Mathematik Lerneinheit 6Mathematik Lerneinheit 6Mathematik Lerneinheit 6Mathematik Lerneinheit 6
Trigonometrische Trigonometrische Trigonometrische Trigonometrische Funktionen Funktionen Funktionen Funktionen
Leitidee Leitidee Leitidee Leitidee Einheitskreis, Einheitskreis, Einheitskreis, Einheitskreis, periodische periodische periodische periodische FunktionenFunktionenFunktionenFunktionen,,,, Umkehrfunktion,Umkehrfunktion,Umkehrfunktion,Umkehrfunktion, SinusSinusSinusSinus---- und und und und KosinussatzKosinussatzKosinussatzKosinussatz,,,,
SchwingungenSchwingungenSchwingungenSchwingungen
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Das Buch der Natur ist in mathematischer Das Buch der Natur ist in mathematischer Das Buch der Natur ist in mathematischer Das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)
MathematikMathematikMathematikMathematik ist nicht alles. ist nicht alles. ist nicht alles. ist nicht alles. Aber ohne Mathematik ist alles nichts.Aber ohne Mathematik ist alles nichts.Aber ohne Mathematik ist alles nichts.Aber ohne Mathematik ist alles nichts.
Benno Frei ©2012/13Benno Frei ©2012/13Benno Frei ©2012/13Benno Frei ©2012/13
DialogMathe Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS
1 Leitidee periodische Funktionen ................................................................................................... 1
1.1 Definition am Einheitskreis ...................................................................................................... 4 1.2 Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant .................................................... 10 1.3 Erweiterung der Winkelfunktionen ...................................................................................... 16 1.4 Funktionsgraph der Winkelfunktionen ............................................................................... 27 1.5 Eigenschaften der Winkelfunktionen ................................................................................... 32 1.6 Umkehrfunktionen .................................................................................................................. 38 1.7 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens......................................................... 47 1.8 Trigonometrische Gleichungen ............................................................................................. 52 1.9 Repetitionstest trigonometrische Funktionen ..................................................................... 68
2 Berechnungen am beliebigen Dreieck ....................................................................................... 75
2.1 Sinussatz und Kosinussatz ..................................................................................................... 75 2.2 Geometrie Memos allgemeines Dreieck ............................................................................... 88
3 Die allgemeine Sinusfunktion..................................................................................................... 94
3.1 Funktionstransformationen Sinusfunktion.......................................................................... 95 3.2 Memo allgemeine Sinusfunktion ........................................................................................ 101 3.3 Dynamische Arbeitsblätter................................................................................................... 103 3.4 Anwendung Modellbildung ................................................................................................ 108 3.5 Anwendung Biorhythmen ................................................................................................... 111 3.6 Sinus als Polynom ................................................................................................................. 113
4 Anwendung Schwingungen ....................................................................................................... 114
4.1 Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung ................................................................ 114 4.2 Beispiele von Schwingungen ............................................................................................... 121 4.3 Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik .......................................................... 123
Das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben. (Galileo Galilei) Mathematik ist nicht alles. Aber ohne Mathematik ist alles nichts. DialogMathe © Mathematik Lerneinheit 6 Skript Trigonometrische Funktionen 2012/13 Leitidee Einheitskreis, periodische Funktionen, Umkehrfunktion, Sinus- und Kosinussatz Theorie, Übungen, Partnerinterviews, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen Von Benno Frei ©
Vorwort DialogMathe
I Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Zum Inhalt
Kapitel 1 Wir erweitern die am rechtwinkligen Dreieck gewonnenen trigonometrischen
Beziehungen auf beliebige Winkel. Dazu benutzen wir den Einheitskreis. Wir
studieren die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus
und Tangens. Dabei stehen uns zwei verschiedene Repräsentationsformen zur
Verfügung: Die Funktionsgraphen und die Darstellung am Einheitskreis. Die
Zusammenhänge zwischen den beiden Darstellungsformen ist für das Ver-
ständnis von entscheidender Bedeutung. Weiter studieren wir die Umkehr-
funktionen (Arcus-Funktionen) der trigonometrischen Funktionen.
Wir lernen Gleichungen zu lösen, in denen die Unbekannte in den trigono-
metrischen Funktionen vorkommen. Für dieses Unterfangen braucht es geeig-
nete Strategien und vor allem Kenntnisse von den Beziehungen zwischen den
Winkelfunktionen.
Kapitel 2 In diesem Kapitel führen wir Berechnungen am beliebigen Dreieck durch.
Dazu ist der Sinus- und Kosinussatz erforderlich. Es werden dir Strategien
vorgestellt, mit denen diese Berechnungen effizient durchgeführt werden
können. Bei diesen Problemstellungen entstehen Gleichungen oder
Gleichungssysteme, die wir mit Hilfe des Rechners lösen werden, wobei hier
ein behutsames Vorgehen angezeigt ist.
Kapitel 3 In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Sinusfunktion. Dabei können
wir die Regeln für die Funktionstransformationen anwenden.
Einige praxisorientierte Beispiele zeigen dir, wie die allgemeine Sinusfunktion
in der Modellbildung angewendet werden kann.
Kapitel 4 Technische Anwendung: Schwingungen. Wir erhalten eine harmonische
Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung. Diese Tatsache zeigt
dir nochmals die Zusammenhänge zwischen den zwei Darstellungsformen
Einheitskreis und Funktionsgraph auf.
DialogMathe Definition am Einheitskreis
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 1
1 Leitidee periodische Funktionen
trigonometrische Funktionen, Bedeutung in der Technik Die trigonometrischen Funktionen spielen in der Technik und dort vor allem
zur Beschreibung von periodischen Vorgängen eine bedeutende Rolle.
Ihre Ursprünge reichen sehr weit zurück und im Gegensatz zu anderen
Funktionen liegen ihre Wurzeln deutlich im geometrischen Bereich. Unsere
Einführung in die trigonometrischen Funktionen wird ihrer geometrischen
Herkunft Rechnung tragen. Die elektromagnetischen Phänomene (siehe Ab-
bildung elektromagnetisches Spektrum, Seite 3), die unseren Alltag prägen,
lassen sich alle mit dem Modell der trigonometrischen Funktionen einheitlich
beschreiben (Schwingungen und Wellenausbreitung). Wellen können durch
ihre Wellenlänge λ, ihre Frequenz f und ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c
beschrieben werden. Dabei besteht bei allen Wellen zwischen diesen drei
Grössen der Zusammenhang: c f= λ ⋅ . Die Ausbreitungsgeschwindigkeit für
eine elektromagnetische Welle (z.B. Licht) beträgt in Luft 8 1c 3 10 ms−= ⋅ . In
der modernen Physik werden die Wellen auch als Energiepakete (Teilchen,
Quanten, Photonen) beschrieben: E h f= ⋅ , wobei 15h 4,14 10 eVs−= ⋅ das
Plancksche Wirkungsquantum ist. Die heutige Theorie der Materie und ihre
Wechselwirkungen werden durch die Quantenphysik beschrieben, die als
wesentliches Prinzip den sogenannten Welle-Teilchen Dualismus beinhaltet
(Licht ist sowohl Welle als auch Teilchen). Eine eindimensionale nach rechts
laufende Sinus-Welle kann durch die folgende Funktion beschrieben werden:
( ) ( )m2
y x,t y sin x c tπ = ⋅ ⋅ − ⋅ λ
http://www.walter-fendt.de/ph11d/emwelle.htm
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
2 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Die elektrische Energie ist heute aus der Technik und dem alltäglichen Leben
nicht mehr wegzudenken. Durch das Induktionsgesetz können mittels
Generatoren Wechselspannungen erzeugt werden.
( ) ( )0 0U t U sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ wobei 2 fω = π ⋅ die Kreisfrequenz, 0ϕ die Phasen-
verschiebung und 0U die Amplitude sind.
http://www.walter-fendt.de/ph14d/generator.htm
Induktionsgesetz Periodische Bewegung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld.
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ induziert eine Spannung
indUt
∆Φ= −∆
(Änderungsrate des mag. Flusses = Spannung)
Leider bringen die Errungenschaften der Technik immer auch Nachteile mit
sich. Probleme wie Elektrosmog, Treibhauseffekt (IR-Strahlung), Ozonloch
(UV-Strahlung) und Radioaktivität (Gammastrahlung) sind heute ernstzu-
nehmenden Bedrohungen für unser Leben geworden.
Mathematische Modelle können uns Zusammenhänge aufzeigen und uns bei
einem ganzheitlichen Systemdenken behilflich sein. Dazu gehört auch die
Einsicht, dass die komplex vernetzten Probleme in der Praxis nicht nur durch
einseitiges technisches Denken und Handeln zu lösen sind, genauso wie die
Einsicht, dass fundierte Kenntnisse der Naturwissenschaften beim Suchen
nach optimalen Kompromissen unerlässlich sind.
DialogMathe Definition am Einheitskreis
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 3
Elektromagnetisches Spektrum
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
4 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.1 Definition am Einheitskreis
1.1.1 Definition Bogenmass
Unter dem Bogenmass eines Winkels verstehen wir die Masszahl der Länge
des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis.
Die in der Dreieckslehre übliche Methode, Winkel in Graden zu messen, ist
für unsere Zwecke ungeeignet. Ein geeignetes Mass, Winkel durch Zahlen
und nicht durch Grade, zu messen, ist das Bogenmass. Die Grundidee liegt
dabei in der Beobachtung, dass jeder Winkel, im Mittelpunkt eines
vorgelegten Kreises angetragen, einen Ausschnitt des Kreisesbogens liefert.
Da allerdings ein Winkel bei verschieden grossen Kreisen unterschiedlich
grosse Bögen ausschneidet, ist eine Festlegung auf einen bestimmten Kreis
zwingend.
Einheitskreis
Zur Winkelmessung durch Bögen
werden wir daher stets einen Kreis
mit Radius 1 und Mittelpunkt im
Ursprung des Koordinatensystems
zugrunde legen, den sog.
Einheitskreis.
Jedem gemäss nebenstehender
Skizze eingetragenem Winkel α
kommt nun neben seinem
(orientierten) Gradmass α auch sein (orientiertes) Bogenmass ⌢
bα = , d.h. die
Länge des von ihm ausgeschnittenen Bogens, zu. Dabei bezieht sich der
Zusatz "orientiert" auf die Vereinbarung, dass im Gegenuhrzeigersinn
eingezeichnete Winkel positive Masszahlen haben, und Winkeln, die im
Uhrzeigersinn eingetragen sind, negative Masszahlen zukommen. Der Winkel
im Bogenmass ist eine Zahl und hat somit keine Einheit (Masszahl der
Bogenlänge). Um den Winkel im Bogenmass trotzdem mit einer Einheit
nennen zu können, wird das rad (Radiant) verwendet.
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.1.2 Dynamisches Arbeitsblatt Bogenmass
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_Bogenmass Zeit: 10 Minuten
Wir beschreiben den Winkel
Da die Bogenlänge vom Radius abhängig ist, wählen wir einen Kreis mit dem
Radius r = 1 (Einheitskreis). Der Punkt B auf dem Einheitskreis lässt sich mit
der Maus bewegen. So kannst du den Winkel
Arbeitsaufträge:
1) Beim Vollwinkel Kreisumfang U. Speziell im Einheitskreis
Mach dir klar, dass der Quotient
verwendet werden kann.
2) Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass?
3) Verändere den Winkel
Bogenmass als Vielfache von 0150 , 0180
4) Welcher Winkel im Gradmass
5) Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt.
Definition am Einheitskreis
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Bogenmass
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_Bogenmass Zeit: 10 Minuten
Wir beschreiben den Winkel α mit Hilfe der Länge des Bogens
Da die Bogenlänge vom Radius abhängig ist, wählen wir einen Kreis mit dem
Radius r = 1 (Einheitskreis). Der Punkt B auf dem Einheitskreis lässt sich mit
der Maus bewegen. So kannst du den Winkel α ändern.
Beim Vollwinkel 0360α = ist die Bogenlänge b 2 r U= π ⋅ =Kreisumfang U. Speziell im Einheitskreisb U 2= = π .
Mach dir klar, dass der Quotient b Bogenlänger Radius
= als Winkelmass für
verwendet werden kann.
Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass?
Verändere den Winkel α durch Bewegen von B. Gib folgende Winkel im
Bogenmass als Vielfache von π an: 018 , 030 , 045 , 060 , 900180 , 0210 , 0225 , 0240 , 0270 , 0300 , 0315 , 0330
Welcher Winkel im Gradmass gehört zum Winkel 1α =
Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt.
Definition am Einheitskreis
5
mit Hilfe der Länge des Bogens�AB : bα = .
Da die Bogenlänge vom Radius abhängig ist, wählen wir einen Kreis mit dem
Radius r = 1 (Einheitskreis). Der Punkt B auf dem Einheitskreis lässt sich mit
b 2 r U= π ⋅ = gleich dem
als Winkelmass für α
Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass?
folgende Winkel im 090 , 0120 , 0135 ,
0330 , 0360 .
1.
Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
6 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.1.3 Übungen Bogenmass
Umrechnung
Die Umrechnungen vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt beruhen
auf einem Dreisatz.
Ein gestreckter Winkel 0180α = entspricht im Bogenmass dem halben Kreis-
umfang im Einheitskreis (r = 1): U 2 r2 2
π ⋅α = = = π .
Merke: o180 ( im Gradmass) ( im Bogenmass)α = π α
α (im Bogenmass) = o180
π ⋅ α (im Gradmass)
α (im Gradmass) = o180 ⋅ α
π (im Bogenmass)
Wichtige Winkel
Rechne die angegebenen Winkel vom Gradmass ins Bogenmass um.
Gib die Winkel als Vielfaches von π an.
Gradmass o0 o30 o45 o60 o90 o120 o135 o150
Bogenmass
Gradmass o180 o210 o225 o240 o270 o300 o315 o330 o360
Bogenmass
Gib die Winkel im Bogenmass an: 1) als Vielfaches von π , 2) als reelle Zahl
a) o10 b) o3 c) o67 d) o100
e) o0,5 f) o36,6 g) o155
Gib die Winkel im Gradmass an.
a) 2 rad b) 27 rad⋅ π c) 0,234 rad
d) 2 rad e) 227 rad f) 5
8 rad
DialogMathe Definition am Einheitskreis
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 7
1.1.4 Punkt P im ersten Quadrant
Winkel o o0 ; 90 α ∈ Wir betrachten rechtwinklige Dreiecke OBP, wobei die Ecke O im
Koordinatenursprung, die Ecke B auf der x-Achse und die Ecke P auf dem
Einkeitskreis liegen. Für solche Dreiecke gilt:
Länge der Hypotenuse OP 1=
Länge der Gegenkathete ( )BP sin= α
Länge der Ankathete ( )OB cos= α
Die Koordinaten des Punktes P betragen: ( ) ( )( )P cos | sinα α
Wir erhalten ein weiteres rechtwinkliges Dreieck OCD, indem wir den Strahl
OP mit der Tangente an den Einheitskreis im Punkt ( )C 1| 0 schneiden
(Schnittpunkt D). Für diese Dreiecke gilt:
Länge der Ankathete OC 1=
Länge der Gegenkathete ( )CD tan= α
Tangensträger
Der Tangens liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt ( )C 1| 0 .
Diese Tangente nennen wir Tangensträger.
