Procesarea Semnalelor

Cursul 4Cursul 4

Sumar

• Transformata Z

• Filtre FIR (Finite Impulse Response)

Cursul 4Cursul 4

Transformata Fourier a unui semnal este:Transformata Fourier a unui semnal este:

Cursul 4Cursul 4

( ) [ ]j j n

n

X e x n eω ω∞

−

=−∞

= ∑

Definitie

Definitie: Transformata Z a unui semnal este:

∞

∑

Relatie care defineste operatorul “Transformata Z” astfel:

Cursul 4Cursul 4

( ) [ ] n

n

X z x n z∞

−

=−∞

= ∑

{ }[ ] [ ] ( )n

n

Z x n x n z X z∞

−

=−∞

= =∑

Definitie

Cursul 4Cursul 4

Cercul unitate in planul complex z

Convergenta

Conditia de convergenta a transformatei Z:Conditia de convergenta a transformatei Z:

Cursul 4Cursul 4

[ ] n

n

x n r∞

−

=−∞

< ∞∑

Regiune de convergenta

Definitie: Pentru orice secventa de intrare x[n], multimea

valorilor lui z pentru care transformata Z converge se numeste

regiune de convergenta (Region Of Convergence – ROC)regiune de convergenta (Region Of Convergence – ROC)

Cursul 4Cursul 4

Forma rationala

• Una dintre cele mai importante forme ale transformatei Z este

forma rationala:

• Pentru P(z) valorile lui z pentru care X(z) = 0 se numesc zerouri.

• Pentru Q(z) valorile lui z pentru care Q(z) = 0 se numesc poli.

• Polii lui X(z) cu valori finite sunt radacinile lui Q(z). (Poli pot

exista si in 0 si la |z| = +∞.

Cursul 4Cursul 4

( )( )

( )

P zX z

Q z=

Exemplul 1

• Fie semnalul x[n] = an u[n]. Avem:

( )1( ) [ ]nn nX z a u n z az

∞ ∞− −= =∑ ∑

• Pentru a converge, este necesar ca:

Cursul 4Cursul 4

( )1

0

( ) [ ]nn n

n n

X z a u n z az− −

=−∞ =

= =∑ ∑

1

0

n

n

az∞

−

=

< ∞∑

Exemplul 1

( )11

0

1( ) ,

1

n

n

zX z az z a

az z a

∞−

−=

= = = >− −∑

Cursul 4Cursul 4

0 1n az z a= − −

Exemplul 2

• Fie semnalul x[n] = -an u[-n-1]. Avem:

( )n∞ ∞

∑ ∑

Cursul 4Cursul 4

• Pentru a converge, este necesar ca:

( )1

0

( ) [ 1] 1nn n

n n

X z a u n z a z∞ ∞

− −

=−∞ =

= − − − = −∑ ∑

1 1a z− <

Exemplul 2

1 1

1 1( ) 1

1 1

zX z z a

a z az z a− −= − = = <− − −

Cursul 4Cursul 4

Cursul 4Cursul 4

Proprietati regiune de convergenta

• Proprietatea 1 : ROC este un inel sau un disc in spatiul

complex, centrat in origine, adica : 0 | |R Lr z r≤ < < ≤ ∞

• Proprietatea 2: Transformata Fourier a lui x[n] este absolut

convergenta daca si numai daca ROC include cercul unitate.

• Proprietatea 3: ROC nu poate contine poli.

• Proprietatea 4: Daca x[z] este un semnal cu durata finita, ROC

este intreg planul complex, exceptand poate z = 0 sau z = ∞.

Cursul 4Cursul 4

R L

Proprietati regiune de convergenta

• Proprietatea 5: Daca x[n] este o secventa “de dreapta”, adica

daca este zero pana la momentul N1 (x[n]=0 pt. -∞ < n < N1 <

∞), si de la N1 la ∞ este ne-nul, atunci regiunea de convergenta∞), si de la N1 la ∞ este ne-nul, atunci regiunea de convergenta

incepe de la cel mai mare pol (in modul) al lui X(z) catre ∞.

• Proprietatea 6: Daca x[n] este o secventa “de stanga”, adica

daca este zero incepand cu un moment N2 (x[n]=0 pt. n>N2>-

∞), atunci regiunea de convergenta incepe de la cel mai mic

pol ne-nul (in modul) catre 0.

Cursul 4Cursul 4

Proprietati regiune de convergenta

• Proprietatea 7: O secventa bilaterala este o secventa infinita

care nu este nici “de dreapta” nici “de stanga”. Daca o secventa

x[n] este bilaterala, atunci regiunea de convergenta este unx[n] este bilaterala, atunci regiunea de convergenta este un

inel in planul complex, marginit la interior si exterior de poli,

astfel incat sa nu contina nici un pol. (Sa fie consistent cu

proprietatea 3).

