Micii

MATEMATICIENI

Revista elevilordinHîrlãu

Liceul Teoretic “Ştefan Cel Mare” – Hîrlău

Anul III, nr. 3, martie 2009Micii Matematicieni (Online) - ISSN 2344 - 4827

Acela-i matematician pentru care egalitatea 2x

e dx π+∞

−

−∞

=∫

este evidentă ca " 2 × 2 = 4 ". W. Thompson (lord Kelvin)

MiciiMiciiMiciiMicii MATEMATICIENIMATEMATICIENIMATEMATICIENIMATEMATICIENI

RevisRevisRevisRevista elevilor din Hîrlăuta elevilor din Hîrlăuta elevilor din Hîrlăuta elevilor din Hîrlău Anul IIAnul IIAnul IIAnul III, nr. 3, martie 2009I, nr. 3, martie 2009I, nr. 3, martie 2009I, nr. 3, martie 2009

REDACŢIA REVISTEI

Redactor şef: Ioan Săcăleanu

Membrii redacţiei:

Aurel Neicu Gheorghe Oancea

Constantin Nastase Teodora Dana Pavel

Adresa redacţiei: LICEUL TEORETIC „ŞTEFAN CEL MARE” HÎRLĂU,

Str. Mihai Eminescu, nr.5,

Tel/Fax 0232/720911,

web: http://hirlau.licee.edu.ro

adresă e-mail: cicisme68@yahoo.com

aneicu@gmail.com

exam_scelmare@yahoo.com

Tehnoredactare: Anda Maria Georgescu

Ilustraţia copertei: Mara Neicu, Emilian Gabriel Săcăleanu

Sponsorii revistei:

ASOCIAŢIA PĂRINŢILOR “ ŞTEFAN CEL MARE” HÂRLĂU

CONSILIUL LOCAL AL ORAŞULUI HÂRLĂU

PRIMARIA ORAŞULUI HÂRLĂU

S.C. COTNARI S.A.

S.C. BEST COLOR S.R.L.

C.M.I. DR. STELA NEICU

ISSN-L 1844-153X

Micii MATEMATICIENI

1

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

Asupra unor probleme de analiză reală şi complexă

Teoodor Bulboacă Multe rezultate din analiza complexă sunt surprinzătoare şi cel puŃin ciudate

pentru cel ce învaŃă această disciplină, fiind familiarizat numai cu noŃiunile, rezultatele şi metodele de investigaŃie din analiza reală(în Rn, n≥ 1).

Nu vom enumera aceste definiŃii, rezultate fundamentale sau consecinŃe ale acestora - unele cu profunde implicaŃii în analiza matematică, în algebră, dar şi în alte ramuri ale matematicii - care par surprinzătoare la prima vedere, ci ne vom mărgini doar la două probleme interesante, foarte uşor de abordat, şi anume: forma slabă a teoremei lui Lagrange şi numărul de puncte fixe pentru aplicaŃii de tip Brower. 1.TEOREMA LUI LAGRANGE.

Teorema de medie a lui Lagrange din analiza reală nu are loc în cazul funcŃiilor complexe de o variabilă reală. Astfel, fie funcŃia [ ]: ,f a b C→ definită prin relaŃia

( ) 2 3f t t it= + , unde a b< . Să presupunem că există ( ),c a b∈ , astfel încât

( ) ( ) ( )'( )f b f a f c b a− = − , adică ( )( )2 3 2 3 22 3 .b ib a ia c ic b a+ − − = + − De aici,

obŃinem că ( )( )

3 3 2

2 2

3

2

b a c b a

b a c b a

− = ⋅ −

− = ⋅ −⇔

2 2 23

2

b ab a c

b a c

+ + =

− =, de unde deducem

22 2 3

2

a bb ab a

+ + + =

( )22 2 24 4 4 3 6 3 0b ab a a ab b b a⇔ + + = + + ⇔ − = , adică a b= ,

contradicŃie. În schimb, este adevărată următoarea aşa-numită formă slabă a teoremei de medie

a lui Lagrange: Teorema 1.1. Dacă funcŃia [ ]: ,f a b C→ este continuă pe [ ],a b şi este derivabilă pe

( ),a b , atunci există ( ),c a b∈ şi există , 1,Cσ σ∈ ≤ , astfel încât

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ;i f b f a f c b a− ≤ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).ii f b f a f c b aσ ′− = −

DemonstraŃie. Dacă funcŃia f este de forma ( ) ( ) ( )f t t i tα β= + , atunci

( ) ( ) ( ) ( ), , .f t t i t t a bα β′ ′ ′= + ∈ Vom defini funcŃia

[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ): , , .a b R t b a t b a tϕ ϕ α α α β β β→ = − + −

Deoarece funcŃia ϕ este continuă pe [ ],a b şi este derivabilă pe ( ),a b , şi întrucât este o

funcŃie reală de o variabilă reală, conform teoremei de medie a lui Lagrange rezultă că

( ),c a b∃ ∈ , astfel încât ( ) ( ) ( )( ).b a c b aϕ ϕ ϕ′− = −

Pe de altă parte, un calcul simplu ne arată că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2

1.1 b a b a b a f b f aϕ ϕ α α β β− = − + − = − şi

Micii MATEMATICIENI

2

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1.2 ,c b a c b a cϕ α α α β β β′ ′ ′= − + −

de unde, cu ajutorul inegalităŃii lui Cauchy-Schwarz-Buniakovski, obŃinem că

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ,c b a b a c c f b f a f cϕ α α β β α β′ ′ ′ ′≤ − + − + = −

adică ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.3 .c f b f a f cϕ′ ′≤ −

Din relaŃiile (1.1) şi (1.2), folosind inegalitatea (1.3), deducem că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

f b = b - a = c b-a b-a f b f c , f a f aϕ ϕ ϕ′ ′− ≤ − deci avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1.4 .f b f a b a f b f a f c′− ≤ − −

Dacă ( ) ( )f b f a≠ , din (1.4) prin simplificare, obŃinem inegalitatea

( ) ( ) ( ) ( ).f b f a f c b a′− ≤ −

Evident că inegalitatea (i) din enunŃ este adevărată şi în cazul în care

( ) ( ) ,f a f b= şi astfel primul punct al teoremei este demonstrat.

Presupunând că ( ) ( ) ,f b f a= atunci putem lua în relaŃia a doua din concluzia

teoremei 0.σ = Dacă ( ) ( ) ,f a f b= din prima inegalitate a teoremei rezultă ( ) 0,f c′ ≠ şi astfel

( )( ) 0.f c b a′ − ≠ Fie ( ) ( )( ) ( )

,f b f a

Cf c b a

σ−

= ∈′ −

unde 1σ ≤ , conform punctului (i) al

teoremei, iar prin înmulŃire cu ( ) ( )f c b a′ − obŃinem egalitatea din a doua parte.

Se observă că numărul Cσ ∈ nu este neapărat 1, ca şi în cazul teoremei lui Lagrange pentru funcŃiile reale, ci 1σ ≤ , adică σ este în închiderea discului unitate

( ) { }0;1 : 1 .U z C z= ∈ <

2. O PROBLEMĂ DE "PUNCTE" FIXE Este bine cunoscută teorema de punct fix a lui Brower din analiza reală, şi

anume dacă funcŃia [ ] [ ]: , , , ,f a b a b a b→ < este continuă pe [ ],a b , atunci există

[ ],c a b∈ astfel încât ( ) .f c c= Un astfel de element c D∈ din domeniul de definiŃie

al unei funcŃii :f D X→ , pentru care ( )f c c= , se numeşte punct fix al aplicaŃiei f.

Teorema de punct fix a lui Brower ne arată existenŃa unui astfel de punct fix, dar nu ne furnizează nici o informaŃie asupra numărului de puncte fixe ale aplicaŃiei f. Este evident că funcŃia poate avea în condiŃiile date una, două sau mai multe puncte fixe, şi chiar toate punctele din domeniul de definiŃie [ ],a b pot fi puncte fixe, ca şi în cazul funcŃiei date de relaŃia ( ) .f x x=

Pentru funcŃiile complexe de o variabilă complexă avem un rezultat deosebit, pentru demonstraŃia căruia avem nevoie de următoarea lemă a lui Schwarz. Lema 2.1. Fie ( ) ( ): 0;1 0;1f U U→ o funcŃie olomorfă (adică derivabilă) în discul

unitate ( )0;1 ,U astfel încât ( )0 0.f = Atunci,

( ) ( ) ( ), 0;1 ;i f z z z U≤ ∀ ∈ ( ) ( )0 1.ii f ′ ≤

Micii MATEMATICIENI

3

Dacă există ( )0 0;1z U∈ ) astfel încât ( )0 0f z z= sau ( )0 1,f ′ = atunci ( ) ,f z cz=

unde , 1.c C c∈ =

În cazul funcŃiilor complexe de o variabilă complexă, vom vedea că dacă acestea sunt derivabile şi au două puncte fixe distincte, atunci toate punctele domeniului de definiŃie sunt fixe, adică ( ) .f z z= Astfel, avem următorul rezultat:

Teorema 2.1. Fie ( ) ( ): 0;1 0;1f U U→ o funcŃie olomorfă (adică derivabilă) în discul unitate ( )0;1 .U Dacă funcŃia f are două puncte fixe distincte, adică dacă există

( ), 0;1 , ,a b U a b∈ ≠ astfel încât ( )f a a= şi ( )f b b= , atunci ( ) ( ), 0;1 .f z z z U= ∀ ∈

DemonstraŃie. Pentru orice număr arbitrar 1a < , se arată uşor că funcŃia ( )1

z ah z

az

+=

+

cu ( ) ( ): 0;1 0;1 ,h U U→ bijectivă, iar inversa este ( ) ( )1 1: 0 ;1 0;1 , .1

z ah U U h

a z− − −

→ =−

Atunci 1g h f h−= � � este olomorfă în ( )0;1 ,U având proprietăŃile

( ) ( )( ) ( )1 10 0g h f a h a− −= = = şi ( ) ( )1, 0;1 .g z z U< ∀ ∈ De aici, conform lemei lui

Schwarz, obŃinem ( ) ( ), 0;1 .g z z z U≤ ∀ ∈ Deoarece observăm că

( )( ) ( )1 1 ,1 1

b a b ag h f b h b

ab ab− −− − = = = − −

folosind încă odată lema lui Schwarz, deducem că ( ) ( ), 0;1g z cz z U= ∈ unde 1.c =

Deoarece există ( )0 0;11

b az U

ab

−= ∈

− astfel încât ( )0 0g z z= , obŃinem 1c = , deci

( ) ( ), 0;1 .g z z z U= ∀ ∈ Rezultă ( )( ) ( ) ( ), 0;1 ,f h z h z z U= ∀ ∈ şi deoarece funcŃia

( ) ( ): 0;1 0;1h U U→ este bijectivă, avem în final ( ) ( ), 0;1 .f z z z U= ∀ ∈

MenŃionăm că rezultatele prezentate mai sus pot fi abordate folosind cunoştinŃe relativ restrânse de analiză, însă există o multitudine de astfel de probleme, unele cu rezolvări foarte pretenŃioase, care nu au corespondenŃe în analiza reală.

