Zahlentheoretische Untersuchung und Analyse der neu...

Matthias-Claudius-Gymnasium Hamburg

Besondere Lernleistung im Abitur 2016

Mathematik - Elementare und analytische Zahlentheorie

Zahlentheoretische Untersuchung und

Analyse der neu eingefuhrten Zahlenklasse

der polyabundanten Zahlen

k + 1 <

ω∏i=1

∞∑j=0

1

pji

−→ ∏p prim

1

1− 1p

=∞

Prufling: Fabian Schneider (13.05.1998)[email protected]

Prufer: Christian Lange

Abgabe: Marz 2016

. die Gleichung des Deckblattes beschreibt den wichtigen Ansatz im Beweis 3 (siehe Seite 11)

Abstrakt

Hinter Zahlen steckt viel mehr als man denkt, weshalb diverse Untersuchungen moglich

werden! Die echte Teilersumme σ∗(n), die die Summe aller Teiler einer Zahl ohne der

Zahl selbst angibt, ist eine der Eigenschaften von Zahlen. Z.B. besitzt 8 die echte

Teilersumme 1+2+4 = 7. Wird nun die Teilersumme mit der Zahl verglichen, kann

festgestellt werden, dass manche Werte kleiner, manche großer und manche gleich groß

sind wie die Zahl. Falls die Teilersumme großer ist, wird von einer abundanten Zahl

gesprochen, fur die somit σ∗(n) > n gilt. Doch existieren auch Zahlen, bei denen die

Teilersumme k-fach großer ist, also σ∗(n) > k ·n gilt. Solche Zahlen sollen polyabundante

Zahlen genant werden! Polyabundante Zahlen werden mit steigendem k sehr selten,

jedoch umso interessanter! Aufgrund dessen wurden diese Zahlen im Rahmen der

Ausarbeitung analysiert und hinsichtlich verschiedener zahlentheoretischer Aspekte

untersucht - dabei konnten an viele Stellen interessante Ergebnisse erzielt werden!

Vorwort und Danksagung

Zahlentheorie wird leider nicht in der Schule unterrichtet, dennoch ist sie vor allem

eines: schon! Viele Mathematiker vertreten die Ansicht, dass Zahlentheorie das schonste

Fachgebiet der Mathematik sei, und es werden auch heute noch erstaunliche

Erkenntnisse gewonnen (siehe [3]). Ich haben versucht dies wahrend der Uberlegungen,

Feststellungen und Beweise deutlich zu machen und meine Begeisterung fur dieses sehr

interessante Gebiet einzubringen. Um diese Abhandlung anfertigen zu konnen, war

neben zahlentheoretischen Kenntnissen auch eines wichtig: viele Daten! Daher mochte

ich mich besonders bei Markus Flatken vom Deutsches Zentrum fur Luft- und

Raumfahrt (DLR) in Braunschweig in der Abteilung Simulation and Software

Technology bedanken, welcher meine Programme, die viele Zahlen hinsichtlich diverser

Aspekte analysiert haben, auf dem Cluster-Computer vor Ort fur mehrere Tage laufen

lies, sodass ich mit mehreren Gigabytes an Daten die Suche und Auswertung von

polyabundanten Zahlen erst richtig beginnen konntet. Ebenso ist an dieser Stelle

Carsten Konig vom Max-Planck Institut fur Radioastronomie in Bonn zu danken, der

ebenfalls die Suche durch die Computer vor Ort beschleunigte, meine empirischen

Auswertungen ebenfalls verbessert hat und durch die Daten erste Impulse zu

zahlentheoretischen Uberlegungen liefern konnte.

Eidesstattliche Erklarung

Hiermit versichere ich, diese Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt zu haben.Samtliche Hilfen, Quellen und Zitate sind in ihrer Herkunft kenntlich gemacht.

Datum: Unterschrift:

Inhaltsverzeichnis

Abstrakt, Vorwort, Danksagung und eidesstattliche Erklarung 2

Einleitung 5

I Grundlegende Untersuchungen 7

I.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.2 Erste zahlentheoretische Untersuchungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.2.1 Unendlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.2.2 Minimalwerteproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.2.3 Ungerade Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.2.4 Kombinationsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.3 Erstes analytisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.3.1 Direktes Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I.3.2 Verhalten des Abstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II Weiterfuhrende Untersuchungen 20

II.1 Bestimmung von unterer Schranke N ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.1.1 Ubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.1.2 Voruberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.1.3 Zusammenfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.2 Bestimmung von oberer Schranke N ′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.2.1 Ubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.2.2 Voruberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II.2.3 Zusammenfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.3 Direkte Bestimmungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II.4 Untere Schranke der Teileranzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II.5 Verhalten des Abstandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.5.1 Allgemeiner Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.5.2 Ungerader Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.5.3 Großenbeschrankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

II.5.4 Abstandverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II.6 Zahlfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.7 Unendliche Summe der Reziproke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.7.1 Alle polyabundante Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II.7.2 Ausgangswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II.8 Polyabundante Fakultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.8.1 Untere Schranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.8.2 Direkte Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

INHALTSVERZEICHNIS

II.9 Darstellung als Summe von Potenzzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II.10 Polyabundante Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IIISpeziellere Untersuchungen 43

III.1 k(n) als multiplikative Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.1.1 Allgemeines und Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.1.2 Verhalten und Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III.2 Anwendung beim Dirichlet-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III.2.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III.2.2 Anwendung auf k′(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Schlussbemerkung 47

A Zusatzliche Theoreme 50

A.1 Theorem I: Approximation eines Folgenprodukts . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.1.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.1.2 Geradenapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A.1.3 Approximationstabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2 Theorem II: Zahlenoszillationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2.1 Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.2.3 Exemplarische Oszillationstranformationen . . . . . . . . . . . . . . 55

B Zusatzliche Beweise und Erlauterungen 57

B.1 Beweis A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

B.2 Beweis B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

B.3 Beweis C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

B.4 Beweis/Erlauterung D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

C Zusatzliche Tabellen und Diagramme 60

C.1 Weitere Diagramme und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

C.2 Weitere defiziente, vollkommene und abundante Zahlen . . . . . . . . . . . 61

C.3 Weitere polyabundante Zahlen nach Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

C.4 Weitere polyabundante Zahlen nach Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

D Symbol-, Beweis- und Tabellenverzeichnis 66

D.1 Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

D.2 Beweisverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

D.3 Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Abbildungsverzeichnis 69

Literaturverzeichnis 70

4

Einleitung

Wird eine Zahl n ∈ N betrachtet, dann verfugt diese uber diverse Eigenschaften. Einedavon ist die Teilersumme σ(n) aller unechten Teiler von n. Sei di der i-te Teiler von nund habe n genau τ Teiler, wobei entsprechend d = {1, d2, ..., dτ−1, n}, dann ist

σ(n) =τ∑i=1

di =∑d|n

d. (1)

Einer der Aspekte der Zahlentheorie ist der Vergleich zwischen n und σ(n), sodass dreiFalle auftreten konnen, welche wie folgt benannt werden (vgl. [2]):

• σ(n) < 2n, so ist n defizient,

• σ(n) = 2n, so ist n vollkommen,

• σ(n) > 2n, so ist n abundant.

Es muss ein Vergleich mit 2n stattfinden, da immer σ(n) > n, denn n ist ebenfalls einTeiler von n. Die echte Teilersumme σ∗(n) = σ(n) − n (also ohne der Zahl selbst) kannhingegen direkt mit n vergleichen werden. Da jedoch in der Zahlentheorie bevorzugt mitσ(n) gearbeitet wird, soll in dieser Ausarbeitung ebenso verfahren werden. Es gibt ammeisten defiziente Zahlen und am seltensten vollkommene Zahlen. Beispiele dafur sind

• defizient: 2, 3, 4, 5, 7, 8,

• vollkommen: 6, 28, 496, 8128, 33550336,

• abundant: 12, 18, 20, 24, 30, 40.

Zusatzliche Erklarungen und Tabellen dazu befinden sich im Anhang. Es gibt unend-lich abundante Zahlen und lim supn→∞ σ(n) = ∞ (siehe [2]). Es muss an dieser Stellemit Limes superior gearbeitet werden, da die Teilersumme (wie noch deutlich werdenwird) direkt mit der Primfaktorzerlegung zusammenhangt. Da die Mathematik bis heutejedoch nicht das Verhalten von Primzahlen verstanden hat, erscheint die Primfaktorzerle-gung keinem klaren Muster zu folgen und die Teilersummenfunktion weist keinen klarengeschlossenen Verlauf auf, wie durch Abbildung 1 deutlich wird. In dieser Ausarbeitung

Abbildung 1: Verlauf von σ∗(n) in Abhangigkeit von n ∈ [0, 300]

5

soll das allgemeine Verhaltnis k zwischen n und σ(n) betrachtet werden, sodass die ver-allgemeinerten Gleichungen

(k + 1) · n < σ(n) (2)

bzw.

k <σ(n)

n− 1 (3)

untersucht werden sollen. Bei (2) ist die Teilersumme also k-mal so groß wie die Zahl,und wir sagen n ist k-fach abundant und sprechen allgemein von polyabundanten Zahlender Stufe k. Die erste 2-fach abundante Zahl ist 180 mit σ(180) = 546 = 6 + 3 · 180 unddie erste 3-fach abundante Zahl ist 27720 mit σ(27720) = 112320 = 1440 + 4 · 27720. InAbbildung 2 ist dies grafisch dargestellt, wobei es sich bei allen Werten uber der einge-zeichneten Linie um polyabundante Zahlen handelt.

Abbildung 2: Verlauf von k(n) in Abhangigkeit von n ∈ [0, 1000]

Es sollen nun viele verschiedene Aspekte betrachtet werden. Die Unendlichkeit soll unter-sucht werden und insbesondere gezeigt werden, dass

lim supn→∞

(σ(n)

n− 1

)=∞, (4)

sowie weitere zahlentheoretische Eigenschaften gezeigt, das Verhalten in Bezug auf Ver-teilung und Abstand untersucht und weitere Aspekte einbezogen werden. Dazu ist die-se Ausarbeitung nach dem ublichen mathematischen Aufbau gestaltet, sodass zunachsteine Behauptung aufgestellt und diese bewiesen wird. Auch befinden sich daher die ver-wendeten Lemmata stets vor den Beweisen. Insgesamt ist die Arbeit in drei wesentli-che Abschnitte gegliedert: grundlegende, weiterfuhrende und speziellere Untersuchungen.Dabei werden im grundlegenden Teil zunachst einige wichtige Fragen beantwortet, dieweitere Uberlegungen im weiterfuhrenden Teil erst ermoglichen. Im Anschluss werdendiese Aspekte im weiterfuhrenden Teil ausgefuhrt und im spezielleren Teil noch weite-re unabhangige Aspekte angesprochen. Da der Umfang dieser Ausarbeitung gesprengtwurde, werden einige Aspekte nur begrenzt angesprochen und diverse Verweise verwen-det. Der Abschnitt I ist dabei der bedeutendste Abschnitt der Ausarbeitung. Auch habeich versucht die Darstellungen der Uberlegungen so anzupassen, dass allgemeine Kennt-nisse fur das Verstandnis ausreichen werden. Dennoch ist diese Ausarbeitung mit einemausfuhrlichen Anhang versehen, auf den an einigen Stellen verwiesen wird. Dort ist nebenanderen Verzeichnissen auch ein Symbolverzeichnis bei Unklarheiten vorhanden.

Abschnitt I

Grundlegende Untersuchungen

I.1 Definition

Wie bereits in der Einleitung ausgefuhrt, ist eine Zahl k-fach abundant, wenn

(k + 1) · n < σ(n), k ≥ 1 (I.1)

gilt. Fur alle abundanten Zahlen halt die Bedingung also fur k = 1. Es soll nun eine Lis-te der ersten 2-fach und 3-fach abundanten Zahlen mit weiteren Informationen gegebenwerden (im Anhang C.3 befindet sich eine erweiterte Liste), da diese Ubersicht fur unsspater noch relevant wird und bereits jetzt zur naheren Betrachtung einladt.

2-fach abundant:

n σ∗(n) σ(n)/n− 1 Primfaktorzerlegung180 366 2,033 22 · 32 · 5240 504 2,100 24 · 3 · 5360 810 2,250 23 · 32 · 5420 924 2,200 22 · 3 · 5 · 7480 1032 2,150 25 · 3 · 5Tabelle 1: Die ersten 2-fach abundanten Zahlen

3-fach abundant:

n σ∗(n) σ(n)/n− 1 Primfaktorzerlegung27720 84600 3,052 23 · 32 · 5 · 7 · 1150400 152712 3,031 25 · 32 · 52 · 755440 176688 3,188 24 · 32 · 5 · 7 · 1160480 183360 3,031 26 · 33 · 5 · 765520 205296 3,134 24 · 32 · 5 · 7 · 13

Tabelle 2: Die ersten 3-fach abundanten Zahlen

I.2 Erste zahlentheoretische Untersuchungen

I.2.1 Unendlichkeit

Zunachst stellt sich die Frage, ob es unendlich viele polyabundante Zahlen gibt. DieseFrage muss jedoch aufgeteilt werden in die zwei Unterfragen:

• Gibt es viele unendlich k-fach abundante Zahlen?

• Gibt es Zahlen mit beliebig großem k?

7

ABSCHNITT I. GRUNDLEGENDE UNTERSUCHUNGEN

Die erste Frage bezieht sich auf den Typen (z.B. ob es unendlich viele 2-fach abundanteZahlen gibt) und die zweite auf das k selbst (also ob es z.B. auch 850-fach abundante Zah-len gibt). Besonders die zweite Frage ist nicht leicht zu beantworten, da zwar σ(n)→∞,aber ebenso n → ∞. Zunachst soll die erste Frage betrachtet werden, wobei diese auchfolgendes impliziert: Wenn jemals eine k-fach abundante Zahl gefunden wird, dann gibtes auch unendlich viele weitere von dieser k-ten Stufe.

Lemma 1.1: Es ist σ(pα · qβ) = σ(pα) · σ(qβ) mit p, q Primzahlen (siehe Beweis A).

Lemma 1.2: Die Zahl pα hat offensichtlich die Teiler 1, p, p2, ..., pα.

Behauptung 1: Sollte eine einzige k-fach abundante Zahl existieren, dann existierenauch unendlich weitere k-fach abunante Zahlen.

Beweis 1:Fur die Zahl n soll

(k + 1)n < σ(n) (I.2)

gelten und erfullt daher das exakte Verhaltnis kn durch

(kn + 1)n = σ(n) =⇒ kn =σ(n)

n− 1. (I.3)

Es soll nun eine Zahl m = n · p erzeugt werden, wobei ggT (n, p) = 1 gilt. Da wirggT (n, p) = 1 bestimmt haben, folgt wegen Lemma 1.1 und 1.2

σ(m) = σ(n · p) = σ(n)σ(p) = σ(n) · (1 + p) = σ(n) + p · σ(n) (I.4)

σ(m) > σ(n). (I.5)

Damit ist auch km > kn, sodass die ursprungliche Stufe etwas großer wurde. Die Behaup-tung ware bewiesen, falls fur jedes n ein p gefunden werden kann, sodass

km = kn (I.6)

gilt und sich somit die Stufe nicht verandert hat, trotz eines neuen Primfaktors. Wegendieser Bedingung und (I.3) muss

σ(n · p)n · p

− 1 =σ(n)

n− 1 (I.7)

σ(n)

n· σ(p)

p=σ(n)

n(I.8)

σ(p)

p= 1 (I.9)

σ(p)

p=

1 + p

p= 1 +

1

p= 1 =⇒ 1

p= 0. (I.10)

Da es unendlich viele Primzahlen gibt und daher p −→∞, muss entsprechend 1/p −→ 0,sodass bei der Wahl einer ’unendlich’ großen Primzahl die Bedingung erfullt ist und dieBehauptung bewiesen ware.

�

8


Aus diesem Ergebnis folgt ubrigens, dass allgemein jede abundante Zahl multipliziert miteiner oder mehreren Primzahlen wieder eine abundante Zahl ergibt, wobei diese neueZahl mindestens das ursprungliche Verhaltnis erfullt. Dies ist jedoch noch kein Beweis furBehauptung 2, da z.B. das Erhohen vom Exponenten von p nicht zwingend den k Wertbis zur nachsten ganzen Zahl steigert und wir durch diese Methode zunachst nur sicherneue abundante Zahlen dieser Stufe erzeugen. So ist z.B. (siehe auch Lemma 3.1)

kn =σ(n)

n− 1 <

σ(n · pα)

n · pα− 1 =

σ(n)

n· σ(pα)

pα− 1 =

σ(n)

n· 1

pα

α∑i=0

pi − 1. (I.11)

Um einen moglichst großen Summenwert zu erhalten, muss p = 2 gesetzt werden und αunendlich groß werden. Da fur α −→ ∞ die Summe konvergiert (siehe auch I.25), kannalso wegen

kn < 2 · kn − 1 (I.12)

die Stufe nicht beliebig gesteigert werden und schon gar nicht unendlich groß werden.Dass trotzdem polyabundante Zahlen beliebiger Stufe existieren soll nun gezeigt werden.

Behauptung 2: Es gilt lim supn→∞

(σ(n)

n− 1

)=∞.

Beweis 2:Die Zahl n soll nun lediglich aus den ersten ω Primzahlen pi bestehen, die nur einfach mitdem Exponenten αi = 1 in n vorkommen, also

n = pα11 · pα2

2 · ... · pαωω = p1 · p2 · ... · pω =ω∏i=1

pi. (I.13)

Entnehmen wir den Ausdruck aus der Behauptung, dann ergibt sich der Anspruch fur dashier gewahlt n, dass

σ(n)

n−→∞. (I.14)

Daraus ergibt sich mit Lemma 1.1 und 1.2

σ

(ω∏i=1

pi

)ω∏i=1

pi

=

ω∏i=1

σ(pi)

ω∏i=1

pi

=

ω∏i=1

(1 + pi)

ω∏i=1

pi

=ω∏i=1

(1 +

1

pi

). (I.15)

Es ist offensichtlich, dassω∏i=1

(1 +

1

pi

)>

ω∑j=1

1

pj. (I.16)

Auch ist allgemein bekannt (siehe [1]), dass∑p prim

1

p=∞, (I.17)

wobei es sich dabei um die subharmonische Primzahlreihe handelt. Da also die Summeder Kehrwerte aller Primzahlen divergiert, divergiert auch der Quotient σ(n)/n fur unsern und die Behauptung ist bewiesen.

9


Aufgrund der Vorarbeit konnte dieser Beweis kurzer ausfallen und es wurde theoretischeine direkte Methode zur Bestimmung einer k-fach abundanten Zahl geliefert, namlichdann, wenn

∑ωi=1

1pi> k+ 1 wird. Jedoch hilft dies sehr wenig, da die Reihe sehr langsam

divergiert (z.B. uberschreitet die Reihe erst bei ω = 362000 Primzahlen den Wert 3; dieZahl selbst ware entsprechend deutlich großer als 362000!, obwohl bereits bei 180 die erste2-fach abundante Zahl liegt, da Kombination und Exponenten α 6= 1 nicht berucksichtigtwerden), nur schlechte Approximationen vorhanden sind und man sogar bei einer numeri-schen Computerberechnung, wegen des langsamen Anstiegs, nicht weit kommt. Dennochist dies einer der wichtigsten und erstaunlichsten Beweise die angefuhrt werden. Somitwird es auch Zahlen geben, bei denen die Teilersumme z.B. 1.000.000-mal so groß ist wiedie Zahl selbst!

