Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale – zrób to sam
Jędrzej Garnek
θβ`ιcZe 2014,Poznań 9-11 maja 2014 r.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Definicja (nieformalna)
Fraktal – zbiór o skomplikowanej strukturze, który można
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości (jest
samopodobny).
Uwagi:
(1) brak jednoznacznej definicji,
(2) „skomplikowana struktura”: jego wymiar Hausdorffa jest
większy niż jego wymiar topologiczny,
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Definicja (nieformalna)
Fraktal – zbiór o skomplikowanej strukturze, który można
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości (jest
samopodobny).
Uwagi:
(1) brak jednoznacznej definicji,
(2) „skomplikowana struktura”: jego wymiar Hausdorffa jest
większy niż jego wymiar topologiczny,
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Definicja (nieformalna)
Fraktal – zbiór o skomplikowanej strukturze, który można
podzielić na mniejsze kawałki, podobne do całości (jest
samopodobny).
Uwagi:
(1) brak jednoznacznej definicji,
(2) „skomplikowana struktura”: jego wymiar Hausdorffa jest
większy niż jego wymiar topologiczny,
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Przykłady
Trójkąt Sierpińskiego
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Przykłady
Dywan Sierpińskiego
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Przykłady
Śnieżynka Kocha
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Przykłady
Paproć Barnsley’a
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Przykłady
Zbiór Mandelbrota
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Przykłady
Zbiór Julii
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
PROBLEMY
PROBLEMY:
(1) jak generować fraktale ?
(2) jak „przechowywać” fraktale w pamięci np.
komputera?
(3) czy można wygenerować fraktal podobny do z
góry zadanej figury?
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
PROBLEMY
PROBLEMY:(1) jak generować fraktale ?
(2) jak „przechowywać” fraktale w pamięci np.
komputera?
(3) czy można wygenerować fraktal podobny do z
góry zadanej figury?
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
PROBLEMY
PROBLEMY:(1) jak generować fraktale ?
(2) jak „przechowywać” fraktale w pamięci np.
komputera?
(3) czy można wygenerować fraktal podobny do z
góry zadanej figury?
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
PROBLEMY
PROBLEMY:(1) jak generować fraktale ?
(2) jak „przechowywać” fraktale w pamięci np.
komputera?
(3) czy można wygenerować fraktal podobny do z
góry zadanej figury?
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T1 =
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T2 =
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T3 =
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T4 =
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T5 =
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
T =⋂∞n=1 Tn
jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego
w skali 1/2.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
T =⋂∞n=1 Tn
jest złożony z trzech swoich kopii, jednokładnych do niego
w skali 1/2.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:
(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to
P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1
ma nieprzeliczalnie wiele elementów,
ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:
(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to
P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1
ma nieprzeliczalnie wiele elementów,
ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:
(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to
P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1
ma nieprzeliczalnie wiele elementów,
ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:
(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to
P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1
ma nieprzeliczalnie wiele elementów,
ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Trójkąt Sierpińskiego i jego własności
jeżeli punkt P ma współrzędne barycentryczne:
(0.u1u2u3. . . , 0.v1v2v3. . . , 0.w1w2w3. . . ), to
P ∈ T ⇔ ∀i ui + vi + wi = 1
ma nieprzeliczalnie wiele elementów,
ma miarę Lebesgue’a w R2 równą 0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f1(x , y) = (x/2, y/2) –
jednokładność o środku w A i skali 12 ,
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f2(x , y) = ((x + 1)/2, y/2) –
jednokładność o środku w B i skali 12 ,
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?f3(x , y) = (2x+14 , 2y+
√3
4 ) –
jednokładność o środku w C i skali 12 ,
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Jak dokładnie przebiegała konstrukcja?F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ f3(A) dla A ⊂ R2
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T =
f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
T = f1(T ) ∪ f2(T ) ∪ f3(T ) = F (T )
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję
f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f ma dokładnie jeden punkt stały x0 ∈ X (tzn. taki
punkt, że f (x0) = x0),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . . dąży do x0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję
f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f ma dokładnie jeden punkt stały x0 ∈ X (tzn. taki
punkt, że f (x0) = x0),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . . dąży do x0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję
f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f ma dokładnie jeden punkt stały x0 ∈ X (tzn. taki
punkt, że f (x0) = x0),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . . dąży do x0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Definicja
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną. Funkcję
f : X → X nazywamy kontrakcją o skali c < 1, jeżeli:
∀x ,y∈X d(f (x), f (y)) ¬ c · d(x , y)
Twierdzenie Banacha o kontrakcji
Niech (X , d) będzie przestrzenią metryczną zupełną, zaś f –
kontrakcją o skali c < 1. Wtedy:
f ma dokładnie jeden punkt stały x0 ∈ X (tzn. taki
punkt, że f (x0) = x0),
dla dowolnego x ∈ X ciąg iteracji:
x , f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), . . . dąży do x0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Definicja
ε – otoczenie zbioru A ⊂ Rn:K (A, ε) := {z ∈ Rn : ‖z − a‖ ¬ ε}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Definicja
ε – otoczenie zbioru A ⊂ Rn:K (A, ε) := {z ∈ Rn : ‖z − a‖ ¬ ε}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Definicja
ε – otoczenie zbioru A ⊂ Rn:K (A, ε) := {z ∈ Rn : ‖z − a‖ ¬ ε}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ Rn : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:
dH(A,B) = inf{ε : A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε)}
(Równoważnie:
dH(A,B) ¬ ε ⇔ A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε))
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Nasza przestrzeń metryczna:
X =
{A ⊂ Rn : A – niepusty, domknięty i ograniczony
}
„Odległość” między zbiorami – metryka Hausdorffa:
dH(A,B) = inf{ε : A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε)}
(Równoważnie:
dH(A,B) ¬ ε ⇔ A ⊂ K (B , ε) oraz B ⊂ K (A, ε))
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
TwierdzeniePrzestrzeń metryczna (X (Rn), dH) jest zupełna.
