SISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS COMPLEJOS

Son los de la forma z=a+bi, con a,b∈IR, i=√(-1)..

Números complejos

Se representan como puntos del plano complejo. b

a

a+bi

Forma polar: a+bi=ρ(cosθ+isenθ)=ρθ θ

ρ

ρ=módulo de z θ=argumento de z

La suma de números complejos se define como (a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i

Suma de números complejos

(a+c)+(b+d)i

c+dia+bi

El producto de números complejos se define como (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+ bc)i

Producto de números complejos

En forma polar:

Así, para multiplicar complejos en forma polar se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

(ρ(cosθ+isenθ))(ρ´(cosθ´+isenθ´))=ρρ´(cosθ+isenθ)(cosθ´+isenθ´)=ρρ´((cosθcosθ´-senθsenθ´)+i(cosθsenθ´+senθcosθ´))=ρρ´(cos(θ+θ´)+i sen(θ+θ´))

Si z=a+bi=ρ(cosθ+isenθ), entonceszn=(a+bi)n

=ρn(cos(nθ)+isen(nθ))

Potencias de números complejos

En particular, z2 =(a+bi)2

=ρ2(cos(2θ)+isen(2θ))

Raices de números complejosSi z=a+bi=ρ(cosθ+isenθ), entonces una raiz n-ésima de z es

Existen n raices n-ésima de z de la forma

⋅+

nseni

nn θθρ cos

pues ( )θθρθθρ senin

senin

n

n ⋅+=

⋅+

coscos

1,...,2,1,0,22cos −=

+⋅+

+ nk

nk

nseni

nk

nn πθπθρ

En particular, si z=a+bi=ρ(cosθ+isenθ),

Raices de números complejos

+⋅+

+

⋅+

=πθπθρ

θθρ

22cos

22cos

seni

seniz

Dada f:C→C y dado z0∈C, la fórmula recursiva zn+1=f(zn) determina una sucesión de puntos.

Sistemas dinámicos complejos

Esta sucesión es la órbita positiva O+(z0) de z0. La definición de órbita negativa aparenta presentar problemas, puesto que f no tiene por qué ser inyectiva. Sin embargo, tomando todas las preimágenes se define la órbita negativa de z0 como

O-(z0)={z0∈C|∃k∈N con fk(z)=(z0)} .

Si zn= z0 para todo n∈N se dice que z0 es un punto fijo.Si zn= z0 para algún n∈N se dice que z0 es un punto periódico, y la órbita O+(z0) es un periodo o ciclo.El periodo de la órbita es el menor n con esta propiedad.z0 es n-periódico para f si y solo si es punto fijo de f

n.

Para caracterizar la estabilidad de un punto periódico de periodo n se utiliza la derivada(fn)'(z0).

Sistemas dinámicos complejos

Utilizando la regla de la cadena se ve que (fn)'(z0) es el mismo para todos los puntos del ciclo.Se tiene que z0 es:• atractivo si 0

f0n(z)→0 para todo z

Sistemas dinámicos complejos linealesSea λ0= ρ0(cosθ0+isenθ0)y sea la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f 0(z)=λ0z.Geométricamente, f0 equivale a multiplicar el módulo de z por ρ0y sumar θ0 al argumento de z.

Si ρ0

Sistemas dinámicos complejos linealesSea λ0= ρ0(cosθ0+isenθ0)y sea la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f 0(z)=λ0z.Geométricamente, f0 equivale a multiplicar el módulo de z por ρ0y sumar θ0 al argumento de z.

Si ρ0>1

f0n(z)→∞ para todo z≠0

f0n(z) periódica ∀z∈C

Sistemas dinámicos complejos linealesSea λ0= ρ0(cosθ0+isenθ0)y sea la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f 0(z)=λ0z.Geométricamente, f0 equivale a multiplicar el módulo de z por ρ0y sumar θ0 al argumento de z.

Si ρ0=1θ0=(1/6)π

Sistemas dinámicos complejos linealesSea λ0= ρ0(cosθ0+isenθ0)y sea la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f 0(z)=λ0z.Geométricamente, f0 equivale a multiplicar el módulo de z por ρ0y sumar θ0 al argumento de z.

f0n(z) periódica ∀z∈C

Si ρ0=1θ0=(2/17)π

Sistemas dinámicos complejos linealesSea λ0= ρ0(cosθ0+isenθ0)y sea la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f 0(z)=λ0z.Geométricamente, f0 equivale a multiplicar el módulo de z por ρ0y sumar θ0 al argumento de z.

