LE6Skript2013 Trigo periodische...

Mathematik Lerneinheit 6Mathematik Lerneinheit 6Mathematik Lerneinheit 6Mathematik Lerneinheit 6

Trigonometrische Trigonometrische Trigonometrische Trigonometrische Funktionen Funktionen Funktionen Funktionen

Leitidee Leitidee Leitidee Leitidee Einheitskreis, Einheitskreis, Einheitskreis, Einheitskreis, periodische periodische periodische periodische FunktionenFunktionenFunktionenFunktionen,,,, Umkehrfunktion,Umkehrfunktion,Umkehrfunktion,Umkehrfunktion, SinusSinusSinusSinus---- und und und und KosinussatzKosinussatzKosinussatzKosinussatz,,,,

SchwingungenSchwingungenSchwingungenSchwingungen

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Das Buch der Natur ist in mathematischer Das Buch der Natur ist in mathematischer Das Buch der Natur ist in mathematischer Das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)Sprache geschrieben. (Galileo Galilei)

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Benno Frei ©2012/13Benno Frei ©2012/13Benno Frei ©2012/13Benno Frei ©2012/13

DialogMathe Inhaltsverzeichnis

INHALTSVERZEICHNIS

1 Leitidee periodische Funktionen ................................................................................................... 1

1.1 Definition am Einheitskreis ...................................................................................................... 4 1.2 Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant .................................................... 10 1.3 Erweiterung der Winkelfunktionen ...................................................................................... 16 1.4 Funktionsgraph der Winkelfunktionen ............................................................................... 27 1.5 Eigenschaften der Winkelfunktionen ................................................................................... 32 1.6 Umkehrfunktionen .................................................................................................................. 38 1.7 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens......................................................... 47 1.8 Trigonometrische Gleichungen ............................................................................................. 52 1.9 Repetitionstest trigonometrische Funktionen ..................................................................... 68

2 Berechnungen am beliebigen Dreieck ....................................................................................... 75

2.1 Sinussatz und Kosinussatz ..................................................................................................... 75 2.2 Geometrie Memos allgemeines Dreieck ............................................................................... 88

3 Die allgemeine Sinusfunktion..................................................................................................... 94

3.1 Funktionstransformationen Sinusfunktion.......................................................................... 95 3.2 Memo allgemeine Sinusfunktion ........................................................................................ 101 3.3 Dynamische Arbeitsblätter................................................................................................... 103 3.4 Anwendung Modellbildung ................................................................................................ 108 3.5 Anwendung Biorhythmen ................................................................................................... 111 3.6 Sinus als Polynom ................................................................................................................. 113

4 Anwendung Schwingungen ....................................................................................................... 114

4.1 Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung ................................................................ 114 4.2 Beispiele von Schwingungen ............................................................................................... 121 4.3 Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik .......................................................... 123

Das Buch der Natur ist in mathematischer Sprache geschrieben. (Galileo Galilei) Mathematik ist nicht alles. Aber ohne Mathematik ist alles nichts. DialogMathe © Mathematik Lerneinheit 6 Skript Trigonometrische Funktionen 2012/13 Leitidee Einheitskreis, periodische Funktionen, Umkehrfunktion, Sinus- und Kosinussatz Theorie, Übungen, Partnerinterviews, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen Von Benno Frei ©

Vorwort DialogMathe

I Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF

Zum Inhalt

Kapitel 1 Wir erweitern die am rechtwinkligen Dreieck gewonnenen trigonometrischen

Beziehungen auf beliebige Winkel. Dazu benutzen wir den Einheitskreis. Wir

studieren die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus

und Tangens. Dabei stehen uns zwei verschiedene Repräsentationsformen zur

Verfügung: Die Funktionsgraphen und die Darstellung am Einheitskreis. Die

Zusammenhänge zwischen den beiden Darstellungsformen ist für das Ver-

ständnis von entscheidender Bedeutung. Weiter studieren wir die Umkehr-

funktionen (Arcus-Funktionen) der trigonometrischen Funktionen.

Wir lernen Gleichungen zu lösen, in denen die Unbekannte in den trigono-

metrischen Funktionen vorkommen. Für dieses Unterfangen braucht es geeig-

nete Strategien und vor allem Kenntnisse von den Beziehungen zwischen den

Winkelfunktionen.

Kapitel 2 In diesem Kapitel führen wir Berechnungen am beliebigen Dreieck durch.

Dazu ist der Sinus- und Kosinussatz erforderlich. Es werden dir Strategien

vorgestellt, mit denen diese Berechnungen effizient durchgeführt werden

können. Bei diesen Problemstellungen entstehen Gleichungen oder

Gleichungssysteme, die wir mit Hilfe des Rechners lösen werden, wobei hier

ein behutsames Vorgehen angezeigt ist.

Kapitel 3 In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Sinusfunktion. Dabei können

wir die Regeln für die Funktionstransformationen anwenden.

Einige praxisorientierte Beispiele zeigen dir, wie die allgemeine Sinusfunktion

in der Modellbildung angewendet werden kann.

Kapitel 4 Technische Anwendung: Schwingungen. Wir erhalten eine harmonische

Schwingung durch die Projektion einer Kreisbewegung. Diese Tatsache zeigt

dir nochmals die Zusammenhänge zwischen den zwei Darstellungsformen

Einheitskreis und Funktionsgraph auf.

DialogMathe Definition am Einheitskreis

Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF 1

1 Leitidee periodische Funktionen

trigonometrische Funktionen, Bedeutung in der Technik Die trigonometrischen Funktionen spielen in der Technik und dort vor allem

zur Beschreibung von periodischen Vorgängen eine bedeutende Rolle.

Ihre Ursprünge reichen sehr weit zurück und im Gegensatz zu anderen

Funktionen liegen ihre Wurzeln deutlich im geometrischen Bereich. Unsere

Einführung in die trigonometrischen Funktionen wird ihrer geometrischen

Herkunft Rechnung tragen. Die elektromagnetischen Phänomene (siehe Ab-

bildung elektromagnetisches Spektrum, Seite 3), die unseren Alltag prägen,

lassen sich alle mit dem Modell der trigonometrischen Funktionen einheitlich

beschreiben (Schwingungen und Wellenausbreitung). Wellen können durch

ihre Wellenlänge λ, ihre Frequenz f und ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c

beschrieben werden. Dabei besteht bei allen Wellen zwischen diesen drei

Grössen der Zusammenhang: c f= λ ⋅ . Die Ausbreitungsgeschwindigkeit für

eine elektromagnetische Welle (z.B. Licht) beträgt in Luft 8 1c 3 10 ms−= ⋅ . In

der modernen Physik werden die Wellen auch als Energiepakete (Teilchen,

Quanten, Photonen) beschrieben: E h f= ⋅ , wobei 15h 4,14 10 eVs−= ⋅ das

Plancksche Wirkungsquantum ist. Die heutige Theorie der Materie und ihre

Wechselwirkungen werden durch die Quantenphysik beschrieben, die als

wesentliches Prinzip den sogenannten Welle-Teilchen Dualismus beinhaltet

(Licht ist sowohl Welle als auch Teilchen). Eine eindimensionale nach rechts

laufende Sinus-Welle kann durch die folgende Funktion beschrieben werden:

( ) ( )m2

y x,t y sin x c tπ = ⋅ ⋅ − ⋅ λ

http://www.walter-fendt.de/ph11d/emwelle.htm

Leitidee periodische Funktionen DialogMathe

2 Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF

Die elektrische Energie ist heute aus der Technik und dem alltäglichen Leben

nicht mehr wegzudenken. Durch das Induktionsgesetz können mittels

Generatoren Wechselspannungen erzeugt werden.

( ) ( )0 0U t U sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ wobei 2 fω = π ⋅ die Kreisfrequenz, 0ϕ die Phasen-

verschiebung und 0U die Amplitude sind.

http://www.walter-fendt.de/ph14d/generator.htm

Induktionsgesetz Periodische Bewegung einer Leiterschlaufe in einem Magnetfeld.

Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ induziert eine Spannung

indUt

∆Φ= −∆

(Änderungsrate des mag. Flusses = Spannung)

Leider bringen die Errungenschaften der Technik immer auch Nachteile mit

sich. Probleme wie Elektrosmog, Treibhauseffekt (IR-Strahlung), Ozonloch

(UV-Strahlung) und Radioaktivität (Gammastrahlung) sind heute ernstzu-

nehmenden Bedrohungen für unser Leben geworden.

Mathematische Modelle können uns Zusammenhänge aufzeigen und uns bei

einem ganzheitlichen Systemdenken behilflich sein. Dazu gehört auch die

Einsicht, dass die komplex vernetzten Probleme in der Praxis nicht nur durch

einseitiges technisches Denken und Handeln zu lösen sind, genauso wie die

Einsicht, dass fundierte Kenntnisse der Naturwissenschaften beim Suchen

nach optimalen Kompromissen unerlässlich sind.



Elektromagnetisches Spektrum



1.1 Definition am Einheitskreis

1.1.1 Definition Bogenmass

Unter dem Bogenmass eines Winkels verstehen wir die Masszahl der Länge

des zugehörigen Bogens auf dem Einheitskreis.

Die in der Dreieckslehre übliche Methode, Winkel in Graden zu messen, ist

für unsere Zwecke ungeeignet. Ein geeignetes Mass, Winkel durch Zahlen

und nicht durch Grade, zu messen, ist das Bogenmass. Die Grundidee liegt

dabei in der Beobachtung, dass jeder Winkel, im Mittelpunkt eines

vorgelegten Kreises angetragen, einen Ausschnitt des Kreisesbogens liefert.

Da allerdings ein Winkel bei verschieden grossen Kreisen unterschiedlich

grosse Bögen ausschneidet, ist eine Festlegung auf einen bestimmten Kreis

zwingend.

Einheitskreis

Zur Winkelmessung durch Bögen

werden wir daher stets einen Kreis

mit Radius 1 und Mittelpunkt im

Ursprung des Koordinatensystems

zugrunde legen, den sog.

Einheitskreis.

Jedem gemäss nebenstehender

Skizze eingetragenem Winkel α

kommt nun neben seinem

(orientierten) Gradmass α auch sein (orientiertes) Bogenmass ⌢

bα = , d.h. die

Länge des von ihm ausgeschnittenen Bogens, zu. Dabei bezieht sich der

Zusatz "orientiert" auf die Vereinbarung, dass im Gegenuhrzeigersinn

eingezeichnete Winkel positive Masszahlen haben, und Winkeln, die im

Uhrzeigersinn eingetragen sind, negative Masszahlen zukommen. Der Winkel

im Bogenmass ist eine Zahl und hat somit keine Einheit (Masszahl der

Bogenlänge). Um den Winkel im Bogenmass trotzdem mit einer Einheit

nennen zu können, wird das rad (Radiant) verwendet.

DialogMathe

Lerneinheit 6 | Trigonometrische Funktionen | 2012/13

1.1.2 Dynamisches Arbeitsblatt Bogenmass

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_Bogenmass Zeit: 10 Minuten

Wir beschreiben den Winkel

Da die Bogenlänge vom Radius abhängig ist, wählen wir einen Kreis mit dem

Radius r = 1 (Einheitskreis). Der Punkt B auf dem Einheitskreis lässt sich mit

der Maus bewegen. So kannst du den Winkel

Arbeitsaufträge:

1) Beim Vollwinkel Kreisumfang U. Speziell im Einheitskreis

Mach dir klar, dass der Quotient

verwendet werden kann.

2) Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass?

3) Verändere den Winkel

Bogenmass als Vielfache von 0150 , 0180

4) Welcher Winkel im Gradmass

5) Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt.

Definition am Einheitskreis

igonometrische Funktionen | 2012/13 | © BF

Dynamisches Arbeitsblatt Bogenmass

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_Bogenmass Zeit: 10 Minuten

Wir beschreiben den Winkel α mit Hilfe der Länge des Bogens



der Maus bewegen. So kannst du den Winkel α ändern.

Beim Vollwinkel 0360α = ist die Bogenlänge b 2 r U= π ⋅ =Kreisumfang U. Speziell im Einheitskreisb U 2= = π .

Mach dir klar, dass der Quotient b Bogenlänger Radius

= als Winkelmass für

verwendet werden kann.

Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass?

Verändere den Winkel α durch Bewegen von B. Gib folgende Winkel im

Bogenmass als Vielfache von π an: 018 , 030 , 045 , 060 , 900180 , 0210 , 0225 , 0240 , 0270 , 0300 , 0315 , 0330

Welcher Winkel im Gradmass gehört zum Winkel 1α =

Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt.


5

mit Hilfe der Länge des Bogens�AB : bα = .



b 2 r U= π ⋅ = gleich dem

als Winkelmass für α

Welche Dimension und welche Masseinheit hat das Bogenmass?

folgende Winkel im 090 , 0120 , 0135 ,

0330 , 0360 .

1.

Entwickle eine Umrechnungsformel für das Umrechnen eines Winkels



1.1.3 Übungen Bogenmass

Umrechnung

Die Umrechnungen vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt beruhen

auf einem Dreisatz.

Ein gestreckter Winkel 0180α = entspricht im Bogenmass dem halben Kreis-

umfang im Einheitskreis (r = 1): U 2 r2 2

π ⋅α = = = π .

Merke: o180 ( im Gradmass) ( im Bogenmass)α = π α

α (im Bogenmass) = o180

π ⋅ α (im Gradmass)

α (im Gradmass) = o180 ⋅ α

π (im Bogenmass)

Wichtige Winkel

Rechne die angegebenen Winkel vom Gradmass ins Bogenmass um.

Gib die Winkel als Vielfaches von π an.

Gradmass o0 o30 o45 o60 o90 o120 o135 o150

Bogenmass

Gradmass o180 o210 o225 o240 o270 o300 o315 o330 o360

Bogenmass

Gib die Winkel im Bogenmass an: 1) als Vielfaches von π , 2) als reelle Zahl

a) o10 b) o3 c) o67 d) o100

e) o0,5 f) o36,6 g) o155

Gib die Winkel im Gradmass an.

a) 2 rad b) 27 rad⋅ π c) 0,234 rad

d) 2 rad e) 227 rad f) 5

8 rad



1.1.4 Punkt P im ersten Quadrant

Winkel o o0 ; 90 α ∈ Wir betrachten rechtwinklige Dreiecke OBP, wobei die Ecke O im

Koordinatenursprung, die Ecke B auf der x-Achse und die Ecke P auf dem

Einkeitskreis liegen. Für solche Dreiecke gilt:

Länge der Hypotenuse OP 1=

Länge der Gegenkathete ( )BP sin= α

Länge der Ankathete ( )OB cos= α

Die Koordinaten des Punktes P betragen: ( ) ( )( )P cos | sinα α

Wir erhalten ein weiteres rechtwinkliges Dreieck OCD, indem wir den Strahl

OP mit der Tangente an den Einheitskreis im Punkt ( )C 1| 0 schneiden

(Schnittpunkt D). Für diese Dreiecke gilt:

Länge der Ankathete OC 1=

Länge der Gegenkathete ( )CD tan= α

Tangensträger

Der Tangens liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt ( )C 1| 0 .

Diese Tangente nennen wir Tangensträger.