Leitidee periodische Funktionen
8
1.1.5 Definition sinαααα und cosDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: Winkel 0 ; 90 α ∈
Da die Längen der Dreieckseiten keinen Einfluss auf die
haben (Strahlensatz!), platzieren wir das rechtwinklige Dreieck OBP in den
Einheitskreis (O im Koordinatenursprung, P auf d
x-Achse). Dadurch wird die Hypotenuse
Definitionen für
Gegenkathetesin( ) Gegenkathete y Koordinate des Punktes P
Hypotenuseα = = = −
Ankathetecos( ) Ankathete x Koordinate des Punktes P
Hypotenuseα = = = −
Arbeitsaufträge:
1. Verändere den Winkel
des Punktes
2. Bestimme die Funktionswerte
3. Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel
(2 2sin cos 1α + α =
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
und cosαααα am Einheitskreis Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]Zeit: 10 Minuten
o o0 ; 90
Da die Längen der Dreieckseiten keinen Einfluss auf die Seitenverhältnisse
haben (Strahlensatz!), platzieren wir das rechtwinklige Dreieck OBP in den
Einheitskreis (O im Koordinatenursprung, P auf dem Einheitskreis, B auf der
Achse). Dadurch wird die Hypotenuse OP 1= und wir erhalten aus den
Definitionen für sin( )α und cos( )α :
Gegenkathetesin( ) Gegenkathete y Koordinate des Punktes P
Hypotenuseα = = = −
Ankathetecos( ) Ankathete x Koordinate des Punktes P
Hypotenuseα = = = −
Verändere den Winkel o o0 ; 90 α ∈ und beobachte die Koordinaten
des Punktes ( ) ( ) ( )( )P x | y P cos | sin→ α α . Was stellst du fest?
Bestimme die Funktionswerte sin( )α , cos( )α für α =
Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel o o0 ; 90 α ∈
) ( )2 2sin cos 1α + α =
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]
Seitenverhältnisse
haben (Strahlensatz!), platzieren wir das rechtwinklige Dreieck OBP in den
em Einheitskreis, B auf der
und wir erhalten aus den
sin( ) Gegenkathete y Koordinate des Punktes P
cos( ) Ankathete x Koordinate des Punktes P
und beobachte die Koordinaten
. Was stellst du fest?
o0α = und o90α = .
o o0 ; 90 gilt:
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.1.6 Definition tanαααα am EinheitskreisDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_tan_am Einheitskreis [ 0 biZeit: 10 Minuten
Schieberegler: Winkel 0 ; 90 α ∈
Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete
Damit erhalten wir mit Hilfe der Definition des
Gegenkathetetan( ) Gegenkathete CD
Ankatheteα = = =
Tangensträger: Der tan( )α liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt
Arbeitsaufträge:
1. Verändere den Winkel
CD tan( )= α
2. Bestimme die Funktionswerte
otan(90 ) sagen?
3. Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel
( )tan α =
Definition am Einheitskreis
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
am Einheitskreis Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_tan_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]Zeit: 10 Minuten
o o0 ; 90
Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete
Damit erhalten wir mit Hilfe der Definition des tan( )α :
Gegenkathetetan( ) Gegenkathete CD
Ankatheteα = = =
liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt
Verändere den Winkel o o0 ; 90 α ∈ und beobachte die Strecke
CD tan( )= α
Bestimme die Funktionswerte otan(0 ) . Was kannst du über den Wert
tan(90 ) sagen?
Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel o o0 ; 90 α ∈
( )( )
sincos
αα =
α Kommentiere: ( ) ((
osin 90
tan 90cos 90
=
Definition am Einheitskreis
9
s 90 ]
Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete OC 1= .
liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt ( )C 1| 0 .
und beobachte die Strecke
. Was kannst du über den Wert
o o0 ; 90 gilt:
))
o
o
sin 90
cos 90
Leitidee periodische Funktionen
10
1.2 Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
Winkel o o0 ; 90 α ∈ : Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.
Da im rechtwinkligen
vorkommen, sind die trigonometrischen Funktionen bisher nur für spitze
Winkel definiert.
1.2.1 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus FunktionDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_ 0bis90_FunktionsgraphZeit: 10 Minuten
Bild links: Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten o o0 ; 90 α ∈
( )sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
Bild rechts: Funktionsgraph der Sinusfunktion
Beachte: Der Winkel α ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. Der Winkel α =
Graph der Sinusfunktion: Dem Winkel
y-Koordinate des Punktes A zugeordnet.
Schieberegler: Winkel 0 ; 90 α ∈
Arbeitsaufträge: 1. Beobachte und beschreibe den
2. Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion.
Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten
( vgl. Gerade
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.
Da im rechtwinkligen Dreieck ausser dem rechten Winkel nur spitze Winkel
vorkommen, sind die trigonometrischen Funktionen bisher nur für spitze
Winkel definiert.
Dynamisches Arbeitsblatt Sinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten
sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
Funktionsgraph der Sinusfunktion ( )sin α für Winkel α ∈
ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. o60α = wird durch die Bogenlänge
3b πα = =
Sinusfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die
Koordinate des Punktes A zugeordnet.
o o0 ; 90 (Bogenlänge 2b 0 ; π ∈ )
Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von
Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion.
Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten ∆∆
( vgl. Gerade yxm konstant∆
∆= = , Steigung der Geraden)
DialogMathe
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
Dreieck ausser dem rechten Winkel nur spitze Winkel
vorkommen, sind die trigonometrischen Funktionen bisher nur für spitze
Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten
sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis
o o0 ; 90 α ∈
ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben.
3π beschrieben.
(Bogenlänge b) wird die
Verlauf der Funktionswerte von ( )sin α .
Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion.
yx
∆∆ erfasst werden
, Steigung der Geraden)
DialogMathe
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1.2.2 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Bild links: Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten
o o0 ; 90 α ∈
( )cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
Bild rechts:
Funktionsgraph der Kosinusfunktion
Beachte: Der Winkel α ist sDer Winkel α =
Graph der Kosinusfunktion: Dem Winkel x-Koordinate des Punktes A zugeordnet.
Schieberegler : Winkel 0 ; 90 α ∈
Arbeitsaufträge:
1) Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von
2) Beobachte und besch
Änderungsverhalten kann durch den Quotienten
(vgl. Gerade m konstant
Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
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Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten
cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
Funktionsgraph der Kosinusfunktion ( )cos α für Winkel α ∈
ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. o60α = wird durch die Bogenlänge
3b πα = =
Graph der Kosinusfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die Koordinate des Punktes A zugeordnet.
o o0 ; 90 (Bogenlänge 2b 0 ; π ∈ )
Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von
Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Kosinusfunktion. Das
Änderungsverhalten kann durch den Quotienten yx
∆∆ erfasst werden
yxm konstant∆
∆= = , Steigung der Geraden)
Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
11
Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten
cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis
o o0 ; 90 α ∈
owohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben.
3π beschrieben.
(Bogenlänge b) wird die
Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von ( )cos α .
reibe das Änderungsverhalten der Kosinusfunktion. Das
erfasst werden
Leitidee periodische Funktionen
12
1.2.3 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin und cos_0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion
Bild links: ( )sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
( )cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
Bild rechts: Funktionsgraph der Kosinusfunktion
Funktionsgraph der Sinusfunktion
Schieberegler : Winkel 0 ; 90 α ∈
Arbeitsaufträge:
1) Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen.
2) Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Bedeutung hat diese Symmetrie?
3) Begründe die Identität:
ist für alle Winkel
rechts (Funktionsgraphen) oder das Bild links (Drebenützen!
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Dynamisches Arbeitsblatt Sinus- und Kosinusfunktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin und cos_0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
und Kosinusfunktion
sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
Funktionsgraph der Kosinusfunktion ( )cos α für Winkel α ∈
Funktionsgraph der Sinusfunktion ( )sin α für Winkel α ∈
o o0 ; 90 (Bogenlänge 2b 0 ; π ∈ )
Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen.
Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Bedeutung hat diese Symmetrie?
Begründe die Identität: ( ) ( )osin cos 90α = − α (Identität = Aussage, die wahr
ist für alle Winkel o o0 ; 90 α ∈ . Für die Begründung kannst du das Bild
rechts (Funktionsgraphen) oder das Bild links (Dreieck ABC im Einheitskreis)
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis
cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis
o o0 ; 90 α ∈ o o0 ; 90 α ∈
Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen.
Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Welche
(Identität = Aussage, die wahr
. Für die Begründung kannst du das Bild
ieck ABC im Einheitskreis)
DialogMathe
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1.2.4 Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Bild links: Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten o o0 ; 90 α ∈ . Der Strahl [BA durch
im Punkt H.
Bild rechts: Funktionsgraph der Tangensfunktion
Beachte: Der Winkel α ist sowohl im GradmassDer Winkel α =
Graph der Tangensfunktion: Dem Winkel ordinate des Punktes H
Schieberegler : Winkel 0 ; 90 α ∈
Arbeitsaufträge: 1) Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von
2) Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion.
Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten
(vgl. Gerade
Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten . Der Strahl [BA durch α definiert schneidet den Tangensträger
im Punkt H. ( )tan DH y Koordinate des Punktes Hα = = −
Funktionsgraph der Tangensfunktion ( )tan α für Winkel α ∈
ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. o60α = wird durch die Bogenlänge
3b πα = =
Graph der Tangensfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die y ordinate des Punktes H auf dem Tangensträger zugeordnet.
o o0 ; 90 (Bogenlänge 2b 0 ; π ∈ )
Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von
Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion.
Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten yx
∆∆
(vgl. Gerade yxm konstant∆
∆= = , Steigung der Geraden).
Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
13
Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten
definiert schneidet den Tangensträger
tan DH y Koordinate des Punktes H
o o0 ; 90 α ∈
als auch im Bogenmass angegeben.
3π beschrieben.
(Bogenlänge b) wird die y – Ko-auf dem Tangensträger zugeordnet.
Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von ( )tan α .
Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion. yx
∆∆ erfasst werden
, Steigung der Geraden).
Leitidee periodische Funktionen
14
1.2.5 Dyn. Arbeitsblatt Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Verlauf der Sinus- Kosinus- und Tangensfunktion
Bild links: ( )sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
( )cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
( )tan DH y Koordinate des Punktes H auf dem Tangensα = = −
Bild rechts: Funktionsgraph
Schieberegler : Winkel 0 ; 90 α ∈
Arbeitsaufträge: 1) Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität:
( ) sintan
cosα =
2) Beobachte den Verlauf von
3) Analysiere:
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dyn. Arbeitsblatt Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
und Tangensfunktion
sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −
tan DH y Koordinate des Punktes H auf dem Tangensα = = −
Funktionsgraph ( )sin α , ( )cos α und ( )tan α für Winkel α ∈o o0 ; 90 (Bogenlänge
2b 0 ; π ∈ )
Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität: ( )( )
sincos
αα
.
Beobachte den Verlauf von ( )sin α und ( )tan α für kleine Winkel
Analysiere: ( ) ( ) (o osin cos 45 tan 45 1α = α ⇒ α = ⇒
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph
sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis
cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis
tan DH y Koordinate des Punktes H auf dem Tangensträger
o o0 ; 90 α ∈
Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität:
für kleine Winkel α .
)o osin cos 45 tan 45 1=
DialogMathe Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 15
Erweiterung der Winkelfunktionen auf beliebige Winkel
Die Definitionen der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen
Dreieck lassen sich nun so erweitern, dass diese für beliebige Winkel definiert
sind.
Durch die Definition am Einheitskreis werden die Winkelfunktionen als
Koordinaten des Punktes ( ) ( )( )P cos | sinα α definiert. Im ersten Quadranten
sind die Koordinaten x und y positiv.
Eine erweiterte Definition ermöglicht, dass der Punkt P in einem beliebigen
Quadranten liegt. Dabei gelten die gleichen Definitionen wie im 1. Quadrant,
wobei jetzt die Koordinaten auch negativ sein können.
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
16 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.3 Erweiterung der Winkelfunktionen
Punkt P im zweiten Quadrant
Winkel o o90 ;180 α ∈
Punkt P im dritten Quadrant
Winkel o o180 ; 270 α ∈
Punkt P im vierten Quadrant
Winkel o o270 ; 360 α ∈
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.3.1 Dyn. Arbeitsblatt Definition am
Dynamisches Arbeitsblatt Definition TrigoFunktion Einheitskreis [90 bis 360]Zeit: 10 Minuten
Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.
sin( ) y Koordinate des Punktes Pα = −
cos( ) x Koordinate des Punktes Pα = −
tan( ) y Koordinate des Punktes D auf dem Tα = −
Schieberegler: Winkel 0 ; 360 α ∈
Arbeitsaufträge: 1) Verändere den Winkel
des Punktes
Punktes D auf dem Tangensträger. Was stellst du fest bezüglich Vorzeichen?
2) Betrachte die Funktionswerte für kreis.
3) Wie kannst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B. 0135α = am Einheitskreis berechnen?
4) Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel
(1) ( )2 2sin cos 1α + α =
(2) ( )tan α =
Erweiterung der Winkelfunktionen
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dyn. Arbeitsblatt Definition am Einheitskreis [ 90 bis 360 ]
Dynamisches Arbeitsblatt Definition TrigoFunktion Einheitskreis [90 bis 360] Zeit: 10 Minuten
Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.
sin( ) y Koordinate des Punktes P cos( ) x Koordinate des Punktes P tan( ) y Koordinate des Punktes D auf dem Tangensträger
0 00 ; 360
Verändere den Winkel 0 00 ; 360 α ∈ und beobachte die Koordinaten
des Punktes ( ) ( ) ( )( )P x | y P cos | sin→ α α sowie die y
Punktes D auf dem Tangensträger. Was stellst du fest bezüglich Vorzeichen?
Betrachte die Funktionswerte für 0 0 0 0 00 ,90 ,180 ,270 ,360α =
nst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B. am Einheitskreis berechnen?
Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel 0 00 ; 360 α ∈
) ( )2 2sin cos 1α + α =
( )( )
sincos
αα =
α
Erweiterung der Winkelfunktionen
17
angensträger
und beobachte die Koordinaten
sowie die y-Koordinate des
0 0 0 0 00 ,90 ,180 ,270 ,360 am Einheits-
nst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B.
0 00 ; 360 gilt:
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
18 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
MERKE:
Wenn du nicht mehr weiter weisst, dann zeichne dir einen Einheitskreis!
1.3.2 Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen
1. Quadrant
20 ; π α ∈
2. Quadrant
2 ;π α ∈ π
3. Quadrant 32; π α ∈ π
4. Quadrant 32 ; 2π α ∈ π
( )sin α + + – – ( )cos α + – – + ( )tan α + – + –
1.3.3 Exakte Werte für spezielle Winkel [ 90 bis 360 ]
Beispiel 0150α =
( )0sin 150 12=
( )0 3cos 150 2= −
( ) ( )0
33
3
tan 150 1 221
3
= ⋅ −
= − = −
DialogMathe Erweiterung der Winkelfunktionen
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1.3.4 Partnerinterview Definition der trigonometrischen Funktionen
Partnerinterview Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen Zeit: 10 Minuten
Wie sind ( )sin α , ( )cos α und ( )tan α am Einheitskreis definiert?
Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen. Fülle die Tabelle aus!
1. Quadrant 0 00 ; 90 α ∈
2. Quadrant 0 090 ;180 α ∈
3. Quadrant 0 0180 ; 270 α ∈
4. Quadrant 0 0270 ; 360 α ∈
( )sin α
( )cos α
( )tan α
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
20 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.3.5 Partnerinterview exakte Werte für spezielle Winkel 90 bis 360
Partnerinterview Exakte Werte für spezielle Winkel [ 90 bis 360 ] Zeit: 10 Minuten
2. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!)
