FENรMENOS DE TRANSPORTE
RESOLUรรO DA LISTA DE EXERCรCIOS PARA TRABALHO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
Vol = 1,5 mยณ ; m = 3.000 kg ; = 2.10-4 kg/m.s
ฯ = ? ; = ?
ฯ = m/Vol = 3000/1,5 = 2.000 kg/mยณ
= /ฯ = 2.10-4/2000 = 1,0.10-7 mยฒ/s
20)
๐ ๐ =๐๐๐ท
๐
= 0,15 milipoise = 0,15.10-3 poise = 0,15.10-3.10-1 = 0,15.10-4 kg/sm
Re = 964โ0,6โ(6โ0,0254)
0,15โ10โ4 = 5.876.544 >>> 2.000 Regime turbulento
21)
F = m.a; a = 0 F = 0
Em x: Fc = P.senฮธ
Como a forรงa Fc รฉ decorrente da tensรฃo viscosa na รกrea da base do bloco:
Fc = .A
Considerando uma distribuiรงรฃo linear da velocidades do fluido entre o bloco e o plano: =
๐๐
โ
V/h x A = P.senฮธ ๐ =โ๐ sen๐
๐ด
22)
F = m.a
F = Fc
x
ฮธ
P
Fc
ฮธ
y
di =
6,00 cm
de =
6,02 cm
V
F
h = 0,01cm
h = 0,01cm
D = 40 cm
Fc
dFc = .dA Fc = โซ . ๐๐ด๐
; integrando ao longo da superfรญcie do eixo (ri) em contato
com o fluido:
Fc = .A ; onde A = 2 ri L
Considerando uma distribuiรงรฃo linear de velocidade no fluido entre o eixo e o mancal:
= ๐๐
โ
F = (๐๐
โ) (2 ri L) =
2 ๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ
โ
dados do problema: e d
= ๐
๐ = ฯ.
d = ๐
๐รก๐๐ข๐ ฯ = d.ฯรกgua
= d.ฯรกgua . ; considerando ฯรกgua = 1.000 kg/mยณ :
F = 2 ๐ ๐รก๐๐ข๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ฟ
โ =
2 ร 0,88 ร 1000 ร 0,003 ร 0,4 ร 0,03 ร 0,4
0,01 ร 10โ2 796,2 N
23)
dM = dF.ri = .dA.ri M = โซ . ri. dA๐ ; integrando ao longo de toda a superfรญcie do eixo
em contato com o fluido:
Distribuiรงรฃo linear
de velocidade
dF, V
ri
re Fluido
h = 0,01cm
re =
130 mm
D = 40 cm
ri =
120 mm
f=60 rpm
M=1,5 N.m
h = 0,01cm
M = . ri . A ; onde A = 2 ri L
Considerando uma distribuiรงรฃo linear de velocidade no fluido entre o eixo e o mancal:
= ๐๐
โ
M = 2 ๐ ๐ ๐ ๐๐
2 ๐ฟ
โ ; onde V = .ri = 2..f. ri :
M = 4 ๐2 ๐ ๐ ๐๐
3 ๐ฟ
โโ ๐ =
๐โ
4 ๐2 ๐ ๐๐3 ๐ฟ
๐ =๐โ
4 ๐2 ๐ ๐๐3 ๐ฟ=1,5โ(0,130โ0,120)
4โ๐2โ60
60โ(0,12)3โ0,4
โ 5
๐2 (Letra B)
24)
F = m.a - Fc = m.a
Fc = .A
Considerando uma distribuiรงรฃo linear de velocidade no fluido entre o disco e a mesa:
= ๐๐
โ
- (๐๐
โ ) x (
๐๐ท2
4) = m.a -
๐๐ท2
4โV = m.
๐๐
๐๐ก
- V =4โ๐
๐๐ท2 ๐๐
๐๐ก dt = -
4โ๐
๐๐ท2 ๐๐
๐
dt = - k ๐๐
๐ t = - k. โซ
๐๐
๐
๐
๐0
t = - k.( ln|V| - ln|V0| ) t = - k.ln|V/V0| , como V>0
t = - k.ln (V/V0) , considerando t0 = 0 t = - k.ln (V/V0)
Fc
D
V
A
x
Vista superior
Vista lateral
k = 4โ๐
๐๐๐ท2 = 4ร0,12ร10โ3ร0,050
1,8ร10โ5ร๐ร0,092 52.4 t = -52,4 ln( V / 10 )
V0 = 10 m/s
a) t = -52.4 ln( 1 / 10 ) 120 s = 2 min
b) lim๐โ0
๐ก(๐) = โ52,4 ร lim๐โ0
ln (๐
10) h , ou seja, nunca irรก parar.
