1

2

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menyelesaikanpersamaan trigonometri

dari berbagai bentuk

3

Persamaan Trigonomteri

Sederhana

1. sinx = sin , x = + k.360°

atau x = (180 - ) + k.360°

2. cos x = cos , x = + k.360°

atau x = - + k.360°

2π

2π

4

3. tan x = tan x = + k.180°

dengan x R dan

k bilangan bulat

π

5

Contoh 1:

Himpunan penyelesaian

sin x = sin 70°, 0° x 360°

Jawab: x = 70° + k.360°

k = 0 x = 70°

atau x = (180 - 70) + k.360°

x = 110° + k.360°

k = 0 x = 110°

Jadi, Hp = {70°, 110°}

6

Contoh 2:

Himpunan penyelesaian

cos x = cos 24°, dalam interval

0° x 360°

Jawab: x = 24° + k.360°

k = 0 x = 24°

atau x = -24° + k.360°

k = 1 x = -24° + 360° = 336°

Jadi, Hp = {24°, 336°}

7

Contoh 3:

Himpunan penyelesaian

tan x = tan 56°, dalam interval

0° x 360°

Jawab: x = 56° + k.180°

k = 0, x = 56°

k = 1 x = 56° + 180° = 236°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { 52°, 236°}

8

Persamaan Berbentuk

sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a

diselesaikan dengan cara

mengubah ke persamaan

sederhana, yaitu dengan merubah

ruas kanan (konstanta a) menjadi

perbandingan trigonometri yang

senama dengan ruas kiri

9

Contoh 1:

Himpunan penyelesaian

sin 3x = ½, 0° x 180°

Jawab:

sin 3x = sin 30° maka

• 3x = 30° + k.360°

x = 10° + k.120° k = 0 x = 10°

k = 1 x = 10° + 120° = 130°

10

• 3x = (180 - 30) + k.360°

3x = 150° + k.360°

x = 50° + k.120°

k = 0 x = 50°

k = 1 x = 50° + 120° = 170°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { 10°, 50°, 130°, 170°}

11

Contoh 2:

Himpunan penyelesaian

cos (x + ¾π) = ½√2 , 0 x 2πJawab: cos (x + ¾π) = cos¼π

• (x + ¾π) = ¼π + 2k.π

x = -¾π + ¼π + 2k.π

x = -½π + 2k.π k = 1 x = -½π + 2π = 1½π

• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π

12

• (x + ¾π) = -¼π + 2k.π

x = -¾π - ¼π + 2k.π

x = -π + 2k.π

k = 1 x = -π + 2π = π

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { 1½π, π }

13

Contoh 3:

Himpunan penyelesain

tan ⅓x = √3, 0° x 2π

Jawab: tan⅓x = tan ⅓π

⅓x = ⅓π + 2k.π

x = π + 6k.π k = 0, x = π

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { π }

14

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian

2cos x + 1= 0 , 0° x 360°Jawab: 2cosx + 1 = 0

2cosx = -1

cosx = -½

x = 120°, 210°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah {120°, 210°}

15

Persamaan Trigonometriyang memuat Jumlah atau Selisih

sinus atau kosinus

Menggunakan rumus:

sinA + sinB = 2sin½(A + B)cos½(A – B)

sinA – sinB = 2cos½(A + B)sin½(A – B)

cosA + cosB= 2cos½(A + B)cos½(A – B)

cosA – cosB=-2sin½(A + B)sin½(A – B)

16

Contoh 1:

Himpunan penyelesaian

sin 3x + sinx = 0, 0° x 180°

Jawab:

sin3x + sinx = 0

2sin½(3x + x).cos½(3x - x) = 0

2sin2x.cosx = 0

sin 2x = 0 atau cosx = 0

17

sin 2x = 0 atau cosx = 0

• dari sin2x = 0 sin2x = sin 0°

diperoleh 2x = 0° + k.360°

x = 0° + k.180°

k = 0 x = 0°

k = 1 x = 180°

• dari cosx = 0 cosx = cos90°

diperoleh x = 90° + k.360°

18

• dari cosx = 0 cos x = cos 90°

diperoleh x = 90° + k.360°

k = 0 x = 90°

atau x = -90° + k.360°

tidak ada harga x yang memenuhi

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { 0°, 90°, 180°}

19

Contoh 2:

Himpunan penyelesaian

sin 3x - sinx + cos2x = 0, 0 x 2π

Jawab:

(sin3x – sinx) + cos2x = 0

2cos½(3x + x).sin½(3x - x) + cos2x= 0

2cos2x.sinx + cos2x = 0

cos2x (2sinx + 1) = 0

20

cos2x (2sinx + 1) = 0

cos2x = 0 atau 2sinx + 1 = 0

dari cos2x = 0 cos2x = cos½π 2x = ½π + 2kπ

x = ¼π + kπ

k = 0 x = ¼π

k = 1 x = ¼π + π = 1¼π 2x = -½π + 2kπ

21

2x = -½π + 2kπ

x = -¼π + kπ

k = 1 x = -¼π + π = ¾π

k = 2 x = -¼π+ 2π = 1¾π

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { ¼π,1¼π, ¾π, 1¾π}

22

Contoh 3:

