2

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

6-1

BAB 6

Fungsi Trigonometri

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat

Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai

peubah-bebas.

.sin

1csc ;

cos

1sec

sin

coscot ;

cos

sintan

cos ;sin

65

43

21

θ=θ=

θ=θ=

θ

θ=θ=

θ

θ=θ=

θ=θ=

yy

yy

yy

(6.1)

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-

satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini

diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif

berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-

jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.

O

P

Q

θ

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

r

P’

-θ

6-2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka

PQPQ

sin ==θr

(6.2)

PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai

mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ

menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ

menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada

waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu

θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya

terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian

seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat

kita memperoleh

0360sin ;1270sin

;0180sin ;190sin ;00sin

oo

ooo

=−=

===

Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka

OQOQ

cos ==θr

(6.3)

OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai

mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ

meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π.

Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ

= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1

pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus

berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan

demikian seterusnya. Secara singkat

1360cos ;0270cos

;1180cos ;090cos ;10cos

oo

ooo

==

−===

Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil

Pitagoras memberikan PQ2 + OQ

2 = OP

2 =1, maka

1)(cos)(sin 22 =θ+θ (6.4.a)

Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga

6-3

θ−=−

=′

=θ− sinPQQP

)sin(rr

(6.4.b)

θ==θ− cosOQ

)cos(r

(6.4.c)

Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil

dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai

antara −1 dan +1.

Fungsi Tangent.

OQ

PQtan =θ (6.4.d)

θ−=−

=′

=θ− tanOQ

PQ

OQ

QP)tan( (6.4.e)

Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju

90o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada

waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.

Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1

jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5.

Fungsi Cotangent.

PQ

OQcot =θ (6.4.f)

θ−=−

=′

=θ− cotPQ

OQ

QP

OQ)cot( (6.4.g)

Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0

walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0.

Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan

menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula

kurva Gb.6.6.

6-4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi Secan dan Cosecan

OQcos

1sec

r=

θ=θ (6.4.h)

PQsin

1csc

r=

θ=θ (6.4.i)

Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ =

1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1.

Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju

0. Lihat pula Gb.6.7.

Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan

mengunakan Gb.6.2., yaitu

Gb.6.2. Relasi-relasi

βα−βα=β+α

βα+βα=β+α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( (6.5)

Karena β−=β− sin)sin( dan β=β− cos)cos( maka kita peroleh pula

βα+βα=β−α

βα−βα=β−α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( (6.6)

sinα

α

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

β

cosα

cosα cosβ

cosα sinβ

β

sinα sinβ

sinα cosβ

6-5

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas,

π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan

satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ

didefinisikan dengan persamaan

θ==θ rsr

s , (6.7)

Jika θ = 360o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr .

Jadi jumlah radian dalam sudut 360o adalah 2π. Dengan demikian maka

ukuran sudut

rad. adalah 180 o1 π=θ

rad. 0,5adalah 90 o2 π=θ

rad. )180/(adalah 1 o3 π=θ dst.

Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri

akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa

sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi

sinus

)sin(xy = (6.8)

terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.

Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o,

mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah

negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ =

360o; inilah satu perioda.

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.

x

y

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 −π π 2π −2π

θ s r

6-6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus

)cos(xy = (6.9)

terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0

atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90

o, mencapai

minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x

= 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu

perioda, 2π.

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan

perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang

sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu

)cos()cos( sedangkan )sin()sin( xxxx −=−−= (6.10)

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki

simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut

memiliki simetri genap.

Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi

sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar

sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan

dalam cosinus

)2/cos()sin( π−== xxy (6.11)

Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi

)cos(

)sin()tan(

x

xxy == (6.12)

perioda

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 x

y

2π π −π

6-7

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak

hingga pada x = +π/2 dan −π/2.

Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.

)tan(

1

)sin(

)cos()cot(

xx

xxy === (6.13)

Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.

Lihat Gb.6.6.

Gb.6.6. Kurva y = cot (x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

y

Gb.6.5. Kurva )tan(xy ====

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

6-8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.

)cos(

1)sec(

xxy == (6.14.a)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai

1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.

)sin(

1)csc(

xxy == (6.14.b)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara

pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.

(a) y = sec(x)

(b) y = csc(x)

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

6-9

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:

xy sin2= ; xy 2sin3= ; xy 3cos2= ;

)4/2cos(3 π+= xy ; )3/tan(2 xy =

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan )sin(xy = , maka fungsi

sinus inversi dituliskan sebagai

xyxy 1sinatau arcsin −== (6.15)

Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x

yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan

x.

Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi

xy 1sin−= tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada

Gb.6.8.a.

Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya

meninjau fungsi sinus inversi pada 22

π≤≤

π− y . Dengan pembatasan ini

maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai

utama xy 1sin−= terletak pada 2

sin2

1 π≤≤

π−

−x . Kurva fungsi

xy 1sin−= yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.

Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =

0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.

Contoh: π== − 5,0)1(sin 1y ;

π−=−= − 5,0)1(sin 1y

6)5,0(sin 1 π== −y ;

6)5,0(sin 1 π

−=−= −y

6-10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

a) b)

Gb.6.8. Kurva y = sin−1x

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.

(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan

horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan

memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang

22

π≤≤

π− y , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi

sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan

xxy11

sin2

cos−−

−π

== (6.16)

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cossin .

Oleh karena itu jika x=αsin maka x=βcos sehingga

xx 11 sin2/2/cos −− −π=α−π=β=

x

y

-1 0

1 0

−π

π

2π

−2π -0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-1 -0,5 0 0,5 1 x

y

6-11

Karena dengan pembatasan 22

π≤≤

π− y pada fungsi sinus inversi

memberikan 2

sin2

1 π≤≤

π−

−x maka nilai-nilai utama dari x1cos− akan

terletak pada π≤≤ − x1cos0 . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi

cosinus inversi pada nilai utama.

Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y

digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.

dalam rentang π≤≤ x0 .

a) b)

Gb.6.9. Kurva xy 1cos−=

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah

xy 1tan−= (6.17)

dengan nilai utama 2

tan2

1 π<<

π− − x

Untuk fungsi ini, nilai )2/(π±=y tidak kita masukkan pada

pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada

nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva xy 1tan−= lengkap

sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai π<<π− 5.05,0 y .

x

y

-1 0

1 0

−π

π

0

0,25π

0,5π

0,75π

1π

-1 -0,5 0 0,5 1 x

y

6-12 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

a) b)

Gb.6.10. Kurva xy 1tan−=

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b

ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,

dalam rentang

2tan

2

1 π<<

π−

−x

Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan

xxy11

tan2

cot−−

−π

== (6.18)

dengan nilai utama π<< − x1cot0

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y

menjadi tak hingga.

Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cottan .

Oleh karena itu jika x=αtan maka x=βcot sehingga

xx 11 tan2/2/cot −− −π=α−π=β=

Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π

-π

-0,5π

0

0,5π

π

1,5π

y

x

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-10 -5 0 5 10 x

y

6-13

Gb.6.11. Kurva xy 1cot−=

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan

bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

xxy

1cossec 11 −− == (6.19)

dengan nilai utama π≤≤ − x1sec0 .

Gb.6.12. Kurva xy 1sec−=

Fungsi Cosecan Inversi.

xx

1sincsc 11 −− = (6.20)

dengan nilai utama 2

csc2

1 π≤≤

π−

−x

0

0,5π

1π

-10 -5 0 5 10

y

x

0

0,25

π

0,5π

0,75π

π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

6-14 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi

terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.

Gb.6.12. Kurva xy 1csc−=

Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi

dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan

gambar segitiga siku-siku.

1). Dari fungsi xy 1sin−= , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x

dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama

dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.

Dari gambar ini selain fungsi xy 1sin−= dan xy =sin , kita

dapat peroleh

21cos xy −= , 2

1

tan

x

xy

−

= , dst.

x 1

21 x−

y

y

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

6-15

2). Dari fungsi cosinus inversi xy 1cos−= dapat kita gambarkan

segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

Selain xy =cos dari gambar ini kita dapatkan

21sin xy −= , x

xy

21tan

−= , dst.

3). Dari fungsi xy 1tan−= , kita gambarkan segitiga seperti di

bawah ini.

Selain xy =tan , kita peroleh

21

sin

x

xy

+

= , 2

1

1cos

x

y

+

= , dst

4). Dari fungsi xy 1sec−= kita gambarkan

Dari gambar ini kita peroleh

x 12 −x

y

1

x

1

21 x+

y

x

1 21 x−

y

6-16 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik – Diferensial dan Integral

21tan xy −= , x

xy

1sin

2 −= , dst.

Soal-Soal:

1) Dari fungsi xy 1cot−= tentukan ysin dan ycos

2) Dari fungsi xy 1csc−= tentukan ytan dan ycos