c) t = - k.ln (V/V0) V = V0 ๐โ๐ก
๐
S = โซ ๐๐๐ก๐ก
๐ก0 = V0 โซ ๐โ
๐ก
๐ ๐๐ก๐ก
๐ก0 = V0 . (-k) . (๐โ
๐ก
๐)๐ก0๐ก = - V0 k (๐โ
๐ก
๐ โ 1)
= -10 52,4 (๐โ120
52,4 - 1) 471 m
25)
Isolando-se uma faixa na superfรญcie do disco a uma distรขncia โrโ do centro e com espessura โdrโ obtรฉm-
se:
๐๏ฟฝ๏ฟฝ = 2 ๐ ร ๐๐น โ ๐๐ = 2 ๐ ๐๐น โ ๐๐ = 2 ๐ (๐ ๐๐ด)
(multiplicado por 2 para representar ambas as forรงas que atuam por cima e por baixo do disco)
, mas, considerando uma distribuiรงรฃo linear de velocidade: ๐ = ๐๐
โ
, ๐ = ฮฉ ๐
e ๐๐ด = 2๐ ๐ ๐๐
logo, ๐๐ = 2 ๐ ๐ฮฉ ๐
โ 2๐ ๐ ๐๐ =
4๐๐ฮฉ
โ ๐3๐๐
vFd V
r
dA
dr
โ ๐ =4๐๐ฮฉ
โโซ ๐3๐๐๐
0
=4๐๐ฮฉ
โ
R4
4=๐๐ฮฉR4
โ
26)
V = u i + v j + w k
Onde:
V รฉ o campo de velocidades;
u, v e w sรฃo as componentes em x, y e z, respectivamente, do vetor velocidade, em
funรงรฃo da posiรงรฃo (x,y,z) e do tempo t;
i, j e k sรฃo os vetores unitรกrios nas direรงรตes x, y, e z, respectivamente.
Se V = Kxt i โ Kyt j + 0 k, entรฃo: u = Kxt e v = -Kyt
Para as linhas de corrente: ๐๐ฅ
๐ข=๐๐ฆ
๐ฃ=๐๐ง
๐ค
๐๐ฅ
๐พ๐ฅ๐ก=
๐๐ฆ
โ๐พ๐ฆ๐ก
para ๐พ ๐ ๐ก 0 ๐๐ฅ
๐ฅ=๐๐ฆ
โ๐ฆ
, integrando: โซ๐๐ฅ
๐ฅ= โโซ
๐๐ฆ
๐ฆ
ln |y| = -ln |y| + C ln |x.y| = C
|x.y| = eC , substituindo a constante eC pela constante c: |x.y| = c
Para c = 0:
Para c = 1:
x
y
x
y
1
-1
-1
(grรกfico coincidente com os eixos)
Para c = 4:
27)
Para as linhas de corrente: ๐๐ฅ
๐ข=๐๐ฆ
๐ฃ=๐๐ง
๐ค
๐๐ฅ
๐๐๐๐ ๐=
๐๐ฆ
๐๐ ๐๐๐ , ๐๐๐๐ ๐ โ 0 โ
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐ก๐ ๐ โ ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฅ ๐ก๐๐ + ๐ถ
28) Pela fรณrmula do coeficiente adimensional de arrasto tรชm-se:
FD=1
2CDโฯโU
2โA
Para escoamentos turbulentos, tรชm-se que o coeficiente de arrasto de uma esfera lisa รฉ
aproximadamente 0,5. Logo:
x
y
2
2
-2
-2
1
x
y
-2
2
-1
C=0
C=1
C=2
C=-2
C=-1
FD = 1
2โ0,5โ1000โ102โ(ฯโ0,12) = 785,4N โ 7,8โ102N > 3,16โ102N
Resp.: 103
29) Vazรฃo
๐ = โซ(๏ฟฝ๏ฟฝ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ ) ๐๐ด
๐ด = ๐๐2 โ ๐๐ด = 2๐๐๐๐
๐ = โซ ๐ถ(๐ 2 โ ๐2) 2๐๐ ๐๐ = 2๐๐ถโซ (๐ 2 โ ๐2) ๐ ๐๐ = 2๐๐ถ (๐ 2โซ ๐ ๐๐ โโซ ๐3 ๐๐๐
0
๐
0
)๐
0
๐
0
= 2๐๐ถ (๐ 4
2โ๐ 4
4) = ๐๐ถ
๐ 4
2
Velocidade mรฉdia
๐ = ๐๐๐ด โ ๐๐ =๐
๐ด=๐๐ถ๐ 4
2๐๐ 2
=๐ถ๐ 2
2
30)
Para - regime permanente
- entradas e saรญdas unidimensionais
, a equaรงรฃo do princรญpio da continuidade รฉ:
โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โโ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = 0
, sendo:
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐๐๐๐๐๐๐ด๐ = ๐๐๐๐
Assumindo que a vazรฃo em 3 seja de saรญda (caso seja de entrada o resultado serรก negativo):
๏ฟฝ๏ฟฝ2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ3 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 = 0