0120α = 0135α = 0150α = 0180α =
( )sin α
( )cos α
( )tan α
DialogMathe Erweiterung der Winkelfunktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 21
3. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!)
0210α = 0225α = 0240α = 0270α =
( )sin α
( )cos α
( )tan α
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
22 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
4. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!)
0300α = 0315α = 0330α = 0360α =
( )sin α
( )cos α
( )tan α
DialogMathe Erweiterung der Winkelfunktionen
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1.3.6 Repetitionstest
Repetitionstest Winkelfunktionen Was muss ich können?
• Ich kenne die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens im
Einheitskreis.
• Ich kann zu einem gegebenen Winkel die Vorzeichen der
Winkelfunktionen ablesen.
• Ich kann für spezielle Winkel die exakten Werte für Sinus, Kosinus
und Tangens am Einheitskreis berechnen.
• Ich verstehe, warum es zu einem gegebenen Sinus-, Kosinus- oder
Tangenswert immer zwei mögliche Winkel (zwischen 0° und 360°)
gibt.
( )sin 12α =
01 30→ α = und
02 150→ α =
Allgemein:
1→ α = α 0
2 180→ α = − α
( ) ( )0sin sin 180α = − α
Analog:
( )cos 12α =
01 60→ α = und
0 02 60 300→ α = − =
Allgemein:
1→ α = α
2→ α = −α
( ) ( )cos cosα = −α
( )tan 1α =
01 45→ α =
02 225→ α =
Allgemein:
1→ α = α 0
2 180→ α = α +
( ) ( )0tan tan 180α = α +
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
24 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.3.7 Beziehungen durch Überlegung am Einheitskreis
( ) ( )0sin 90 cos− α = α
( ) ( )0cos 90 sin− α = α
( ) ( )0 1
tan 90tan
− α =α
Beispiel:
( ) ( )0cos 90 sin− α = α
Dreieck DCO
ist deckungsgleich mit
Dreieck OAB
( ) ( )0sin 180 sin− α = α
( ) ( )0cos 180 cos− α = − α
( ) ( )0tan 180 tan− α = − α
( ) ( )sin sin−α = − α
( ) ( )cos cos−α = α
( ) ( )tan tan−α = − α
Es gibt noch viele andere Beziehungen, die wir direkt am Einheitskreis
ablesen können, welche aber nicht alle aufgeführt werden.
Zum Beispiel : ( ) ( )0cos 270 sin− α = − α
Diese Beziehungen können auch mit Hilfe der Funktionsgraphen überlegt
werden (siehe Kapitel 1.4)!
1.3.8 Übungen
Vereinfache mit Hilfe des Einheitskreises für 0 00 90≤ α ≤
a) ( )0cos 90α +
DialogMathe Erweiterung der Winkelfunktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 25
b) ( )0sin 270 + α
c) ( )0tan 180 + α
d) ( )0cos 270 + α
e) ( )0sin 360 − α
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
26 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
f) ( )0sin 180 + α
g) ( )0sin 180α −
h) ( )0cos 180− − α
i) ( )0tan 180 + α
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.4 Funktionsgraph der Winkelfunktionen
1.4.1 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus FunktionDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Die y-Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der
Bogenlänge (Winkel
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Sinusfunktion für den
Definitionsbereich
Schieberegler: Winkel 0 ; 360 α ∈
Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von
beobachte das Vorzeichen von
im Funktionsgraph.2) Bestimme den Wertebereich der Sinusfunktion.3) Bestimme die Nullstellen der Sinusfunktion.4) Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Min
mums (Tiefpunkt) der Sinusfunktion.5) Untersuche den Gr
und interpretiere die Situation am Einheitskreis.z.B. Symmetrieachse
Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheit Es gilt: sin sin
6) Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Sinusfunktion anschliessend.
Funktionsgraph der Winkelfunktionen
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Funktionsgraph der Winkelfunktionen
Dynamisches Arbeitsblatt Sinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der
Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Sinusfunktion für den
Definitionsbereich [ ]0 ; 2α ∈ π
o o0 ; 360 im Gradmass
Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte das Vorzeichen von ( )sin α sowohl am Einheitskreis als auch
im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Sinusfunktion. Bestimme die Nullstellen der Sinusfunktion. Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Minmums (Tiefpunkt) der Sinusfunktion. Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. z.B. Symmetrieachse
2πα = , die gespiegelten Funktionswerte des ersten
Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheitskreis wird P an der y-Achse gespiegelt.
( ) ( )sin sinα = π − α .
Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Sinusfunktion anschliessend.
Funktionsgraph der Winkelfunktionen
27
Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der
im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Sinusfunktion für den
bis o360α = und sowohl am Einheitskreis als auch
Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Mini-
und Punktsymmetrien)
, die gespiegelten Funktionswerte des ersten
Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten.
Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und
Leitidee periodische Funktionen
28
1.4.2 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Die x-Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der
Bogenlänge (Winkel
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Kosinusfunktion für den
Definitionsbereich
Schieberegler: Winkel 0 ; 360 α ∈
Arbeitsaufträge
1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von beobachte das Vorzeichen von
im Funktionsgraph.2) Bestimme den Wertebereich der 3) Bestimme die Nullstellen der Kosinusfunktion.4) Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Min
mums (Tiefpunkt) der Kosinusfunktion.5) Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen
und interpretiere die Situaz.B. Punktsymmetrie bei
ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheitskreis wird P an der yEs gilt: cos cos
6) Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.
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Arbeitsblatt Kosinus Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der
Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Kosinusfunktion für den
Definitionsbereich [ ]0 ; 2α ∈ π
o o0 ; 360 im Gradmass
Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte das Vorzeichen von ( )cos α sowohl am Einheitskreis als auch
im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Kosinusfunktion. Bestimme die Nullstellen der Kosinusfunktion. Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Minmums (Tiefpunkt) der Kosinusfunktion. Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. z.B. Punktsymmetrie bei
2πα = , die gespiegelten Funktionswerte des er
ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Einheitskreis wird P an der y-Achse gespiegelt.
( ) ( )cos cosα = − π − α .
Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der
im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Kosinusfunktion für den
bis o360α = und sowohl am Einheitskreis als auch
Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Mini-
und Punktsymmetrien)
, die gespiegelten Funktionswerte des ers-
ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten.
Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.4.3 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus und Kosinus Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Zusammenhänge der Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Schieberegler: Winkel 0 ; 360 α ∈
Arbeitsaufträge
1) Für die Darstellung dtes P um 90Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die Sinusfuntion und Kosinusfunktion?
2) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von beobachte den Verlauf von
als auch im Funktionsgraph.
3) Für welche
heitskreis.
4) Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse
4πα = oder
Aus dieser Achsensymmetrie
( )sin cosα = − α
5) Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die
KosinusfunktionGleichung.
Funktionsgraph
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Sinus und Kosinus Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt bra Datei: sin_cos_0bis360_Funktionsgraph
Zeit: 10 Minuten
Zusammenhänge der Sinusfunktion und Kosinusfunktion
o o0 ; 360 im Gradmass
Für die Darstellung der Kosinusfunktion wird die x-Koordinate des Puno90 gedreht und so als y-Wert dargestellt.
Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die Sinusfuntion und Kosinusfunktion?
Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte den Verlauf von ( )sin α und ( )cos α sowohl am Einheitskreis
als auch im Funktionsgraph.
Für welche α gilt ( ) ( )sin cosα = α ? Interpretiere die Situation am Ei
Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse
oder 54πα = so erhalten wir den Graph der Kosinusfunktion.
Aus dieser Achsensymmetrie ( 4πα = ) ergibt sich die Eigenschaft:
( )2sin cos πα = − α
Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die Kosinusfunktion erhalten. Formuliere diesen Sachverhalt mit Hilfe einer
Funktionsgraph der Winkelfunktionen
29
Koordinate des Punk-
Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die Sinusfunk-
bis o360α = und sowohl am Einheitskreis
? Interpretiere die Situation am Ein-
Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse
so erhalten wir den Graph der Kosinusfunktion.
) ergibt sich die Eigenschaft:
Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die erhalten. Formuliere diesen Sachverhalt mit Hilfe einer
Leitidee periodische Funktionen
30
1.4.4 Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Die y-Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der
Bogenlänge (Winkel
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Tangensfunktion für den
Definitionsbereich
2πα = und α =
Schieberegler: Winkel 0 ; 360 α ∈
Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von
beobachte das Vorzeichen von
im Funktionsgraph.2) Bestimme den Wertebereich der Tangensfunktio3) Bestimme die Nullstellen der Tangensfunktion.
4) Warum ist die Tangensfunktion an den Stellen
definiert? 5) Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen
und interpretiere die 6) Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die
Tangenswerte?7) Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und
skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.
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Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der
Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Tangensfunktion für den
Definitionsbereich [ ]0 ; 2α ∈ π , wobei die Tangensfunktion an den Stellen
32πα = nicht definiert ist.
o o0 ; 360 im Gradmass
Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte das Vorzeichen von ( )tan α sowohl am Einheitskreis als auch
im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Tangensfunktion. Bestimme die Nullstellen der Tangensfunktion.
Warum ist die Tangensfunktion an den Stellen 2πα = und
Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die Tangenswerte? Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der
im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf
des Punktes P ergibt sich die dargestellte Tangensfunktion für den
, wobei die Tangensfunktion an den Stellen
bis o360α = und sowohl am Einheitskreis als auch
und 32πα = nicht
und Punktsymmetrien)
Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die
Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.4.5 Dyn. Arbeitsblatt Sinus,
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Zusammenhang Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion
Schieberegler: Winkel 0 ; 360 α ∈
Arbeitaufträge
1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von beobachte den Verlauf von
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph.
2) Für kleine αnahe beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis.
3) Verifiziere folgende Aussagen: a) Die Nullstellen der Sin
Tangensfunktion.b) Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion
nicht definiert.c) An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und
Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1. Wie hängen
Gib eine Gleichung an.
Funktionsgraph der Winkelfunktionen
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Dyn. Arbeitsblatt Sinus, Kosinus und Tangens Funktion
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten
Zusammenhang Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion
o o0 ; 360 im Gradmass
Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte den Verlauf von ( )sin α , ( )cos α und ( )tan αEinheitskreis als auch im Funktionsgraph.
α verlaufen die Graphen der Sinus – und Tangensfunktion beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis.
Verifiziere folgende Aussagen: Die Nullstellen der Sinusfunktion sind auch Nullstellen der Tangensfunktion. Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion nicht definiert. An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1.
hängen ( )sin α , ( )cos α und ( )tan α zusammen.
eine Gleichung an.
Funktionsgraph der Winkelfunktionen
31
Zusammenhang Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion
bis o360α = und )α sowohl am
und Tangensfunktion beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis.
usfunktion sind auch Nullstellen der
Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion
An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1.
zusammen.
Leitidee periodische Funktionen
32
1.5 Eigenschaften der Winkelfunktionen
1.5.1 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus Zeit: 10 Minuten
Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler:
Winkel o o0 ; 360 α ∈
Winkel o o0 ; 360 β ∈
Winkel o o0 ; 180 γ ∈ −
Arbeitsaufträge
Untersuche die Achsen
Verifiziere die folgenden Gleichungen und gib
1) ( )sin sin−α = − α
2) ( )sin sinπ − α = α
3) ( )sin sinπ + α = −α
4) ( )sin sinπ − α = − π + α
Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
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Eigenschaften der Winkelfunktionen
Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt Datei: Eigenschaften_Sinus
Zeit: 10 Minuten
Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph
o o0 ; 360 bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreiso o0 ; 360 bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreiso o0 ; 180 γ ∈ − bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis
Untersuche die Achsen- und Punktsymmetrien im Funktionsgraph.
e folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an.
( )sin sin−α = − α
( )sin sinπ − α = α
( )sin sinπ + α = −α
( )sin sinπ − α = − π + α
Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph
auf dem Einheitskreis
auf dem Einheitskreis
auf dem Einheitskreis
Funktionsgraph.
jeweils die Symmetrie an.
) können sowohl am
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
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1.5.2 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Zeit: 10 Minuten
Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler:
Winkel o o0 ; 360 α ∈
Winkel o o0 ; 360 β ∈
Winkel o o0 ; 180 γ ∈ −
Arbeitsaufträge
Untersuche die Achsen
Verifiziere die folgenden Gleichungen und gib
1) ( )cos cos−α = α
2) ( )cos cosπ − α = − α
3) ( )2 2cos cosπ π− α = − + α
4) ( )2 2cos cosπ π+ α = − α
Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
Eigenschaften der Winkelfunktionen
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Kosinus Zeit: 10 Minuten
Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph
o o0 ; 360 bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreiso o0 ; 360 bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreiso o0 ; 180 γ ∈ − bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis
Untersuche die Achsen - und Punktsymmetrien im Funktionsgraph.
e folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an.
( )cos cos−α = α
( )cos cosπ − α = − α
( )2 2cos cosπ π− α = − + α
) ( )32 2cos cosπ π+ α = − α
Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
Eigenschaften der Winkelfunktionen
33
Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph
auf dem Einheitskreis
auf dem Einheitskreis
auf dem Einheitskreis
Funktionsgraph.
jeweils die Symmetrie an.
) können sowohl am
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
Leitidee periodische Funktionen
34
1.5.3 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus und KosinusZeit: 10 Minuten
Zusammenhang der Sinus- Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler:
Winkel o o0 ; 360 α ∈
Winkel o o0 ; 360 β ∈
Winkel o o0 ; 180 γ ∈ −
Arbeitsaufträge A) Ungleichungen: Für welche Winkel
B) Untersuche Achsensymmetrien und Verschiebungen im Funktionsgraph.
Verifiziere die folgenden Gleichungen und gib
1) (cos 90 sin
2) (sin 90 cos
3) (sin 180 cos 270
4) (cos 180 sin 270
5) (sin 90 cos
6) (cos 90 sin sin
Die 6 Identitäten (Gleichungen gelten für alle
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus und Kosinus Zeit: 10 Minuten
Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph
o o0 ; 360 bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreiso o0 ; 360 bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreiso o0 ; 180 γ ∈ − bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis
A) Ungleichungen: Für welche Winkel o o0 ; 360 α ∈ gilt:
B) Untersuche Achsensymmetrien und Verschiebungen im Funktionsgraph.
e folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an.
( ) ( )0cos 90 sin− α = α
( ) ( )0sin 90 cos− α = α
( ) ( )0 0sin 180 cos 270+ α = − α
( ) ( )0 0cos 180 sin 270+ α = − α
( ) ( )0sin 90 cosα + = α
( ) ( ) ( )0cos 90 sin sinα + = − α = − α
Die 6 Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus
Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph
Einheitskreis
auf dem Einheitskreis
auf dem Einheitskreis
( ) ( )sin cosα ≥ α
B) Untersuche Achsensymmetrien und Verschiebungen im Funktionsgraph.
jeweils die Symmetrie an.