Himpunan penyelesaian

sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2,

dalam interval 0° x 360°

Jawab:

sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√2

2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x

cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2

23

2sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x

cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√2

2sin½(2x + 30°)cos½(90°) = ½√2

2sin(x + 15°)cos45° = ½√2

2sin(x + 15°).½√2 = ½√2

sin(x + 15°) = ½

sin(x + 15°) = sin 30°

• x + 15° = 30° + k.360°

1

24

sin(x + 15°) = sin 30°

• x + 15° = 30° + k.360°

x = 15° + k.360°

k = 0 x = 15°

• x + 15° = (180° – 30°) + k.360°

x = 150° – 15° + k.360°

k = 0 x = 135°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { 15°, 135°}

25

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian

cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2,

dalam interval 0° x 360°

Jawab:

cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√2

2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x

cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2

26

2cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x

cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√2

2cos½(2x + 40°)cos½(90°) = ½√2

2cos(x + 20°)cos45°=½√2

2cos(x + 20°).½√2 = ½√2

cos(x + 20°) = ½

cos(x + 20°) = cos60°

x + 20° = 60° + k.360°

1

27

cos(x + 20°) = cos60°

• x + 20° = 60° + k.360°

x = 40° + k.360°

k = 0 x = 40°

• x + 20 = - 60° + k.360°

x = - 80° + k.360°

k = 1 x = -80° + 360°

x = 280°

Jadi, Hp = { 40°, 280°}

28

Persamaan Trigonometriyang berbentuk persamaan kuadrat

dalam sin, cos atau tan

Langkah-langkahnya:

1.Langsung difaktorkan bila sudah

berbentuk persamaan kuadrat

dalam sin ,cos atau tan.

29

Langkah ke-2

2. Bila belum berbentuk persamaan

kuadrat dalam sin ,cos atau tan,

ubah dulu ke bentuk persamaan

kuadrat dalam sin, cos atau tan,

dengan menggunakan:

1. Rumus trigonometri sederhana

2. Rumus trigonomteri sudut rangkap

30

Contoh 1:

Himpunan penyelesaian

2sin2x + 3sinx – 2 = 0, 0° x 360°

Jawab:

2sin2x + 3sinx – 2 = 0

(2sinx – 1)(sinx + 2) = 02sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0

• 2sin x – 1 = 0 2sinx = 1

sinx = ½

31

sinx = ½ sinx = sin 30° x = 30° + k.360°

k = 0 x = 30° x = (180° – 30°) + k.360°

x = 150° + k.360°

k = 0 x = 150°

• Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2

tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi, Hp = { 30°, 150°}

32

Contoh 2:

Himpunan penyelesaian

cos2x + 2cosx = 3, 0° x 360°

Jawab: cos2x + 2cosx = 3

cos2x + 2cosx – 3 = 0

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0

• cosx + 3 = 0 cosx = -3

tidak ada harga x yang memnuhi

33

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0

• cosx - 1= 0 cosx = 1

x = 0°, 360°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah {0°, 360°}

34

Contoh 3:

Himpunan penyelesaian

tan2x – 3 = 0, 0° x 360°

Jawab: tan2x – 3 = 0

(tanx + √3)(tan - √3) = 0

• tanx + √3 = 0 tanx = -√3

x = 120°, 300°

35

(tanx + √3)(tan - √3) = 0

tanx - √3 = 0 tanx = √3

x = 60°, 240°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah {60°, 120°, 240°, 300°}

36

Contoh 4:

Himpunan penyelesaian

cos2x – sinx = 1, 0° x 360°

Jawab: cos2x – sinx = 1

1 - 2sin2x – sinx = 1

sinx(- 2sinx – 1) = 0

sinx = 0 atau -2sinx – 1 = 0

• sin x = 0 x = 0°, 180°, 360°

• -2sinx – 1 = 0 -2sinx = 1

37

-2sinx – 1 = 0

-2sinx = 1

sinx = -½

x = 210°, 330°

Jadi,

himpunan penyelesaiannya adalah

{ 0°, 180°, 210°, 330°, 360°}

38

Contoh 5:

Himpunan penyelesaian

cos2x – 3cosx + 2 = 0, 0° x 360°

Jawab: cos2x – 3cosx +2 = 0

2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0

2cos2x – 3cosx + 1 = 0

(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0

• 2cosx – 1 = 0 2cosx = 1

cosx = ½

39

(2cosx – 1)(cosx – 1) = 0

cosx = ½ x = 60°, 300°

cosx – 1 = 0 cosx = 1

x = 0°, 360°

Jadi, himpunan penyelesaiannya

adalah {0°, 60°, 300°, 360°}

40

Contoh 6:

Himpunan penyelesaian

sin4x + sin2x = 0, 0° x 360°

Jawab:

sin4x + sin2x = 0

2sin2xcos2x + sin2x = 0

sin2x(cos2x + 1) = 0

• sin2x = 0 2x = k.360°

x = k.180°

41

sin2x(cos2x + 1) = 0

• sin2x = 0 2x = k.360°

x = k.180°

x = 0°, 180°, 360°

• cos2x + 1 = 0 cos2x = -½

2x = 120° + k.360°

x = 60° + k. 180°

x = 60° + k. 180°

x = 60°, 240°

42

x = -60° + k. 180°

x = 120°, 300°

Jadi,

himpunan penyelesaiannya adalah

{60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}

43

SELAMAT BELAJAR