๐2๐2๐ด2 + ๐3๐3 โ ๐1๐1 = 0
para รกgua ร temperatura constante รฉ constante, logo:
๐2๐ด2 + ๐3 โ ๐1 = 0 โ ๐3 = ๐1 โ ๐2๐ด2 = ๐1 โ ๐2๐๐ท1
2
4=100
3600โ 8
๐(0,05)2
4= 0,01207
๐3
๐
๐3 = 0,01207๐3
๐ = 0,01207 ร 3600
๐3
โ= 43,45
๐3
โ
๐3๐ด3 = ๐3 โ ๐3 =๐3๐ด3=๐3
๐๐ท32
4
=4๐3
๐๐ท32 =
4 โ 0,01207
๐ โ (0,04)4= 9,6 ๐/๐
31)
Analogamente ร questรฃo anterior: ๏ฟฝ๏ฟฝ1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 = 40๐๐
๐
๐ ๐1๐ด1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๐1 =๏ฟฝ๏ฟฝ1๐ ๐ด1
= ๏ฟฝ๏ฟฝ1
๐ ๐๐ท1
2
4
=40
998 ๐(0,18)2
4
= 1,57 ๐/๐
๐ ๐2๐ด2 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๐2 =๏ฟฝ๏ฟฝ2๐ ๐ด2
= ๏ฟฝ๏ฟฝ1
๐ ๐๐ท2
2
4
=40
998 ๐(0,05)2
4
= 20,4 ๐/๐
32)
Pelo princรญpio da continuidade para entradas e saรญdas unidimensionais em regime permanente:
โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐
๏ฟฝ๏ฟฝ2 + ๏ฟฝ๏ฟฝ3 + ๏ฟฝ๏ฟฝ4 = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๐2๐2๐ด2 + ๐3๐3๐ด3 + ๐4๐4๐ด4 = ๐1๐1๐ด1
Como ๐๐ด = ๐ e o fluido รฉ imcompressรญvel ๐1 = ๐2 = ๐3 = ๐4:
๐2๐ด2 + ๐3๐ด3 + ๐4 = ๐1๐ด1
๐2 =๐1๐ด1 โ ๐3๐ด3 โ ๐4
๐ด2=5.0,2 โ 12.0,15 โ 0,1
0,2= โ4,5 ๐/๐ ๐๐ข 4,5 ๐/๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐รงรฃ๐
33)
Pelo princรญpio da continuidade para entradas e saรญdas unidimensionais:
๐
๐๐กโซ ๐ ๐โ +โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โโ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = 0๐๐ถ
, onde
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐๐๐๐๐๐๐ด๐ = ๐๐๐๐
e para o referido reservatรณrio:
๐โ=๐๐2
4๐โ
Entรฃo:
๐
๐๐กโซ ๐
๐๐2
4๐โ + ๐๐2 โ ๐๐1 โ ๐๐3 = 0
๐๐ถ
โ ๐
๐๐ก(๐ ๐๐2
4โ) + ๐๐2 โ ๐๐1 โ ๐๐3 = 0 โ ๐
๐๐2
4
๐โ
๐๐ก+ ๐๐2 โ ๐๐1 โ ๐๐3 = 0
โ ๐โ
๐๐ก=4(๐1 โ ๐2 + ๐3)
๐๐2
34)
Pelo princรญpio da quantidade de movimento em regime permanente e para entradas e saรญdas
unidimensionais:
โ๐น =โ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐ โโ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐
Assumindo-se que apรณs incidir na placa o jato se divida em duas partes iguais, pelo princรญpio da
continuidade temos:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 =๏ฟฝ๏ฟฝ๐
2
e
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๐ ๐๐ ๐ด๐ = ๐ ๐๐ ๐ ๐ท๐
2
4
Entรฃo, aplicando-se a primeira equaรงรฃo no eixo y:
๐น๐ฆ = 0
e em x:
๐น๐ฅ = โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐ = โ๐ ๐๐2 ๐ ๐ท๐
2
4= โ998 ร 82 ร
๐(0,1)2
4= โ501,6 ๐ ๐๐ข 501,6 ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐
35)
Trata-se de um problema unidimensional (vertical), portanto, pode ser adotada a equaรงรฃo da qtd. de
mov. linear com entradas e saรญdas unidimensionais aplicada apenas ao eixo z:
โF =d
dtโซ wฯdโVC