) können sowohl am
Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils
DialogMathe Eigenschaften der Winkelfunktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 35
1.5.4 Überblick: Eigenschaften sin- cos- und tan-Funktion Winkelfunktion
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Tangensfunktion
Definitionsbereich
D R=
D R=
D R= { }2 kπ + ⋅ π
k Z∈ Asymptoten (*)
2x kπ= + ⋅ π
Wertebereich
[ ]W 1;1= −
[ ]W 1;1= −
W R=
Symmetrie zum Koordinatensystem
( ) ( )sin x sin x− = −
Punktsymmetrie zum Ursprung
( ) ( )cos x cos x− =
Achsensymmetrie zur y-Achse
( ) ( )tan x tan x− = −
Punktsymmetrie zum Ursprung
Periodizität (k Z∈ )
( ) ( )sin x k 2 sin x+ ⋅ π =
Periodenlänge 2π
( ) ( )cos x k 2 cos x+ ⋅ π =
Periodenlänge 2π
( ) ( )tan x k tan x+ ⋅ π =
Periodenlänge π
Nullstellen (k Z∈ )
( )sin k 0⋅ π =
kx k= ⋅ π
( )2cos k 0π + ⋅ π =
k 2x kπ= + ⋅ π
( )tan k 0⋅ π =
kx k= ⋅ π
Hochpunkte (k Z∈ )
( )2sin k 2 1π + ⋅ π =
( )k 2H k 2 | 1π + ⋅ π
( )cos k 2 1⋅ π =
( )kH k 2 | 1⋅ π
keine
Tiefpunkte (k Z∈ )
( )2sin k 2 1π− + ⋅ π = −
( )k 2T k 2 | 1π− + ⋅ π −
( )cos k 2 1π + ⋅ π = −
( )kT k 2 | 1π + ⋅ π −
keine
(*) Asymptote Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich die Funktion immer enger an-schmiegt, sie aber nie schneidet.
tan(x) besitzt zum Beispiel die Asymptote 2x π= , d.h. die Tangensfunktion
schmiegt sich beliebig nahe an die Gerade 2x π= (Senkrechte zur x-Achse).
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
36 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.5.5 Repetition: Eigenschaften einer Funktion f
Nullstellen
Die Nullstellen einer Funktion ( )y f x= sind jene Stellen (also x – Koordina-
ten), an denen der Funktionsgraph die x – Achse schneidet oder berührt. D. h.
es gilt: ( )y f x 0= =
Monotonieverhalten
Gilt für zwei beliebige Stellen 1 2x , x eines Intervalls I mit der Eigenschaft
1 2x x< , dass stets ( ) ( )1 2f x f x< , so heisst f in I streng monoton steigend. Ist
dagegen stets ( ) ( )1 2f x f x> , so heisst f in I streng monoton fallend.
Symmetrieverhalten Wir befassen uns mit zwei Fällen:
a) Der Funktionsgraph ist symmetrisch bzgl. der y-Achse.
Eine solche Funktion heisst gerade Funktion.
b) Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenur-
sprungs. Eine solche Funktion heisst ungerade Funktion.
Eine Funktion ( )y f x= ist genau dann
gerade, wenn ( ) ( )f x f x− =
ungerade, wenn ( ) ( )f x f x− = −
Periodizität
Eine Funktion ( )f x heisst periodisch mit der Periode p, wenn ( ) ( )f x p f x+ = .
Allgemein: ( ) ( )f x k p f x+ ⋅ = mit k Z∈
Minimum und Maximum
Eine Funktion ( )f x besitzt an der Stelle 0x ein lokales Maximum ( )0f x bzw.
ein lokales Minimum ( )0f x , wenn für alle 0x x≠ in einer Umgebung von
0x gilt: ( ) ( )0f x f x> bzw. ( ) ( )0f x f x< .
Lokales Maximum: Hochpunkt mit den Koordinaten ( )( )0 0x | f x
Lokales Minimum: Tiefpunkt mit den Koordinaten ( )( )0 0x | f x
DialogMathe Eigenschaften der Winkelfunktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 37
1.5.6 Partnerinterview Eigenschaften der trigo. Funktionen
Partnerinterview Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Zeit: 20 Minuten
Frage 1: Was ist eine Nullstelle?
Gib die Nullstellen der folgenden Funktionen im Intervall [ ]x 0 ; 2∈ π an.
( )sin x
( )cos x
( )tan x
Frage 2: Was verstehen wir unter Monotonieverhalten? Gib ein Intervall I an, in dem folgendes Monotonieverhalten für die Funktion gilt. Das Intervall I soll möglichst gross und nahe am Ursprung des Koordina-tensystems sein.
( )sin x ist streng monoton steigend
( )cos x ist streng monoton fallend
( )tan x ist streng monoton steigend
Frage 3: Was verstehen wir unter Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie? Was kannst du bezüglich Symmetrie durch die folgenden Eigenschaften der Funktionen aussagen?
( ) ( )sin x sin x− = −
( ) ( )cos x cos x− =
( ) ( )tan x tan x− =
Frage 4: Was verstehen wir unter Periodizität?
( ) ( )sin x p sin x+ = , bestimme die Periode p.
( ) ( )cos x p cos x+ = , bestimme die Periode p.
( ) ( )tan x p tan x+ = , bestimme die Periode p.
Frage 5: Was verstehen wir unter Minimum bzw. Maximum? Gib die Hochpunkte bzw. Tiefpunkte der folgenden Funktionen im Intervall
[ ]x 0 ; 2∈ π an.
( )sin x
( )cos x
( )tan x
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
38 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.6 Umkehrfunktionen
Umkehrung der Sinusfunktion
Zu jedem Winkel x R∈ gibt es genau einen Sinuswert y. Wir fragen uns nun
umgekehrt, wie wir von einem vorgegebenen Sinuswert y zurück zum Winkel
x kommen. Mit dem Rechner gelingt dies bekanntlich wie folgt:
( ) ( )1y sin x x sin y−= → = ( oder auch : ( )x arcsin y= )
Beispiel ( ) ( )0sin x 0,8 x 0,927 53,1= → = =
Obwohl es unendlich viele Winkel zu einem Sinuswert gibt, errechnet der
Rechner nur einen einzigen. Es ist immer ein spitzer Winkel, der im Intervall
0 02 2; 90 ; 90π π − = − liegt. Die so definierte Funktion, die dem Rechner
zugrunde liegt, heisst Arcussinusfunktion.
1.6.1 Die Arcussinusfunktion
Die Arcussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall
2 2;π π − eingeschränkten Sinusfunktion, wo diese streng monoton steigend
und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcussinusfunktion ergibt sich
durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden).
Wir schreiben: ( )y arc sin x=
Definitionsbereich [ ]1;1− ; Wertebereich 2 2;π π −
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.6.2 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereic
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten
Schieberegler : r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seiteb: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b (
d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d (
Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen ScDamit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden.
Arbeitsaufträge:
1) Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es
2) Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinusfunktion hat.
3) Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dassmit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten
r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite
Verschiebung der horizontalen Geraden y = b ( [ ]b 1;1∈ −d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d ( [ ]d 1;1∈ − )
Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden.
Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt.
Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinusfunktion hat.
Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dassmit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
Umkehrfunktionen
39
hs Sinus
r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seite l : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite
]b 1;1 )
Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden
Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den
Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r
Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten
Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
Leitidee periodische Funktionen
40
1.6.3 Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arcsin_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet
• Einschränkung der Sinusfunktion• Spiegelachse• Umkehrfunktion• Wertebereich• Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen:
1) Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt weden?
2) In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1
3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?
4) Wie erhältst du die Arcussinusfunktion?Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der ArcussiSchieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Sinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arcsin_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet
Einschränkung der Sinusfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen:
Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt we
In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1
Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?
Wie erhältst du die Arcussinusfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
den Definitionsbereich und Wertebereich der ArcussiSchieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt wer-
In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt?
Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?
Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcussinusfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
DialogMathe Umkehrfunktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 41
( )x sin x֏ [ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π
Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall ;2 2π π −
.
( )x arc sin x֏ [ ]D 1 ; 1 ; W ;2 2π π = − = −
Achtung! Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel o180β = − α
kann auch eine Lösung sein, denn es gilt ( ) ( )osin sin 180α = − α
1.6.4 Die Arcuskosinusfunktion
Die Arcuskosinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall
[ ]0 ; π eingeschränkten Kosinusfunktion, wo diese streng monoton fallend
und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcuskosinusfunktion ergibt sich
durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden).
Wir schreiben: ( )y arccos x=
Definitionsbereich [ ]1;1− ; Wertebereich [ ]0 ; π
( )x cos x֏ [ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π
Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall [ ]0 ; π .
( )x arccos x֏ [ ] [ ]D 1 ; 1 ; W 0 ;= − = π
Erhalten wir vom Rechner den Winkel α , so kann der negative Winkel − α
auch eine Lösung sein, denn es gilt ( ) ( )cos cosα = −α
Leitidee periodische Funktionen
42
1.6.5 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten
Schieberegler : r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seiteb: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b (
d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d (
Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schne
Arbeitsaufträge:
1) Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt.
2) Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen funktion hat.
3) Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten
Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seiteb: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b ( [ ]b 1;1∈ −d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d ( [ ]d 1;1∈ − )
Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden.
Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt.
Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinu
Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus
Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seite l : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite
]b 1;1 )
Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden
Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den
Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r
Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinus-
Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.6.6 Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arccos_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet
• Einschränkung der Kosinusfunktion• Spiegelachse• Umkehrfunktion• Wertebereich• Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen:1) Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?
2) In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt?
Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1
3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?
4) Wie erhältst du die Arcuskosinusfunktion?Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an!Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Kosinus
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arccos_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet
Einschränkung der Kosinusfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich
Fragen: Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?
In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1
Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?
Wie erhältst du die Arcuskosinusfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an!Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
Umkehrfunktionen
43
Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?
In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt?
Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
44 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.6.7 Die Arcustangensfunktion
Die Arcustangensfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall
2 2;π π − eingeschränkten Tangensfunktion, wo diese streng monoton stei-
gend und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcustangensfunktion ergibt
sich durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden).
Wir schreiben: ( )y arctan x=
Definitionsbereich R ; Wertebereich 2 2;π π −
( )x tan x֏
D R= ( ){ }x 2k 1 ; k Z ; W R2π= + ⋅ ∈ = , Periode π
Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall ;2 2π π −
.
( )x arctan x֏ ; D R ; W ;2 2π π = = −
Achtung! Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel o180β = + α
kann auch eine Lösung sein, denn es gilt ( ) ( )otan tan 180α = + α
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
1.6.8 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arctan_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet
• Einschränkung der Tangensfunktion• Spiegelachse• Umkehrfunktion• Wertebereich• Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen:
1) Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?
2) In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1
3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?4) Wie erhältst du die Arcusta
Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion
an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arctan_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten
0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet
Einschränkung der Tangensfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich
Beantworte folgende Fragen:
Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt
In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1 Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?Wie erhältst du die Arcustangensfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1
den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
Umkehrfunktionen
45
Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens
Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt
In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt?
Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?
Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion
an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
46 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.6.9 Partnerinterview Umkehrfunktionen
Partnerinterview Umkehrfunktionen Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie umkehrbar ist?
Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h., zu einem Funktions-wert gibt es bei der Umkehrung unendlich viele Winkel. Wie müssen die De-finitionsbereiche eingeschränkt werden, damit es eine Umkehrfunktion gibt?
Frage 2: Wie werden die Definitionsbereiche eingeschränkt?
( )sin x
( )cos x
( )tan x
Wie wir wissen existieren zu einem Funktionswert im Bereich 0 x 2≤ < π immer zwei Winkel. Der Rechner gibt uns aber bei der Verwendung der Um-kehrfunktionen jeweils nur einen Winkel. Wie kannst du den möglichen zwei-ten bestimmen?
Frage 3: Ergänzung der Lösung des Rechners.
( ) TR 2arcsin x y y= → =
( ) TR 2arccos x y y= → =
( ) TR 2arc tan x y y= → =
DialogMathe Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 47
1.7 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Beziehungen vom Einheitskreis
2 2sin cos 1α + α = (Pythagoras)
sintan
cosαα =α (Strahlensatz)
sinus cosinus tangens sinus, cosinus
sin α =
cos α =
tan α =
Anwendung
Gegeben: 3
tan( )4
α = . Berechne sin( )α , ohne α zu bestimmen.
Gegeben: 3
cos( )5
α = . Berechne tan( )α , ohne α zu bestimmen.
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
48 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.7.1 Übungen Vereinfache
a) tan cosα ⋅ α
b) ( ) ( )1 sin 1 sin+ ϕ ⋅ − ϕ
c) 2
11
cos−
β
DialogMathe Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 49
d) 2sin
1 cosα
− α
e) 4 4sin cosα − α
f) tan 1
sin cosϕ −
ϕ − ϕ
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
50 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
g) 2
1
1 tan+ ω
h) 1 cos 1 cos+ α ⋅ − α
i) ( ) ( )2 2sin cos sin cosδ + δ + δ − δ
DialogMathe Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 51
j) 2
1 sin1 sin cos
α−− α α
k) 2
11
tan+
α
1.7.2 Lösungen
a) sinα b) 2cos ϕ
c) 2tan β d) 1 cos+ α
e) 2 2 2sin cos 2sin 1α − α = α −
f) 1
cosϕ g) 2cos ω
h) sinα i) 2
j) 2
1
cos α k)
2
1
sin α
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
52 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.8 Trigonometrische Gleichungen
1.8.1 Strategien Gleichungen, in denen sich die Unbekannte innerhalb von trigonometrischen
Funktionen befindet, sind anspruchsvoll. Im folgenden Kapitel lösen wir
einige einfache Gleichungen.
Versuche schon bekannte Strategien auf die trigonometrischen Gleichungen
zu übertragen. Eine wichtige Strategie wird der Produkt – Null – Satz sein!
1.8.2 Aufgaben Löse die folgenden Gleichungen. Fasse verschiedene Lösungsstrategien im
Lernjournal zusammen!
Aufgabe 1 bis 8: Bestimme die Lösungen x der folgenden Gleichungen in der
Grundmenge 00 x 360≤ <
Aufgabe 1
a) ( )sin 3x 0=
b) ( )tan 2x 3=
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 53
c) ( )0sin x 20 0,8− =
d) ( )0cos 100 x 0,4− = −
e) ( )0sin 10 x 1,2− =
f) ( )0tan x 50 2,8+ =
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
54 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Aufgabe 2
a) 2sin x 0,2=
b) 2tan x 10=
c) ( )2 0cos x 50 0,36− = −
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 55
Aufgabe 3
a) sin x cos x 0⋅ =
b) sin x cos x 0− =
c) sin x
0cos x
=
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
56 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
d) ( )sin x 1 cos x 0⋅ + =
e) ( )tan x 1 sin x 0⋅ + =
Aufgabe 4
a) 22 cos x cos x 0⋅ + =
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 57
b) 25 sin x 3 sin x⋅ = ⋅
Aufgabe 5
a) 24 sin x 4 sin x 1 0⋅ − ⋅ + =
b) 2cos x 2,1 cos x 0,2 0+ ⋅ + =
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
58 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
c) 25 sin x sin x 1⋅ + =
d) 1
tan x 3,5tan x
+ =
Aufgabe 6
a) sin x tan x 0+ =
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 59
b) tan x 3 sin x 0+ ⋅ =
c) sin x cos x tan x 0,25⋅ ⋅ =
d) sin x 5 cos x= ⋅
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
60 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
e) cos x 3 sin x 0− ⋅ =
f) 4 sin x 46 cos x 0⋅ − ⋅ =
g) 2 22 sin x 7 cos x⋅ = ⋅
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 61
Aufgabe 7
a) 23 sin x 2 cos x⋅ = ⋅
b) 2 2sin x cos x 0,2− =
c) 210 cos x 7,5 sin x 11⋅ + ⋅ =
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
62 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
d) 2sin x 1,6 cos x 0,2+ ⋅ =
Aufgabe 8 a) sin x cos x 0,6⋅ =
b) sin x cos x 0,8+ =
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 63
c) cos x 2 tan x= ⋅
Aufgabe 9
Für welche Werte von a hat die Gleichung 2sin x cos x a+ = mindestens
eine Lösung?
