2/7/2012

1

Funcin Gamma de un medio

Octavio Flores Siordia

1( )2

1

( )

0

n

n

uu e du

112

( )

0

2

20

1

1 u uu e du u e du

La Funcin Gamma est definida por

Por lo que

Si cambiamos de variable y decimos que

la integral quedara como

211

221( )2

0 0

2 2vue duu ev vdv

2u v 2du vdv

2

2 21

1( )2

0 0 0

2 2 2v

v ve vdvv e vdv e dvv

Si dejamos por el momento sabiendo que:

2

1( )2

0

2 ve dv

Y nos dedicaremos ahora resolver la integral:

2

0

ve dv

La cual pareciera no tiene solucin analtica

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2

Si definimos

Y aplicamos el lmite

2 22

0 0

m m

x y

mI e dx e dy

2

0

lim vmI I e dv

m

Entonces

2 2

0 0

m m

x y

mI e dx e dy

2 2

2 22

0 0 0 0

mm mmx yx y

mI e e dxdy e dxdy

La cual la podemos pasar como una integral doble:

Si definimos Rm el cuadrado 0ACD ver figura

x

Utilizando el Teorema de Pitgoras

= 1 2 + 2 2

= 2 + 2 = 22 = 2

2 2

2

m

x y

m

R

I e dxdy

Donde R1 y R2 son las regiones del primer cuadrante delimitado por los crculos de radio

y 2 respectivamente.

2

2

1

2 2 22

x y x y

m

RR

e dxdy I e dxdy

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Pasando la integral a Coordenadas polares tenemos:

2 2

2 22

0 0

2

0 0

rm m

r

me rdrd I e rdrd

2 2

22 22

0 0 0 0

1 12 2

2 2

m

r

m

m

re drdr rdI re d

Ajustando el exponencial tenemos:

2 2

22 2 22

0 00 0 0

1 1

2 2

mm m

r r

me d I e d

Sustituyendo los lmites tenemos:

2 2

/2 /2

2 21 11 12 2

m m

m

o o

e d I e d

Cambiando el orden de los binomios por el signo negativo de las integrales tenemos

2 2

/2 /2

2 21 11 12 2

m m

m

o o

e d I e d

2 2

/2 /2

2 21 11 12 2

m m

m

o o

e d I e d

Integrando con respecto a tenemos

2 2/2 /22 21 11 1

2 2

m m

mo oe I e

Aplicando lmites a :

2 22 21 11 1

2 2 2 2

m m

me I e

21 0 1 04 4

mI

Si aplicamos el

2 22 21 1

4 4

m m

me I e

2

4 4mI

2

4mI

2

4mI

2mI

tenemos:

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4

Retomand 1

2:

2

1( )2

0

22

2m

2Ive dv

1( )2