+โ(mw)s-โ(mw)e
Definindo o volume de controle como o foguete e aplicando a equaรงรฃo acima com referencial no
foguete, que terรก entรฃo velocidade nula e forรงa inercial (referencial nรฃo inercial), teremos:
-mdw
dt-mg = 0 + m(โ๐ค๐) - 0
, onde wj รฉ a velocidade do jato que sai do foguete. Explicitando-se a aceleraรงรฃo:
๐ =dw
dt = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ค๐
๐-g (i)
Integrando ambos os lados da equaรงรฃo acima ao longo do tempo:
โซ dwV
0
= mwjโซdt
m
t
0
- gโซ dtt
0
A massa m do foguete em qualquer instante pode ser dada por ๐(๐ก) = ๐0 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ก
V(t) = -wjln (1-mt
m0) - gt (ii)
a) Utilizando a equaรงรฃo (i) tem-se: ๐ = 5 โ 3500/400 โ 9,81 = 33,94 ๐/๐ 2
b) Utilizando a equaรงรฃo (ii) para t=10 s, tem-se: V=-3500โln(1 - 5โ10/400) - 9,81โ10 =369,3 m/s
36)
Pelo princรญpio da quantidade de movimento em regime permanente e para entradas e saรญdas
unidimensionais:
โ๐น =โ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐ โโ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐
Pelo princรญpio da continuidade, para regime permanente e entradas e saรญdas unidimensionais:
โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ0 = ๐0 ๐0 ๐ด0
Aplicando em x:
๐น๐ฅ = ๏ฟฝ๏ฟฝ0(โ๐0) โ ๏ฟฝ๏ฟฝ0 ๐0 = โ2 ๏ฟฝ๏ฟฝ0 ๐0 = โ2 ๐0 ๐02 ๐ด0
Em mรณdulo:
๐น0 = 2 ๐0 ๐02 ๐ด0 = 2 ๐0 ๐0
2๐๐ท0
2
4=โ ๐0 =
1
๐ท0โ2 ๐น0 ๐0 ๐
37)
No instante representado, a concha se move para direita com velocidade V = R. Se considerarmos
o referencial na concha, a velocidade do jato serรก Vj - R e entรฃo o problema serรก semelhante ao
anterior:
๐น = 2 ๐ (๐๐ โ ฮฉ๐ )2 ๐ด๐
๐๐๐กรช๐๐๐๐ = ๐ = ๐น๐ = 2 ๐ (๐๐ โ ฮฉ๐ )2 ๐ด๐ ฮฉ๐ = 2 ๐ ๐ด๐(๐๐ โ ฮฉ๐ )
2 ฮฉ๐
Para Pot mรกxima temos:
๐๐
๐ฮฉ= 0 ๐
๐2๐
๐ฮฉ2< 0 โ ฮฉ =
Vj
3R
38)
Pelo princรญpio da continuidade, para regime permanente e entradas e saรญdas unidimensionais:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๐ ๐1 ๐ด1 = ๐ ๐2 ๐ด2 โ ๐1 =๐2๐ท2
2
๐ท12 =
17 ร 62
122= 4,25 ๐/๐
Pelo princรญpio da quantidade de movimento em regime permanente e para entradas e saรญdas
unidimensionais:
โ๐น =โ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐ โโ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐
๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ โ ๐น๐๐๐๐๐๐ข๐ ๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 ๐2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 ๐1 =๐๐
4[(๐2๐ท2)
2 โ (๐1๐ท1)2]
Para cรกlculo da forรงa de pressรฃo sobre a superfรญcie, pode ser considerada a pressรฃo manomรฉtrica,
resultando entรฃo na pressรฃo (262-103,4)kPa sobre a superfรญcie 1 e zero para o restante. Logo:
