El problema de Dirichlet y otros problemas depeso
Marıa J. Carro
Universidad de Barcelona
Universidad Carlos III, enero 2015
Marıa J. Carro El problema de Dirichlet y otros problemas de peso.
El problema de Dirichlet
Peter Gustav LejeuneDirichlet (1805-1859)
Enunciado general
Dado un dominio Ω ⊂ Rn y una funcion f :δΩ→ R, el problema de Dirichlet consiste enencontrar una funcion u : Ω→ R tal que
∆u = 0, u|δΩ = f ,
donde ∆ es el Laplaciano:
∆u =∂2u∂x2
1+ · · ·+ ∂2u
∂x2n
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Interpretacion fısica
Este problema modeliza fenomenos fısicos estacionarios, es de-cir, independientes del tiempo, y es el ejemplo tıpico de lo queen EDPs se llama una ecuacion elıptica.Ecuacion del calor:
∆u(x , t) = a2∂u(x , t)∂t
=⇒ ∆u(x) = 0
* Fijar la temperatura sobre el contorno de un dominio de acuerdo, la tem-peratura fluye hasta que alcanza un estado estacionario en el dominio. Ladistribucion de la temperatura en el interior sera entonces la solucion corres-pondiente al problema de Dirichlet.Ecuacion de ondas:
∆u(x , t) = a2∂2u(x , t)∂t2 =⇒ ∆u(x) = 0
* Propagacion de ondas en regimen estacionario.
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El problema de Dirichlet. Historia
History
* George Green (1828): Redujo el problema a la construccionde funciones de Green.
* Karl Friedrich Gauss (1840): Teorıa del potencial.
* Lord Kelvin and P.G. Dirichlet (1847): sugirieron minizar laenergıa
E(u) =
∫Ω|∇u(x)|2dx
sujeta a la condicion inicial. Calculo de variaciones.
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El problema de Dirichlet. Historia
Historia
* Weierstrass, Riemann, ...
* Stanislaw Zaremba (1911): Fue el primero que observo quehabıa regiones en los que el problema de Dirichlet no tenıasolucion: Ω = D \ 0.
* Henri Lebesgue (1913) dio un ejemplo en el que el problemade Dirichlet no tenıa solucion y el dominio tenıa fronteraconexa.
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El problema de Dirichlet. Historia
From 1920 ...
Los siguientes tres metodos fueron los mas populares:
El metodo de Poincare en el que se usaban funcionessubharmonica: Metodo de Perron.
Metodo de ecuaciones integrales basadas en teorıa delpotencial.
Metodos variacionales relativos al problema de minizar laEnergıa de Dirichlet.
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El problema de Dirichlet en dominios simplementeconexos
Dominios acotados: Disco unidadDada D el disco unidad y dada una funcion f ∈ Lp(T), existeu ∈ h(D) tal que u = f en T.
0u
fD
∆u = 0u|∂D = f
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El problema de Dirichlet en dominios simplementeconexos
Disco unidad: Solucion
u(r , θ) =1
4π
∫ 2π
0f (s)
1− r2
1− 2r cos(θ − s) + r2 ds = (Pr ∗ f )(θ),
with Pr the Poisson kernel
Pr (θ) =1− r2
1− 2r cos θ + r2 .
Pregunta:
lımr→1
(Pr ∗ f )(θ) = f (θ), a.e. θ, ∀f ∈ Lp(T)?
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El problema de Dirichlet en el disco unidad
Filosofıa del Operador Maximal
Sisupr>0|Pr ∗ f | : Lp(T)→ Lp(T)
es acotado, entonces
lımr→1
(Pr ∗ f )(θ) = f (θ), a.e. θ, ∀f ∈ Lp(T).
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El problema de Dirichlet en el semiespacio superior
f
FΩ = Rn+1+
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El problema de Dirichlet en el semiespacio superior
Rn+1+ : Solucion
u(x , t) =
∫Rn
K (x − y , t)f (y)dy = (Kt ∗ f )(x)
with K (y , t) = Kt (y) the Poisson kernel
K (y , t) =cnt
(|y |2 + t2)n+1
2
, y ∈ Rn, t > 0.