Dowód.Niech (Ai)i ⊂ X (Rn) będzie ciągiem Cauchy’ego w metryce
Hausdorffa. Aby pokazać, że ma on granicę, wystarczy
pokazać, że pewien jego podciąg ma granicę.
Wybierzmy taki podciąg (Bn)n = (Ain)n ciągu (Ai)i , że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n i zdefiniujmy:
H := {x ∈ Rn : x jest granicą pewnego ciągu xn ∈ Bn,
spełniającego ‖xn − xn+1‖ < 2−n}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
TwierdzeniePrzestrzeń metryczna (X (Rn), dH) jest zupełna.
Dowód.Niech (Ai)i ⊂ X (Rn) będzie ciągiem Cauchy’ego w metryce
Hausdorffa. Aby pokazać, że ma on granicę, wystarczy
pokazać, że pewien jego podciąg ma granicę.
Wybierzmy taki podciąg (Bn)n = (Ain)n ciągu (Ai)i , że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n i zdefiniujmy:
H := {x ∈ Rn : x jest granicą pewnego ciągu xn ∈ Bn,
spełniającego ‖xn − xn+1‖ < 2−n}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
TwierdzeniePrzestrzeń metryczna (X (Rn), dH) jest zupełna.
Dowód.Niech (Ai)i ⊂ X (Rn) będzie ciągiem Cauchy’ego w metryce
Hausdorffa. Aby pokazać, że ma on granicę, wystarczy
pokazać, że pewien jego podciąg ma granicę.
Wybierzmy taki podciąg (Bn)n = (Ain)n ciągu (Ai)i , że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n i zdefiniujmy:
H := {x ∈ Rn : x jest granicą pewnego ciągu xn ∈ Bn,
spełniającego ‖xn − xn+1‖ < 2−n}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
TwierdzeniePrzestrzeń metryczna (X (Rn), dH) jest zupełna.
Dowód.Niech (Ai)i ⊂ X (Rn) będzie ciągiem Cauchy’ego w metryce
Hausdorffa. Aby pokazać, że ma on granicę, wystarczy
pokazać, że pewien jego podciąg ma granicę.
Wybierzmy taki podciąg (Bn)n = (Ain)n ciągu (Ai)i , że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n i zdefiniujmy:
H := {x ∈ Rn : x jest granicą pewnego ciągu xn ∈ Bn,
spełniającego ‖xn − xn+1‖ < 2−n}
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .
Krok I: zbiór H jest niepusty:
Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H
indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1. Zauważmy, że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając
więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,
że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n. Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:
‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+
+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .
Krok I: zbiór H jest niepusty:
Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H
indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1. Zauważmy, że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając
więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,
że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n. Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:
‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+
+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .
Krok I: zbiór H jest niepusty:Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H
indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1.
Zauważmy, że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając
więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,
że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n. Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:
‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+
+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .
Krok I: zbiór H jest niepusty:Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H
indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1. Zauważmy, że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając
więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,
że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n.
Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:
‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+
+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
oraz G = H . Pokażemy, że G ∈ X (Rn) oraz limn→∞ Bn = G .