๐น๐๐๐๐ ๐ รฃ๐ = ๐1 ๐ด1 = 158.600 ร๐(12 ร 0,0254)2
4= 11,57 ๐๐
โ ๐น๐๐๐๐๐๐ข๐ ๐ = 7,62 ๐๐
39)
Pelo princรญpio da continuidade, para regime permanente e entradas e saรญdas unidimensionais:
โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ2 = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 +๏ฟฝ๏ฟฝ130 =
31
30๏ฟฝ๏ฟฝ1
Pelo princรญpio da quantidade de movimento em regime permanente e para entradas e saรญdas
unidimensionais:
โ๐น =โ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐ โโ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐
em x:
๐น = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 ๐2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 ๐1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ1 ( 31
30๐2 โ ๐1) = ๐1 ๐1 ๐ด1 (
31
30๐2 โ ๐1)
๐1 รฉ a massa especรญfica do ar ร 20ยฐC e 1 atm que รฉ 1,2 kg/mยณ
๐น = ๐1 ๐1 ๐ด1 ( 31
30๐2 โ ๐1) = 1,2 ร 250 ร 0,5 ร (
31
30900 โ 250) = 102 ๐๐
40)
Das pressรตes hidrostรกticas aplicadas das fronteiras 1 e 2 obtรฉm-se as forรงas resultantes
๐น1 = ๐๐โ12
2๐ฟ ๐ ๐น2 = ๐๐
โ22
2๐ฟ (๐)
, sendo L a largura do canal.
Tratando-se de um escoamento permanente e com entradas e saรญdas unidimensionais, a equaรงรฃo integral
da continuidade รฉ
โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ =โ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ , ๐๐ข ๐ ๐๐๐, ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ โ ๐๐1๐ด1 = ๐๐2๐ด2 โ ๐1โ1๐ฟ = ๐2โ2๐ฟ โ ๐1โ1 = ๐2โ2 (๐๐)
e da quantidade de movimento linear รฉ:
โ๐น =โ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐ โโ(๏ฟฝ๏ฟฝ๐)๐ , ๐๐ข ๐ ๐๐๐, ๐น1 โ ๐น2 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2๐2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1๐1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ1(๐2 โ ๐1)
โ ๐น1 โ ๐น2 = ๐๐1โ1๐ฟ(๐2 โ ๐1) (๐๐๐)
Substituindo (i) e (ii) em (iii):
๐๐๐ฟ
2(โ12 โ โ2
2) = ๐๐1โ1๐ฟ(๐2 โ ๐1) โ ๐
2(โ12 โ โ2
2) = ๐1(๐2โ1 โ ๐1โ1)
(๐๐)โ
๐
2(โ12 โ โ2
2) = ๐1(๐2โ1 โ ๐2โ2) = ๐1๐2(โ1 โ โ2)
โ๐
2(โ1 + โ2)(โ1 โ โ2) = ๐1๐2(โ1 โ โ2)
โ๐
2(โ1 + โ2) = ๐1๐2 โ ๐2 =
๐
2๐1(โ1 + โ2) (๐๐ฃ)
Substituindo (iv) em (ii):
๐1โ1 = [๐
2๐1(โ1 + โ2)] โ2 โ
1
โ1โ22 + โ2 โ
2๐12
๐= 0
, que รฉ uma equaรงรฃo de 2ยฐ grau, em relaรงรฃo ร incรณgnita h2. Aplicando Bhaskara:
โ2 = โ1(โ1
2+1
2โ1 +
8๐12
๐โ1)
Para obter V2, basta substituir em (ii):
g h1 g h2
F1
F2
๐2 = ๐1โ1โ2= ๐1(โ
1
2+1
2โ1 +
8๐12
๐โ1)
โ1
41) A nuclear power plant on a river must eliminate 55 MW of waste heat to the river. The river conditions
upstream are Qi = 2,5 mยณ/s and Ti = 18 ยฐC. The river is 45 m wide and 2,7 m deep. If heat losses to the
atmosphere and ground are negligible, estimate the downstream river conditions (Q0, T0).