Si ρ0=1θ0¹(p/q)π

f0n(z) “densa” ∀z≠0

Si |z0|1, |f0n(z0)|→∞.

Si |z0|=1, f0n(z0)∈S1.

El sistema cuadrático más sencilloConsideremos la transformación del plano complejo C en sí mismo dada por f0(z)=z2.Geométricamente, f0 equivale a hacer el cuadrado del módulo y a duplicar el argumento.Las iteraciones de un punto inicial z0dependen de |z0|.

Si |z0|1, |f0n(z0)|→∞.

Si |z0|=1, f0n(z0)∈S1.

El sistema cuadrático más sencilloLa circunferencia es invariante. En la circunferencia la acción de f0 es una duplicación del ángulo.

Si representamos los puntos que se van a 0 y a ∞ de diferentes colores según la velocidad con que se van a 0 o a ∞ se obtiene una representación global de las iteraciones de f0, en la que f0 manda cada franja en la franja adyacente más oscura, dando 2 vueltas

El sistema cuadrático más sencillo

La familia cuadrática es la formada por las aplicaciones fc:C→C de la forma fc(z)=z2+c, c∈Cfc verifica las siguientes propiedades:

La familia cuadrática

cqcp cc 4121

21y 41

21

21

−−=−−=

ccr 4321

21ry 43

21

21

21 −−+=−−−−=

• fc tiene un 2-ciclo formado por

• fc´(z)=2z,

• fc tiene dos puntos fijos, simétricos respecto de 1/2• fc-1(z)=±√(z-c) (dos puntos, excepto fc-1(c)={0}),

Consideremos fc:C→C de la forma fc(z)=z2+c, c∈C.Conjuntos de Julia

Es claro que si z es suficientemente grande, la órbita de zdiverge a ∞. La frontera de la región de atracción de ∞es el conjunto de Julia J(fc) de fc. J(fc) es la frontera común de todas las regiones de atracción de todos los puntos fijos o ciclos atractivos.

El complementario del conjunto de Julia se llama conjunto de Fatou F(fc) o conjunto estable.Por la simetría de la aplicación fc se tiene que los conjuntos de Julia y Fatou son simétricos respecto del origen.

Para c=0 el conjunto de Julia J(fc) es la circunferencia unidad.

Conjunto de Julia para c=0

Existe un punto fijo atractivo, el origen, en el interior de la circunferencia, que atrae a los puntosdel interior de la circunferencia.El otro punto fijo, el punto 1, es repulsivo y está situado sobre la circunferencia.La órbita de los puntos del exterior de la circunferencia diverge a ∞.

Conjunto de Julia para c=0.1+0.1iPara c=0.1+0.1i, J(fc) sigue siendo una curva cerrada simple pero ahora es una curva fractal.

El otro punto fijoz0≈0.90637271-0.12303975i

La órbita de los puntos del exterior diverge a ∞.

Existe un punto fijo atractivoz0≈0.093627286+0.12303975ien el interior de J(fc) que atrae a los puntos del interior.

es repulsivo y está sobre J(fc).

Así, existirá un punto fijo atractivo si y solo si c está en el interior de la cardioide de ecuación:

Conjuntos de Julia con puntos atractivosEn general, los puntos fijos de fc son

cc 4121

21y 41

21

21

−−−+

cc 411y 411 −−−+

simétricos respecto de ½ y en los que la derivada vale

πθθθ 20 ,41

21 2 ≤≤−= ii eez

c´s con un punto fijo atractivo

Conjunto de Julia para c=-0.5+0.5iPara c=-0.5+0.5i,

J(fc) sigue siendo una curva cerrada simple fractal.

Conjunto de Julia para c=-0.5+0.5iDe los 2 puntos fijos, uno de ellos,z0≈-0.40867701+0.27512526i

Si z está dentro de J(fc), fcn(z)→z0 mientras quefcn(z)→∞ si z es está fuera).

es atractivo,

es repulsivo.

mientras que el otro,z1≈1.40867701-0.27512526i

Conjuntos de Julia con 2-ciclos atractivosLos puntos 2-periódicos de fc son c43

21

21

−−±−

simétricos respecto de -½ y en los que la derivada de fc2vale 4(1-c).Así, existirá un 2-ciclo atractivo si y solo si c está en el interior de la circunferencia:

41|1|

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1iPara c=-1.1+0.1i

J(fc) sigue siendo una curva cerrada fractal pero ya no es simple.