I.2.2 Minimalwerteproblem

Die erste 2-fach abundante Zahl ist 180 (Primfaktorzerlegung: 2 · 2 · 3 · 3 · 5) und die erste3-fach abundante Zahl 27720 (Primfaktorzerlegung: 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11). Trotz einerSuche bis mehr als 70 Millionen, konnte keine 4-fach abundante Zahl gefunden werden(obwohl es naturlich eine geben wird und wir spater auf anderen Wegen eine, wenn auchnicht die erste, erzeugen werden). Dennoch entstehen beim Betrachten der ersten beidenZahlen und der umfangreicheren Tabellen im Anhang weitere Fragen:

• Wie hoch ist die Minimalanzahl von verschiedenen Primfaktoren?

• Gibt es auch polyabundante Zahlen ohne den Primfaktor 2?

Besonders die erste Frage ist dabei interessant und fur weitere Untersuchungen wichtig.

Lemma 3.1: Es ist1

ba

a∑j=0

bj =a∑j=0

1

bj(siehe Beweis B).

Lemma 3.2: Es gilt 1 + x+ x2 + ...+ xn =xn+1 − 1

x− 1fur x > 1 (siehe Beweis C).

Lemma 3.3: Es gilt Z(p) :=α∑x=0

1

px=

p

p− 1=

1

1− 1p

.

Beweis von Lemma 3.3:Wenn wir α −→∞ bestimmen, haben wir mit Lemma 3.2

Z(p) =α∑x=0

1

px= 1 +

1

p+

1

p2+ ...+

1

pα, (I.18)

pα · Z(p) =1 + p+ p2 + ...+ pα =pα+1 − 1

p− 1, (I.19)

Z(p) =

(pα+1 − 1

pα

)· 1

p− 1=p− 1

pα

p− 1, (I.20)

=p

p− 1=

(1− 1

p

)−1=

1

1− 1p

, (I.21)

womit die schone Behauptung bewiesen wurde.

Behauptung 3: Bei polyabundanten Zahlen muss ω ≥ 3.

10


Beweis 3:Es kann leicht gezeigt werden, dass ω > 1, denn sonst konnte

(k + 1)pα < σ(pα), (I.22)

woraus sich mit Lemma 1.2

(k + 1)pα <α∑j=0

pj =⇒ k + 1 <1

pα

α∑j=0

pj (I.23)

ergibt. Somit musste mit Lemma 3.1

k + 1 <α∑j=0

1

pj(I.24)

gelten. Es ist bekannt, dass∞∑i=0

1

2i= 2. (I.25)

Da aber k > 1 und (I.25) bei p > 2 nur kleiner werden wurde, ist (I.24) niemals wahr.Ahnlich und allgemeiner kann bei ω = 2 verfahren werden. Dabei musste

(k + 1)pαqβ < σ(pαqβ) =⇒ (k + 1)pαqβ <α∑i=0

piβ∑j=0

qj =⇒ k + 1 <α∑i=0

1

pj

β∑j=0

1

qj. (I.26)

Es soll nun definiert werden, dass fur eine beliebige Primzahl p

Z(p) :=∞∑x=0

1

px(I.27)

gilt. Damit (I.26) wahr ist, musste also vereinfacht

k + 1 < Z(p) · Z(q), (I.28)

bzw. nun allgemein fur ω verschiedene Primzahlen

k + 1 < Z(p1) · Z(p2) · ... · Z(pω) =ω∏i=1

Z(pi). (I.29)

Da Z(p) ≤ Z(2) =∑∞

i=0

1

2i= 2, konvergiert jedes Z(p). Durch die Uberlegungen in

Lemma 3.3 konnte auch der schone Grenzwert klar bestimmt werden. Mit dem Ausdruckpp−1 konnen die Grenzwerte nun sehr einfach berechnet und miteinander verglichen werden,

wobei der zweite Ausdruck1

1− 1p

spater noch wichtig wird. Einige dieser Werte sind in

folgender Tabelle enthalten, wobei es offensichtlich ist, dass Z(p) −→ 1 mit p −→∞.

i pi Z(pi) Z(pi)1 2 2 22 3 3/2 1, 53 5 5/4 1, 254 7 7/6 1, 1665 11 11/10 1, 16 13 13/12 1, 08337 17 17/16 1, 06258 19 19/18 1, 055

Tabelle 3: Z(pi) fur einige pi

11


Diese Werte sind in Abbildung C.1 im Anhang graphisch dargestellt. Das großte moglicheProdukt von nur zwei Werten ware Z(2) ·Z(3) = 2 ·1, 5 = 3. Da jedoch fur eine polyabun-danten Zahl k > 2 gilt, kann aus zwei Zahlen keine polyabundante Zahl gebildet werden,denn 2+1 ≯ 3. Erst das Produkt von drei Werten ist großer als 3, denn 2·1, 5·1, 25 = 3, 75,womit die Behauptung bewiesen ware.

3-fach polyabundante Zahlen treten entsprechend bei einer Multiplikation der ersten vierWerte und somit vier verschiedenen Primzahlen auf, denn 2 ·1, 5 ·1, 25 ·7/6 = 4, 375. Diesbedeutet jedoch nicht gleich, dass nur entsprechend viele Primzahlen in der ersten poly-abundanten Zahl einer Stufe enthalten sein konnen (z.B. sind in 27720 funf verschiedenePrimzahlen enthalten und es ist auch 2 ·1, 5 ·1, 25 ·11/10 = 4, 125). Eine 4-fach abundanteZahl benotigt ubrigens mindestens 6, die erste 5-fach abundante Zahl 9 und die erste6-fach abundante Zahl 14 verschiedene Primfaktoren (welche dann zu einem bestimmenExponenten vorkommen). In Tabelle 4 ist eine weitere Ubersicht zu finden.

k-fach kleinstes ω kleinstes n k-fach kleinstes ω kleinstes n2 3 30 7 22 > 1031

3 4 210 8 35 > 1058

4 6 30.030 9 55 > 10104

5 9 ∼ 223 · 106 10 89 > 10191

6 14 > 1017 11 142 > 10339

Tabelle 4: Kleinstes ω fur k-fach abundante Zahlen

Dies hilft jedoch nicht den Suchbereich fur z.B. die erste 4-fach abundante Zahlen ein-zugrenzen, da die verschiedenen Primfaktoren beliebig oft auftreten konnen und somitauch eine Zahl mit z.B. nur sechs verschiedenen Primfaktoren unendlich groß werdenkann. Dennoch konnte bereits eine erste untere Schranke gegeben werden, sodass auf die-se Erkenntnisse spater aufgebaut wird (so kann z.B. keine 4-fach abundante Zahl unter2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 = 30.030 und keine 5-fach abundante unter 223.092.870 existieren). Diesmacht deutlich, wie selten polyabundante Zahlen von nur etwas hoherer Stufe sind, wobeisie diese Eigenschaft ebenso interessant macht!

Die zweite Frage soll im nachsten Abschnitt beantwortet werden, sodass zwei Fragenzusammengefuhrt werden, da die folgende Frage die selbe ist.

I.2.3 Ungerade Zahlen

Beim Betrachtet der verschiedenen polyabundanten Zahlen fallt auf, dass keine ungeradenZahlen zu finden sind. Dies fuhrt zu der offensichtlichen Fragestellung: Gibt es ungeradepolyabundante Zahlen?

Behauptung 4: Es gibt polyabundante Zahlen ohne den Primfaktor 2 (ungerade).

Beweis 4:Damit die Aussage wahr ist, musste das Produkt (I.29) mindestens den Wert 3 uberschreiten,wobei jedoch Z(2) nicht enthalten sein darf, also

2 + 1 <

ω∏i=1

Z(pi)

Z(2)=

ω∏i=2

Z(pi). (I.30)

12


Da sich die einzelnen Werte Z(pi) immer weiter 1 nahern, konnte eine Konvergenz von∏ωi=1 Z(pi) vermutet werden - dies ist jedoch falsch! Das Produkt divergiert tatsachlich

und lasst sich an folgender Uberlegung zeigen:

∞∏i=1

Z(pi) =∞∏i=1

1

1− 1pi

=∏

p prim

1

1− 1p

= ζ(1) (I.31)

Dabei handelt es sich um die Eulersche ζ-Funktion, die durch

ζ(s) =∏

p prim

1

1− 1ps

(I.32)

definiert ist (siehe Beweis D) und ζ(1) −→ ∞ bekannt ist, womit die Divergenz gezeigtist. Auch wurde in Beweis 2 gezeigt, dass k beliebig groß wird und somit ein ω gefundenwerden kann, sodass die Gleichung (I.29) wahr ist. Daraus folgt ebenfalls zwingend, dass

∞∏i=1

Z(pi) =∞. (I.33)

Sollte also, wie bei (I.30), ein einzelner oder mehrere bestimmte Werte fehlen, divergiertdas Produkt trotzdem und wird jeden Wert uberschreiten, womit die Aussage bewiesenwurde.

Somit dauert es deutlich langer, bis man auf eine ungerade polyabundante Zahl stoßt,denn der großte Faktor Z(2) = 2 ist nicht enthalten. So mussen in einer nur ungeraden2-fach abundanten Zahl mindestens acht verschiedene Primfaktoren enthalten sein, sodassdiese Zahl nicht kleiner als 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 = 9.699.690 sein konnte. Dazu solldie Tabelle 5 angefuhrt werden.

k-fach kleinstes ω kleinstes n2 8 ∼ 107

3 21 > 1029

4 54 > 10101

5 141 > 10336

6 372 > 101074

Tabelle 5: Kleinstes ω fur ungerade k-fach abundante Zahlen

Daraus lasst sich ubrigens weiterfuhrend schließen, dass es auch beliebig gigantische k-fach abundante Zahlen gibt, ohne das eine einzige der ersten 100 Primzahlen enthaltenist. Diese Erkenntnis ist sehr interessant und ebenfalls beeindruckend.

I.2.4 Kombinationsgesetze

Es sollen nun die bekannten Grundrechenarten auf polyabundanten Zahlen untersuchtwerden und wie sich die Eigenschaften von polyabundanten Zahlen verandern bzw. sichAussagen diesbezuglich machen lassen. Diese Erkenntnisse sind besonders fur den zweitenAbschnitt von Bedeutung. Es soll zunachst die Multiplikation und Division betrachtetwerden, da bereits einige Aspekte erwahnt wurden.

13


Multiplikation und Division

λ sei eine polyabundante Zahl. k(λ) gibt die Stufe der k-fach abundanten Zahl an. Essei ε ∈ N und sollten λ1, λ2, ..., λx vorkommen, dann ist k(λ1) < k(λ2) < ... < k(λx). Esergeben sich folgende teilweise ersichtliche Zusammenhange:

(1) λ · λ = λ2 −→ polyabundant

(2) λα −→ polyabundant

(3) λ · ε −→ polyabundant

(4) k(λ) ≤ k(λα)

(5) k(λ) ≤ k(λ · ε)

(6) λ1 · λ2 · ... · λx −→ polyabundant

(7) k(λ2) ≤ k(λ1 · λ2)

(8) k(λx) ≤ k(∏x

i=1 λi)

(9)λ

ε−→ unklar

Beweise 5.1 - 5.9:

(1), (2), (3) und (6): Da, wie in Beweis 1 gezeigt, eine Zahl bei einer Multiplikation nurzusatzliche Primfaktoren gewinnen kann und somit entweder die αi oder das ω großer wirdund zudem σ(n) schneller wachst als n, denn σ(nneu) = σ(nalt)(1 + p) und nneu = nalt · p,bleibt die entstandene Zahl polyabundant.

(4), (5), (7) und (8): Da sich sowohl das ω erhohen, als auch die einzelnen Exponen-ten großer werden konnen, konnte das k ebenfalls großer werden, wobei das k mindestensso groß ist wie das großte k eines Faktors.

(9): Unter der Voraussetzung, dass λε∈ N, wurden einige Primfaktoren von λ wegfal-

len. Ob durch das Fehlen der Primfaktoren die Zahl stets oder nicht langer polyabundantist, oder ob nur das k etwas verringert wurde, kommt somit auf den Einzellfall an.

Addition und Subtraktion

Es soll nun λ1 < λ2 < ... < λx zusatzlich implizieren, dass jedes folgende λi die gesamtePrimfaktorzerlegung der vorigen enthalt und somit ggT (λi, λi+1) = λi gilt. δ sei einepolyabundante Zahl ohne einen einzigen Primfaktor aus λi und somit ggT (λi, δ) = 1. Esergeben sich folgende Zusammenhange:

(1) λ+ λ = 2 · λ −→ polyabundant

(2)∑ε λ = ε · λ −→ polyabundant

(3) λ± ε −→ unklar

(4) k(λ) ≤ k(∑ε λ)

14


(5) λ± δ −→ unklar

(6) λ1 + λ2 , λ2 − λ1 −→ polyabundant

(7) k(λ1) ≤ k(λ1 + λ2) , k(λ1) ≤ k(λ2 − λ1)

(8) k(λ1) ≤ k(∑x

i=1 λi) , k(λ1) ≤ k(λi +∑x−1

i=1 −λi)

Beweise 6.1 - 6.8:

(1) und (2): Dies folgt direkt aus Beweis 5.3.

(3) und (5): Bei (5) steht es fest und bei (3) kann es sein, dass ggT (λ, ε) = 1, wodurchuber die Primfaktorzerlegung der erzeugten Zahl nur bekannt ist, welche Primzahlen nichtenthalten sind, was jedoch keine Aussagen uber σ oder k zulasst.

(4): Dies folgt direkt aus Beweis 5.5.

(6): Aufgrund der anfanglichen Implikation muss λ2 = λ1 · P2, wobei P2 die fur λ2 nocherforderliche Primfaktorzerlegung sei, dann folgt daraus

λ1 + λ2 = λ1 + λ1 · P2 = λ1 · (P2 + 1) = λ1 · c, (I.34)

bzw.λ2 − λ1 = λ1 · P2 − λ1 = (P2 − 1) · λ1 = λ1 · c, (I.35)

wobei c := P2 ± 1, womit wegen Beweis 5.3 der Zusammenhang bewiesen ware.

(7) und (8): Es ist nur bekannt, dass die Zahl mindestens ein so großes k wie λ1 ha-ben muss, denn bei mehreren λ gilt analog zu Beweis 6.6

λ1 + λ2 + ...+ λx = λ1 + λ1 · P2 + ...+ λ1 · P2 · P3 · ... · Px (I.36)

= λ1 · (1 + P2 + ...+ P2 · P3 · ... · Px) (I.37)

= λ1 · cx (I.38)

bzw.

λ1 − λ2 − ...− λx = λ1 − λ1 · P2 − ...− λ1 · P2 · P3 · ... · Px (I.39)

= λ1 · (1− P2 − ...− P2 · P3 · ... · Px) (I.40)

= λ1 · cx (I.41)

und da, mit cx := 1±P2± ...±P2 ·P3 · ... ·Px, wegen der 1 in cx auch ggT (P, c) = 1 moglichist, kann keine weitere Aussage uber σ oder k gemacht werden, sodass nur kneu ≥ k(λ1)sicher ist, womit der Zusammenhang bestatigt ware.

I.3 Erstes analytisches Verhalten

I.3.1 Direktes Verhalten

Ein weiterer interessanter Aspekt ist das Verhalten bzw. der Verlauf der polyabundantenZahlen, wobei die polyabundante Zahl λi in Abhangigkeit vom i aufgetragen sei.

15


Abbildung I.1: Verlauf von λi - grob i ∈ [1, 20]

Abbildung I.2: Verlauf von λi - fein i ∈ [1, 2000]

Die Ergebnisse sind in Abbildung I.1 und in Abbildung I.2 dargestellt. Hierbei ist zubeachten, dass bei der ersten Abbildung lediglich 20 polyabundante Zahlen aufgetragenwurden (grob), wahrend zum Erkennen eines deutlicheren Verlaufs in der zweiten Abbil-dung 2000 polyabundante Zahlen aufgetragen wurden.

Das interessante beim Verstehen des Verlaufs und dem Annahern durch eine Funktionist, dass fur die Funktion λi ein geschlossener Ausdruck gefunden bzw. angenahert wer-den konnte und somit ein Mittel bereitgestellt wird, um direkt die i-te polyabundante Zahlzu bestimmen. Betrachtet man Abbildung I.1 wird jedoch sofort klar, dass, wie bei allenzahlentheoretischen Aspekten und Funktionen, tatsachlich nur eine Naherung gefundenwerden kann, denn der Verlauf weist kein stetiges Verhalten auf, sondern die Punkte besit-zen unregelmaßige Werte. Dennoch kann auf lange Sicht eine Tendenz festgestellt werden.

Die Werte folgen auf den ersten Blick einem linearen Verlauf, sodass eine Annaherungdurch λi = ∆λ · i+λ0 in Erwagung gezogen werden soll, wobei fur die konstante Steigung∆λ und λ0 bekanntlich

∆λ =λi2 − λi1i2 − i1

und λ0 =λi1

∆λ · i1(I.42)

gilt, mit den gegebenen Werten λi1 und λi2 , mit i2 � i1. Daher soll (wie bei Abbildung

16


I.2) λ1 = 180 und λ2000 = 99.060, sodass

λi ≈ 49, 4647 · i+ 3, 6390 (I.43)

oder mit λ800000 = 39.593.736 als noch hoheren Wert

λi ≈ 49, 4920 · i+ 3, 6360. (I.44)

Im folgenden Diagramm I.3 ist die Abweichung δλi := (∆λ · i+λ0)−λi fur die Gleichungdes hoheren Wertes aufgetragen.

Abbildung I.3: Verlauf von δλi mit i ∈ [1, 830.000]

Offenbar liegt die Naherung durch eine lineare Funktion eher uber den tatsachlichenWerten. Bei i = 800000 wird δλi erneut klein, jedoch von da an erneut großere Werteaufweisen. Das Problem liegt dabei nicht im ∆λ, denn auch der arithmetische Mittelwertaller einzelnen Abstande

∆Aλ :=1

i·i−1∑j=1

λj+1 − λj (I.45)

ist ∆Aλ ≈ 49, 4910 mit i = 800000. Offenbar ist ∆λ nicht konstant und es handeltsich um keinen linearen Verlauf. Offenbar sind zu wenige Daten gegeben, sodass sich derVerlauf einer Geraden herausbildet. Es muss also verstanden werden, welche Form vonAnstieg vorliegt, sodass das Verhalten des Abstandes ebenfalls kurz in diesem Abschnittangesprochen werden soll.