Por aplicaรงรฃo da 1a Lei da termodinรขmica:
๐1๐พ+๐12
2๐+ ๐ง1 = (
๐2๐พ+๐22
2๐+ ๐ง2) +
๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๐
๐โ โ๐๐๐๐๐ + โ๐ก๐ข๐๐๐๐๐ + โ๐๐ก๐๐๐ก๐
Nรฃo havendo bombas, turbinas nem perda por atrito e considerando-se a mesma cota e mesma
pressรฃo (atmosfรฉrica), a expressรฃo acima se reduz a:
๐12
2๐= (
๐12
2๐) +
๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๐
๐
Pelo princรญpio da continuidade, para regime permanente e entradas e saรญdas unidimensionais:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๐1๐1 ๐ด1 = ๐2 ๐2 ๐ด2
Supondo-se por hipรณtese que a variaรงรฃo da temperatura รฉ relativamente pequena e
conseqรผentemente causarรก uma variaรงรฃo de massa especรญfica desprezรญvel: ๐1 = ๐2
Entรฃo, chegamos a relaรงรฃo final para energia: โ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐
Logo, todo calor recebido serรก transmitido para energia interna do fluido, que รฉ funรงรฃo da temperatura:
๐ = ๐๐โ๐ โ ๏ฟฝ๏ฟฝ = ๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ๐
โ โ๐ = ๏ฟฝ๏ฟฝ
๏ฟฝ๏ฟฝ๐=
๏ฟฝ๏ฟฝ
๐ ๐ ๐=
55 โ 106
998 โ 2,5 โ 4180= 5,3 โ ๐0 = 18 + 5,3 = 23,3ยฐ๐ถ
42)
Para o caso permanente com entradas e saรญdas unidimensionais, tem-se a equaรงรฃo da energia (1ยช
Lei da Termodinรขmica):
(๐1๐พ+๐12
2๐+ ๐ง1) = (
๐2๐พ+๐22
2๐+ ๐ง2) +
๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๏ฟฝ๏ฟฝ1 โ ๐
๐โ โ๐๐๐๐๐ + โ๐ก๐ข๐๐๐๐๐ + โ๐๐ก๐๐๐ก๐
Como nรฃo รฉ considerada troca de calor e nรฃo hรก turbina, esta se reduz a:
(๐1๐พ+๐12
2๐+ ๐ง1) = (
๐2๐พ+๐22
2๐+ ๐ง2) โ โ๐๐๐๐๐ + โ๐๐ก๐๐๐ก๐ (๐)
Escolhendo-se como ponto 1, a entrada da tubulaรงรฃo (1,8 m de profundidade) e como ponto 2 a saรญda
do bico:
๐1 = ๐พ โ โ = 1,8 โ ๐พ
๐2 = 0
Pelo princรญpio da continuidade:
๏ฟฝ๏ฟฝ1 = ๏ฟฝ๏ฟฝ2 โ ๐๐1๐ด1 = ๐๐2๐ด2 โ ๐1 = ๐2๐ด2๐ด1= ๐2
๐ท22
๐ท12 = 36(
2
6)2
= 4 ๐/๐
Aplicando em (i), com referencial de z na superfรญcie dโรกgua:
(1,8 โ ๐พ
๐พ+
42
2 โ 9,8โ 1,8) = (0 +
362
2 โ 9,8+ 3) โ โ๐๐๐๐๐ + 2
โ โ๐๐๐๐๐ โ 69 ๐
๐ =๐๐๐ก๐ป๐๐๐ก๐
โ ๐๐๐ก๐ =๐๐๐ก๐ป ๐
=
๐๐ธ๐๐ก ๐=
๐๐ ๐ โ๐๐ก ๐
=๏ฟฝ๏ฟฝ๐โ
๐=๐๐๐ด๐โ
๐=998 โ 4 โ
๐(6 โ 0,0254)2
49,8 โ 69
0,75โ 67,5 ๐๐
43)
Considerando-se que nรฃo hรก perda de energia, pode-se aplicar a equaรงรฃo de Bernoulli entre a superfรญcie
do reservatรณrio (ponto 1) e a saรญda do jato (ponto 2):
๐1๐พ+๐12
2๐+ ๐ง1 =
๐2๐พ+๐22
2๐+ ๐ง2
โ 0 + 0 + ๐ป = 0 +๐22
2๐+ โ โ ๐2 = โ2๐(๐ป โ โ)
Apรณs sair do reservatรณrio com velocidade V2, cada partรญcula executa um movimento de lanรงamento desde
a saรญda, com velocidade inicial horizontal, atรฉ atingir o chรฃo. Desprezando-se o atrito com o ar, tem-se:
em y: movimento com velocidade inicial nula e aceleraรงรฃo constante e igual a -g
๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐๐ก๐๐รญ๐๐๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐๐: โ๐ = ๐๐ฆ0๐ก โ1
2๐๐ก2 โ ๐ก = โ
2โ
๐
em y: movimento com velocidade constante e de intensidade igual a V2
โ๐ = ๐2๐ก โ ๐ = โ2๐(๐ป โ โ)โ2โ
๐= 2โโ(๐ป โ โ)
โ ๐ = 2โโ(๐ป โ โ)
Reescrevendo X em funรงรฃo de r = h/H para H constante:
๐(๐) = 2๐ปโโ
๐ป(1 โ
โ
๐ป) = 2๐ปโ๐(1 โ ๐)