Pregunta:
lımt→0
(Kt ∗ f )(x) = f (x), a.e. x ∈ Rn, ∀f ∈ Lp(Rn)?
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El problema de Dirichlet en el semiespacio superior
Filosofıa Operador maximal
Sisupt>0|Kt ∗ f | : Lp(Rn)→ Lp(Rn)
es acotado, entonces
lımt→0
(Kt ∗ f )(x) = f (x), a.e. x ∈ Rn, ∀f ∈ Lp(Rn).
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Dominios Regular
Tiene el problema de Dirichlet solucion en un dominio Ω confrontera de clase C1?
f
FΩ
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El problema de Dirichlet en dominios regulares
Dominios de clase C1 (Dahlberg, Fabes-Jodeit-Riviere, Kenig1979-1980)
Dado un dominio simplemente conexo U con frontera ∂U declase C1 y dada f ∈ Lp(∂U,ds) y 1 < p < ∞, existe F ∈ h(U)tal que F = f en ∂U.
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Dominios Lipstchitz
Tiene el problema de Dirichlet solucion en un dominio LipschitzΩ?
f
FΩ
Lipschitz: |f (x)− f (y)| ≤ C|x − y |
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Dominios no acotados Lipschitz (C. Kenig, 1980)
Dado
Ω = z = x + iy ∈ C : y > ν(t).
ν una funcion Lipschitziana, y dada f ∈ Lp(∂Ω) y 2 ≤ p < ∞,existe F ∈ h(Ω) tal que F = f en ∂Ω.
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Dominios no acotados Lipschitz (C. Kenig, 1980)
Dado
Ω = z = x + iy ∈ C : y > ν(t).
ν una funcion Lipschitziana, y dada f ∈ Lp(∂Ω) y 2 ≤ p < ∞,existe F ∈ h(Ω) tal que F = f en ∂Ω.
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
f
φR2+
O
Observacion: cambio de variable
Si f ∈ Lp(∂Ω), entonces f φ ∈ Lp(|φ′|).
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
f
φR2+
O
(C. Kenig, 1980)
Si φ : R2+ → O es una aplicacion conforme exhaustiva tal que
φ(∞) =∞, entonces |φ′| ∈ A2.
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Clase A2
Definicion
w ∈ A2 si
supQ
(1|Q|
∫Q
w)1/2( 1
|Q|
∫Q
w−1)1/2
<∞,
donde Q es un cubo en Rn.
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Pesos de Muckenhoupt
BenjaminMuckenhoupt.
PesoUn peso w es una funcion positiva definidasobre un espacio de medida que es local-mente integrable.
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Pesos
Pesos de Muckenhoupt Ap
Un peso w ∈ Ap (p > 1) si
‖w‖1/pAp
= supQ
(1|Q|
∫Q
w)1/p( 1
|Q|
∫Q
w1−p′)1/p′
<∞,
con 1p + 1
p′ = 1,
‖w‖A1 = ınf
C > 0 : Mw(x) ≤ Cw(x), a.e. x.
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Pesos de Muckenhoupt
Una definicion facil de recordar
1 =1|Q|
∫Q
1dx =1|Q|
∫Q
w(x)−1w(x)dx
≤(
1|Q|
∫Q
w)1/p( 1
|Q|
∫Q
w1−p′)1/p′
≤ ‖w‖1/pAp.
Satisface una desigualdad de Holder inversa
∫f (x)g(x)dµ(x) ≤
(∫f (x)pdµ(x)
)1/p(∫g(x)p′dµ(x)
)1/p′
.
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Pesos de Muckenhoupt
Consecuencia:
Si w ∈ A∞ := ∪pAp, entonces existe δ > 0 tal que(1|Q|
∫Q
w1+δ(x)dx) 1
1+δ
≤ Cw
|Q|
∫Q
w(x)dx .
