Priprema za 1.ispit znanja – trigonometrija
1. Pretvori u decimalni oblik kut:
α=75 °25 ' 36 ˝
Rj :α=75 °+(2560
)°+(36
3600)°=75 °+0.41666 °+0.01 °=75.4266 °
2. Pretvori u radijane kuteve:
a) α=300 °
Rj : αr=α °⋅ π180°
⇒ αr=300°⋅ π180 °
=5,2361rad
b) α=28 °39 ' 45˝
Rj : 28 ° 39 ' 45 ˝=28,6625 ° ⇒ αr=28,6625⋅ π180 °
=0.5003 rad
3. Pretvori u stupnjeve kuteve:
a) αr=11π
3Rj : α °=αr⋅
180°π ⇒ α °=
11π
3⋅
180°π =660 °
b) α=4,28 rad Rj : α °=4,28⋅180 °
π =245,2176 °=245 ° 13 ' 3 ˝
c) αr=−1,2rad
Rj :α°=−1,2⋅
180°π =−68,7526 °
0,7526⋅60=45.156 0,156⋅60=9.36 ⇒ α=−68 ° 45 ' 9 ˝
4. Odredi glavnu mjeru kuta : α '=α−⌊ α360°
⌋⋅360 ° α '=α−⌊ α2π
⌋⋅2π
a) α=555 °
Rj :α '=555 °−⌊555 °360 °
⌋360 °=555 °−1⋅360 °=195 °
b) α=2017 °
Rj :α '=2017 °−⌊2017 °360 °
⌋⋅360 °=2017 °−5⋅360°=2017 °−1800 °=217 °
c) α=−1260 °
Rj :α '=−1260°−⌊−1260°
360 °⌋⋅360 °=−1260°−(−4 )⋅360 °=−1260 °+1440 °=180 °
d) α=531π
4
Rj :α '=531π
4−⌊
531π
42π
⌋⋅2π=531π
4−66⋅2π=
531π
4−
528π
4=
3π
4
5. Na brojevnoj kružnici istakni točke koje pripadaju sljedećim kutevima.
t1=25 π
4t2=−
1297π
3t 3=
253π
6t 4=−
315π
2
Rj: Odredi glavnu mjeru kuta:
t1 '=π4
, t 2 '=5 π
3, t3 '=
π6
, t 4 '=π2
6. Na trigonometrijskoj kružnici nacrtaj točku E(t) i istakni sint, cost, tgt, ctgt, ako je t=17 π
3.
Rj: Glavna mjera kuta od
17 π
3je
5π
3
7) Na trigonometrijskoj kružnici istakni točke za koje vrijedi :
a) sint=−12
b) tgt=32
c) cos t=13
d) ctgt=−23
Rj: a) sint=−12
b) tgt=32
c) cost=13
d) ctgt=−23
8. Izračunaj vrijednost preostalih trigonometrijskih funkcija , ako je :
a) sin t=−1517
,t∈(3π
2,2 π)
b) tg t=−√3,t∈(−5π ,−11π
2)
Rj: a) Kut se nalazi u 4.kvadrantu ⇒ cos t je pozitivan
cos t=√1−sin2t=√1−(−1517
)2
=√ 289−225289
=√ 64289
=8
17
tgt=sin tcos t
=
−1517817
=−158
ctg t=1
tg t=−
815
b) Kut se nalaziu2.kvadrantu , ⇒ sin t je pozitivan ,a cos t i ctg t negativni
sint=tg t
√1+tg2 t⇒ sin t=
−√3
−√1+(−√3)2=
−√3−√1+3
=−√3−√4
=−√3−2
=√32
cos t=∓√1−sin2 t ⇒ cos t=−√1−(−√3
2)
2
=−√1−34=−√ 1
4=
−12
ctg t=1
tg t⇒ ctgt=
1−√3
=−√33
9. Dokažida vrijedi:cos4 t+sin2t⋅cos2t+sin2 t+tg2 t=1
cos2t
Rj: sin2 t+cos2t=1
cos4 t+sin 2t⋅cos2t+sin2 t+tg2t=cos2 t(cos2 t+sin2t⏞1
)+sin2t+tg2 t=cos2t+sin2 t⏞1
+ tg2 t=1+sin2 t
cos2t
=
cos2 t+sin 2tcos2 t
=1
cos2t
10. Pojednostavni sljedeći izraz: 1−sin4 t−cos4 tcos4 t
Rj. 1⏞
sin 2 t+cos2 t
−sin4 t−cos4 t
cos4t=
sin2 t+cos2t−sin4 t+cos4 t
cos4 t=
sin2t−sin4 t+cos2t−cos4 t
cos4 t=
sin2t (1−sin2 t )⏞
cos2 t
+cos2 t(1−cos2t)⏞sin2 t
cos4 t=
sin2 t⋅cos2 t+cos2 t⋅sin2tcos4t
=2sin2 t⋅cos2 t
cos4 t=
2sin2 tcos2t
=2 tg2t
11. Ako jesin t+cos tsin t−cos t
=23
, koliko je tgt ?
Rj: sin t+cos t / :cos tsint−cos t /: cos t
=
sin tcos t
+1
sin tcos t
−1=
tg t+1tg t−1
⇒
tg t+1tg t−1
=23
⇒ tgt+1=23⋅(tg t−1) ⇒ tg t+1=
23tg t−
23
⇒13tgt=
−53
⇒ tgt=−5
12. Provjeri jesu li dane funkcije parne ili neparne:
a) f (x)=1+cos x
x2 Rj: f (−x )=
1+cos(−x )
(−x )2 =
1+cosxx2 ⇒ funkcija je parna
b) f (x)=x+3 sinx
Rj: f (−x )=−x+3 sin (−x )=−x−3 sinx=−(x+3 sinx) ⇒ funkcija je neparna
13. Izračunaj temeljni period sljedećih funkcija :
a) f (x)=sin (3 x−π4)
Rj: f (x+P)=sin (3(x+P)−π4)=sin(3 x+3P−π
4)=sin(3 x−π
4+3 P)
⇒ 3P=2π ⇒ P=2π
3
b) f (x)=12tg
x2
Rj: f (x+P)=12tg(
x+P2
)=12tg(
x2+
P2
) ⇒P2
=π ⇒ P=2π
14. Izračunaj , bez upotrebe kalkulatora: sin55 π
3+cos (−
37 π
6)⋅tg(−
41π
4)
Rj:
sin55 π
3+cos(−
37π
6)⋅tg(−
41π
4)=
sin( π3+9⋅2π)+cos( π
6+3⋅2π)⋅tg(−( π
4+5⋅2π))=sin π
3−cos π
6⋅tg π
4=√3
2−√3
2⋅1=0
Top Related