DIGITALIZACION DE LA MATERIA

NUMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son operaciones de la forma: a+bi; con a, b (Números Reales) y la expresión “i” que cumple lo siguiente: i=√−1 ; i2

Ejemplos:

1) α= 2+3i2) β= -1+5i

3) ε= -3+12 i

4) 7i5) 4

Igualdad de números complejos

a+bi= c+di ≡ a=c; b=d

Ejemplos guía numero 13:

Ejercicio 18

2+3i=x+yi ≡ 2=x; 3=y x=2; y=3

Ejercicio 19

6+yi=x-6i ≡ 6=x; y=-6 x=6; y=-6

Ejercicio 20

(-2-7i)-3= x-(-1+yi) ⇔ -5=x+1; -7=-y -5-7i=x+1-yi x=6; y=7

Operaciones con números complejos

Suma y Resta de números complejos: Para sumar o restar números complejos se simplifica términos semejantes.

1) (9-5i)+(8+9i)=9+5i+8+9i=17+4i

2) (-7+5i)-9=-7+5i-9=-16+5i

3) (5-i)+(6-√−6)=5-i+6-√6 i

=11-(1+√6¿

Multiplicación de números complejos: Se multiplica como el binomio de dos productos de cual es quiera.

1) 4i(3-8i)= 12i - 32i2

=12i -32(-1)=32+12i

2) (3+6i)(4+9i)= 12 +27i+24i+54i2

=12+51i+54(-1)=-42+51i

División de números complejos: Se debe multiplicar el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Conjugado ≡ α= a+bi; ἆ= a-bi

Ejemplo:

29) 6−7 i5+2 i =

6−7 i5+2 i ¿

5−2 i5−2 i=

30−12 i−35 i+14

25−10 i+10 i−4 i2=−47 i

29

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables); y números (constantes); relacionados mediante operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación).

Ejemplos:

1) 2 x3−x2=x−1 2) x2+1 3) 7 y2−x2

Términos: Los términos son cantidades separadas por signos (+ o -).

Ecuaciones y Desigualdades

Ecuaciones Lineales: Son ecuaciones de la forma ax+b=0, donde a y b son números reales y a≠0.

ax + b = 0 →

↓

Ejemplo:

1) 5 x−3=0

2) 3m+12=0

3) 7 y2−x2

1er. Termino

2do. Termino

Resolución de un Ecuación de 1er. Grados:

Fundamento:

1) x+a=0≡x=−a 2) x−a=0≡x=a

3) ax=1≡x=1/a

4) x /a=1≡ x=a

- Se realizan las operaciones que tenga la expresión hasta expresarla en la forma ax+b=0

Ejercicios guía 14

Determine si el valor dado es solución de la ecuación. Responda SI o NO

1) 8 x−10=14 ; x=3

¿8 x=24≡ x=3

2) 10k−6=4 ; x=3 ¿10 x=10≡k=1

Despejar de la formula dada la incógnita indicada.

17) C=2π r ; Despejar r

C2π

=r

Inecuaciones de 1er Grado en una variable

Son desigualdades de la forma ax+b<0; ax+b≥0

ax + b > 0 →

↓

Fundamentos:

1) x+a>0≡ x>−a

2) x−a>0≡x>a

3) ax>1 ;(a>0)≡x>1/a

4) ax>1 ;(a<0)≡x<1/a

5)xa>1 ;(a>0)≡ x>a

6)xa>1 ;(a<0)≡ x<a

7) −a>−b≡a<b

Ejemplos:

1) 3x−2>0

2) 3 x−2<0

3) −2 x+4≥0

4) x<5

1er. Miembro

2do. Miembro

Resolución de Inecuaciones de 1er Grado con 1 variable.

1) Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta dejarla en la forma ax+b¿0.

2) Se despeja x

Ejemplos:

1) 3x−2>0

3x ¿2

X ¿23

Solución = (23 ;+ ∞)

S=

-∞ 2/3 +∞

2) -2x+4≥0

-2x ←4

X ¿2

Solución = (-∞; 2]

S=

-∞ 2 +∞

Inecuaciones con valor Absoluto

Fundamento

1) |x|≤a≡−a≤ x≤a

2) |x|≥a≡x≥a o x≤−a

Ejemplo:

Resolver: |2 x−3|≤5

=−5≤|2x−3|≤5

¿−5≤|2 x−3|≤5

¿−5+3≤|2x|≤5+3

¿−2≤|2 x−3|≤8

¿−22≤|x|≤ 8

2

¿−1≤ x≤ 4

Solución = [-1; 4]

S=

-∞ - 1 4 +∞

2da. Inecuacion

1era. Inecuacion

|b−7|>2≡|b−7|>5

¿b−7>2∪b<5

¿b>12∪b<2

Solución = (-∞,2)∪ (12 ,+∞ )

S=

-∞ -2 12 +∞

Guía 16

Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.