Mejoran la integrabilidad
Propiedad de los pesos Ap
Si 1 ≤ p ≤ q,A1 ⊂ Ap ⊂ Aq ⊂ A∞
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Teorema (C. Kenig, 1980)
Seap0 = ınfq > 1 : |φ′| ∈ Aq.
Dada f ∈ Lp(∂Ω,ds) y p0 < p < ∞, existe F ∈ h(Ω) tal queF = f en ∂Ω.
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Teorema (C. Kenig, 1980)
Seap0 = ınfq > 1 : |φ′| ∈ Aq.
Dada f ∈ Lp(∂Ω,ds) y p0 < p < ∞, existe F ∈ h(Ω) tal queF = f en ∂Ω.
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El problema de Dirichlet en dominios no acotados
Propiedad de automejora de los pesos Ap
Si 1 ≤ p ≤ q,A1 ⊂ Ap ⊂ Aq ⊂ A∞
perow ∈ Ap =⇒ ∃ε > 0; w ∈ Ap−ε.
Consecuencia:
p0 = ınfq > 1 : |φ′| ∈ Aq 6= mınq > 1 : |φ′| ∈ Aq
Kenig, C., Weighted Lp-spaces in Lipschitz domains, Amer. J. Math. 102 (1980),129–163.
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El problema de Dirichlet en dominios simplementeconexos
Dominios acotados Lipschitz (Dahlberg, 1979)
Dado un dominio acotado U con frontera ∂U Lipschitz y dadaf ∈ Lp(∂U,ds), 2 ≤ p < ∞, existe F ∈ h(U) tal que F = f en∂U.
Dahlberg, B., On the Poisson integral for Lipschitz and C1-domain, StudiaMath. 66 (1979).
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Un problema clasico en variable compleja
Conjuntos frontera de interpolacion
Sea D = |z| < 1 y sea T = ∂D. Dado un conjunto E ⊂ T ydada una funcion ϕ definida en E , cuando es cierto que existeuna funcion f ∈ H(D) tal que f = ϕ en E?
ϕ
Ef ∈ H(D)
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Un problema clasico en variable compleja
Teorema Rudin-Carleson (1956/57)
Sea E ⊂ T un subconjunto cerrado tal que |E | = 0 y sea ϕ unafuncion continua en E . Entonces existe una funcion
f ∈ A(D) = H(D) ∩ C(T)
tal que f = ϕ en E .
Mas aun, si para toda ϕ ∈ C(E), existe f ∈ A(D) tal que f = ϕen E , entonces |E | = 0.
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Un problema clasico en variable compleja
Conjuntos frontera de interpolacion
Consideremos el espacio
A1(D) = f ∈ A(D) : f ′ ∈ A(D)
y supongamos que ϕ ∈ C1(E). ¿Cuando es cierto que existeuna funcion f ∈ A1(D) tal que f = ϕ y f ′ = ϕ′ en E?
Teorema (J. Bruna, 1981)
Sea E ⊂ T un subconjunto cerrado y sea ϕ ∈ C1(E). Entoncesexiste una funcion f ∈ A1(D) tal que f = ϕ, f ′ = ϕ′ en E si y solosi existe 0 < α < 1 tal que:
Si ρ(x) = d(x ,E), ρ : T→ R =⇒ ρ−α ∈ A2.
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El espacio BMO
Se define el espacio BMO como el conjunto de las funcionesf ∈ L1
loc tal que
supQ
1|Q|
∫Q|f − fQ| <∞, fQ =
1|Q|
∫Q
f .
Desigualdad de John-Nirenberg (1961)
Si f ∈ BMO, existe α > 0 tal que
1|Q|
∫Q
eα|f (x)−fQ |dx <∞.
Relacion con los pesos de Muckenhoupt
f ∈ BMO =⇒ ∀p > 1, ∃αp > 0 : eαp f ∈ Ap
yw ∈ Ap =⇒ log w ∈ BMO.