Leitidee periodische Funktionen

8

1.1.5 Definition sinαααα und cosDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]Zeit: 10 Minuten

Schieberegler: Winkel 0 ; 90 α ∈

Da die Längen der Dreieckseiten keinen Einfluss auf die

haben (Strahlensatz!), platzieren wir das rechtwinklige Dreieck OBP in den

Einheitskreis (O im Koordinatenursprung, P auf d

x-Achse). Dadurch wird die Hypotenuse

Definitionen für

Gegenkathetesin( ) Gegenkathete y Koordinate des Punktes P

Hypotenuseα = = = −

Ankathetecos( ) Ankathete x Koordinate des Punktes P


Arbeitsaufträge:

1. Verändere den Winkel

des Punktes

2. Bestimme die Funktionswerte

3. Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel

(2 2sin cos 1α + α =


und cosαααα am Einheitskreis Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]Zeit: 10 Minuten

o o0 ; 90

Da die Längen der Dreieckseiten keinen Einfluss auf die Seitenverhältnisse


Einheitskreis (O im Koordinatenursprung, P auf dem Einheitskreis, B auf der

Achse). Dadurch wird die Hypotenuse OP 1= und wir erhalten aus den

Definitionen für sin( )α und cos( )α :

Gegenkathetesin( ) Gegenkathete y Koordinate des Punktes P


Ankathetecos( ) Ankathete x Koordinate des Punktes P


Verändere den Winkel o o0 ; 90 α ∈ und beobachte die Koordinaten

des Punktes ( ) ( ) ( )( )P x | y P cos | sin→ α α . Was stellst du fest?

Bestimme die Funktionswerte sin( )α , cos( )α für α =

Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel o o0 ; 90 α ∈

) ( )2 2sin cos 1α + α =

DialogMathe


GeoGebra: Definition_sin_cos_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]

Seitenverhältnisse


em Einheitskreis, B auf der

und wir erhalten aus den

sin( ) Gegenkathete y Koordinate des Punktes P

cos( ) Ankathete x Koordinate des Punktes P

und beobachte die Koordinaten

. Was stellst du fest?

o0α = und o90α = .

o o0 ; 90 gilt:

DialogMathe


1.1.6 Definition tanαααα am EinheitskreisDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_tan_am Einheitskreis [ 0 biZeit: 10 Minuten


Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete

Damit erhalten wir mit Hilfe der Definition des

Gegenkathetetan( ) Gegenkathete CD

Ankatheteα = = =

Tangensträger: Der tan( )α liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt

Arbeitsaufträge:

1. Verändere den Winkel

CD tan( )= α

2. Bestimme die Funktionswerte

otan(90 ) sagen?

3. Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel

( )tan α =



am Einheitskreis Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Definition_tan_am Einheitskreis [ 0 bis 90 ]Zeit: 10 Minuten

o o0 ; 90

Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete

Damit erhalten wir mit Hilfe der Definition des tan( )α :

Gegenkathetetan( ) Gegenkathete CD

Ankatheteα = = =

liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt

Verändere den Winkel o o0 ; 90 α ∈ und beobachte die Strecke

CD tan( )= α

Bestimme die Funktionswerte otan(0 ) . Was kannst du über den Wert

tan(90 ) sagen?

Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel o o0 ; 90 α ∈

( )( )

sincos

αα =

α Kommentiere: ( ) ((

osin 90

tan 90cos 90

=


9

s 90 ]

Im rechtwinkligen Dreieck OCD beträgt die Länge der Ankathete OC 1= .

liegt auf der Tangente an den Einheitskreis im Punkt ( )C 1| 0 .

und beobachte die Strecke

. Was kannst du über den Wert

o o0 ; 90 gilt:

))

o

o

sin 90

cos 90


10

1.2 Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant

Winkel o o0 ; 90 α ∈ : Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.

Da im rechtwinkligen

vorkommen, sind die trigonometrischen Funktionen bisher nur für spitze

Winkel definiert.

1.2.1 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus FunktionDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_ 0bis90_FunktionsgraphZeit: 10 Minuten

Bild links: Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten o o0 ; 90 α ∈

( )sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −

Bild rechts: Funktionsgraph der Sinusfunktion

Beachte: Der Winkel α ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. Der Winkel α =

Graph der Sinusfunktion: Dem Winkel

y-Koordinate des Punktes A zugeordnet.


Arbeitsaufträge: 1. Beobachte und beschreibe den

2. Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion.

Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten

( vgl. Gerade


Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant

Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.

Da im rechtwinkligen Dreieck ausser dem rechten Winkel nur spitze Winkel


Winkel definiert.

Dynamisches Arbeitsblatt Sinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten

sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −

Funktionsgraph der Sinusfunktion ( )sin α für Winkel α ∈

ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben. o60α = wird durch die Bogenlänge

3b πα = =

Sinusfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die

Koordinate des Punktes A zugeordnet.

o o0 ; 90 (Bogenlänge 2b 0 ; π ∈ )

Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von

Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion.

Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten ∆∆

( vgl. Gerade yxm konstant∆

∆= = , Steigung der Geraden)

DialogMathe



Dreieck ausser dem rechten Winkel nur spitze Winkel


Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten

sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis

o o0 ; 90 α ∈

ist sowohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben.

3π beschrieben.

(Bogenlänge b) wird die

Verlauf der Funktionswerte von ( )sin α .

Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Sinusfunktion.

yx

∆∆ erfasst werden

, Steigung der Geraden)

DialogMathe


1.2.2 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Bild links: Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten

o o0 ; 90 α ∈

( )cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −

Bild rechts:

Funktionsgraph der Kosinusfunktion

Beachte: Der Winkel α ist sDer Winkel α =

Graph der Kosinusfunktion: Dem Winkel x-Koordinate des Punktes A zugeordnet.

Schieberegler : Winkel 0 ; 90 α ∈

Arbeitsaufträge:

1) Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von

2) Beobachte und besch

Änderungsverhalten kann durch den Quotienten

(vgl. Gerade m konstant



Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten

cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −

Funktionsgraph der Kosinusfunktion ( )cos α für Winkel α ∈


3b πα = =

Graph der Kosinusfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die Koordinate des Punktes A zugeordnet.



Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Kosinusfunktion. Das

Änderungsverhalten kann durch den Quotienten yx


yxm konstant∆

∆= = , Steigung der Geraden)


11

Definition der Kosinusfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten

cos BC x Koordinate des Punktes A auf dem Einheitskreis

o o0 ; 90 α ∈

owohl im Gradmass als auch im Bogenmass angegeben.

3π beschrieben.

(Bogenlänge b) wird die

Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von ( )cos α .

reibe das Änderungsverhalten der Kosinusfunktion. Das

erfasst werden


12

1.2.3 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin und cos_0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Verlauf der Sinus- und Kosinusfunktion

Bild links: ( )sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −


Bild rechts: Funktionsgraph der Kosinusfunktion

Funktionsgraph der Sinusfunktion


Arbeitsaufträge:

1) Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen.

2) Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Bedeutung hat diese Symmetrie?

3) Begründe die Identität:

ist für alle Winkel

rechts (Funktionsgraphen) oder das Bild links (Drebenützen!


Dynamisches Arbeitsblatt Sinus- und Kosinusfunktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin und cos_0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

und Kosinusfunktion



Funktionsgraph der Kosinusfunktion ( )cos α für Winkel α ∈

Funktionsgraph der Sinusfunktion ( )sin α für Winkel α ∈


Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen.

Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Bedeutung hat diese Symmetrie?

Begründe die Identität: ( ) ( )osin cos 90α = − α (Identität = Aussage, die wahr

ist für alle Winkel o o0 ; 90 α ∈ . Für die Begründung kannst du das Bild

rechts (Funktionsgraphen) oder das Bild links (Dreieck ABC im Einheitskreis)

DialogMathe




o o0 ; 90 α ∈ o o0 ; 90 α ∈

Interpretiere den Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen.

Findest du eine Symmetrie zwischen den beiden Funktionsgraphen. Welche

(Identität = Aussage, die wahr

. Für die Begründung kannst du das Bild

ieck ABC im Einheitskreis)

DialogMathe


1.2.4 Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Bild links: Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten o o0 ; 90 α ∈ . Der Strahl [BA durch

im Punkt H.

Bild rechts: Funktionsgraph der Tangensfunktion

Beachte: Der Winkel α ist sowohl im GradmassDer Winkel α =

Graph der Tangensfunktion: Dem Winkel ordinate des Punktes H


Arbeitsaufträge: 1) Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von

2) Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion.

Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten

(vgl. Gerade



Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten . Der Strahl [BA durch α definiert schneidet den Tangensträger

im Punkt H. ( )tan DH y Koordinate des Punktes Hα = = −

Funktionsgraph der Tangensfunktion ( )tan α für Winkel α ∈


3b πα = =

Graph der Tangensfunktion: Dem Winkel α (Bogenlänge b) wird die y ordinate des Punktes H auf dem Tangensträger zugeordnet.



Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion.

Das Änderungsverhalten kann durch den Quotienten yx

∆∆

(vgl. Gerade yxm konstant∆

∆= = , Steigung der Geraden).


13

Definition der Tangensfunktion am Einheitskreis im 1. Quadranten

definiert schneidet den Tangensträger

tan DH y Koordinate des Punktes H

o o0 ; 90 α ∈

als auch im Bogenmass angegeben.

3π beschrieben.

(Bogenlänge b) wird die y – Ko-auf dem Tangensträger zugeordnet.

Beobachte und beschreibe den Verlauf der Funktionswerte von ( )tan α .

Beobachte und beschreibe das Änderungsverhalten der Tangensfunktion. yx


, Steigung der Geraden).


14

1.2.5 Dyn. Arbeitsblatt Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Verlauf der Sinus- Kosinus- und Tangensfunktion

Bild links: ( )sin CA y Koordinate des Punktes A auf dem Einheitα = = −


( )tan DH y Koordinate des Punktes H auf dem Tangensα = = −

Bild rechts: Funktionsgraph


Arbeitsaufträge: 1) Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität:

( ) sintan

cosα =

2) Beobachte den Verlauf von

3) Analysiere:


Dyn. Arbeitsblatt Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

und Tangensfunktion



tan DH y Koordinate des Punktes H auf dem Tangensα = = −

Funktionsgraph ( )sin α , ( )cos α und ( )tan α für Winkel α ∈o o0 ; 90 (Bogenlänge

2b 0 ; π ∈ )

Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität: ( )( )

sincos

αα

.

Beobachte den Verlauf von ( )sin α und ( )tan α für kleine Winkel

Analysiere: ( ) ( ) (o osin cos 45 tan 45 1α = α ⇒ α = ⇒

DialogMathe


GeoGebra Datei: sin_cos und tan_ 0bis90_Funktionsgraph



tan DH y Koordinate des Punktes H auf dem Tangensträger

o o0 ; 90 α ∈

Interpretiere den Verlauf der Tangensfunktion mit Hilfe der Identität:

für kleine Winkel α .

)o osin cos 45 tan 45 1=

DialogMathe Funktionsgraph der Winkelfunktionen im 1. Quadrant


Erweiterung der Winkelfunktionen auf beliebige Winkel

Die Definitionen der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen

Dreieck lassen sich nun so erweitern, dass diese für beliebige Winkel definiert

sind.

Durch die Definition am Einheitskreis werden die Winkelfunktionen als

Koordinaten des Punktes ( ) ( )( )P cos | sinα α definiert. Im ersten Quadranten

sind die Koordinaten x und y positiv.

Eine erweiterte Definition ermöglicht, dass der Punkt P in einem beliebigen

Quadranten liegt. Dabei gelten die gleichen Definitionen wie im 1. Quadrant,

wobei jetzt die Koordinaten auch negativ sein können.



1.3 Erweiterung der Winkelfunktionen

Punkt P im zweiten Quadrant

Winkel o o90 ;180 α ∈

Punkt P im dritten Quadrant

Winkel o o180 ; 270 α ∈

Punkt P im vierten Quadrant

Winkel o o270 ; 360 α ∈

DialogMathe


1.3.1 Dyn. Arbeitsblatt Definition am

Dynamisches Arbeitsblatt Definition TrigoFunktion Einheitskreis [90 bis 360]Zeit: 10 Minuten

Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.

sin( ) y Koordinate des Punktes Pα = −

cos( ) x Koordinate des Punktes Pα = −

tan( ) y Koordinate des Punktes D auf dem Tα = −


Arbeitsaufträge: 1) Verändere den Winkel

des Punktes

Punktes D auf dem Tangensträger. Was stellst du fest bezüglich Vorzeichen?

2) Betrachte die Funktionswerte für kreis.

3) Wie kannst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B. 0135α = am Einheitskreis berechnen?

4) Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel

(1) ( )2 2sin cos 1α + α =

(2) ( )tan α =

Erweiterung der Winkelfunktionen


Dyn. Arbeitsblatt Definition am Einheitskreis [ 90 bis 360 ]

Dynamisches Arbeitsblatt Definition TrigoFunktion Einheitskreis [90 bis 360] Zeit: 10 Minuten

Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.

sin( ) y Koordinate des Punktes P cos( ) x Koordinate des Punktes P tan( ) y Koordinate des Punktes D auf dem Tangensträger

0 00 ; 360

Verändere den Winkel 0 00 ; 360 α ∈ und beobachte die Koordinaten

des Punktes ( ) ( ) ( )( )P x | y P cos | sin→ α α sowie die y

Punktes D auf dem Tangensträger. Was stellst du fest bezüglich Vorzeichen?

Betrachte die Funktionswerte für 0 0 0 0 00 ,90 ,180 ,270 ,360α =

nst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B. am Einheitskreis berechnen?

Verifiziere und begründe: Für jeden Winkel 0 00 ; 360 α ∈

) ( )2 2sin cos 1α + α =

( )( )

sincos

αα =

α

Erweiterung der Winkelfunktionen

17

angensträger

und beobachte die Koordinaten

sowie die y-Koordinate des

0 0 0 0 00 ,90 ,180 ,270 ,360 am Einheits-

nst du die trigonometrischen Funktionen für spezielle Winkel z.B.

0 00 ; 360 gilt:



MERKE:

Wenn du nicht mehr weiter weisst, dann zeichne dir einen Einheitskreis!

1.3.2 Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen

1. Quadrant

20 ; π α ∈

2. Quadrant

2 ;π α ∈ π

3. Quadrant 32; π α ∈ π

4. Quadrant 32 ; 2π α ∈ π

( )sin α + + – – ( )cos α + – – + ( )tan α + – + –

1.3.3 Exakte Werte für spezielle Winkel [ 90 bis 360 ]

Beispiel 0150α =

( )0sin 150 12=

( )0 3cos 150 2= −

( ) ( )0

33

3

tan 150 1 221

3

= ⋅ −

= − = −

DialogMathe Erweiterung der Winkelfunktionen


1.3.4 Partnerinterview Definition der trigonometrischen Funktionen

Partnerinterview Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen Zeit: 10 Minuten

Wie sind ( )sin α , ( )cos α und ( )tan α am Einheitskreis definiert?

Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen. Fülle die Tabelle aus!

1. Quadrant 0 00 ; 90 α ∈

2. Quadrant 0 090 ;180 α ∈

3. Quadrant 0 0180 ; 270 α ∈

4. Quadrant 0 0270 ; 360 α ∈

( )sin α

( )cos α

( )tan α



1.3.5 Partnerinterview exakte Werte für spezielle Winkel 90 bis 360

Partnerinterview Exakte Werte für spezielle Winkel [ 90 bis 360 ] Zeit: 10 Minuten

2. Quadrant: (Fülle die Tabelle aus!)

0120α = 0135α = 0150α = 0180α =

( )sin α

( )cos α

( )tan α




0210α = 0225α = 0240α = 0270α =

( )sin α

( )cos α

( )tan α




0300α = 0315α = 0330α = 0360α =

( )sin α

( )cos α

( )tan α



1.3.6 Repetitionstest

Repetitionstest Winkelfunktionen Was muss ich können?

• Ich kenne die Definition von Sinus, Kosinus und Tangens im

Einheitskreis.

• Ich kann zu einem gegebenen Winkel die Vorzeichen der

Winkelfunktionen ablesen.

• Ich kann für spezielle Winkel die exakten Werte für Sinus, Kosinus

und Tangens am Einheitskreis berechnen.

• Ich verstehe, warum es zu einem gegebenen Sinus-, Kosinus- oder

Tangenswert immer zwei mögliche Winkel (zwischen 0° und 360°)

gibt.