BIBLIOGRAFIE

[1] T. Bulboacă, S. Nemeth, Komplex Analızis, Editura Abel, Cluj-Napoca, EdiŃia a III-a (revizuită şi adăugită), 2004, 228+vii pag., ISBN 973-7741-34-X

[2] T. Bulboacă, S.Nemeth, Komplex Analızis II. Feladatok es megoldasok, Editura Abel, Cluj-Napoca, EdiŃia a II-a (revizuită şi adăugită), 2007, 304+iii pag., ISBN 978-973-114-048-3

Profesor Doctor , Facultatea de Matematică şi Informatică, Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj-Napoca,

E-mail: bulboaca@math.ubbcluj.ro

Micii MATEMATICIENI

4

Notă matematică

Petru Asaftei

La Oimpiada NaŃională de Matematică, Iaşi, 2006, a fost dată următoarea problemă: “ Triunghiul ascuŃitunghic ABC are unghiul C cu măsura de 045 . Punctele 1A şi 1B sunt

picioarele înălŃimilor din A şi B, iar H este ortocentrul triunghiului. Considerăm punctele D şi E situate pe segmentele [ ]1AA şi respectiv [ ]BC cu proprietatea

că 1 1 1 1A D A E A B= = . Să se demonstreze că: a) 2 2

1 11 1 ;

2

AB ACAB

+= b) CH DE= . “

łinând cont de importanta problemelor date la ONM, merită să facem câteva reflexii în legatură cu problema prezentată mai sus. În cele ce urmează, păstrând datele acestei probleme, vom arăta că

�( ) 0) 45a m C = dacă şi numai dacă 1 1 2 ;AB AB= ⋅

�( ) 0) 45b m C = dacă şi numai dacă ;AB CH=

�( ) 0) 45c m C = dacă şi numai dacă ;AB DE=

�( ) 0) 45d m C = sau AB AC= dacă şi numai dacă 2 2

1 11 1 ;

2

AB ACAB

+=

Să argumentăm afirmaŃiile făcute:

a) “⇒ ”: 1 1CB A CBA△ ∼△ , de unde 1 1 1 1 1

2

B A CB CA

BA CB CA= = = , deci 1 1 2 .AB AB= ⋅

“ :⇐ ” � 01 1 12 , , 2, ( ) 45 .AB AB implica de exemplu AC AC deci m C= ⋅ = ⋅ =

b) “⇒ ”: 1 1 (1)CB H BB A△ ∼△ şi 1 1BC B B= ne dau 1 1CB H BB A≡△ △ , deci CH BA= .

“ :⇐ ”CH BA= şi (1) determină 1 1BC B B= , deci �( ) 045m C = .

c) “⇒ ”: În 1AE D△ avem 2 2 2 21 1 12 2ED AD AB AB= ⋅ = ⋅ = (conform a), deci ;AB DE=

“⇐ ”:În 1AED△ avem 1 12 2ED AE AD= ⋅ = ⋅ ,deci 1 1 2 aAB AB= ⋅ → �( ) 045m C =

d) “⇒ ”:dacă AB AC= atunci 1 1 1 1AB AC AB= = , deci 2 2

1 11 1 ;

2

AB ACAB

+=

dacă �( ) 045m C = , deci 11 1

AB BCAB

BC

⋅=

2 22 1

1 1 2

AB BCA B

BC

⋅⇒ = .

Cum 12BC BC= rezultă că ( ) ( )2

2 2 2 2 211 1 1 1 1 12

1

2

BCAB AC A B AC AB

BC= ⋅ + = ⋅ + , de unde

2 21 1

1 1 ;2

AB ACAB

+=

Micii MATEMATICIENI

5

“⇐ ”:2 2

2 2 21 11 1 1 1 1 12

2

AC ABAB A B AC AB

+= ⇔ = + 2 2 2 2

1 1 12 2A B AB AC A A⇔ = + − ,

care împreună cu 11 1

AB ACAB

AC

⋅= ne dă

2 22 2 21

122 2AB AC

AB AC A AAC

⋅= + − echivalent cu

2 2 2 2 4 2 21 12 2AB AC AB AC AC A A AC⋅ = ⋅ + − ⋅ ( ) ( )2 2 2 2

12 0AB AC AC A A⇔ − ⋅ − = ,

de unde discuŃia: 1) 2 2AB AC= , deci AB AC= ;

2) 2 212AC A A= , de unde 12AC A A= ⋅ , deci �( ) 045m C =

Profesor, Liceul pedagogic, Iaşi

CE ESTE NUMĂRUL Prof. RaŃă Costache, înv. RaŃă Maria

1. Un răspuns la întrebarea: Ce este numărul?

NoŃiunea de număr este o noŃiune fundamentală în matematică şi în aplicaŃiile

sale din diverse domenii. O dată cu formarea primelor structuri intelectuale iau naştere şi cele mai simple

idei matematice – ideea de întindere şi ideea de cantitate. Au fost necesari mulŃi ani de experienŃă ca aceste idei să se transforme în ideea geometrică de formă spaŃială şi în ideea aritmetică de număr.

ApariŃia celor mai simple activităŃi de producŃie a generat necesitatea de măsurare, de evaluare a mărimii obiectelor şi aceea de numărare a lor.

Urmele arheologice dovedesc incontestabil că omul a elaborat noŃiunile primare de aritmetică şi geometrie chiar în epoca de piatră. Omul a fost pus permanent în situaŃia de a efectua operaŃiide măsurare ca: numărare, cântărire, măsurarea suprafeŃelor, înregistrarea poziŃiei aştrilor cu ajutorul anumitor unghiuri etc. A apărut astfel necesitatea ca rezultatul unor operaŃii de măsurare să se exprime prin intermediul numerelor. În epoca primitivă, numărarea avea un caracter concret şi intuitiv.

Cu evoluŃia omenirii, numerele nu mai reprezintă aşa cum reprezentau de-a lungul istoriei, cu excepŃia lui Pitagora şi Platon, numărători concrete, ci încep să fie considerate noŃiuni abstracte. Matematicieni ca Leibnitz, Peano, Hilbert, Frege, Russel au considerat că numărul poate fi definit pe temeiul logicii matematice.

Întrebarea ,,Ce este numărul?” nu are un răspuns simplu, dar acest răspuns există.

Se poate începe, de exemplu, prin a răspunde că numărul nu este pur şi simplu o entitate abstractă ci o întreagă structură heterogenă, cuprinzând mai multe tipuri de numere (naturale, întregi, raŃionale, reale, complexe). Numerele naturale, întregi şi raŃionale au apărut de fapt în afara matematicii iar cele reale şi complexe sunt exclusiv opera matematicienilor. Aceştia au dovedit că numerele întregi, raŃionale, reale şi complexe se pot defini în mod riguros prin construcŃii algebrice obŃinute prin prelungiri având la bază numerele naturale.

Micii MATEMATICIENI

6

Astfel întrebarea ,,Ce este numărul?” se reduce la alta aparent mai simplă, dar

mult mai dificilă şi anume: ,,Ce este numărul natural”. Numerele naturale nu sunt un bun exclusiv al matematicii; prin geneza lor şi prin

rolul pe care îl deŃin în viaŃa practică, ele au un caracter experimental. Copiii învaŃă primele numere aproape simultan cu vorbirea, iar deprinderea

multimilenară de ordonare a colecŃiilor finite şi de evaluare cantitativă a acestora au încrustat adânc procesul de numărare în mecanismele funcŃionale ale gândirii umane. Poate tocmai din acest motiv, numerele naturale sunt dificil de redus la alte entităŃi elementare şi nevoia elucidării conceptului de număr, a definirii lui şi a organizării sistematice a cunoştinŃelor aritmetice a apărut mult mai târziu decât în geometrie. Între Euclid şi Peano există o diferenŃă de peste 2000 de ani.

Pentru matematică, numerele naturale au o importanŃă imensă, atât ca domeniu de sine stătător, cât şi ca mijloc de descriere şi investigaŃie implicat în toate celelalte domenii.

Înainte de apariŃia teoriei mulŃimilor, singura contribuŃie cu adevărat ştiinŃifică la elucidarea conceptului de număr natural a fost aceea a lui Giuseppe Peano (1858 - 1932), răspunsul acestuia la întrebarea de mai sus putând fi formulat şi astfel: nu există număr natural, ci numere naturale, acestea fiind nişte entităŃi abstracte care se comportă conform anumitor legităŃi. Peano a enunŃat explicit şi precis aceste legităŃi, numindu-le axiomele numerelor naturale. Aceste axiome surprind atât de bine esenŃa numerelor naturale, încât valoarea lor ştiinŃifică nu este contestată nici astăzi.

Putem spune, că dacă teoria lui Peano nu constituie direct un răspuns la întrebarea ,,Ce este numărul?”, ea reprezintă totuşi un imens progress în conturarea conceptului de număr natural şi este suficientă pentru a asigura o bază ştiinŃifică riguroasă pentru dezvoltarea aritmeticii.

ApariŃia teoriei mulŃimilor a creat şi premizele unei definiŃii acceptabile pentru numărul natural.

O primă variantă ansamblistă a definiŃiei numerelor naturale îşi are originea în lucrările lui G. Cantor (1845 - 1918).

Ea pleacă de la ideea comparării mulŃimilor finite de obiecte prin intermediul corespondenŃei biunivoce, făcând abstracŃie de orice particularitate a obiectelor respective, în afară de existenŃa lor individuală, distinctă.

După Cantor, două mulŃimi finite între elementele cărora se poate stabili o coresondenŃă biunivocă au prin definiŃie acelaşi număr de elemente. Această definiŃie are avantajul că se apropie foarte mult de idea intuitivă pe care o avem despre numerele naturale. Ea are însă dezavantajul că nu este acceptabilă din punct de vedere al rigorii ştiinŃifice matematice.

Ideea de bază în construcŃia numerelor naturale a fost sugerată de Frege şi Rusell.

Utilizând mulŃimea vidă ∅, a cărei unicitate a fost deja remarcată, să considerăm şirul:

∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, …, (1) în care fiecare termen, începând cu al doilea, este mulŃimea ale cărei elemente

sunt toŃi termenii precedenŃi din şir.

Micii MATEMATICIENI

7

DefiniŃie

Se numesc numere naturale, numerele cardinale ale mulŃimilor din şirul (1). Notăm numerele naturale, respectiv cu 0, 1, 2, ... iar mulŃimea lor cu N.

Din modul de construcŃie al şirului (1) rezultă:

{ }0,1,..., 1n n= −

MulŃimile de cardinal n sunt numite finite, cele de cardinal 0χ = N sunt numite

numărabile.

NoŃiunea de număr, în evoluŃia sa de-a lungul secolelor, s-a îmbogăŃit succesiv prin diferitele sale extensiuni pornind de la numărul natural.