• Proprietatea 8:ROC trebuie sa fie o regiune conectata.

Cursul 4Cursul 4

Stabilitate, cauzalitate si regiunea de

convergenta

Cursul 4Cursul 4

Transformata Z inversa

• Calculul transformatei Z inverse se face prin cateva metode :• Calculul transformatei Z inverse se face prin cateva metode :

� metoda inspectiei,

� metoda descompunerii in fractii partiale,

� metoda descompunerii in serii de puteri.

Cursul 4Cursul 4

Metoda inspectiei

• Prin metoda inspectiei se recunosc anumite transformate Z

uzuale si se deduc transformatele inverse.

• Ex:

Cursul 4Cursul 4

1

1 1( )

1 212

X z zz−

= > −

1

1[ ]

1Zna u n z a

az−←→ >−

1[ ] [ ]

2

n

x n u n =

Metoda descompunerii in fractii

partiale

0( )

Mk

kk

b zX z

−

==∑

Cursul 4Cursul 4

0

0

( ) kN

kk

k

X za z

=

−

=

=∑

0

0

( )

MN M k

kk

NM N k

kk

z b zX z

z a z

−

=

−

=

=∑

∑

Metoda descompunerii in fractii

partiale

( )1

0 11

( )

M

kk

c zbX z

−

=∏ −

=

Cursul 4Cursul 4

( )( )

0 1

10

1

( )1

kkN

kk

bX z

a d z

=

−

=

=∏ −

11

( )1

Nk

k k

AX z

d z−=

=−∑

Metoda descompunerii in serii de

puteri

( ) [ ] nX z x n z∞

−= ∑

Cursul 4Cursul 4

( ) [ ]n

X z x n z=−∞

= ∑

00[ ] ( )nx n n z X z−− ⇒

Cursul 4Cursul 4

Filtre

• Un sistem care lasa sa treaca anumite frecvente si pe altele le

rejecteaza.

Cursul 4Cursul 4

rejecteaza.

• Design:

o Specificarea proprietatilor dorite ale sistemului

o Aproximarea specificatiilor folosind un sistem discret in timp cauzal

o Realizarea sistemului

Introducere

Alterarea spectrului de frecventa se poate realiza in trei moduri:

• O(n^2) cu DFT

Cursul 4Cursul 4

• O(n^2) cu DFT

• O(nlogn) cu FFT

• O(n) cu filtre FIR

Introducere

• DFT :

�Avantaje:

Cursul 4Cursul 4

�Avantaje:

o Putem alege N (marimea ferestrei) oarecare si putem fixa

rezolutia spectrala in mod arbitrar

o Filtrare ideala

�Dezavantaje:

o complexitate ridicata

o nu se implementeaza in hardware

Introducere

• FFT

�Avantaje:

Cursul 4Cursul 4

�Avantaje:

o Viteza sporita de calcul: filtrare in O(nlogn);

o Permite filtrarea ideala a componentelor de frecventa.

�Dezavantaje:

o N nu poate fi fixat arbitrar;

o N trebuie sa fie putere a lui 2, deci nu ne permitem orice rezolutie

spectrala;

o De obicei nu se implementeaza in hardware.

Introducere

• Filtrele FIR (Finite Impulse Response)

�Avantaje:

Cursul 4Cursul 4

�Avantaje:

o Filtrare in O(n)

o Implementari in hardware pe scara larga

o Usor de implementat in software

o Exista metode de proiectare a filtrelor FIR

� Dezavantaje:

o Filtrarea nu este ideala (fereastra de frecventa nu este

dreptunghiulara)

FIR

• Finite Impulse Response

�h[n] – raspunsul la impuls este secventa bilaterala (de

Cursul 4Cursul 4

�h[n] – raspunsul la impuls este secventa bilaterala (de

dreapta si de stanga) = secventa finita

�Filtrele FIR sunt sisteme liniare invariante in timp:

FIR

Cursul 4Cursul 4

• N- ordinul filtrului

• y[n] contine (N+1) termeni

• H(Z) are toti polii in 0, deci ROC = C-\{0} include cercul unitate

=> FIR sunt sisteme stabile

Proiectare

• Cum gasim h0, h1, … hN astfel incat y[n] sa aiba anumite

caracteristici in frecventa ?

Cursul 4Cursul 4

caracteristici in frecventa ?