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El espacio BMO
Se define el espacio BMO como el conjunto de las funcionesf ∈ L1
loc tal que
supQ
1|Q|
∫Q|f − fQ| <∞, fQ =
1|Q|
∫Q
f .
Relacion con los pesos de Muckenhoupt
f ∈ BMO =⇒ ∀p > 1, ∃αp > 0 : eαp f ∈ Ap
yw ∈ Ap =⇒ log w ∈ BMO.
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Interpretacion Geometrica
Conjuntos bien distribuidos
Los puntos del conjunto E han de estar bien distribuidos:
(i) El conjunto perfecto de Cantor es bueno.
(ii) Para conjuntos formados por una sucesion de puntos conun lımite, la condicion esta relacionada con la velocidad deconvergencia.
E = ein ,n ∈ N ∪ 1, No
E = ei
2n ,n ∈ N ∪ 1, Si
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Referencias y mas resultados
Extensiones
(i) Extensiones a los espacios Cp y al correspondiente espa-cio de funciones analıticas Ap, p ∈ N.
(ii) Extensiones a espacios de funciones Lipschitzianas cuan-do p no es un natural.
Alexander, H.; Taylor, B. A.; Williams, D. L., The interpolating sets for A∞. J.Math. Anal. Appl. 36 (1971), 556–566.
Dynkin-Hruscev, Interpolation by boundary values of smooth analytic functions.Soviet Nath. Dokl 15 (1974), 1083–1086.
Bruna, J. Boundary interpolation sets for holomorphic functions smooth to theboundary and BMO. Trans. Amer. Math. Soc. 264 (1981), no. 2, 393–409.
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EDP elıpticas en forma de divergencia
Teorema (Garofalo-Lin, 1986)
Sea Ω ⊂ B(0,2) un conjunto conexo de Rn y sea A(x) una ma-triz simetrica n×n cuyas entradas son funciones Lipschitzianasy tal que
λ|ξ|2 ≤ 〈A(x)ξ, ξ〉 ≤ 1λ|ξ|2.
Si u ∈ H1,2loc(Ω) es una solucion debil del problema
Lu = div(A(x)∇u(x)) = 0, x ∈ Ω
entonces u, |∇u| ∈ A∞ = ∪pAp.
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u(x0) = 0 =⇒ u ≡ 0.
Consecuencia:En particular, si u tiene un cero de orden infinito en un x0 ∈ Ω,entonces u ≡ 0∫
B(x0,R)u2(x)dx = O(RN), ∀N ∈ N.
Operador maximal de Hardy-Littlewood
Mf (x) = supr>0
1|B(x , r)|
∫B(x ,r)
|f (y)|dy
Observacion:
Mf (x0) = 0 =⇒ f ≡ 0.
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u(x0) = 0 =⇒ u ≡ 0.
Caracterizaciones de A1 (R. Coifman y R. Rochberg, 1980)
Se cumple que
A1 ≈ (Mh)α : h ∈ L1loc,0 ≤ α < 1
Caracterizaciones de Ap (P. Jones, 1980)
Se cumple que
Ap ≈ (Mh1)α1(Mh2)α2(1−p) : hj ∈ L1loc,0 ≤ αj < 1
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Convergencia de la Serie de Fourier
Dada f ∈ L1(T),
Sf (θ) =∞∑
n=−∞f (n)einθ, f (n) =
12π
∫ 2π
0f (x)e−inxdx .
Pregunta
Dada f ∈ L1(T), ¿Cuando es cierto que
SN f (θ) =N∑
n=−N
f (n)einθ −→ f ?
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Relacion con el problema de Dirichlet en el discounidad
Pregunta
Dada f ∈ L1(T), ¿cuando es cierto que
∞∑n=−∞
f (n)einθ = f (θ)?
Pregunta mas facil
Dada f ∈ L1(T), ¿cuando es cierto que
Sf (θ, r) =∞∑
n=−∞f (n)einθrn −→ f (θ)?