EvoluŃia omului în procesul muncii a impus lărgirea noŃiunii de număr natural, care nu mai convine la un moment dat necesităŃilor de calcul impuse de practică.

Aceste extensiuni succesive ale noŃiunii de număr, pornind de la numărul natural, nu s-au făcut într-o ordine precisă. În fiecare etapă din evoluŃia noŃiunii de număr, s-au folosit iniŃial, în mod empiric, numere noi iar după aceea, acestea au fost definite şi studiate ca obiecte matematice. Astfel au fost definite numerele raŃionale

pozitive (prin fracŃiile ordinare), unele numere reale pozitive (de exemplu: π ,2 etc), numerele întregi, numerele raŃinale oarecare, numerele reale oarecare şi în final, numerele complexe.

Necesitatea fiecărei extensiuni a noŃiunii de număr a fost determinată de posibilitatea de a efectua fără restricŃii operaŃii aritmetice derivate din operaŃiile fundamentale definite pe mulŃimea numerelor naturale. De exemplu, date două numere naturale a şi b, ecuaŃia x + a = b nu are întotdeauna ca soluŃie un număr natural şi apare necesitatea introducerii numerelor întregi de semn oarecare.

Aceste extensiuni succesive ale noŃiunii de număr se opresc la noŃinea de număr complex, întrucât s-a demonstrat că nu există extensii ale mulŃimii numerelor complexe C prin alte corpuri care să păstreze proprietăŃile sale fundamentale. Din acest motiv rezultă că C este algebric închisă.

Diversele extensii ale noŃiunii de număr, care de fapt au generat construcŃii algebrice ale mulŃimilor de numere, se realizează toate după o aceiaşi schemă fundamentală. Pentru a descrie această schemă de realizare a unei extensiuni, se presupun cunoscute: teoria naivă a mulŃimilor, teoria relaŃiilor binare şi structurile algebrice fundamentale pe o mulŃime.

2. Schema generală pentru construcŃia algebrică a unei mulŃimi de numere Fie X1 o mulŃime nevidă, oarecare, pe care s-au definit două operaŃii algebrice

interne ( )11 ,ψϕ care verifică proprietăŃile (A1) şi o relaŃie de ordine R1 cu proprietăŃile

(B1) ce constau în proprietăŃile relaŃiei R1 plus proprietăŃile de compatibilitate ale lui R1 faŃă de ( )11 ,ψϕ .

Micii MATEMATICIENI

8

Se va construi o nouă mulŃime X2 care poate fi o mulŃime de cupluri de elemente

din X1 sau o mulŃime de părŃi ale lui X1 sau mulŃimea cât a uneia dintre acestea în raport cu o relaŃie de echivalenŃă.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

2 1 1

2 2 1

1 o mul ime cupluri de elemente din

2 o mul ime de p r i de ale lui

3 mulŃimea cât a uneia dintre acestea în raport cu o relaŃie de echivalenŃă

X X X Ń X

x X P X Ń ă Ń X

⊂ ×

⊂

1

1

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 1

2

1 , definim o relaŃie de echivalenŃă între cupluri pentru mulŃimea Z

, pentru mulŃimea Q , ,

3 ,pentru mulŃimea C

, ,

/ clasele de echivalenŃ

X X X

a d c ba b c d

şi ad bc

a b c d a c b d

X ă

⊂ ×

+ = + ⇔ =

⇔ = =

∼

∼

∼

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 1

2

2 , ,

dacă există f bijectiv , : 3'

" "relaŃia de echivalenŃă între părŃile lui

3 / Clasele de echivalenŃă numerele cardinale şi naturale

X P X A B P X

A B ă f A B

X

X

⊂ ∈ ⇔ →

2

∼

∼

∼

Pe mulŃimea X2 se definesc operaŃiile algebrice interne ( )22 ψ ,ϕ care verifică

proprietăŃile (A2) şi o relaŃie de ordine R2 cu proprietăŃile (B2) constând în proprietăŃile relaŃiei R2 plus relaŃiile de compatibilitate ale lui R2 faŃă de ( )22 ψ ,ϕ . În general, avem:

A1 ⊂ A2 şi B1 ⊂ B2 , şi în plus mulŃimea X2 poate să satisfacă anumite proprietăŃi noi faŃă de X1, care să nu fie obligatoriu de natura algebrică.

Pentru a dovedi că X2 poate fi considerată ca o extensiune a lui X1 se pune în evidenŃă o submulŃime X2

* ⊂ X2 astfel încât, restricŃiile operaŃiilor algebrice şi relaŃiei de ordine definite pe X2 la această submulŃime, să o organizeze pe X2

* ca o mulŃime izomorfă cu X1.

Izomorfismul dintre (X2*; ( )22 ψ ,ϕ / X2

*; R2 / X2*) şi (X1; ( )11 ,ψϕ ; R1) permite

să se realizeze identificarea elementelor lui X1 cu elemente corespunzătoare din X2* deşi

acestea sunt obiecte matematice de natură diferită. Deci (X2; ( )22 ψ ,ϕ ; R2) este o extensiune algebrică a lui (X1; ( )11 ,ψϕ ; R1).

Problema esenŃială este de a verifica dacă această extensiune X2 este utilă, în sensul că pe de o parte, în X2 admit întotdeauna soluŃii ecuaŃiile algebrice ce nu aveau soluŃii în X1, iar pe de altă parte, mulŃimea X2 posedă anumite proprietăŃi impuse iniŃial. Se poate cere ca X2 să posede proprietăŃi mai simple decât X1 sau X2 să îndeplinească anumite proprietăŃi specifice şi care nu sunt în toate cazurile de natură algebrică.

Utilitatea unor astfel de extensiuni se justifică pe deplin şi prin precizarea conŃinutului noŃiunii de ,,număr” pentru a nu se realiza extensiuni sterile.

Micii MATEMATICIENI

9

Ideea vagă, care impune aceste extensiuni, este aceea de a obŃine o mulŃime de numere cât mai ,,bogată posibil”. Rămâne totuşi să se răspundă la întrebarea ,,ce este un număr?”.

Izomorfismul structurilor algebrice şi a relaŃiilor de ordine ale mulŃimilor X1 şi X2

* arată că natura obiectelor ce sunt elementele unei mulŃimi cu care se efectuează anumite operaŃii elgebrice nu are nici un rol şi singurul fapt de care se Ńine seama, sunt operaŃiile şi proprietăŃile acestor operaŃii. Dacă X1 este o mulŃime de obiecte de natură arbitrară, prin izomorfismul precedent elementele lui X2

* pot fi considerate ca numere. În consecinŃă, orice element al unei mulŃimi arbitrare structurată

convenabil,poate fi considerat un număr. Această concluzie paradoxală arată că nu se poate defini ce este ,,un număr solitar”, ci se defininesc mulŃimi dotate cu operaŃii algebrice şi alte structuri convenabile, pentru a se putea numi ,,mulŃimi de numere”.

Un număr nu este decât un element x al unei mulŃimi arbitrare X, dotată cu o structură algebrică convenabilă pentru efectuarea unor calcule şi atunci prin abuz de exprimare se poate spune că: ,,nu există numere, nu există decât mulŃimi de numere”.

În general, s-a constatat că structurile algebrice cele mai convenabile sunt corpurile comutative şi dintre acestea sunt corpurile comutative total ordonate ce satisfac pe deplin cerinŃa de a defini ,,o mulŃime de numere cel mai bogată posibilă”.

Extensiunile succesive ale noŃiunii de număr au condus la mulŃimea numerelor reale gândită ca un corp comutativ total ordonat care satisface axioma de existenŃă a marginii superioare (sau altă afirmaŃie echivalentă cu această axiomă). Din categoria corpurilor comutative total ordonate nu face parte mulŃimea numerelor complexe care este definită printr-un corp comutativ neordonat. 3. Număr şi cuvânt. Numerele reale au provenit din extensiunile succesive ale noŃiunii de număr natural, extensiuni care au făcut posibilă eliminarea unor restricŃii întâlnite în operaŃiile cu numere naturale. Prin aceste extensiune au fost introduse numere noi, însemnate cu câte un simbol nou, prin care ele se deosebesc de numerele naturale şi permit operaŃia aritmetică ce fusese imposibilă fără această generalizare. Astfel, numerele raŃionale au ridicat restricŃia cu privire la împărŃirea dintre două numere naturale, numerele negative au ridicat restricŃia legată de scăderea a două numere naturale, iar numerele iraŃionale au rezolvat problema extragerii de rădăcină, de un ordin oarecare, dintr-un număr natural care nu era o putere exactă a indicelui radicalului. Mai mult chiar, aceste numere ,,noi” sunt capabile să se compună şi cu numerele naturale şi, în anumite cazuri, să se reducă la numerele naturale.

MulŃimea numerelor reale nu răspunde însă la toate problemele care se ivesc în cursul operaŃiilor aritmetice. Chiar prin introducerea lor a apărut o nouă restricŃie aceea

cu privire la extragerea rădăcinii pătrate dintr-un număr negativ! De exemplu A− (A>0) nu mai are sens, deoarece, potrivit regulilor de înmulŃire dintre două numere relative, produsul dintre două numere cu acelaşi semn este întotdeauna pozitiv, aşa că un număr negativ nu poate fi considerat că ar putea fi pătratul unui număr real! Într-un eseu, intitulat Număr şi cuvânt (Aurel Joltea, în ,,Forum”, anul X, nr.4, p.96, 1978), Aurel Joltea, un pasionat cercetător al gândirii matematice, după ce recunoaşte că ,,dintre toate

Micii MATEMATICIENI

10

creaŃiile geniului uman, numai cuvântul poate rivaliza, ca importanŃă, cu numărul”, adaugă ,,numărul şi-a dezvăluit destul de greu extraordinarle sale valenŃe, rămânând parcă ermetic, în mai multe privinŃe, şi mut, dar nu surd, la întrebările tot mai dibace pe care i le-a pus omul”. Şi într-adevăr, numărul a auzit această întrebare despre rădăcina pătrată dintr-un număr negativ, iar răspunsul urmează să-l aflăm de acum înainte.Această problemă a condus la mulŃimea numerelor complexe. Numele de numere complexe a fost dat de Carl Friedrich Gauss, iar abia în 1833 William R. Hamilton (1805-1865) a adus şi ultimul argument în formarea numerelor complexe, prin fundamentarea unei teorii aritmetice a lor.

