MAT-206 Parte I
Walter T. Huaraca Vargas
15 de Março de 2017
Ângulo trigonométrico
DefiniçãoUm ângulo θ é definido pela rotação de um raio ao redor da origem(vértice) desde uma posição inicial (lado inicial) até uma posição terminal(lado final). A medida do ângulo θ é a quantidade de rotação que realiza oraio desde o lado inicial até o lado final entorno do vértice. Esta medidaserá positiva se a rotação é realizada no sentido anti-horario e será negativano caso contrario.
ObservaçãoO ângulo gerado ao rotar um raio em sentido antihorario até que coincidapor primeira vez com a sua posição inicial é chamado de ângulo de umarevolução.
Sistemas de medição angular
Sistema Sexagesimal: O angulo de uma volta dividivo em 360 parteschamadas de grau sexafesimal, cada grau se divide em 60 partes iguaischamadas minuto sexagesimal, a sua vez cada minuto se divide em 60partes iguais chamadas de segundo sexagesimal.
notação equivalenciasGrau sexagesimal 1o 1o “ 60
1
“ 36002
minuto sexagesimal 11
11
“ 602
segundo sexagesimal 12
Sistemas radial ou circular
Unidade angular é o radian definido como a medida do ângulo central emqualquer circunferencia definido por um arco de longitude igual a r .Nestesistema o ângulo de uma revolução mide 2π radianes.
ObservaçãoSe S e R são os número que representam a medida de um ângulo nossistemas sexagesimal e radial, respetivamente, então S
360 “R2π de onde:
S
180“
R
π
Angulos coterminais
DefiniçãoDos ângulo são chamados de ângulos coterminais se tem o mesmo v?rtice,o mesmo lado inicial e o mesmo lado final. Obserque se se α e beta sãocoterminais se, e somente se, existe k P Z tal que α´ β “ kp360oq ouα´ β “ kp2πradq.
Comprimento de arco e área do setorcircular
Lembremos que L “ θr e A “ 12 rL “
12θr
2
Relações trigonométricas no triânguloretângulo
As relações trigonométricas no triângulo retângulo são 6 e são denomidasSeno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante, Cosecante.Geometricamente temos:
Observação1 Ctgα “ 1
Tgα , Secα “1
Cosα , Cscα “1
Senα .2 0 ă Senα ă 1, 0 ă Cosα ă 1, Secα ą 1, Cscα ą 1, observe que α é
agudo.3 A razão Coseno é a co-razão da razão Seno e viceversa.4 A razão Cotangente é a co-razão da razão Tangente e viceversa.5 A razão Cosecante é a co-razão da razão Secante e viceversa.6 RTα “ CoRT pcomplemento de αq “ CoRT p90o´αq “ CoRT pπ2´αq
7 basta conhecer uma razão para conhecer as outras.
Proposição1 Considere o triângulo ABC reto em B, então Ctg A
2 “ CscA` CtgA eTg A
2 “ CscA´ CtgA.2 A àrea de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto de dois do
seus lados multiplicado pelo Seno do ângulo formado por eles.
O círculo trigonométrico
Lembre que podemos associar a todo número real um único ponto sobreuma reta orientada, consideremos duas retas orientadas perpendicularesentre elas, o plano determinado pelas retas é chamado de Plano Cartesianoo Plano coordenado.
1 Origem de coordenadas O2 Eixo das abscisas ou eixo X .3 Eixo das ordenadas ou eixo Y .4 4 regiões chamados de quadrantes5 r “
a
x2 ` y2 é chamado de raio vetor
Definição1 Um ângulo esta em posição normal, se o lado inicial pertence ao
semieixo positivo das abscisas, o vêrtice é o origem do sistema decoordenadas e o lado final encontrase no plano coordenado.
