GruposDefiniao:Ordemdeumgrupo

Definio:Subgrupos

Definio:Grupocclico

Teor:Paragruposcclicosfinitos,aordem(G)=

Obs:Oresultadovaleparaqualquergrupo.

Teor:Umgrupocclicocomapenasumgeradorpossuinomximo2elementos.

GruposExerccios1.ConsidereemZaoperaodefinidapora b=a+b+1.

a.Mostrequeumgrupoabeliano.b.Verifiquese,ondeI={z Z|zumnmerompar}umsubgrupode.c. cclico?

2.Mostrequeumgrupoabeliano ento(a.b)n =an.bn,paratogon.

3.Mostrequeumgrupotal(ab)2 =a2b2,entoGabeliano.

4.Ainterseodesubgruposumsubgrupo?Eaunio?

Exemplos

Subgruposinfinitos(ordemzero)Ex:(R*,.),(Z,+)

SubgruposdeordemfinitaEx :(Z4,4 )

Subgruposcclicos

Teor:SejaGumgrupoea G. H={an |nZ}omenorsubgrupo deGquecontema.

Def:Subgrupocclicogeradopora.H=

Teor:Umsubgrupodeumgrupocclicocclico.

ExercciosSejaogrupo.

a.Determine,,o(a)eo(r).b.QuemoelementoneutrodeG?c.QualoinversodecadaelementodeG?d.Gcclico?e.Gabeliano?

Exerccios

Ex:SejaGumgrupoabelianocomidentidade.ProvequeoconjuntosdoselementosxdeGquesatisfazemx2 = umsubgrupodeG.

Ex:ConsidereZ6 comasomamdulo6.Calculeossubgrupos,,,.

Exerccios

Exerccios

Grupodepermutaes

SAtodasaspermutaes

S3gruposimtriconotriangulo

D3 grupodiedralnumtriangulo

Exemplo

D4

Exemplo

Exemplo

Orbitadeumelemento

DefinioSejaAumconjuntoe AS.Paraumelementofixoa A,defineseOa, ={n(a)|n Z}.

ExerccioSejaAumconjuntoe SA.Dadosa,b A,seOa, eOb,contemumelementoemcomum,entao Oa, =Ob,

Cicloetransposio

DefinioCiclo

DefinioTransposio:ciclodetamanho2.

TeoremaQualquerpermutaodeumconjuntofinitodepelomenos2elementosumprodutodetransposies(1,2,3)=(1,3)(1,2)

Exerccio

ExerccioProvequeonumerodetransposiesdecompostasgeramumapermutaonumconjuntofinitosempreparouimpar.ExerccioProvequeemSnonumerodetransposiesparesomesmonmeroqueasdetransposiesimpares.ExerccioParan>1,oconjuntodepermutaesparesformamumsubgrupodeSn ,denominadoAn,alterninggroupdenletras.

Operaesequivalentes

Definies

Homomorfismoentregrupos

Isomorfismoentregrupos