Şcoala cu clasele I-VIII Deleni, locaŃia Preventoriu

TEORIA INTELIGENłELOR MULTIPLE

– o provocare a pedagogiei moderne Liliana Bulgagiu

Conform tradiŃiei, în activitatea didactică, suntem tentaŃi să-i considerăm "inteligenŃi" pe acei elevi care sunt buni la obiectele de baza din şcoală , adică la matematică sau la literatură, iar pe ceilalŃi să-i considerăm "talentaŃi". Şi dacă le numim pe unele inteligenŃe, şi pe celelalte „talente” – înseamnă că nu le considerăm la fel de importante şi egale.Teoria inteligenŃelor multiple este cea care le numeşte pe toate inteligenŃe şi le acordă aceeaşi importanŃă în evoluŃia personală a fiecărui individ. T.I.M. a fost elaborată de Howard Gardner, profesor de teoria cunoaşterii, educaŃie şi psihologie la „Universitatea Harvard” precum şi de neurologie la Facultatea de Medicina în Massachusetts,S.U.A., în 1985 şi este considerată a fi cea mai mare descoperire în domeniul pedagogiei, după teoria genetică a inteligenŃei susŃinută de Jean Piaget. Aceasta teorie este foarte importanta pentru noua reforma educationala din Romania, axadu-se pe ideea ca elevii au capacitati cognitive diferite si stiluri proprii de invatare, sustinand realitatea ca unii copii cu coeficient ridicat de inteligenta nu au rezultate bune la scoala, fiind considerati „destepti” doar cei cu punctaje mari la testele de inteligenta. Se cunosc, de-a lungul istoriei, persoane celebre care au reusit remarcabil in viata si in cariera, dar au avut rezultate scolare slabe, ca de exemplu: Picasso, Einstein, Spielberg, Mozart, Ghandi, Freud, Darwin. Astfel, inteligentele sunt diferite si autonome, unii dintre noi au abilitati matematice, altii sunt inclinati catre literatura, lingvistica, natura sau sport, muzica ori fotografie, proiectare ori analiza intra si/sau interpersonala. Inteligenta, in acest noua acceptiune, apare ca o capacitate de a rezolva probleme si a realiza produse specifice unui domeniu, sau unei arii de interese si activitati, in situatii concrete de viata .Iar psihologia moderna demonstrata de Gardner enumera noua tipuri de inteligente, dupa cum urmeaza:

• Inteligenta verbal-lingvistica Cei care poseda acest tip dominant de inteligenta, gandesc cu predilectie cuvinte, folosesc cu usurinta limba pentru a se exprima si a crea. Ei au o deosebita sensibilitate pentru cuvinte si vocabular, invata cu usurinta limba materna ,traduc si citesc cu

Micii MATEMATICIENI

11

rapiditate si placere, uzeaza de metafore si figuri de stil.Sunt apti pentru profesii ca: avocat, critic de literatura, scriitor, profesor, eseist, jurnalist,etc.

• Inteligenta logico – matematica Prevalenta ei determina la analiza cauzelor si efectelor, la intelegerea relatiilor dintre actiuni, obiecte si idei. Ea presupune abilitatea de a calcula, a cuantifica, a evalua propozitii, a face operatii mintale, logice si matematice, a gandi deductiv si inductiv, precum si detinerea capaciatatii de a crea si a rezolva probleme stiintifice. Aceste persoane isi aleg, cu precadere, meseriile de: matematician, fizician, informatician, chimist, contabil,etc.

• Inteligenta muzical- ritmica Persoanele cu acasta inteligenta dominanata, gandesc in sunete, ritmuri, melodii, au o sensibilitate pentru ritm si tonaliatate, recunosc, creeaza si reproduc muzica, folosindu-si vocea. Au sanse de a deveni: compozitor, profesor de muzica, instrumentist,etc, fiind extrem de sensibili si emotinati la sunete.

• Inteligenta spatial – vizuala Caracteristica acesteia este gandirea in imagini, persoana poate intelege relatiile de spatiu si timp, poate lucra cu obiecte tridimensionale, poate recrea imagini si experiente vizuale, avand o imaginatie foarte bogata. Acest tip de inteligenta il poseda arhitectii, pictorii, scenaristii, fotografii, regizorii, etc.

• Inteligenta naturalist- stiintifica Persoanele la care aceasta inteligenta este dominanta, inteleg lumea naturala si iubesc plantele si animalele. Au abilitatea de a recunoaste si a clasifica specii si forme de viata , de a stabili legaturi si relatii ecologice, pot discerne cu usurinta fenomene legate de viata si forte naturale. Sunt viitorii astronomi, biologi, anatomisti, ecologisti care nu opereaza cu semne si simboluri precum fizicienii, chimistii si matematicienii, ci ei reorganizeaza si clasifica fenomenele.

• Inteligenta kinestezica Dominanta acestei inteligente este gandirea in miscare, folosirea corpului in moduri sugestive si complexe, coordonarea miscarilor intregului corp si ale mainilor, specifica dansatorilor, actorilor, sportivilor, sculptorilor.

• Inteligenta interpersonala Inseamna a gandi despre alte persoane, a le intelege, a fi empatic, a recunoaste diferentele dintre oameni, a le aprecia modul de gandire si structura de personalitate. E a implica o interactiune eficienta cu una sau mai multe persoane din familie sau din societate. Persoanele cu inteligenta interpersonala dominanta sunt buni conducatori, manangeri, psihologi ( cei care inteleg cum „functioneaza” oamenii), consilieri, medici, asistenti sociali, etc.

• Inteligenta intrapersonala Determina o gandire bazata pe intelegere de sine, capacitatea de a fi constienti de punctele tari si de cele slabe (inteligenta emotionala), de a se monitoriza in relatie cu ceilalti, de a-si gestiona emotiile si a fi asertiv, de a-si planifica riguros si eficient scopurile si obiectivele.

• Inteligenta existentiala Ea presupune o modalitate de cunoastere a lumii, caracteristica pentru filozofi, cei care isi pun intrebari despre sensul vietii, al fericirii, inceputul universului, dreptate si adevar, morala si etica, spatiu si timp, etc.

Micii MATEMATICIENI

12

Concluzionand, am putea spune: � Fiecare persoana poseda toate aceste inteligente intr-o combinatie unica – foarte

putini oameni au un grad inalt al tuturor inteligentelor, cei mai multi se gasesc la mijloc, cu un numar mic de inteligente dezvoltat foarte mult, mai multe dezvoltate mediu si una sau doua slab dezvoltate.

� Fiecare persoana isi poate dezvolta cele noua inteligente la un nivel mediu/minim de performanta prin incurajare, sprijin, educatie. Iata de ce disciplinele in scoala sunt variate, fiecare contribuind la optimizarea inteligentelor personale. Asa se face ca chiar avem nevoie cu totii si de putina muzica, desen, sport, religie, filozofie, educatie ecologica, educatie rutiera, psihologie si consiliere, etc.

� Nici un tip de inteligenta nu actioneaza separat, ci interactioneaza permanent, oferindu-ne sansa de a putea rezolva cu succes problemele cu care ne confruntam zilni, sporindu-ne, totodata si fondul personal de cultura generala..

In activitatea didactica este extrem de important sa tinem cond de toate aceste caracteristici pentru o abordare diferentiata a actului educativ si o adaptare a stilului de predare - invatare la nevoile particulare, specifice fiecarui elev. Deasemenea, se pot crea si propune discipline optionale care sa acopere domenii largi de interes, menite astfel sa dezvolte elevilor abilitati diverse, conforme inteligentelor multiple. In activitatea psihoterapeutica si de consiliere desfasurata in Cabinetul Psihologic, recomand cu caldura, clientilor mei, investigarea inteligentelor multiple, atat de necesare in alegerea deciziei privind orientarea scolara si profesionala. Ce se intampla oare cu un elev care are ca dominatanta inteligenta muzical - ritmica si pe cea interpersonala, dar alege sa urmeze un profil realist sau tehnologic? Dar cu cel care manifesta clar o gandire logico-matematica si opteza totusi, pentru o specializare umanista? Sunt intrebari la care tinerii gasesc raspuns prin autocunoastere si autoanaliza, discutie si antrenament decizional. Propun ca tema de analiza, elevilor mei cititori, urmatoarele exercitii: 1. Identificati ce tip de inteligenta este cultivata in urmatoarele societati: a ) un trib din jungla africana?, b) Roma antica?, c) Renasterea italiana ?,d) Romania contemporana? Faceti referire la caracteristicile definitorii tipurilor de inteligenta prezentate mai sus( verbala, logico-matematica, muzical-ritmica, s.a). 2. Precizati care credeti ca sunt inteligentele dominante ale urmatoarelor personalitati: Emil Cioran, Nadia Comaneci, Nichita Stanescu, GheorgheZ amfir, Mihaela Radulescu ( prezentatoare TV), Ando( Octavian Andronic,jurnalist si caricaturist), Nicolae Steinhardt, Henri Coanda, Adrian Paunescu, Grigore Moisil, Dan Grigore, Gica Hagi, Sabin Balasa, Leonardo da Vinci, Albert Einstein, Friedrich Nietzsche. Bibliografie: Gagne R ,1 975 „Conditiile invatarii”, EDP,Bucuresti Neacsu I. .”Instruire si invatare”, EDP,Bucuresti Piaget .J., 1965, „Psihologia inteligentei”, Ed.Stiintifica Bucuresti Cretu C,1998, „Curriculum diferentiat si personalizat”, Ed.Polirom , Iasi Profesor psiholog , Liceul Teoretic „Ştefan cel Mare” , Hîrlău

Micii MATEMATICIENI

13

VIAłA MATEMATICĂ ZONALĂ

Această rubrică conŃine în acest număr informaŃii despre: • concursul de creaŃie a revistei “Micii MATEMATICIENI” denumit

“ Cea mai frumoasă problemă” , ediŃia a II a - februarie2009 ; • concursul “Micii matematicieni”, ediŃia a III a din 29 martie 2008 ; • un raport a proiectului educaŃional “SUPER MATE” în anul şcolar 2008-2009; • “ Testarea elevilor “ de clasa a IV a în vederea înscrierii în clasa a V a în anul

şcolar 2008-2009 .

Concursul de creaŃie matematică “Cea mai frumoasă problemă”

te invită să îŃi pui la încercare intuiŃia, perspicacitatea , creativitatea în conceperea de probleme originale. Acum ai ocazia să propui şi tu probleme, nu numai să rezolvi problemele propuse de alŃii. Aşadar, este o invitaŃie la efort, care va fi încununată de satisfacŃii pe măsură, pentru acei elevi care au înŃeles că matematica nu înseamnă numai probleme “încruntate” de calcul, mai mult sau mai puŃin asemănătoare, ci înseamnă creativitate, imaginaŃie, efort de gândire, toate grefate pe o solidă pregătire teoretică. Au răspuns invitaŃiei în anul 2009 următorii elevi: Alistar Ştefania Andreea (cl VI cu o problemă) Brînză Carla Gabriela (cl VI cu două probleme) Buzilă Bianca (cl VI cu o problemă ) Creangă Daniela Simona (cl VII cu trei probleme) Pletan Denisa Elena (cl VII cu cinci probleme ) Maticiuc Diana (cl VII cu o problemă) Mititelu Melissa Florina (cl VI cu o problemă ) IvănuŃă Andreea Simona (cl VII cu cinci probleme ) ; Jitariu Adina Diana (cl VII cu cinci probleme) Câştigătorii ediŃiei a II a concursului de creaŃie matematică sunt elevii : Premiul I ( 50 RON): Pletan Denisa Elena MenŃiuni : ( 15 RON ) Creangă Daniela Simona; IvănuŃă Andreea Simona; Jitariu Adina Diana . Problema câştigătoare: “Ludwig van Beethoven , vrând să compună o nouă melodie, a aranjat notele muzicale în următorul fel: La; Sol; Fa; Mi; Fa; Mi; Re; Do; RE; ….. GăsiŃi regula de formare şi completează cu încă zece note.”