( )sin 12α =

01 30→ α = und

02 150→ α =

Allgemein:

1→ α = α 0

2 180→ α = − α

( ) ( )0sin sin 180α = − α

Analog:

( )cos 12α =

01 60→ α = und

0 02 60 300→ α = − =

Allgemein:

1→ α = α

2→ α = −α

( ) ( )cos cosα = −α

( )tan 1α =

01 45→ α =

02 225→ α =

Allgemein:

1→ α = α 0

2 180→ α = α +

( ) ( )0tan tan 180α = α +



1.3.7 Beziehungen durch Überlegung am Einheitskreis

( ) ( )0sin 90 cos− α = α

( ) ( )0cos 90 sin− α = α

( ) ( )0 1

tan 90tan

− α =α

Beispiel:

( ) ( )0cos 90 sin− α = α

Dreieck DCO

ist deckungsgleich mit

Dreieck OAB

( ) ( )0sin 180 sin− α = α

( ) ( )0cos 180 cos− α = − α

( ) ( )0tan 180 tan− α = − α

( ) ( )sin sin−α = − α

( ) ( )cos cos−α = α

( ) ( )tan tan−α = − α

Es gibt noch viele andere Beziehungen, die wir direkt am Einheitskreis

ablesen können, welche aber nicht alle aufgeführt werden.

Zum Beispiel : ( ) ( )0cos 270 sin− α = − α

Diese Beziehungen können auch mit Hilfe der Funktionsgraphen überlegt

werden (siehe Kapitel 1.4)!

1.3.8 Übungen

Vereinfache mit Hilfe des Einheitskreises für 0 00 90≤ α ≤

a) ( )0cos 90α +



b) ( )0sin 270 + α

c) ( )0tan 180 + α

d) ( )0cos 270 + α

e) ( )0sin 360 − α



f) ( )0sin 180 + α

g) ( )0sin 180α −

h) ( )0cos 180− − α

i) ( )0tan 180 + α

DialogMathe


1.4 Funktionsgraph der Winkelfunktionen

1.4.1 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus FunktionDynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Die y-Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der

Bogenlänge (Winkel

des Punktes P ergibt sich die dargestellte Sinusfunktion für den

Definitionsbereich


Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von

beobachte das Vorzeichen von

im Funktionsgraph.2) Bestimme den Wertebereich der Sinusfunktion.3) Bestimme die Nullstellen der Sinusfunktion.4) Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Min

mums (Tiefpunkt) der Sinusfunktion.5) Untersuche den Gr

und interpretiere die Situation am Einheitskreis.z.B. Symmetrieachse

Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheit Es gilt: sin sin

6) Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Sinusfunktion anschliessend.

Funktionsgraph der Winkelfunktionen



Dynamisches Arbeitsblatt Sinus Funktion Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der

Bogenlänge (Winkel α im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf


Definitionsbereich [ ]0 ; 2α ∈ π

o o0 ; 360 im Gradmass

Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte das Vorzeichen von ( )sin α sowohl am Einheitskreis als auch

im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Sinusfunktion. Bestimme die Nullstellen der Sinusfunktion. Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Minmums (Tiefpunkt) der Sinusfunktion. Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. z.B. Symmetrieachse

2πα = , die gespiegelten Funktionswerte des ersten

Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheitskreis wird P an der y-Achse gespiegelt.

( ) ( )sin sinα = π − α .

Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Sinusfunktion anschliessend.


27


im Bogenmass) dargestellt. Für einen vollen Umlauf


bis o360α = und sowohl am Einheitskreis als auch

Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Mini-

und Punktsymmetrien)

, die gespiegelten Funktionswerte des ersten

Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten.

Präge dir die Sinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und


28

1.4.2 Dynamisches Arbeitsblatt Kosinus Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Die x-Koordinate des Punktes P am Einheitskreis wird als Funktion der

Bogenlänge (Winkel

des Punktes P ergibt sich die dargestellte Kosinusfunktion für den

Definitionsbereich


Arbeitsaufträge

1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von beobachte das Vorzeichen von

im Funktionsgraph.2) Bestimme den Wertebereich der 3) Bestimme die Nullstellen der Kosinusfunktion.4) Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Min

mums (Tiefpunkt) der Kosinusfunktion.5) Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen

und interpretiere die Situaz.B. Punktsymmetrie bei

ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Am Einheitskreis wird P an der yEs gilt: cos cos

6) Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.


Arbeitsblatt Kosinus Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten




Definitionsbereich [ ]0 ; 2α ∈ π


Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte das Vorzeichen von ( )cos α sowohl am Einheitskreis als auch

im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Kosinusfunktion. Bestimme die Nullstellen der Kosinusfunktion. Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Minmums (Tiefpunkt) der Kosinusfunktion. Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. z.B. Punktsymmetrie bei

2πα = , die gespiegelten Funktionswerte des er

ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten. Einheitskreis wird P an der y-Achse gespiegelt.

( ) ( )cos cosα = − π − α .

Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.

DialogMathe






Bestimme die Koordinaten des Maximums (Hochpunkt) und des Mini-


, die gespiegelten Funktionswerte des ers-

ten Quadranten ergeben die Funktionswerte im 2. Quadranten.

Präge dir die Kosinusfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Kosinusfunktion anschliessend.

DialogMathe


1.4.3 Dynamisches Arbeitsblatt Sinus und Kosinus Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Zusammenhänge der Sinusfunktion und Kosinusfunktion


Arbeitsaufträge

1) Für die Darstellung dtes P um 90Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die Sinusfuntion und Kosinusfunktion?

2) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von beobachte den Verlauf von

als auch im Funktionsgraph.

3) Für welche

heitskreis.

4) Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse

4πα = oder

Aus dieser Achsensymmetrie

( )sin cosα = − α

5) Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die

KosinusfunktionGleichung.

Funktionsgraph


Dynamisches Arbeitsblatt Sinus und Kosinus Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt bra Datei: sin_cos_0bis360_Funktionsgraph

Zeit: 10 Minuten

Zusammenhänge der Sinusfunktion und Kosinusfunktion


Für die Darstellung der Kosinusfunktion wird die x-Koordinate des Puno90 gedreht und so als y-Wert dargestellt.

Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die Sinusfuntion und Kosinusfunktion?

Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte den Verlauf von ( )sin α und ( )cos α sowohl am Einheitskreis

als auch im Funktionsgraph.

Für welche α gilt ( ) ( )sin cosα = α ? Interpretiere die Situation am Ei

Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse

oder 54πα = so erhalten wir den Graph der Kosinusfunktion.

Aus dieser Achsensymmetrie ( 4πα = ) ergibt sich die Eigenschaft:

( )2sin cos πα = − α

Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die Kosinusfunktion erhalten. Formuliere diesen Sachverhalt mit Hilfe einer


29

Koordinate des Punk-

Welcher Zusammenhang ergibt sich aus dieser Tatsache für die Sinusfunk-

bis o360α = und sowohl am Einheitskreis

? Interpretiere die Situation am Ein-

Verifiziere: Spiegeln wir den Graphen der Sinusfunktion an der Achse

so erhalten wir den Graph der Kosinusfunktion.

) ergibt sich die Eigenschaft:

Wie muss der Graph der Sinusfunktion verschoben werden, damit wir die erhalten. Formuliere diesen Sachverhalt mit Hilfe einer


30

1.4.4 Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Die y-Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der

Bogenlänge (Winkel

des Punktes P ergibt sich die dargestellte Tangensfunktion für den

Definitionsbereich

2πα = und α =


Arbeitsaufträge 1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von

beobachte das Vorzeichen von

im Funktionsgraph.2) Bestimme den Wertebereich der Tangensfunktio3) Bestimme die Nullstellen der Tangensfunktion.

4) Warum ist die Tangensfunktion an den Stellen

definiert? 5) Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen

und interpretiere die 6) Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die

Tangenswerte?7) Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und

skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.


Dynamisches Arbeitsblatt Tangens Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der



Definitionsbereich [ ]0 ; 2α ∈ π , wobei die Tangensfunktion an den Stellen

32πα = nicht definiert ist.


Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte das Vorzeichen von ( )tan α sowohl am Einheitskreis als auch

im Funktionsgraph. Bestimme den Wertebereich der Tangensfunktion. Bestimme die Nullstellen der Tangensfunktion.

Warum ist die Tangensfunktion an den Stellen 2πα = und

Untersuche den Graph auf Symmetrien (Achsen- und Punktsymmetrien) und interpretiere die Situation am Einheitskreis. Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die Tangenswerte? Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.

DialogMathe


Koordinate des Punktes T auf dem Tangensträger wird als Funktion der



, wobei die Tangensfunktion an den Stellen


und 32πα = nicht


Periodizität: Nach welchem Winkelintervall wiederholen sich die

Präge dir die Tangensfunktion zusammen mit dem Einheitskreis ein und skizziere den Graph der Tangensfunktion anschliessend.

DialogMathe


1.4.5 Dyn. Arbeitsblatt Sinus,

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten

Zusammenhang Sinusfunktion, Kosinusfunktion und Tangensfunktion


Arbeitaufträge

1) Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von beobachte den Verlauf von

Einheitskreis als auch im Funktionsgraph.

2) Für kleine αnahe beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis.

3) Verifiziere folgende Aussagen: a) Die Nullstellen der Sin

Tangensfunktion.b) Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion

nicht definiert.c) An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und

Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1. Wie hängen

Gib eine Gleichung an.



Dyn. Arbeitsblatt Sinus, Kosinus und Tangens Funktion

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_cos_tan_0bis360_Funktionsgraph Zeit: 10 Minuten



Drehe den Punkt P auf dem Einheitskreis von o0α = bis beobachte den Verlauf von ( )sin α , ( )cos α und ( )tan αEinheitskreis als auch im Funktionsgraph.

α verlaufen die Graphen der Sinus – und Tangensfunktion beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis.

Verifiziere folgende Aussagen: Die Nullstellen der Sinusfunktion sind auch Nullstellen der Tangensfunktion. Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion nicht definiert. An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1.

hängen ( )sin α , ( )cos α und ( )tan α zusammen.

eine Gleichung an.


31


bis o360α = und )α sowohl am

und Tangensfunktion beieinander. Erkläre diesen Sachverhalt am Einheitskreis.

usfunktion sind auch Nullstellen der

Bei den Nullstellen der Kosinusfunktion ist die Tangensfunktion

An der Stelle, wo sich der Graph der Sinusfunktion und Kosinusfunktion schneiden, hat die Tangensfunktion den Wert 1.

zusammen.


32

1.5 Eigenschaften der Winkelfunktionen

1.5.1 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus Zeit: 10 Minuten

Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler:

Winkel o o0 ; 360 α ∈

Winkel o o0 ; 360 β ∈

Winkel o o0 ; 180 γ ∈ −

Arbeitsaufträge

Untersuche die Achsen

Verifiziere die folgenden Gleichungen und gib

1) ( )sin sin−α = − α

2) ( )sin sinπ − α = α

3) ( )sin sinπ + α = −α

4) ( )sin sinπ − α = − π + α

Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle

Einheitskreis als auch im Funktionsgraph abgeklärt werden. Benutze jeweils

die Darstellungsform, die dir am besten zusagt.


Eigenschaften der Winkelfunktionen

Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt Datei: Eigenschaften_Sinus

Zeit: 10 Minuten

Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph

o o0 ; 360 bewegt Punkt Pα auf dem Einheitskreiso o0 ; 360 bewegt Punkt Pβ auf dem Einheitskreiso o0 ; 180 γ ∈ − bewegt Punkt Pγ auf dem Einheitskreis

Untersuche die Achsen- und Punktsymmetrien im Funktionsgraph.

e folgenden Gleichungen und gib jeweils die Symmetrie an.

( )sin sin−α = − α

( )sin sinπ − α = α

( )sin sinπ + α = −α

( )sin sinπ − α = − π + α

Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am



DialogMathe


Eigenschaften der Sinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph

auf dem Einheitskreis



Funktionsgraph.

jeweils die Symmetrie an.

) können sowohl am


DialogMathe


1.5.2 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Zeit: 10 Minuten

Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler:



Winkel o o0 ; 180 γ ∈ −

Arbeitsaufträge

Untersuche die Achsen


1) ( )cos cos−α = α

2) ( )cos cosπ − α = − α

3) ( )2 2cos cosπ π− α = − + α

4) ( )2 2cos cosπ π+ α = − α

Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle





Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Kosinus Zeit: 10 Minuten

Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph


Untersuche die Achsen - und Punktsymmetrien im Funktionsgraph.


( )cos cos−α = α

( )cos cosπ − α = − α

( )2 2cos cosπ π− α = − + α

) ( )32 2cos cosπ π+ α = − α

Die vier Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am




33

Eigenschaften der Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph




Funktionsgraph.


) können sowohl am



34

1.5.3 Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus und KosinusZeit: 10 Minuten

Zusammenhang der Sinus- Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph Schieberegler:



Winkel o o0 ; 180 γ ∈ −

Arbeitsaufträge A) Ungleichungen: Für welche Winkel

B) Untersuche Achsensymmetrien und Verschiebungen im Funktionsgraph.


1) (cos 90 sin

2) (sin 90 cos

3) (sin 180 cos 270

4) (cos 180 sin 270

5) (sin 90 cos

6) (cos 90 sin sin

Die 6 Identitäten (Gleichungen gelten für alle




Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Eigenschaften_Sinus und Kosinus Zeit: 10 Minuten

Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph


A) Ungleichungen: Für welche Winkel o o0 ; 360 α ∈ gilt:



( ) ( )0cos 90 sin− α = α

( ) ( )0sin 90 cos− α = α

( ) ( )0 0sin 180 cos 270+ α = − α

( ) ( )0 0cos 180 sin 270+ α = − α

( ) ( )0sin 90 cosα + = α

( ) ( ) ( )0cos 90 sin sinα + = − α = − α

Die 6 Identitäten (Gleichungen gelten für alle α ) können sowohl am



DialogMathe


Dynamisches Arbeitsblatt Eigenschaften Sinus und Kosinus

Kosinusfunktion am Einheitskreis und im Funktionsgraph

Einheitskreis



( ) ( )sin cosα ≥ α



) können sowohl am


DialogMathe Eigenschaften der Winkelfunktionen


1.5.4 Überblick: Eigenschaften sincos- und tan-Funktion Winkelfunktion

Sinusfunktion

Kosinusfunktion

Tangensfunktion

Definitionsbereich

D R=

D R=

D R= { }2 kπ + ⋅ π

k Z∈ Asymptoten (*)

2x kπ= + ⋅ π

Wertebereich

[ ]W 1;1= −

[ ]W 1;1= −

W R=

Symmetrie zum Koordinatensystem

( ) ( )sin x sin x− = −

Punktsymmetrie zum Ursprung

( ) ( )cos x cos x− =

Achsensymmetrie zur y-Achse

( ) ( )tan x tan x− = −

Punktsymmetrie zum Ursprung

Periodizität (k Z∈ )

( ) ( )sin x k 2 sin x+ ⋅ π =

Periodenlänge 2π

( ) ( )cos x k 2 cos x+ ⋅ π =

Periodenlänge 2π

( ) ( )tan x k tan x+ ⋅ π =

Periodenlänge π

Nullstellen (k Z∈ )

( )sin k 0⋅ π =

kx k= ⋅ π

( )2cos k 0π + ⋅ π =

k 2x kπ= + ⋅ π

( )tan k 0⋅ π =

kx k= ⋅ π

Hochpunkte (k Z∈ )

( )2sin k 2 1π + ⋅ π =

( )k 2H k 2 | 1π + ⋅ π

( )cos k 2 1⋅ π =

( )kH k 2 | 1⋅ π

keine

Tiefpunkte (k Z∈ )

( )2sin k 2 1π− + ⋅ π = −

( )k 2T k 2 | 1π− + ⋅ π −

( )cos k 2 1π + ⋅ π = −

( )kT k 2 | 1π + ⋅ π −

keine

(*) Asymptote Eine Asymptote ist eine Gerade, an die sich die Funktion immer enger an-schmiegt, sie aber nie schneidet.

tan(x) besitzt zum Beispiel die Asymptote 2x π= , d.h. die Tangensfunktion

schmiegt sich beliebig nahe an die Gerade 2x π= (Senkrechte zur x-Achse).



