Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 1
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Introducción
La integral definida unidimensional aporta las herramientas necesarias para calcular áreas y
volúmenes. Ahora bien, por lo que se refiere al cálculo de volúmenes, no da respuesta al problema de
encontrar el volumen de una figura tridimensional arbitraria, pues sólo se determina el volumen de figuras
con determinadas características. Vamos a ver, entre otras muchas aplicaciones, cómo la integral múltiple
da respuesta general a este problema. En primer lugar, vamos a ocuparnos de la integral doble. El
desarrollo es, en líneas generales, similar al realizado con la integral de una variable. Por ello, en buena
medida, las definiciones y resultados resultarán familiares y se podrá avanzar con cierta rapidez.
Posteriormente, se desarrollará brevemente la integral triple, finalizando el tema con el estudio de algunas
aplicaciones de la integración múltiple.
El volumen bajo una superficie
Considérese una función no negativa f : [a, b]×[c,
d] → R , se desea calcular el volumen del siguiente
subconjunto de R:
A = {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)},
donde D denota el dominio de f, es decir, el rectángulo
[a, b]×[c, d]. Se trata de un conjunto que tiene por
”techo” la superficie de ecuación z = f(x, y) y cuyo
”suelo” es el dominio de f. La figura siguiente ayuda a
visualizar el conjunto A cuyo volumen se quiere
calcular.
Se traza en el rectángulo [a, b] ×[c, d] una malla
formada por celdas suficientemente pequeñas de forma
que en cada una de estas celdas, Ci, la función f(x, y)
varía de unos puntos a otros muy poco.
Obviamente, el volumen buscado es la suma de los
volúmenes de los prismas (curvilíneos) que tienen por
”suelo” cada celda y por ”techo” el correspondiente
trozo de la superficie z = f(x, y)
i
i
V V C
donde V(Ci) denota el volumen del prisma cuya base
es la celda Ci. El volumen de cada prisma curvilíneo
puede aproximarse (tanto mejor en cuanto las celdas
sean más pequeñas) por
f(xi, yi) · Ar(Ci),
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 2
Por tanto, una aproximación razonable del volumen bajo nuestra superficie viene dada por la
expresión
, .i ii
i
V f x y Ar C
El valor de esta suma cambia al tomar una malla diferente, pero a medida que las celdas son más
pequeñas, el valor que se obtiene da una mejor aproximación al volumen buscado. Esta ideas llevan a
definir el volumen bajo la superficie z = f(x, y) como el límite hacia el que se aproximan estas sumas.
Precisamente, como se verá en las secciones siguientes, esta es la forma de definir la integral doble
, ,
,a b c d
f x y dxdy
La integral doble sobre un conjunto acotado
Sea A un subconjunto acotado de R
2 y f : A → R
una función acotada. Para definir la integral doble de f
en A, se necesita el concepto de sumas de Riemann.
Como A es acotado, puede escogerse un rectángulo [a,
b] × [c, d] conteniendo el conjunto A. Para producir
una malla en el rectángulo, se divide los intervalos [a,
b] y [c, d] en partes iguales de longitudes Δx y Δy,
respectivamente. Al trazar por los puntos de división
rectas paralelas a los ejes coordenados, se produce una
malla cuyas celdas tienen las dimensiones Δx × Δy.
Se denota por C1, ..,Cn la celdas producidas
(numeradas de abajo hacia arriba y de izquierda a
derecha) que interceptan al conjunto A y se escoge en
cada una de ellas un punto intermedio (xi, yi) ∈ A.
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 3
La suma
1
,n
i i
i
f x y x y
se denomina suma de Riemann para la integral doble de f en A. Puede denotarse por
, , , ,i iS f x y x y o, de forma más breve, por S(f,Δx,Δy).
Se dirá que f es integrable (en el sentido de Riemann) en el conjunto A si existe (y es finito) el límite
, 0,01
lim ,n
i ix y
i
f x y x y
en cuyo caso, el valor de este límite se denota por
,A
f x y dxdy
y recibe el nombre de integral doble de f en el conjunto A.