2 Um ângulo em posição normal é chamado de ângulo quadrantal se seulado final encontrase sobre um dos eixos coordenados.
ObservaçãoSe θ é um ângulo positivo de menor que uma revolução, então:
1 θ P IQ então 0 ă θ ă 90o
2 θ P IIQ então q90o ă θ ă 180o
3 θ P IIIQ então 180o ă θ ă 270o
4 θ P IVQ então 270o ă θ ă 360o
ObservaçãoSe θ é um ângulo quadrantal, então são:
1 2kπ com k P Z2 p2k ` 1qπ com k P Z3
p4k`1q2 π com k P Z
4p4k`3q
2 π com k P Z
Razões trigonometricasDefiniçãoSeja α um ângulo em posição normal se Ppx ; yq é um ponto pertencenteao lado final, as razoes trigonométricas de α são:
Senα “ Ordenadaraio “
yr Tgα “ Ordenada
abscisa “yx Secα “ raio
abscisa “rx
Cosα “ abscisaraio “
yr Ctgα “ abscisa
ordenada “xy Cscα “ raio
ordenada “ry
Observação1 Observe o sinal das RT nos diferentes quadrantes. (Geometricamente)2 A RT de ângulos coterminais são iguais.3 É fácil provar que:
Senp´αq “ ´Senpαq cosp´αq “ cospαq Tgp´αq “ ´Tgpαq
Ctgp´αq “ ´Ctgpαq Secp´αq “ Secpαq Cscp´αq “ ´Cscpαq
Circunferencia trigonométrica
S “ tpx ; yq P R2; x2 ` y2 “ 1u
Op0; 0q origem Ap1; 0q origem de arcos Bp0; 1q origem de complementosA
1
p´1; 0q origem de suplementos B1
p0;´1q Ppx ; yq extremos do arco AP
Se α for o ângulo definido pelo arco AP , então as razões trigonométricassão:
Linhas trigonométricas Com direção
Linha Seno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arco aodiámetro A
1
A
Linha Coseno Segmento perpendicular traçado desde o extremo do arcoao diámetro B
1
B
Linhas trigonométricas
Linha Tangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origem dearcos A. (Eixo de tangentes)
2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco atéintersetar o eixo de tangentes.
3 A linha tangente é o segmento comprendido entre aorigem de arcos e o ponto de interseção com a linhatangente.
Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo origemde complementos B . (Eixo de cotangentes)
2 Prolongar o raio que passa pelo extremo do arco atéintersetar o eixo de cotangentes.
3 A linha cotangente é o segmento comprendido entre aorigem de complementos e o ponto de interseção com alinha cotagente.
Linhas trigonométricas
Linha Secante 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremo doarco até intersetar o eixo X .
2 A linha Secante é o segmento comprendido entre aorigem de coordenadas e o ponto de interseção.
Linha Cotangente 1 Traçar uma tangente geometrica pelo extremodo arco até intersetar o eixo Y .
2 A linha Cosecante é o segmento comprendido entre aorigem de coordenadas e o ponto de interseção.
Linhas auxiliares
Linha Verso É o segmento comprendido entre o pe da linha do Seno e aorigem de arcos A e Versα “ 2´ Cosα.
Linha Coverso É o segmento comprendido entre o pe da linha doCoseno e a origem de complementos B e Covα “ 1´ senα
Linha Ex-Secante É o segmento comprendido entre a origem de arcose o extremo da linha secante e ExSecα “ Secα´ 1
Funções trigonométricas
Observação1 Intervalos abertos, fechados, semi-aberto, semi-fechado, infinitos.2 O valor absoluto de um número real x , é:
|x | “
"
x se x ě 0´x se x ă 0
Usaremos?a2 “ |a|
3 Funções4 Dominio, Imagem e Gráfico de uma função.5 Continuidade a assintotas verticais e horizontais.6 Funções Injetivas, sobrejetivas e bijetivas.7 Funções pares e impares e periódicas.