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
64 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.8.3 Lösungen Lösungen Aufgabe 1
a) 0 0 0 0 0 00 , 60 , 120 , 180 , 240 , 300
b) 0 0 0 035,8 , 125,8 , 215,8 , 305,8
c) 0 073,1 , 146,9
d) 0 0213,6 , 346,4
e) { }
f) 0 020,4 , 200,3
Lösungen Aufgabe 2
a) 0 0 0 026,6 , 153,4 , 206,6 , 333,4
b) 0 0 0 072,5 , 107,5 , 252,5 , 287,5
c) { }
Lösungen Aufgabe 3
a) 0 0 0 00 , 90 , 180 , 270
b) 0 045 , 225
c) 0 00 , 180
d) 0 00 , 180
e) 0 00 , 180
Lösungen Aufgabe 4
a) 0 0 0 090 , 120 , 240 , 270
b) 0 0 0 00 , 36,9 , 143,1 , 180
Lösungen Aufgabe 5
a) 0 030 , 150
b) 0 095,7 , 264,3
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 65
c) 0 0 0 021,0 , 159,0 , 213,9 , 326,1
d) 0 0 0 017,4 , 72,6 , 197,4 , 252,6
Lösungen Aufgabe 6
a) 0 00 , 180
b) 0 0 0 00 , 109,5 , 180 , 250,5
c) 0 0 0 030 , 150 , 210 , 330
d) 0 078,7 , 258,7
e) 0 018,4 , 198,4
f) 0 085,0 , 265,0
g) 0 0 0 061,9 , 118,1 , 241,9 , 298,1
Lösungen Aufgabe 7
a) 0 030 , 150
b) 0 0 0 050,8 , 129,2 , 230,8 , 309,2
c) 0 0 0 010,0 , 35,2 , 144,8 , 170,0
d) 0 0113,6 , 246,4
Lösungen Aufgabe 8
a) { }
b) 0 0100,6 , 349,5
c) 0 024,5 , 155,5
Lösungen Aufgabe 9
1 a 1,25− ≤ ≤
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
66 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.8.4 Trigonometrische Gleichungen mit dem Rechner In den Aufgaben 1 bis 8 im vorangegangenen Kapitel wurde der bereich für
die Lösungen x eingeschränkt auf die Grundmenge 00 x 360≤ < .
Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, haben die Gleichungen
oftmals unendlich viele Lösungen. Da es genügt die Lösungen von Gleichun-
gen in einer Periode zu kennen, müssen wir beim solve-Befehl diese Ein-
schränkung dem Rechner mitteilen.
Aufgabe 1 a) ( )sin 3x 0=
Ohne Einschränkung der Grundmenge gibt uns der Rechner unendlich viele
Lösungen: ox 60 n1= ⋅ Für n1 kann eine ganze Zahl eingesetzt werden, z.B.
n1 = 0 oder n1 = 1 usw.
Schränken wir die Grundmenge ein: 00 x 360≤ < , so erhalten wir die 6 Lö-
sungen der ersten Periode.
d) ( )0cos 100 x 0,4− = −
e) ( )0sin 10 x 1,2− =
Aufgabe 2
a) 2sin x 0,2=
DialogMathe Trigonometrische Gleichungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 67
Aufgabe 3 a) sin x cos x 0⋅ = b) sin x cos x 0− =
Aufgabe 4 b) 25 sin x 3 sin x⋅ = ⋅
1. Lösung exact-Modus / 2. Lösung approximativ-Modus
Aufgabe 5 d) 1
tan x 3,5tan x
+ =
Aufgabe 9 Für welche Werte von a hat die Gleichung 2sin x cos x a+ = mindestens
eine Lösung? Graphische Lösung mit Schieberegler.
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
68 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
1.9 Repetitionstest trigonometrische Funktionen
Repetitionstest Einheitskreis, Eigenschaften trigonometrischer Funktionen, Umkehrfunktionen
Ohne Hilfsmittel, d.h. keine Formelsammlung , ohne Rechner. Löse die Auf-
gaben mit Hilfe des Einheitskreises oder mit einer Skizze der Funktionsgra-
phen. Zeit: 60 Minuten
Aufgabe 1 Zeichne sin( )α (rot); cos( )α (grün); tan( )α (blau) in die Zeichnung ein!
Aufgabe 2
Setze das richtige Zeichen: = (gleich) ; < (kleiner) ; > (grösser)
0 0sin(45 ) cos(45 ) ; 0 0cos(60 ) cos(50 )
; 0 0sin(110 ) sin(120 )
0 0sin(35 ) tan(35 ) ; 0 0sin(20 ) sin(160 )
; 0 0cos(50 ) cos(310 )
0 0sin(20 ) sin( 20 )− ; 0 0sin(70 ) cos(70 )
; 0 0tan(120 ) sin(120 )
x
y
O
αααα1
DialogMathe Repetitionstest trigonometrische Funktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 69
Aufgabe 3 o135α = Berechne: ( )sin α , ( )cos α , ( )tan α
Aufgabe 4 53πα = Berechne: ( )sin α , ( )cos α , ( )tan α
Aufgabe 5
Berechne, ohne α zu bestimmen: cos( )α und tan( )α , wenn 4
sin( )5
α =
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
70 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Aufgabe 6
Gib alle Winkel 0 00 360≤ α ≤ an für die gilt:
a) 1
sin( )2
α =
b) 1
cos( )2
α = −
Aufgabe 7
Fülle die Tabelle aus
Winkelfunktion sin( )α cos( )α tan( )α
Definitionsbereich
Wertebereich
Periodizität
Nullstellen
Maxima
Minima
DialogMathe Repetitionstest trigonometrische Funktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 71
Aufgabe 8
Vereinfache mit Hilfe des Einheitskreises: 0
0
sin(90 )
cos(180 )
+ α+ α
Aufgabe 9
Du erhältst von deinem Rechner, bei Verwendung der Umkehrfunktionen, die folgenden Winkel. Bestimme die zweite Lösung. Arcsinus : 036α = Arccos: 0123α = Arctan: 050α =
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
72 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Aufgabe 10 a) Bestimme: arc sin(1) = arc sin( 1)− =
arc cos(0) = arc cos(1) =
arc cos( 1)− = arctan(0) =
b) Ergänze
arc sin(0,5)6π= , weil sin( ) =……… ………
arc tan(4) 1,326= , weil
c)) Sinnvoll oder nicht sinnvoll? arc sin( 0,2)−
arc sin(0)
arc sin(1,4)
arc cos(2)
arc tan(3,4)
Aufgabe 11
Vereinfache:2
sin( )sin( )π
π − α+ α
DialogMathe Repetitionstest trigonometrische Funktionen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 73
Aufgabe 12
Kreuze richtig oder falsch an:
richtig falsch
Es gilt für alle Winkel α : tan( ) 1α ≤
Die Sinuswerte nehmen zu, wenn α von 900 bis 1800 zu-nimmt.
Der Definitionsbereich der ( )arc sin x Funktion ist
[ ]D 1 ; 1= − .
Der Wertebereich der ( )arc cos x Funktion ist
[ ]W 0 ;= π .
Der Definitionsbereich der ( )arc tan x Funktion ist D R= .
Wenn der Rechner dir 1arcsin(x) = α als Lösung ausgibt,
so ist 02 1180α = + α auch eine mögliche Lösung.
Wenn der Rechner dir 1arctan(x) = α als Lösung ausgibt,
so ist 02 1180α = + α auch eine mögliche Lösung.
1arcsin
2 6π − = −
Aufgabe 13
Richtig oder falsch? Überlegungen:
richtig falsch cos( ) cos( )− α = α
sin( ) sin( )− α = α
tan( ) tan( )− α = − α
0sin( 90 ) cos( )α − = α
0sin(180 ) sin( )− α = α
0 0sin(180 ) sin(180 )− α = + α
0tan(180 ) tan( )− α = − α
Leitidee periodische Funktionen DialogMathe
74 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Aufgabe 14
Bestimme alle Lösungen im Bereich 0 00 x 360≤ < für die folgende Glei-chung: ( )[ ] ( )[ ]3 sin x 4 2 sin x 1 0⋅ − ⋅ ⋅ − =
Aufgabe 15
Bestimme alle x ( 0 x 2≤ ≤ π ), welche die folgenden Gleichungen erfüllen:
2 2sin (x) cos (x) 0− =
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 75
2 Berechnungen am beliebigen Dreieck Für die Berechnungen am beliebigen Dreieck stehen uns zwei Sätze zur
Verfügung: der Sinussatz und der Kosinussatz.
2.1 Sinussatz und Kosinussatz
Wenn bei einem beliebigen Dreieck drei Grössen gegeben sind (jedoch nicht
die drei Winkel), so lassen sich die anderen Grössen berechnen.
Merke Die Berechnungen laufen über Teildreiecke! Falls diese Teildreiecke
rechtwinklig sind kann und soll mit elementarer Trigonometrie am recht-
winkligen Dreieck gearbeitet werden.
2.1.1 Der Sinussatz
In einem Dreieck gilt der Sinussatz
( )( )
sinab sin
α=
β ;
( )( )
sinac sin
α=
γ ;
( )( )
sinbc sin
β=
γ
Berechnungsbeispiel Sinussatz
Berechne aus einem Dreieck mit a 7cm= , c 10cm= und 040α = die Seite b
und die Winkel β und γ .
Sinussatz: Berechnung von γ : ( )( )
sinac sin
α=
γ
( ) ( ) ( )0c 10sin sin sin 40 0,91827
a 7γ = ⋅ α = ⋅ =
( )1 0sin 0,91827 66,67−γ = = Der Rechner liefert nur spitze Winkel!
γ könnte aber auch stumpfwinklig sein!
0 0 0 02 TR180 180 66,67 113,33γ = − γ = − =
Berechnungen am beliebigen Dreieck
76
Hier gibt es tatsächlich zwei Lösungen! Wann gibt es zwei Lösungen, wann
nur eine? Siehe folgendes dynamisches Arbeitsblatt!
Innenwinkelsumme: Berechnung von
0 01 1180 73,33β = − α − γ =
Sinussatz: Berechnung von b:
( )( )
11
sinb a 7 10,43cm
sinβ
= ⋅ = ⋅ =α
(( )
22
sinb a 7 4,89cm
sinβ
= ⋅ = ⋅ =α
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Sinussatz_zweite LösungZeit: 10 Minuten
Berechnungen am beliebigen Dreieck
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Hier gibt es tatsächlich zwei Lösungen! Wann gibt es zwei Lösungen, wann
nur eine? Siehe folgendes dynamisches Arbeitsblatt!
Innenwinkelsumme: Berechnung von β :
0 01 1180 73,33β = − α − γ = ; 0 0
2 2180 26,67β = − α − γ =
Sinussatz: Berechnung von b: ( )( )
sin sinab a
b sin sinα β
= → = ⋅β α
( )( )
0
0
sin 73,33b a 7 10,43cm
sin 40= ⋅ = ⋅ =
))
( )( )
02
0
sin 26,67b a 7 4,89cm
sin 40= ⋅ = ⋅ =
α
Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Sinussatz_zweite Lösung Zeit: 10 Minuten
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Hier gibt es tatsächlich zwei Lösungen! Wann gibt es zwei Lösungen, wann
0 0180 26,67
( )( )
sin sinb sin sin
α ββ α
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 77
2.1.2 Übungen Sinussatz Berechne die fehlenden Winkel und die fehlende Seite.
Beachte die Anzahl Lösungen!
a) 0b 8,5cm ; a 8,9cm ; 65,3= = α =
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
78 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
b) 0a 30,9cm ; c 19,8cm ; 34,6= = γ =
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 79
c) 0a 6,4cm ; c 5,5cm ; 72,0= = γ =
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
80 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
2.1.3 Partnerinterview Sinussatz
Partnerinterview Sinussatz Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Wie kannst du den Sinussatz bei folgendem Problem anwenden?
Berechne x, wenn v, α und β gegeben sind!
Frage 2: Welche Dreiecksberechnungen können mit dem Sinussatz gelöst werden?
(Die dick ausgezogenen Grössen sind gegeben) Welcher Fall hat zwei Lösungen, welcher nur eine!
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 81
2.1.4 Der Kosinussatz
In einem Dreieck gilt der Kosinussatz
( )2 2 2a b c 2bc cos= + − ⋅ α
( )2 2 2b a c 2ac cos= + − ⋅ β
( )2 2 2c a b 2ab cos= + − ⋅ γ
Berechnungsbeispiel Kosinussatz
Gegeben: a 6cm= , b 9cm= ,
w 6,5cmγ = (Winkelhalbierende)
Gesucht: γ und c
Einführen der beiden Unbekannten x AD= und y DB=
Berechnung von γ und c (gleichzeitig):
Kosinussatz im Dreieck ADC: 2 2 2x w b 2w b cos2γ γγ = + − ⋅
Kosinussatz im Dreieck DCB: 2 2 2y w a 2w a cos2γ γγ = + − ⋅
Satz über Winkelhalbierende: x by a
=
Gleichungssystem für die drei Unbekannten γ , x und y, wobei c = x + y.
Auflösen mit Rechner. Vorgehen: Bekannte Zahlen einsetzen und weil
cos2γ
transzentent ist durch eine Variable substituieren z.B. u cos2γ =
.
2 2 2 2
2 2 2 2
x 6,5 9 2 6,5 9 u x 123,25 117 u
y 6,5 6 2 6,5 6 u y 78,25 78 u
x x 1,5 y1,5
y
= + − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅ → = − ⋅= ⋅=
[Resultat u 0,9027778 ;x 4,198 ;y 2,799= = = ]
050,95γ = ; c 7,0cm=
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
82 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
2.1.5 Partnerinterview Kosinussatz
Partnerinterview Kosinussatz Zeit: 10 Minuten
Frage 1: Wie kannst du den Kosinussatz bei folgendem Problem anwenden?
Berechne x, wenn u, v und α gegeben sind!
Frage 2: Welche Dreiecksberechnungen können mit dem Kosinussatz gelöst werden?
(Die dick ausgezogenen Grössen sind gegeben)
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 83
2.1.6 Übungen Kosinussatz
Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC.
a) ba 16,1cm ; b 15,4 cm ; s 14,5 cm= = =
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
84 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
b) a cb 18,2 cm ; s 15,9 cm ; s 13,2 cm= = =
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 85
c) 0a 8,1cm ; w 10,6 cm ; 35,2β= = β =
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
86 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
d) 0a47,35 ; s 14,00 cm ; c 10,95 cmα = = =
DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 87
2.1.7 Lösungen
Übungen Sinussatz
a) eine Lösung
0 0c 8,0 cm ; 60,2 ; 54,5= β = γ =
b) zwei Lösungen
0 01 1 162,4 ; 83,0 ; b 34,6 cmα = β = =
0 02 2 2117,6 ; 27,8 ; b 16,3 cmα = β = =
c) keine Lösung
Übungen Kosinussatz
a) 0 0 064,1 ; c 16,7 cm ; 60,1 ; 55,8γ = = α = β =
b) 0 0 0c 15,6 cm ; a 11,8 cm ; 39,9 ; 81,9 ; 58,2= = α = β = γ =
c) 0 0122,0 ; 22,8 ; c 17,7 cm ; b 12,1cmγ = α = = =
d) 0 0a 14,4 cm ; b 19,4 cm ; 98,7 ; 33,9= = β = γ =
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
88 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
2.2 Geometrie Memos allgemeines Dreieck
Auf den folgenden zwei Seiten erhältst du zwei Memos, die dich bei den Be-
rechnungen am beliebigen Dreieck unterstützen werden.