I.3.2 Verhalten des Abstands

Es ist naheliegend den Abstand als Funktion ∆λi = λi+1 − λi zu schreiben und darzu-stellen. Es ist jedoch offensichtlich und wird durch Abbildung I.4 deutlich, dass nur einedurchschnittliche Steigung sinnvoll anzugeben ist. Daher betrachten wir nicht die einzel-nen λi, sondern vergleichen den durchschnittlichen Abstand von z Werten miteinander,sodass

∆zλ(`) :=1

z·z−1∑j=1

λj+z·(`−1) − λj+z·(`−1). (I.46)

Das Resultat fur z = 1000 ist in Abbildung I.5 enthalten, wobei bei i = 800000 entspre-chend 800 Werte erzielt wurden. Die gestrichelte Linie in Abbildung I.5 gibt den durch-schnittlichen Wert an. Offenbar entstehen große Schwankungen und es ist kein klarer Ver-lauf erkennbar. Daher und durch Vorgreifen auf ausfuhrliche Uberlegungen in Abschnitt II

17


Abbildung I.4: Verlauf des Abstands λi+1 − λi mit i ∈ [1, 1000]

Abbildung I.5: Verlauf des durchschn. Abstands ∆zλ(`) mit z = 1000 und ` ∈ [1, 800]

wird ersichtlich, dass die vorhandenen Daten, welche maschinell berechnet wurden, nochnicht ausreichend sind, um das tatsachliche langfristige Verhalten zu verstehen. Somit istes unumganglich, dieses Problem mathematisch anzugehen!

Abbildung I.6: Verteilung der bis i = 800000 vorkommenden Abstande

Ein letzter, jedoch sehr interessanter Aspekt, ist die Verteilung der verschiedenen Abstande.

18


Es wird in Abbildung I.4 nicht nur der standig variierende Abstand deutlich, sondern zu-dem die Konzentration von Werten bei bestimmten Abstanden (z.B. 60) und somit derAusbildung von horizontalen Linien. Darum zeigt nun Diagramm I.6 alle vorkommendenAbstande und deren Haufigkeit. Dabei sind folgenden Abstande aufgetreten:

4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44,

48, 50, 52, 54, 56, 60, 66, 68, 70, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 108, 120(I.47)

Dies ist sehr faszinierend und wirft erneut diverse Fragen auf:

• Warum kommen nur bestimmte Abstande vor?

• Wieso treten einige besonders haufig auf? Wieso 60 am haufigsten?

• Existieren auch Abstande großer als 120 oder kleiner als 4?

• Treten auch ungerade Abstande auf? Oder sogar jeder Abstand irgendwann?

Besonders diese Fragen zum Abstand stellen sich als sehr schwierig heraus, denn dazumusste theoretisch von aufeinander folgenden polyabundanten Zahlen die Primfaktorzer-legung bekannt sein. Es musste also im optimalen Fall eine einfache Methode gefundenwerden, welche die Primfaktorzerlegung anhand der Zahl selbst schnell ermitteln konnte:diese gibt es jedoch nicht, wie bereits in der Einleitung angesprochen wurde, und aufdiesem Problem basiert die weltweite RSA-Verschlusselung! Mithilfe anderer Ansatze wares dennoch in Abschnitt II moglich, diese Fragen zu beantworten.

Es soll jedoch nun bereits ein kleineres Problem gelost werden, da mir die verwende-te Methode beim Beantworten weiterer Fragen geholfen hat, jedoch die Behauptungen inAbschnitt II durch andere Herangehensweisen bewiesen werden. Da diese Methode jedocheine große Hilfe war, sollte sie in dieser Ausarbeitung zumindest exemplarisch angespro-chen sein.

Es wurde versucht, die polyabundanten Zahlen λi = ϕ · Pi in einen immer vorhande-nen Teil ϕ und einen variablen Teil Pi zu unterteilen (bzgl. der Primfaktorzerlegung),wodurch besonders Beobachtungen in dem untersuchten bzw. einem beschrankten Zah-lenraum zu erklaren bzw. vorherzusagen sind. Ein kurzes Beispiel:

Behauptung 7: Bis 107 treten keine Zwillinge (∆λi = 1) auf.

Beweis 7:Da in Beweis 4 gezeigt wurde, das eine ungerade polabundante Zahl erst nach 107 ge-funden werden kann und bis dahin immer 2|λi gilt, muss mindestens ϕ ≥ 2. Somit folgtdaraus

∆λi = λi+1 − λi = ϕ · Pi+1 − ϕ · Pi = ϕ · (Pi+1 − Pi). (I.48)

Da Pi+1 6= Pi muss Pi+1−Pi > 0 und somit ∆λi ≥ ϕ ≥ 2, womit die Behauptung bewiesenwerden konnte.

19

Abschnitt II

Weiterfuhrende Untersuchungen

II.1 Bestimmung von unterer Schranke N ′

In den vorherigen Untersuchungen konnte gezeigt werden, dass zu jeder Stufe k eineerste polyabundante Zahl λ(k) existiert. Auch wurde gezeigt, dass die λ beim Erhohender Stufe extrem schnell ansteigen. Zwar wurde bereits der allgemeine Verlauf von λi inAbhangigkeit von i betrachtet, doch eine Betrachtung in Abhangigkeit von k fehlt. Diesersehr interessante Aspekt ist mit einigen Schwierigkeiten behaftet. Ziel soll es sein, eineuntere Schranke N ′(k), ab der uberhaupt erst λ dieser Stufe gefunden werden konnen, undeine obere Schranke N ′′(k), vor der definitiv ein λ dieser Stufe liegen muss, zu bestimmen.Es muss daher gelten

N ′(k) ≤ λ(k) ≤ N ′′(k), (II.1)

wobei es sich bei N ′ und N ′′ entsprechend nicht um polyabundante Zahlen, sondern umvom Betrag interessante Schranken handelt. Fur beide soll nun ein moglichst einfacher, gutapproximierender und moglichst geschlossener Ausdruck gefunden werden. Es soll nochangemerkt werden, dass immer mehrere Approximationen als Approximationsungleichungbestimmt werden, da diese fur verschiedene weitere Anwendungen unterschiedlich gutgeeignet sind.

II.1.1 Ubersicht

Das Vorgehen hierbei lasst sich grob in drei Teile einteilen: Die entscheidende Eigenschaftbei N ′ ist der Minimalwert von ω, was in Beweis 3 herausgefunden wurde. Darum gilt

λ(k) > N ′(k) >

ω(k)∏i=1

pi = p1 · p2 · ... · pω(k). (II.2)

Auf dieser Grundlage muss nun die Funktion ω(k) angenahert werden und dazu die n-tePrimzahl pn. Dies wird dann auf (II.2) angewandt. Da jedoch kein Iterationszeichen, son-dern ein einfacher, klarer analytischer Ausdruck gefunden werden soll, muss abschließendnoch das Produkt angenahert werden.

II.1.2 Voruberlegungen

Lemma 8.1: Fur den Abstand der Primzahlen gilt lim supn−→∞

(pn+1 − pn) =∞ (siehe [2]).

Lemma 8.2: Fur die Anzahl der Primzahlen π(x) unterhalb von x gilt nach dem Prim-

zahlsatz π(x) ∼ x

lnx, wobei zunachst π(x) >

x

lnx(siehe [2]).

Behauptung 8: Fur die n-te Primzahl pn gilt

pn > lnnn > lnn! > lnnn − n > 2n− 1 > n+ 1 (II.3)

20

ABSCHNITT II. WEITERFUHRENDE UNTERSUCHUNGEN

wobei die Ungleichung bzgl. pn immer asymptotische Gultigkeit besitzen.

Beweis 8:Die ersten zehn Primzahlen sind:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10pn 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Da der Abstand zwischen Primzahlen wegen Lemma 8.1 nur großer wird, ist offensichtlichpn > n und auch pn > n+ 1. Da der Abstand weiterhin niemals kleiner als 2 ist, abgese-hen vom Sonderfall p2 − p1, gilt zudem pn > 2n− 1. Diese Approximationen stellen zwarfur unsere Verwendung akzeptable Werte dar, sind dennoch allgemein eher mangelhaft,weshalb der Primzahlsatz einbezogen werden muss.

Es soll daher der Abstand der Primzahlen ∆pn := ddnpn verwendet werden, um pn durch

pn =

∫∆pndn (II.4)

zu erhalten. Wie in Lemma 8.2 angegeben, gibt π(x) die Anzahl der Primzahlen pn mitpn ≤ x an, also ware π(pn) = n. Daraus wird ersichtlich, dass

∆px =dx

dπ(x)=

(d

dxπ(x)

)−1=

(d

dx

x

lnx

)−1=

(lnx− 1

ln2 x

)−1=

ln2 x

lnx− 1> lnx, (II.5)

wobei sogar

∆px =ln2 x

lnx− 1∼ lnx. (II.6)

Daraus und durch vorausgegangene Untersuchungen in meiner Jugend forscht Arbeit 2015,die sich explizit mit dem Abstand von Primzahlen auseinandersetzt (siehe [6]), wird eben-falls ersichtlich, dass

dpxdx∝ dpn

dx. (II.7)

Es kann mit diesen Erkenntnissen nun weitergearbeitet werden, sodass sich eine Primzahlaus den Abstanden der vorherigen ergibt, also

pn > 2 + ∆p2 + ∆p3 + ...+ ∆pn (II.8)

= 2 + ln 2 + ln 3 + ...+ lnn = 2 +n∑i=2

ln i (II.9)

= 2 + ln(2 · 3 · ... · n) > lnn!. (II.10)

Durch diese Uberlegung konnte die vorherige Approximation bereits gesteigert werden,wobei jedoch einfacher auf (II.4) zuruckgegriffen werden kann und somit

pn >

∫lnn dn = lnnn − n (II.11)

ergibt. Durch weitere empirische und mathematische Untersuchungen besonders in [6]kann zusatzlich ein Korrekturfaktor bestimmt werden, sodass

∆pn > lnn+ 1 (II.12)

21


gefunden wurde. Zwar soll der Korrekturfaktor in dieser Ausarbeitung nicht weiter aus-gefuhrt werden, jedoch befindet sich im Anhang in Abbildung C.3 ein Vergleich zwischenlnn, lnn+ 1 und dem tatsachlichen Abstand. Wegen (II.4) ergibt sich somit

pn >

∫(lnn+ 1) dn = lnnn − n+ n = lnnn, (II.13)

womit auch die letzte Approximation bestatigt wurde.

Abbildung II.1 zeigt die unterschiedlichen Approximationen im Vergleich und es werdendie Uberlegungen bestatigt. Dennoch konnen, besonders bei den folgenden Untersuchun-gen, nicht immer die besten Naherungen in den mathematischen Uberlegungen verwendetwerden, da diese zu komplex werden oder sich keine klare geschlossene Form ableiten lasst.

Abbildung II.1: Vergleich zwischen Approximationen von pn

Lemma 9.1: Fur ungerade Fakultat gilt 1 · 3 · ... · (2x− 1) =(2x)!

2x · x!(siehe [9]).

Lemma 9.2: Nach der Stirling-Formel gilt fur Fakultaten n! ∼√

2πn(ne

)n(siehe [8]).

Behauptung 9: Fur ω(k) gilt ω(k) >π

16(k + 1)2 > k + 1.

Beweis 9:Es sollen nun die Erkenntnisse aus Beweis 3 und besonders Gleichung (I.29) verwendetwerden. Nach dieser Bedingung muss fur die Stufe k

k + 1 <ω∏i=1

Z(pi) =ω∏i=1

pipi − 1

=p1

p1 − 1· p2p2 − 1

· ... · pωpω − 1

, (II.14)

wobei jedoch fur p1/(p1−1) der tatsachliche Wert mit p1 = 2 eingesetzt wird, da dadurchbei den folgenden Uberlegungen spatere Schwierigkeiten vermieden werden konnen - dasErgebnis wird durch diese Anderung hochsten verbessert, jedoch nicht verschlechtert,sodass gelten muss

k + 1 < 2 ·ω∏i=2

pipi − 1

. (II.15)

22


Indem aus Behauptung 8 pn > n+ 1 verwendet wird, ergibt sich somit

2 · 2 + 1

2· 3 + 1

3· ... · ω + 1

ω= 2 · (ω + 1)!

2 · ω!= ω, (II.16)

sodass

ω(k) > k + 1. (II.17)

Diese durftige und eher exemplarische Begrenzung soll nun erweitert werden, indem pn >2n− 1 verwendet wird. Somit ergibt sich mit Lemma 9.1

k + 1 < 2 ·ω∏i=2

2i− 1

2i− 2=

2

2ω−1·ω∏i=2

2i− 1

i− 1=

4

2ω· 3 · 5 · ... · (2ω − 1)

(ω − 1)!(II.18)

=4 · (2ω)!

2ω · 2ω · ω!(ω − 1)!=

ω

4ω−1· (2ω)!

(ω!)2. (II.19)

Nach ω umzuformen ist in dieser Form kaum machbar, weshalb Lemma 9.2 verwendetwerden soll, sodass

ω

4ω−1· (2ω)!

(ω!)2∼ ω

4ω−1·

√2π2ω

(2ω

e

)2ω

√2πω

2(ωe

)2ω =ω

4ω−1·√

2 · 22ω

√2πω

=4ω√πω

= 4 ·√ω

π. (II.20)

Mithilfe dieser Umformungen erhalten wir abschließend mit (II.15)

4 ·√ω

π> k + 1 (II.21)

ω(k) >π

16· (k + 1)2, (II.22)

sodass auch diese deutlich bessere Abschatzung bestimmt werden konnte.

Nun kann zu Gleichung (II.2) zuruckgekehrt werden, wobei zunachst das Primzahlpro-dukt abgeschatzt werden soll.

Behauptung 10: Fur das Produkt der Primzahlen gilt die Ungleichung (δ0 = 0, 393220)

ω∏j=1

pj > 3 lnω−2(δ0ω + 1) · ω! >√

2

(2ω

e

)ω> (ω + 1)!. (II.23)

Beweis 10:Beim Verwenden von pn > n+ 1 aus Behauptung 8 wird sofort

ω∏j=1

pj >ω∏j=1

j + 1 = (j + 1)! (II.24)

ersichtlich. Diese Naherung kann jedoch erneut durch pn > 2n − 1 deutlich verbessertwerden, sodass mit Lemma 9.1 und Lemma 9.2

ω∏j=1

2j − 1 =(2ω)!

2ω · ω!=

√2π2ω

(2ω

e

)2ω

2ω ·√

2πω ·(ωe

)ω =

√2 · 22ω

2ω·(ωe

)ω=√

2

(2ω

e

)ω(II.25)

23


bestimmt werden kann. Dennoch kann auch dies weiter verbessert werden, indem nunauch die beste Primzahlapproximation pn > lnnn = n · lnn Verwendung findet, sodassbei

ω∏j=1

pj > ω! ·m∏`=1

p``·

ω∏j=m+1

ln j >ω∏j=1

ln jj (II.26)

m = 3 gesetzt wird, da ln 11 = 0 und ln 2 < 1, sodass diese beiden Werte durch dietatsachlichen Werte ersetzt werden, womit

ω! · 2

1· 3

2·ω∏j=3

ln j = 3 · ω! ·ω∏j=3

ln j (II.27)

gefunden wurde. Nun soll das Logarithmenprodukt in (II.27) durch einen geschlossenenAusdruck approximiert werden. Dieser Teil hat einige Zeit meiner Uberlegungen bean-sprucht, und ich habe versucht dieses Problem allgemein fur jedes Funktionenprodukt zulosen, weshalb die verwendete Methode im Anhang unter Theorem I beschrieben ist. Wirverwenden nun die Approximation fur

ln 3 · ln 4 · ... · lnω =ω−1∏i=2

ln(i+ 1) (II.28)

aus dem Anhang, da das hier verwendete Produkt von j = 3 bis j = ω lauft. Daher kannals sehr gute Approximation

ω∏j=3

ln j > lnω−2(δ0ω + 1), (II.29)

mit δ0 = 0, 393220, bestimmt werden. Mit (II.26) konnte somit auch

ω∏j=1

pj > 3 lnω−2(δ0ω + 1) · ω! (II.30)

gezeigt werden.

Besonders die letzte Approximation stellt einen hervorragenden Wert dar, wie durch fol-gende Abbildung II.2 (nachste Seite) deutlich wird. Hierbei sind die einzelnen Naherungenim Vergleich aufgetragen, wobei jeder Wert logarithmiert wurde.Die so gesammelten Erkenntnisse konnen nun abschließend zur Beantwortung der Aus-gangsfragestellung nach N ′ zusammengefugt werden.

II.1.3 Zusammenfuhrung

Behauptung 11: Als untere Schranke fur die erste k-fach poylabundante Zahl gilt, mitδ0 := 0, 393220 und γ0 := π

16,

N ′(k) > 3 · lnγ0(k+1)2−2 (δ0γ0(k + 1)2 + 1)·(⌊γ0(k + 1)2

⌋)! (II.31)

Beweis 11:Nach (II.2) muss fur die untere Schranke

N ′(k) >

ω(k)∏i=1

pi (II.32)

24


Abbildung II.2: Vergleich von Approximationen mit ω ∈ [1, 100] - logarithmiert

gelten. Durch Behauptung 9 konnte ω(k) angenahert werden, sodass

N ′(k) >

π16

(k+1)2∏i=1

pi. (II.33)

Durch Behauptung 10 konnte das Produkt angenahert werden, sodass schließlich

N ′(k) > 3 · lnπ16

(k+1)2−2(δ0π

16(k + 1)2 + 1

)·(⌊ π

16(k + 1)2

⌋)! (II.34)

bzw. mit γ0 := π16

N ′(k) > 3 · lnγ0(k+1)2−2 (δ0γ0(k + 1)2 + 1)·(⌊γ0(k + 1)2

⌋)! (II.35)

und mit Lemma 9.2 und γ1 := 3 ·√

2πγ0

N ′(k) > 3 · lnγ0(k+1)2−2 (δ0γ0(k + 1)2 + 1)·√

2πγ0(k + 1)2(γ0(k + 1)2

e

)γ0(k+1)2

(II.36)

N ′(k) > γ1 · (k + 1) · lnγ0(k+1)2−2 (δ0γ0(k + 1)2 + 1)·(γ0(k + 1)2

e

)γ0(k+1)2

, (II.37)

womit neben der Behauptung auch eine fakultatsfreie Form gezeigt wurde.

Diese Schranke stellt bereits eine gute Naherung dar, jedoch kann diese sicher durchweitere zahlentheoretische Uberlegungen, die bei meinem Vorgehen nicht berucksichtigtwurden, noch weiter verbessert werden.

II.2 Bestimmung von oberer Schranke N ′′

II.2.1 Ubersicht

Nachdem nun bekannt ist, ab welcher Zahl N ′ uberhaupt erst eine polyabundante Zahlder k-ten Stufe gefunden werden kann, soll nun ebenfalls eine Schranke gefunden werden,vor der definitiv die erste k-fach polyabundante Zahl liegen muss. Erneut wird dabei dieBedingung

k + 1 <p1

p1 − 1· p2p2 − 1

· .. · pωω

(II.38)

25


wichtig. Exemplarisch wurden bei k = 2 genau ω = 3 erforderlich sein, denn

2 + 1 <2

1· 3

2· 5

4= 3, 75. (II.39)

Dennoch ist die Zahl 2·3·5 = 30 keinesfalls polyabundant, sondern hat lediglich eine Stufevon k(30) = 2, 4 − 1 = 1, 4. Das Problem ist, dass die Exponenten nicht ausreichen, umeinen Wert vergleichbar mit dem Konvergenzwert in (II.39) zu erzeugen: so konnte zwarnur mit der Zahl 2α ein Stufe von 2

2−1 − 1 = 1 erzeugt werden, jedoch ware bei α = 1 die

erreichte Stufe erst σ(2)2− 1 = 1+2

2− 1 = 0.5 oder bei α = 3 ware 1+2+22+23

23− 1 = 0, 875.