Função Seno
y “ f pxq “ Senx
1 Domínio: R2 Imagem: r´1; 1s3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Em todo seu dominio6 Valor(es) Máximo: 1 em x “ π
2 ` 2kπ com k P Z7 Valor(es) mínimo: -1 em x “ ´π
2 ` 2kπ com k P Z8 Paridade: Impar9 Monotocidade: Crescente em r´π
2 ` 2kπ; π2 ` 2kπs com k P Z eDecrescente em rπ2 ` 2kπ; 3π
2 ` 2kπs com k P Z
Função Cosseno
y “ f pxq “ Cosx
1 Domínio: R2 Imagem: r´1; 1s3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Em todo seu dominio6 Valor(es) Máximo: 1 em x “ 2kπ com k P Z7 Valor(es) mínimo: -1 em x “ p2k ` 1qπ com k P Z8 Paridade: Par9 Monotocidade: Crescente em r´π ` 2kπ; 2kπs com k P Z e
Decrescente em r2kπ; 2kπ ` πs com k P Z
Função Tangente
y “ f pxq “ Tgx
1 Domínio: Rztp2k ` 1qπ2 u, k P Z2 Imagem: R3 Gráfico:4 Periódo: π5 Continuidade: Discontínua em x “ p2k ` 1qπ2 com k P Z6 Valor(es) Máximo: Nao tem7 Valor(es) mínimo: Não tem8 Paridade: impar9 Monotocidade: Crescente en p´π
2 ` kπ; π2 ` kπq, k P Z10 Assintotas verticais: x “ p2k ` 1qπ2
Função Cotangente
y “ f pxq “ Ctgx
1 Domínio: Rztkπu, k P Z2 Imagem: R3 Gráfico:4 Periódo: π5 Continuidade: Discontínua em x “ kπ com k P Z6 Valor(es) Máximo: Nao tem7 Valor(es) mínimo: Não tem8 Paridade: impar9 Monotocidade: Decrescente en pkπ; kπ ` πq, k P Z10 Assintotas verticais: x “ kπ
Função Secante
y “ f pxq “ Secx
1 Domínio: Rztp2k ` 1qπ2 u, k P Z.2 Imagem: Rzp´1; 1q3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Discontínua em x “ p2k ` 1qπ2 , k P Z.6 Valor(es) Máximo: Nao7 Valor(es) mínimo: Não8 Paridade: Par9 Monotocidade: Crescente em r2kπ; 2kπ ` π
2 q ou p2kπ `π2 ; 2kπ ` πs,
k P Z.
Função Cosecante
y “ f pxq “ Cscx
1 Domínio: Rztkπu, k P Z.2 Imagem: Rzp´1; 1q3 Gráfico:4 Periódo: 2π5 Continuidade: Discontínua em x “ kπ, k P Z.6 Valor(es) Máximo: Nao7 Valor(es) mínimo: Não8 Paridade: impar9 Monotocidade: Crescente em rπ2 ` 2kπ; 2kπ ` πq oup2kπ ` π; 2kπ ` 3π
2 s, k P Z. Decrescente em r2kπ ´ π2 ; 2kπq ou
p2kπ; 2kπ ` π2 s, k P Z.
ObservaçãoSe f é uma função (trogonométrica).
1 y “ kf pxq
2 y “ f pcxq
3 y “ f pxq ` K
4 y “ f px ` cq
Identidades trigonométricas Recíprocas
Proposição1 SenxCscx “ 1 se x ‰ kπ, k P Z2 CosxSecx “ 1 se x ‰ p2k ` 1qπ2 , k P Z3 TgxCtgx “ 1 se x ‰ kπ
2 , k P Z
Identidades trigonométricas Quociente
Proposição1 Senx
Cosx “ Tgx , x ‰ p2k ` 1qπ2 k P Z2 Cosx
Senx “ Ctgx , x ‰ kπ k P Z
Identidades trigonométricas Pitagóricas
Proposição1 Sen2x ` Cos2x “ 1 para todo x P R.2 1` Tg2x “ Sec2x se x ‰ p2k ` 1qπ2 , k P Z3 1` Ctg2x “ Csc2x se x ‰ kπ, k P Z
Identidades trigonométricas Auxiliares
Proposição1 Sen4x ` Cos4x “ 1´ 2Sen2xCos2x para todo x P R.2 Sen6x ` Cos6x “ 1´ 3Sen2xCos2x para todo x P R.3 Sec2x ` Csc2x “ Sec2xCsc2x para todo x P R.4 Tgx ` Ctgx “ SecxCscx para todo x P R.5 Sp1Senx ` Cosxq2 “ 2p1` Senxqp1` Cosxq para todo x P R.