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1iLos 2 puntos fijos son z0≈-0.662690+0.043003i, z1≈1.662690-0.043003i,ambos repulsivos.

fcn(z)→{w0,w1} si z está dentro de J(fc), mientras que fcn(z)→∞si z es está fuera.

El 2-ciclo atractivo está formado por w0≈-0.097497-0.083682i,w1≈ 1.097497+0.083682i.

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1iDe todas las curvas simples cerradas que componen J(fc) existen 2, C0 y C1 (quese tocan en z0) que rodean a los 2 puntos del 2-ciclo {w0,w1}.

La otra imagen inversa de C0 será una curva simple (simétrica de C1 respecto del origen) que encierre a la otra preimagen de w0 (simétrica de w1).

fc envía C0 en C1en forma 2 a 1.fc envía C1 en C0en forma 1 a 1.

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1iSi continuamos tomando imágenes inversas de esta forma vemos que J(fc) está formado por infinitas curvas que rodean todas las preimágenes de w0 y cuyos puntos de contacto son todas las preimágenes del punto fijo z0.

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1iSi z está en el interior de J(fc), fcn(z) va moviéndose por las diferentes componentes del interior de J(fc), hasta llegar a la componente rodeada por C0. A partir de este momento alterna entre la componente rodeada por C0 y la componente rodeada por C1 mientras se va acercando al 2-ciclo atractivo.Por otra parte, si z está en el exterior de J(fc), se tiene que fcn(z)→∞.

Conjuntos de Julia con 3-ciclos atractivosSiguiendo este proceso, existirá una región de valores de c (eneste caso 2 círculos y una cardioide de menor tamaño) para los que fctiene un ciclo de orden 3 atractivo

Conjunto de Julia para c=-0.2+0.75iPara c=-0.2+0.75i

Conjunto de Julia para c=-0.2+0.75i

Estas curvas son las 3 que contienen a los tres puntos del 3-cicloatractivo y por todas sus preimágenes.

J(fc) es unión de una cantidad numerable de curvas cerradas simples disjuntas 4 a 4 y con la propiedad de que donde se tocan 2 se toca también una tercera.

Los puntos de contacto son todas las preimágenes de uno de los puntos fijos de fc.

Conjuntos de Julia con 4-ciclos atractivosAnálogamente, existen 3 discos y 3 cardioides de menor tamaño para los que fc tieneun ciclo de orden 4 atractivo.

Y así sucesivamente.

Conjunto de Julia para c=0.25+0.52iPara c=0.25+0.52i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.5iPara c=0.25+0.5i

(punto de contacto de un disco y la cardioide)

Conjunto de Julia para c=0.25+0.5iEn este caso existe un punto fijo atractivo indiferente, en concreto f'c(x0)=e2πi/4. Se tiene que x0∈J(fc) y J(fc) incluye una serie de filamentos que llegan hasta x0 (en la figura estos filamentos no llegan a tocarse aunque en la realidad sí se tocan).

Conjunto de Julia para c=0.25+0.5iLas órbitas de fc van de las regiones menores hasta llegar a los 4 lóbulos que rodean al punto fijo.Luego van cambiando de lóbulo periódicamente a la vez que se aproximan, muy lentamente, al punto fijo.

Conjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iPara c=-0.3905+0.5867i

existe un punto fijo atractivo indiferente x0=-0.3686843940+0.3377451646icon f'c(x0)=e2πiα, α=(1+√5)/2∈I

Conjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iSi z está en el interior de J(fc), fcn(z) va moviéndose por las diferentes componentes del interior de J(fc), hasta llegar a la componente que rodea a x0 (disco de Siegel), donde fc es conjugada a un giro de ángulo 2πiα.

Conjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iSi z está en el interior de J(fc), fcn(z) va moviéndose por las diferentes componentes del interior de J(fc), hasta llegar a la componente que rodea a x0 (disco de Siegel), donde fc es conjugada a un giro de ángulo 2πiα.Si z está en el exterior de J(fc), se tiene que fcn(z)→∞.