Der eigentliche Grenzwert wird daher erst bei einem hoheren Exponenten und somiteiner hoheren Zahl erreicht. Der Beitrag zu dem Produkt (II.38) (also nur σ(x)/x) inAbhangigkeit vom Exponenten sei durch folgende Abbildung II.3 gezeigt.

Abbildung II.3: Verlauf von σ(pα)/pα in Abhangigkeit von α ∈ [1, 9]

Die deutlich gestrichelten Linien geben die Grenzwerte an, und die Konvergenz wirderkennbar. Dabei beginnen die Linien immer weiter bei 1 und werden den Grenzwert erstim Unendlichen erreichen. Damit ist klar, dass die Zahl 2x · 3x · 5x automatisch 2-fachpolyabundant ist, wenn x sehr groß gewahlt wird, z.B. x = 1010. Dies ware jedoch eineaußerst schlechte obere Schranke und wurde wenig Sinn ergeben! Darum soll ein andererAnsatz gewahlt werden: zwar wird der Grenzwert nicht mit kleinen α erreicht, jedochdurchaus Vielfache vom Grenzwert, z.B. 90%, wobei die gepunkteten Linien in AbbildungII.3 diese Werte angeben. Daher soll in den folgenden Uberlegungen zunachst das α′′ derPrimfaktoren bestimmt werden, sodass diese β = 0.9 zum Produkt (II.38) beitragen, undanschließend das ω′′(k), welches die benotigten Primzahlen unter der Bedingung, dass jedenur einen Anteil von β zum Produkt beisteuert, angegeben werden. Zum Schluss werdendiese Erkenntnisse durch

N ′′(k) <

ω′′(k)∏i=1

pα′′ii = p

α′′11 · p

α′′22 · ... · p

α′′ω′′(k)ω′′(k) (II.40)

zusammengefuhrt.

II.2.2 Voruberlegungen

Behauptung 12: Die Exponenten α′′n einer Primzahl pn, sodass σ(pα′′nn )/p

α′′nn ein Anteil

von mind. β = 0.9 an pn/(pn − 1) hat, sind α′′1 = 3, α′′2 = 2 α′′3 = 1, α′′4 = 1, ... , α′′i = 1.

26


Beweis 12:Die entscheidende Gleichung, die k′(n) := σ(n)

n(also ohne dem −1 und somit der Anteil

am Produkt II.xxx) in Abhangigkeit vom α angibt, wurde bereits im Beweis von Lemma3.3 gefunden. Demnach gilt

k′(α, pn) =pn − 1

pαn

pn − 1. (II.41)

Da wir α im Fall von k′ = β · pnpn−1 berechnen wollen, setzten wir

β · pnpn − 1

=pn − 1

pα′′n

pn − 1=⇒ β · pn = pn −

1

pα′′n(II.42)

=⇒ α′′ = logpn(pn − β · pn)−1 =⇒ α′′ = − logpn(1− β)− 1, (II.43)

da jedoch die Exponenten nur ganzzahlig sei konnen, erhalten wir daher

α′′(pn) =⌈− logpn(1− β)

⌉− 1. (II.44)

Es soll diese Gleichung nun fur die ersten Primzahlen berechnet werden:

α′′(2) = d− log2(1− β)e − 1 = 3 (II.45)

α′′(3) = d− log3(1− β)e − 1 = 2 (II.46)

α′′(5) = d− log5(1− β)e − 1 = 1 (II.47)

α′′(7) = d− log7(1− β)e − 1 = 1 (II.48)

α′′(11) = d− log11(1− β)e − 1 = 1 (II.49)

α′′(13) = d− log13(1− β)e − 1 = 1 (II.50)

... = ... = 1 (II.51)

Es ist sehr erstaunlich und fur den weiteren Verlauf uberaus vorteilhaft, dass die benotigtenExponenten relativ klein sind und ab p3 = 5 bereits der triviale Exponent zum Ubersteigenvon 90% des Grenzwertes fuhrt.

Fur das Produkt (II.40) und die folgenden Uberlegungen ist erneut eine Approximati-on von Primzahlen notwendig. Die in Behauptung 8 gefundenen Naherungen konnen nunjedoch nicht verwendet werden, da bei N ′′ die Naherung fur die n-te Primzahl großer seinmuss als pn.

Behauptung 13: Fur die n-te Primzahl pn gilt pn <94· n 3

2 < 12· n2.

Beweis 13:Dafur kann erneut das Resultat von (II.6)

d

dnpn ∼ lnn (II.52)

verwendet werden. Daraus ergibt sich offenbar, dass

d

dnpn < ε1 · n, (II.53)

27


wobei ε1 eine Konstante ist, sodass

pn <

∫ε1 · n dn =

ε12· n2 + c, (II.54)

wobei c ebenfalls eine Konstante ist. Diese konnen durch einfache numerische Betrachtungund mit Lemma 8.1 zu ε1 = 1 und c = 0 bestimmt werden, sodass

pn <1

2· n2. (II.55)

Doch kann dieser durftige Wert verbessert werden, indem ein weiteres Resultat der Ana-lysis einbezogen wird, namlich dass fur beliebiges m

limx−→∞

lnxm√x

= 0 (II.56)

gilt. Daraus ergibt sich zwangslaufig, dass

d

dnpn < ε2 · n

1ε3 , (II.57)

und somit

pn < ε2 ·(

1 +1

ε3

)· n1+ 1

ε3 , (II.58)

wobei numerisch einfach ε2 = 32

und ε3 = 2 bestimmt werden kann. Damit erhalten wir

pn <3

2·(

1 +1

2

)· n1+ 1

2 =9

4· n

32 , (II.59)

was sich als deutlich bessere Naherung herausstellt.

Das diese Naherung gilt, wird auch dadurch ersichtlich, dass∑p prim

1

p=∞, (II.60)

wahrend

∞∑n=1

1

n2=π2

6, (II.61)

sodass Primzahlen offenbar haufiger vorkommen als Quadratzahlen (siehe [2]).

Lemma 14.1: Es giltω∏j=3

pjpj−1 < κ · lnω mit κ := 0.7.

Beweis von Lemma 14.1:Mithilfe von Uberlegungen in [6] und [2] (sowie den Untersuchungen in Beweis 8) konntebereits

ω∏j=1

pjpj − 1

∝ lnω (II.62)

28


bestimmt werden, wobei

ω∏j=1

pjpj − 1

< lnω, (II.63)

weshalb fur eine bessere Annaherung ein gleich schnell wachsendes Fehlerglied κ′′ · lnωeingefuhrt wurde, sodass

ω∏j=1

pjpj − 1

< lnω − κ′′ · lnω = (1− κ′′) · lnω = κ′ · lnω. (II.64)

Da jedoch fur die Untersuchungen in dieser Ausarbeitung j = 3 ist, muss

2 · 3

2·ω∏j=3

pjpj − 1

< κ′ · lnω (II.65)

ω∏j=3

pjpj − 1

<κ′

3· lnω = κ · lnω. (II.66)

Es ist unter anderem durch [6] bekannt, dass κ′′ ≈ −1, 1 gewahlt werden kann, sodassκ = 1−κ′′

3= 0, 7 fur unsere Anwendung bestimmt werden kann.

Da dieses Lemma hier nicht genauer ausgefuhrt werden soll, befindet sich zusatzlich imAnhang die Abbildung C.2 zum Vergleich zwischen den Naherungen.

Behauptung 14: Fur ω′′(k) gilt ω′′(k) < exp(k+13β2κ

), mit β = 0, 9 und κ := 0, 7.

Beweis 14:Das ω′′ muss wegen den Uberlegungen in Beweis 12 so hoch gewahlt werden, dass

k + 1 < β · p1p1 − 1

· β · p2p2 − 1

· p3p3 − 1

· ... · pω′′

pω′′ − 1, (II.67)

wobei mit Lemma 15.1

k + 1 < 3 · β2 ·ω∏j=3

pjpj − 1

(II.68)

< 3 · β2 · κ · lnω′′ (II.69)

Durch weitere Umformungen erhalten wir so

lnω′′ <k + 1

3β2κ(II.70)

ω′′ < exp

(k + 1

3β2κ

), (II.71)

womit der Ausdruck der Behauptung ermittelt wurde.

29


II.2.3 Zusammenfuhrung

Behauptung 15: Als obere Schranke fur die erste k-fach poylabundante Zahl gilt mitβ = 0, 9 und κ := 0, 7,

N ′′(k) < 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·(⌊

exp

(k + 1

3β2κ

)⌋!

) 32

. (II.72)

Beweis 15:Nach Beweis 12 wird klar, dass fur die Primfaktorzerlegung der oberen Schranke

N ′′ < p31 · p22 · p3 · p4 · ... · pω′′(k) < p31 · p22 ·ω′′(k)∏j=1

pj (II.73)

gelten kann, wobei p31 · p22 = 23 · 32 = 72. Aufgrund von Behauptung 13 ergibt sich somit

N ′′ < 72 ·ω′′(k)∏j=1

9

4· j

32 =

9

4· 1

32 · 9

4· 2

32 · ... · 9

4· ω′′(k)

32 (II.74)

= 72 ·(

9

4

)ω′′(k)· (ω′′(k)!)

32 . (II.75)

Indem nun Behauptung 14 verwendet wird, haben wir

N ′′ < 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·(⌊

exp

(k + 1

3β2κ

)⌋!

) 32

, (II.76)

wie gefordert war.

Damit die Fakultat ersetzt werden kann, kann auf die Stirling’sche Naherungsformel inLemma 9.2 zuruckgegriffen werden, denn es gilt auch (siehe [8])

n! <√

2 ·√

2πn(ne

)n=√

4πn(ne

)n, (II.77)

sodass sich mit (II.76) die eher unelegante Form

N ′′ < 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·(⌊

exp

(k + 1

3β2κ

)⌋!

) 32

(II.78)

< 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·

√

4π exp

(k + 1

3β2κ

)exp(k+13β2κ

)e

exp(k+1

3β2κ

)32

(II.79)

< 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·

√4π · exp

(k + 1

6β2κ

)(exp

(k + 1

3β2κ− 1

))exp(k+1

3β2κ

) 32

(II.80)

< 72 · ν0 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)· exp

(3k + 3

12β2κ

)(exp

(k + 1

3β2κ− 1

))exp(

3k+3

6β2κ

), (II.81)

ergibt, wobei ν0 := (4π)34 .

30


II.3 Direkte Bestimmungsgleichung

Neben Schranken fur die erste polyabundante Zahl einer Stufe anzugeben, ist einer derebenfalls sehr wichtigen Aspekte einen Vertreter dieser Stufe zu finden. Durch maschinelleSuche konnte noch keine 4-fach polyabundante Zahl gefunden werden. Nun soll jedoch eineGleichung angegeben werden, welche einen Vertreter jeder beliebigen Stufe berechnenkann. Dabei sind lediglich die Erkenntnisse aus der Bestimmung von N ′′ anzuwenden.Hierbei ist besonders Gleichung (II.73) interessant, denn bei diesem Primzahlprodukthandelt es sich um eine polyabundante Zahl der Stufe k. Mit den Erkenntnissen ausBeweis 14 erhalten wir somit

λ(k) = p31 · p22 ·

⌈exp(k+1

3β2κ

)⌉∏j=3

pj. (II.82)

Damit kann nun z.B. exemplarisch bestimmt werden, dass

λ(4) = p31 · p22 ·19∏j=3

pj = p31p22p3p4p5p6p7p8p9p10p11p12p13p14p15p16p17p18p19 (II.83)

= 23 · 32 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47 · 53 · 59 · 61 · 67 (II.84)

= 70.724.893.959.722.403.502.911.810 (II.85)

eine mindestens 4-fach polyabundante Zahl ist, wobei noch weitere vor dieser sehr großenZahl liegen. Und tatsachlich ergibt sich

k(70.724.....911.810) =σ(70.724.....911.810)

70.724.....911.810− 1 ≈ 6.964− 1 = 5.964, (II.86)

sodass es sich sogar um eine 5-fach polyabundante Zahl handelt. Dieses Ergebnis unddiese Moglichkeit war einer der beeindruckendsten Aspekte dieser Ausarbeitung! Aufgrunddieser Tatsache sollen weitere Werte angegeben werden, die auf der Basis dieses Konzeptsnumerisch sehr einfach berechnet werden konnten:

k(n) n

4.3000 36756720

5.0576 465817912560

6.0307 2346419410357683220560

7.0317 16766090233811809984804558815396530141040

8.0217 388608933081999584355855413592505522051837262186233247

193084835169948228880

9.0041 155498730883938339941933787638403098514777473279245456

0523593874221278229070686781340043572771187330309952145

72864331110648285421424672880

10.005 508685969203968285740853495736303139716874963612365723

0633781644017394889414968119955706700776694029105289916

8300148631008477351429854433026421401787835618670138345

7320359875525731503460064584771996576576553727601282448

769131810949635963707382276203749520

31


Im Anhang C.4 sind weitere Werte angegeben, und es konnten auf Basis dieser Heran-gehensweise nun auch ungerade polyabundante Zahlen bestimmt werden! So ist die Zahl1.003.917.915 wegen

k(1.003.917.915) =σ(1.003.917.915)

1.003.917.915− 1 ≈ 3.018− 1 = 2.018 (II.87)

offensichtlich polyabundant!

II.4 Untere Schranke der Teileranzahl

Die zahlentheoretische Funktion τ(n) gibt die Teileranzahl einer Zahl an, sodass z.B.τ(4) = 3. Es handelt sich dabei ebenfalls um eine interessanter Aspekt der Zahlentheo-rie, weshalb fur eine polyabundante Zahl der Stufe k die Mindesteileranzahl τk bestimmtwerden soll.

Lemma 16.1: Es ist offensichtlich τ(p) = 2, wenn p eine Primzahl ist.

Lemma 16.2: Es ist τ(p · q) = τ(p) · τ(q), wenn p, q Primzahlen sind.

Beweis von Lemma 16.2:Mit der Behauptung ergibt sich τ(p · q) = |{1, p, q, pq} = 4 = 2 · 2 = τ(p) · τ(q).

Behauptung 16: Fur die Mindestteileranzahl gilt τk > 2π16

(k+1)2 .

Beweis 16:Aus den Uberlegungen zu Behauptung 9 wurde klar, dass eine k-fach polyabundante Zahlλ aus mindestens ω(k) verschiedenen Primzahlen bestehen muss, also

λ(k) > p1 · p2 · ... · pω(k) =

ω(k)∏i=1

pi. (II.88)

Daraus ergibt sich fur die Teileranzahl

τk = τ(λ(k)) = τ

ω(k)∏i=1

pi

=

ω(k)∏i=1

τ(pi) =

ω(k)∏i=1

2 = 2ω(k). (II.89)

Indem nun die Erkenntnisse aus Behauptung 9 verwendet werden, ergibt sich

τk > 2π16

(k+1)2 , (II.90)

wie gefordert.

32


II.5 Verhalten des Abstandes

Wie bereits in Abschnitt I angekundigt, soll nun auch das Verhalten des Abstandes naheruntersucht werden und die dort aufgeworfenen Fragen nun beantwortet werden.

II.5.1 Allgemeiner Ansatz

Die Grundlage fur die Uberlegungen ist die entwickelte Zahlenoszillationstheorie, die inTheorem II im Anhang erlautert wird. Diese ist aufgrund von Regel 3 bei Multiplikationund Division anwendbar. Demnach sind ein Großteil der polyabundanten Zahlen lediglichVielfache von vorherigen polyabundanten Zahlen. Nach der Zahlenoszillationstheorie seienalso die vollstandigen Werte (alle polyabundanten Zahlen) λi und die Ausgangswerte (diekeine Vielfachen von vorherigen polyabundanten Zahlen sind) λ∗i , sodass

λ∗i 6= λj ·m, ∀ j,m ∈ N, λj < λ∗i . (II.91)

Damit sind also wie bereits bekannt

λi ∈ {180, 240, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, ...}, (II.92)

jedoch nun

λ∗j ∈ {180, 240, 420, 504, 600, 660, 780, 1344, 1584, 1848, 1872, 1890, 2040, 2184, 2280,

2352, 2376, 2760, 2772, 2856, 3150, 3192, 3276, 3480, 3720, 4284, 4410, 4440, 4788,

4896, 4920, 5100, 5160, 5292, 5640, 5700, 5796, 6360, 6864, 6900, 6930, 7080, 7320,

7344, 7728, 8040, 8190, 8208, 8424, 8520, ...}.(II.93)

Es handelt sich somit in Bezug auf die Zahlenoszillationstheorie um die Perioden derSchwingungen, die vom Ursprung ausgehen.

II.5.2 Ungerader Abstand

Da bisher nur gerade Abstande gefunden wurden, ist die Frage nach ungeraden Abstandenoffensichtlich zu stellen und kann relativ leicht beantwortet werden.

Behauptung 17: Es werden auch ungerade Abstande auftreten.

Beweis 17:Bisher liegen alle polyabundanten Zahlen in der Form λ = 2x vor, also gerade, je-doch konnte durch die Uberlegungen wahrend der grundlegenden Untersuchungen gezeigtwerden, dass auch ungerade polyabundante Zahlen auftreten werden, also in der Formλ = 2y − 1. Damit wird irgendwann eine ungerade poylabundante Zahl auf eine geradefolgen, sodass fur den Abstand

∆λ = (2x− 1)− (2y) = 2(x− y)− 1 = 2z − 1 (II.94)

gilt, womit die Behauptung bewiesen ware.

33


II.5.3 Großenbeschrankungen

In Abbildung I.6 wurde die Verteilung der ermittelten Abstande aufgetragen. Diese hateinige Fragen aufgeworfen, da scheinbar keine Abstande uber 120 oder unter 4 vorkom-men. Dazu sollen Stuck fur Stuck einzelne Aspekte bewiesen werden.

Behauptung 18: Es ist ∆λ ≤ λ0 = 180.

Beweis 18:Es ist λ1 = 180 und wegen Regel (3) muss λ1 · m, mit m ∈ N ebenfalls polyabunbdantsein. Dementsprechend kann nur ∆λ ≤ 180.

Damit konnte zudem gezeigt werden, dass jedes λx durch

λx = λ1 ·m+ ∆λx (II.95)

und einige ∆λx durch

∆λx ≡ λx mod λ1 (II.96)

ausgedruckt werden kann.

Lemma von Bezout: ∀ T1, T2 ∈ Z ∃ m1,m2 ∈ Z, sodass ggT(T1, T2) = m1 · T1±m2 · T2(siehe [10]).

Behauptung 19: Es konnte 1 ≤ ∆λ ≤ 4, sowie jeder mogliche Abstand existieren.

Beweis 19:Aufgrund der Erkenntnisse in Beweis 3 wird auch eine polyabundante Zahl λu ohne diePrimfaktoren 2, 3 oder 5 existieren, sodass ggT(λ1, λu) = 1. Fur den Abstand musste nachder Behauptung und (II.95)

∆λ = mu · λu −m1 · λ1 (II.97)

gelten. Nach dem Lemma von Bezout somit auch ∆λ = ggT(λ1, λu). Da wir ggT(λ1, λu) =1 gesetzt haben, ware somit ∆λ = 1 bestatigt. Da wir nun auch ∆λ = ggT(λ1·n, λu·n) = nmit 1 ≤ n ≤ 179 wegen Behauptung 18 haben, konnte somit jeder mogliche Abstandbeliebig oft auftreten und es wurde somit auch besonders gezeigt, dass ∆λ < 4 und poly-abundante Zahlenzwillinge mit ∆λ = 1 existieren konnen.

