IV. UNDE ELASTICE
cc
IV. UNDE ELASTICE
r
c c
r
Unde longitudinale in fluide si solide:
Unde transversale in solide:
Unde de suprafata in lichide:
Exemple de tipuri de unde
IV. UNDE ELASTICE
La propagarea undei logitudinale in fluide, deplasarea (x) a particulelor determina fenomene de dilatare si contractie => modificare a densitatii locale,
cu excesul de densitate = 0 (
IV. UNDE ELASTICE
2.2. Unde longitudinale n solide
2 2
2 2 2
10 8
x c t
Ecuatia de propagare pentru deplasarea :
unde
este viteza de faza a undelor logitudinale in solide
(E - modul de elasticitate Young, iar - densitatea)
9c E /
x + d x
( x )d x
x x
c
( S )
( x + d x )
d
2.3. Unde transversale n solide
Ecuatia de propagare pentru deplasarea :
unde
este viteza de faza a undelor logitudinale in solide
(G - este modul de torsiune,
iar - densitatea)
11c G /
2 1 12G E /
2 2
2 2 2
10 10
x c t
d x
d x'
( x )
( S )
d m
c
x
IV. UNDE ELASTICE
2.4. Unde monocromatice plane
, p , Notam cu - functia de unda si .
Forma generala a ecuatiei diferentiale a undelor :
2
2 2
10 13
c t
2 2 2
2 2 2operatorul Laplace
x y z
unde
2 2
2 2 2
10 14
x c t
Dac unda se propag pe direcia Ox atunci, din punct de vedere matematic operatorul lui Laplace se reduce la o derivat de ordinul II in raport cu x. Astfel ecuaia diferenial general a undelor va fi de forma:
1 2 15x x
x,t t tc c
Solutia ecuatiei (14):
unde reprezinta undele progresiva si regresiva. 1 2si
xS
1 2
01
,2
2
22
2
tcxxx
IV. UNDE ELASTICE
Dac perturbaia produs de sursa S este o perturbaie armonic (sinusoidal) ,
atunci expresia funciei de und pentru unda progresiv va fi tot de form sinusoidal:
16S t Acos t
17x
x,t Acos tc
Unda prezint o periodicitate temporal de perioad T:
Unda prezint de asemenea si o periodicitate spatiala cu lungimea de unda :
18x x
Acos t T Acos tc c
2
19T
20x x
Acos t Acos tc c
221
cc T
A
- A
t
T
x = c t
t = c t
x
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
IV. UNDE ELASTICE
(17)
IV. UNDE ELASTICE
Obs.
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
complex.
IV. UNDE ELASTICE
2.4. Unde monocromatice sferice
Ecuatia diferentiala a undelor sferice:
2 2
2 2 2
10
r c r
pentru
r,t r r ,t
Solutia ecuatiei:
A
r,t cos t krr
rktier
Atr
,~
(32)
(33)
(34)
(35)
c
rtA
c
rt
rtr cos
1,
IV. UNDE ELASTICE
3. Mrimi energetice specifice undelor elastice 3.1. Densitatea de energie
- Procesul de propagare a undelor este nsoit de un transport de energie, numit energia undei.
- Considerm un element infinitezimal al mediului considerat de volum dV. Aceast poriune al mediului va avea o energie suplimentar:
1dW dT dU - Excesul de energie cinetic asociat elementului de volum dV si masa dm=0dV (unde 0 este densitatea) aflat n micarea ondulatorie cu viteza v, va fi:
2 201 1
22 2
dT dm v v dV
- Excesul de energie potenial apare ca urmare a comprimrii sau dilatrii elementului de volum respectiv. Comprimarea (sau dilatarea) vor determina o
modificare a densitii fluidului i o modificare dV a elementului de volum n raport cu valorile 0 i dV pentru starea cnd prin mediu nu se propag unde. Datorit conservrii masei dm=dm , se poate scrie:
0 0dV dV dV ;
0Pentru : dV dV ', ' dV 0
dV dV
IV. UNDE ELASTICE
- Energia potenial elementar dU poate fi scris ca fiind egal cu lucrul mecanic al forelor de presiune suplimentara medie, Cu relatia , rezulta:
0 2 2medp p' / p'/
2
2
0 0
32 2
med
p pdU p dV dV dV
c
- Eenergia mecanic total suplimentar a elementului de volum dV va fi:
2 2
2 2
0 02 2
0 0
1 1 14
2 2 2
p pdW v dV dV v dV
c c
- Densitatea de energie locala a mediului va fi:
2
2
0 2
0
15
2
dW pw v
dV c
3.2. Intensitatea undelor elastice
Definitie: Intensitatea undelor elastice este o marime fizica numeric egala cu energia transportata de unda in
unitate de timp prin unitate de suprafata a mediului,
normala pe directia de propagare
6W
IS t
Fig. 1
c :
2p c
IV. UNDE ELASTICE
Energia W transportata de unda in timpul t prin suprafata S se regaseste in
volumul V=Sc t. Rezulta:
7W w V
I c wS t S t
Pentru unde monocromatice plane:
0
9 10mmp
p t p' cos t kx ; v t,x cos t kxc
Cu formula de mediere temporala a functiei periodice de perioada T:
Unde densitatea de energie medie a undei este
2
2
0 2
0
18
2
dW pw v
dV c
2 20
1 1
2
T
cos t kx cos t kx dtT
densitatea de energie medie a undei devine
2
2
2
0
11mp
w cos t kxc
Rezulta
2
2
0
122
mpwc
IV. UNDE ELASTICE
Iar intensitatea undei este: 22
0 0
132
efmpp
Ic c
Obs. Pentru unde monocromatice sferice:
2
0
2 2
0
116
2
mp II c wc r r
unde 2
0
02
mpIc
reprezint intensitatea undei emis de sursa undei.
3 2
2
0
142
mm
c 'I '
2 2 2 20
115
2I c A ,A
2
0 0m m m mp' c ' si p' c v c A Cu relatiile:
rezulta pentru intensitatea undelor plane monocromatice expresiile alternative:
unde reprezinta presiunea efectiva sau acustica. 2ef mp p /
~
~ ~
Marimea Z=0c se numeste impendata acustica specifica
Top Related