Krok I: zbiór H jest niepusty:Skostruujemy ciąg (xn) zbieżny do elementu z H
indukcyjnie – wybierzmy dowolne x1 ∈ B1. Zauważmy, że
dH(Bn,Bn+1) < 2−n, więc Bn ⊂ K (Bn+1, 2−n) – mając
więc wybrane xn ∈ Bn, możemy wybrać xn+1 ∈ Bn+1 takie,
że ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n. Ciąg (xn) jest ciągiem Cauchy’ego:
‖xn − xn+m‖ ¬ ‖xn − xn+1‖+ ‖xn+1 − xn+2‖+ . . .+
+‖xn+m−1−xn+m‖ ¬ 2−n+. . .+2−(n+m−1) < 2−n+1 (∗)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.
Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to
‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).
Krok I + Krok II
⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki
jest zbiór H)
⇒ G ∈ X (Rn)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.
Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to
‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).
Krok I + Krok II
⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki
jest zbiór H)
⇒ G ∈ X (Rn)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.
Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to
‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).
Krok I + Krok II
⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki
jest zbiór H)
⇒ G ∈ X (Rn)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.
Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to
‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).
Krok I + Krok II⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki
jest zbiór H)
⇒ G ∈ X (Rn)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
jest więc zbieżny do pewnego elementu x ∈ H . Stąd H 6= ∅.
Krok II: zbiór H jest ograniczony.jeżeli x ∈ H , x = lim xn, ‖xn − xn+1‖ ¬ 2−n, to
‖x1 − xn‖ ¬ 1, więc ‖x1 − x‖ ¬ 1 – stąd H ⊂ K (B1, 1).
Krok I + Krok II⇒ zbiór G = H jest niepusty i ograniczony (bo taki
jest zbiór H)
⇒ G ∈ X (Rn)
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:
Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:
(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),
ad. (1): jeżeli x ∈ H, x = limn→∞ xn, to‖xn − xm‖ < 2−n+1, więc ‖xn − x‖ < 2−n+1 < ε orazH ⊂ K (Bn, ε), a stąd G ⊂ K (Bn, ε).
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:
Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:
(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),
ad. (1): jeżeli x ∈ H, x = limn→∞ xn, to‖xn − xm‖ < 2−n+1, więc ‖xn − x‖ < 2−n+1 < ε orazH ⊂ K (Bn, ε), a stąd G ⊂ K (Bn, ε).
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:
(1) G ⊂ K (Bn, ε),
(2) Bn ⊂ K (G , ε),
ad. (1): jeżeli x ∈ H, x = limn→∞ xn, to‖xn − xm‖ < 2−n+1, więc ‖xn − x‖ < 2−n+1 < ε orazH ⊂ K (Bn, ε), a stąd G ⊂ K (Bn, ε).
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Krok III: G jest granicą ciągu (Bn)n:Niech ε > 0. Wybierzmy N takie, że ε > 2−N . Pokażemy,że dla n > N jest dH(G ,Bn) < ε, czyli:
(1) G ⊂ K (Bn, ε),(2) Bn ⊂ K (G , ε),
ad. (1): jeżeli x ∈ H, x = limn→∞ xn, to‖xn − xm‖ < 2−n+1, więc ‖xn − x‖ < 2−n+1 < ε orazH ⊂ K (Bn, ε), a stąd G ⊂ K (Bn, ε).
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
ad. (2): dla dowolnego y ∈ An można tak wybrać ciąg
xm ∈ Bm spełniający ‖xm − xm+1‖ ¬ 2−m, że xn = y .
Niech x = limm→∞ xm ∈ H . Wtedy
‖y − x‖ = ‖xm − x‖ = limm→∞
‖xm − xn‖(∗)¬ 2−n+1 < ε
więc y ∈ K (G , ε) – stąd Bn ⊂ K (G , ε).
Stąd G = limn→∞ Bn ∈ X (Rn).
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a
Jeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn) jest
również kontrakcją o skali c .
Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).
Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .
Wtedy ‖fi(x)− fi(y)‖ ¬ c‖x − y‖ ¬ cd , więc
fi(x) ∈ K (fi(B), cd), co daje inkluzję.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a
Jeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn) jest
również kontrakcją o skali c .
Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).
Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .
Wtedy ‖fi(x)− fi(y)‖ ¬ c‖x − y‖ ¬ cd , więc
fi(x) ∈ K (fi(B), cd), co daje inkluzję.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie Hutchinsona–Barnsley’a
Jeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn) jest
również kontrakcją o skali c .
Dowód.Niech A,B ∈ X (Rn), d := dH(A,B).Wykażemy najpierw, że fi(A) ⊂ K (fi(B), cd).Istotnie, jeżeli x ∈ A, to istnieje y ∈ B takie, że ‖x − y‖ ¬ d .