Lemma 20.1: Neue Ausgangswerte λ∗ entstehen, indem Primzahlen der vorherigen λ∗

ersetzt werden.

Beweis von Lemma 20.1:Da es sich bei den Ausgangswerten λ∗u um keine Vielfache der vorherigen polyabundan-ten Zahlen bzw. Ausgangswerten handelt, darf es kein m ∈ N geben, sodass m · λ∗ = λ∗u∀m ∈ N und λ∗ < λ∗u, damit λ∗u ein Ausgangswert ist. Somit konnte durch das Hinzufugenvon Primzahlen, also λ∗ · m, keine neuen λ∗ erzeugt werden. Stattdessen mussen einigeder Primzahlen (namlich ε) aus dem vorherigen Ausgangswert λ∗u−1 entfernt werden, alsoλ∗u−1/ε. Dadurch ware aber λ∗u < λ∗u−1, sodass auch einige neue Primzahlen (namlich ξ)hinzugefugt werden mussen, wobei naturlich ggT(ε, ξ) = 1, sodass λ∗u > λ∗u−1 gilt und λ∗u

34


stets polyabundant ist.

Also ist

λ∗u =λ∗u−1ε· ξ. (II.98)

Wir definieren

S(n) :=∞∑i=1

αi · pi = α1 · p1 + α2 · p2 + ..., (II.99)

wobei αi den Exponenten von pi in n angibt und somit diese Summe einen festen Wertbesitzt, da oftmals αi = 0. So ware z.B. S(20) = S(22 ·5) = 2 ·2+5 = 9. Damit λ∗u > λ∗u−1muss somit zudem S(ε) < S(ξ)! Dies lasst sich exemplarisch an λ∗1 = 180 = 22 · 32 · 5und λ∗2 = 240 = 24 · 3 · 5 zeigen. In diesem Fall ware ε = 3 und ξ = 22, sodassS(3) = 3 < S(22) = 4.

Lemma 20.2: Der durchschn. Abstand der Ausgangswerte nimmt mit ∆λ∗u ∝ lnu zu.

Beweis von Lemma 20.2:Nach Lemma 20.1 muss ein gewisser Anteil ε von λ∗u−1 durch einen neuen Anteil ξ mitggT(ε, ξ) = 1 ersetzt werden, um λ∗u zu erzeugen. Da λ∗u = 180 = 22 · 32 · 5 bei u = 1 undda ω = 3 nicht unterschritten werden darf, mussen in ξ mit der Zeit auch neue Primzahlenpn enthalten sein, sodass neue Ausgangswerte λ∗ erzeugt werden konnen. Nach (II.6) ist

d

dnpn ∝ lnn. (II.100)

Demnach muss auch

∆wλ∗ ∝ lnn, (II.101)

wobei sich dies deutlich langsamer abzeichnet.

Die ersten 40 Werte wurden in Abbildung II.4 aufgetragen, wobei jeder Wert den Mittel-wert der nachsten 50 Ausgangswerte λ∗ angibt. Der logarithmische Verlauf wird bereitsleicht deutlich und ein weiterer Anstieg verlauft sehr langsam.

Lemma 20.3: Bei M = λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x =x∏i=1

λ∗i wurde der großtmogliche Abstand

∆λx = λ∗1 = 180 nicht von Vielfache von λ∗u mit u ≤ x geschnitten werden.

Beweis von Lemma 20.3:Damit sich die Vielfache der beiden Ausgangswerte λ∗1 und λ∗u uberschneiden, muss

m1 · λ∗1 = mu · λ∗u (II.102)

gelten. Dies trifft offensichtlich bei m1 = λ∗u und mu = λ∗1 zu. Damit jedoch die Vielfacheder ersten x Ausgangswerte in einer polyabundanten Zahl zusammenfallen, musste

m1 · λ∗1 = m2 · λ∗2 = ... = mx · λ∗x, (II.103)

35


Abbildung II.4: Durchschnittlicher Abstand ∆wλ∗ mit w = 50

was analog fur

mi =λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x

λ∗i=M

λ∗j(II.104)

gilt, wobei

M := λ∗1 · λ∗2 · ... · λ∗x =x∏i=1

λ∗i (II.105)

entsprechend diese Stelle angibt. Somit treten im Intervall [M,M + λ∗1] keine Vielfacheder ersten x Ausgangswerte auf.

Behauptung 20: Jeder mogliche Abstand wird auftreten.

Beweis 20:In Beweis 18 wurde die Moglichkeit zu jedem beliebigen Abstand gezeigt, dennoch beste-hen zwei Probleme, weshalb sich dadurch nicht direkt auch auf die zwingende Existenzschließen lasst. Zum einen konnte es sein, dass z.B. der Abstand ∆λv = 100 niemalsauftritt, da zwischen m · λ1 und λv andere polyabundante Zahlen liegen. Dies kann vor-kommen, da es sich bei diesen Storzahlen entweder um Vielfache von vorhergegangenenpolyabundanten Zahlen λy oder um neu auftretende Ausgangswerte λ∗y handeln konnte.

Der entscheidende Aspekt liefert dabei Lemma 20.3, wonach alle m ·M = m ·λ∗1 ·λ∗2 · ... ·λ∗xim Intervall [m ·M,m ·M + λ∗1] keine Vielfachen der ersten x Ausgangswerte auftreten.Da die Uberlegungen in Beweis 18 ebenfalls implizieren, dass jeder mogliche Abstand un-endlich oft vorkommt, kann dieser Abstand auftreten, ohne dass Vielfache die Existenzverhindern.

Dennoch wird hierbei nicht berucksichtigt, dass sich sowohl neue Ausgangswerte in dieserfreien Lucke befinden konnen, als auch Vielfache von neu entstandenen Ausgangswertenλ∗y mit y > x. Dies kann jedoch beides durch Lemma 8.1 in Verbindung mit Lemma 20.2widerlegt werden, da es somit beliebig große Lucken geben wird, in denen keine neuenAusgangswerte λ∗ entstehen werden, sowohl im Intervall [m ·M,m ·M + λ∗1)], als auchaußerhalb, womit die Behauptung bewiesen ware.

36


Behauptung 21: Der durchschnittliche Abstand von λi nimmt mit i −→∞ ab.

Beweis 21:Anhand der Tatsache, dass alle Vielfache der Ausgangswerte λ∗ ebenfalls polyabundanteZahlen sind, wird ersichtlich, dass der durchschnittliche Abstand immer konstant bleibenwurden, wurde man nur eine begrenzte Anzahl von λ∗ zur Verfugung haben. Da es aberunendlich λ∗ gibt und damit immer mehr Werte potentielle Vielfache sein konnen, mussder Abstand geringer werden. Dieser Prozess vollzieht sich jedoch außerst langsam undist mit numerischen Datenerhebungen nicht zu erkennen.

II.5.4 Abstandverteilung

Abbildung I.6 macht deutlich, dass offenbar bestimmte Abstande mehrfach auftreten,wahrend andere seltener vorkommen. Dies sei ebenfalls kurz erlautert, da durch einfachelogische Uberlegungen auch diese Erscheinung erklart werden kann.

Da die von dem Suchprogramm ermittelten ersten polyabundanten Zahlen klein seinmussen, muss entsprechend auch die Primfaktorzerlegung mit kleinen Primzahlen aus-kommen. Damit diese stets polyabundant sein konnen, enthalten viele der ersten poly-abundanten Zahlen das Produkt bzw. die Kombination 22 · 3 · 5, sowie 23 · 3 oder 24 · 3.Betrachten wir die vorkommenden Abstande nach Haufigkeit sortiert und deren Primfak-torzerlegung wird einiges deutlich:

Nr. Abstand PFZ1 60 22 · 3 · 52 24 23 · 33 48 23 · 34 36 22 · 32

5 12 23 · 36 30 2 · 3 · 57 72 23 · 32

Dementsprechend treten diese Abstande besonders haufig auf, da der immer vorhandeneTeil ϕ (siehe Beweis 7) oftmals eine der obigen Kombination bei dem untersuchten Zah-lenraum ist. Da zwei aufeinanderfolgende λi nur selten Vielfache vom selben λ∗ sind undeine Steigerung der Primfaktorzerlegung moglichst gering ist, gilt

S(λ1) < S(λ2) < S(λ3) < ..., (II.106)

Dementsprechend ist bei ϕ ·Pi+1−ϕ ·Pi = ϕ · (Pi+1−Pi) = ϕ ·∆ oftmals ∆ = 1 oder nuretwas großer. Dies erklart auch, weshalb sich der immer vorhandene Teil ϕ als Abstandausbildet. Da ∆ auch teilweise etwas großer sein kann, sind die Abstande in der Tabellezusatzlich teilweise Vielfache voneinander.

37


II.6 Zahlfunktion

Durch die vorherigen Uberlegungen kann nun auch eine Gleichung angegeben werden,welche die Anzahl der polyabundanten Zahlen X(n) unterhalb einer gewissen Schranke nangibt.

Behauptung 22: Es gilt X(n) ≈∞∑i=1

⌊n

λ∗i

⌋≈ n ·

∑λ∗≤n

1

λ∗.

Beweis 22:Damit die Anzahl der polyabundanten Zahlen λ bestimmt werden kann, mussen nichtalle Werte betrachtet werden, sondern es genugt bereits die Kenntnis uber λ∗. Es liegensomit n/λ∗u Vielfache von λ∗u unterhalb von u. Dennoch werden hierbei Uberlagerungenwie λ∗u · λ∗u+1 nicht berucksichtigt, weshalb es sich lediglich um eine Naherung handelnkann, sodass

X(n) ≈⌊n

λ∗1

⌋+

⌊n

λ∗2

⌋+

⌊n

λ∗3

⌋+ ... =

∞∑i=1

⌊n

λ∗i

⌋, (II.107)

wobei diese unendliche Summe einen endlichen Wert besitzt, da⌊nλ∗y

⌋= 0 mit λ∗y > n.

Die Naherung kann vereinfacht werden, indem die Rundungsfunktion weggelassen wirdund somit

∞∑i=1

⌊n

λ∗i

⌋≈ n

λ∗1+

n

λ∗2+

n

λ∗3+ ...+

n

λ∗x(II.108)

= n ·(

1

λ∗1+

1

λ∗2+

1

λ∗3+ ...+

1

λ∗x

)(II.109)

= n ·∑λ∗≤n

1

λ∗(II.110)

bestimmt werden kann.

Da die Uberlegungen in Bezug auf das Verhalten des Abstands von λ∗ noch nicht ausrei-chend sind, um den Verlauf tatsachlich zuverlassig zu beschreiben, soll die obige Darstel-lung nicht weiter erganzt werden. Es ist jedoch auch besonders interessant zu erkennen,dass ein direkter Zusammenhang mit der Kehrwertsumme besteht (siehe dazu II.7). Durcheine Approximation dieses Summenverhaltens ware somit ebenfalls X(n) analytischer zubestimmen.

II.7 Unendliche Summe der Reziproke

Wahrend der vorhergegangenen Untersuchungen waren Summen von Kehrwerten immerwieder von Bedeutung. In der Zahlentheorie allgemein nimmt die Untersuchung des Kehr-wertverhaltens einer Zahl ein wichtiges Gebiet ein. Ob es sich um die beruhmt ζ-Funktion

ζ(s) :=∞∑n=1

1

ns= 1 +

1

1s+

1

2s+ ... (II.111)

38


handelt, der auch eine nahere Erlauterung im Anhang gewidmet ist, den Kehrwerten allerungeraden Zahlen

∞∑n=1

1

2n− 1= 1 +

1

3+

1

5+

1

7+ ... (II.112)

oder die alternierende harmonische Reihe

∞∑n=1

(−1)n+1 1

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ ..., (II.113)

in diesem Bereich werden viele Untersuchungen vorgenommen, insbesondere bezuglichKonvergenz und Divergenz. Es liegt nahe, ebenso die polyabundanten Zahlen hinsichtlichdieses Aspekts naher zu betrachten.

II.7.1 Alle polyabundante Zahlen

Behauptung 23: Die Summe der reziproken polyabundanten Zahlen∞∑i=1

1

λidivergiert.

Beweis 23:Es gilt

∞∑i=1

1

λi>∞∑i=1

1

i · λ1=

1

λ1·∞∑i=1

1

i=

1

λ1· ζ(1) =∞, (II.114)

womit die Behauptung bewiesen ware.

II.7.2 Ausgangswerte

Lemma 24.1: Eine Reihe∞∑n=1

1

f(n)konvergiert, falls O(f(n)) ≥ nδ mit δ > 0.

Behauptung 24: Die Summe der reziproken Ausgangswerte∞∑i=1

1

λ∗idivergiert (siehe [1]).

Beweis 24:Es konnte bereits in Lemma 20.2 gezeigt werden, dass der Abstand von λ∗i im Mittel pro-portional zu ln i anwachst. Dementsprechend verhalt sich das Wachstum der Kehrwerte.Da jedoch wegen (II.56) das Wachstum von lnx kleiner ist als von x

1m ∀ m > 1, kommt

es wegen Lemma 24.1 nicht zur Konvergenz. Dies kann auch daran gezeigt werden, dass

limn−→∞

(n∑r=1

1

r− lnn

)= γ, (II.115)

mit γ ≈ 0, 577216 (siehe [1]).

39


II.8 Polyabundante Fakultaten

In Bezug auf polyabundante Zahlen stellen sich Fakultaten als sehr interessant heraus,was durch folgende Behauptung gezeigt sei.

Behauptung 25: Es ist k(n!) > 2 mit n ≥ 6 und k(n!) > 3 mit n ≥ 10.

Beweis 25:Beim Aufschreiben der Fakultat ergibt sich

6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 (II.116)

= 1 · 2 · 3 · 24 · 5 · 3 · 2 (II.117)

= 24 · 32 · 5 (II.118)

= λ1 · 22, (II.119)

denn λ1 = 180 = 22 · 32 · 5. Genauso ergibt sich fur 10!

10! = 24 · 32 · 5 · 7 · 8 · 9 · 10 (II.120)

= 24 · 32 · 5 · 7 · 23 · 32 · 2 · 5 (II.121)

= 28 · 34 · 52 · 7 (II.122)

= Λ4 · 22 · 3 · 5, (II.123)

wobei Λ4 = 60.480 = 26 · 32 · 52 · 7 die 4-te 3-fach polyabundante Zahl sei.

II.8.1 Untere Schranke

Behauptung 26: Damit n! k-fach abundant sein kann, muss n ≥ π8(k+1)2 ln

(√π4

(k + 1))

.

Beweis 26:Nach den Uberlegungen in der Sektion ’Bestimmung von oberer Schranke’ und ’DirekteBestimmungsgleichung’ muss bei der Fakultat lediglich darauf gewartet werden, dass dieAnzahl der verschiedenen Primzahlen ω(k), die in der polyabundanten Zahl fur eine Stufek enthalten sein mussen, vorhanden sind. Aufgrund der Erkenntnisse in Beweis 12 undBeweis 8 gilt daher

n ≥ pω(k) ≥ ω(k) · lnω(k) (II.124)

und mit Behauptung 9

n ≥ π

16(k + 1)2 · ln

( π16

(k + 1)2)

=π

8(k + 1)2 ln

(√π

4(k + 1)

), (II.125)

was zu beweisen war.

II.8.2 Direkte Bestimmung

Anstatt diese Untersektion ’Obere Schranke’ zu nennen, erhalt sie die Bezeichnung ’Direk-te Bestimmung’. Denn sobald eine der Fakultaten k-fach polyabundant ist, sind es auch

40


alle folgenden, weshalb dies einer direkten Bestimmung einer polyabundanten Zahlen die-ser Stufe gleichkommt. Soll die erste Fakultat mit dieser Eigenschaft gefunden werden, sokann diese polyabundante Zahl naturlich auch als obere Schranke dienen.

Behauptung 27: n! mit n ≥ 94

exp(

3k+36β2κ

)ist k-fach polyabundant.

Beweis 27:Nach der obigen Beschreibung und Beweis 13 muss

n ≤ pω′′(k) =9

4· ω′′(k)

32 (II.126)

und mit Beweis 14

n ≤ 9

4· exp

(k + 1

3β2κ

) 32

=9

4· exp

(3k + 3

6β2κ

), (II.127)


Der erstaunliche Aspekt an diesem Beweis ist zudem, dass Fakultaten offenbar als einfacheAngabe fur polyabundante Zahlen herhalten konnen! So wissen wir nun, dass die Zahlen185!, 447! und 1079! jeweils 4-, 5- und 6-fach polyabundant sind.

II.9 Darstellung als Summe von Potenzzahlen

Ein weiterer Aspekt der Zahlentheorie ist die Darstellung bestimmter Zahlen mit derSumme von zwei Quadraten. So schrieb der indische Mathematiker Ramanujan zusam-men mit zwei der bekanntesten britischen Mathematikern, Hardy und Littlewood, uberdas Vorkommen von Zahlen, die aus Quadraten zusammengesetzt sind (siehe dazu beson-ders [11]). Daher sollen einige Fragestellungen dieses zahlentheoretischen Zweigs ebenfallsauf die polyabundanten Zahlen ubertragen werden.

Behauptung 28: Es gibt polyabundante Quadrate.

Beweis 28:Dies folgt direkt aus Regel (1) bei Multiplikation und Division.

Behauptung 29: Es existieren polyabundante Zahlen, die sich als Summe von zweiQuadraten schreiben lassen.

Beweis 29:Demnach muss λ = a2 + b2 mit a, b ∈ N existieren, und indem wir a = λz und b = λz · psetzten, erhalten wir

λy = λ2z + (λz · p)2 = λ2z + λ2z · p2 = λ2z · (1 + p2), (II.128)

wobei es sich dabei erneut um eine polyabundante Zahl handelt.

Demnach ist jede polyabundante Zahl, die sich in der Form λ2 · (1 + p2) schreiben lasst,auch als Summme von zwei Quadraten darstellbar, z.B. 180 · (1 + 22) = 180 · 5 = 900.

41


Behauptung 30: Es gibt polyabundanten Zahlen, die sich als beliebige Potenzsumme,also λ = am1 + am2 + am3 + ...+ amx , darstellen lassen.

Beweis 30:Wir erzeugen unterschiedliche Basen durch ai = λz · pi−1, sodass sich mit Lemma 3.2

λy = λmz + (λz · p)m + (λz · p2)m + ...+ (λz · px−1)m (II.129)

= λmz + λmz · pm + λmz · p2m + ...+ λmz · p(x−1)m (II.130)

= λmz · (1 + pm + p2m + ...+ p(x−1)m) (II.131)

= λmz ·(

1 + pm · px − 1

p− 1

)(II.132)

ergibt.

Somit konnte z.B. als eine polyabundante Zahl, welche aus der Summe von 3 verschiedenenKuben besteht, also a3 + b3 + c3, der Wert

1803 ·(

1 + 23 · 23 − 1

2− 1

)= 1803 · 57 = 332.424.000 (II.133)

bestimmt werden.