Entรฃo X รฉ mรกximo quanto o radicando da equaรงรฃo acima รฉ mรกximo, logo:
๐๐
๐๐= 0 โ ๐ = 0,5 โ
โ
๐ป= 0,5
44)
Sendo um escoamento permanente de entrada e saรญda unidimensional e desprezando-se as perdas
de energia, a equaรงรฃo de Bernoulli pode ser aplicada para o ponto de estrangulamento do escoamento
(ponto 1) e o ponto de saรญda para atmosfera (ponto 2) :
๐1๐พ+๐12
2๐+ ๐ง1 =
๐2๐พ+๐22
2๐+ ๐ง2
Considerando-se a mesma cota z (eixo do escoamento) e a pressรฃo manomรฉtrica (patm=0):
๐1๐พ+๐12
2๐+ 0 = 0 +
๐22
2๐+ 0
๐12
2๐=๐22
2๐โ๐1๐พ โ ๐1
2 = ๐22 โ
2๐1๐ (๐)
Pela equaรงรฃo da continuidade (permanente, unidimensional, incompressรญvel):
๐1๐ด1 = ๐2๐ด2 โ ๐2 = ๐1๐ด1๐ด2= ๐1
๐ท12
๐ท22 (๐๐)
(๐) ๐ (๐๐): ๐12 = ๐1
2๐ท14
๐ท24 โ
2๐1๐ โ ๐1
2 (1 โ๐ท14
๐ท24) = โ
2๐1๐ (๐๐๐)
Em uma situaรงรฃo estรกtica, a pressรฃo em 1 pode ser calculada por:
๐๐ = ๐1 + ๐พโ
Sendo a pressรฃo manomรฉtrica da atmosfera igual a 0 e a condiรงรฃo para que o fluido na coluna de
altura h suba, tem-se:
๐1 < โ๐พโ โ โ๐1 > ๐พโ
๐๐๐ (๐๐๐)โ ๐1
2 (1 โ๐ท14
๐ท24) =
2(โ๐1)
๐>2(๐พโ)
๐= 2๐โ
โ ๐12 (1 โ
๐ท14
๐ท24) > 2๐โ โ ๐1
2 >2๐โ๐ท2
4
๐ท24 โ ๐ท1
4
โ ๐1 > ๐ท22โ
2๐โ
๐ท24 โ ๐ท1
4
45)
A distribuiรงรฃo de velocidades mรฉdias na frente e lateral do tubo de Pitot รฉ representada na figura
abaixo.
Como pode-se observar, a velocidade das partรญculas imediatamente antes da entrada frontal รฉ igual
ร velocidade V do fluido. No entanto, devido a distribuiรงรฃo de velocidades na camada limite, a
velocidade das partรญculas nos orifรญcios laterais, assim como em toda a lateral do tubo, รฉ nula.
Portanto, a diferenรงa de pressรฃo p que causa o desnรญvel do fluido no tubo em โUโ (.g.h) รฉ
equivalente, energeticamente, ร diferenรงa parcela cinรฉtica entre a entrada frontal e os orifรญcios laterais
(V2/2g):
๐2
2๐=โ๐
๐พ๐๐ โ๐2
2=๐รก๐๐ข๐ ๐ โโ
๐๐๐ โ ๐ = โ
2 ๐รก๐๐ข๐ ๐ โโ
๐๐๐ = โ
2 โ 1000 โ 9,8 โ 0,15
1,2 โ 49 ๐/๐
46) Equaรงรฃo diferencial da continuidade:
๐๐
๐๐ก+ โ(๐๏ฟฝ๏ฟฝ ) = 0
Para um escoamento permanente e incompressรญvel pode ser simplificada para:
0 + ๐โ๏ฟฝ๏ฟฝ = 0 โ โ๏ฟฝ๏ฟฝ = 0
Entรฃo:
๐(3๐ฅ)
๐๐ฅ+๐(๐ถ๐ฆ)
๐๐ฆ+๐(2๐ฅ)
๐๐ง= 0 โ ๐ถ = โ3
entrada frontal
oricรญfios laterais
47)
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
w
y
w
x
w
z
pg
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
z
v
y
v
x
v
y
pg
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
z
u
y
u
x
u
x
pg
2
2
2
2
2
2
z
2
2
2
2
2
2
y
2
2
2
2
2
2
x
i- Forรงas de campo (gravidade)
ii- Forรงas de contato (pressรฃo)
iii- Forรงas de contato (viscosidade)
iv- Aceleraรงรฃo local
v- Aceleraรงรฃo convectiva
iv + v - Aceleraรงรฃo total
48)
Por ser tratar de um problema unidimensional, pois as grandezas sรณ dependem da posiรงรฃo x, apenas
a equaรงรฃo de Navier-Stokes referente a este eixo รฉ necessรกria. Portanto:
๐๐ โ๐๐
๐๐ง+ ๐ (
๐2๐ค
๐๐ฅ2+๐2๐ค
๐๐ฆ2+๐2๐ค
๐๐ง2) = ๐ (
๐๐ค
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ค
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ค
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ค
๐๐ง)
Nรฃo hรก gradientes de pressรฃo aplicados: ๐๐/๐๐ง.