1.5.5 Repetition: Eigenschaften einer Funktion f

Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion ( )y f x= sind jene Stellen (also x – Koordina-

ten), an denen der Funktionsgraph die x – Achse schneidet oder berührt. D. h.

es gilt: ( )y f x 0= =

Monotonieverhalten

Gilt für zwei beliebige Stellen 1 2x , x eines Intervalls I mit der Eigenschaft

1 2x x< , dass stets ( ) ( )1 2f x f x< , so heisst f in I streng monoton steigend. Ist

dagegen stets ( ) ( )1 2f x f x> , so heisst f in I streng monoton fallend.

Symmetrieverhalten Wir befassen uns mit zwei Fällen:

a) Der Funktionsgraph ist symmetrisch bzgl. der y-Achse.

Eine solche Funktion heisst gerade Funktion.

b) Der Funktionsgraph ist punktsymmetrisch bzgl. des Koordinatenur-

sprungs. Eine solche Funktion heisst ungerade Funktion.

Eine Funktion ( )y f x= ist genau dann

gerade, wenn ( ) ( )f x f x− =

ungerade, wenn ( ) ( )f x f x− = −

Periodizität

Eine Funktion ( )f x heisst periodisch mit der Periode p, wenn ( ) ( )f x p f x+ = .

Allgemein: ( ) ( )f x k p f x+ ⋅ = mit k Z∈

Minimum und Maximum

Eine Funktion ( )f x besitzt an der Stelle 0x ein lokales Maximum ( )0f x bzw.

ein lokales Minimum ( )0f x , wenn für alle 0x x≠ in einer Umgebung von

0x gilt: ( ) ( )0f x f x> bzw. ( ) ( )0f x f x< .

Lokales Maximum: Hochpunkt mit den Koordinaten ( )( )0 0x | f x

Lokales Minimum: Tiefpunkt mit den Koordinaten ( )( )0 0x | f x

DialogMathe Eigenschaften der Winkelfunktionen


1.5.6 Partnerinterview Eigenschaften der trigo. Funktionen

Partnerinterview Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Zeit: 20 Minuten

Frage 1: Was ist eine Nullstelle?

Gib die Nullstellen der folgenden Funktionen im Intervall [ ]x 0 ; 2∈ π an.

( )sin x

( )cos x

( )tan x

Frage 2: Was verstehen wir unter Monotonieverhalten? Gib ein Intervall I an, in dem folgendes Monotonieverhalten für die Funktion gilt. Das Intervall I soll möglichst gross und nahe am Ursprung des Koordina-tensystems sein.

( )sin x ist streng monoton steigend

( )cos x ist streng monoton fallend

( )tan x ist streng monoton steigend

Frage 3: Was verstehen wir unter Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie? Was kannst du bezüglich Symmetrie durch die folgenden Eigenschaften der Funktionen aussagen?

( ) ( )sin x sin x− = −

( ) ( )cos x cos x− =

( ) ( )tan x tan x− =

Frage 4: Was verstehen wir unter Periodizität?

( ) ( )sin x p sin x+ = , bestimme die Periode p.

( ) ( )cos x p cos x+ = , bestimme die Periode p.

( ) ( )tan x p tan x+ = , bestimme die Periode p.

Frage 5: Was verstehen wir unter Minimum bzw. Maximum? Gib die Hochpunkte bzw. Tiefpunkte der folgenden Funktionen im Intervall

[ ]x 0 ; 2∈ π an.

( )sin x

( )cos x

( )tan x



1.6 Umkehrfunktionen

Umkehrung der Sinusfunktion

Zu jedem Winkel x R∈ gibt es genau einen Sinuswert y. Wir fragen uns nun

umgekehrt, wie wir von einem vorgegebenen Sinuswert y zurück zum Winkel

x kommen. Mit dem Rechner gelingt dies bekanntlich wie folgt:

( ) ( )1y sin x x sin y−= → = ( oder auch : ( )x arcsin y= )

Beispiel ( ) ( )0sin x 0,8 x 0,927 53,1= → = =

Obwohl es unendlich viele Winkel zu einem Sinuswert gibt, errechnet der

Rechner nur einen einzigen. Es ist immer ein spitzer Winkel, der im Intervall

0 02 2; 90 ; 90π π − = − liegt. Die so definierte Funktion, die dem Rechner

zugrunde liegt, heisst Arcussinusfunktion.

1.6.1 Die Arcussinusfunktion

Die Arcussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall

2 2;π π − eingeschränkten Sinusfunktion, wo diese streng monoton steigend

und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcussinusfunktion ergibt sich

durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden).

Wir schreiben: ( )y arc sin x=

Definitionsbereich [ ]1;1− ; Wertebereich 2 2;π π −

DialogMathe


1.6.2 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereic

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten

Schieberegler : r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seiteb: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b (

d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d (

Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen ScDamit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden.

Arbeitsaufträge:

1) Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es

2) Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinusfunktion hat.

3) Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dassmit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.


Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: sin_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten

r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite

Verschiebung der horizontalen Geraden y = b ( [ ]b 1;1∈ −d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d ( [ ]d 1;1∈ − )

Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden.

Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt.

Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinusfunktion hat.

Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dassmit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.

Umkehrfunktionen

39

hs Sinus

r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seite l : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite

]b 1;1 )

Die Sinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden

Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den

Schränke den Definitionsbereich der Sinusfunktion mit den Schieberegler r

Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten

Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.


40

1.6.3 Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arcsin_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten

Schieberegler: 0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet

• Einschränkung der Sinusfunktion• Spiegelachse• Umkehrfunktion• Wertebereich• Definitionsbereich

Beantworte folgende Fragen:

1) Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt weden?

2) In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1

3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?

4) Wie erhältst du die Arcussinusfunktion?Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der ArcussiSchieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1


Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Sinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arcsin_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten

0: ausgeblendet ; 1: eingeblendet

Einschränkung der Sinusfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich


Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt we

In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1

Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?

Wie erhältst du die Arcussinusfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

den Definitionsbereich und Wertebereich der ArcussiSchieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1

DialogMathe


Warum muss die Sinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt wer-

In welchem Intervall wird die Sinusfunktion umgekehrt?


Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcussinusfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1

DialogMathe Umkehrfunktionen


( )x sin x֏ [ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π

Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall ;2 2π π −

.

( )x arc sin x֏ [ ]D 1 ; 1 ; W ;2 2π π = − = −

Achtung! Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel o180β = − α

kann auch eine Lösung sein, denn es gilt ( ) ( )osin sin 180α = − α

1.6.4 Die Arcuskosinusfunktion

Die Arcuskosinusfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall

[ ]0 ; π eingeschränkten Kosinusfunktion, wo diese streng monoton fallend

und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcuskosinusfunktion ergibt sich

durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden).

Wir schreiben: ( )y arccos x=

Definitionsbereich [ ]1;1− ; Wertebereich [ ]0 ; π

( )x cos x֏ [ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π

Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall [ ]0 ; π .

( )x arccos x֏ [ ] [ ]D 1 ; 1 ; W 0 ;= − = π

Erhalten wir vom Rechner den Winkel α , so kann der negative Winkel − α

auch eine Lösung sein, denn es gilt ( ) ( )cos cosα = −α


42

1.6.5 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten

Schieberegler : r: Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seiteb: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b (

d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d (

Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schne

Arbeitsaufträge:

1) Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt.

2) Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen funktion hat.

3) Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.


Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: cos_Einschränkung Definitionsbereich Zeit: 5 Minuten

Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seitel : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seiteb: Verschiebung der horizontalen Geraden y = b ( [ ]b 1;1∈ −d: Verschiebung der vertikalen Geraden x = d ( [ ]d 1;1∈ − )

Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden y = b auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt hat. Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den Graph der Umkehrfunktion nur einmal schneiden.

Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r und l so ein, dass es eine Umkehrfunktion gibt.

Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf jeder Höhe nur einen Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinu

Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit der Umkehrfunktion nur einen Schnittpunkt besitzt.

DialogMathe


Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Kosinus

Veränderung des Definitionsbereichs auf der rechten Seite l : Veränderung des Definitionsbereichs auf der linken Seite

]b 1;1 )

Die Kosinusfunktion muss so eingeschränkt werden, dass sie mit der Geraden

Damit die Umkehrfunktion eindeutig ist, darf die vertikale Gerade x = d den

Schränke den Definitionsbereich der Kosinusfunktion mit den Schieberegler r

Überprüfe durch Verschieben der horizontalen Geraden (y = b), dass diese auf Schnittpunkt mit dem Graph der eingeschränkten Sinus-

Überprüfe durch Verschieben der vertikalen Geraden (x = d), dass diese mit

DialogMathe


1.6.6 Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arccos_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten


• Einschränkung der Kosinusfunktion• Spiegelachse• Umkehrfunktion• Wertebereich• Definitionsbereich

Beantworte folgende Fragen:1) Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?

2) In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt?

Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1

3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?

4) Wie erhältst du die Arcuskosinusfunktion?Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an!Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1


Dyn. Arbeitsblatt Umkehrfunktion von Kosinus

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arccos_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten


Einschränkung der Kosinusfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich

Fragen: Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?

In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1


Wie erhältst du die Arcuskosinusfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an!Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1

Umkehrfunktionen

43

Warum muss die Kosinusfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?

In welchem Intervall wird die Kosinusfunktion umgekehrt?

Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcuskosinusfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1



1.6.7 Die Arcustangensfunktion

Die Arcustangensfunktion ist die Umkehrfunktion der auf das Winkelintervall

2 2;π π − eingeschränkten Tangensfunktion, wo diese streng monoton stei-

gend und daher umkehrbar ist. Der Graph der Arcustangensfunktion ergibt

sich durch Spiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierenden).

Wir schreiben: ( )y arctan x=

Definitionsbereich R ; Wertebereich 2 2;π π −

( )x tan x֏

D R= ( ){ }x 2k 1 ; k Z ; W R2π= + ⋅ ∈ = , Periode π

Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall ;2 2π π −

.

( )x arctan x֏ ; D R ; W ;2 2π π = = −

Achtung! Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der stumpfe Winkel o180β = + α

kann auch eine Lösung sein, denn es gilt ( ) ( )otan tan 180α = + α

DialogMathe


1.6.8 Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arctan_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten


• Einschränkung der Tangensfunktion• Spiegelachse• Umkehrfunktion• Wertebereich• Definitionsbereich


1) Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt werden?

2) In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1

3) Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?4) Wie erhältst du die Arcusta

Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 5) Gib den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion

an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1


Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: arctan_Umkehrfunktion Zeit: 5 Minuten


Einschränkung der Tangensfunktion Spiegelachse Umkehrfunktion Wertebereich Definitionsbereich


Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt

In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt? Schieberegler Einschränkung von 0 aus 1 Welches sind die Kriterien für die Wahl dieses Intervalls?Wie erhältst du die Arcustangensfunktion? Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1

den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1

Umkehrfunktionen

45

Dyn. Arbeitsblatt Einschränkung Definitionsbereichs Tangens

Warum muss die Tangensfunktion für die Umkehrung eingeschränkt

In welchem Intervall wird die Tangensfunktion umgekehrt?


Schieberegler Spiegelachse und Umkehrfunktion von 0 aus 1 den Definitionsbereich und Wertebereich der Arcustangensfunktion

an! Schieberegler Wertebereich und Definitionsbereich von 0 auf 1



1.6.9 Partnerinterview Umkehrfunktionen

Partnerinterview Umkehrfunktionen Zeit: 10 Minuten

Frage 1: Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, damit sie umkehrbar ist?

Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch, d.h., zu einem Funktions-wert gibt es bei der Umkehrung unendlich viele Winkel. Wie müssen die De-finitionsbereiche eingeschränkt werden, damit es eine Umkehrfunktion gibt?

Frage 2: Wie werden die Definitionsbereiche eingeschränkt?

( )sin x

( )cos x

( )tan x

Wie wir wissen existieren zu einem Funktionswert im Bereich 0 x 2≤ < π immer zwei Winkel. Der Rechner gibt uns aber bei der Verwendung der Um-kehrfunktionen jeweils nur einen Winkel. Wie kannst du den möglichen zwei-ten bestimmen?

Frage 3: Ergänzung der Lösung des Rechners.

( ) TR 2arcsin x y y= → =

( ) TR 2arccos x y y= → =

( ) TR 2arc tan x y y= → =

DialogMathe Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens


1.7 Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens

Beziehungen vom Einheitskreis

2 2sin cos 1α + α = (Pythagoras)

sintan

cosαα =α (Strahlensatz)

sinus cosinus tangens sinus, cosinus

sin α =

cos α =

tan α =

Anwendung

Gegeben: 3

tan( )4

α = . Berechne sin( )α , ohne α zu bestimmen.

Gegeben: 3

cos( )5

α = . Berechne tan( )α , ohne α zu bestimmen.



1.7.1 Übungen Vereinfache

a) tan cosα ⋅ α

b) ( ) ( )1 sin 1 sin+ ϕ ⋅ − ϕ

c) 2

11

cos−

β



d) 2sin

1 cosα

− α

e) 4 4sin cosα − α

f) tan 1

sin cosϕ −

ϕ − ϕ



g) 2

1

1 tan+ ω

h) 1 cos 1 cos+ α ⋅ − α

i) ( ) ( )2 2sin cos sin cosδ + δ + δ − δ



j) 2

1 sin1 sin cos

α−− α α

k) 2

11

tan+

α

1.7.2 Lösungen

a) sinα b) 2cos ϕ

c) 2tan β d) 1 cos+ α

e) 2 2 2sin cos 2sin 1α − α = α −

f) 1

cosϕ g) 2cos ω

h) sinα i) 2

j) 2

1

cos α k)

2

1

sin α



1.8 Trigonometrische Gleichungen

1.8.1 Strategien Gleichungen, in denen sich die Unbekannte innerhalb von trigonometrischen

Funktionen befindet, sind anspruchsvoll. Im folgenden Kapitel lösen wir

einige einfache Gleichungen.

Versuche schon bekannte Strategien auf die trigonometrischen Gleichungen

zu übertragen. Eine wichtige Strategie wird der Produkt – Null – Satz sein!

1.8.2 Aufgaben Löse die folgenden Gleichungen. Fasse verschiedene Lösungsstrategien im

Lernjournal zusammen!

Aufgabe 1 bis 8: Bestimme die Lösungen x der folgenden Gleichungen in der

Grundmenge 00 x 360≤ <

Aufgabe 1

a) ( )sin 3x 0=

b) ( )tan 2x 3=

DialogMathe Trigonometrische Gleichungen


c) ( )0sin x 20 0,8− =

d) ( )0cos 100 x 0,4− = −

e) ( )0sin 10 x 1,2− =

f) ( )0tan x 50 2,8+ =



Aufgabe 2

a) 2sin x 0,2=

b) 2tan x 10=

c) ( )2 0cos x 50 0,36− = −



Aufgabe 3

a) sin x cos x 0⋅ =

b) sin x cos x 0− =

c) sin x

0cos x

=



d) ( )sin x 1 cos x 0⋅ + =

e) ( )tan x 1 sin x 0⋅ + =

Aufgabe 4

a) 22 cos x cos x 0⋅ + =



b) 25 sin x 3 sin x⋅ = ⋅

Aufgabe 5

a) 24 sin x 4 sin x 1 0⋅ − ⋅ + =

b) 2cos x 2,1 cos x 0,2 0+ ⋅ + =



c) 25 sin x sin x 1⋅ + =

d) 1

tan x 3,5tan x

+ =

Aufgabe 6

a) sin x tan x 0+ =



b) tan x 3 sin x 0+ ⋅ =

c) sin x cos x tan x 0,25⋅ ⋅ =

d) sin x 5 cos x= ⋅



e) cos x 3 sin x 0− ⋅ =

f) 4 sin x 46 cos x 0⋅ − ⋅ =

g) 2 22 sin x 7 cos x⋅ = ⋅



Aufgabe 7

a) 23 sin x 2 cos x⋅ = ⋅

b) 2 2sin x cos x 0,2− =

c) 210 cos x 7,5 sin x 11⋅ + ⋅ =



d) 2sin x 1,6 cos x 0,2+ ⋅ =

Aufgabe 8 a) sin x cos x 0,6⋅ =

b) sin x cos x 0,8+ =



c) cos x 2 tan x= ⋅

Aufgabe 9

Für welche Werte von a hat die Gleichung 2sin x cos x a+ = mindestens

eine Lösung?