Wtedy ‖fi(x)− fi(y)‖ ¬ c‖x − y‖ ¬ cd , więc
fi(x) ∈ K (fi(B), cd), co daje inkluzję.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Stąd:
F (A) =k⋃i=1
fi(A) ⊂k⋃i=1
K (fi(B), cd)
= K (k⋃i=1
fi(B), cd) = K (F (B), cd)
i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F
jest kontrakcją o skali c .
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Stąd:
F (A) =k⋃i=1
fi(A) ⊂k⋃i=1
K (fi(B), cd)
= K (k⋃i=1
fi(B), cd) = K (F (B), cd)
i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F
jest kontrakcją o skali c .
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Stąd:
F (A) =k⋃i=1
fi(A) ⊂k⋃i=1
K (fi(B), cd)
= K (k⋃i=1
fi(B), cd) = K (F (B), cd)
i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).
To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F
jest kontrakcją o skali c .
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Stąd:
F (A) =k⋃i=1
fi(A) ⊂k⋃i=1
K (fi(B), cd)
= K (k⋃i=1
fi(B), cd) = K (F (B), cd)
i analogicznie F (B) ⊂ K (F (A), cd).To oznacza, że dH(F (A),F (B)) ¬ c · d = c · dH(A,B), więc F
jest kontrakcją o skali c .
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn)
(tzw. atraktor –
jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.
Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal)
oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.
Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.
Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.
Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
WniosekJeżeli f1, . . . , fk : Rn → Rn są kontrakcjami o skali c < 1, to
odwzorowanie
F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn)
ma dokładnie jeden punkt stały Y ∈ X (Rn) (tzw. atraktor –jest to nasz fraktal) oraz dla dowolnego zbioru A ciąg
A,F (A),F (F (A)), . . . dąży do Y .
Dowód.Zupełność X (Rn) +
Twierdzenie Hutchinsona–Barnleya +
Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Uwagi:
(1) twierdzenie Hutchinsona-Barnleya jest prawdziwe dla
dowolnej przestrzenii zupełnej X – wtedy definiujemy:
X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}
– pokazuje się, że (X , dH) jest zupełne.
(2) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : Rn → Rn.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Uwagi:
(1) twierdzenie Hutchinsona-Barnleya jest prawdziwe dla
dowolnej przestrzenii zupełnej X – wtedy definiujemy:
X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}
– pokazuje się, że (X , dH) jest zupełne.
(2) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : Rn → Rn.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Uwagi:
(1) twierdzenie Hutchinsona-Barnleya jest prawdziwe dla
dowolnej przestrzenii zupełnej X – wtedy definiujemy:
X (X ) := {A ⊂ X : A – zwarty}
– pokazuje się, że (X , dH) jest zupełne.
(2) twierdzenie to oznacza, że „proste” fraktale (złożone ze
skończonej liczby swoich kopii) możemy utożsamiać z
układem kontrakcji fi : Rn → Rn.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie o kolażuNiech f1, . . . , fk : Rn → Rn będą kontrakcjami o skali c < 1,
zaś F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn).Niech A0 będzie punktem stałym F . Wtedy dla dowolnego
A ∈ X (Rn) mamy:
dH(A,A0) ¬1
1− cdH(A,F (A))
Intuicyjnie: jeżeli F (A) ≈ A, to A ≈ A0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Twierdzenie o kolażuNiech f1, . . . , fk : Rn → Rn będą kontrakcjami o skali c < 1,
zaś F (A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ . . . ∪ fk(A) : X (Rn)→ X (Rn).Niech A0 będzie punktem stałym F . Wtedy dla dowolnego
A ∈ X (Rn) mamy:
dH(A,A0) ¬1
1− cdH(A,F (A))
Intuicyjnie: jeżeli F (A) ≈ A, to A ≈ A0.
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Dowód.
dH(A,A0) = dH(A, limn→∞F (n)(A)) = lim
n→∞dH(A,F (n)(A))
¬ limn→∞
n∑i=1
dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞
n∑i=1
c idH(A, f (A)) =
= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Dowód.
dH(A,A0) = dH(A, limn→∞F (n)(A)) = lim
n→∞dH(A,F (n)(A))
¬ limn→∞
n∑i=1
dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞
n∑i=1
c idH(A, f (A)) =
= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Dowód.
dH(A,A0) = dH(A, limn→∞F (n)(A)) = lim
n→∞dH(A,F (n)(A))
¬ limn→∞
n∑i=1
dH(F (i−1)(A),F (i)(A)) ¬ limn→∞
n∑i=1
c idH(A, f (A)) =
= (1 + c + c2 + . . .) dH(A, f (A)) = (1− c)−1dH(A, f (A))
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Fraktale Trójkąt Sierpińskiego Twierdzenie Banacha o kontrakcji Twierdzenie o kolażu
Top Related