II.10 Polyabundante Fibonacci-Zahlen

Auch wenn nun keine Ausfuhrung erfolgen soll, finde ich es wichtig zu erwahnen, dass diebeiden Fibonacci-Zahlen

Fx = 46.368 (II.134)

und

Fy = 14.930.352 (II.135)

jeweils polyabundant sind. Trotz weiterer Suche konnte bisher keine weitere Fibonacci-Zahl als polyabundante Zahl identifiziert werden. Es ist zahlentheoretisch besonders schwie-rig auf die Primfaktorzerlegung zu schließen, weshalb Uberlegungen dazu kaum moglichsind. Daher birgt besonders dieser Aspekt weitere Fragen und darunter besonders: Wirdes noch weitere polyabundante Fibonacci-Zahlen geben?

42

Abschnitt III

Speziellere Untersuchungen

III.1 k(n) als multiplikative Funktion

III.1.1 Allgemeines und Beziehungen

Das wichtigste Mittel der Zahlentheorie sind die multiplikativen Funktionen! Dabei isteine Funktion f(x) multiplikative, wenn

f(a · b) = f(a) · f(b) (III.1)

mit a, b ∈ N und ggT(a, b) = 1 (siehe [2]). Die Bedeutung in der Zahlentheorie ist ge-waltig und monatlich werden diverse Papers veroffentlicht, die sich mit der Erforschungsolcher Funktionen beschaftigen - es geht darum den Mittelwert zu bestimmen, eine Rei-henentwicklung zu finden, Gesetzmaßigkeiten zu ermitteln und vieles mehr. Zwei beson-ders wichtige multiplikative Funktionen wurden bereits in dieser Ausarbeitung verwendet:die Teilersummenfunktion σ(n) und die Teileranzahlfunktion τ(n). Dementsprechend sollauch die Polyabundanzfunktion k(n) mit

k(n) :=σ(n)

n− 1 (III.2)

(siehe Definition) auf Multiplikativitat untersucht werden.

Behauptung 31: Die Funktion k(n) ist keine multiplikative Funktion.

Beweis 31:Es sei ggT(p, q) = 1, dann ist

k(p · q) =σ(p · q)p · q

− 1, (III.3)

wahrend hingegen

k(p) · k(q) =

(σ(p)

p− 1

)·(σ(q)

q− 1

)=σ(p)σ(q)

pq− σ(p)

p− σ(q)

q+ 1 (III.4)

= k(p · q)− σ(p)

p− σ(q)

q+ 2, (III.5)


Aufgrund dieser Tatsache muss somit die Funktion abgeandert werden, sodass die Po-lyabundanz durch eine zahlentheoretische mutliplikative Funktion beschrieben werdenkann. Dafur sei folgende Funktion definiert:

k′(n) :=σ(n)

n. (III.6)

43

ABSCHNITT III. SPEZIELLERE UNTERSUCHUNGEN

Behauptung 32: Die Funktion k′(n) ist eine multiplikative Funktion.

Beweis 32:Es sei ggT(p, q) = 1, dann ist

k′(p · q) =σ(p · q)p · q

=σ(p)

p· σ(q)

q= k′(p) · k′(q), (III.7)


Es sollen nun einige Beziehungen zwischen diesen Funktionen gefunden werden. Mit dieserFunktion k′(n) und (III.5) ergibt sich somit

k(p) · k(q) = k(p · q)− k′(p)− k′(q) + 2 (III.8)

und wegen (III.3)

k(p · q) = k′(p) · k′(q)− 1. (III.9)

Behauptung 33: Es gilt die schone Beziehung k(p · q) = k(p) · k′(q) + k(q).

Beweis 33:Aus der Behauptung ergibt sich

k(p · q) = k(p) · k′(q) + k(q) (III.10)

=

(σ(p)

p− 1

)· σ(q)

q+σ(q)

q− 1 (III.11)

=σ(p · q)p · q

− σ(q)

q+σ(q)

q− 1 (III.12)

=σ(p · q)p · q

− 1 = k(p · q), (III.13)


III.1.2 Verhalten und Erweiterung

Aus Beweis 2 kann entnommen werden, dass

lim supn−→∞

k(n) = lim supn−→∞

k′(n) =∞ (III.14)

gilt. Interessanter ist es jedoch in der Zahlentheorie, das Wachstum der Mittelwerte an-zugeben. Dafur sei hier exemplarisch Perrons Gleichung P (an) (siehe [13]) angegeben.

Angenommen die Folge

F (s) :=∞∑n=1

anns

(III.15)

44


konvergiert absolut mit |an| ≤ A(n), wobei A(n) eine monoton wachsende Funktion ist,dann gilt

P (an) =∑n≤x

an =1

2πi

∫ b+iT

b−iTF (s)

xs

sds+R (III.16)

fur alle 1 < b und T ≥ 2 mit i als imaginare Einheit. Indem an = k′(n) gesetzt wird,konnte dadurch der Mittelwert zwischen 0 bis x durch

1

x·∑n≤x

an =P (an)

x(III.17)

berechnet werden. Damit diese Formel angewendet werden kann, sind jedoch ausfuhrlicheKenntnisse in hoherer Zahlentheorie und komplexer Integralrechnung notwendig, was dender Rahmen dieser Ausarbeitung deutlich sprengen wurde, sodass auf weitere Ausfuhrungenverzichtet werden soll.

III.2 Anwendung beim Dirichlet-Produkt

III.2.1 Allgemein

Ein weitere bedeutsamer Aspekt der Zahlentheorie ist das sogenannte Dirichlet-Produkt(siehe [2]). Dabei handelt es sich um eine mathematische Operation zwischen zahlentheo-retischen und multiplikativen Funktionen. Dieses ist definiert durch

(α ? β)(n) :=∑d|n

α(d)β(nd

)(III.18)

bzw.

(α ? β)(n) :=∑xy=n

α(x)β (y) (III.19)

wobei es sich bei α und β um multiplikative Funktionen handelt und dieses Produktsowohl kommutativ als auch assoziativ ist. Dabei gibt es ein neutrales Element ε mit

ε(x) :=

{1 x = 1

0 x > 1, (III.20)

sodass α ? ε = α, ebenso wie ein Nullelement o mit

o(x) := 0 ∀ x ∈ N. (III.21)

Zusatzlich zu diesen beiden trivialen Funktionen sind ι und ν durch

ι(x) := 1 ∀ x ∈ N (III.22)

und

ν(x) := x ∀ x ∈ N (III.23)

45


definiert. Mithilfe dieser einfachen Grundfunktionen konnen nun die wichtigen zahlen-theoretischen Funktionen gebildet werden. So ist z.B.

τ = ι ? ι =∑d|n

1 (III.24)

oder

σ = ν ? ι =∑d|n

d, (III.25)

wie bereits in (1) in der Einleitung angegeben wurde. Weiterhin konnen zu allen Funktio-nen α die Inverse α−1 gefunden werden. So ist z.B.

µ(x) := ι−1(x) =

1 falls x = 1

(−1)ω(x) falls x quadratfrei ist

0 falls nicht

(III.26)

und wird Mobius-Funktion genannt, worauf jedoch nicht genauer eingegangen werden soll.Somit ware τ ? µ = ι.

III.2.2 Anwendung auf k′(n)

Nun soll ebenfalls eine Darstellung von k′(n) mithilfe des Dirichlet-Produkts gefundenwerden.

Lemma 34.1: Wenn d ein Teiler von n ist, dann ist auch nd

ein Teiler (siehe [2]).

Behauptung 34: Es gilt k′(n) = (ν ? w)(n) mit w(x) := x−1.

Beweis 34:Nach der Definition und Lemma 34.1 ist

k′(n) =σ(n)

n=

1

n·∑d|n

d (III.27)

=∑d|n

d

n(III.28)

=1

n+d2n

+ ...+dτ−1n

+n

n(III.29)

= 1 +1

d2+ ...+

1

dτ−1+

1

n(III.30)

=∑d|n

1

d= (w ? ι)(n), (III.31)

wonach sich mit w(x) := x−1 die Behauptung ergibt.

Damit ware auch die Darstellung von k′(n) durch das Dirichlet-Produkt ermoglicht. Da esdurch viele Anwendungen und Erweiterungen bei der Untersuchung von zahlentheoreti-schen Funktionen wichtig ist, konnten somit auch weitere Erkenntnisse uber polyabundan-te Zahlen gewonnen werden. Es sollen nun noch zwei Beziehungen mit der Teilersumme

46


und der Teileranzahl gegeben werden.

Behauptung 35: Es gilt die Beziehung k′ ? ι = τ ? w und k′ ? ν = σ ? w.

Beweis 35:Nach Beweis 34 gilt k′ = ι ? w und es ist ι−1 = µ. Somit ist wegen ι = τ ? µ und daherk′ = (τ ? µ) ? w. Da das Dirichlet-Produkt assoziativ ist, folgt daraus

k′ ? ι = τ ? w. (III.32)

Analog ergibt sich ν = σ ? µ und damit k′ = (σ ? µ) ? w, was nun abschließend zu

k′ ? ι = σ ? w (III.33)

wird.

47

Schlussbemerkung

Im Verlaufe dieser Ausarbeitung haben wir uns ausfuhrlich mit polyabundanten Zahlenλ beschaftigt, fur die

(k + 1) · λ > σ(λ) mit k ≥ 2

gilt. Indem wir die Einteilung in defiziente, vollkommene und abundante Zahlen ausgebautund die abundanten Zahlen weiter eingestuft haben, wurden einige interessante Fragenaufgeworfen, von denen einige beantwortet werden konnten.

So konnte besonders bemerkenswert gezeigt werden, dass fur jedes k ein λ gefunden wer-den kann,also

lim supn→∞

(σ(n)

n− 1

)=∞

Dementsprechend werden beliebigstufige polabundante Zahlen gefunden! Dies wird durchdie vorige Erkenntnis erganzt, dass von jeder Stufe unendlich viele Vertreter existieren.Ein weiterer interessanter Aspekt ist, dass polabundante Zahlen eher selten auftretenund das daher keine 4-fach abundante Zahl durch maschinelle Suche gefunden werdenkonnte. Daneben zeichnet sich jede Stufe durch eine maximale Anzahl von verschiedenenPrimzahlen aus - im Zuge dessen konnte auch herausgefunden werden, dass es ungeradepolabundante Zahlen gibt, welche jedoch deutlich spater auftreten! Im Verlauf der wei-terfuhrenden Untersuchungen, konnten durch diverse Approximationen sowohl eine untereSchranke

N ′ > 3 · lnγ0(k+1)2−2 (δ0γ0(k + 1)2 + 1)·(⌊γ0(k + 1)2

⌋)!,

als auch eine obere Schranke

N ′′ < 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·(⌊

exp

(k + 1

3β2κ

)⌋!

) 32

bestimmt werden, welche die erste polyabundante Zahl einer Stufe eingrenzen. Aus denUntersuchungen zur oberen Schranke konnte zudem der Ausdruck

λ(k) = p31 · p22 ·

⌈exp(k+1

3β2κ

)⌉∏j=3

pj

ermittelt werden, durch welchen eine mindestens k-fach polyabundante Zahl direkt be-stimmt werden kann - dies ist sehr faszinierend und wichtig fur diese Ausarbeitung!Ebenfalls wurde der Abstand zwischen den polyabundanten Zahlen weiterfuhrend be-trachtet, wodurch gezeigt werden konnte, dass fur den Abstand 1 ≤ ∆λ ≤ 180 geltenmuss. Mithilfe dieses Wissens und weiteren Uberlegungen konnte herausgefunden werden,dass sowohl ungerade Abstande, polyabundante Zwillinge, als auch jeder weitere moglicheAbstand auftreten wird. Insgesamt wird der durchschnittliche Abstand sogar abnehmen,je hohere Intervalle betrachtet werden. Nachdem zusatzlich die auffallige Abstandsvertei-lung mithilfe der Primfaktorzerlegung erklart werden konnte, wurde das Konzept fur eineZahlfunktion

X(n) ≈∞∑i=1

⌊n

λ∗i

⌋≈ n ·

∑λ∗≤n

1

λ∗

48


aufgestellt, die Summe der Reziproke

∞∑i=1

1

λi

und die Fakultatsfunktion auf Polyabundanz untersucht. Dabei stellte sich heraus, dassalle Fakultaten mit

n ≥ 9

4exp

(3k + 3

6β2κ

)k-fach polyabundant sind und sich daher gut als Angabe fur polyabundante Zahlen eig-nen. Zuletzt wurden speziellere Untersuchungen bezuglich der Multiplikativitat und demDirichlet-Produkt angestellt, welche fur weitere zahlentheoretische Betrachtungen bedeut-sam sein konnten.

Zwar wurden in dieser umfangreichen Ausarbeitung bereits viele Aspekte betrachtet, je-doch konnen sowohl die Schranken noch weiter verbessert werden, als auch noch ungelosteFragen, z.B. nach den Fibonacci-Zahlen, angegangen werden. Somit hoffe ich, dass dieDokumentation interessant zu lesen war und ggf. Anregungen zu weiteren zahlentheore-tischen Aspekten gegeben werden konnten, da dieser Bereich der Mathematik besondersschon und erstaunlich ist und sich weitere Untersuchungen zu diesem und vielen weiterenThemen lohnen.

49

Anhang A

Zusatzliche Theoreme

A.1 Theorem I: Approximation eines Folgenprodukts

A.1.1 Allgemein

Es seien a1, a2, ..., am die ersten m Werte der Folge an und es soll

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ am (A.1)

gelten. Wir betrachten nun das Produkt der ersten m Werte

a1 · a2 · ... · am =m∏i=1

ai. (A.2)

Es soll nun ein Element ax ∈ {a1, a2, ..., am} gefunden werden, sodass

m∏i=1

ai ≥ (ax)m (A.3)

gilt. Anschaulich soll somit jedes Element des Produkts durch ax ersetzt werden konnenund dennoch das ursprungliche Folgenprodukt nicht uberschritten werden:

a1 · a2 · ... · am (A.4)

≥ ax · ax · ... · ax. (A.5)

Damit die Approximation des Folgenprodukts mithilfe dieser Methode optimal ist, mussdas ax moglichst groß gewahlt werden, sodass die Ungleichung (A.3) bei ax+1 bereits nichtmehr zutrifft, sondern

m∏i=1

ai ≤ (ax+1)m. (A.6)

Es ist sofort ersichtlich, dass zwar immer

m∏i=1

ai ≥ (a1)m (A.7)

gilt, jedoch niemals

m∏i=1

ai > (am)m. (A.8)

Aus m = 2 folgt somit direkt ax = a1. Es sollen nun einige Falle fur verschiedene anbetrachtet werden und optimale ax bestimmt werden.

50

ANHANG A. ZUSATZLICHE THEOREME

Fall 1: an = c

Bei an = c mit einem konstanten Wert c, gilt offensichtlich

m∏i=1

c = cm (A.9)

und es handelt sich um keine tatsachliche Approximation.

Fall 2: an = c · n

Sobald nun jedoch ein veranderlicher Wert n vorhanden ist, werden die Uberlegungenkomplexer. Exemplarisch gilt bei c = 1

1 · 2 = 2! > 12 (A.10)

1 · 2 · 3 = 3! > 13 (A.11)

1 · 2 · 3 · 4 = 4! > 24 (A.12)

1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 5! > 25 (A.13)

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 6! > 26 (A.14)

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 7! > 37 (A.15)

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 8! > 38 (A.16)

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 9! > 49 (A.17)

... = ... ... (A.18)

Dabei kann das optimale ax einfach durch

ax =

m

√√√√ m∏i=1

ai

=⌊m√m!⌋

(A.19)

bestimmt werden. Dabei handelt es sich jedoch, auch im Hinblick auf folgende Betrach-tungen, um einen komplexen und wegen der Abrundungsfunktion unhandlichen Ausdruck.Es soll stattdessen das Wachstum der Werte linear in Abhangigkeit von m durch x = δ ·mbzw. hier ax = δ ·m beschrieben werden, wobei δ die entsprechende Wachstumskonstantesei.

Lemma 36.1: Fur die Eulersche-Zahl gilt e = limh−→∞

hh√h!≈ 2, 718 (siehe [7]).

Behauptung 36: Es gilt die Approximationsungleichung 1 · 2 · ... ·m =m∏i=1

i >(me

)m.

Beweis 36:Aus (A.19) ergibt sich

ax = δ ·m =m√m! =⇒ δ =

m√m!

m−→ 1

e, (A.20)

woraus mit 1 · 2 · ... ·m =m∏i=1

i > (δ ·m)m die Behauptung folgt.

51


Durch eine kleine Anderung konnen auch c 6= 1 approximiert werden.

Behauptung 37: Es gilt die allgemeine Approximationsungleichungm∏i=1

c · i >(c ·m

e

)m.

Beweis 37:Aus der Behauptung ergibt sich

m∏i=1

c · i = cm ·m∏i=1

i >(c ·m

e

)m= cm ·

(me

)m(A.21)

m∏i=1

i >(me

)m, (A.22)

womit Behauptung 36 wiedergewonnen wurde.

Fall 3: an = c · nd

Um die drei exemplarischen Falle abzuschließen soll zusatzlich noch der Potenzfall be-trachtet werden.

Behauptung 38: Es gilt die Approximationm∏i=1

c · id ≥

(c

1d ·me

)d·m

.

Beweis 38:Es ist nach Behauptung 37

m∏i=1

c · i ≥(c ·m

e

)m(A.23)

m∏i=1

cd · id ≥(c ·m

e

)d·m(A.24)

cdm∏i=1

id ≥ cdm ·(me

)d·m(A.25)

cmm∏i=1

id =m∏i=1

c · id ≥ cm ·(me

)d·m=

(c

1d ·me

)d·m

, (A.26)

womit die Behauptung wiedergewonnen wurde.

A.1.2 Geradenapproximation

In der Anwendung treten jedoch niemals derartig elegante Falle auf, sondern vielmehr

an = lnn+n

2, an =

√ln lnn5 + n!, an = en + n2 − 2. (A.27)

Daher habe ich versucht eine Methode zu finden, welche das Produkt dennoch zufrieden-stellend annahern kann. Dafur muss jedoch neben (A.1), also

d

dm

m∏i=1

ai ≥ 0 ∀ m, (A.28)

52


geben sein, dass

d2

dm2

m∏i=1

ai ≥ 0 ∀ m (A.29)

und somit der Anstieg ebenfalls nicht abfallen darf. Dies ist bei vielen der fur die in derAusarbeitung wichtigen Folgen der Fall. Es soll erneut der x-te Wert durch x = δ · mangenommen werden. Wenn a−1 die Umkehrfunktion zu an sei, also a−1(ay) = y gilt,dann ergibt sich

a1 · a2 · ... · am > (ax)m (A.30)

m√a1 · a2 · ... · am > ax (A.31)

a−1( m√a1 · a2 · ... · am) > x, (A.32)

sodass

δ = a−1(√a1 · a2)− a−1(a1). (A.33)

Beispielsweise kann somit die Folge an = ln(n+ 1), wegen

δ = e√ln 2·ln 3 − eln 2 ≈ 0, 3932 (A.34)

durch

ln 2 · ... · lnm =m−1∏i=2

ln(i+ 1) > lnm−1(δ ·m+ 1) = lnm−1(0, 3932 ·m+ 1) (A.35)

angenahert werden. Diese Zwischenerkenntnisse sind sehr zufriedenstellend, da ich beson-ders die Approximation (A.35) oftmals benotigte, jedoch keine Naherung finden konnte.Das mir diese Methode geholfen hat, allgemein beliebige Folgen zu approximieren, istnicht nur sehr beeindruckend, sondern war ebenfalls an vielen anderen Stelle eine großeHilfe! Tatsachlich sind die Naherungen deutlich besser als ich mir erhofft habe, was durchfolgende Abbildung A.1 exemplarisch deutlich gemacht werden soll. Da die entstehendenWerte des Produkts sehr schnell ansteigen, wurden die Werte in logarithmierter Formaufgetragen.