2.2.1 Geometrie Memo Trigonometrische und Arcus – Funktionen
Memo Trigonometrische und Arcus - Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen (Arcusfunkti-
onen) sind in der Praxis sehr wichtig. Daher solltest du die Funktionsgraphen
von sin(x), cos(x) und tan(x) jederzeit per Hand skizzieren können. Definiti-
onsbereiche und Wertebereiche der Funktionen, sowie die wichtigsten Eigen-
schaften sollten jederzeit im Kopf abrufbar sein.. Da die trigonometrischen
Funktionen periodisch sind, müssen diese für die Umkehrung eingeschränkt
werden.
Wenn du deinen Rechner verwendest, um die Umkehrfunktionen zu berech-
nen, solltest du wissen, welche Lösungen dir dein Rechner geben kann, und
welche du selbst finden musst. Die Einschränkung der Definitionsbereiche
und deren Konsequenzen bei den Umkehrfunktionen solltest du unbedingt
verstehen!
2.2.2 Geometrie Memo Sinussatz Kosinussatz
Memo Sinussatz und Kosinussatz
Wann können wir den Sinussatz, wann den Kosinussatz anwenden?
Diese Frage kann mittels Schaufigur beantwortet werden. Jeder Satz hat eige-
ne Muster, welche der Kopf direkt mit der abstrakten Gleichung der beiden
Sätze in Verbindung bringen kann.
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Memo Trigonometrische und Arcus
Merke: Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitionbereich eingeschränkt werden. (EINDEUTIGKEIT!!)
Geometrie Memos allgemeines Dreieck
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Trigonometrische und Arcus - Funktionen
Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitionbereich eingeschränkt werden. (EINDEUTIGKEIT!!)
( )x sin x֏
[ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − πFür die Umkehrung wird der Definitionsbereich eing
schränkt auf das Intervall ;2 2π π −
( )x arc sin x֏
[ ]D 1 ; 1 ; W ;2 2π π = − = −
Achtung: Der Rechner liefert nur spitze Winkel
stumpfe Winkel o180β = − α kann auch eine Lösung sein,
denn es gilt ( ) ( osin sin 180α = − α
( )x cos x֏
[ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − πFür die Umkehrung wird der Definitionsbereich eingschränkt auf das Intervall [ 0 ; π
( )x arccos x֏
[ ] [D 1 ; 1 ; W 0 ;= − = πErhalten wir vom Rechner den Winkel negative Winkel − α auch eine Lösung sein, denn es gilt
( ) ( )cos cosα = −α
( )x tan x֏
D R= ( ){ }x 2k 1 ; k Z ; W R2π= + ⋅ ∈ =
Periode π
Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich eing
schränkt auf das Intervall ;2 2π π −
( )x arctan x֏
D R ; W ;2 2π π = = −
Achtung: Der Rechner liefert nur spitze Winkel
stumpfe Winkel o180β = + α kann auch eine Lösung sein,
denn es gilt ( ) ( otan tan 180α = + α
Geometrie Memos allgemeines Dreieck
89
Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitions-
D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π
wird der Definitionsbereich einge-
;2 2π π
.
D 1 ; 1 ; W ;2 2π π
Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der
kann auch eine Lösung sein,
)α = − α
D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π
Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich einge-]0 ; π .
]D 1 ; 1 ; W 0 ;= − = π
Erhalten wir vom Rechner den Winkel α , so kann der auch eine Lösung sein, denn es gilt
}x 2k 1 ; k Z ; W R= + ⋅ ∈ =
Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich einge-
;2 2π π
.
echner liefert nur spitze Winkel α . Der
kann auch eine Lösung sein,
)α = + α
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
90 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Memo Sinussatz und Kosinussatz
Merke: zuerst Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck anwenden!!
Sinussatz: ( )( )
sinab sin
α=
β
Kosinussatz:
( )2 2 2a b c 2bc cos= + − ⋅ α
Die vier Grundaufgaben der Dreiecksberechnung
1. Gegeben: drei Seiten Beginn mit Kosinussatz
2. Gegeben: zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel Beginn mit Kosinussatz
3. Gegeben: zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt! Beginn mit Sinussatz Eindeutig lösbar, wenn der gegebene Winkel der grösseren Seite gegenüberliegt!
4. Gegeben: eine Seite und zwei Winkel Beginn mit Sinussatz!
1 Lösung
2 Lösungen
DialogMathe Geometrie Memos allgemeines Dreieck
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 91
2.2.3 Prüfungsaufgaben allgemeines Dreieck Aufgabe 1
Die Strecke von P nach Q ist aus den folgenden Messungen zu be-rechnen.
Messungen: AB 380m= o41α = ; o77β = o82γ = ; o34δ =
Lösung: PQ 582,9m=
Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe
92 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Aufgabe 2 Im Dreieck ABC gilt: M ist der Seitenmittelpunkt.
o45α = ε =
Wie gross sind β und γ ?
Lösungen: o o30 ; 105β = γ =
DialogMathe Geometrie Memos allgemeines Dreieck
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 93
Aufgabe 3
Zwei Leuchtbojen befinden sich in den Punk-
ten C und D. Von den Punkten A und B am
Seeufer sind diese Bojen unter den folgenden
Winkeln sichtbar:
1 2
1 2
CAB 11,3 ; DAC 85,1
ABD 27,9 ; DBC 113
α = = ° α = = °
β = = ° β = = °
∡ ∡
∡ ∡
Die Entfernung von A nach B beträgt 245 m.
a) Das Licht der beiden Bojen ist jeweils auf die beiden Uferpunkte A und B
ausgerichtet. Berechne die Fläche, die von beiden Bojen beleuchtet wird
(Dreieck ABS).
b) Berechne den Abstand der zwei Bojen (Strecke CD).
Lösungen: 2a) A 4353,9m b) DC 348,1m= =
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
94 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
3 Die allgemeine Sinusfunktion
Wie eingangs schon gesagt, sind sehr viele Vorgänge in der Natur oder bei
technischen Abläufen periodisch. Nicht immer aber reicht die Sinusfunktion
in ihrer reinen Form zu deren Beschreibung aus. Dies hat mehrere Ursachen:
Zum einen besitzt die Sinusfunktion nur Werte zwischen – 1 und 1, zum an-
deren sind die angesprochenen Vorgänge gewöhnlich nicht winkelabhängig,
sondern zeitabhängig mit einer Periode, die nicht einfach als Vielfaches von
2π zu fassen ist. Daher muss die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser Vor-
gänge entsprechend modifiziert werden.
( )y a sin b x c d= ⋅ ⋅ + +
Diese Modifikationen und ihre Auswirkungen sind in der folgenden Über-
sicht zusammengefasst. Analoges gilt auch für die übrigen Winkelfunktionen,
in der Praxis ist jedoch die Sinusfunktion (bzw. die ihr gegenüber um 2π ver-
schobene Kosinusfunktion) am bedeutendsten.
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )y sin x= Grundfunktion Allgemein periodischer Vorgang
( )y a sin x= ⋅ Veränderung der Amplitude Faktor – 1 entspricht einer Phasenverschiebung um π
Ausschlag eines Pendels
( )y sin b x= ⋅ Veränderung der Periode b 1> : Beschleunigung 0 b 1< < : Verlangsamung b 0< : „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll
Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwin-gungen (z.B. bei Klängen von Musikinstrumenten)
( )y sin x c= + Phasenverschiebung Beschreibung von Strom-und Spannungsverlaufs im Wechselstromkreis
( )y sin x d= + Verschiebung in y-Richtung Überlagerung einer Gleich- und Wechsel-spannung
( )y a sin b x c d= ⋅ ⋅ + + allgemeiner Fall Komplexer periodischer Vorgang
DialogMathe Funktionstransformationen Sinusfunktion
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 95
3.1 Funktionstransformationen Sinusfunktion
Aus einer Grundfunktion können
alle weiteren Funktionen des
gleichen Typs durch
Transformationen hergeleitet
werden.
Grundfunktion: ( )y sin x=
Transformationen: ( ) ( )f x a sin b x c d= ⋅ ⋅ + +
Transformationsregeln
Wie bekommen wir aus dem Graph der Grundfunktion ( ) ( )f x sin x= den
Graph der Funktion ( ) ( )f x a sin b x c d= ⋅ ⋅ + + ? Wir studieren die Effekte
der Parameter a, b, c und d auf den Graph der Funktion einzeln.
3.1.1 Streckung oder Stauchung
Streckung oder Stauchung in y-Richtung
Transformation ( ) ( )y f x y a f x= → = ⋅
( ) ( )y sin x y a sin x= → = ⋅
Fallunterscheidung für den Parameter a
Für a 1> eine Streckung des Graphen in y-Richtung mit dem
Streckungsfaktor a
Für 0 a 1< < eine Stauchung des Graphen in y-Richtung mit dem
Stauchungsfaktor 1a
Spiegelung an der x-Achse
Spezialfall: a 1= − der Graph wird an der x-Achse gespiegelt
( ) ( )y sin x y sin x= → = −
Für 1 a 0− < < zusätzlich zur Stauchung mit dem Faktor 1a eine Spiegelung
des Graphen an der x-Achse.
Für a 1< − zusätzlich zur Streckung mit dem Faktor a eine Spiegelung des
Graphen an der x-Achse.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
1
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
96 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Streckung oder Stauchung in x-Richtung
Transformation ( ) ( )y f x y f b x= → = ⋅
( ) ( )y sin x y sin b x= → = ⋅
Fallunterscheidung für den Parameter b
Für b 1> eine Stauchung des Graphen in x-Richtung mit dem
Stauchungsfaktor b
Für 0 b 1< < eine Streckung des Graphen in x-Richtung mit dem
Streckungsfaktor 1b
Spiegelung an der y-Achse
Spezialfall: b 1= − der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.
( ) ( )y sin x y sin x= → = −
Für 1 b 0− < < zusätzlich zur Streckung mit dem Faktor 1b eine Spiegelung
des Graphen an der y-Achse.
Für b 1< − zusätzlich zur Stauchung mit dem Faktor b eine Spiegelung des
Graphen an der y-Achse.
DialogMathe Funktionstransformationen Sinusfunktion
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 97
Beachte: Es gilt ( ) ( ) ( )y sin b x sin b sin x= ⋅ ≠ ⋅ , d.h. eine Stauchung in
x-Richtung mit dem Stauchungsfaktor b kann nicht als Streckung in
y-Richtung mit dem Streckungsfaktor ( )a sin b= interpretiert werden.
3.1.2 Verschiebung Verschiebung in x-Richtung
Transformation: ( ) ( )y f x y f x c= → = +
( ) ( )y sin x y sin x c= → = +
Fallunterscheidung für den Parameter c
Für c 0> eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach links
Für c 0< eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach rechts
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
98 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Merke: ( )cby sin b x = ⋅ + , b muss ausgeklammert werden: Verschiebung c
b
Beispiel: b = 1, c = 60 : ( )y 1,5 sin x 60= ⋅ +
Verschiebung um 600 nach links.
Beispiel: b = 2, c = 60 : ( ) [ ]( )y sin 2x 60 sin 2 x 30= + = +
Verschiebung um 300 nach links.
Verschiebung in y-Richtung Transformation: ( ) ( )y f x y f x d= → = +
( ) ( )y sin x y sin x d= → = +
Fallunterscheidung für den Parameter d Für d 0> eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach oben
Für d 0< eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach unten
DialogMathe Funktionstransformationen Sinusfunktion
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 99
3.1.3 Übungen Sinusfunktion
Partnerinterview Funktionstransformationen Sinusfunktion Zeit: 20 Minuten
Grundfunktion:
Transformation:
Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gib die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen!
(1) ( ) ( )f x 2 sin x= ⋅
(2)
( ) ( )f x sin 2 x= ⋅
(3)
( ) ( )1
2f x sin x= ⋅
(4)
( ) ( )f x sin x 60= +
(5)
( ) ( )f x sin x 30= −
(((( )))) (((( ))))f x sin x====
(((( )))) (((( ))))f x a sin b x c d= ⋅ ⋅ + += ⋅ ⋅ + += ⋅ ⋅ + += ⋅ ⋅ + +
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
100 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
(6) ( ) ( )1
2f x sin 2 x 180= ⋅ ⋅ +
(7) ( ) ( )1
2f x sin 2 x 1= ⋅ ⋅ +
(8) ( ) ( )f x 2 sin 3 x 90= ⋅ ⋅ −
(9) ( ) ( )1
2f x 1,5 sin x 60= ⋅ ⋅ +
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
DialogMathe Memo allgemeine Sinusfunktion
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 101
3.2 Memo allgemeine Sinusfunktion
Memo Allgemeine Sinusfunktion
3.2.1 Allgemeine Sinusfunktion im Gradmass
Gradmass ( )y A sin B C= ⋅ ⋅ α +
A : Streckung (Stauchung) in y – Richtung
Der Faktor A ändert die Nullstellen der sin-Funktion nicht.
B : Streckung (Stauchung) in x – Richtung
Änderung der Periode von 0360 auf 0360
B
B > 1 Stauchung; B < 1 Streckung
Periode von ( )sin α : 0360
Periode von ( )sin B ⋅ α : 0360
B
( ) ( )0
0 360sin B sin B 360 sin B
B ⋅ α = ⋅ α + = ⋅ α +
C : Verschiebung in horizontaler Richtung bis 0CB
α = −
C > 0 (positiv) : Linksverschiebung ; C < 0 (negativ) : Rechtsverschiebung
Bestimmung der Verschiebung (B ausklammern):
( ) CA sin B C A sin B
B ⋅ ⋅ α + = ⋅ ⋅ α +
Nullstellen: ( )y sin 0= α = ; 0k 180α = ⋅ mit k 0 , 1, 2 , 3 ,= ± ± ± ……
Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung
liegende Nullstelle (k=0) 0α berechnen.
( ) 0y A sin B C 0 B C k 180= ⋅ ⋅ α + = → ⋅ α + = ⋅
für k = 0 ergibt sich 0 0C
B C 0B
⋅ α + = → α = −
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
102 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
3.2.2 Allgemeine Sinusfunktion im Bogenmass
Bogenmass: ( )y A sin B x C= ⋅ ⋅ +
B : Streckung (Stauchung) in x – Richtung
Änderung der Periode von 2π auf 2Bπ
Periode von ( )sin x : 2π
Periode von ( )sin B x⋅ : 2Bπ
( ) ( ) 2sin B x sin B x 2 sin B x
Bπ ⋅ = ⋅ + π = ⋅ +
C : Verschiebung in horizontaler Richtung bis 0CB
α = −
C > 0 (positiv) : Linksverschiebung ; C < 0 (negativ) : Rechtsverschiebung
Bestimmung der Verschiebung (B ausklammern):
( ) CA sin B x C A sin B x
B ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +
Nullstellen: ( )y sin x 0= = ; x k= ⋅ π mit k 0 , 1, 2 , 3 ,= ± ± ± ……
Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung
liegende Nullstelle (k=0) 0α berechnen.
( )y A sin B x C 0 B x C k= ⋅ ⋅ + = → ⋅ + = ⋅ π
für k = 0 ergibt sich 0 0C
B x C 0 xB
⋅ + = → = −
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
3.3 Dynamische Arbeitsblätter
3.3.1 Allgemeine Sinusfunktion
Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Sinusfunktion BogenmassZeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)
Grundfunktion
Transformation :
Schieberegler: Parameter [a 5 ; 5∈ −
Arbeitsaufträge:
1) Zeichne die Sinusfunktion:
Überdenke folgendes Schritt 1: b = 2 ausklammern:
Schritt 2: Koordinatensystem verschieben
Schritt 3: (y 1 sin 2 x= − ⋅ ⋅ a 1= − b 2=
2) Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von [ ]c 7 ; 7∈ − in x
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x Richtung (c).