Conjunto de Julia para c=iPara c=i,

fc tiene un punto fijo indiferente y todos los ciclos son repulsivos. El origen es un punto preperiódico y es enviado a un ciclo repulsivo. J(fc) es una dendrita

Conjunto de Julia para c=0.66iPara c=0.66i

El origen está en el exterior de J(fc), y por tanto fcn(0)→∞.

J(fc) es totalmente desconectado.

Conjunto de Julia para c=1+iPara c=1+i

El origen está en el exterior de J(fc), y por tanto fcn(0)→∞.

J(fc) es totalmente desconectado.

Propiedades de los conjuntos de Julia•J(fc) es no vacío, compacto, no numerable, con interiorvacío y sin puntos aislados.• J(fc) coincide con la adherencia del conjunto de los puntos periódicos repulsivos de fc. • J(fc) es invariante por fc y fc-1.• La órbita negativa de cualquier punto de J(fc) es densa en J(fc).• J(fc) es autosemejante y la dinámica en J(fc) es caótica.

• J(fc) es conexo si contiene al punto crítico z=0, encaso contrario es un “conjunto de Cantor plano”.• Si |z|>max(2,|c|) entonces la órbita de z diverge a ∞. Por tanto, J(fc)⊂Bmax(2,|c|)(0).

Algoritmo de tiempo de escapeSegún la última propiedad anterior, Qc0=Bmax(2,|c|)(0) es una primera aproximación de J(fc). Si ahora definimos Qc-1={z∈C|fc(z)∈Qc0}, se tiene que Qc-1 es una mejor aproximación de J(fc). En general, si definimos Qc-k={z∈C|fck(z)∈Qc0}, obtenemos Qc0 ⊃ Qc-1 ⊃ Qc-2 ⊃ Qc-3 ⊃... tales quelimk→∞Qc-k =J(fc).Todos los puntos fuera de algún Qc-k están en la región deatracción de ∞.Si representamos en diferentes colores los puntos de Qc-k \ Qc-(k+1) tendremos clasificados estos puntos según su velocidad de divergencia a ∞.

Conjunto de Julia para c=0

Conjunto de Julia para c=0.1+0.1i

Conjunto de Julia para c=-0.5+0.5i

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1i

Conjunto de Julia para c=-0.2+0.75i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.52i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.5i

Conjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867i

Conjunto de Julia para c=i

Conjunto de Julia para c=0.66i

Conjunto de Julia para c=1+i

Algoritmo de tiempo de escape (II)Si en vez de considerar Qc0=Bmax(2,|c|)(0), tomamos Qc0=Bmax(256,|c|)(0), las franjas correspondientes a regiones con diferente velocidad tienen más tiempo de adaptarse a la forma del conjunto de Julia, y se aproximan de manera más adecuada.

Conjunto de Julia para c=0

Conjunto de Julia para c=0.1+0.1i

Conjunto de Julia para c=-0.5+0.5i

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1i

Compara las franjas con las que se obtienen con el primer algoritmo

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1i

Compara las franjas con las que se obtienen con el primer algoritmo

Conjunto de Julia para c=-0.2+0.75i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.52i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.5i

Conjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867i

Conjunto de Julia para c=i

Conjunto de Julia para c=0.66i

Conjunto de Julia para c=1+i

Algoritmo de iteración inversaPara este método escogemos un punto periódico repulsivo z0 y calculamos (hasta un k adecuado) el conjuntoJn=∪k=1n fc-k(zo). Todos los puntos obtenidos están en J(fc) y van llenándolo según aumenta k.

Conjunto de Julia para c=-0.5+0.5i

Conjunto de Julia para c=-1.1+0.1i

Conjunto de Julia para c=-0.2+0.75i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.52i

Conjunto de Julia para c=0.25+0.5i

Conjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867i

Conjunto de Julia para c=i

Conjunto de Julia para c=0.66i

Conjunto de Julia para c=1+i

Algoritmo de iteración inversa (II)El método de iteración inversa presenta el problema de que los puntos de Jn no tienen por qué estar distribuidos uniformemente por J(fc). De hecho, tienden a acumularse en algunas partes de J(fc) y a ser escasos en otras. Por tanto, incluso con n grande, algunas partes de J(fc) pueden no visitarse.Además, el tomar un n demasiado grande tiene el inconveniente del gran número de puntos a calcular, debido al crecimiento exponencial de 2n.