Abbildung A.1: Verlauf von ln-Produkt und Approximation mit m ∈ [1, 100]

53


A.1.3 Approximationstabelle

In folgender Tabelle sind einige Approximationen fur Folgen aufgelistet, die wahrend derAusarbeitung von Bedeutung waren, jedoch nicht unbedingt zur Geltung kommen mussen.Ubrigens wird niemals mit an = lnn gearbeitet, da ln 1 = 0 und somit das Produkt immer0 ware. Stattdessen kann bei der Anwendung ln(n + 1) verwendet werden, wobei das mentsprechend reduziert werden musste.

Produkt δ Produkt δ∏mi=1 ln(i+ 1) 0, 393220

∏mi=1 ln2(i+ 1) 0, 245869∏m

i=1(i+ 1) · ln(i+ 1)− 1 0, 177940∏m

i=1 ln(i+ 1)2 0, 132790∏mi=1 ln(i2 + 1) 0, 369470

∏mi=1 e

i − 1 1, 483088

A.2 Theorem II: Zahlenoszillationstheorie

A.2.1 Konzept

Diese Theorie beschaftigt sich mit dem folgenden Problem: Es sei eine Funktion f(x)definiert und die Menge

A := {f(1), f(2), f(3)...} = {f(x)|x ∈ N}, (A.36)

also die Menge aller Werte von f(x) mit x ∈ N. Nun soll eine zweite Menge

B := {y · f(1), y · f(2), y · f(3)...|y ∈ N} = {y · f(x)|x, y ∈ N} = {g(x)|x ∈ N} (A.37)

definiert werden, also die Menge aller Vielfache von f(x). Die Werte von f(x) sollen alsAusgangswerte und die von g(x) als vollstandige Werte bezeichnet werden. Es soll nun dieFunktion g(x) gefunden werden, sodass diese Vielfache von f(x) nur durch g(x) beschrie-ben werden konnen. Graphisch konnen dabei diese Funktionen als Oszillationen auf dereindimensionalen Zahlengerade angesehen werden. So wurden durch f(x) gewisse Punktemarkiert werden (rot), welche sich dann als Schwingungen mit dieser Periode T = f(x)fortpflanzen. Die dabei entstehenden Beruhrungsstellen mit der Zahlengerade entsprechenden Werten von g(x) (gelb). Auf der Abbildung A.2 (nachste Seite) sind unterschiedlicheAmplituden nur zur Anschaulichkeit eingezeichnet, spielen jedoch naturlich keine Rolle.

Die Disziplin ist es nun, aufgrund einer Funktion f(x) auf eine Funktion g(x) zu schließenund umgekehrt. Dieser Vorgang sei als Oszillationstransformation bezeichnet. Dabei kannes verschiedene f(x) zu einem bestimmten g(x) geben, jedoch nicht umgekehrt.

A.2.2 Beispiel

So wurde aus der Menge der Primzahlen

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} (A.38)

die Menge der naturlichen Zahlen werden (ohne 1 und 0)

N = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}, (A.39)

54


Abbildung A.2: Visualisierung der Zahlenoszillation

sodass g(x) = x. Fur die meisten dieser Funktionen kann naturlich kein exakter Ausdruckgefunden werden, sondern lediglich Naherungen, da der entstehende Graph nicht stetigware. In dieser Ausarbeitung hatten wir z.B. als guten Wert bei den Primzahlen f(x) =lnxx (siehe Behauptung 8).

A.2.3 Exemplarische Oszillationstranformationen

Fall 1: f(x) = c

Bei f(x) = c, wobei c ein konstanter Wert ist, sind die Werte von g(x) entsprechendeinfach nur

g(x) = c · x. (A.40)

Damit wurde f(x) = c zu g(x) = 2x transformiert werden, also allen geraden Zahlen.Doch wie sieht die Ausgangsfunktion von g(x) = 2x− 1 aus, also den ungeraden Zahlen?Ob es eine gibt und wie diese aussieht konnte von mir noch nicht beantwortet werden.

Fall 2: f(x) = c · x

Im Fall von f(x) = c · x ist die Tranformation erstaunlich, denn es ist

f(x) = g(x), (A.41)

sodass hier die Ausgangsfunktion ebenfalls die Transformationsfunktion ist.

Fall 3: f(x) = c1 · x+ c2

Sobald jedoch eine weitere Konstante c2 eingebracht wird, kann die Funktion g(x) nichtmehr klar bestimmt werden, sondern es kann nur ein Mittelwert gegeben werden. Dieswird durch Abbildung A.3 deutlich, da hier das g(x) numerisch berechnet aufgetragenwurde. Es handelt sich eindeutig nicht langer um einen stetigen Verlauf. Beim Betrachtenvon mehr Werten ist kein linearer Verlauf erkennbar, sondern eher

g(x) ∼ lnx, g(x) =x

lnx, g(x) = ... (A.42)

55


Da es in dem Rahmen dieser Ausarbeitung nicht moglich ist, diesen theoretischen Ansatzweiter auszuarbeiten, da die dafur zu leistende Arbeit weit uber das bereits vorhandenehinausgehen musste und es in dieser Arbeit um polyabundante Zahlen geht, soll dies nichtweiter ausgefuhrt werden.

Abbildung A.3: Werte von g(x) mit x ∈ [1, 100] bei f(x) = 3x+ 1

Fall 4: f(x) = c1 · x2 + c2

Auch bei f(x) = c1 · x2 kann ein stetiger Ausdruck gefunden werden, doch sobald auchhier c2 6= 0 gesetzt wird, muss eine Mittelwertfunktion angegeben werden.

Damit wird nochmals deutlich, wie komplex diese eigentlich einfache Transformationist und wie viele weitere Uberlegungen angestellt werden mussen, um klare Regeln, Ge-setzmaßigkeiten und Transformationsvorschriften zu finden. Dennoch wird diese von mirentwickelte Theorie auch noch in Zukunft zentraler Bestandteil meiner mathematischenUberlegungen bleiben, denn der Nutzen, auch wenn es auf den ersten Blick nicht so er-scheint, ist sehr groß. Wie im Beispiel gezeigt, wurde eine mogliche Rucktransformationnur von der Funktion g(x) = x die Frage nach dem Verlauf der Primzahlen beantworten!Sollte es durch weitere Uberlegungen moglich werden, klare Vorschriften aufzustellen, so-dass eine Transformation in beide Richtungen einfach durchgefuhrt werden kann, wurdedies die Zahlentheorie sehr erschuttern! Folgende beruhmte Vermutungen o.a. wurdenvermutlich kinderleicht durch diese Transformation gelost:

• Der Primzahlsatz

• Die Goldbach’sche Vermutung

• Das Summe von Quadrate Problem

• Die Primzahlzwillinge-Vermutung

• Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer

• usw.

56

Anhang B

Zusatzliche Beweise undErlauterungen

B.1 Beweis A

Behauptung A: Es ist σ(pα · qβ) = σ(pα) · σ(qβ).

Beweis A:Durch das aufschreiben der Teiler wird erkennbar, dass

σ(pα · qβ) = 1 + p+ p2 + ...+ pα

+ q + q2 + ...+ qβ

+ pq + pq2 + ...+ pqβ

+ p2q + p2q2 + ...+ p2qβ

+ ...

+ pαq + pαq2 + ...+ pαqβ (B.1)

= 1 + p+ p2 + ...+ pα

+ 1 · (q + q2 + ...+ qβ)

+ p · (q + q2 + ...+ qβ)

+ p2 · (q + q2 + ...+ qβ)

+ ...

+ pα · (q + q2 + ...+ qβ) (B.2)

= (1 + p+ p2 + ...+ pα)

+ (1 + p+ p2 + ...+ pα) · (q + q2 + ...+ qβ) (B.3)

= (1 + p+ p2 + ...+ pα) · (1 + q + q2 + ...+ qβ), (B.4)

da aber offensichtlich σ(pα) = 1 + p+ p2 + ...+ pα gilt, haben wir

(1 + p+ p2 + ...+ pα) · (1 + q + q2 + ...+ qβ) = σ(pα) · σ(qβ), (B.5)

womit die Behauptung gezeigt werden konnte.

Es gilt auch ganz allgemein σ(a · b) = σ(a) · σ(b), jedoch nur wenn ggT (a, b) = 1 - somithandelt es sich bei σ(n) um eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Ubrigens istauch die Teileranzahl multiplikativ und es gilt der schone Ausdruck

τ(n) = τ

(ω∏i=1

pαii

)=

ω∏i=1

τ(pαii ) =ω∏i=1

(αi + 1). (B.6)

57

ANHANG B. ZUSATZLICHE BEWEISE UND ERLAUTERUNGEN

Durch Lemma 3.2 wird σ(n) zu folgendem schonen Ausdruck

σ(n) =ω∏i=1

(αi∑j=0

pj

)=

ω∏i=1

pαi+1i − 1

pi − 1. (B.7)

B.2 Beweis B

Behauptung B: Es ist1

ba

a∑j=0

bj =a∑j=0

1

bj.

Beweis B:Durch einfaches Umformen erkennen wir, dass

1

ba

a∑j=0

bj =1

ba·(1 + b+ b2 + ...+ ba

)(B.8)

=1

ba+

1

ba−1+ ...+

1

b+ 1 (B.9)

=a∑j=0

1

bj, (B.10)

womit die Behauptung bewiesen werden konnte.

B.3 Beweis C

Behauptung C: Es gilt 1 + x+ x2 + ...+ xn =xn+1 − 1

x− 1fur x > 1 (siehe [5]).

Beweis C:Erneut kann durch einfaches Umformen der Summe S gezeigt werden, dass

S =1 + x+ x2 + ...+ xn (B.11)

x · S =x+ x2 + x3 + ...+ xn+1 (B.12)

x · S − S =x+ x2 + x3 + ...+ xn+1 − (1 + x+ x2 + ...+ xn) (B.13)

x · S − S =xn+1 − 1 (B.14)

(x− 1) · S =xn+1 − 1 (B.15)

S =xn+1 − 1

x− 1, (B.16)

womit die Behauptung gezeigt werden konnte.

B.4 Beweis/Erlauterung D

Behauptung D: Es gilt ζ(1) =∏

p prim

1

1− 1p

=∞ (vgl. [1] und [4]).

58

ANHANG B. ZUSATZLICHE BEWEISE UND ERLAUTERUNGEN

Beweis/Erlauterung D:Die ζ-Funktion wird auch als Eulersche wunderbare Identitat bezeichnet, da der sehrschone Zusammenhang

ζ(s) =∏

p prim

1

1− 1ps

=∞∑n=1

1

ns(B.17)

gefunden wurde und daher eine der wichtigsten Funktionen in der Zahlentheorie ist. Durcheine Umordnung der Glieder wird schnell ersichtlich, dass

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)+

(1

9+ ...+

1

16

)+ ... (B.18)

> 1 +1

2+

(1

4+

1

4

)+

(1

8+ ...+

1

8

)+ ... = 1 +

1

2+

1

2+

1

2+ ..., (B.19)

siehe [1]() also konnte gezeigt werden, dass

∞∑n=1

1

n=∞. (B.20)

Die obige Identitat soll ebenfalls gezeigt werden, wobei der Beweis so kurz wie moglichgehalten werden soll. Wir wissen, dass jede Zahl n = pα1

1 · pα22 · pα3

3 · ... aus Primfaktorenbesteht, sodass

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ ... =

∑n>0

1

n=

∑α1,α2,...≥0

1

pα11 · pα2

2 · .... (B.21)

Wir erzeugen somit jede mogliche Kombination von Primzahlen, sodass wir auch

∑α1,α2,...≥0

1

pα11 · pα2

2 · ...=∏

p prim

(∞∑i=1

1

pi

)(B.22)

erhalten und mithilfe der Erkenntnisse aus dem Zwischenbeweis 3.3

∏p prim

(∞∑i=1

1

pi

)=∏

p prim

1

1− 1p

(B.23)

zeigen konnten. Wegen (B.20) haben wir abschließend, dass

ζ(1) =∏

p prim

1

1− 1p

=∞. (B.24)

�

Fur s > 1 konvergiert die Reihe, wobei teilweise schone Grenzwerte entstehen, z.B. ist

ζ(2) =∏

p prim

1

1− 1p2

=∞∑n=1

1

n2=π2

6. (B.25)

59

Anhang C

Zusatzliche Tabellen und Diagramme

C.1 Weitere Diagramme und Abbildungen

Abbildung C.1: Verlauf von Z(pi) = pi/(pi − 1) mit i ∈ [1, 50]

Abbildung C.2: Verlauf und Vergleich des Produkts∏ω

i=1 Z(pi) mit ω ∈ [1, 150]

Abbildung C.3: Vergleich zwischen mittlerem Primzahlabstand und Naherungen

60

ANHANG C. ZUSATZLICHE TABELLEN UND DIAGRAMME

C.2 Weitere defiziente, vollkommene und abundante

Zahlen

Jede Zahl kann einem dieser drei Typen zugeordnet werden, wobei in Folge eine Tabelleder ersten Zahlen und weiteren Informationen gegeben werden soll, sodass man eine ersteUbersicht erhalt:

n Typ σ(n) σ∗(n)σ(n)

n− 1 Teiler

1 defizient 1 0 0 1

2 defizient 3 1 0.5 1, 2

3 defizient 4 1 0.3333 1, 3

4 defizient 7 3 0.75 1, 2, 4

5 defizient 6 1 0.2 1, 5

6 vollkommen 12 6 1.0 1, 2, 3, 6

7 defizient 8 1 0.1428 1, 7

8 defizient 15 7 0.875 1, 2, 4, 8

9 defizient 13 4 0.4444 1, 3, 9

10 defizient 18 8 0.8 1, 2, 5, 10

11 defizient 12 1 0.0909 1, 11

12 abundant 28 16 1.3333 1, 2, 3, 4, 6, 12

13 defizient 14 1 0.0769 1, 13

14 defizient 24 10 0.7142 1, 2, 7, 14

15 defizient 24 9 0.6 1, 3, 5, 15

16 defizient 31 15 0.9375 1, 2, 4, 8, 16

17 defizient 18 1 0.0588 1, 17

18 abundant 39 21 1.1666 1, 2, 3, 6, 9, 18

19 defizient 20 1 0.0526 1, 19

Es wird sofort deutlich, dass nur wenige abundante Zahlen auftreten! Es handelt sich beider Teilersumme σ(n) um eine ’nicht berechenbare’ Funktion, da die Primfaktorzerlegungnicht vorhersagbar ist bzw. nur anhand der Zahl, jedoch nicht durch eine geschlosseneGleichung bestimmt werden kann: auf dieser Tatsache beruht auch die verbreitete RSA-Verschlusslung. Dennoch konnte (mit Einschrankung) ermittelt werden, dass (siehe [2])

lim supn→∞

σ(n) ∼ lnn. (C.1)

C.3 Weitere polyabundante Zahlen nach Betrag

In folgenden Tabellen sind weitere polyabundante Zahlen aufgelistet, wobei zwischen 3-fach und 2-fach abundanten Zahlen getrennt werden soll, da 3-fach abundante Zahlen erstdeutlich spater auftreten. Neben der unechten Teilersumme σ(n) und der echten Teiler-

summe σ∗(n) ist zudem der Quotient σ(n)n−1, der Wert σ(n)− (k+1) ·n, die Teileranzahl

τ(n), die Anzahl verschiedener Primfaktoren ω(n) und die Primfaktorzerlegung gegeben.

61


Es folgen die ersten 2-fach abundanten Zahlen:

n σ(n) σ∗(n)σ(n)

n− 1 σ(n)− 3 · n τ(n) ω(n) Primfaktorzerlegung

180 546 366 2.0333 6 18 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5

240 744 504 2.1 24 20 3 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5

360 1170 810 2.25 90 24 3 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

420 1344 924 2.2 84 24 4 2 · 2 · 3 · 5 · 7

480 1512 1032 2.15 72 24 3 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5

504 1560 1056 2.0952 48 24 3 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7

540 1680 1140 2.1111 60 24 3 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5

600 1860 1260 2.1 60 24 3 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5

660 2016 1356 2.0545 36 24 4 2 · 2 · 3 · 5 · 11

720 2418 1698 2.3583 258 30 3 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

780 2352 1572 2.0153 12 24 4 2 · 2 · 3 · 5 · 13

840 2880 2040 2.4285 360 32 4 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7

900 2821 1921 2.1344 121 27 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5

960 3048 2088 2.175 168 28 3 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5

1008 3224 2216 2.1984 200 30 3 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7

1080 3600 2520 2.3333 360 32 3 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5

1200 3844 2644 2.2033 244 30 3 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5

1260 4368 3108 2.4666 588 36 4 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7

1320 4320 3000 2.2727 360 32 4 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 11

1344 4064 2720 2.0238 32 28 3 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7

1440 4914 3474 2.4125 594 36 3 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

1512 4800 3288 2.1746 264 32 3 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7

1560 5040 3480 2.2307 360 32 4 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 13

1584 4836 3252 2.0530 84 30 3 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 11

1620 5082 3462 2.1370 222 30 3 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5

1680 5952 4272 2.5428 912 40 4 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7

1800 6045 4245 2.3583 645 36 3 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5

1848 5760 3912 2.1168 216 32 4 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11

1872 5642 3770 2.0138 26 30 3 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 13

1890 5760 3870 2.0476 90 32 4 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7

62


Es folgen die ersten 3-fach abundanten Zahlen:

n σ(n) σ∗(n)σ(n)

n− 1 σ(n)− 4n τ(n) ω(n) Primfaktorzerlegung

27720 112320 84600 3.0519 1440 96 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

50400 203112 152712 3.03 1512 108 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7

55440 232128 176688 3.1870 10368 120 5 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

60480 243840 183360 3.0317 1920 112 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7

65520 270816 205296 3.1333 8736 120 5 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 13

75600 307520 231920 3.0677 5120 120 4 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7

83160 345600 262440 3.1558 12960 128 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

85680 348192 262512 3.0638 5472 120 5 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 17

90720 365904 275184 3.0333 3024 120 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7

95760 386880 291120 3.0401 3840 120 5 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 19

98280 403200 304920 3.1025 10080 128 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 13

100800 409448 308648 3.0619 6248 126 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7

105840 424080 318240 3.0068 720 120 4 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7

110880 471744 360864 3.2545 28224 144 5 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

115920 464256 348336 3.0049 576 120 5 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 23

120120 483840 363720 3.0279 3360 128 6 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13

120960 489600 368640 3.0476 5760 128 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7

128520 518400 389880 3.0336 4320 128 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 17

131040 550368 419328 3.2 26208 144 5 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 13

138600 580320 441720 3.1870 25920 144 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 11

141120 564642 423522 3.0011 162 126 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7

143640 576000 432360 3.0100 1440 128 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 19

151200 624960 473760 3.1333 20160 144 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7

