRR
RRRE
I eqeq
36,0
15,0144
.51,0;51,086,74
86,714405.
321
31
1232
13
132
22
==
==
+===
=+=+
+==
16
Finalmente calculamos as correntes totais:
E
1R 2R
R2E
AIIIAIII
33,009,0
222
111
==
==
Princpio da Superposio
1E 3R
1I 2I3I
AIIIAIII
24,033,0
333
222
=+=
==
17
Princpio da Superposio
Exerccio: Dado o circuito da figura seguinte, determinar a quedade tenso entre os terminais da resistncia de 3 e a correnteque a atravessa.
18
Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas
Quando o circuito constitudo por uma ou mais malhas fechadas, comgeradores em varias delas, mais fcil analisa-lo utilizando o mtodo dasMALHAS que uma forma especial de aplicar as leis de Kirchoff.Baseia-se nos seguintes pontos:
19
1. Definir para cada malha o nome e o sentido de uma corrente.2. Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, obter a equao de cada malha, tendo
em conta que, se alguns ramos que compem a malha pertencerem a maisde uma malha, ao calcular as quedas de tenso nas resistncias dessesramos consideram-se que a intensidade que neles circulam so o resultadoda soma ou da diferena de todas as intensidades que nela passam.
Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas
O numero das equaes que sero obtidas ou das correntes demalha dado por:
1= NNequacoes
20
1= NNequacoesN o nmero de ns.
Tal como foi visto na aplicao do mtodo das leis de Kirchoff, paraque as equaes sejam independentes, as equaes que traduzema 2 lei de Kirchoff devem ser tantas quantos so os ramos semfontes de corrente, menos o nmero de equaes da 1 lei deKirchoff:
Anlise de Circuitos pelo Mtodo das Malhas Independentes
Kirchoff:
1)1()( +== NrrNrrN cceqSendo r o nmero de ramos do circuito, rc o nmero de ramos comfontes de corrente e N o nmero de ns.
21
Regra de Cramer
Para se aplicar a regra de Cramer necessrio que as equaes a resolver
estejam ordenadas de igual forma, quer dizer, os termos independentes de
um lado e as incgnitas do outro, mas colocadas na mesma ordem.
22
=+
=
=+
75801513150181712
50852
321
321
321
IIIIII
III
=
11
II
=
22
II
=
33
II
Delta () o determinante formado pelos coeficientes das incgnitas.
E1
= 100 V; J = 6 A; R1
= 2,5 ; R2
= 10 ; R3
= 40 ; R
4= 20 .
Exemplo:
O circuito tem 6 ramos, 4 ns e um
Mtodo das Malhas Independentes
21416 =+=eqN
O circuito tem 6 ramos, 4 ns e umramo com fonte de corrente, isto , r= 6, N = 4 e rc=1. Assim:
O nmero de equaes de malhas independentes ento de 2, o que significaque devemos identificar duas malhas independentes. 23
1E
1R
J
2R
3R
4R
As malhas identificadas esto assinaladas nocircuito pelas setas a azul. Assim temos as malhas Ae B e as respectivas equaes esto escritas nosistema abaixo.
=++
Mtodo das Malhas Independentes
=++
=++
14433
23321
)(0)(
EJRRRIRIJRRIRRRI
BA
BA
=+
=
220604060405,52
BA
BA
IIII
=+
=
22646425,5
BA
BA
IIII
=
=
A 9A 8
B
A
II 24
1E
1R
J
2R
3R
4R
1I 2I
3I
4II
a
==
==
==
==
AIIIAJII
IIII
A
B
A
12A 9A 8
2
1
Mtodo das Malhas Independentes
b
====
AJIIAIII
B
AB31
4
3
=+=
=+++=
WEIJUPWIRIRIRIRP
baFonte
aC
420420244
233
222
211arg
VUUVRIRIU abbaab 80;804422 ===+=
25
Malhas Independentes
Exemplo: Calcular as correntes em todos os ramos do circuito abaixo.
26
Equivalentes de Thevenin e
Norton
vv==ii++ ou ii = = v v + +
27
Um bipolo equivalente aoutro quando a relao entretenso e corrente em seusterminais exatamente amesma.
Teorema de Thevenin
Um circuito linear qualquer visto por quaisquer dois terminais onde a relaoentre tenso e corrente determinada por uma funo linear algbrica equivalente a um bipolo constitudo por uma fonte de tenso (Vth) em SRIEcom um resistor (Rth).