1.8.3 Lösungen Lösungen Aufgabe 1

a) 0 0 0 0 0 00 , 60 , 120 , 180 , 240 , 300

b) 0 0 0 035,8 , 125,8 , 215,8 , 305,8

c) 0 073,1 , 146,9

d) 0 0213,6 , 346,4

e) { }

f) 0 020,4 , 200,3

Lösungen Aufgabe 2

a) 0 0 0 026,6 , 153,4 , 206,6 , 333,4

b) 0 0 0 072,5 , 107,5 , 252,5 , 287,5

c) { }

Lösungen Aufgabe 3

a) 0 0 0 00 , 90 , 180 , 270

b) 0 045 , 225

c) 0 00 , 180

d) 0 00 , 180

e) 0 00 , 180

Lösungen Aufgabe 4

a) 0 0 0 090 , 120 , 240 , 270

b) 0 0 0 00 , 36,9 , 143,1 , 180

Lösungen Aufgabe 5

a) 0 030 , 150

b) 0 095,7 , 264,3



c) 0 0 0 021,0 , 159,0 , 213,9 , 326,1

d) 0 0 0 017,4 , 72,6 , 197,4 , 252,6

Lösungen Aufgabe 6

a) 0 00 , 180

b) 0 0 0 00 , 109,5 , 180 , 250,5

c) 0 0 0 030 , 150 , 210 , 330

d) 0 078,7 , 258,7

e) 0 018,4 , 198,4

f) 0 085,0 , 265,0

g) 0 0 0 061,9 , 118,1 , 241,9 , 298,1

Lösungen Aufgabe 7

a) 0 030 , 150

b) 0 0 0 050,8 , 129,2 , 230,8 , 309,2

c) 0 0 0 010,0 , 35,2 , 144,8 , 170,0

d) 0 0113,6 , 246,4

Lösungen Aufgabe 8

a) { }

b) 0 0100,6 , 349,5

c) 0 024,5 , 155,5

Lösungen Aufgabe 9

1 a 1,25− ≤ ≤



1.8.4 Trigonometrische Gleichungen mit dem Rechner In den Aufgaben 1 bis 8 im vorangegangenen Kapitel wurde der bereich für

die Lösungen x eingeschränkt auf die Grundmenge 00 x 360≤ < .

Da die trigonometrischen Funktionen periodisch sind, haben die Gleichungen

oftmals unendlich viele Lösungen. Da es genügt die Lösungen von Gleichun-

gen in einer Periode zu kennen, müssen wir beim solve-Befehl diese Ein-

schränkung dem Rechner mitteilen.

Aufgabe 1 a) ( )sin 3x 0=

Ohne Einschränkung der Grundmenge gibt uns der Rechner unendlich viele

Lösungen: ox 60 n1= ⋅ Für n1 kann eine ganze Zahl eingesetzt werden, z.B.

n1 = 0 oder n1 = 1 usw.

Schränken wir die Grundmenge ein: 00 x 360≤ < , so erhalten wir die 6 Lö-

sungen der ersten Periode.

d) ( )0cos 100 x 0,4− = −

e) ( )0sin 10 x 1,2− =

Aufgabe 2

a) 2sin x 0,2=



Aufgabe 3 a) sin x cos x 0⋅ = b) sin x cos x 0− =

Aufgabe 4 b) 25 sin x 3 sin x⋅ = ⋅

1. Lösung exact-Modus / 2. Lösung approximativ-Modus

Aufgabe 5 d) 1

tan x 3,5tan x

+ =

Aufgabe 9 Für welche Werte von a hat die Gleichung 2sin x cos x a+ = mindestens

eine Lösung? Graphische Lösung mit Schieberegler.



1.9 Repetitionstest trigonometrische Funktionen

Repetitionstest Einheitskreis, Eigenschaften trigonometrischer Funktionen, Umkehrfunktionen

Ohne Hilfsmittel, d.h. keine Formelsammlung , ohne Rechner. Löse die Auf-

gaben mit Hilfe des Einheitskreises oder mit einer Skizze der Funktionsgra-

phen. Zeit: 60 Minuten

Aufgabe 1 Zeichne sin( )α (rot); cos( )α (grün); tan( )α (blau) in die Zeichnung ein!

Aufgabe 2

Setze das richtige Zeichen: = (gleich) ; < (kleiner) ; > (grösser)

0 0sin(45 ) cos(45 ) ; 0 0cos(60 ) cos(50 )

; 0 0sin(110 ) sin(120 )

0 0sin(35 ) tan(35 ) ; 0 0sin(20 ) sin(160 )

; 0 0cos(50 ) cos(310 )

0 0sin(20 ) sin( 20 )− ; 0 0sin(70 ) cos(70 )

; 0 0tan(120 ) sin(120 )

x

y

O

αααα1

DialogMathe Repetitionstest trigonometrische Funktionen


Aufgabe 3 o135α = Berechne: ( )sin α , ( )cos α , ( )tan α

Aufgabe 4 53πα = Berechne: ( )sin α , ( )cos α , ( )tan α

Aufgabe 5

Berechne, ohne α zu bestimmen: cos( )α und tan( )α , wenn 4

sin( )5

α =



Aufgabe 6

Gib alle Winkel 0 00 360≤ α ≤ an für die gilt:

a) 1

sin( )2

α =

b) 1

cos( )2

α = −

Aufgabe 7

Fülle die Tabelle aus

Winkelfunktion sin( )α cos( )α tan( )α

Definitionsbereich

Wertebereich

Periodizität

Nullstellen

Maxima

Minima



Aufgabe 8

Vereinfache mit Hilfe des Einheitskreises: 0

0

sin(90 )

cos(180 )

+ α+ α

Aufgabe 9

Du erhältst von deinem Rechner, bei Verwendung der Umkehrfunktionen, die folgenden Winkel. Bestimme die zweite Lösung. Arcsinus : 036α = Arccos: 0123α = Arctan: 050α =



Aufgabe 10 a) Bestimme: arc sin(1) = arc sin( 1)− =

arc cos(0) = arc cos(1) =

arc cos( 1)− = arctan(0) =

b) Ergänze

arc sin(0,5)6π= , weil sin( ) =……… ………

arc tan(4) 1,326= , weil

c)) Sinnvoll oder nicht sinnvoll? arc sin( 0,2)−

arc sin(0)

arc sin(1,4)

arc cos(2)

arc tan(3,4)

Aufgabe 11

Vereinfache:2

sin( )sin( )π

π − α+ α



Aufgabe 12

Kreuze richtig oder falsch an:

richtig falsch

Es gilt für alle Winkel α : tan( ) 1α ≤

Die Sinuswerte nehmen zu, wenn α von 900 bis 1800 zu-nimmt.

Der Definitionsbereich der ( )arc sin x Funktion ist

[ ]D 1 ; 1= − .

Der Wertebereich der ( )arc cos x Funktion ist

[ ]W 0 ;= π .

Der Definitionsbereich der ( )arc tan x Funktion ist D R= .

Wenn der Rechner dir 1arcsin(x) = α als Lösung ausgibt,

so ist 02 1180α = + α auch eine mögliche Lösung.

Wenn der Rechner dir 1arctan(x) = α als Lösung ausgibt,

so ist 02 1180α = + α auch eine mögliche Lösung.

1arcsin

2 6π − = −

Aufgabe 13

Richtig oder falsch? Überlegungen:

richtig falsch cos( ) cos( )− α = α

sin( ) sin( )− α = α

tan( ) tan( )− α = − α

0sin( 90 ) cos( )α − = α

0sin(180 ) sin( )− α = α

0 0sin(180 ) sin(180 )− α = + α

0tan(180 ) tan( )− α = − α



Aufgabe 14

Bestimme alle Lösungen im Bereich 0 00 x 360≤ < für die folgende Glei-chung: ( )[ ] ( )[ ]3 sin x 4 2 sin x 1 0⋅ − ⋅ ⋅ − =

Aufgabe 15

Bestimme alle x ( 0 x 2≤ ≤ π ), welche die folgenden Gleichungen erfüllen:

2 2sin (x) cos (x) 0− =

DialogMathe Sinussatz und Kosinussatz


2 Berechnungen am beliebigen Dreieck Für die Berechnungen am beliebigen Dreieck stehen uns zwei Sätze zur

Verfügung: der Sinussatz und der Kosinussatz.

2.1 Sinussatz und Kosinussatz

Wenn bei einem beliebigen Dreieck drei Grössen gegeben sind (jedoch nicht

die drei Winkel), so lassen sich die anderen Grössen berechnen.

Merke Die Berechnungen laufen über Teildreiecke! Falls diese Teildreiecke

rechtwinklig sind kann und soll mit elementarer Trigonometrie am recht-

winkligen Dreieck gearbeitet werden.

2.1.1 Der Sinussatz

In einem Dreieck gilt der Sinussatz

( )( )

sinab sin

α=

β ;

( )( )

sinac sin

α=

γ ;

( )( )

sinbc sin

β=

γ

Berechnungsbeispiel Sinussatz

Berechne aus einem Dreieck mit a 7cm= , c 10cm= und 040α = die Seite b

und die Winkel β und γ .

Sinussatz: Berechnung von γ : ( )( )

sinac sin

α=

γ

( ) ( ) ( )0c 10sin sin sin 40 0,91827

a 7γ = ⋅ α = ⋅ =

( )1 0sin 0,91827 66,67−γ = = Der Rechner liefert nur spitze Winkel!

γ könnte aber auch stumpfwinklig sein!

0 0 0 02 TR180 180 66,67 113,33γ = − γ = − =

Berechnungen am beliebigen Dreieck

76

Hier gibt es tatsächlich zwei Lösungen! Wann gibt es zwei Lösungen, wann

nur eine? Siehe folgendes dynamisches Arbeitsblatt!

Innenwinkelsumme: Berechnung von

0 01 1180 73,33β = − α − γ =

Sinussatz: Berechnung von b:

( )( )

11

sinb a 7 10,43cm

sinβ

= ⋅ = ⋅ =α

(( )

22

sinb a 7 4,89cm

sinβ

= ⋅ = ⋅ =α

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Sinussatz_zweite LösungZeit: 10 Minuten

Berechnungen am beliebigen Dreieck



nur eine? Siehe folgendes dynamisches Arbeitsblatt!

Innenwinkelsumme: Berechnung von β :

0 01 1180 73,33β = − α − γ = ; 0 0

2 2180 26,67β = − α − γ =

Sinussatz: Berechnung von b: ( )( )

sin sinab a

b sin sinα β

= → = ⋅β α

( )( )

0

0

sin 73,33b a 7 10,43cm

sin 40= ⋅ = ⋅ =

))

( )( )

02

0

sin 26,67b a 7 4,89cm

sin 40= ⋅ = ⋅ =

α

Dynamisches Arbeitsblatt GeoGebra Datei: Sinussatz_zweite Lösung Zeit: 10 Minuten

DialogMathe



0 0180 26,67

( )( )

sin sinb sin sin

α ββ α



2.1.2 Übungen Sinussatz Berechne die fehlenden Winkel und die fehlende Seite.

Beachte die Anzahl Lösungen!

a) 0b 8,5cm ; a 8,9cm ; 65,3= = α =

Berechnungen am beliebigen Dreieck DialogMathe


b) 0a 30,9cm ; c 19,8cm ; 34,6= = γ =



c) 0a 6,4cm ; c 5,5cm ; 72,0= = γ =



2.1.3 Partnerinterview Sinussatz

Partnerinterview Sinussatz Zeit: 10 Minuten

Frage 1: Wie kannst du den Sinussatz bei folgendem Problem anwenden?

Berechne x, wenn v, α und β gegeben sind!

Frage 2: Welche Dreiecksberechnungen können mit dem Sinussatz gelöst werden?

(Die dick ausgezogenen Grössen sind gegeben) Welcher Fall hat zwei Lösungen, welcher nur eine!



2.1.4 Der Kosinussatz

In einem Dreieck gilt der Kosinussatz

( )2 2 2a b c 2bc cos= + − ⋅ α

( )2 2 2b a c 2ac cos= + − ⋅ β

( )2 2 2c a b 2ab cos= + − ⋅ γ

Berechnungsbeispiel Kosinussatz

Gegeben: a 6cm= , b 9cm= ,

w 6,5cmγ = (Winkelhalbierende)

Gesucht: γ und c

Einführen der beiden Unbekannten x AD= und y DB=

Berechnung von γ und c (gleichzeitig):

Kosinussatz im Dreieck ADC: 2 2 2x w b 2w b cos2γ γγ = + − ⋅

Kosinussatz im Dreieck DCB: 2 2 2y w a 2w a cos2γ γγ = + − ⋅

Satz über Winkelhalbierende: x by a

=

Gleichungssystem für die drei Unbekannten γ , x und y, wobei c = x + y.

Auflösen mit Rechner. Vorgehen: Bekannte Zahlen einsetzen und weil

cos2γ

transzentent ist durch eine Variable substituieren z.B. u cos2γ =

.

2 2 2 2

2 2 2 2

x 6,5 9 2 6,5 9 u x 123,25 117 u

y 6,5 6 2 6,5 6 u y 78,25 78 u

x x 1,5 y1,5

y

= + − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ → = − ⋅= ⋅=

[Resultat u 0,9027778 ;x 4,198 ;y 2,799= = = ]

050,95γ = ; c 7,0cm=



2.1.5 Partnerinterview Kosinussatz

Partnerinterview Kosinussatz Zeit: 10 Minuten

Frage 1: Wie kannst du den Kosinussatz bei folgendem Problem anwenden?

Berechne x, wenn u, v und α gegeben sind!

Frage 2: Welche Dreiecksberechnungen können mit dem Kosinussatz gelöst werden?

(Die dick ausgezogenen Grössen sind gegeben)



2.1.6 Übungen Kosinussatz

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC.

a) ba 16,1cm ; b 15,4 cm ; s 14,5 cm= = =



b) a cb 18,2 cm ; s 15,9 cm ; s 13,2 cm= = =



c) 0a 8,1cm ; w 10,6 cm ; 35,2β= = β =



d) 0a47,35 ; s 14,00 cm ; c 10,95 cmα = = =



2.1.7 Lösungen

Übungen Sinussatz

a) eine Lösung

0 0c 8,0 cm ; 60,2 ; 54,5= β = γ =

b) zwei Lösungen

0 01 1 162,4 ; 83,0 ; b 34,6 cmα = β = =

0 02 2 2117,6 ; 27,8 ; b 16,3 cmα = β = =

c) keine Lösung

Übungen Kosinussatz

a) 0 0 064,1 ; c 16,7 cm ; 60,1 ; 55,8γ = = α = β =

b) 0 0 0c 15,6 cm ; a 11,8 cm ; 39,9 ; 81,9 ; 58,2= = α = β = γ =

c) 0 0122,0 ; 22,8 ; c 17,7 cm ; b 12,1cmγ = α = = =

d) 0 0a 14,4 cm ; b 19,4 cm ; 98,7 ; 33,9= = β = γ =



2.2 Geometrie Memos allgemeines Dreieck

Auf den folgenden zwei Seiten erhältst du zwei Memos, die dich bei den Be-

rechnungen am beliebigen Dreieck unterstützen werden.