3) x2=−6 x+16

=x2+6 x−16=0

= (x+8) (x-2) = 0

X1= -8 X2=2

S= {-8,2}

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de raíz cuadrada.

9) 5 x2=20

=x2=4

=√ x2=±√4

X1= 2 X2=-2

S= {2,-2}

Resolver las ecuaciones cuadráticas completando el trinomio cuadrado perfecto.

17) x2+4 x=3

x2+4 x+4=3+4

=√(x+2)2=±√7

¿ x+2=±√7

= x=−2±√7

X1= −2±√7 X2=2±√7

S= {−2±√7 ,2±√7}

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando la formula general

21) x2+3x−10=0

A= 1

B= 3

C= -10

x=−b±√b2+4 ac2a

x=−3±√32+4(1)(−10)

2(1)

x=−3±√492

x=−3±72

X1= −3+7

2=4

2=2 X2=

−3−72

=−102

=−5

S= {2 ,−5}

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA EN 2 VARIABLES

Fundamento:1) Forma de la ecuación:

y=a x2+bx+c

- La grafica siempre es una parábola.2) sí “a” es “+” entonces la parábola se abre hacia arriba.

3) sí “a” es “-“ la parábola se abre hacia abajo

- La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente formula

Xy=−b2a

Ejercicios Guía 17

1) y=x2+6 x+8 “a” es “+” la parábola se abre hacia arriba.A=1 y=a x2+bx+cB=6 y=(−3)2+6(3)+8C=8 y=−1

Xy=−62

= 3 V=(−3 ,−1)

Interceptos con el eje “x”

y=0

0¿ x2+6 x+8 ≡ 0=(x+4)(x+2)

X 1=−4 X 2=−2

Ejercicios Guía 17

3¿ y=−x2+2 x+8 “a” es “-” la parábola se abre hacia abajo.A=1 y=a x2+bx+cB=6 0=(−1)2+2(1)+8C=8 0=9

Xy=−22

= -1 V=(1,9)

Interceptos con el eje “x”

y=0

0¿−x2+2x+8 ≡ 0=(x−4)(x+2)

X 1=4 X 2=−2

VALOR ABSOLUTO

Definición:

El valor absoluto de un número real “a” se representa left lline a right rlin” y se obtiene de la siguiente forma

|a|={a , si a≥0 ;−a , si a≤0 }

Ejemplo:

1¿|5|=5

¿5=5∨

2¿|−7|=−(−7)

¿7=7∨

- Resuelta la ecuación determine si no tiene soluciones

Ejercicios Guía 17

X 1=7

S= {7 ,−7 }

10¿|x|=7

X 2=−7

Comprobación

- |7|=7

- |−7|=− (−7 )

X 1=|4 x|+8=5≡X 1= 34

13¿|4 x|+8=5

X 2=|4 x|+8=−5≡ X2=−134

S= {34,−13

4}

NOTA: El valor absoluto se debe comprobar necesariamente.

SOLUCION DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

x−2=3≡ x=5

|x−2|=3

x−2=−3≡ x=−1

S= {5 ,−1}

Comprobación

- |x−2|=3≡|5−2|=3≡3=3

- |x−2|=3≡|−1−2|=3≡3=3

SOLUCION GRAFICA “IGUALAMOS A “Y” “

y=|x−2| y=3

x y-2 30 32 34 35 36 3x y-2

y=|−2−2|=¿ 4

-1

y=|−1−2|=¿ 3

0 y=|0−2|=¿ 2

1 y=|1−2|=¿ 1

2 y=|2−2|=¿ 0

3 y=|3−2|=¿ 1

4 y=|4−2|=¿ 2

5 y=|5−2|=¿ 3

6 y=|6−2|=¿ 4

ECUACIONES RACIONALES

Se debe excluir los valores divisores para “x” que dan cero en el ejercicio.

INECUACIONES POLINOMIALES: Son ecuaciones de la forma P ( x )>0o P (x )<0 ,P ( x )≥0o P ( x )≤0 ; donde P(x) es un polinomio.

Ejemplo:

1. (X+5) (X+3) ¿0

2. (2X-3) (X+2)(X+1)(X-4) ≤0

3. x3−x2−3 x+3≥0

SOLUCION DE UNA ECUACION POLINOMIAL:

Método Abreviado: El método se aplica a inecuaciones polinomiales comparados con cero, en las que todas las variables tienen coeficientes positivos.

PROCEDIMIENTO:

1. Se ubica en la recta numérica dados los valores que hacen cero a cada factor de 1er grado, con lo que la recta numérica queda dividida en intervalos.

2. Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el “+”, “-“.

3. Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la inecuación sea ¿0 ,<0 cuando es ≤ ,≥ se incluyen los extremos de los intervalos.

NOTA: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares, no influyen en la respuesta y pueden ser omitidos.