Esercizi sulle derivazioniin logica dei condizionali (Stalnaker)
Sandro Zucchi
2010-11
Alcuni esempi
Prima di introdurre gli esercizi, facciamo qualche esempio di derivazione nel siste-ma CS(NAT) per illustrare l’uso delle regole specifiche di questo sistema:
dove tutti i riferimenti esterni alla prova sono a righe accessibili applicando la regola R a enun-
ciati della forma p2χq o p3χq, o a enunciati della forma pξ > χq dove, alla riga a cui
pξ > χq viene reiterato, pξq e equipollente all’assunzione della prova o a una congiunzione di
formule disponibili nella prova in cui l’assunzione e uno dei congiunti.
1
Una formula ϕ e equipollente a una formula ψ alla riga n di una derivazione se esolo se vale almeno una di queste condizioni:
• ϕ = ψ,
• 2(ϕ ⊃ ψ) e 2(ψ ⊃ ϕ) sono entrambe disponibili alla riga n,
• ϕ > ψ e ψ > ϕ sono entrambe disponibili alla riga n.
Inoltre,
• se, alla riga n, ϕ e equipollente a ξ e, alla riga n, ξ e equipollente a ψ, allora,alla riga n, ϕ e equipollente a ψ.
Derivazioni in CS(NAT)
Iniziamo mostrando che
p > q, q > r, p `CS(NAT ) r
La derivazione fa uso della regola di eliminazione di >:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p > q
q > r
p
Prova: r
q
r
P
P
P
DD
>E, 1, 3
>E, 2, 5
Deriviamo ora
2(p ⊃ q) `CS(NAT ) p > q
La derivazione fa uso della regola di inscatolamento e cancellazione per > (ilmetodo di prova per>I) e importa per reiterazione un enunciato della forma p2χq:
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2(p ⊃ q)Prova: p > q
p
2(p ⊃ q)p ⊃ qq
P
>I
Ass
R, 1
2E, 4
⊃E, 3, 5
Questa derivazione e un esempio di un fatto piu generale che vale in CS: un con-dizionale stretto p2(ϕ ⊃ ψ)q implica il condizionale corrispondente pϕ > ψq.Nota che, a sua volta, e possibile mostrare che un condizionale pϕ > ψq implicail condizionale materiale corrispondente pϕ ⊃ ψq. Un esempio di questo fatto edato dalla derivazione seguente:
p > q `CS(NAT ) p ⊃ q
1.
2.
3.
4.
p > q
Prova: p ⊃ q
p
q
P
⊃I
Ass
>E, 1, 3
Vediamo ora qualche esempio di derivazione che importa dei condizionali dellaforma pϕ > ψq in una prova per >I:
p > q `CS(NAT ) p > (p ∧ q)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
p > q
Prova: p > (p ∧ q)
p
p > q
q
p ∧ q
P
>I
Ass
R, 1
>E, 3, 4
∧I, 3, 5
3
Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale pp > qq puo essere im-portato per reiterazione alla riga 4 nella prova per >I in quanto l’antecedente dipp > qq e equipollente all’assunzione ppq della prova per >I (e equipollenteperche identico).
Considera ora la derivazione seguente:
p > q, (p ∧ q) > r `CS(NAT ) p > r
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
p > q
(p ∧ q) > r
Prova: p > r
p
p > q
q
p ∧ q(p ∧ q) > r
r
P
P
>I
Ass
R, 1
>E, 4, 5
∧I, 4, 6
R, 2
>E, 7, 8
Nota che, nella derivazione precedente, il condizionale pp > qq puo essere im-portato per reiterazione alla riga 5 nella prova per >I in quanto l’antecedente dipp > qq e identico all’assunzione ppq della prova per >I e quindi e equipollenteall’assunzione. Invece, il condizionale p(p∧ q) > rq puo essere importato per rei-terazione alla riga 8 in quanto il suo antecedente e identico, e quindi equipollente,alla congiunzione pp∧qq di formule disponibili nella prova in cui l’assunzione ppqe uno dei congiunti (nella regola di inscatolamento e cancellazione per >I, questae una delle condizioni che consentono di importare un condizionale pϕ > ψq inuna prova per >I).
Primo esercizio
Ok, ora prosegui tu. Prova le affermazioni seguenti:
(1) a. `CS(NAT ) (p > (q ∨ r)) ⊃ ((p > q) ∨ (p > r))b. `CS(NAT ) p ⊃ ((p > q) ≡ q)c. `CS(NAT ) (p∧ ∼ q) ⊃ (p >∼ q)d. p∧ ∼ r, (p ∧ q) > r `CS(NAT ) p >∼ qe. p > (q ∨ r), (p ∧ q) > s, (p ∧ r) > t, s > p, s > t `CS(NAT ) p > tf. `CS(NAT ) (p > (q ⊃ r)) ⊃ ((p >∼ q) ∨ (p > r))
4
Top Related