Pletan Denisa Elena Felicitări ! Premiile se vor înmâna la festivitatea de premiere a concursului “Micii matematicieni” din 21 martie 2009.

Micii MATEMATICIENI

14

Concursul “Micii matematicieni” EdiŃia a III a, 29 martie 2008

Rezultatele concursului „Micii matematicieni”,

ediŃia a III a, Hîrlău, 29 martie 2008

Clasa Nume si prenume

Şcoala de provenienŃǎ

Punctaj

Premii

III Cojocariu Elisabeta Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 40 P I III Dascălu Matei Colegiul”Richard Wurmbrand”,Iaşi 40 P I III Iuga F. Denis Alexandru Şc.”Iordachi Cantacuzino”, Paşcani 40 P I III Paşa Andrei Colegiul NaŃional Iaşi 40 P I III Cernescu Bogdan Florin Şc. Pîrcovaci, Hîrlău 38 P II III Dolhescu Alexandru Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 38 P II III Tincu Tudor Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 37 P III III Aghiorghiesei Tudor Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 36 M III Budeanu Alin Lic.”Miron Costin”, Paşcani 36 M III Pricop Adelin Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 36 M III Ciubotaru I. Adina Maria Şc.”Iordachi Cantacuzino”, Paşcani 35 M III Pletan Andreea Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 35 M III Grigoriu Maria Gabriela Şc.”Iordachi Cantacuzino”, Paşcani 34,25 M III Amariei Claudia Lic.”Miron Costin”, Paşcani 34 M III Badarau Bogdan Şc. „V. Conta”, Corp B, Iaşi 33 M III Burbulea Ioana Lic.”Bogdan Vodă”Hălăuceşti 33 M III Ciobanu Alexandra Şc. „Cezar Preda”, Hodora 33 M III Cozma Roxana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 33 M III Strachinaru Alin Lic.”Miron Costin”, Paşcani 33 M III Băcică Florin Şc. Pîrcovaci, Hîrlău 31 M III Tănasă Doru Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 31 M III Bejan Vlad Gabriel Lic.”Bogdan Vodă”Hălăuceşti 30,50 M III Baltag Marisa Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 27 M III Căprian Andreea Şc. „Ion Creangă”, Tg. Frumos 27 M III Ciubuc Remus Mihail Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 27 M III Olaru Iulian Şc. „Ion Creangă”, Tg. Frumos 27 M III Curcă Iuliana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 26 M III Gorgan Adelina Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 26 M III Matei Dragoş Alin Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 25,5 M IV CliveŃ Antonia Şc.”Octav Băncilă”, Botoşani 39,50 P I IV Bobîrnă Costin Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 38,75 P II IV Ciubotaru Raluca Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 38 P III IV Vîntur Cristian Lic.”Miron Costin”, Paşcani 38 P III IV Minciună Ştefan Şc.„ Ştefan cel Mare”, Cotnari 37,75 M IV Pînzaru Ioana Şc.”Octav Băncilă”, Botoşani 36 M IV Pricop Irina Nicoleta Lic.”Miron Costin”, Paşcani 36 M

Micii MATEMATICIENI

15

IV Rugină Rareş Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 34 M IV GafiŃei Ionela Şc.„ Ştefan cel Mare”, Cotnari 33,30 M IV Şerban Roberta Andreea Lic.”Miron Costin”, Paşcani 32,80 M IV Manilici Dumitru Andrei Şc. Deleni 31,75 M IV Savin Andreea Beatrice Lic.”Miron Costin”, Paşcani 31 M IV Cotiugă Ştefan Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 30,25 M IV Cozminschi Corina Şc.”Octav Băncilă”, Botoşani 30,25 M IV Vatamanu Vlad Constantin Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 30 M IV Murariu Maria Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 29,25 M IV Munteanu Alin Şc. Bădeni 28 M IV Acornicesei Georgiana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 27,75 M IV Poruşniuc Iuliana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 27,05 M IV Creangă Lucian Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 27 M IV Hurbea Răzvan Gabriel Şc.„G. Ibrăileanu” Tg.Frumos 26 M IV Iacob Ionela Şc.„N. Iorga”,Paşcani 25 M IV Mihăilă Alexandru Şc. Bădeni 25 M IV Timofte Adina Şc. „Ion Creangă”, Tg. Frumos 25 M IV Ungureanu Mălina Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 25 M V Matcovici Ştefan Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 22 P I V PleşcuŃă Simona Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 22 P I V Mititelu Melissa Florina Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 21 P II V Ungureanu Alexandra Şc.„G. Ibrăileanu” Tg.Frumos 18 P III V Boca Cosmin Şc. „Ion Creangă”, Tg. Frumos 17 M V Chiuariu Traian Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 17 M V HuŃanu Mădălina Georgiana Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 17 M V Loghin Bianca Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 17 M V Forcaş Octaviana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 16 M V Frunză Cristian Şc.”Iordachi Cantacuzino”, Paşcani 16 M V Ifrim Rares Cristian Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 16 M V Neicu Mara Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 16 M V Scripcariu Gabriel Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 16 M V Alistar Andreea Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 15 M V Boca Bogdan Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 15 M V IvănuŃă Roxana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 15 M V Roman Vlad Ştefan Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 15 M VI Asofiei Cosmina Florina Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 16 P I VI Rusu Tudor Matei Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 13 P II VI Mertic Silviu IonuŃ Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 12 P III VI Pletan Denisa Elena Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 11,50 M VII Puhă Răzvan Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 15 P I VII Plăcinta Elisa Lic.”I.Neculce”, Tg.Frumos 11,75 P II VII Duhan Mihai Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 11,25 P III VII Paşote Ovidiu IonuŃ Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 11,25 P III VII Pădurariu Cristian Lic.”I.Neculce”, Tg.Frumos 11 M VIII Pădurariu Ana Maria Şc.”I. Cantacuzino”, Paşcani 21,50 P I

Micii MATEMATICIENI

16

VIII Petraş Roxana Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 21 P II VIII Minciună Petrică Şc.„ Ştefan cel Mare”, Cotnari 19 P III VIII Smîntînică Ioana Beatrice Lic.”I.Neculce”, Tg.Frumos 17,75 P III VIII Dandea alexandra Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 17 M VIII Drăguşanu Mădălina Lic.”M. Sadoveanu”, Paşcani 16,50 M VIII Rusu Alexandru Şc.„G. Ibrăileanu” Tg.Frumos 16,50 M VIII Andrieş Cristian Iulian Lic.”Bogdan Vodă”Hălăuceşti 16 M VIII Tincu Teofil Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 16 M VIII Sîrbu Ioana Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 15,50 M VIII Tanasa Roxana Şc.„Petru Rareş”, Hîrlǎu 15,50 M VIII Ungureanu Carmen Elena Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlǎu 15,50 M

Probleme de concurs. Bareme de corectare

„Micii matematicieni”, ediŃia a III a

Clasa a III a : EnunŃuri I (10 p) : CalculaŃi câtul numerelor a şi b,

dacă a = 6 5 0 + 50 - 5 10 + 0 : 8 ⋅ ⋅ ⋅ şi b = (290 – 218) : 9 + 48 – 248 : 8 . II (10 p) : AflaŃi termenul necunoscut din:

(a + 74 x 5) : (542 – 502) x 2 – 12 = 8 . III (10 p) : Într-o clasă sunt 30 de elevi cu vârsta de 11 ani sau 12 ani. Dintre ei, 15 au

11 ani, 18 sunt băieŃi şi 9 fete au 12 ani. Câte fete au 11 ani ? CâŃi băieŃi au 12 ani ?

IV (10 p) : Trei lumânări identice sunt aprinse simultan. După 9 minute acestea s-au consumat. În cât timp s-a consumat o singură lumânare ?

• Barem de corectare

I oficiu…………………….........…………………. …..........................………….. ..1p a = 6 x 5 x 0 x + x 50 x – 5 x 10 + 0 : 8 = 0 + 50 – 50 + 0 .......................................... 3 p a = 0 ................................................................................................................................ 1 p b = 72 : 9 + 48 – 31 ......................................................................................................... 2 p b = 8 + 48 – 31 .................................................................................................................1 p b = 56 – 31 ...................................................................................................................... 1 p b = 25 .............................................................................................................................. 1 p

II oficiu……………..…………………………………………….….…................…. 1p (a + 370) : 40 x 2 – 12 = 8 .............................................................................................. 2 p (a + 370) : 40 x 2 = 20 .................................................................................................... 2 p (a + 370) : 40 = 10 .......................................................................................................... 2 p (a + 370) = 400 ...............................................................................................................2 p b = 30 .............................................................................................................................. 1 p

III oficiu…………………………………………………................……….…….…. 1p Aflarea numărului de fete = 12 ....................................................................................... 3 p Fete de 11 ani = 3 ............................................................................................................ 2 p BăieŃi de 11 ani = 12 ........................................................................................................2 p

Micii MATEMATICIENI

17

BăieŃi de 12 ani = 6 ..........................................................................................................2 p

IV oficiu……………………………………….................…………………………... 1p O lumânare va arde în 9 minute ...................................................................................... 9 p Clasa a IV a : EnunŃuri I (10 p) :

a) AflaŃi suma şi produsul cifrelor numărului m, unde : m = [(8 + 8 : 8) : 9 + (9 + 9 : 9) : 10 – 1] + 109 .

b) Din 2008 se scade un număr şi se obŃine triplul numărului scăzut. GăsiŃi numărul.

II (10 p) : Alba ca Zapada şi cei şapte pitici au suma vârstelor egală cu 216 ani. Ştiind că piticii au vârstele numere naturale consecutive, arătaŃi că dacă Alba ca Zapada are vârsta unuia dintre pitici, atunci ea are vârsta celui mijlociu.

III (10 p) : În trei cutii sunt napolitane. În prima sunt cu 20 mai mult decât în celelalte două la un loc. În a doua sunt cu 20 mai puŃin decât în a treia. Dacă din a doua cutie luăm 10 napolitane, vor rămâne de şase ori mai puŃine decât în prima şi a treia la un loc. Câte napolitane sunt în fiecare cutie ?