3) Überzeuge dich, dass a (auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat.
4) Zeichne die Sinusfunktionen:
Dynamische Arbeitsblätter
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamische Arbeitsblätter
Sinusfunktion
Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Sinusfunktion Bogenmass Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)
Grundfunktion ( )y sin x= (Sinusfunktion)
Transformation : ( ) ( )y sin x y a sin b x c d= → = ⋅ ⋅ + +
[ ]a 5 ; 5∈ − ; [ ]b 5 ; 5∈ − ; [ ]c 7 ; 7∈ − ; [d 5 ; 5∈ −
Zeichne die Sinusfunktion: ( ) ( )y 1 sin 2 x 6 3= − ⋅ ⋅ − +
Überdenke folgendes Vorgehen: Schritt 1: b = 2 ausklammern: ( ) [ ]( )y 1 sin 2 x 3 3= − ⋅ ⋅ − +
Schritt 2: Koordinatensystem verschieben ( ) ( )cb / d 3 / 3− =
) ( )y 1 sin 2 x= − ⋅ ⋅ im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.
a 1= − : Spiegelung an der neuen x – Achse b 2 : Stauchung in x – Richtung um Faktor 2.
Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von in x – Richtung. Setze b = 2, (b = 3, b = –1, b = –
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x – Richtung) auf die Verschiebung in x
Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y – Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Zeichne die Sinusfunktionen: ( )y 2 sin x 5 3= ⋅ − − +
( )13y sin 3x 6 2= − +⋅
( )12y 4 sin x 2 5= ⋅ ⋅ + +
Dynamische Arbeitsblätter
103
Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)
y sin x y a sin b x c d= → = ⋅ ⋅ + +
]d 5 ; 5∈ −
)/ d 3 / 3
im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.
Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von – 2) und mache die
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss Richtung) auf die Verschiebung in x –
Richtung) keinen Einfluss
Die allgemeine Sinusfunktion
104
3.3.2 Allgemeine Kosinusfunktion
Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Kosinusfunktion BogenmassZeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)
Grundfunktion
Transformation :
Schieberegler: Parameter [a 5 ; 5∈ −
Arbeitsaufträge:
1) Zeichne die Sinusfunktion:
Überdenke folgendes Vorgehen:Schritt 1: b = 0,5 ausklammern:
Schritt 2: Koordinatensystem verschieben
Schritt 3: y 2 cos 0,5 x= ⋅ ⋅ a 2= b 0,5=
2) Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von [ ]c 7 ; 7∈ − in x
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x Richtung (c).
3) Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben!
4) Zeichne die Sinusfunktionen:
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Allgemeine Kosinusfunktion
Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Kosinusfunktion Bogenmass Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)
Grundfunktion ( )y cos x= (Kosinusfunktion)
Transformation : ( ) ( )y cos x y acos b x c d= → = ⋅ + +
[ ]a 5 ; 5∈ − ; [ ]b 5 ; 5∈ − ; [ ]c 7 ; 7∈ − ; [d 5 ; 5∈ −
Zeichne die Sinusfunktion: ( )y 2 cos 0,5 x 3= ⋅ ⋅ −
Überdenke folgendes Vorgehen: Schritt 1: b = 0,5 ausklammern: [ ]( )y 2 cos 0,5 x 6= ⋅ ⋅ −
Schritt 2: Koordinatensystem verschieben ( ) ( )cb / d 6 / 0− =
( )y 2 cos 0,5 x= ⋅ ⋅ im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.
a 2 : Streckung in y – Richtung um Faktor 2 b 0,5 : Streckung in x – Richtung um Faktor 2.
Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von in x – Richtung. Setze b = 2, (b = 3, b = –1, b = –
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss hung/Streckung in x – Richtung) auf die Verschiebung in x
Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y – Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben!
Zeichne die Sinusfunktionen: ( )y 2 cos 2x 5= ⋅ −
( )13y cos 3x 6 2= − +⋅
( )12y 4 cos x 2 5= ⋅ ⋅ + +
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)
y cos x y acos b x c d= → = ⋅ + +
]d 5 ; 5∈ −
)/ d 6 / 0
im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.
Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von – 2) und mache die
gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss Richtung) auf die Verschiebung in x –
Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben!
DialogMathe Dynamische Arbeitsblätter
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 105
3.3.3 Repetitionstest
Repetitionstest Allgemeine Sinusfunktion
Ohne Hilfsmittel, Zeit: 45 Minuten
Aufgabe 1
Wie lauten die Funktionsgleichungen der folgenden Graphen? Graph 1: Graph 2:
Graph 1
Graph 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
106 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Aufgabe 2 Wie lautet die Funktionsgleichung des folgenden Graphen?
Der Funktionsgraph wird an der y-Achse gespiegelt. Wie lautet nun die Funktionsgleichung?
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion ( )f(x) 3 sin(2x 30 )= − ⋅ + ° .
Durch welche Abbildungen erhalten wir den Graphen von f aus der Sinusfunktion y sin(x)= ? Nenne alle Abbildungen mit den zugehörigen
Funktionsgleichungen. (keine Graphen zeichnen) Bestimme:
� die Periode von f(x)
� die Wertemenge von f(x) (Wertebereich)
� die Nullstellen der Funktion f(x) im Bereich 0 00 x 180≤ ≤ .
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
DialogMathe Dynamische Arbeitsblätter
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 107
Aufgabe 4 Untenstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Sinus-Funktion f(x). Ermittle die Funktionsgleichung von f. Zeichne für die Rechnung die wichti-gen Grössen ein. Das Ergebnis soll Brüche (keine Dezimalbrüche) enthalten.
Aufgabe 5
Gegeben ist die Funktion: ( )3f(x) 0,5 sin 3 x π = ⋅ ⋅ + mit x R∈ .
Bestimme die Periodenlänge und die Wertemenge von f. Bestimme die Nullstellen der Funktion f im Intervall [ ]0 ; π .
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
108 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
3.4 Anwendung Modellbildung
3.4.1 Modellbildung Temperaturverlauf Der Tagesverlauf der mittleren Oberflächentemperatur einer Hausfassade kann durch die allgemeine Sinusfunktion ( ) ( )T t A sin B t C D= ⋅ ⋅ + +
beschrieben werden.
a) Bestimme die Parameter A, B, C und D, wenn folgendes bekannt ist:
– Der zeitliche Verlauf erstreckt sich über einen Tag
von 0 Uhr bis 24 Uhr.
– Die maximale Temperatur beträgt omaxT 40 C=
und wird um 13 Uhr erreicht.
– Die minimale Temperatur beträgt ominT 20 C= −
b) Für welche Zeiten t beträgt die Oberflächentemperatur o0 C ?
c) Die Lufttemperatur in der Nähe der Fassade wird durch
untenstehendes Diagramm beschrieben. Ermittle eine
Funktionsgleichung für die Lufttemperatur.
d) Zu welchen Zeiten sind die Oberflächentemperatur und die
Lufttemperatur gleich?
Lösung
a) ( ) ( )T t A sin B t C D= ⋅ ⋅ + +
40 20A 30
2+= = ;
40 20D 10
2−= = ;
2B
24 12π π= =
( ) ( )12T t 30 sin t C 10π= ⋅ ⋅ + +
2 10 20
4
20
Zeit in h
Lufttemperatur in oC
O 24
– 4
DialogMathe Anwendung Modellbildung
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 109
Berechnung von C: ( ) ( )12T 13 30 sin 13 C 10 40π= ⋅ ⋅ + + =
( )( ) ( )
( ) [ ]( )
12 12 2
13 7 72 12 12 12 12
12
sin 13 C 1 13 C
C T t 30 sin t 10
T t 30 sin t 7 10
π π π
π π π π π
π
⋅ + = → ⋅ + =
→ = − = − → = ⋅ ⋅ − +
= ⋅ ⋅ − +
b) Zeit t bei der die Oberflächentemperatur o0 C beträgt. ( ) ( )
[ ]( )7
12 12
1213
T t 30 sin t 10 0
sin t 7
π π
π
= ⋅ ⋅ − + =
⋅ − = −
Rechner: 1 2t 5,7h ; t 20,3h= =
solve Befehl
Graphisch
c) Betragsfunktion für die Lufttemperatur. ( ) ( )T t 2 t 12 20 2 t 24 20= − ⋅ − + = − ⋅ − +
( ) ( )T t 2 t 12 20= − ⋅ − +
d) Zeit wo die Oberflächentemperatur und die Lufttemperatur gleich sind?
Rechner (graphisch, Intersection) 1 2t 7h ; t 19,7h= =
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
110 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
3.4.2 Modellbildung Wirtschaftsindex
Ein Wirtschaftsindex kann im Jahresverlauf durch eine Sinusfunktion
( ) ( )WI t A sin B t C D= ⋅ ⋅ + + dargestellt werden. Der Verlauf wird wöchent-
lich 0 t 52≤ ≤ ermittelt, wobei der maximale Wert 17 und der minimale Wert
–3 beträgt. Das Maximum wird in der 5. Woche erreicht.
a) Bestimme die Funktion WI(t).
b) Wie gross ist der Index am Beginn des Jahres WI(0)?
c) In welchen Wochen wird der Index Null?
d) Ein Wachstumsindex kann durch die Funktion ( )WA t 0,2 t= ⋅ beschrieben
werden. Wann sind der Wirtschaftindex und der Wachstumsindex gleich
gross?
Lösung:
a) Bestimmung von A: 17 ( 3)
A 102
− −= =
Bestimmung von B: 2
B52
π=
Bestimmung von D: D 17 10 7= − =
Bestimmung von C: ( ) 2WI 5 10 sin 5 C 7 17
52π = ⋅ ⋅ + + =
2sin 5 C 1
52
25 C
52 25 1 5 4
C2 26 2 26 13
π → ⋅ + =
π π→ ⋅ + =
π π π → = − = π ⋅ − =
( ) [ ]2 4 2WI t 10 sin t 7 10 sin t 8 7
52 13 52π π π = ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + +
b) ( ) 4WI 0 10 sin 7 15,23
13π = ⋅ + =
c) ( ) [ ]2WI t 10 sin t 8 7 0
52π = ⋅ ⋅ + + =
In der 24. und 37. Woche wird WI Null.
d) ( ) ( )WI t WA t= [ ]210 sin t 8 7 0,2 t
52π → ⋅ ⋅ + + = ⋅
In der 20. und 45. Wochen sind die beiden Indices gleich.
DialogMathe Anwendung Biorhythmen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 111
3.5 Anwendung Biorhythmen
3.5.1 Theorie vom Biorhythmus (Quelle: Mathematik mit Computern von Georges Murbach)
Begründer der Biorhythmik-Lehre ist Dr. Wilhelm Fliess, ein Zeitgenosse und
Verehrer von Sigmund Freud. Für den geistigen Vater der Biorhythmen „rollt
das ganze Dasein nach einer inneren Ordnung ab, kraft derer die Zeiten des
Geborenwerdens und Sterbens, des Wachsens und Vergehens ihren festen
Platz einnehmen“.
Seit dem Moment der Geburt eines Menschen schwanken seine körperlichen
und seelischen Lebenskräfte in immer gleich bleibenden Rhythmus -
der körperliche währt 23 Tage, der seelische 28 Tage und der intellektuelle 33
Tage. ( ) 2y t sin t
Tπ = ⋅
: Sinusfunktion mit der Periode T
Korrekt besagt die Theorie vom Biorhythmus, dass jeder Mensch sich
elfeinhalb Tage körperlich in einer Hoch- oder Aktivitätsphase, ebenfalls
elfeinhalb Tage in einer Tief- oder Regenerationsphase befindet. Das gleiche
geschieht im seelischen Bereich, dessen beide Phasen 14 Tage dauern, und im
Intellektbereich mit je 16,5-tägigen Phasen. Weil aber die drei Phasen unter-
schiedlich lang sind, kommt es zu unterschiedlichen, immer wechselnden
Kombinationen des individuellen körperlichen, seelischen und geistigen
Wohl- oder Missbefindens.
Der amerikanische Pharmakonzern PFIZER teilt seine Produktionsarbeiter
nach ihrem Biorhythmus ein und senkte die Unfallrate um fast 60%.
Biorhythmen sind Lebens-Rhythmen, Perioden gesteigerter oder verminderter
Leistungsfähigkeit und Widerstandskraft gegen aussergewöhnliche
Anstrengungen oder Belastungen körperlicher oder geistiger Art. Sie sind
nach dem heutigen Stand der Wissenschaft und Technik im Voraus feststell-
bare Kräfteverhältnisse im Organismus des Menschen.
Nach der Theorie von Fliess sind Tage besonders kritisch, wo mehrere
Perioden gleichzeitig einen Nulldurchgang haben, sich also von der
Aktivitäts- in die Regenerationsphase bewegen und umgekehrt.
Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe
112 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
3.5.2 Beispiele Am 1. August 1976 erlitt der bekannte Formel-1-Pilot Niki Lauda auf dem
Nürburgring einen fürchterlichen Unfall. Schon Tage zuvor fühlte er sich in
einer schlechten Verfassung, obschon der medizinische Befund ganz ausge-
zeichnet war. (Geburtsdatum: 22. 2. 1949)
Eigene Berechnungen mit der mitgelieferten Excel – Datei!
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Niki Lauda
physisch psychisch intellektuell
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Benno Frei
physisch psychisch intellektuell
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
3.6 Sinus als Polynom
Dynamisches Arbeitsblatt sinus_PolynomZeit: 10 Minuten
Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion dargestellt werden, wobei der Grad unendlich ist.
3 5 7 9 11 13 15 17 19x x x x x x x x xsin(x) x
3! 5! 7! 9! 11! 13! 15! 17! 19!= − + − + − + − + − + −
( 5! 5 4 3 2 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fakultät) Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt
d.h. sin(x) ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung).
Je nach Genauigkeit kann die Sinusfunktion als Polynom nSchieberegler a bis j (0: Funktion ausgeblendet, 1a) sin(x) x≈ (Polynom 1. Grades
Beachte: Für kleine x ist die Sinusfunktion eine Gerade mit Steigung 1.
b) 3x
sin(x) x3!
≈ − (Polynom 3. Grades)
c) 3 5x x
sin(x) x3! 5!
≈ − + (Polynom 5. Grades)
d) 3 5 7x x x
sin(x) x3! 5! 7!
≈ − + −
Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion. Für die Kosinusfunktion gilt (gerade Funktion):
2 4 6 8 10 12 14 16 18x x x x x x x x xcos(x) 1
2! 4! 6! 8! 10! 12! 14! 16! 18!= − + − + − + − + − + −
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Sinus als Polynom
Dynamisches Arbeitsblatt sinus_Polynom Zeit: 10 Minuten
Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion dargestellt werden, wobei der Grad unendlich ist.
3 5 7 9 11 13 15 17 19x x x x x x x x x3! 5! 7! 9! 11! 13! 15! 17! 19!
= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯
Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt
d.h. sin(x) ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung).
e Sinusfunktion als Polynom n-ten Grades dargestellt werden.Funktion ausgeblendet, 1: Funktion eingeblendet)
(Polynom 1. Grades): Schieberegler a
Beachte: Für kleine x ist die Sinusfunktion eine Gerade mit Steigung 1.