Curvas equipotenciales y líneas de fuerzaSea J(fc) un conjunto de Julia. Consideremos Pc igual al complementario de la regiónde atracción de infinito.Supongamos que tenemos una carga eléctrica distribuida uniformemente en Pcy consideremos las curvas equipotenciales y las líneas de fuerza del campo electrostático inducido por la carga en Pc.En el caso de que Pcsea conexo todas las líneas de fuerza convergen a F(fc).

Para c=0, la función potencial es p(z)=log2|z|.Las curvas equipotenciales son circunferencias concéntricas y las líneas de fuerza son rectas de la formaarg(z)=2πθ. A la línea de fuerza con pendiente 2πθ le asignamos la etiqueta θ.fc lleva líneas de fuerza en líneas de fuerza según θ→2θ(mod 1).

Líneas de fuerza para c=0

Por el Teorema de la aplicación de Riemann, para cualquier c tal que el conjunto asociado Pc sea conexo, existe una biyecciónconforme entre las regiones de atracción de infinito para c y 0 que lleva curvas equipotenciales en curvas equipotenciales y líneas de fuerza en líneas de fuerza. Esta relación nos permite etiquetar las líneas de fuerza de Pc.

Líneas de fuerza para c=-0.5+0.5i

La línea con etiqueta 0 corresponderá a la única línea de fuerza invariante que es la que termina en el punto fijo z1 situado en el extremo derecho(z0 es interior a J(fc)). La línea con etiqueta 1/2 se aplicará en la de etiqueta 0. Por tanto habrá de terminar en una de las preimágenes de z0. Como una de éstas es z0 nos queda una única posibilidad.

Líneas de fuerza para c=-0.5+0.5i

Líneas de fuerza para c=-1.1+0.1iLa línea con etiqueta 0 es la que termina en el punto fijo z1. La línea con etiqueta 1/2 se aplica en la de etiqueta 0 y termina en la preimagen de z1. El otro punto fijo z0también es invariante, y habrá de corresponder a otra línea de fuerza invariante. Sin embargo, esto no es posible, pues la única línea invariante por θ→2θ(mod 1) es la línea θ=0.

Líneas de fuerza para c=-1.1+0.1iEn z0 terminan dos líneas de fuerza que se aplican una en la otra, pues z0 es el punto de estrangulamiento a la izquierda del cuerpo principal. Las etiquetas de laslíneas de fuerza en ese punto serán 1/3 y 2/3 pues son las únicas que se aplican una en otra por θ→2θ(mod 1).Así se explican todos los estrangulamientos que se observan en J(fc).

Líneas de fuerza para c=-0.2+0.75iLa línea con etiqueta 0 es la que termina en el punto fijo z1. La línea con etiqueta 1/2 se aplica en la de etiqueta 0 y termina en la preimagen de z1. En el otro punto fijo z0 terminan las líneas de fuerza con etiquetas 1/7, 2/7 y 4/7.

Líneas de fuerza para c=0.25+0.52iLa línea con etiqueta 0 es la que termina en el punto fijo z1. La línea con etiqueta 1/2 se aplica en la de etiqueta 0 y termina en la preimagen de z1. En el otro punto fijo z0 terminan las líneas de fuerza con etiquetas 1/15, 2/15, 4/15 y 8/15.

Líneas de fuerza para c=0.25+0.5iLa línea con etiqueta 0 es la que termina en el punto fijo z1. La línea con etiqueta 1/2 se aplica en la de etiqueta 0 y termina en la preimagen de z1. En el otro punto fijo z0 terminan las líneas de fuerza con etiquetas 1/15, 2/15, 4/15 y 8/15.

Líneas de fuerza para c=-0.3905+0.5867iLa línea con etiqueta 0 es la que termina en el punto fijo z1. La línea con etiqueta 1/2 se aplica en la de etiqueta 0 y termina en la preimagen de z1. El otro punto fijo z0 está en el interior del conjunto.

Líneas de fuerza para c=iLa línea con etiqueta 0 es la que termina en el punto fijo z1. La línea con etiqueta 1/2 termina en la preimagen de z1. En el otro punto fijo z0 terminan las líneas de fuerza con etiquetas 1/3 y 2/3. En general las líneas de fuerza con etiqueta p/q, si q es impar terminan en un punto periódico, y si es par terminan en un punto preperiódico.