IV (10 p) : Familia Micii Matematicieni este pasionată de matematică. Membrii familiei au observat că dacă unul dintre baieti lipseşte, atunci în casă numărul bărbaŃilor este acelaşi cu numărul femeilor. Dacă una dintre fete lipseşte, atunci în casă numărul bărbaŃilor este dublul numărului femeilor. CâŃi copii sunt în familie? Barem de corectare I oficiu……………………………………………. ……………...............……...…..1p

a)Valoarea lui m = 110 ………………………………………………….… 5 x 0.20 = 1 p Stabilirea termenilor sumei ………………………………..…………….……………... 1p Calculul sumei = 3 …………………………………………………………………….. 1 p Stabilirea factorilor produsului ……………………………………………...………… 1 p Calculul produsului = 0 ……………………………………………………………….. 1 p b)Stabilirea relaŃiilor 2008 = a + 3a …………………..……………………….....……. 1 p a = 502 ………………………………………………………...………………. 3 x 1 = 3 p

II oficiu………………………………………………………….…...................……. 1p Stabilirea relaŃiilor (reprezentarea grafică) ……………………………………….....… 3 p 8 părŃi + R = 195 ………………………………………………………………..……... 3 p Aflarea valorii părŃii P = 195 : 8 = 24 (rest 3) …………………………………....…… 1 p Alba ca Zăpada are aceeaşi vârstă cu piticul mijlociu ……………………………....… 1 p Finalizare 27 ani ……………………………………………………………….…….… 1 p

III oficiu………………………................……………………………………..….…. 1p RelaŃia între I şi (I + III) ……………….………………………………………..……... 2 p RelaŃia între (I + III) ……..………….……………………..……………………..……. 2 p RelaŃia între (II – 10 şi I + III) ……………….………..…………………….……..…. 2 p Aflarea părŃii = 30 …………………………………………………………...……….... 1 p Aflarea cutiei cu numărul II = 40 ……………………………………………………… 1 p Aflarea cutiei cu numărul III = 60 ……..……………………………………………… 1 p

Micii MATEMATICIENI

18

Aflarea primei cutii = 40 + 60 + 20 = 120 …………………….……………………… 1 p

IV oficiu………………………………………….................……………………..…. 1p Stabilirea relaŃiilor dintre numărul bărbaŃilor şi femeilor b – 1 = f …………………………………………..………………………………… 2,50 p b = 2(f – 1) …………………………………………………………………………. 2,50 p Aflarea numărului de persoane = 7 …………………………………………………… 2 p Aflarea numărului de copii = 5 …...…………………………………………………… 2 p Clasa a V a : EnunŃuri I (10 p): Fiind date numerele x=5+10+15+20+...+125 şi

1 1 1 1

...1 26 2 39 3 52 24 325

y = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, calculati x · y – 120.

II (10 p) :Determinati numerele prime a, b, c, care satisfac relatia 10·a + 5·b + 2·c=75.

III (10 p) : Se considera multimea X={1, 3, 5, 7 ... 2n+1}. Consideram urmatorul sir de submultimi ale mutimii X astfel : A1={1} ; A2={3,5} ; A3={7, 9, 11}, s.a.m.d.

a) Scrieti multimele A4 si A5 ; b) Calculati suma elementelor multimii A20. • Barem de corectare

I oficiu……………………........…………………................. ……….……………....1p Aflarea lui x = 1625 ……………………………………………...……………. 3 x 1 = 3 p

24

325y = …………………………………………………………….………….. 4 x 1 = 4 p

Finalizare = 0 ………………………………………………………………….............. 2 p

II oficiu…………………………….................……..……………………….………. 1p 2c multiplu de 5; aflarea c = 5 ………………………………………………………… 3 p Deducerea 2a + b = 13 ………………………………………………………………… 2 p a = 3, b = 7 …………………………………………….………………………………. 2 p a = 5, b = 3 …………………………………………….………………………………. 2 p

III oficiu………………………….................…………………………………….…. 1p

{ }4 13,15,17,19A = …………………………………..…………………………………. 2 p

{ }4 21,23,25, 27,29A = ……………………..………………………………………….. 2 p

( ) ( ){ }21 , 1 3,..., 1nA n n n n n n= − − + + − ……………………………...……………….. 2 p

{ }20 381,383,..., 419A = …………………………………………………………….…… 1p

Calculul sumei = 8000 ………………………………………………………………… 2 p

Clasa a VI a : EnunŃuri

I (10 p) : Dacă fracŃiile 3 7 9 5 16; ; ; ;

5 4a b a b+sunt ordonate crescător, determinaŃi suma a+b

ştiind că a, b apartin ∗ℕ .

Micii MATEMATICIENI

19

II (10 p) : În triunghiul ABC, măsura unghiului B este triplul măsurii unghiului A. Mediatoarea laturii [BC] “taie” pe AC in E. Dacă AB = BE, să se afle unghiurile tringhiului ABC.

III (10 p) : O grădină are forma unui poligon cu 7 laturi. În fiecare vârf se află, câte o poartă mobilă astfel încât, în oricare două vârfuri vecine, porŃile să închidă perfect latura pe care acestea o determină. Să se afle lungimile porŃilor.

• Barem de corectare I oficiu………..................…………………………………. ………….……..……..1p

Scrierea inegalităŃii 3 7 9

5 4a< < …………………………………………...…………. 3 p

RelaŃia 4 11a≤ ≤ …………………………………………………………..……...….. 2 p

Scrierea inegalităŃii 9 5

4 6≤ ……………………………………………………….......... 1 p

Cazul b = 1 …………………………………………………………………………….. 1 p Cazul b = 2 …………………………………………………………………………….. 1 p Determinarea lui a ……………………………………………………………...……… 1 p Finalizare ………………………………………………………………………….…… 1 p

II oficiu……………………………………….................…..……………….………. 1p Figura geometrică ………….………………………………………..………………… 1 p ABC△ isoscel ………………………………………………………..………………… 1 p

Proprietatea mediatoarei ( EBC△ ISOSCEL) .……….………………..……………….. 1 p

Determinarea m (�ECB )……………………………….……………….………………. 2 p Teorema unghiului exterior (relaŃia) …………………………………...…………….. 2 p Determinarea măsurii unghiului A ………………………………………..…………… 1 p Finalizare ………………………………………………………………….…………… 1 p

III oficiu…………………………...…………….................……………...…………. 1p Lungimea porŃilor din B, C, D, E, F, G .………………………..…….………. 6 x 1 = 6 p CondiŃia ca porŃile să se închidă …………..……………………………….....……….. 1 p Finalizare ……………………………………………………………………………… 1 p Clasa a VII a : EnunŃuri I (10 p) :

a) CalculaŃi media aritmetică şi media geometrică a numerelor :

17 4 15 13 4 10x = + − + şi 19 4 21 15 4 14y = + + − . b) DemonstraŃi că pentru orice x număr natural, x2

+ 11x + 30 nu este pătrat perfect. c) Se dă numărul 1 1 236 18 2 9 3 6n n n n nA unden+ + += ⋅ − ⋅ − ⋅ ∈ℕ ArătaŃi că pentru orice

număr natural n, A se divide cu 315.

II (10 p) : În interiorul pătratului ABCD se consideră triunghiul echilateral MAB, iar în exteriorul acestuia se consideră triunghiurile echilatarale NAD si PBC. CalculaŃi perimetrul triunghiului MNP.

Micii MATEMATICIENI

20

III (10 p) : DistanŃele dintre patru localităŃi notate A1, A2, Am si Ap (unde m si p sunt numere naturale nenule) sunt parcurse în aceeaşi perioadă de timp de un automobil având viteza suma indicilor localităŃilor. (Ex. DistanŃa A1 A2 este parcursă cu viteza 1+2=3)

a) ArătaŃi că A2, Am, Ap sunt puncte necoliniare ; b) Ştiind că triunghiul A2 Am Ap au două mediane perpendiculare, concurente în

punctul A1, să se determine m, p. Barem de corectare

I oficiu……………………………...................……. ……................………………..1p

a) Aflarea lui ( )2 3 2x = − ...........................................................................................1p

Aflarea lui ( )2 3 2y = + ...............................................................................................1p

Media aritmetică 2 3= ....................................................................................................1p Media geometrică 2= ........................................................................................................1p

b) ( ) ( )2 225 11 30 6x x x x+ < + + < + ...............................................................................3p

c) 18 630nA = ⋅ ..................................................................................................................1p finalizare............................................................................................................................1p

II oficiu……………………………………………......………….……..................…. 1p

�( ) �( )90m NAM m MBP= =� ...............................................................................................1p

2MN MP a= = ...............................................................................................................1p � �0 015 ; 30mMNP mANQ= = ..............................................................................................1p

NQ bisectoare; ;NQ AD NP AB⊥ � ..................................................................................1p NP=NQ+QT+TP................................................................................................................1p

3

2

aNQ = .........................................................................................................................1p

QT=a ................................................................................................................................1p

3NP a a= + ....................................................................................................................1p

2 2 3P a a a= + + ..........................................................................................................1p

III oficiu…………………..…………………….................…………………………. 1p Notăm t timpul parcurs între două localităŃi

( ) ( )1 2 13 ; 1 ;....m m pA A t A A m t A A m p t= = + = + ..................................................................1p

a) verificarea inegalităŃii triunghiului................................................................................2p

b) Cazul 1: ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 9 3mA A A A m m m⊥ ⇒ + = + + ⇒ = ...........................................2p

1A centru de greutate 1 12 4pA A A S p⇒ = ⇒ = .................................................................1p

Cazul 2: 1 2 1 pA A A A⊥ se tratează analog cazului 1..........................................................1p

Cazul 3: ( ) ( )1 1 1 1 1 2m pA A A A mp m p p m⊥ ⇒ = + + ⇒ − − = ........................................1p

Deducera că p=2 sau m=2 contrazice faptul că localităŃile sunt distincte......................0,5p Finalizare: m=3 şi p=4 sau m=4 şi p=3 ........................................................................0,5p

Micii MATEMATICIENI

21

Clasa a VIII a : EnunŃuri

I (10 p) : Se dă mulŃimea : { 3 5 4}A x Z x= ∈ − − = şi funcŃia f : A→B, 1

( ) 32

f x x= − .

a) Determinati multimea B (in care functia ia valori), stiind ca ea are un numar minim de elemente.

b) Reprezentati grafic functia f, determinata mai sus.

II (10 p) : Fie , ,a b c Z∈ astfel incat numarul abc+ab+ac+bc+a+b+c+7 este numar prim. Demonstrati ca a, b, c, nu pot fi numere consecutive.

