GruposDefiniao:Ordemdeumgrupo
Definio:Subgrupos
Definio:Grupocclico
Teor:Paragruposcclicosfinitos,aordem(G)=
Obs:Oresultadovaleparaqualquergrupo.
Teor:Umgrupocclicocomapenasumgeradorpossuinomximo2elementos.
GruposExerccios1.ConsidereemZaoperaodefinidapora b=a+b+1.
a.Mostrequeumgrupoabeliano.b.Verifiquese,ondeI={z Z|zumnmerompar}umsubgrupode.c. cclico?
2.Mostrequeumgrupoabeliano ento(a.b)n =an.bn,paratogon.
3.Mostrequeumgrupotal(ab)2 =a2b2,entoGabeliano.
4.Ainterseodesubgruposumsubgrupo?Eaunio?
Exemplos
Subgruposinfinitos(ordemzero)Ex:(R*,.),(Z,+)
SubgruposdeordemfinitaEx :(Z4,4 )
Subgruposcclicos
Teor:SejaGumgrupoea G. H={an |nZ}omenorsubgrupo deGquecontema.
Def:Subgrupocclicogeradopora.H=
Teor:Umsubgrupodeumgrupocclicocclico.
ExercciosSejaogrupo.
a.Determine,,o(a)eo(r).b.QuemoelementoneutrodeG?c.QualoinversodecadaelementodeG?d.Gcclico?e.Gabeliano?
Exerccios
Ex:SejaGumgrupoabelianocomidentidade.ProvequeoconjuntosdoselementosxdeGquesatisfazemx2 = umsubgrupodeG.
Ex:ConsidereZ6 comasomamdulo6.Calculeossubgrupos,,,.
Exerccios
Exerccios
Grupodepermutaes
SAtodasaspermutaes
S3gruposimtriconotriangulo
D3 grupodiedralnumtriangulo
Exemplo
D4
Exemplo
Exemplo
Orbitadeumelemento
DefinioSejaAumconjuntoe AS.Paraumelementofixoa A,defineseOa, ={n(a)|n Z}.
ExerccioSejaAumconjuntoe SA.Dadosa,b A,seOa, eOb,contemumelementoemcomum,entao Oa, =Ob,
Cicloetransposio
DefinioCiclo
DefinioTransposio:ciclodetamanho2.
TeoremaQualquerpermutaodeumconjuntofinitodepelomenos2elementosumprodutodetransposies(1,2,3)=(1,3)(1,2)
Exerccio
ExerccioProvequeonumerodetransposiesdecompostasgeramumapermutaonumconjuntofinitosempreparouimpar.ExerccioProvequeemSnonumerodetransposiesparesomesmonmeroqueasdetransposiesimpares.ExerccioParan>1,oconjuntodepermutaesparesformamumsubgrupodeSn ,denominadoAn,alterninggroupdenletras.
Operaesequivalentes
Definies
Homomorfismoentregrupos
Isomorfismoentregrupos
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