Para c=0 las curvas equipotenciales eran circunferencias.Esto no va a ser ciertopara los demás casos. Sin embargo, lassuficientemente alejadas serán casi circunferencias. En particular, la circunferencia de radio 256 va a ser aproximadamente una curva equipotencial.Tomando imágenes inversas de ésta obtenemos el resto.

Curvas equipotenciales para c=-0.5+0.5i

Curvas equipotenciales para c=-1.1+0.1i

Curvas equipotenciales para c=-0.2+0.75i

Curvas equipotenciales para c=0.25+0.52i

Curvas equipotenciales para c=0.25+0.5i

Curvas equipotenciales para c=-0.39+0.586i

Curvas equipotenciales para c=i

El conjunto de Mandelbrot M se define como el conjunto deparámetros c∈C para los que el conjunto de Julia asociado a fces conexo.

El conjunto de Mandelbrot

Para computar imágenes del conjunto de Mandelbrot se usa el siguiente Teorema. M coincide con el conjunto de parámetros del plano complejo para los que la órbita {fck(0)} está acotada. Esto equivale a que fck(0) no diverge a ∞. Observación. M⊂B2(0).

Según esto D0=B2(0) es una primera aproximación de M. Algoritmo del tiempo de escape

D-1={z∈C|fc(c)∈D0} es una mejor aproximación.Si D-k={z∈C|fck(c)∈D0}, D0⊃D-1⊃D-2⊃D-3 ⊃... y limk→∞D-k=M.Representando en diferentes colores los puntos de D-k\D-(k+1) seclasifican los puntos según la velocidad de divergencia a ∞.

Algoritmo del tiempo de escapeEsta representación sugiere que su estructura es altamente compleja.Esta complejidad se pone aún más de manifiesto si hacemos algunasampliaciones del mismo.

Algoritmo del tiempo de escapeEsta representación sugiere que su estructura es altamente compleja.Esta complejidad se pone aún más de manifiesto si hacemos algunasampliaciones del mismo.

Algoritmo del tiempo de escapeEsta representación sugiere que su estructura es altamente compleja.Esta complejidad se pone aún más de manifiesto si hacemos algunasampliaciones del mismo.

Algoritmo del tiempo de escapeEsta representación sugiere que su estructura es altamente compleja.Esta complejidad se pone aún más de manifiesto si hacemos algunasampliaciones del mismo.

Algoritmo del tiempo de escapeEsta representación sugiere que su estructura es altamente compleja.Esta complejidad se pone aún más de manifiesto si hacemos algunasampliaciones del mismo.

Algoritmo del tiempo de escape (II)Si en vez de considerar Qc0=B2(0), tomamos Qc0=B256(0), las franjas correspondientes a regiones con diferente velocidad tienen más tiempo de adaptarse a la forma del conjunto de Mandelbrot, y se aproximan de manera más adecuada.

Además en el caso anteriortodas se tocaban en elpunto –2+0i.

Algoritmo del tiempo de escape (II)

Conjuntos de Julia en el de Mandelbrot

Números de rotaciónA cada círculo adosado a la cardioide principal le asociamos un número racional p/q, donde q es el periodo del ciclo atractivo de los conjuntos de Julia en ese disco.

Recorriendo la cardioide en sentido anti-horario, los números de rotación siguen el orden usual en [0,1]. El número de rotación del mayor círculo situado entre p/q y p´/q´, es (p+p´)/(q+q´).

Números de rotaciónExisten 3 métodos equivalentes para computar p:•Tomamos c en el círculo. El ciclo atractivo de fc tiene periodo q y está repartido en q componentes del interior de J(fc) que se tocan en uno de los puntos fijos, zc.Si observamos la acción de fc en el ciclo veremos que fc gira alrededor de zcdando p saltos, girando en sentido inverso al de las agujas del reloj, a cada iteración.

Números de rotaciónExisten 3 métodos equivalentes para computar p:•Tomamos c en el círculo. El ciclo atractivo de fc tiene periodo q y está repartido en q componentes del interior de J(fc) que se tocan en uno de los puntos fijos, zc. El punto 0 está en la mayor de estas componentes y que la menor de ellas está situada p lugares, girando en sentido inverso al de las agujas del reloj.

Números de rotaciónExisten 3 métodos equivalentes para computar p:•Si observamos la antena adosada al círculo, se tiene que ésta tiene q ramificaciones, y la ramificación menor está situada a p lugares, girando en sentido inverso al de las agujas del reloj, de la ramificación mayor. Para medir las antenas hay que usar una métrica hiperbólica que asigne longitudes menores a las más cercanas a la base.