Propiedades básicas de la integral doble
1. Condición suficiente de integrabilidad.
Sea A ⊂ R2 un conjunto acotado medible (en el sentido de Riemann) y f : A → R una función
acotada. Si f es continua en A salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos cuya área es cero, entonces f
es integrable en A.
2. Linealidad.
Si f y g son integrables en A y c es una constante real, entonces f + g y cf son integrables en A y
se verifica
a) A A A
f g dxdy f dxdy gdxdy
b)
A A
cf dxdy c f dxdy
3. Aditividad.
Sean A y B dos subconjuntos de R2. Si f es integrable en ambos conjuntos y A ∩ B tiene área
nula, entonces f es integrable en A ∪ B y se verifica
A B A B
f dxdy f dxdy f dxdy
4. Monotonía.
Si f y g son integrables en A y verifican f(x, y) ≤ g(x, y), para cada (x, y) ∈ A, entonces
A A
f dxdy gdxdy
5. La media integral.
Si f es integrable en A y m ≤ f(x, y) ≤ M (∀ (x, y) ∈ A), entonces existe c ∈ [m, M] de modo que
. ( )A
f dxdy c Ar A
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 4
Area de un recinto plano
Se ha visto cómo la integral doble puede usarse para calcular volúmenes. Pero esta no es la única
aplicación geométrica. En ese apartado se verá que la integral doble también puede usarse para calcular
áreas de recintos planos.
Concretamente, se va a mostrar que
1A
dxdy
representa el área del recinto (acotado) bidimensional A.
Si I = [a, b] × [c, d] es un rectángulo conteniendo A, considérese una malla con celdas Ci de
dimensiones Δx y Δy. Nótese que
1
1, ,n
i
S x y x y
con la suma extendida a todas los celdas que cortan al conjunto A. Como éstas recubren A, se sigue que
S(1,Δx,Δy) es una aproximación por exceso al á rea de A
Por último, basta tener en cuenta que, si la integral
1A
dxdy
existe, se puede escoger una malla suficientemente fina (Δx y Δy pequeños) como para que las sumas de
Riemann sean tan próximas como se quiera al valor de la integral anterior, cualquiera que sea la elección
de los puntos intermedios. Esto, junto con las ideas anteriores, justifican que se tome la integral como el
área del recinto A. Cuando la función constantemente igual a 1 es integrable sobre un conjunto A, se dice
que el conjunto A es medible (en el sentido de Riemann). Sólo sobre estos conjuntos tiene sentido
considerar la integral doble.
La integral doble sobre conjuntos proyectables
Se va a considerar dos tipos de conjuntos medibles para los que la integral doble puede calcularse por
integración reiterada.
Definición (Conjuntos x-proyectables). Un subconjunto A de R2 se dice que es x-proyectable si es
de la forma A = {(x, y) ∈ R2 : a < x <b, f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, donde f1 y f2 son funciones continuas en [a, b]
que verifican f1(x) ≤ f2(x), para cada x ∈ [a, b].
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 5
Si existen las integrales involucradas, se verifica:
2
1
, ,
y f xb
A a y f x
f x y dxdy f x y dy dx
Ejemplo. Calcular 2
A
x y dxdy ; siendo A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.
A es el conjunto x-proyectable. Aplicando la fórmula anterior se obtiene
1 1 3
2 2
0 0 0 03
y xx
A y
yx y dxdy x y dy dx xy dx
11 13 3 3 122
0 00 0
5
3 3 3 12 12
y x
y
y x x xxy dx x dx
Definición. (Conjuntos y-proyectables). Un conjunto A ⊂ R
2 se llama y-proyectable si es de la forma
A = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, g1(y) ≤ x ≤ g2(y)}, siendo g1 y g2 funciones continuas en [c, d] que verifican
g1(y) ≤ g2(y), para todo y ∈ [c, d].