Redução ao primeiro quadrante
RT p180o ˘ αq “ ˘RT pαq RT pπ ˘ αq “ ˘RT pαqRT p360o ˘ αq “ ˘RT pαq RT p2π ˘ αq “ ˘RT pαq
ObservaçãoDe pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima,dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.
Redução ao primeiro quadrante
RT p90o ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq RT pπ2 ˘ αq “ ˘C0´ RT pαqRT p270o ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq RT p3π2 ˘ αq “ ˘Co ´ RT pαq
ObservaçãoDe pendendo da RT, poderiamos trocar o sinal da igualdades acima,dependendo do quadrante onde estamos trabalhando.
Redução ao primeiro quadrante
DefiniçãoDa do um ângulo α, o ângulo referencial de α, αr é o ângulo agudo queforma o lado final do ângulo α com o eixo das abscisas.
ObservaçãoPara reducir ao primeiro quadrante, procedemos assim:
1 Ubicamos o quadrante do ângulo2 Achamos o ângulo de referenncia associado3 Determinamos o sinal da RT dada para o quadrante achado em 1.4 Colocamos a mesma RT, agora aplicada ao ângulo de referencia e com
o sinal determinado em 3.
As leis do Seno e do Coseno
Proposição1 Senpα˘ θq “ SenαCosθ ˘ CosαSenθ
2 Cospα˘ θq “ CosαCosθ ¯ SenαSenθ
3 Tgpα˘ θq “ Tgα˘Tgθ1¯TgαTgθ
TeoremaSe ABC é um triângulo de lados a, b e c , então
a2 “ b2 ` c2 ` 2bcCosA
TeoremaSe ABC é um triângulo de lados a, b e c , então
a
SenA“
b
SenB“
c
SenC
funções trigonométricas inversas
ObservaçãoExistencia de função (relação) inversa e relação do g?afico da função e ográfico da sua inversa
1 y “ f pxq “ Senx , Dompf q “ r´π2 ;
π2 s e Impf q “ r´1; 1s
2 y “ f pxq “ Cosx , Dompf q “ r0;πs e Impf q “ r´1; 1s3 y “ f pxq “ Tgx , Dompf q “ p´π
2 ;π2 q e Impf q “ p´8;8q
4 y “ f pxq “ Ctgx , Dompf q “ p0;πq e Impf q “ p´8;8q
5 y “ f pxq “ Secx , Dompf q “ r0; π2 q Y pπ2 ;πs e
Impf q “ p´8;´1s Y r1;8q6 y “ f pxq “ Cscx , Dompf q “ r´π
2 ; 0q Y p0;π2 s e
Impf q “ p´8;´1s Y r1;8q
Equações e Inequações trigonométricas
DefiniçãoUma equação trigonométrica elementar é da forma:
FT pkpx ` θqq “ r
Onde k; θ, r P R
DefiniçãoUma solução x0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertencea r0;T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução serátx0 ` kT ; k P Zu
DefiniçãoUma equação trigonométrica não elementar se para sua resolução requerconceitos algebricos e trigonométricos. (Fatoração, diferença de quadrados,angulos duplos etc.)
DefiniçãoUma solução x0 de uma equação elementar é solução básica se ele pertencea r0;T s, onde T é o periódo da RT. E conjunto solução serátx0 ` kT ; k P Zu
Inequações trigonométricas
Não existe um procedimento padrão para a solução de inequaçõestrigonométricas, porem devemos ter em conta:
1 Para que exista solução devemos ter interseção entre os dominios dasfunções que intervem. Se não tiver interseção então o conjuntosolução é vazio.
2 Pode acontecer que exista interserção entre os dominios porem nãoexista solução.
3 Considere duas funções f pxq e gpxq contínuas, entãogeometricamente:
§ Exite pontos de interseção, nestes pontos f pxq “ gpxq.§ Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por cima do gráfico degpxq, nestes pontos gpxq ă f pxq.
§ Existem pontos em que o gráfico de f pxq esta por baixo do gráfico degpxq, nestes pontos gpxq ą f pxq.
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