163800 677040 513240 3.1333 21840 144 5 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 13

166320 714240 547920 3.2943 48960 160 5 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

171360 707616 536256 3.1294 22176 144 5 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 17

176400 712101 535701 3.0368 6501 135 4 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7

180180 733824 553644 3.0727 13104 144 6 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13

181440 737616 556176 3.0653 11856 140 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7

184800 749952 565152 3.0581 10752 144 5 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5 · 7 · 11

63


C.4 Weitere polyabundante Zahlen nach Stufe

Stufe: 4.1544

698377680

Stufe: 5.0426

21906018973959120

Stufe: 6.0260

231670423248528449368734087897360

Stufe: 7.0481

415162959838268519449701362544201670072707649123636775029636954320

Stufe: 8.0148

140496451167641856841791818658397622071106784663040343360508490523526359402714937049110592

32798953933257498576362853360684500240

Stufe: 9.0054

136710097584722093719238975341059885812039249434242086764629664356767427575914712260057531

646201978255461430586335462644913414598659614000409634744693732497346451125482841529498356

9888710193433251534104766182809047470776689389990485219915846882284720

Stufe: 10.001

625524683468131583131548836372467054996961361462543494237605663797557584859283052671868948

054911486443357053126684338230653987811991441830095526728236003841589359454201209571652361

045428828603442221597434588056333001821862089070948281917666142050222328548446980094437703

547538574718503892512891627554122278102449368110003644893242119000790066430240862720916761

933099146449808612644581619909740011081877952015449209952391375513141581079817054438358793

0890640359921278399504843833637360

Stufe: 11.002

237203604724905205161951634244847300605601714547053671795649447936326827440384888856011468

765927635632912585681841268287476540333629727704372918364889435013414326474600833322844149

127741950356545516912149422633056271831086625500358708303616427905040521634470108381266533

478249257222961956191956804900513857059410593032612903461497717295350142221136047443005169

833952627250151652450269380696353154505894808913780466515803651031109645639571363544409453

814148259365456274215079653857767607230184371455544432029814994727361396293988788263878238

544891864008364636951238356752417422350636788178414978870034276768356330116685922272027738

303632949140605583827996964687840746426816949012531757859629019310830020793520361971338428

107434710278082080231794565018226229999045844644617659695909137834593555063223199544402293

627471061236168513961080518926000474243767337909299846409271039199841810967021344928667457

11518795404626597859400875722917861360

Stufe: 12.000

169972178170319581235144888384810401090427761548670447017677437723748581148522624025275065

030990888421117550265380139283920849189737558030972604760237935991781911957066258666866134

772824048913584509284706689487063493075932450714161346811072083716752313428243546622787577

117269342053677216885788034434674733431745635936160739455767675334700686176188288263554612

641591462247987619245162545901588205839895436507485939202546586777203871096419698442880486

469330029502570801246668273792195197755309804476315815268866253768609084028824669257630667

711235026188173239729726306157826527512926682276127265111321482731433750342887124112326558

767264859927044500455068739257674779719877315254702226828238314964911671746273518555243497

371922960355956830874270338420966432236781931202925848139699302260965117799734072712705551

64


916156271869746971641737318815957137226919353910391634467438190542694945826411547300153784

283891134144056918013181476525268180256475558099440795017655644255217473936287988289342887

704711634216841045377740350261595957839254695821630259663249455167902791887897827197563235

969833424582313154976169391638926015107702068213805334433752633193922716638371399612962329

116758923167639404714803472846753107286042293735662122069483170170714366748320054369381489

679276366784301443819407312103077188707656426945144817938738070630322454554151982220791180

011239372331246128689089473005361272929921241641578587830924190388630658770006493073058782

856724709557848095739995193292788353746836375479501001728350183407256090805721852725760195

557338490788821396420229381177492306724545539087466997259624223460994306923891338992746753

948171158338460596935941882754209327983897810137767330775063653852418491869372097487021065

946187674427503016809316525578956935243283040889376973212514450866160781893539744824896924

491920

Stufe: 13.000

736244117875191514863213715738676829482126180577251735472020163137945287009776995864344585

833535026776533009549892308749670631035065063685093512627061580539208972938202437464682533

157946742349720171849170314139549935879093328516618226193846396813726657716265764258780659

207675773808749889037770749840748283865227509601662128411115178157185100035164115551605351

212654691881808925701698319865715959954983923328061058289381229327033305595429547474010810

360941495777230434467805197644210588611127740378291844120033075101758743344958866840145968

455606879293925711938184385850360782807116862044826180864576504127976060501124278860267425

943837264528119007125978358214156019625539961006864621148779053106423356133905204473073873

980677496731291248996282331801642651555243794441693070708491054783403972066628223322948058

986596499303270176542316021975168781487540661817731798040311638471672235332692718612523359

317232765900141323207342775935101046762381301983414713230785319661792093636605398132195146

104707930593095172273099831429704759796110308844123319306052849486613597901967234741355344

322356461659510241716353582386278129619814358663016479908224818343698775617304351344270891

182390798604700305889441929873062639776411502370144616319752559358184914081556064722693342

249238055095915123856765041856465176327730588452929668756807314051071262128626054113468982

917798984785354319063849628809480669507754560842537776295746249279183559404873802778835714

430681595593705122485049899440790093091882088340639573091245748246315304982204223840110686

189680378720942185377934907820450109284877960298784975026712849882539725333038968142953516

136727649932636722585162673135490963674854809269417935907816651848762337464882759585871738

387314564396479470678972242764227972773459472188479932264387725263807165572481524643748802

105025034155352874589603177211596247447549403148575257081630106045205781809364843553772391

387170385316880195085904779723256816431106088984926600369642554244099555360570600404067045

109419501012591056805656307070741939384126053249598517918951904452781574063217992860339399

960774790788615855035853833646059493032896786421326791784213780129046535299670931067747166

967340345021919927030951615078506412298857211908618013239614816190708297045062051131644047

213728299382736123838556931306298302007508545806855443356788682663107259173043683147102864

365920801963540535887652140522554915003248518448277830020356433989111634733155165454041108

450364270651005346949442112274754346449466317526888781559026666792167564360295551308852074

945076342180394792993371016717245275482319805508451816590301796745320408626169910511968246

755497402590024476579804546206149447217778196211736340769306724584803980495037986595305361

880334265886946589070943141235699157302582315031194790317254272786040648698280562772539452

090656403552410844659288532201962898725965450489408061235667857309390587248067260439941725

181741310280194994216617370194592870588907565119102976375598786959024880330534980760184738

423389219100627489605122842097250515922362901694501536836631303051662003777572371883643404

259271183044155057608744604969306789997892885529066162305197475522510761842956146131377342

687922230607226175371500550332685626128319679371455553935236770545621085811265156503457473

413483769135580112189183485339861920355215760007808697885249648523221674879735997529846405

550122228077602130543045361348078238432564091484726405060249065732948366206478873718192770

2571265971148641555047467708374170149199511862320

65

Anhang D

Symbol-, Beweis- undTabellenverzeichnis

D.1 Symbolverzeichnis

Anmerkung: Folgende Tabelle gibt Auskunft uber einige verwendeten Symbole und DerenBedeutung, wobei sich an bestimmten Stellen die Bedeutung aufgrund des Kontextesandern. In diesem Fall ist immer die lokale Bedeutung vorzuziehen.

Zeichen BedeutungN, Z Menge der naturliche bzw. ganzen Zahlenn,m, a, b naturliche Zahlenσ(n),σ∗(n) unechte Teilersumme, echte Teilersummed, di der i-te Teiler einer Zahl∑

,∏

allgemeines Summenzeichen, Produktzeicheni, j, x, `, y, r, n, u Laufindiceslim supx→∞

f(x) Limes superior einer Funktion f(x)

k, k(n),k′ Verhaltnis zwischen echter Teilersumme und Zahl, also σ(n)/n− 1p, q, pn verschiedene Primzahlenαi, β Exponenten von Primfaktorenω, ω′′ Anzahl der voneinander verschiedenen Primfaktoren einer ZahlZ(p) Summe aller reziproken Potenzen von pλ, λi eine polyabundante Zahlλ∗, λ∗i Ausgangswert der Vielfache von polyabundanten Zahlen∆λ,∆Aλ konstante Steigung von λiδλi Abweichungsfunktionζ(s) die Riemannsche ζ-Funktionc, c1, c2 Konstantenπ, e, γ festgelegte zahlentheoretische Konstantenδ0, γ0,γ1,ν1 bestimmte Konstanten Iε1, ε2, ε3, κ,κ′, κ′′ bestimmte Konstanten IIbxc, dxe Abrundungs- und Aufrundungsfunktionϕ, Pi immer vorhandener Teil bzw. variierender Teil der PrimfaktorzerlegungN ′, N ′′ untere und obere Schranke fur erste polyabundante Zahlπ(x) Primzahlzahlfunktion nach dem Primzahlsatz∼, ∝ asymptotisch gleich bzw. proportional zuε,ξ fur nachstes λ∗ zu entfernende bzw. hinzuzufugende KomponenteX(n) Anzahl polyabundante Zahlen ≤ xO Landau-SymbolFi Fibonacci-ZahlS(n) siehe Seite 34

66

ANHANG D. SYMBOL-, BEWEIS- UND TABELLENVERZEICHNIS

D.2 Beweisverzeichnis

Nr. Beweis Seite

1 Sollte eine einzige k-fach abundante Zahl existieren, dann existieren auch

unendlich weitere k-fach abunante Zahlen.

8

2 Es gilt lim supn→∞

(σ(n)n− 1)

=∞. 9

3 Bei polyabundanten Zahlen muss ω ≥ 3. 10

4 Es gibt polyabundante Zahlen ohne den Primfaktor 2 (ungerade). 12

5 Kombinationsgesetzte bzgl. Mutliplikation und Division 14

6 Kombinationsgesetzte bzgl. Addition und Subtraktion 14

7 Bis 107 treten keine Zwillinge (∆λi = 1) auf. 19

8 Fur die n-te Primzahl pn gilt

pn > lnnn > lnn! > lnnn − n > 2n− 1 > n+ 1

wobei die Ungleichung bzgl. pn immer asymptotische Gultigkeit besitzen.

20

9 Fur ω(k) gilt ω(k) > π16

(k + 1)2 > k + 1. 22

10 Fur das Produkt der Primzahlen gilt die Ungleichung (δ0 = 0, 393220)

ω∏j=1

pj > 3 lnω−2(δ0ω + 1) · ω! >√

2

(2ω

e

)ω> (ω + 1)!.

23

11 Als untere Schranke fur die erste k-fach poylabundante Zahl gilt, mit

δ0 := 0, 393220 und γ0 := π16

,

N ′(k) > 3 · lnγ0(k+1)2−2 (δ0γ0(k + 1)2 + 1)·(⌊γ0(k + 1)2

⌋)!.

24

12 Die Exponenten α′′n einer Primzahl pn, sodass σ(pα′′nn )/p

α′′nn ein Anteil von

mind. β = 0.9 an pn/(pn − 1) hat, sind α′′1 = 3, α′′2 = 2 α′′3 = 1, α′′4 = 1,

... , α′′i = 1.

26

13 Fur die n-te Primzahl pn gilt pn <94· n 3

2 < 12· n2. 27

14 Fur ω′′(k) gilt ω′′(k) < exp(k+13β2κ

), mit β = 0, 9 und κ := 0, 7. 29

15 Als obere Schranke fur die erste k-fach poylabundante Zahl gilt mit β =

0, 9 und κ := 0, 7,

N ′′(k) < 72 ·(

9

4

)exp(k+1

3β2κ

)·(⌊

exp

(k + 1

3β2κ

)⌋!

) 32

.

30

16 Fur die Mindestteileranzahl gilt τk > 2π16

(k+1)2 . 32

17 Es werden auch ungerade Abstande auftreten. 33

18 Es ist ∆λ ≤ λ0 = 180. 34

19 Es konnte 1 ≤ ∆λ ≤ 4, sowie jeder mogliche Abstand existieren. 34

20 Jeder mogliche Abstand wird auftreten. 36

21 Der durchschnittliche Abstand von λi nimmt mit i −→∞ ab. 37

67

ANHANG D. SYMBOL-, BEWEIS- UND TABELLENVERZEICHNIS

Nr. Beweis Seite

22 Es gilt X(n) ≈∑∞

i=1

⌊nλ∗i

⌋≈ n ·

∑λ∗≤n

1λ∗

. 38

23 Die Summe der reziproken polyabundanten Zahlen∑∞

i=11λi

divergiert. 39

24 Die Summe der reziproken Ausgangswerte∑∞

i=11λ∗i

divergiert (siehe [1]). 39

25 Es ist k(n!) > 2 mit n ≥ 6 und k(n!) > 3 mit n ≥ 10. 40

26 Damit n! k-fach abundant sein kann, muss n ≥ π8(k+1)2 ln

(√π4

(k + 1))

. 40

27 n! mit n ≥ 94

exp(

3k+36β2κ

)ist k-fach polyabundant. 41

28 Es gibt polyabundante Quadrate. 41

29 Es existieren polyabundante Zahlen, die sich als Summe von zwei Qua-

draten schreiben lassen.

41

30 Es gibt polyabundanten Zahlen, die sich als beliebige Potenzsumme, also

λ = am1 + am2 + am3 + ...+ amx , darstellen lassen.

42

31 Die Funktion k(n) ist keine multiplikative Funktion. 43

32 Die Funktion k′(n) ist eine multiplikative Funktion. 44

33 Es gilt die schone Beziehung k(p · q) = k(p) · k′(q) + k(q). 44

34 Es gilt k′(n) = (ν ? w)(n) mit w(x) := x−1. 46

35 Es gilt die Beziehung k′ ? ι = τ ? w und k′ ? ν = σ ? w. 47

36 Es gilt die Approximationsungleichung 1 · 2 · ... ·m =∏m

i=1 i >(me

)m. 51

37 Es gilt die allgemeine Approximationsungleichung∏m

i=1 c · i >(c·me

)m. 52

38 Es gilt die Approximation∏m

i=1 c · id ≥(c1d ·me

)d·m. 52

A Es ist σ(pα · qβ) = σ(pα) · σ(qβ). 57

B Es ist 1ba

∑aj=0 b

j =∑a

j=01bj

. 58

C Es gilt 1 + x+ x2 + ...+ xn = xn+1−1x−1 fur x > 1 (siehe [5] 58

D Es gilt ζ(1) =∏

p prim1

1− 1p

=∞ (vgl. [1] und [4]). 58

D.3 Tabellenverzeichnis

Nr. Tabelle Seite

1 Die ersten 2-fach abundanten Zahlen 6

2 Die ersten 3-fach abundanten Zahlen 6

3 Z(pi) fur einige pi 11

4 Kleinstes ω fur k-fach abundante Zahlen 11

5 Kleinstes ω fur ungerade k-fach abundante Zahlen 13

6 Ubersicht: erste defiziente, vollkomene, abundante Zahlen 24

7 Weitere 2-fach abundante Zahlen 25

8 Weitere 3-fach abundante Zahlen 26

68

Abbildungsverzeichnis

1 Verlauf von σ∗(n) in Abhangigkeit von n ∈ [0, 300] . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Verlauf von k(n) in Abhangigkeit von n ∈ [0, 1000] . . . . . . . . . . . . . . 6

I.1 Verlauf von λi - grob i ∈ [1, 20] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.2 Verlauf von λi - fein i ∈ [1, 2000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.3 Verlauf von δλi mit i ∈ [1, 830.000] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

I.4 Verlauf des Abstands λi+1 − λi mit i ∈ [1, 1000] . . . . . . . . . . . . . . . 18

I.5 Verlauf des durchschn. Abstands ∆zλ(`) mit z = 1000 und ` ∈ [1, 800] . . . 18

I.6 Verteilung der bis i = 800000 vorkommenden Abstande . . . . . . . . . . . 18

II.1 Vergleich zwischen Approximationen von pn . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II.2 Vergleich von Approximationen mit ω ∈ [1, 100] - logarithmiert . . . . . . . 25

II.3 Verlauf von σ(pα)/pα in Abhangigkeit von α ∈ [1, 9] . . . . . . . . . . . . . 26

II.4 Durchschnittlicher Abstand ∆wλ∗ mit w = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . 36

A.1 Verlauf von ln-Produkt und Approximation mit m ∈ [1, 100] . . . . . . . . 53

A.2 Visualisierung der Zahlenoszillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.3 Werte von g(x) mit x ∈ [1, 100] bei f(x) = 3x+ 1 . . . . . . . . . . . . . . 56

C.1 Verlauf von Z(pi) = pi/(pi − 1) mit i ∈ [1, 50] . . . . . . . . . . . . . . . . 60

C.2 Verlauf und Vergleich des Produkts∏ω

i=1 Z(pi) mit ω ∈ [1, 150] . . . . . . . 60

C.3 Vergleich zwischen mittlerem Primzahlabstand und Naherungen . . . . . . 60

69

Literaturverzeichnis

[1] Julian Havil, Gamma, Cornelsen Verlag, 1. Auflage 2010

[2] A. Frommer, H. Scheid, Zahlentheorie, Springer Verlag, 4. Auflage 2013

[3] siehe www.arxiv.org/list/math.NT/recent

[4] S. M. Gonek, Three Lectures on the Riemann Zeta-Function, University of Rochester

[5] F. Carlson, Uber Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, 1921

[6] F. Schneider, Das Ratsel der Primzahlen - empirische Untersuchungen, Jugend forscht

2015, https://goo.gl/EiYxAu

[7] Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. ’e.’ From MathWorld–A Wolfram Web

Resource, www.mathworld.wolfram.com/e.html

[8] Weisstein, Eric W. ’Stirling’s Approximation.’ From MathWorld–A Wolfram Web Re-

source, www.mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html

[9] Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic

Press, pp. 544-545 and 547-548, 1985

[10] Jones, G. A. and Jones, J. M. ’Bezout’s Identity.’ §1.2 in Elementary Number Theory.

Berlin: Springer-Verlag, pp. 7-11, 1998

[11] Pieter Moree, Jilyana Cazaran, On a Claim of Ramanujan in his First Letter to

Hardy, Expositiones Mathematicae, Heidelberg 1999

[12] A.A. Karatsuba, S.M. Voronin, The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter,

1992 Adolf Hildebrandt, On Wirsing’s mean value Theorem for Multiplicative

[13] Functions, Bull. Lond. Math. 1986 Wilf, H. Generatingfunctionology, 2nd ed. New

York: Academic Press, p. 58, 1994

[14] Buthe, J. ’A Practical Analytic Method for Calculating pi(x) II.’ 26 Oct 2014. arxiv.

org/abs/1410.7008

[15] Wolf, M. ’Unexpected Regularities in the Distribution of Prime Numbers.’ www.ift.

uni.wroc.pl/~mwolf/

[16] Sedunova, Alisa, On the mean values of some multiplicative functions on the short

interval, 3. Feb. 2003

70

www.arxiv.org/list/math.NT/recent

https://goo.gl/EiYxAu

www.mathworld.wolfram.com/e.html

www.mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html

arxiv.org/abs/1410.7008

arxiv.org/abs/1410.7008

www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/

www.ift.uni.wroc.pl/~mwolf/

Zahlentheoretische Untersuchung und Analyse der neu...

Documents

Transcript of Zahlentheoretische Untersuchung und Analyse der neu...