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 6
Gráficamente, los conjuntos y-proyectables tienen la forma que se ve en la figura. Igual que en el caso
anterior, si existen las integrales involucradas se verifica:
2
1
, ,
y f xb
A a y f x
f x y dxdy f x y dy dx
Cambio de variables en la integral doble
Al igual que en el caso unidimensional, existe una fórmula de cambio de variables para la integral
múltiple. Para abordar esta fórmula para el caso de la integral doble, debe recordarse el enunciado en el
caso de una variable.
Teorema. (Cambio de variables en la integral doble).- Sea A ⊂ R2 un conjunto medible y consideremos
el cambio de variables definido por
u : (x1, x2) → (u1(x1, x2), u2(x1, x2)).
Si u es diferenciable con continuidad, inyectiva y su jacobiano, ∂(u1,u2)/∂(x1,x2) , no se anula en A,
entonces se verifica la igualdad
Obervaciones:
1. El Teorema es cierto aún en el caso de que el jacobiano se anule en un conjunto de área 0.
2. Cuando u′ = 0, en el Teorema relativo al cambio de variable en la integral unidimensional no se
exige que u sea inyectiva en [a, b]. Pero, nótese que u es estrictamente creciente o decreciente y, por
tanto, es forzosamente inyectiva. Si se tiene ésto presente, se ve que la fórmula de cambio de variables
para la integral doble presenta una gran analogía con la correspondiente del caso de una variable,
basta sustituir u′(x) por det(u′(x1, x2)) = ∂(u1,u2)/∂(x1,x2).
Ejemplo. Calcular
2 2
B
x y dxdy
siendo B = {(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x
2 + y
2 ≤ 4}.
La forma del conjunto B aconseja realizar el cambio de las coordenadas cartesianas por las polares:
x = ρ · cos ω, y = ρ · sen ω. La función vectorial que cambia de coordenadas está definida por
(ρ, ω) ∈ [1, 2] × [0, 2π] → (x, y) = (ρ · cos ω, ρ · sen ω) ∈ B.
Es fácil convencerse de que transforma biunívocamente el conjunto A = [1, 2] × [0, 2π] sobre B (basta
tener en cuenta que ρ2 = x
2 + y
2, por lo que las coordenadas polares, (ρ, ω), de cualquier punto (x, y) ∈ B
tienen que verifiar las relaciones 1 ≤ ρ ≤ 2 y 0 ≤ ω ≤ 2π). Si se aplica la fórmula de cambio de variables de
dereha a izquierda:
2 2 2
,
,B A
x yx y dxdy d d
2 2 2
3 3
0 1 0
15 15
4 2A
d d d d d
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 7
La integral triple
Dada la gran analogía entre las
integrales doble y triple, en este apartado
se va a hacer un desarrollo rápido de la
integral triple con un detenimiento
especial en las técnicas, que por ser más
propias de la integral triple, lo requieran.
I) Sumas de Riemann. El punto de
partida es el concepto de intervalo
tridimensional. Se llama así a un conjunto
de la forma
I = [a, b] × [c, d] × [e, f].
Se trata de un paralelepípedo con caras
paralelas a los planos coordenados. Si,
sobre cada eje, dividimos los intervalos
[a, b], [c, d] y [e, f] en partes iguales de
longitud Δx, Δy y Δz, respectivamente, los
planos paralelos a los planos coordenados
pasando por los puntos de división
producen una malla con celdas de
dimensiones Δx × Δy × Δz.
El volumen de cada celda es Δx · Δy · Δz. Dados un conjunto acotado A ⊂ R3 y una función acotada
f : A → R, denotando por C1, ..,Cn las celdas que interceptan al conjunto A. Escogido en cada una de ellas
un punto (xi, yi, zi) ∈ A, se define la suma de Riemann como:
1
, , , , ,n
i i i
i
S f x y z f x y z x y z
Obsérvese que cada sumando es el producto del volumen de una celda Ci por el valor de f en un punto
de Ci ∩ A.
La figura siguiente puede ayudar a comprender mejor el significado geométrico.