Ángulos internosSea M' el conjunto de puntos de M correspondientes a valores de c para los que existe un ciclo atractivo.

Cada componente W de M' tiene un centro bien definido en el que el correspondiente ciclo es superatractivo.Si {z1,z2,...,zk} es un ciclo atractivo para c, se tiene que ρ(c)=2kz1z2...zk. Por tanto, los centros de las componentes de M' correspondientes a k-ciclos atractivos vienen dados por la ecuación fck(0)=0.

Para profundizar en la estructura de M', consideramos, para cada componente W de M' la aplicación ρ:W→D que a cada punto c∈W le hace corresponder el valor de la derivada en el correspondiente ciclo atractivo.

Ángulos internos•Para k=1 el centro es c=0 y corresponde a la cardioide.•Para k=2, c=-1 (sol. de c2 +c =0) es el centro de la única componente con 2-ciclos atractivos.•Para k=3, (c2 +c )2+c=0 da 3 centros c=-1.754877666, c=-0.1226+0.7449i y c=-0.1226-0.7449i.•Para k=4, aparecen 6 centros, c=-1.3107 y c=-1.9408 en el eje real,y 2 soluciones complejas que corresponden a satélites de M1', y otros 2 cerca del eje imaginario.

Ángulos internosLa aplicación ρ puede extenderse a las fronteras de W y D. Si c∈∂W y ρ(c)=e2πiα, 0≤α

Ángulos internosSi c es un punto de ángulo interno racional p/q existe una componente satélite de W que se une a W en c, y cuyos ciclos atractivos tienen q veces el periodo de los de W.Por ejemplo, para la cardioide M1´:

•las componentes correspondientes a 4-ciclos atractivos se unen en c=1/4±i/2.

•para p/q=1/2, encontramos el punto en que se une W2',•las componentes correspondientes a 3-ciclos atractivos se unen en los puntos correspondientes a p/q=1/3 y 2/3

Para estos valores fc tiene ciclos racionalmente indiferentes.Por otra parte, si el ángulo interno de c es suficientementeirracional, el conjunto de Julia está formado por discos deSiegel.

Ángulos externosComo M es conexo, podemos suponer, al igual que hicimos para los conjuntos de Julia, que tenemos una carga eléctrica distribuida uniformemente en M.Entonces las fronteras de los conjuntos Mk son curvasequipotenciales y la función potencial viene dada porp(z)=limn→∞log2|fcn(c)|/2n.Las etiquetas de las líneas de fuerza de M nos dan información sobre el punto de M al que llegan. Dada la simetría del conjunto de Mandelbrot y la invariancia del eje real, la línea de fuerza con etiqueta 0 será la semirrecta [1/4,∞).

Ángulos externos

Ángulos externosLos estrangulamientos de M corresponderán a puntos donde se encuentran dos líneas de fuerza. En los estrangulamientos principales donde se pegan discos a la cardioide principal, cada uno de estos discos corresponden a valores de c para los que existe un m-ciclo atractivo. En ese caso, las líneas asociadas al estrangulamiento corresponden a ángulos de la forma p/q con q impar. Por otra parte, si para un c las iteraciones fck(c) desembocan, tras l iteraciones, en un ciclo de periodo m (como ocurre, por ejemplo, para c=i) la línea asociada corresponde a un ángulo de la forma p/q con q par.

Ángulos externosLos ángulos externos proporcionan una representación de M realizando la siguiente construcción en la circunferencia S1 :•Se unen puntos de S1 que sean ángulos externos del mismo punto de M.•Se colapsa la línea de unión a un punto.Esto equivale a definir una relación de equivalencia ≈ en S1 tal que x≈y si y solo si x e y son ángulos externos del mismo punto de M.Teorema. Si M es localmente conexo, M y S1/≈ tienen la misma forma.

Ángulos externosLa relación de equivalencia ≈ se puede definir recurrentemente como sigue: •1/3≈2/3,•1/7≈2/7, 3/7≈4/7, 5/7≈6/7,•en general, se unen lospuntos de denominador 2k-1, por parejas siguiendo el orden creciente del numerador y evitando intersecciones. •Los enlaces p/q con q par son la adherencia de los anteriores.Si M es localmente conexo, M y S1/≈ tienen forma similar.