(Polynom 3. Grades): Schieberegler b
(Polynom 5. Grades): Schieberegler c
3 5 7x x x3! 5! 7!
≈ − + − (Polynom 7. Grades): Schieberegler d usw.
Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion. Für die Kosinusfunktion gilt (gerade Funktion):
2 4 6 8 10 12 14 16 18x x x x x x x x x2! 4! 6! 8! 10! 12! 14! 16! 18!
= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯
Sinus als Polynom
113
Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion
= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯
Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt sin( x) sin(x)− = − ,
d.h. sin(x) ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung).
Grades dargestellt werden.
Beachte: Für kleine x ist die Sinusfunktion eine Gerade mit Steigung 1.
: Schieberegler d usw.
Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion.
= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯
Anwendung Schwingungen DialogMathe
114 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
4 Anwendung Schwingungen
4.1 Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
Ein kleiner Körper P bewege sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
auf einer Kreisbahn mit Radius r. Diese Kreisbewegung wird durch parallel
einfallendes Licht auf eine Wand projiziert, die normal zur Kreisbahn steht.
Der Schatten P’ vollführt eine Auf- und Abbewegung.
Der Körper P kann durch seinen Ortsvektor ( )( )
( )r cos t
r t OPr sin t
⋅ ω ⋅ = = ⋅ ω ⋅
� ����
beschrieben werde. Für die Projektion erhalten wir dann die y-Komponente
des Ortsvektors: ( ) ( )y ' t r sin t= ⋅ ω ⋅ . Diese wird in Funktion der Zeit als
Funktionsgraph dargestellt. Eine Bewegung nach diesem zeitlichen Gesetz
heisst Sinusschwingung oder harmonische Schwingung mit der Amplitude r
und der Kreisfrequenz ω . Damit ist der enge Zusammenhang zwischen einer
Kreisbewegung und einer Sinusschwingung aufgezeigt.
Ist ϕ der in der Zeit t durchlaufene Drehwinkel, so gilt ttϕω = → ϕ = ω ⋅ .
Wenn der Körper für einen Umlauf auf der Kreisbahn die Zeit T benötigt, so
folgt noch der wichtige Zusammenhang zwischen ω und T: 2Tπω =
Harmonische Schwingung: ( ) ( )0y t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ
A: Amplitude ; ω : Kreisfrequenz ; 0ϕ : Nullphasenwinkel
DialogMathe /Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 115
4.1.1 Periodendauer Wird ω bei gleich bleibender Amplitude verändert, so ändert dies die Periode
der Sinusfunktion. Wir können dies allgemein überlegen:
Da die Periodenlänge der Sinusfunktion 2π beträgt gilt:
( ) ( ) ( ) 2y t sin t sin t 2 sin t
π = ω ⋅ = ω ⋅ + π = ω ⋅ + ω
Da also die Addition von 2πω
zu t wieder den gleichen Funktionswert ergibt,
hat sich die Periode von bisher 2π auf 2πω
geändert. Wir bezeichnen allgemein
die Periode bei einer zeitabhängigen Sinusfunktion mit dem Buchstaben T
und nennen sie auch Periodendauer oder Schwingungsdauer.
Periodendauer (Periode) einer Sinusfunktion: 2
Tπ=
ω
0,5ω =
1,5ω =
Anwendung Schwingungen
116
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: [ ]t 0 ; 29∈ : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
[ ]0 ; 2ω∈ : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht werden.
Arbeitsaufträge:
1) Bedeutung der Nullphase/
2) Setze den Schieberegler auf
Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.
3) Setze den Schieberegler auf
und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
4) Setze den Schieberegler auf
Q mit Hilfe von t rotieren. Was stells
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
: Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit [ ]0 ; 2 rads−ω ∈
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht
Bedeutung der Nullphase/ positiv Linksverschiebung
Setze den Schieberegler auf 11rads−ω = und lass die beiden Punkte P und
Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.
den Schieberegler auf 10,25 rads−ω = und lass die beiden Punkte P
und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
Setze den Schieberegler auf 12 rads−ω = und lass die beiden Punkte P und
Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
DialogMathe
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung
: Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
10 ; 2 rads−
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht
und lass die beiden Punkte P und
Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.
und lass die beiden Punkte P
und lass die beiden Punkte P und
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: zweiPunkte_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
Schieberegler: [ ]t 0 ; 29∈ : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
[ ]0 ; 2ω∈ : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
Punkt Q rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) werden.
Arbeitsaufträge:
1) Setze den Schieberegler auf
Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die
2) Setze den Schieberegler auf
und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
3) Setze den Schieberegler auf
Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: zweiPunkte_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
: Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
: Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
Punkt Q rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit 11rads−ω =
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit [ ]0 ; 2 rads−ω ∈
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkt
Setze den Schieberegler auf 11rads−ω = und lass die beiden Punkte P und
Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.
Setze den Schieberegler auf 10,25 rads−ω = und lass die beiden Punkte P
und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
Setze den Schieberegler auf 12 rads−ω = und lass die beiden
Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?
/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
117
: Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
10 ; 2 rads−
können die Spuren der Punkte gelöscht
und lass die beiden Punkte P und
Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.
und lass die beiden Punkte P
und lass die beiden Punkte P und
Anwendung Schwingungen DialogMathe
118 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
4.1.2 Phasenverschiebung
Die Sinusfunktion ( ) ( )y t A sin t= ⋅ ω ⋅ beschreibt einen Vorgang, der mit dem
Funktionswert 0 beginnt. Die Sinusfunktion ( ) ( )0y t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ besitzt
zum Zeitpunkt t = 0 bereits den Wert ( ) ( )0y 0 A sin= ⋅ ϕ und ist gegenüber
jener mit 0 0ϕ = nach links oder rechts verschoben, sonst aber deckungs-
gleich.
Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung lie-
gende Nullstelle 0t berechnen:
y 0= für 0t kω ⋅ + ϕ = ⋅ π (k 0, 1, 2,= ± ± …… )
Und daraus mit k = 0 : 00t
ϕ= −ω
Nullstelle zur Berechnung der Verschiebung: 00t
ϕ= −ω
Nach der Nullstelle 0t steigt die Sinusfunktion an (überlege!).
0tω ⋅ + ϕ wird Phasenwinkel, 0ϕ Nullphasenwinkel genannt. Die Richtung der
Verschiebung gegenüber dem Graphen von ( ) ( )y t A sin t= ⋅ ω ⋅ folgt aus dem
Vorzeichen von 0ϕ (begründe!):
0 0ϕ > : Linksverschiebung
0 0ϕ < : Rechtsverschiebung
Zusammenfassung der Bedeutung der Grössen A, ω und 0ϕ
( ) ( )0y t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ
A: Streckung in y – Richtung
ω : Änderung der Periode von 2π auf 2πω
0ϕ : Verschiebung bis 00t
ϕ= −ω
( ) ( ) 00y t A sin t A sin t
ϕ = ⋅ ω ⋅ + ϕ = ⋅ ω ⋅ + ω
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Nullphase_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
Schieberegler:
[ ]t 0 ; 29∈ : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der
[ ]0 ; 2ω∈ : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
[ ] [0 0 ; 2 0 ; 6,28ϕ ∈ π =
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit
Startposition von P :
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren werden.
Arbeitsaufträge:
1) Bedeutung der Nullphase: Wähle einige Werte für die Nullphase [ ] [0 0 ; 2 0 ; 6,28ϕ ∈ π =
2) Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer Fder): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden.
Diskutiere einige Spezialfälle:
3) Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine Linkverschiebung der Sinusfunktion.
Videoclip: Datei 0501analogie
Analogie Federpendel / Kreisbewegung
Projizierte Kreisbewegung und Federpendel synchron
/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Nullphase_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten
: Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)
: Winkelgeschwindigkeit des Punktes P
]0 ; 2 0 ; 6,28 : Nullphase von P
Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit [ ]0 ; 2 rads−ω ∈Startposition von P : [ ] [ ]0 0 ; 2 0 ; 6,28ϕ ∈ π =
Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht
Bedeutung der Nullphase: Wähle einige Werte für die Nullphase ]0 ; 2 0 ; 6,28 und interpretiere den Effekt auf die Sinusfunktion.
Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer Fder): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden.
Diskutiere einige Spezialfälle: 0 2πϕ = ; 0ϕ = π ; 0
32πϕ =
Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine Linkverschiebung der Sinusfunktion.
Videoclip: Datei 0501analogie
Analogie Federpendel / Kreisbewegung
Projizierte Kreisbewegung und Federpendel synchron
/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung
119
Punkte P und Q)
10 ; 2 rads−
der Punkte gelöscht
die Sinusfunktion.
Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer Fe-der): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden.
Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine Links-
Anwendung Schwingungen DialogMathe
120 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
4.1.3 Partnerinterview Parameterdarstellung von Kurven
Partnerinterview Parameterdarstellung von Kurven Zeit: 15 Minuten
Frage 1: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t R∈ )?
a) ( ) ( )( )P cos t | sin t
b) ( ) ( )( )P a cos t | a sin t⋅ ⋅
Frage 2: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t R∈ )?
( ) ( )( )P a cos t | b sin t⋅ ⋅
Frage 3: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t R∈ )?
( ) ( )( )P t cos t | t sin t⋅ ⋅
DialogMathe Beispiele von Schwingungen
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 121
4.2 Beispiele von Schwingungen
Java-Applets zur Physik (Java 2.0) von W. Fendt
http://www.walter-fendt.de/ph11d/
4.2.1 Federpendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/federpendel.htm
4.2.2 Fadenpendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/fadenpendel.htm
4.2.3 Gekoppelte Pendel
http://www.walter-fendt.de/ph11d/gekopendel.htm
Anwendung Schwingungen DialogMathe
122 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
4.2.4 Erzwungene Schwingung (Resonanz)
http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm
4.2.5 Stehende Längswellen
http://www.walter-fendt.de/ph11d/stlwellen.htm
4.2.6 Elektromagnetischer Schwingkreis
http://www.walter-fendt.de/ph11d/schwingkreis.htm
DialogMathe Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 123
4.3 Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik
http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/uebersicht.htm
Unterrichtseinheit erstellt von Judith Preiner, 8.4.2005
In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Fourier-
Analyse (nach J.B.J. Fourier, 1768-1830) auf experimentelle Art und Weise
kennen. Mit der Methode können komplexe Schwingungen, wie sie in der
Musik und in der Physik vorkommen, in ihre Einzelkomponenten zerlegt
werden.
Nach der Einführung in das Thema der trigonometrischen Funktionen und
insbesondere der Sinusfunktion arbeiten die Schülerinnen und Schüler weit-
gehend selbstständig am Computer. Mit dynamischen Arbeitsblättern, die
mithilfe der kostenlosen Software GeoGebra erstellt wurden, finden sie her-
aus, wie sich die Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel auf
eine Sinusschwingung auswirken. Anschließend werden diese Erfahrungen
dazu genutzt, Sinusschwingungen gezielt zu beeinflussen, um eine experi-
mentelle Art der Fourier-Analyse durchzuführen. Die dynamischen Arbeits-
blätter enthalten auch Erklärungen und Informationen aus der Physik und der
Musik, wodurch sie sich für den fächerübergreifenden Unterricht eignen. Da
in der Musik Hörerfahrungen nicht fehlen dürfen, stellen neun Hörbeispiele
eine direkte Verbindung zur Musik her. Die Hörbeispiele stehen in unmittel-
barem Bezug zu den Aufgabenstellungen und vermitteln einen direkten Zu-
sammenhang zwischen den dynamischen Konstruktionen und den musikali-
schen Entsprechungen. So üben die Schülerinnen und Schüler nicht nur den
Umgang mit trigonometrischen Funktionen, sondern lernen auch deren Be-
deutung für die Physik und die Musik kennen.
4.3.1 Überlagerung von harmonischen Schwingungen
Harmonische Schwingungen wenig verschiedener Frequenz, gleicher
Amplitude und gleicher Schwingungsrichtung (Schwebung).
Phänomen Schwebung:
Sinus-Schwingung: ( )y A sin t= ⋅ ω ⋅
A = Amplitude (Luftdruckschwankung → Lautstärke)
Anwendung Schwingungen DialogMathe
124 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
2 fω = π = Kreisfrequenz
f = Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde → Tonhöhe)
T = Schwingungsdauer 1 2
Tf
π= =ω
Überlagerung von zwei Sinus-Schwingungen:
( ) ( )1 1 2 2y A sin t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅
Voraussetzung: ( )1 2 1 2 1 2A A A ,= = ω ≈ ω ω > ω
Mathematik: ( ) ( )sin sin 2 cos sin2 2
α − β α + β α + β = ⋅ ⋅
1 2t ; tα = ω ⋅ β = ω ⋅ einsetzen
( ) ( ) 1 2 1 21 2y A sin t A sin t 2A cos t sin t
2 2ω − ω ω + ω = ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Der Kosinus-Term beschreibt die langsame Amplitudenänderung (Schwe-
bung).
Schwebungsfrequenz: Schweb 1 2f f f= − ( 1 2ω − ω )
Warum nicht durch 2 dividiert?
Der Sinus - Term beschreibt die Frequenz der resultierenden mittleren Fre-
quenz.
1 2Result
f ff
2+= ( 1 2
2ω + ω
)
http://www.walter-fendt.de/ph11d/schwebung.htm
Rechnung demonstrieren:
Stimmgabel: 1f 440Hz= , 2f 438Hz=
DialogMathe
Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13
4.3.2 Anwendung Physik lineare RückstellkraftUrsache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft
Resultierende der auf einen Körper wirkenden Kräfte und stets zur Ruhelage
hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungs
fähigen System ein lineares Kraftgesetz (
zu einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung).
Umgekehrt können wir aus dem Vorliegen einer harmonischen Schwingung
auf ein lineares Kraftgesetz schliessen.
Kreisbewegung:
2ZF m r= ω ⋅ (lineares Kraftgesetz:
Wenn wir dem Radius r eine Richtung geben
richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen
Federschwingung Eine Kugel (Masse
einer Feder (Federkonstante
Kugel wird aus der Ruhelage (Weg
0,4m nach rechts ausgelenkt und dann
aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.
Graphische Modellbildung
Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik
igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF
Anwendung Physik lineare Rückstellkraft Ursache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft
Resultierende der auf einen Körper wirkenden Kräfte und stets zur Ruhelage
hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungs
System ein lineares Kraftgesetz ( RF proportional y) vor, so kommt es
zu einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung).
Umgekehrt können wir aus dem Vorliegen einer harmonischen Schwingung
auf ein lineares Kraftgesetz schliessen.
Kreisbewegung: 2
Zv
F mr
= ⋅ mit v r= ω ⋅ folgt
(lineares Kraftgesetz: ZF proportional r)
Wenn wir dem Radius r eine Richtung geben, ist die Kraft entgegengesetzt g
richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen
Eine Kugel (Massem ) bewegt sich an
einer Feder (FederkonstanteD ). Die
Kugel wird aus der Ruhelage (Weg = 0)
0,4m nach rechts ausgelenkt und dann
aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.
resF D Weg= − ⋅
resFa
m= v 0=
Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik
125
Ursache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft RF . Sie ist die
Resultierende der auf einen Körper wirkenden Kräfte und stets zur Ruhelage
hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungs-
proportional y) vor, so kommt es
Umgekehrt können wir aus dem Vorliegen einer harmonischen Schwingung
ist die Kraft entgegengesetzt ge-
richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen 2ZF m r= − ω ⋅ .
F D Weg= − ⋅
v Weg 0,4=
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