III (10 p): Pe planul dreptunghiului ABCD cu AD<CD se ridica perpendiculara MD

astfel incat 5MD = cm. Notam cu N mijlocul MB si P mijlocul MC. a) Demonstrati ca triunghiul NDC este isoscel. b) Demonstrati ca AM || (BPD). c) Calculati MA, MC, MB stiind ca sunt trei numere naturale consecutive • Barem de corectare

I oficiu…………………...……….................………. …… …………..............……..1p

Rezolvarea ecuaŃiei 3 9x − = ............................................................................................2p

Rezolvarea ecuaŃiei 3 1x − = .............................................................................................2p

Aflarea lui { }6;2;4;12A = − ..............................................................................................2p

Aflarea valorilor funcŃiei: { }6; 2; 1;3B = − − − ....................................................................2p

Reprezentarea grafică ........................................................................................................1p

II oficiu……………………………….……………..................……………..………. 1p Scrierea ca numere consecutive:a=x-1;b=x;c=x+1............................................................2p

3 23 2 6E x x x= + + + .........................................................................................................3p

( ) ( )23 2E x x= + + ............................................................................................................2p

Rezolvarea cazurilor (stabilirea contradicŃiei)..................................................................2p

III oficiu…………………………………......................….................………………. 1p a) stabilirea NO perpendicular pe BD şi AC.....................................................................1p congruenŃa triunghiurilor NOD şi NOC............................................................................1p finalizare ...........................................................................................................................1p b) PO paralel cu AM (ca linie mijlocie).............................................................................1p finalizare ...........................................................................................................................1p c) scrierea MA, MC, MB ca numere consecutive..............................................................1p aplicarea teoremei lui Pitagora şi obŃinerea ecuaŃiei 2 4 5 0x x− − = .................................2p finalizare: MA=4, MC=5, MB=6.......................................................................................1p

Micii MATEMATICIENI

22

Testarea absolvenŃilor de clasa a IV a în vederea înscrierii în clasa a V a

Varianta nr. 1, mai 2008 Oficiu :10 puncte

I (30p) Sǎ se stabilească adevǎrul sau falsitatea egalitǎŃii :

( ){ }102 3 : 7 11 13 8 19 2 529 2008+ − ⋅ + ⋅ + ⋅ =

II (20p) AflaŃi numărul necunoscut din

( ){ }2008 : 5 4 :3 2 2008 2 2008 2008a− + − × × − = .

III (20p) Un tată cu vârsta de 40 ani are doi copii cu vârstele 12 ani şi 15 ani. Peste câŃi ani vărsta tatălui va fi egală cu suma vârstelor copiilor ?

IV (20p) Într-o încăpere sunt 9 copii. Fiecare dă n\mâna o singură dată cu fiecare din ceilalŃi copii. Câte strângeri de mână au loc ? JustificaŃi răspunsul. Varianta nr. 2, mai 2007 I (30p) CalculaŃi :

a) ( ){ }1 2 3 3 15 6 7 8 2008+ × + × × + × − ;

b) ( ) ( )8 8 :8 : 9 9 9 : 9 :10 1 109+ + + − + .

II (20p) AflaŃi numǎrul necunoscut :

( ){ }18 2 8 : 3 5 : 3 12 :9 12 15a− × − − + + =

III (20p) Suma a trei numere naturale este egalǎ cu 2008 . Al treilea este jumǎtate din primul. Dacǎ îl împǎrŃim pe al doilea la al treilea , obŃinem câtul 2 şi restul 3 . Care sunt cele trei numere ?

IV (20p) Dacă cumpăr 4 tricouri mai am nevoie de 15 lei, iar dacă aş cumpăra 3 tricouri aş rămâne cu 9 lei. Care este suma cu care am plecat de acasă ? Varianta nr. 3, mai 2007 I (30p) Sǎ se efectueze : ( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 : 4 : 4 4 4 4 : 4 4+ ⋅ − + ⋅ + + ⋅ − ⋅

II (0p) Ce număr face posibilă egalitatea:

( ){ }2008 2007 1 2007 2006 2007 : 2007 2007 1a− − ⋅ − ⋅ + + = .

III (20p) Descǎzutul ,scǎzǎtorul şi diferenŃa sunt trei numere consecutive.AflaŃi descǎzutul.

IV (20p) Suma vârstelor celor patru copii ai unei familii este de 10 ani. AflaŃi vârstele copiilor familiei ştiind cǎ în familie nu sunt gemeni .

Micii MATEMATICIENI

23

SUPER MATE

În calitate de responsabil al Centrului nr.6, din zona Hîrlău, unde se desfăşoară activitatea Proiectului educaŃional Super Mate, m-am preocupat şi în decursul anului şcolar 2007-2008 de buna desfăşurare a proiectului la Şcoala ,,Petru Rareş”din Hîrlău.

În cele două grupe de la clasele a III-a şi a IV-a sunt cuprinşi elevi de la şcolile: Hîrlău, Pîrcovaci, Bădeni, Deleni, Maxut, Zagavia, Slobozia, Feredeni. Rezultatele muncii cadrelor didactice şi ale elevilor se oglindesc în premiile obŃinute la concursurile organizate de ISJ Iaşi : *Concursul ,,Micii matematicieni”organizat de Liceul ,,Ştefan cel Mare”- Hîrlău: clasa a III-a – Cojocaru Elisabeta – Şc.,,P.Rareş”Hîrlău – locul I

- Dolhescu Alexandru - Şc.,,P.Rareş”Hîrlău – locul II - Tincu Tudor - Şc.,,P.Rareş”Hîrlău – locul III

- MenŃiune: Aghiorghiesei Tudor, Pricop Adelin, Pletan Andreea, Cozma Roxana, Tanasă Doru, Baltag Marisa, Ciubuc Remus, Gorgan Adelina, Matei Dragoş (Şc.,,P.Rareş”Hîrlău ), Băcică Florin – (Şc. Pîrcovaci) clasa a IV-a - Bobîrnă Costin - Şc.,,P.Rareş”Hîrlău – locul II

- Ciubotaru Raluca - Şc.,,P.Rareş”Hîrlău – locul III - MenŃiune: Rugină Rareş, Cotiugă Ştefan, Vatamanu Vlad, Murariu Maria, Acornicesei Georgiana, Poruşniuc Iuliana, Creangă Lucian, Ungureanu Mălina (Şc.,,P.Rareş”Hîrlău), Munteanu Alin, Mihăilă Alexandru (Şc.Bădeni) *Concursul ,,Florica T. Câmpan” -clasa a IV-a – faza judeŃeană - Bobîrnă Costin – MenŃiune si faza interjudeŃeană - Bobîrnă Costin – MenŃiune *Olimpiada de matematică-clasa a IV-a : Bobîrnă Costin – 57 puncte *Concursul ,,Cangurul”- au participat toŃi elevii cuprinşi în proiect, dintre care 19 au obŃinut peste 50 p (cl. a III-a) şi 18 au obŃinut peste 50 p (cl. a IV-a) - elevul Bobîrnă Costin participând la proba de baraj *Concursul ,,Micul matematician”- au participat toŃi elevii cuprinşi în proiect clasa a III-a – Dolhescu Alexandru – 100 p, Cozma Roxana –100 p - 24 elevi obŃinând peste 50 p - clasa a IV- a – Bobîrnă Costin – 100 p, Ciubotaru Raluca – 100 p, Cozma Daniela - 100 p, Murariu Maria – 100 p, Ochiană Loredana – 100 p, Rugină Rareş – 100 p, Vatamanu Vlad – 100 p, 16 elevi au obŃinut peste 50 p Întreaga activitate a Proiectului EducaŃional ,,SUPER MATE” este prezentată în revista centrului nr. 6- Hîrlău, care a obŃinut MenŃiune la Concursul NaŃional al revistelor şcolare. Cuprinde opinii ale cadrelor didactice, părinŃilor şi elevilor, dar şi exerciŃii şi probleme propuse de elevi şi cadre didactice. Autorii revistei au iniŃiat un concurs de desene cu mascote SUPER MATE, fiind premiate cele mai năstruşnice mascote realizate de elevi. Cursurile proiectului s-au finalizat cu o festivitate de încheiere, la care au participat cadre didactice, părinŃi şi elevi, aceştia din urmă primind o diplomă de participare. Deoarece antrenează mulŃi elevi, părinŃii şi cadrele didactice şi-au exprimat dorinŃa ca proiectul să se deruleze şi în anii următori.

Responsabil centru Înv.Mirela Munteanu

Micii MATEMATICIENI

24

PROBLEME ŞI SOLUłII SOLUłIILE PROBLEMELOR PROPUSE ÎN NR. 2 DIN 2008

MATEMATICA PITICĂ P. 11 : Un elev a scris: 7 8 5 5 4 47 15 5 5 51+ ⋅ − ⋅ + = ⋅ − ⋅ = 75 5 51− ⋅ = 70 51 19− = . PrecizaŃi toate greşelile pe care le-a efectuat elevul. EfectuaŃi corect calculul.

Înv. Maria RaŃă, Deleni SoluŃie : Elevul a făcut următoarele greşeli: • nu a respectat ordinea efectuării operaŃiilor (efectuând adunarea înaintea înmulŃirii) şi anume, 7 8 5 15 5+ ⋅ = ⋅ şi 5 4 47 5 51⋅ + = ⋅ ; • a efectuat scăderea şi apoi, înmulŃirea: 75 5 51 70 51− ⋅ = − . Calculul corect este : 7 8 5 5 4 47 7 40 20 47 47 20 47 27 47 74+ ⋅ − ⋅ + = + − + = − + = + = . P. 12 : Cenuşăreasa avea de ales în fiecare seară 90 boabe de orez din cenuşa din sobă ; ea reuşind să aleagă câte 50 de boabe într-o oră. În seara balului, cele două surori vitrege ale ei au mai adăugat la sarcina zilnică, dublul celor existente şi încă jumătate din numărul boabelor ce le-ar alege în trei ore. În câte ore a terminat Cenuşăreasa de ales boabele de orez din cenuşă în ziua balului ?

Andreea Buzilă, elevă, Hîrlău SoluŃie : Numărul boabelor de orez din seara balului se calculează astfel: 90 2 90 150 : 2 345+ ⋅ + = boabe de orez . Într-o oră, culege 50 boabe, adică în 60 minute culege 50 boabe, deci în 6 minute culege 5 boabe. Cum , în 345 de boabe avem 69 grupe de 5 boabe înseamnă că, în ziua balului, boabele de orez sunt culese în 69 6 414⋅ = minute, adică 6 ore şi 54 minute. P. 13 : Mergând pe jos , unul din fraŃii Tricǎ şi Fǎnicǎ nu ajunge la timp la şcoalǎ. Ştiind cǎ Tricǎ parcurge 3 km în trei sferturi de orǎ , iar Fǎnicǎ 2100 m în jumǎtate de orǎ, aflaŃi numele celui care a întârziat la şcoalǎ.

Înv. Ramona Mihaela Săcăleanu, Iaşi SoluŃie : Tricǎ parcurge 3000 m în trei sferturi de orǎ →1000 m într-un sfert de orǎ → 2000 m în jumǎtate de orǎ. Deci, Tricǎ are viteza mai micǎ decât Fǎnicǎ → Tricǎ va fi cel care întârzie. P. 14 : Un numǎr de douǎ cifre care conŃine cifra 7 îi spunem şeptar. Aflǎ suma dintre dublul celui mai mare şeptar şi triplul rǎsturnatului celui mai mic şeptar.