SISTEMAS DINÁMICOSNúmeros complejosSuma de números complejosProducto de números complejosPotencias de números complejosRaices de números complejosRaices de números complejosSistemas dinámicos complejosSistemas dinámicos complejosSistemas dinámicos complejos linealesSistemas dinámicos complejos linealesSistemas dinámicos complejos linealesSistemas dinámicos complejos linealesSistemas dinámicos complejos linealesEl sistema cuadrático más sencilloEl sistema cuadrático más sencilloEl sistema cuadrático más sencilloLa familia cuadráticaConjuntos de JuliaConjunto de Julia para c=0Conjunto de Julia para c=0.1+0.1iConjuntos de Julia con puntos atractivosConjunto de Julia para c=-0.5+0.5iConjunto de Julia para c=-0.5+0.5iConjuntos de Julia con 2-ciclos atractivosConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjuntos de Julia con 3-ciclos atractivosConjunto de Julia para c=-0.2+0.75iConjunto de Julia para c=-0.2+0.75iConjuntos de Julia con 4-ciclos atractivosConjunto de Julia para c=0.25+0.52iConjunto de Julia para c=0.25+0.5iConjunto de Julia para c=0.25+0.5iConjunto de Julia para c=0.25+0.5iConjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iConjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iConjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iConjunto de Julia para c=iConjunto de Julia para c=0.66iConjunto de Julia para c=1+iPropiedades de los conjuntos de JuliaAlgoritmo de tiempo de escapeConjunto de Julia para c=0Conjunto de Julia para c=0.1+0.1iConjunto de Julia para c=-0.5+0.5iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-0.2+0.75iConjunto de Julia para c=0.25+0.52iConjunto de Julia para c=0.25+0.5iConjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iConjunto de Julia para c=iConjunto de Julia para c=0.66iConjunto de Julia para c=1+iAlgoritmo de tiempo de escape (II)Conjunto de Julia para c=0Conjunto de Julia para c=0.1+0.1iConjunto de Julia para c=-0.5+0.5iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-0.2+0.75iConjunto de Julia para c=0.25+0.52iConjunto de Julia para c=0.25+0.5iConjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iConjunto de Julia para c=iConjunto de Julia para c=0.66iConjunto de Julia para c=1+iAlgoritmo de iteración inversaConjunto de Julia para c=-0.5+0.5iConjunto de Julia para c=-1.1+0.1iConjunto de Julia para c=-0.2+0.75iConjunto de Julia para c=0.25+0.52iConjunto de Julia para c=0.25+0.5iConjunto de Julia para c=-0.3905+0.5867iConjunto de Julia para c=iConjunto de Julia para c=0.66iConjunto de Julia para c=1+iAlgoritmo de iteración inversa (II)Curvas equipotenciales y líneas de fuerzaLíneas de fuerza para c=0Líneas de fuerza para c=-0.5+0.5iLíneas de fuerza para c=-0.5+0.5iLíneas de fuerza para c=-1.1+0.1iLíneas de fuerza para c=-1.1+0.1iLíneas de fuerza para c=-0.2+0.75iLíneas de fuerza para c=0.25+0.52iLíneas de fuerza para c=0.25+0.5iLíneas de fuerza para c=-0.3905+0.5867iLíneas de fuerza para c=iCurvas equipotenciales para c=-0.5+0.5iCurvas equipotenciales para c=-1.1+0.1iCurvas equipotenciales para c=-0.2+0.75iCurvas equipotenciales para c=0.25+0.52iCurvas equipotenciales para c=0.25+0.5iCurvas equipotenciales para c=-0.39+0.586iCurvas equipotenciales para c=iEl conjunto de MandelbrotAlgoritmo del tiempo de escapeAlgoritmo del tiempo de escapeAlgoritmo del tiempo de escapeAlgoritmo del tiempo de escapeAlgoritmo del tiempo de escapeAlgoritmo del tiempo de escapeAlgoritmo del tiempo de escape (II)Algoritmo del tiempo de escape (II)Conjuntos de Julia en el de MandelbrotNúmeros de rotaciónNúmeros de rotaciónNúmeros de rotaciónNúmeros de rotaciónÁngulos internosÁngulos internosÁngulos internosÁngulos internosÁngulos externosÁngulos externosÁngulos externosÁngulos externosÁngulos externos