– Exemplu: sa se determine h0, h1, ….. hN astfel incat

Yk =0, k=k0,…N-1 (filtru trece-jos: anuleaza componentele

de frecventa k0,…N-1 ale semnalului de intrare x[n])

Proiectarea filtrelor FIR = calculul raspunsului finit la impuls

h0, h1, … hN

Proiectare

• Metode de proiectare:

Cursul 4Cursul 4

1. Metoda ferestrei

2. Algoritmul Parks-McClellan

3. Calculul direct al coeficientilor

Metoda ferestrei

• Presupunem ca dorim un raspuns ideal in frecventa:

Cursul 4Cursul 4

unde:

Metoda ferestrei

Cursul 4Cursul 4

Infinite Impulse Response (IIR)

Metoda ferestrei

Cursul 4Cursul 4

Serie Fourier

Idee: Gasim hd[n] – coeficientii transformatei Fourier Inverse araspunsului ideal in frecventa si retinem hd[0]….,hd[N]

Metoda ferestrei

• FIR : numar finit de coeficienti in seria h[n]

• Metoda ferestrei:

Cursul 4Cursul 4

• Metoda ferestrei:

In general

unde w[n] = functie fereastra

In exemplu: w[n]=fereastra dreptunghiulara

Metoda ferestrei

• Tipuri de functii fereastra:

Cursul 4Cursul 4

Metoda ferestrei

1) Calculam hd[n] in functie de specificatiile filtrului ideal:

Cursul 4Cursul 4

2) Alegem functia fereastra w[n]

3) Alegem N in functie de precizia de aproximare dorita

4) Calculam h[n]

Ce rezulta?

• O aproximare a raspunsului in frecventa ideal:

Cursul 4Cursul 4

• Calitatea aproximarii este data de ordinul filtrului FIR: cu cat N

este mai mare, raspunsul in frecventa al FIR se apropie de

forma ideala

FIR

x[n] filtrat in O(N)

Cursul 4Cursul 4

Calitatea filtrarii sufera din cauza aproximariiraspunsului in frecventa cu N+1 termeni

FIR

“Ripples”

Cursul 4Cursul 4

“Ripples”

Frequency “ripples”

• Magnitudinea lor : exprimata in decibeli

• G = 10 log10 (X/X0)

Cursul 4Cursul 4

• G = 10 log10 (X/X0)

• In cazul proiectarii FIR, X0 = 1

• Magnitudinea ‘ripples’ este data de functia fereastra.

FIR

Cursul 4Cursul 4

Banda de tranzitie

Banda de tranzitie

• Apare datorita aproximarii raspunsului ideal in frecventa cu o

suma finita.suma finita.

• Latimea benzii de tranzitie scade pe masura ce N creste.

• Intuitie: N�∞ => latimea benzii de tranzitie=0 (seria Fourier a

lui Hd).

Cursul 4Cursul 4

Exemplu de proiectare a unui filtru FIR

• Avem un semnal x[n] esantionat la fs = 10kHz.

• Banda de frecvente este limitata de fN = 4kHz

• Vrem sa proiectam un filtru trece-jos pentru banda de

frecvente 0….3 kHz

Cursul 4Cursul 4

1) Calculam hd[n]

• Raspunsul ideal in frecventa:Introducemun factor de scala T =1 /fNpentru a

Cursul 4Cursul 4

pentru a simplifica unele calcule la sfarsit

se calculeaza transformata Fourier Inversaa lui Hd(f) !

1) Calculam hd[n]

Cursul 4Cursul 4

Dispare T, apare fN(la numitor)

1) Calculam hd[n]

Cursul 4Cursul 4

Proiectarea FIR - pasii finali

• 2) Alegem functia fereastra dreptunghiulara

• 3) Alegem N astfel incat N/fS = 1s• 3) Alegem N astfel incat N/fS = 1s

• 4) Retinem coeficientii FIR:

=>

• 5) Pentru a scapa de factorul de scala T=1/fN, scalam hk=hk/T

Cursul 4Cursul 4

DFT si DTFT

• DFT – Discrete Fourier Transform

– Domeniu discret de frecvente– Domeniu discret de frecvente

• DTFT – Discrete Time Fourier Transform

– Domeniu continuu de frecvente

aici f se alege marime continua in intervalul [-fs/2 , fs/2] Cursul 4Cursul 4

1/fS

Raspunsul in frecventa al filtrelor

• Se calculeaza cu DTFT !

• Se calculeaza pentru h[n] (h[n] in loc de x(nT))

• Pe intervalul [-fs/2 , fs/2]

• Se afiseaza grafic. De ce?

• Pentru a alege N – ordinul filtrului

Cursul 4Cursul 4

Raspuns in frecventa

Cursul 4Cursul 4