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 8
II) Definición de la integral triple. De forma análoga al caso de la integral doble, se dirá que f es
integrable en A si existe el límite (y es finito) de las sumas de Riemann y dicho límite se denota por
, ,A
f x y z dxdydz
Cuando existe la integral
1A
dxdydz
el conjunto A se llama medible. Se va a mostrar que la integral anterior representa el volumen del
conjunto A. Para ello, consideramos una malla con Δx, Δy y Δz pequeños e interpretamos
geométricamente la suma
1
, ,n
i i i
i
f x y z x y z
En este caso la función integrando es constantemente igual a 1, por tanto, la suma tiene la forma
1
, , ,n
i
S f x y z x y z
Es decir, una suma de Riemann es exactamente la suma de los volúmenes de todas las celdas que cortan
al conjunto A y, por tanto, representa una aproximación (por exceso) al volumen de A.
Esta aproximación mejora tanto más en cuanto más fina es la malla.
Los subconjuntos A de R3 medibles son los únicos para los que tiene sentido considerar la integral triple
, ,A
f x y z dxdydz
Las propiedades de esta integral son las mismas que ya se han visto al estudiar la integral doble, con los
cambios oportunos.
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 9
III) Cálculo de integrales triples. Los conjuntos más simples que se pueden considerar son los que se
denominarán proyectables.
1) Conjuntos xy-proyectables.
Un conjunto A se llama xy−proyectable si es de la forma {(x, y, z) : (x, y) ∈ D, g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)},
donde D ⊂ R
2 es medible y g1, g2 : D ⊂ R
2 → R son dos funciones continuas que verifican
g1(x, y) ≤ g2(x, y), para cada (x, y) ∈ D. Nótese que A está formado por los segmentos paralelos al eje OZ
que tienen sus extremos en sendos puntos de las superficies z = g1(x, y) y z = g2(x, y). Es fácil probar que
la integral sobre A se calcula como sigue
2
1
, , , ,
z g x
A D z g x
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy
en el caso de que existan las integrales involucradas (lo que ocurre, por ejemplo, si f es continua en A
salvo, a lo sumo, en un conjunto de puntos con volumen 0).
De forma similar se procede para calcular una integral triple sobre un conjunto xz-proyectable (caso II), e
yz-proyectable (caso III).
Ejemplo. Calcular el volumen del conjunto limitado por las superficies z = x2 + y
2 y x
2 + y
2 + z
2 = 2
(interior al paraboloide).
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 10
z = x2+y
2 es un paraboloide con eje de revolución el eje OZ y x
2+y
2+z
2 = 2 es una superficie esférica de
centro el origen y radio √2. En la figura se ha representado gráficamente el conjunto intersección de A con
el primer octante, que denotamos por B. El volumen pedido viene dado por
( ) 4 1B
vol A dxdydz
B es xy−proyectable sobre el conjunto D. Por tanto, se puede calcular vol(A) como sigue
2 2
2 2
2
2 2 2 2
( ) 4
4 2
z x y
D z x y
D
vol A dz dxdy
x y x y dxdy
Como ayuda al cálculo de la integral doble anterior,
se puede representar gráficamente el conjunto D en
una figura aparte. Por la forma del conjunto D y del
integrando, es conveniente hacer un cambio a
coordenadas polares. Si (x, y) es un punto de D y (ρ,
ω) son sus coordenadas polares, entonces (ρ, ω)
pertenece al conjunto T = [0, 1] × [0, π/2 ] y
viceversa. Por tanto, la integral doble se convierte en
2 1
2 2
0 0
( ) 4 2
7 8 2
6
vol A d d
IV) Cambio de variables en la integral triple.
Teorema. Sea A ⊂ R3 medible y consideremos el cambio de coordenadas definido por
u(x1, x2, x3) = (u1(x1, x2, x3), u2(x1, x2, x3), u3(x1, x2, x3)),
siendo u diferenciable con continuidad en A, inyectiva y con jacobiano ∂(x1,x2,x3)/∂(u1,u2,u3)
no nulo. Si f está definida y es continua en u(A), entonces se verifica la igualdad
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
( )
, ,, ,
, ,
, ,
A
u A
x x xf u x x x dx dx dx
u u u
f u u u du du du
Nota. El Teorema es cierto aún en el caso de que el jacobiano se anule en un conjunto de volumen 0.