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Relacion con el problema de Dirichlet en el discounidad
Conexion∞∑
n=−∞f (n)einθrn = (Pr ∗ f )(θ) = u(reiθ).
∆u = 0, uT = f .
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Convergencia de la Serie de Fourier: ResultadosClasicos
Resultado negativo: Dubois Reymond (1873)
Existe una funcion continua tal que la serie de Fourier divergeen un punto. Es mas, diverge en un conjunto denso.
Resultado negativo: Kolmogorov (1923)
Existe f ∈ L1(T) tal que
SN f (θ) 9 f (θ), a.e. θ
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Convergencia de la Serie de Fourier: ResultadosClasicos
Lennart Carleson.Premio Abel 2006.
TheoremSi p > 1,
SN f (θ) −→ f (θ), a.e. θ,∀f ∈ Lp.
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Convergencia de la Serie de Fourier
Dada f ∈ L1(Tn), n > 1, ¿cuando es cierto que
SN f −→ f ?
Resultados conocidos
(1) Para todo f ∈ L2(Tn),
SN f −→ f , (L2)
(2) Si p 6= 2, existe f ∈ Lp(Tn) tal que
SN f 9 f , (Lp), C. Fefferman (1971)
(3) Pregunta abierta: si f ∈ L2(Tn),
¿SN f (θ) −→ f (θ), a.e. θ?
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Convergencia de la Serie de Fourier: Funcionesradiales
Problema mas sencilloDada f ∈ Lp, f radial, ¿es cierto que
SN f (θ) −→ f (θ)?
ObservacionSea f (x) = f0(|x |) una funcion radial
f ∈ Lp(Rn) ⇐⇒ f0 ∈ Lp(rn−1)
y existe una relacion entre
SN f (x) ≈ SN(g0)(r), g0(s) = f0(s)sn−1
2 .
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Convergencia de la Serie de Fourier: Funcionesradiales
Hunt-Muckenhoupt-Wheeden, 1973
Lp(w)− lımN
SN f = f , ∀f ∈ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap
CorolarioSi f es radial,
Lp − lımN
SN f = f ⇐⇒ 2nn + 1
< p <2n
n − 1.
Creditos:Prestini, Herz, Kenig-Tomas, ...
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Teorıa de Wavelets
Definicion rapida
La teorıa de las wavelets es una alternativa al analisis de Fourierque tiene la ventaja de que permite analizar mejor las senalesen tiempo y en frecuencia simultaneamente.
Definicion rigurosa
Una funcion φ ∈ L2(R) es una ondıcula (wavelet) si el conjunto
A = φj,k (x) = 2j/2φ(2jx − k) : j , k ∈ Z
es una base ortonormal de L2(R).
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Teorıa de Wavelets
Definicion
Dada una wavelet φ ∈ L2(R), la serie de Fourier asociada
Sφ(f ) =∑j,k
〈f , φj,k 〉φj,k
DefinicionDado un espacio X , diremos que A es una base incondicionalde X si, para todo f ∈ X ,
f =∑j,k
〈f , φj,k 〉φj,k
converge incondicionalmente.
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(VI) Wavelets
Teorema (I. Daubechies, 1992)
Sea φ ∈ C1(R) una ondıcula tal que, para un ε > 0 y j = 0,1,
|φj)(x)| ≤ (1 + |x |)−1−ε, ∀x .
Entonces, para todo 1 < p < ∞, A es una base incondicionalde Lp(R).
Teorema (P. Lemarie, 1994)
Si φ tiene soporte compacto y satisface una condicion tipo Lips-chitz, entonces A es una base incondicional de Lp(w) si y solosi w ∈ Ap (p > 1).
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¿Que tienen en comun todos estos problemas?
La solucion pasa por demostrar que un determinado operadores acotado en un espacio Lp(w):
T : Lp(w) −→ Lp(w).