2.2.1 Geometrie Memo Trigonometrische und Arcus – Funktionen

Memo Trigonometrische und Arcus - Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen (Arcusfunkti-

onen) sind in der Praxis sehr wichtig. Daher solltest du die Funktionsgraphen

von sin(x), cos(x) und tan(x) jederzeit per Hand skizzieren können. Definiti-

onsbereiche und Wertebereiche der Funktionen, sowie die wichtigsten Eigen-

schaften sollten jederzeit im Kopf abrufbar sein.. Da die trigonometrischen

Funktionen periodisch sind, müssen diese für die Umkehrung eingeschränkt

werden.

Wenn du deinen Rechner verwendest, um die Umkehrfunktionen zu berech-

nen, solltest du wissen, welche Lösungen dir dein Rechner geben kann, und

welche du selbst finden musst. Die Einschränkung der Definitionsbereiche

und deren Konsequenzen bei den Umkehrfunktionen solltest du unbedingt

verstehen!

2.2.2 Geometrie Memo Sinussatz Kosinussatz

Memo Sinussatz und Kosinussatz

Wann können wir den Sinussatz, wann den Kosinussatz anwenden?

Diese Frage kann mittels Schaufigur beantwortet werden. Jeder Satz hat eige-

ne Muster, welche der Kopf direkt mit der abstrakten Gleichung der beiden

Sätze in Verbindung bringen kann.

DialogMathe


Memo Trigonometrische und Arcus

Merke: Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitionbereich eingeschränkt werden. (EINDEUTIGKEIT!!)

Geometrie Memos allgemeines Dreieck


Trigonometrische und Arcus - Funktionen

Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitionbereich eingeschränkt werden. (EINDEUTIGKEIT!!)

( )x sin x֏

[ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − πFür die Umkehrung wird der Definitionsbereich eing

schränkt auf das Intervall ;2 2π π −

( )x arc sin x֏

[ ]D 1 ; 1 ; W ;2 2π π = − = −

Achtung: Der Rechner liefert nur spitze Winkel

stumpfe Winkel o180β = − α kann auch eine Lösung sein,

denn es gilt ( ) ( osin sin 180α = − α

( )x cos x֏

[ ]D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − πFür die Umkehrung wird der Definitionsbereich eingschränkt auf das Intervall [ 0 ; π

( )x arccos x֏

[ ] [D 1 ; 1 ; W 0 ;= − = πErhalten wir vom Rechner den Winkel negative Winkel − α auch eine Lösung sein, denn es gilt

( ) ( )cos cosα = −α

( )x tan x֏

D R= ( ){ }x 2k 1 ; k Z ; W R2π= + ⋅ ∈ =

Periode π

Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich eing

schränkt auf das Intervall ;2 2π π −

( )x arctan x֏

D R ; W ;2 2π π = = −

Achtung: Der Rechner liefert nur spitze Winkel

stumpfe Winkel o180β = + α kann auch eine Lösung sein,

denn es gilt ( ) ( otan tan 180α = + α

Geometrie Memos allgemeines Dreieck

89

Für die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen muss jeweils der Definitions-

D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π

wird der Definitionsbereich einge-

;2 2π π

.

D 1 ; 1 ; W ;2 2π π

Der Rechner liefert nur spitze Winkel α . Der

kann auch eine Lösung sein,

)α = − α

D R ; W 1;1 ; Periode 2= = − π

Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich einge-]0 ; π .

]D 1 ; 1 ; W 0 ;= − = π

Erhalten wir vom Rechner den Winkel α , so kann der auch eine Lösung sein, denn es gilt

}x 2k 1 ; k Z ; W R= + ⋅ ∈ =

Für die Umkehrung wird der Definitionsbereich einge-

;2 2π π

.

echner liefert nur spitze Winkel α . Der

kann auch eine Lösung sein,

)α = + α



Memo Sinussatz und Kosinussatz

Merke: zuerst Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck anwenden!!

Sinussatz: ( )( )

sinab sin

α=

β

Kosinussatz:

( )2 2 2a b c 2bc cos= + − ⋅ α

Die vier Grundaufgaben der Dreiecksberechnung

1. Gegeben: drei Seiten Beginn mit Kosinussatz

2. Gegeben: zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel Beginn mit Kosinussatz

3. Gegeben: zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt! Beginn mit Sinussatz Eindeutig lösbar, wenn der gegebene Winkel der grösseren Seite gegenüberliegt!

4. Gegeben: eine Seite und zwei Winkel Beginn mit Sinussatz!

1 Lösung

2 Lösungen

DialogMathe Geometrie Memos allgemeines Dreieck


2.2.3 Prüfungsaufgaben allgemeines Dreieck Aufgabe 1

Die Strecke von P nach Q ist aus den folgenden Messungen zu be-rechnen.

Messungen: AB 380m= o41α = ; o77β = o82γ = ; o34δ =

Lösung: PQ 582,9m=



Aufgabe 2 Im Dreieck ABC gilt: M ist der Seitenmittelpunkt.

o45α = ε =

Wie gross sind β und γ ?

Lösungen: o o30 ; 105β = γ =

DialogMathe Geometrie Memos allgemeines Dreieck


Aufgabe 3

Zwei Leuchtbojen befinden sich in den Punk-

ten C und D. Von den Punkten A und B am

Seeufer sind diese Bojen unter den folgenden

Winkeln sichtbar:

1 2

1 2

CAB 11,3 ; DAC 85,1

ABD 27,9 ; DBC 113

α = = ° α = = °

β = = ° β = = °

∡ ∡

∡ ∡

Die Entfernung von A nach B beträgt 245 m.

a) Das Licht der beiden Bojen ist jeweils auf die beiden Uferpunkte A und B

ausgerichtet. Berechne die Fläche, die von beiden Bojen beleuchtet wird

(Dreieck ABS).

b) Berechne den Abstand der zwei Bojen (Strecke CD).

Lösungen: 2a) A 4353,9m b) DC 348,1m= =

Die allgemeine Sinusfunktion DialogMathe


3 Die allgemeine Sinusfunktion

Wie eingangs schon gesagt, sind sehr viele Vorgänge in der Natur oder bei

technischen Abläufen periodisch. Nicht immer aber reicht die Sinusfunktion

in ihrer reinen Form zu deren Beschreibung aus. Dies hat mehrere Ursachen:

Zum einen besitzt die Sinusfunktion nur Werte zwischen – 1 und 1, zum an-

deren sind die angesprochenen Vorgänge gewöhnlich nicht winkelabhängig,

sondern zeitabhängig mit einer Periode, die nicht einfach als Vielfaches von

2π zu fassen ist. Daher muss die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser Vor-

gänge entsprechend modifiziert werden.

( )y a sin b x c d= ⋅ ⋅ + +

Diese Modifikationen und ihre Auswirkungen sind in der folgenden Über-

sicht zusammengefasst. Analoges gilt auch für die übrigen Winkelfunktionen,

in der Praxis ist jedoch die Sinusfunktion (bzw. die ihr gegenüber um 2π ver-

schobene Kosinusfunktion) am bedeutendsten.

Funktion Auswirkung Anwendungsbereich

( )y sin x= Grundfunktion Allgemein periodischer Vorgang

( )y a sin x= ⋅ Veränderung der Amplitude Faktor – 1 entspricht einer Phasenverschiebung um π

Ausschlag eines Pendels

( )y sin b x= ⋅ Veränderung der Periode b 1> : Beschleunigung 0 b 1< < : Verlangsamung b 0< : „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll

Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwin-gungen (z.B. bei Klängen von Musikinstrumenten)

( )y sin x c= + Phasenverschiebung Beschreibung von Strom-und Spannungsverlaufs im Wechselstromkreis

( )y sin x d= + Verschiebung in y-Richtung Überlagerung einer Gleich- und Wechsel-spannung

( )y a sin b x c d= ⋅ ⋅ + + allgemeiner Fall Komplexer periodischer Vorgang

DialogMathe Funktionstransformationen Sinusfunktion


3.1 Funktionstransformationen Sinusfunktion

Aus einer Grundfunktion können

alle weiteren Funktionen des

gleichen Typs durch

Transformationen hergeleitet

werden.

Grundfunktion: ( )y sin x=

Transformationen: ( ) ( )f x a sin b x c d= ⋅ ⋅ + +

Transformationsregeln

Wie bekommen wir aus dem Graph der Grundfunktion ( ) ( )f x sin x= den

Graph der Funktion ( ) ( )f x a sin b x c d= ⋅ ⋅ + + ? Wir studieren die Effekte

der Parameter a, b, c und d auf den Graph der Funktion einzeln.

3.1.1 Streckung oder Stauchung

Streckung oder Stauchung in y-Richtung

Transformation ( ) ( )y f x y a f x= → = ⋅

( ) ( )y sin x y a sin x= → = ⋅

Fallunterscheidung für den Parameter a

Für a 1> eine Streckung des Graphen in y-Richtung mit dem

Streckungsfaktor a

Für 0 a 1< < eine Stauchung des Graphen in y-Richtung mit dem

Stauchungsfaktor 1a

Spiegelung an der x-Achse

Spezialfall: a 1= − der Graph wird an der x-Achse gespiegelt

( ) ( )y sin x y sin x= → = −

Für 1 a 0− < < zusätzlich zur Stauchung mit dem Faktor 1a eine Spiegelung

des Graphen an der x-Achse.

Für a 1< − zusätzlich zur Streckung mit dem Faktor a eine Spiegelung des

Graphen an der x-Achse.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

1



Streckung oder Stauchung in x-Richtung

Transformation ( ) ( )y f x y f b x= → = ⋅

( ) ( )y sin x y sin b x= → = ⋅

Fallunterscheidung für den Parameter b

Für b 1> eine Stauchung des Graphen in x-Richtung mit dem

Stauchungsfaktor b

Für 0 b 1< < eine Streckung des Graphen in x-Richtung mit dem

Streckungsfaktor 1b

Spiegelung an der y-Achse

Spezialfall: b 1= − der Graph wird an der y-Achse gespiegelt.

( ) ( )y sin x y sin x= → = −

Für 1 b 0− < < zusätzlich zur Streckung mit dem Faktor 1b eine Spiegelung

des Graphen an der y-Achse.

Für b 1< − zusätzlich zur Stauchung mit dem Faktor b eine Spiegelung des

Graphen an der y-Achse.



Beachte: Es gilt ( ) ( ) ( )y sin b x sin b sin x= ⋅ ≠ ⋅ , d.h. eine Stauchung in

x-Richtung mit dem Stauchungsfaktor b kann nicht als Streckung in

y-Richtung mit dem Streckungsfaktor ( )a sin b= interpretiert werden.

3.1.2 Verschiebung Verschiebung in x-Richtung

Transformation: ( ) ( )y f x y f x c= → = +

( ) ( )y sin x y sin x c= → = +

Fallunterscheidung für den Parameter c

Für c 0> eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach links

Für c 0< eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach rechts



Merke: ( )cby sin b x = ⋅ + , b muss ausgeklammert werden: Verschiebung c

b

Beispiel: b = 1, c = 60 : ( )y 1,5 sin x 60= ⋅ +

Verschiebung um 600 nach links.

Beispiel: b = 2, c = 60 : ( ) [ ]( )y sin 2x 60 sin 2 x 30= + = +

Verschiebung um 300 nach links.

Verschiebung in y-Richtung Transformation: ( ) ( )y f x y f x d= → = +

( ) ( )y sin x y sin x d= → = +

Fallunterscheidung für den Parameter d Für d 0> eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach oben

Für d 0< eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach unten



3.1.3 Übungen Sinusfunktion

Partnerinterview Funktionstransformationen Sinusfunktion Zeit: 20 Minuten

Grundfunktion:

Transformation:

Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gib die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen!

(1) ( ) ( )f x 2 sin x= ⋅

(2)

( ) ( )f x sin 2 x= ⋅

(3)

( ) ( )1

2f x sin x= ⋅

(4)

( ) ( )f x sin x 60= +

(5)

( ) ( )f x sin x 30= −

(((( )))) (((( ))))f x sin x====

(((( )))) (((( ))))f x a sin b x c d= ⋅ ⋅ + += ⋅ ⋅ + += ⋅ ⋅ + += ⋅ ⋅ + +

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450



(6) ( ) ( )1

2f x sin 2 x 180= ⋅ ⋅ +

(7) ( ) ( )1

2f x sin 2 x 1= ⋅ ⋅ +

(8) ( ) ( )f x 2 sin 3 x 90= ⋅ ⋅ −

(9) ( ) ( )1

2f x 1,5 sin x 60= ⋅ ⋅ +

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

DialogMathe Memo allgemeine Sinusfunktion


3.2 Memo allgemeine Sinusfunktion

Memo Allgemeine Sinusfunktion

3.2.1 Allgemeine Sinusfunktion im Gradmass

Gradmass ( )y A sin B C= ⋅ ⋅ α +

A : Streckung (Stauchung) in y – Richtung

Der Faktor A ändert die Nullstellen der sin-Funktion nicht.

B : Streckung (Stauchung) in x – Richtung

Änderung der Periode von 0360 auf 0360

B

B > 1 Stauchung; B < 1 Streckung

Periode von ( )sin α : 0360

Periode von ( )sin B ⋅ α : 0360

B

( ) ( )0

0 360sin B sin B 360 sin B

B ⋅ α = ⋅ α + = ⋅ α +

C : Verschiebung in horizontaler Richtung bis 0CB

α = −

C > 0 (positiv) : Linksverschiebung ; C < 0 (negativ) : Rechtsverschiebung

Bestimmung der Verschiebung (B ausklammern):

( ) CA sin B C A sin B

B ⋅ ⋅ α + = ⋅ ⋅ α +

Nullstellen: ( )y sin 0= α = ; 0k 180α = ⋅ mit k 0 , 1, 2 , 3 ,= ± ± ± ……

Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung

liegende Nullstelle (k=0) 0α berechnen.

( ) 0y A sin B C 0 B C k 180= ⋅ ⋅ α + = → ⋅ α + = ⋅

für k = 0 ergibt sich 0 0C

B C 0B

⋅ α + = → α = −



3.2.2 Allgemeine Sinusfunktion im Bogenmass

Bogenmass: ( )y A sin B x C= ⋅ ⋅ +

B : Streckung (Stauchung) in x – Richtung

Änderung der Periode von 2π auf 2Bπ

Periode von ( )sin x : 2π

Periode von ( )sin B x⋅ : 2Bπ

( ) ( ) 2sin B x sin B x 2 sin B x

Bπ ⋅ = ⋅ + π = ⋅ +

C : Verschiebung in horizontaler Richtung bis 0CB

α = −

C > 0 (positiv) : Linksverschiebung ; C < 0 (negativ) : Rechtsverschiebung

Bestimmung der Verschiebung (B ausklammern):

( ) CA sin B x C A sin B x

B ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ +

Nullstellen: ( )y sin x 0= = ; x k= ⋅ π mit k 0 , 1, 2 , 3 ,= ± ± ± ……

Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung

liegende Nullstelle (k=0) 0α berechnen.

( )y A sin B x C 0 B x C k= ⋅ ⋅ + = → ⋅ + = ⋅ π

für k = 0 ergibt sich 0 0C

B x C 0 xB

⋅ + = → = −

DialogMathe


3.3 Dynamische Arbeitsblätter

3.3.1 Allgemeine Sinusfunktion

Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Sinusfunktion BogenmassZeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)

Grundfunktion

Transformation :

Schieberegler: Parameter [a 5 ; 5∈ −

Arbeitsaufträge:

1) Zeichne die Sinusfunktion:

Überdenke folgendes Schritt 1: b = 2 ausklammern:

Schritt 2: Koordinatensystem verschieben

Schritt 3: (y 1 sin 2 x= − ⋅ ⋅ a 1= − b 2=

2) Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von [ ]c 7 ; 7∈ − in x

gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x Richtung (c).

3) Überzeuge dich, dass a (auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat.