O escoamento รฉ permanente: ๐๐ค/๐๐ก = 0.
O escoamento รฉ unidirecional: ๐ข = ๐ฃ = 0
O escoamento รฉ unidimensional: ๐2๐ค/๐๐ฆ2 = ๐2๐ค/๐๐ง2 = 0
Logo, a equaรงรฃo se reduz a
๐๐ + ๐๐2๐ค
๐๐ฅ2= 0
โ ๐2๐ค
๐๐ฅ2= โ
๐๐
๐
โ ๐๐ค
๐๐ฅ= โ
๐๐
๐๐ฅ + ๐ถ1 โ ๐ค(๐ฅ) = โ
๐๐
2๐๐ฅ2 + ๐ถ1๐ฅ + ๐ถ2
Aplicando as condiรงรตes de contorno ๐ค(โ) = ๐ค(โโ) = 0, tem-se:
๐ค(๐ฅ) =๐๐
2๐(โ2 โ ๐ฅ2)
i ii iii iv v
49)
a)
๐ ๐ =๐๐๐ฟ
๐=1000 โ
12โ 10โ3
10โ3= 500
Regime laminar
b)
Trata-se de um problema unidimensional e permanente, pois o escoamento รฉ laminar, sรณ hรก variaรงรฃo
da velocidade na direรงรฃo vertical (perpendicular ร s placas) e a velocidade V da placa, que causa o
movimento do fluido, รฉ constante.
Portanto, considerando o eixo x como coincidente com a velocidade V da placa e o eixo z vertical, das
equaรงรตes de Navier-Stokes, a que apresenta termos nรฃo nulos รฉ:
๐๐๐ฅ โ๐๐
๐๐ฅ+ ๐ (
๐2๐ข
๐๐ฅ2+๐2๐ข
๐๐ฆ2+๐2๐ข
๐๐ง2) = ๐ (
๐๐ข
๐๐ก+ ๐ข
๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐ข
๐๐ง)
Nรฃo hรก gradientes de pressรฃo aplicados: ๐๐/๐๐ฅ =.0
O escoamento รฉ permanente: ๐๐ข/๐๐ก = 0.
O escoamento รฉ unidirecional: ๐ฃ = ๐ค = 0
O escoamento รฉ unidimensional: ๐2๐ข/๐๐ฅ = ๐2๐ข/๐๐ฆ2 = 0
Nรฃo hรก gravidade na direรงรฃo do escoamento: ๐๐ฅ = 0
Logo, a equaรงรฃo se reduz a:
๐2๐ข
๐๐ง2= 0 โ ๐ค(๐ฅ) = ๐ถ1๐ฅ + ๐ถ2
Aplicando as condiรงรตes de contorno w(0) = 0 e w (h) = V (velocidade das partรญculas em contato com
a placa รฉ igual a velocidade da placa):
๐ค(๐ฅ) =๐
โ๐ฅ
Conclui-se que o escoamento laminar entre duas placas planas horizontais tem uma distribuiรงรฃo de
velocidades linear.
c)
Conforme deduzido pelo item anterior, a distribuiรงรฃo de velocidade entre as placas รฉ linear,
consequentemente, a tensรฃo cisalhante pode ser calculada pela equaรงรฃo simplificada:
๐ = ๐๐
โ
โ ๐น = ๐๐ด = ๐๐
โ๐ด = 10โ3 โ
1
10โ3โ 1 = 1 ๐