*Operador maximal de Poisson* Operador integral de Cauchy* Operador maximal de Hardy-Littlewood* Operador de las sumas parciales de la serie de Fourier* Operador transformada de Hilbert* · · ·
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Operadores importantes
*Operador maximal de Poisson
P∗f (θ) = sup0<r<1
|(Pr ∗ f )(θ)|, P∗f (x) = supt>0|Kt ∗ f )(θ)|
* Operador integral de Cauchy y transformada de Hilbert
Cf (z) =1
2πi
∫T
f (s)
z − sdσ(s), Hf (x) =
∫R
f (y)
x − ydy .
* Operador de las sumas parciales de la serie de Fourier
S∗f (θ) = supN|SN f (θ)|
* Operador maximal de Hardy-Littlewood* · · ·
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Muckenhoupt
Teorema (Muckenhoupt, 1972)
El operador maximal de Hardy-Littlewood
Mf (x) = supr
1|B(x , r)|
∫B(x ,r)
|f (y)|dy
satisface en el caso p > 1,
M : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.
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Muckenhoupt
Resolucion del Problema de Dirichlet
El operador maximal de Hardy-Littlewood mayora al operadormaximal de Poisson
P∗f (x) ≤ CMf (x)
y, por tanto, si p > 1,
P∗ : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.
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Muckenhoupt
Teorema (Muckenhoupt, 1972)
La transformada de Hilbert
Hf (x) = v.p.∫R
f (y)
x − ydy
satisface si p > 1,
H : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.
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Muckenhoupt
Teorema (Muckenhoupt, 1972)El operador conjugado
Cf (θ) =
∫T
f (y) cot(θ − y)dy
satisface si p > 1,
C : Lp(w) −→ Lp(w) ⇐⇒ w ∈ Ap.
CorolarioEl operador de Carleson S∗, asociado a las sumas parciales dela serie de Fourier, satisface
w ∈ Ap, p > 1 =⇒ S∗ : Lp(w) −→ Lp(w).
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Y si p = 1?
Espacio de tipo debil
L1,∞(w) = f : ‖f‖L1,∞(w) = supy>0
yw(|f | > y) <∞
Entonces:
Acotacion positiva
w ∈ A1 =⇒ M,P∗,H,C : L1(w) −→ L1,∞(w).
Acotacion negativa
S∗ : L1(w) 9 L1,∞(w).
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Filosofıa
Acotacion operador maximal =⇒ Convergencia a.e.
SiT ∗f (x) = sup
r>0|Tr f (x)| : L1(w)→ L1,∞(w)
es acotado, entonces
lımr→1
(Tr f )(θ) = f (θ), a.e. θ, ∀f ∈ L1(w).
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Resumen
Nuestro objetivo:
Estudiar acotacion de operadores (maximales o no) en espaciosde Lebesgue con pesos.
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Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Jose Luis Rubio deFrancia.
Teorema (Rubio de Francia, 1984)Si T es un operador sublineal y
T : Lp0(w) −→ Lp0(w),
para todo w ∈ Ap0 , p0 ≥ 1, entonces, paratodo p > 1,
T : Lp(w) −→ Lp(w), ∀w ∈ Ap.
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Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Una observacion importanteSi
‖g‖Lp0 (w) ≤ N(‖w‖Ap0)‖f‖Lp0 (w), ∀w ∈ Ap0 , p0 ≥ 1,
entonces, para todo p > 1,
‖g‖Lp(w) ≤ N(‖w‖Ap )‖f‖Lp(w), ∀w ∈ Ap.
Aplicacion a operadores con valores vectorialesSi w ∈ Ap, entonces∥∥∥∥(∑
j
M(fj)2)1/2∥∥∥∥
Lp(w)
≤ Cw
∥∥∥∥(∑j
|fj |2)1/2∥∥∥∥
Lp(w)
.