Ejemplo. Calcular
A
xydxdydz , siendo A el conjunto limitado por el cilindro x2 + y
2 = 1 y los planos
z = 0 y z = 2.
En este caso, lo apropiado es un cambio a cilíndricas. Si P(x, y, z) es un punto que pertenece al conjunto
A, entonces su proyección sobre el plano OXY es el punto de coordenadas (x, y, 0), que pertenece al
círculo de centro el origen y radio 1. Por tanto, sus coordenadas polares (ρ, ϕ) verifican: 0 ≤ ρ ≤ 1 y
0 ≤ ϕ ≤ 2π. Es decir, cuando (x, y, z) recorre el conjunto A, la terna (ρ, ϕ, z) recorre el intervalo
tridimensional I = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 2]. Luego la integral triple se transforma de la forma siguiente
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 11
2
2 2 1
3 3
0 0 0
, ,cos
, ,
1cos 2 0
2
A I
I
x y zxydxdydz sen d d dz
z
sen d d dz sen d d dz
Ejemplo. Calcular
A
zdxdydz , siendo A el primer octante de la esfera unidad.
Si (x, y, z) pertenece al primer octante de la esfera unidad, entonces la terna (r, ϕ, θ) pertenece al intervalo
tridimensional I = [0, 1] × [0, π/2 ] × [0, π/2 ]. Por tanto, la integral se transforma como sigue
2
3
, ,
, ,
cos16
A I
I
x y zzdxdydz sen d d d
sen d d d
Aplicaciones de la integral m_ultiple
I) Cálculo de áreas y volúmenes.
a) Cálculo de áreas. El área de cualquier conjunto acotado A ⊂ R2 puede determinarse mediante una
integral doble. Con anterioridad, se ha mostrado que
1A
dxdy
representa el área del conjunto A, caso de que la integral exista y entonces A se llama medible.
b) Cálculo de volúmenes. Podemos determinar el volumen de cualquier subconjunto acotado A ⊂ R3 por
medio de una integral triple. Concretamente, se ha mostrado que vol(A) viene dado por
1A
dxdydz
caso de que exista la integral y entonces A se llama medible. El volumen de algunos conjuntos puede
calcularse también mediante una integral doble. Al comienzo del tema, se ha visto que
,A
f x y dxdy
es el volumen del cuerpo cilíndrico cerrado por arriba por la superficie z = f(x, y) y por la porción del
plano OXY que determina el conjunto A (si f(x, y) ≥ 0).
II) Aplicaciones a las ciencias experimentales.
a) Masa de un sólido con densidad variable. Supóngase que en cierto sólido A ⊂ R3, la masa no está
distribuida homogéneamente y que se conoce la densidad ρ(x, y, z), entonces la masa M del sólido viene
dada por
, ,A
M x y z dxdydz
Si ρ (x, y, z) es constante e igual a ρ, entonces
1 . ( )A A
M dxdydz dxdydz vol A
Matemáticas 1º Grado en CC. Químicas Integración múltiple
Alberto Vara 12
b) Soluciones no homogéneas. Considérese un depósito que contiene cierta solución no homogénea, es
decir, la concentración de soluto no es constante sino que es cierta función C(x, y, z). Si el interior del
depósito tiene la forma de cierto conjunto A ⊂ R3, la cantidad de soluto que contiene el depósito viene
dada por
, ,A
C x y z dxdydz
c) Las coordenadas del centro de masas del sólido A vienen dadas por
, ,
,, ,
, ,
,, ,
, ,
, ,
AC
A
AC
A
AC
A
x x y z dxdydz
xx y z dxdydz
y x y z dxdydz
yx y z dxdydz
z x y z dxdydz
zx y z dxdydz
Top Related