4) Zeichne die Sinusfunktionen:

Dynamische Arbeitsblätter



Sinusfunktion

Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Sinusfunktion Bogenmass Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)

Grundfunktion ( )y sin x= (Sinusfunktion)

Transformation : ( ) ( )y sin x y a sin b x c d= → = ⋅ ⋅ + +

[ ]a 5 ; 5∈ − ; [ ]b 5 ; 5∈ − ; [ ]c 7 ; 7∈ − ; [d 5 ; 5∈ −

Zeichne die Sinusfunktion: ( ) ( )y 1 sin 2 x 6 3= − ⋅ ⋅ − +

Überdenke folgendes Vorgehen: Schritt 1: b = 2 ausklammern: ( ) [ ]( )y 1 sin 2 x 3 3= − ⋅ ⋅ − +

Schritt 2: Koordinatensystem verschieben ( ) ( )cb / d 3 / 3− =

) ( )y 1 sin 2 x= − ⋅ ⋅ im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.

a 1= − : Spiegelung an der neuen x – Achse b 2 : Stauchung in x – Richtung um Faktor 2.

Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von in x – Richtung. Setze b = 2, (b = 3, b = –1, b = –

gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x – Richtung) auf die Verschiebung in x

Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y – Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Zeichne die Sinusfunktionen: ( )y 2 sin x 5 3= ⋅ − − +

( )13y sin 3x 6 2= − +⋅

( )12y 4 sin x 2 5= ⋅ ⋅ + +


103

Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Sinusfunktion)

y sin x y a sin b x c d= → = ⋅ ⋅ + +

]d 5 ; 5∈ −

)/ d 3 / 3

im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.

Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von – 2) und mache die

gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss Richtung) auf die Verschiebung in x –

Richtung) keinen Einfluss

Die allgemeine Sinusfunktion

104

3.3.2 Allgemeine Kosinusfunktion

Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Kosinusfunktion BogenmassZeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)

Grundfunktion

Transformation :

Schieberegler: Parameter [a 5 ; 5∈ −

Arbeitsaufträge:

1) Zeichne die Sinusfunktion:

Überdenke folgendes Vorgehen:Schritt 1: b = 0,5 ausklammern:

Schritt 2: Koordinatensystem verschieben

Schritt 3: y 2 cos 0,5 x= ⋅ ⋅ a 2= b 0,5=

2) Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von [ ]c 7 ; 7∈ − in x

gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss von b (Stauchung/Streckung in x Richtung (c).

3) Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben!

4) Zeichne die Sinusfunktionen:


Allgemeine Kosinusfunktion

Dynamisches Arbeitsblatt Allgemeine Kosinusfunktion Bogenmass Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)

Grundfunktion ( )y cos x= (Kosinusfunktion)

Transformation : ( ) ( )y cos x y acos b x c d= → = ⋅ + +

[ ]a 5 ; 5∈ − ; [ ]b 5 ; 5∈ − ; [ ]c 7 ; 7∈ − ; [d 5 ; 5∈ −

Zeichne die Sinusfunktion: ( )y 2 cos 0,5 x 3= ⋅ ⋅ −

Überdenke folgendes Vorgehen: Schritt 1: b = 0,5 ausklammern: [ ]( )y 2 cos 0,5 x 6= ⋅ ⋅ −

Schritt 2: Koordinatensystem verschieben ( ) ( )cb / d 6 / 0− =

( )y 2 cos 0,5 x= ⋅ ⋅ im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.

a 2 : Streckung in y – Richtung um Faktor 2 b 0,5 : Streckung in x – Richtung um Faktor 2.

Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von in x – Richtung. Setze b = 2, (b = 3, b = –1, b = –

gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss hung/Streckung in x – Richtung) auf die Verschiebung in x

Überzeuge dich, dass a (Stauchung/Streckung in y – Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben!

Zeichne die Sinusfunktionen: ( )y 2 cos 2x 5= ⋅ −

( )13y cos 3x 6 2= − +⋅

( )12y 4 cos x 2 5= ⋅ ⋅ + +

DialogMathe


Zeit: 20 Minuten (GeoGebra Datei: a_b_c_d_Kosinusfunktion)

y cos x y acos b x c d= → = ⋅ + +

]d 5 ; 5∈ −

)/ d 6 / 0

im neuen Koordinatensystem aufzeichnen.

Setze d = 0, a = 1, b = 1, c = 0 und verschiebe den Graph mit Hilfe von – 2) und mache die

gleiche Verschiebung nochmals. Was stellst du fest? Beschreibe den Einfluss Richtung) auf die Verschiebung in x –

Richtung) keinen Einfluss auf die anderen Transformationen (b, c, d) hat. Die Nullstellen bleiben!

DialogMathe Dynamische Arbeitsblätter


3.3.3 Repetitionstest

Repetitionstest Allgemeine Sinusfunktion

Ohne Hilfsmittel, Zeit: 45 Minuten

Aufgabe 1

Wie lauten die Funktionsgleichungen der folgenden Graphen? Graph 1: Graph 2:

Graph 1

Graph 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450



Aufgabe 2 Wie lautet die Funktionsgleichung des folgenden Graphen?

Der Funktionsgraph wird an der y-Achse gespiegelt. Wie lautet nun die Funktionsgleichung?

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion ( )f(x) 3 sin(2x 30 )= − ⋅ + ° .

Durch welche Abbildungen erhalten wir den Graphen von f aus der Sinusfunktion y sin(x)= ? Nenne alle Abbildungen mit den zugehörigen

Funktionsgleichungen. (keine Graphen zeichnen) Bestimme:

� die Periode von f(x)

� die Wertemenge von f(x) (Wertebereich)

� die Nullstellen der Funktion f(x) im Bereich 0 00 x 180≤ ≤ .

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450

DialogMathe Dynamische Arbeitsblätter


Aufgabe 4 Untenstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Sinus-Funktion f(x). Ermittle die Funktionsgleichung von f. Zeichne für die Rechnung die wichti-gen Grössen ein. Das Ergebnis soll Brüche (keine Dezimalbrüche) enthalten.

Aufgabe 5

Gegeben ist die Funktion: ( )3f(x) 0,5 sin 3 x π = ⋅ ⋅ + mit x R∈ .

Bestimme die Periodenlänge und die Wertemenge von f. Bestimme die Nullstellen der Funktion f im Intervall [ ]0 ; π .



3.4 Anwendung Modellbildung

3.4.1 Modellbildung Temperaturverlauf Der Tagesverlauf der mittleren Oberflächentemperatur einer Hausfassade kann durch die allgemeine Sinusfunktion ( ) ( )T t A sin B t C D= ⋅ ⋅ + +

beschrieben werden.

a) Bestimme die Parameter A, B, C und D, wenn folgendes bekannt ist:

– Der zeitliche Verlauf erstreckt sich über einen Tag

von 0 Uhr bis 24 Uhr.

– Die maximale Temperatur beträgt omaxT 40 C=

und wird um 13 Uhr erreicht.

– Die minimale Temperatur beträgt ominT 20 C= −

b) Für welche Zeiten t beträgt die Oberflächentemperatur o0 C ?

c) Die Lufttemperatur in der Nähe der Fassade wird durch

untenstehendes Diagramm beschrieben. Ermittle eine

Funktionsgleichung für die Lufttemperatur.

d) Zu welchen Zeiten sind die Oberflächentemperatur und die

Lufttemperatur gleich?

Lösung

a) ( ) ( )T t A sin B t C D= ⋅ ⋅ + +

40 20A 30

2+= = ;

40 20D 10

2−= = ;

2B

24 12π π= =

( ) ( )12T t 30 sin t C 10π= ⋅ ⋅ + +

2 10 20

4

20

Zeit in h

Lufttemperatur in oC

O 24

– 4

DialogMathe Anwendung Modellbildung


Berechnung von C: ( ) ( )12T 13 30 sin 13 C 10 40π= ⋅ ⋅ + + =

( )( ) ( )

( ) [ ]( )

12 12 2

13 7 72 12 12 12 12

12

sin 13 C 1 13 C

C T t 30 sin t 10

T t 30 sin t 7 10

π π π

π π π π π

π

⋅ + = → ⋅ + =

→ = − = − → = ⋅ ⋅ − +

= ⋅ ⋅ − +

b) Zeit t bei der die Oberflächentemperatur o0 C beträgt. ( ) ( )

[ ]( )7

12 12

1213

T t 30 sin t 10 0

sin t 7

π π

π

= ⋅ ⋅ − + =

⋅ − = −

Rechner: 1 2t 5,7h ; t 20,3h= =

solve Befehl

Graphisch

c) Betragsfunktion für die Lufttemperatur. ( ) ( )T t 2 t 12 20 2 t 24 20= − ⋅ − + = − ⋅ − +

( ) ( )T t 2 t 12 20= − ⋅ − +

d) Zeit wo die Oberflächentemperatur und die Lufttemperatur gleich sind?

Rechner (graphisch, Intersection) 1 2t 7h ; t 19,7h= =



3.4.2 Modellbildung Wirtschaftsindex

Ein Wirtschaftsindex kann im Jahresverlauf durch eine Sinusfunktion

( ) ( )WI t A sin B t C D= ⋅ ⋅ + + dargestellt werden. Der Verlauf wird wöchent-

lich 0 t 52≤ ≤ ermittelt, wobei der maximale Wert 17 und der minimale Wert

–3 beträgt. Das Maximum wird in der 5. Woche erreicht.

a) Bestimme die Funktion WI(t).

b) Wie gross ist der Index am Beginn des Jahres WI(0)?

c) In welchen Wochen wird der Index Null?

d) Ein Wachstumsindex kann durch die Funktion ( )WA t 0,2 t= ⋅ beschrieben

werden. Wann sind der Wirtschaftindex und der Wachstumsindex gleich

gross?

Lösung:

a) Bestimmung von A: 17 ( 3)

A 102

− −= =

Bestimmung von B: 2

B52

π=

Bestimmung von D: D 17 10 7= − =

Bestimmung von C: ( ) 2WI 5 10 sin 5 C 7 17

52π = ⋅ ⋅ + + =

2sin 5 C 1

52

25 C

52 25 1 5 4

C2 26 2 26 13

π → ⋅ + =

π π→ ⋅ + =

π π π → = − = π ⋅ − =

( ) [ ]2 4 2WI t 10 sin t 7 10 sin t 8 7

52 13 52π π π = ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + +

b) ( ) 4WI 0 10 sin 7 15,23

13π = ⋅ + =

c) ( ) [ ]2WI t 10 sin t 8 7 0

52π = ⋅ ⋅ + + =

In der 24. und 37. Woche wird WI Null.

d) ( ) ( )WI t WA t= [ ]210 sin t 8 7 0,2 t

52π → ⋅ ⋅ + + = ⋅

In der 20. und 45. Wochen sind die beiden Indices gleich.

DialogMathe Anwendung Biorhythmen


3.5 Anwendung Biorhythmen

3.5.1 Theorie vom Biorhythmus (Quelle: Mathematik mit Computern von Georges Murbach)

Begründer der Biorhythmik-Lehre ist Dr. Wilhelm Fliess, ein Zeitgenosse und

Verehrer von Sigmund Freud. Für den geistigen Vater der Biorhythmen „rollt

das ganze Dasein nach einer inneren Ordnung ab, kraft derer die Zeiten des

Geborenwerdens und Sterbens, des Wachsens und Vergehens ihren festen

Platz einnehmen“.

Seit dem Moment der Geburt eines Menschen schwanken seine körperlichen

und seelischen Lebenskräfte in immer gleich bleibenden Rhythmus -

der körperliche währt 23 Tage, der seelische 28 Tage und der intellektuelle 33

Tage. ( ) 2y t sin t

Tπ = ⋅

: Sinusfunktion mit der Periode T

Korrekt besagt die Theorie vom Biorhythmus, dass jeder Mensch sich

elfeinhalb Tage körperlich in einer Hoch- oder Aktivitätsphase, ebenfalls

elfeinhalb Tage in einer Tief- oder Regenerationsphase befindet. Das gleiche

geschieht im seelischen Bereich, dessen beide Phasen 14 Tage dauern, und im

Intellektbereich mit je 16,5-tägigen Phasen. Weil aber die drei Phasen unter-

schiedlich lang sind, kommt es zu unterschiedlichen, immer wechselnden

Kombinationen des individuellen körperlichen, seelischen und geistigen

Wohl- oder Missbefindens.

Der amerikanische Pharmakonzern PFIZER teilt seine Produktionsarbeiter

nach ihrem Biorhythmus ein und senkte die Unfallrate um fast 60%.

Biorhythmen sind Lebens-Rhythmen, Perioden gesteigerter oder verminderter

Leistungsfähigkeit und Widerstandskraft gegen aussergewöhnliche

Anstrengungen oder Belastungen körperlicher oder geistiger Art. Sie sind

nach dem heutigen Stand der Wissenschaft und Technik im Voraus feststell-

bare Kräfteverhältnisse im Organismus des Menschen.

Nach der Theorie von Fliess sind Tage besonders kritisch, wo mehrere

Perioden gleichzeitig einen Nulldurchgang haben, sich also von der

Aktivitäts- in die Regenerationsphase bewegen und umgekehrt.



3.5.2 Beispiele Am 1. August 1976 erlitt der bekannte Formel-1-Pilot Niki Lauda auf dem

Nürburgring einen fürchterlichen Unfall. Schon Tage zuvor fühlte er sich in

einer schlechten Verfassung, obschon der medizinische Befund ganz ausge-

zeichnet war. (Geburtsdatum: 22. 2. 1949)

Eigene Berechnungen mit der mitgelieferten Excel – Datei!

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Niki Lauda

physisch psychisch intellektuell

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Benno Frei

physisch psychisch intellektuell

DialogMathe


3.6 Sinus als Polynom

Dynamisches Arbeitsblatt sinus_PolynomZeit: 10 Minuten

Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion dargestellt werden, wobei der Grad unendlich ist.

3 5 7 9 11 13 15 17 19x x x x x x x x xsin(x) x

3! 5! 7! 9! 11! 13! 15! 17! 19!= − + − + − + − + − + −

( 5! 5 4 3 2 1= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Fakultät) Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt

d.h. sin(x) ist eine ungerade Funktion (punktsymmetrisch zum Ursprung).

Je nach Genauigkeit kann die Sinusfunktion als Polynom nSchieberegler a bis j (0: Funktion ausgeblendet, 1a) sin(x) x≈ (Polynom 1. Grades

Beachte: Für kleine x ist die Sinusfunktion eine Gerade mit Steigung 1.

b) 3x

sin(x) x3!

≈ − (Polynom 3. Grades)

c) 3 5x x

sin(x) x3! 5!

≈ − + (Polynom 5. Grades)

d) 3 5 7x x x

sin(x) x3! 5! 7!

≈ − + −

Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion. Für die Kosinusfunktion gilt (gerade Funktion):

2 4 6 8 10 12 14 16 18x x x x x x x x xcos(x) 1

2! 4! 6! 8! 10! 12! 14! 16! 18!= − + − + − + − + − + −


Sinus als Polynom

Dynamisches Arbeitsblatt sinus_Polynom Zeit: 10 Minuten

Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion dargestellt werden, wobei der Grad unendlich ist.

3 5 7 9 11 13 15 17 19x x x x x x x x x3! 5! 7! 9! 11! 13! 15! 17! 19!

= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯

Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt


e Sinusfunktion als Polynom n-ten Grades dargestellt werden.Funktion ausgeblendet, 1: Funktion eingeblendet)

(Polynom 1. Grades): Schieberegler a


(Polynom 3. Grades): Schieberegler b

(Polynom 5. Grades): Schieberegler c

3 5 7x x x3! 5! 7!

≈ − + − (Polynom 7. Grades): Schieberegler d usw.

Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion. Für die Kosinusfunktion gilt (gerade Funktion):

2 4 6 8 10 12 14 16 18x x x x x x x x x2! 4! 6! 8! 10! 12! 14! 16! 18!

= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯

Sinus als Polynom

113

Die Sinusfunktion ist eine transzendente Funktion. Sie kann durch eine Polynomfunktion

= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯

Beachte: Die Sinusfunktion besitzt nur ungerade Exponenten, daraus folgt sin( x) sin(x)− = − ,


Grades dargestellt werden.


: Schieberegler d usw.

Beobachte die Entstehung der typischen „Wellenform“ der Sinusfunktion.

= − + − + − + − + − + −⋯ ⋯

Anwendung Schwingungen DialogMathe


4 Anwendung Schwingungen

4.1 Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung

Ein kleiner Körper P bewege sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω

auf einer Kreisbahn mit Radius r. Diese Kreisbewegung wird durch parallel

einfallendes Licht auf eine Wand projiziert, die normal zur Kreisbahn steht.

Der Schatten P’ vollführt eine Auf- und Abbewegung.

Der Körper P kann durch seinen Ortsvektor ( )( )

( )r cos t

r t OPr sin t

⋅ ω ⋅ = = ⋅ ω ⋅

� ��

beschrieben werde. Für die Projektion erhalten wir dann die y-Komponente

des Ortsvektors: ( ) ( )y ' t r sin t= ⋅ ω ⋅ . Diese wird in Funktion der Zeit als

Funktionsgraph dargestellt. Eine Bewegung nach diesem zeitlichen Gesetz

heisst Sinusschwingung oder harmonische Schwingung mit der Amplitude r

und der Kreisfrequenz ω . Damit ist der enge Zusammenhang zwischen einer

Kreisbewegung und einer Sinusschwingung aufgezeigt.

Ist ϕ der in der Zeit t durchlaufene Drehwinkel, so gilt ttϕω = → ϕ = ω ⋅ .

Wenn der Körper für einen Umlauf auf der Kreisbahn die Zeit T benötigt, so

folgt noch der wichtige Zusammenhang zwischen ω und T: 2Tπω =

Harmonische Schwingung: ( ) ( )0y t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ

A: Amplitude ; ω : Kreisfrequenz ; 0ϕ : Nullphasenwinkel

DialogMathe /Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung


4.1.1 Periodendauer Wird ω bei gleich bleibender Amplitude verändert, so ändert dies die Periode

der Sinusfunktion. Wir können dies allgemein überlegen:

Da die Periodenlänge der Sinusfunktion 2π beträgt gilt:

( ) ( ) ( ) 2y t sin t sin t 2 sin t

π = ω ⋅ = ω ⋅ + π = ω ⋅ + ω

Da also die Addition von 2πω

zu t wieder den gleichen Funktionswert ergibt,

hat sich die Periode von bisher 2π auf 2πω

geändert. Wir bezeichnen allgemein

die Periode bei einer zeitabhängigen Sinusfunktion mit dem Buchstaben T

und nennen sie auch Periodendauer oder Schwingungsdauer.

Periodendauer (Periode) einer Sinusfunktion: 2

Tπ=

ω

0,5ω =

1,5ω =

Anwendung Schwingungen

116

Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten

Schieberegler: [ ]t 0 ; 29∈ : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)

[ ]0 ; 2ω∈ : Winkelgeschwindigkeit des Punktes P

Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit

Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht werden.

Arbeitsaufträge:

1) Bedeutung der Nullphase/

2) Setze den Schieberegler auf

Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.


und Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?


Q mit Hilfe von t rotieren. Was stells


Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten

: Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)

Winkelgeschwindigkeit des Punktes P

Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit [ ]0 ; 2 rads−ω ∈

Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkte gelöscht

Bedeutung der Nullphase/ positiv Linksverschiebung

Setze den Schieberegler auf 11rads−ω = und lass die beiden Punkte P und


den Schieberegler auf 10,25 rads−ω = und lass die beiden Punkte P


Setze den Schieberegler auf 12 rads−ω = und lass die beiden Punkte P und

Q mit Hilfe von t rotieren. Was stellst du fest?

DialogMathe


GeoGebra Datei: Kreisfrequenz_harmonischeSchwingung


10 ; 2 rads−


und lass die beiden Punkte P und


und lass die beiden Punkte P


DialogMathe


Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: zweiPunkte_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten

Schieberegler: [ ]t 0 ; 29∈ : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der Punkte P und Q)


Punkt Q rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit


Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) werden.

Arbeitsaufträge:


Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren gleich schnell. Die





/Zusammenhang Kreisbewegung Schwingung


Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: zweiPunkte_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten


: Winkelgeschwindigkeit des Punktes P

Punkt Q rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit 11rads−ω =

Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit [ ]0 ; 2 rads−ω ∈

Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren der Punkt

Setze den Schieberegler auf 11rads−ω = und lass die beiden Punkte P und


Setze den Schieberegler auf 10,25 rads−ω = und lass die beiden Punkte P


Setze den Schieberegler auf 12 rads−ω = und lass die beiden



117


10 ; 2 rads−

können die Spuren der Punkte gelöscht


Q mit Hilfe von t rotieren. Die Punkte liegen aufeinander und rotieren beiden Sinusfunktionen liegen übereinander.

und lass die beiden Punkte P




4.1.2 Phasenverschiebung

Die Sinusfunktion ( ) ( )y t A sin t= ⋅ ω ⋅ beschreibt einen Vorgang, der mit dem

Funktionswert 0 beginnt. Die Sinusfunktion ( ) ( )0y t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ besitzt

zum Zeitpunkt t = 0 bereits den Wert ( ) ( )0y 0 A sin= ⋅ ϕ und ist gegenüber

jener mit 0 0ϕ = nach links oder rechts verschoben, sonst aber deckungs-

gleich.

Zur Bestimmung der Verschiebung können wir eine nahe dem Ursprung lie-

gende Nullstelle 0t berechnen:

y 0= für 0t kω ⋅ + ϕ = ⋅ π (k 0, 1, 2,= ± ± …… )

Und daraus mit k = 0 : 00t

ϕ= −ω

Nullstelle zur Berechnung der Verschiebung: 00t

ϕ= −ω

Nach der Nullstelle 0t steigt die Sinusfunktion an (überlege!).

0tω ⋅ + ϕ wird Phasenwinkel, 0ϕ Nullphasenwinkel genannt. Die Richtung der

Verschiebung gegenüber dem Graphen von ( ) ( )y t A sin t= ⋅ ω ⋅ folgt aus dem

Vorzeichen von 0ϕ (begründe!):

0 0ϕ > : Linksverschiebung

0 0ϕ < : Rechtsverschiebung

Zusammenfassung der Bedeutung der Grössen A, ω und 0ϕ

( ) ( )0y t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ϕ

A: Streckung in y – Richtung

ω : Änderung der Periode von 2π auf 2πω

0ϕ : Verschiebung bis 00t

ϕ= −ω

( ) ( ) 00y t A sin t A sin t

ϕ = ⋅ ω ⋅ + ϕ = ⋅ ω ⋅ + ω

DialogMathe


Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Nullphase_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten

Schieberegler:

[ ]t 0 ; 29∈ : Zeit (zeitlicher Ablauf der Rotation der


[ ] [0 0 ; 2 0 ; 6,28ϕ ∈ π =


Startposition von P :

Im Menu Ansicht (Ansicht auffrischen) können die Spuren werden.

Arbeitsaufträge:

1) Bedeutung der Nullphase: Wähle einige Werte für die Nullphase [ ] [0 0 ; 2 0 ; 6,28ϕ ∈ π =

2) Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer Fder): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden.

Diskutiere einige Spezialfälle:

3) Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine Linkverschiebung der Sinusfunktion.

Videoclip: Datei 0501analogie

Analogie Federpendel / Kreisbewegung

Projizierte Kreisbewegung und Federpendel synchron



Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion GeoGebra Datei: Nullphase_harmonischeSchwingung Zeit: 10 Minuten


: Winkelgeschwindigkeit des Punktes P

]0 ; 2 0 ; 6,28 : Nullphase von P

Punkt P rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit [ ]0 ; 2 rads−ω ∈Startposition von P : [ ] [ ]0 0 ; 2 0 ; 6,28ϕ ∈ π =


Bedeutung der Nullphase: Wähle einige Werte für die Nullphase ]0 ; 2 0 ; 6,28 und interpretiere den Effekt auf die Sinusfunktion.

Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer Fder): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden.

Diskutiere einige Spezialfälle: 0 2πϕ = ; 0ϕ = π ; 0

32πϕ =

Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine Linkverschiebung der Sinusfunktion.

Videoclip: Datei 0501analogie

Analogie Federpendel / Kreisbewegung

Projizierte Kreisbewegung und Federpendel synchron


119

Punkte P und Q)

10 ; 2 rads−

der Punkte gelöscht

die Sinusfunktion.

Harmonische Schwingung (z.B. Federpendel, d.h. schwingende Masse an einer Fe-der): Mit der Nullphase kann die Starposition der Masse festgelegt werden.

Studiere den folgenden Zusammenhang: Eine positiv Nullphase bewirkt eine Links-



4.1.3 Partnerinterview Parameterdarstellung von Kurven

Partnerinterview Parameterdarstellung von Kurven Zeit: 15 Minuten

Frage 1: Wo liegen die folgenden Punkte P (für t R∈ )?

a) ( ) ( )( )P cos t | sin t

b) ( ) ( )( )P a cos t | a sin t⋅ ⋅


( ) ( )( )P a cos t | b sin t⋅ ⋅


( ) ( )( )P t cos t | t sin t⋅ ⋅

DialogMathe Beispiele von Schwingungen


4.2 Beispiele von Schwingungen

Java-Applets zur Physik (Java 2.0) von W. Fendt

http://www.walter-fendt.de/ph11d/

4.2.1 Federpendel

http://www.walter-fendt.de/ph11d/federpendel.htm

4.2.2 Fadenpendel

http://www.walter-fendt.de/ph11d/fadenpendel.htm

4.2.3 Gekoppelte Pendel

http://www.walter-fendt.de/ph11d/gekopendel.htm



4.2.4 Erzwungene Schwingung (Resonanz)

http://www.walter-fendt.de/ph11d/resonanz.htm

4.2.5 Stehende Längswellen

http://www.walter-fendt.de/ph11d/stlwellen.htm

4.2.6 Elektromagnetischer Schwingkreis

http://www.walter-fendt.de/ph11d/schwingkreis.htm

DialogMathe Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik


4.3 Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik

http://www.geogebra.org/de/examples/fourier/Arbeitsblaetter/uebersicht.htm

Unterrichtseinheit erstellt von Judith Preiner, 8.4.2005

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler die Fourier-

Analyse (nach J.B.J. Fourier, 1768-1830) auf experimentelle Art und Weise

kennen. Mit der Methode können komplexe Schwingungen, wie sie in der

Musik und in der Physik vorkommen, in ihre Einzelkomponenten zerlegt

werden.

Nach der Einführung in das Thema der trigonometrischen Funktionen und

insbesondere der Sinusfunktion arbeiten die Schülerinnen und Schüler weit-

gehend selbstständig am Computer. Mit dynamischen Arbeitsblättern, die

mithilfe der kostenlosen Software GeoGebra erstellt wurden, finden sie her-

aus, wie sich die Parameter Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel auf

eine Sinusschwingung auswirken. Anschließend werden diese Erfahrungen

dazu genutzt, Sinusschwingungen gezielt zu beeinflussen, um eine experi-

mentelle Art der Fourier-Analyse durchzuführen. Die dynamischen Arbeits-

blätter enthalten auch Erklärungen und Informationen aus der Physik und der

Musik, wodurch sie sich für den fächerübergreifenden Unterricht eignen. Da

in der Musik Hörerfahrungen nicht fehlen dürfen, stellen neun Hörbeispiele

eine direkte Verbindung zur Musik her. Die Hörbeispiele stehen in unmittel-

barem Bezug zu den Aufgabenstellungen und vermitteln einen direkten Zu-

sammenhang zwischen den dynamischen Konstruktionen und den musikali-

schen Entsprechungen. So üben die Schülerinnen und Schüler nicht nur den

Umgang mit trigonometrischen Funktionen, sondern lernen auch deren Be-

deutung für die Physik und die Musik kennen.

4.3.1 Überlagerung von harmonischen Schwingungen

Harmonische Schwingungen wenig verschiedener Frequenz, gleicher

Amplitude und gleicher Schwingungsrichtung (Schwebung).

Phänomen Schwebung:

Sinus-Schwingung: ( )y A sin t= ⋅ ω ⋅

A = Amplitude (Luftdruckschwankung → Lautstärke)



2 fω = π = Kreisfrequenz

f = Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde → Tonhöhe)

T = Schwingungsdauer 1 2

Tf

π= =ω

Überlagerung von zwei Sinus-Schwingungen:

( ) ( )1 1 2 2y A sin t A sin t= ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅

Voraussetzung: ( )1 2 1 2 1 2A A A ,= = ω ≈ ω ω > ω

Mathematik: ( ) ( )sin sin 2 cos sin2 2

α − β α + β α + β = ⋅ ⋅

1 2t ; tα = ω ⋅ β = ω ⋅ einsetzen

( ) ( ) 1 2 1 21 2y A sin t A sin t 2A cos t sin t

2 2ω − ω ω + ω = ⋅ ω ⋅ + ⋅ ω ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Der Kosinus-Term beschreibt die langsame Amplitudenänderung (Schwe-

bung).

Schwebungsfrequenz: Schweb 1 2f f f= − ( 1 2ω − ω )

Warum nicht durch 2 dividiert?

Der Sinus - Term beschreibt die Frequenz der resultierenden mittleren Fre-

quenz.

1 2Result

f ff

2+= ( 1 2

2ω + ω

)

http://www.walter-fendt.de/ph11d/schwebung.htm

Rechnung demonstrieren:

Stimmgabel: 1f 440Hz= , 2f 438Hz=

DialogMathe


4.3.2 Anwendung Physik lineare RückstellkraftUrsache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft

Resultierende der auf einen Körper wirkenden Kräfte und stets zur Ruhelage

hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungs

fähigen System ein lineares Kraftgesetz (

zu einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung).

Umgekehrt können wir aus dem Vorliegen einer harmonischen Schwingung

auf ein lineares Kraftgesetz schliessen.

Kreisbewegung:

2ZF m r= ω ⋅ (lineares Kraftgesetz:

Wenn wir dem Radius r eine Richtung geben

richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen

Federschwingung Eine Kugel (Masse

einer Feder (Federkonstante

Kugel wird aus der Ruhelage (Weg

0,4m nach rechts ausgelenkt und dann

aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.

Graphische Modellbildung

Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik


Anwendung Physik lineare Rückstellkraft Ursache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft


hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungs

System ein lineares Kraftgesetz ( RF proportional y) vor, so kommt es

zu einer harmonischen Schwingung (Sinusschwingung).


auf ein lineares Kraftgesetz schliessen.

Kreisbewegung: 2

Zv

F mr

= ⋅ mit v r= ω ⋅ folgt

(lineares Kraftgesetz: ZF proportional r)

Wenn wir dem Radius r eine Richtung geben, ist die Kraft entgegengesetzt g

richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen

Eine Kugel (Massem ) bewegt sich an

einer Feder (FederkonstanteD ). Die

Kugel wird aus der Ruhelage (Weg = 0)

0,4m nach rechts ausgelenkt und dann

aus der Ruhelage (v = 0) losgelassen.

resF D Weg= − ⋅

resFa

m= v 0=

Schwingungen in Mathematik, Musik und Physik

125

Ursache einer mechanischen Schwingung ist eine Rückstellkraft RF . Sie ist die


hin gerichtet (Gleichgewichtslage, Nulllage). Liegt bei dem schwingungs-

proportional y) vor, so kommt es


ist die Kraft entgegengesetzt ge-

richtet. Dies können wir mit einem Minuszeichen darstellen 2ZF m r= − ω ⋅ .

F D Weg= − ⋅

v Weg 0,4=

LE6Skript2013 Trigo periodische...

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