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Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Version moderna (2011)Si
‖g‖Lp0 (w) ≤ N(‖w‖Ap0)‖f‖Lp0 (w), ∀w ∈ Ap0 , p0 ≥ 1,
entonces, para todo p > 1,
‖g‖Lp(w) ≤ N(‖w‖Ap )‖f‖Lp(w), ∀w ∈ Ap,
donde
N(‖w‖Ap ) ≤ N(
C‖w‖max(
1, p0−1p−1
)Ap
).
O. Dragicevic, L. Grafakos, M. C. Pereyra y S. Petermichl, Publ. Mat. 49 (2005),73–91.Duoandikoetxea, J. Funct. Anal. 260 (2011), no. 6, 1886–1901.
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Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Teorema
Sea T un operador tal que, para algun p0 ≥ 1 y todo w ∈ Ap0 ,
T : Lp0(w) −→ Lp0(w)
es acotado. Entonces, para todo p > 1 y todo w ∈ Ap,
T : Lp(w) −→ Lp(w)
es acotado.
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Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Teorema
Sea T un operador tal que, para todo w ∈ A1,
T : L1(w) −→ L1,∞(w)
es acotado. Entonces, para todo p > 1 y todo w ∈ Ap,
T : Lp(w) −→ Lp(w)
es acotado.
Marıa J. Carro El problema de Dirichlet y otros problemas de peso.
Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Sin embargo:
T : Lp0(w) −→ Lp0(w), ∀w ∈ Ap0 .
6=⇒
T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.
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Teorıa de extrapolacion de Rubio de Francia
Corolario
Si T es un operador tal que, para todo p > 1 y todo w ∈ Ap,
T : Lp(w) −→ Lp,∞(w)
es acotado, con constante Cp‖w‖αAp, entonces, para todo ε > 0,
T : L(log L)ε(u) −→ L1loc(u), ∀u ∈ A1.
Definicion
L(log L)α =
f :
∫|f (x)|
(1 + log+ |f (x)|
)αdx <∞
.
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Extension del Teorema de extrapolacion de Rubio deFrancia
Espacios de Lorentz (1951)
Lp,1 =
f : ‖f‖Lp,1 =
∫ ∞0
f ∗(t)t1/p dtt<∞
Lp,∞ =
f : ‖f‖Lp,∞ = supt>0
t1/pf ∗(t) <∞.
Se cumple:
Lp,1 ⊂ Lp ⊂ Lp,∞,
y, por tanto,
T : Lp → Lp =⇒ T : Lp,1 → Lp,∞.
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Extension del Teorema de extrapolacion de Rubio deFrancia
Ya sabemos que
T : Lp0(w) −→ Lp0(w), ∀w ∈ Ap0 .
6=⇒T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.
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Extension del Teorema de extrapolacion de Rubio deFrancia
Por tanto,
T : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w), ∀w ∈ Ap0 .
6=⇒T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.
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Extension del Teorema de extrapolacion de Rubio deFrancia
Sin embargo:
T : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w), ∀w ∈ Ap0 .
=⇒
T : L1(w) −→ L1,∞(w), ∀w ∈ A1.
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Teorema de extrapolacion de Rubio de Francia
Candidato: Kerman-Torchinsky
M : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w),
⇐⇒
‖w‖ARp = supE⊂Q
(w(Q)
w(E)
)1/p |E ||Q|
<∞.
R. Kerman y A. Torchinsky, Studia Math. 71 (1982), no. 2, 277–284.
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Teorema de extrapolacion de Rubio de Francia
Caracterizacion de Ap
Ap =
u = (Mh1)θ1(Mh2)(1−p)θ2 : 0 ≤ θj < 1, hj ∈ L1loc
Caracterizacion de Ap
Ap =
u = (Mh1)θ1(Mh2)(1−p) : 0 ≤ θ1 < 1, hj ∈ L1loc
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Teorema de extrapolacion de Rubio de Francia
Teorema
Si T es un operador tal que, para todo w ∈ Ap0 ,
T : Lp0,1(w) −→ Lp0,∞(w)
es acotado, entonces (esencialmente) para todo u ∈ A1,
T : L1(u) −→ L1,∞(u).
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