28
Teorema de Thevenin Regra de Aplicao
Para o clculo da resistncia de Thevenin deve-se medir a resistncia entre osterminais do bipolo quando se retira a carga que se deseja alimentar com oequivalente de Thevenin, quando todas as fontes de tenso so substitudaspor curto-circuitos e as fontes de corrente substitudas por circuitos abertos.
29
A tenso de Thevenin a diferena de potencial nos terminais em aberto docircuito equivalente que alimentara a carga.
Bipolo Equivalente - Teorema de
TheveninExemplo Exemplo -- RthRth
30
Bipolo Equivalente - Teorema de
Thevenin
Exemplo Exemplo -- RthRth
R43
+
R34R15
+
Rth
+Vth +
R43
88 iziziziz
R510
+
-
V210V
I13A
R220
+
-
V125V
+
-
Vth +
-
V210V
R510
R34
I13A
R220
R15
+
-
V125V
32V32V
V1V1 == 00 I1I1 == 00 Rth =Rth = ==
R1R1
11
R2R2++
11= 8 = 8
11R1//R2R1//R2 ++ R3R3ReqReq
++ R3R3
iziziziz
31
Bipolo Equivalente - Teorema
de TheveninDeterminando VthDeterminando Vth
32
Bipolo Equivalente - Teorema
de Thevenin
Exemplo Determinar o circuito equivalente que pode serconectado entre os terminais AB para calcular de modo simplesa corrente na carga para valores de resistncia de carga iguais a:1K3, 1K8, 6K3.1K3, 1K8, 6K3.
33
Teorema de Norton
Um circuitocircuito linearlinear qualquer vistovisto porpor quaisquerquaisquer
doisdois terminaisterminais onde a relao entre tenso e
corrente determinada por uma funo linear
algbrica equivalente a um bipolobipolo constitudoconstitudo
por uma fontefonte dede CorrenteCorrente (IN)(IN) emem PARALELOPARALELO
comcom umum resistorresistor (RN)(RN).
IN a corrente quecircula entre A e Bem curto circuito,no circuito inicial.
34
Relao entre teorema de Thevenin e de Norton
35
Relao entre teorema de Thevenin e de Norton
Como sabemos, para determinar o circuito equivalente Theveninou Norton devemos encontrar: A tenso de circuito aberto voc entre os terminais a e b A corrente de curto circuito isc nos terminais a e b A resistncia de entrada ou resistncia equivalente Rin nos
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A resistncia de entrada ou resistncia equivalente Rin nosterminais a e b quando todas as fontes independentes estiverem
anuladas.
Relao entre teorema de Thevenin e de Norton
Exerccio:Dado o circuito, determinar os equivalentes de Thevenin e deNorton, e verificar se existe relao entre eles.
37
Em situaes prticas, como na rea de comunicao, um circuito projetado para fornecer potncia para carga.
Como entregar a mxima potncia uma carga quando um dadocircuito possui perdas internas?
Mxima Transferncia de Potncia
circuito possui perdas internas?
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Assumindo que podemos ajustar a resistncia da carga (RL), oTeorema de Thevenin til para determinar a potncia mximaque um circuito linear pode entregar a uma carga.
Mxima Transferncia de Potncia
Para um dado circuito, VTh e RTh so fixos. Variando a resistncia RL,a potncia entregue a carga varia de acordo com a equacao e acurva dadas a seguir.
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Aplicao Dos Teoremas de Thevenine de Norton
Na pratica, atravs os teoremas de Thevenin ou de Norton, dadoum circuito complexo possvel determinar a potencia mximaque uma carga pode consumir, olhando para o alimentadorapenas como um gerador com sua resistncia interna (Rg=Rth).
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LLg
gLR RRR
VRiP
L
+==
2
2
A mxima transferncia de potenciaocorre quando Rg=RL, dai que:
L
g
g
gMaxR R
VR
VP
L 44
22
==
MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA
A mxima transferncia de potncia ocorre quando:
A mxima potncia transferida a carga pode entao ser calculada
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A mxima potncia transferida a carga pode entao ser calculadacomo:
MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA
Exerccio:Dado o circuito, determinar o valor da Potncia mximatransferida a carga RL.
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