Aurel Neicu, Hirlău SoluŃie : Deducem 97 este cel mai mare “şeptar” , iar 17 este cel mai mic “şeptar” . Deci, 2 97 3 71 407⋅ + ⋅ = . P. 15 : Sǎ se stabilească adevǎrul sau falsitatea egalitǎŃii :

( ){ }1122 :11 3 : 7 11 13 8 19 2 529 2008+ − ⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Înv. Ramona Mihaela Săcăleanu, Iaşi SoluŃie : Calculând, membrul stâng este egal cu 2198. Deci egalitatea este falsǎ .

Micii MATEMATICIENI

25

P. 16 : Dacă cumpăr 4 tricouri mai am nevoie de 15 lei, iar dacă aş cumpăra 3 tricouri aş rămâne cu 9 lei. Care este suma cu care am plecat de acasă ?

Înv. Maria Ilie şi Inst. Corneliu Constantin Ilie, Iaşi SoluŃie : Avem 4 15 3 9a a⋅ − = ⋅ + 24a lei⇒ = . Suma cu care a plecat de acasă este 3 24 9 81⋅ + = lei . P. 17 : Suma a patru numere distincte este egală cu 43, iar suma diferenŃelor dintre primul număr şi celelalte numere este egală cu 9. Care sunt numerele ? Câte soluŃii sunt?

Înv. Maria Ilie şi Inst. Corneliu Constantin Ilie, Iaşi SoluŃie : Dacă numerele a, b, c, d sunt distincte rezultă că diferenŃele a b− ; a c− şi a d− sunt distincte şi nenule, având suma 9. Aceste diferenŃe pot fi:1; 2; 6sau1; 3; 5 sau 2; 3; 4. Însumând egalităŃile 43a b c d+ + + = şi 9a b a c a d− + − + − = obŃinem 4 52a = . Deci

13a = . Sunt trei soluŃii ale problemei şi anume: 12;11; 7 sau 12; 10; 8 sau 11; 10; 9 în funcŃie de diferenŃele obŃinute. P. 18 : La un concurs s-au cumpărat, în valoare de 900 lei două serviette (de acelaşi preŃ fiecare) pentru două premii şi trei truse de desen pentru trei menŃiuni. În urma rezultatelor s-a constat că se pot acorda trei premii şi două menŃiuni. De aceea, s-a renunŃat la o trusă, s-au mai adăugat 100 lei şi s-a mai cumpărat o servietă. AflaŃi preŃul servietei şi a trusei.

Înv. Maria RaŃă, Deleni SoluŃie : Fie a preŃul unei serviete, iar b, a unei truse . Avem 2 3 900a b⋅ + ⋅ = şi

100b a+ = 5 200 900b⇒ + = . Găsim b=140 şi a=240 . P. 19 : De ziua sa, Narcis trebuie sǎ stingǎ lumânǎrile aprinse de pe tort, ce reprezintǎ numǎrul anilor împliniŃi. La fiecare “suflare” , el stinge jumǎtate din lumânǎrile aprinse. Ce vârstǎ a împlinit Narcis dacǎ din şase “suflǎri” a stins toate lumânǎrile de pe tort ?

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : a-VI-a suflare=1 lumânare; a-V-a=2 lumânǎri; a-IV-a=4 lumânǎri; a-III-a=8 lumânǎri; a-II-a=16 lumânǎri; prima=32. lumânǎri . Narcis a împlinit 32 ani. P. 20 : Tatăl, mama şi VlăduŃ şi-au propus să planteze flori în grădiniŃă. Dacă ar lucra fiecare singur, ar termina astfel: tatăl în 4 ore, mama în 6 ore, fiul în 12 ore. În câte ore ar termina lucrarea toŃi împreună ?

Înv. Mirela Munteanu, Hîrlău SoluŃie : ÎmpărŃim lucrarea în 12 părŃi egale. Într-o oră, tatăl va lucra 12:4=3 părŃi; mama 12:6=2 părŃi, iar fiul 12:12=1 parte. Împreună lucrează într-o oră 3+2+1=6 părŃi.Vor termina lucrarea în 12:6= 2 ore . P. 21 : Maria este sora lui Vlad. Ea are de 5 ori mai mulŃi fraŃi decât surori, iar Vlad are de 2 ori mai mulŃi fraŃi decât surori. CâŃi copii sunt în acea familie ?

Înv. Mirela Munteanu, Hîrlău SoluŃie : Notăm cu a, numărul băieŃilor şi cu b pe cel al fetelor. Avem ( )5 1a b= ⋅ − şi 1 2a b− = ⋅ . Rezultă 5 5 2 1b b− = + , de unde 2b = şi 5a = . Prin urmare,

numărul copiilor din acea familie sunt 7a b+ = .

Micii MATEMATICIENI

26

P. 22 : AflaŃi numărul a, ştiind că 3

4 din 2008 se adună cu două jumătăŃi din 1292, iar

suma obŃinută se împarte la a , se obŃine un număr mai mare cu 790 decât 2008 . Înv. Rodica Chihaia, Tg. Frumos

SoluŃie : Avem : ( )3 2008 : 4 2 1292 : 2 : 2008 790a⋅ + ⋅ = + . Se obŃine 1.a =

P. 23 : Suma a 13 numere naturale, distincte este 92. Care sunt aceste numere ?

Înv. Maria RaŃă, Deleni SoluŃie : Efectuând suma primilor 13 numere naturale consecutive obŃinem suma 91. DiferenŃa dintre suma dată şi cea obŃinută este 1. Singurul număr la care se poate adăuga o unitate este 13 căci altfel numerele nu ar mai fi distincte. Deci, numerele căutate sunt : 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;14. P. 24 : Sǎ se determine câte perechi (a , b) de cifre distincte pentru care a b− , a b+ şi a b⋅ pot fi numere naturale consecutive

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Cele trei numere fiind consecutive , diferenŃa dintre a+b şi a-b poate fi 1 sau 2 . Cum diferenŃa este 2b, rezultǎ cǎ b=1. Se obŃin 8 perechi şi anume ( ) ( ) ( )2,1 ; 3,1 ;...; 9,1 .

MATEMATICA GIMNAZIALĂ Clasa aV a 5.9 : DeterminaŃi numerele naturale abc cu a,b,c cifre distincte douǎ câte douǎ din

egalitatea: ( )1 3 3 1 7a b c a⋅ + ⋅ + ⋅ = .

Aurel Neicu, Hirlău SoluŃie : Din 0a ≠ şi 13 17a ≤ rezultă că 1a = . Găsim 3 4b c+ = . Cum 3 4 1b b≤ ⇒ ≤ şi cum cifrele sunt distincte rezultă că 0; 4b c= = . Prin urmare, numărul căutat este 104. 5.10 : În anul 2008, patru prieteni au descoperit cǎ rǎstunatul numǎrului care reprezintǎ data naşterii fiecǎruia este tot data naşterii fiecǎruia. Pe cel mai mare dintre ei îl cheamǎ Emi. Care este data lor de naştere ?

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Din ab ziua → ab ≤31 → a≤3 ; cd luna → cd ≤12→ c≤1 şi dcba anul

naşterii → 2008dcba < →d≤2 . Din c≤1 rezultǎ d nu poate fi 0 sau 1 cǎci vârstele lor

ar fi de peste 700 ani şi nu ar fi rezonabil . Deci d=2 şi cum 2008dcba < →c=0 şi b=0 → a nu poate fi 0 cǎci s-ar fi nǎscut în ziua 0. Rǎmân datele 10.02.2001 şi 20.02.2002 . Fiind cel mai mare , Emi s-a nǎscut pe 10.02.2001 , iar ceilalŃi pe 20.02.2002 .

5.11 : ArătaŃi că fracŃia 2006 2007

;2007 2008

nn

n

⋅ +∈

⋅ +ℕ este ireductibilă.

Cezar-Marius Romaşcu, SoluŃie : Presupunem prin absurd că fracŃia este reductibilă, adică se simplifică cu 1d ≠ .

Micii MATEMATICIENI

27

Din ( )2006 2007d n⋅ + şi ( )2007 2008d n⋅ + rezultă că d divide şi diferenŃa, adică

( )1d n + ( )2007 1d n⇒ ⋅ + . Rezultă că ( ) ( )2007 2008 2007 2007d n n⋅ + − ⋅ + , adică

1d = , contradicŃie. Deci fracŃia este ireductibilă .

5.12 : Să se găsească numărul natural m din egalitatea 2319683 3m

= . Aurel Neicu, Hirlău

SoluŃie : Din2319683 3m

=29 33 3m

⇒ = 29 3n

⇒ = 2 23 3n

⇒ = 2 2n⇒ = 1.n⇒ =

5.13 : Dacă fracŃiile 3 7 9 5 16; ; ; ;

5 4a b a b+ sunt ordonate crescător, determinaŃi media lor

aritmetică ştiind că *,a b∈ℕ . Costache RaŃă, Deleni

SoluŃie : Din 3 7

5 a< ⇒ 3 35 11a a< ⇒ ≤ . Din

7 9

4a< ⇒ 28 9 4a a< ⇒ ≤ . Prin urmare,

4 11a≤ ≤ (*) . Din { }9 59 20 2 1;2

4b b b

b< ⇒ < ⇒ ≤ ⇒ ∈ , căci *b∈ℕ . Avem 1b ≠ căci

altfel am avea 5 16

1 1a<

+⇒ ( )5 1 16 5 11 2a a a+ < ⇒ < ⇒ ≤ , în contradicŃie cu relaŃia (*).

Rezultă că 2b = şi avem 5 16

2 2a<

+⇒ ( )5 2 32 5 22 4a a a+ < ⇒ < ⇒ ≤ . Cum din (*)

avem 4 a≤ găsim 4a = . Deci media aritmetică numerelor fracŃionare date este 3 7 9 5 16 586

: 5 1,95(3)5 4 4 2 6 300

+ + + + = =

.

5.14 : Un vânzǎtor a primit trei lǎzi cu fructe în greutate totalǎ de 120 kg. Din “ochi” el estimeazǎ cǎ lada cu mere şi cea cu pere nu depǎşeste 70 kg, cea cu pere şi cea cu prune nu cântǎreşte mai mult de 80 kg, iar cea cu mere şi cea cu prune mai mult de 90 kg. Câte kg din fiecare fruct a primit vânzǎtorul ştiind cǎ estimǎrile sale sunt corecte.

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Notǎm cu a , b ,c numǎrul de kg de mere , pere, respective prune . Avem

70a b+ ≤ ; 80b c+ ≤ ; 90a c+ ≤ . Adunând acestea , obŃinem 120a b c+ + ≤ . Cum 120a b c+ + = rezultǎ cǎ a+b=70 ;b+c=80 şi a+c=90 →a=40kg ; b=30kg ; c=50kg .

5.15 : Să se afle x∈ℕ din egalitatea 21008 1009 ... 2008 2233 x+ + + = ⋅

Aurel Neicu, Hirlău SoluŃie : Membrul stâng al egalităŃii din enunŃ are 1001 numere consecutive. Valoarea lui este ( )1008 2008 1001: 2 1509508+ ⋅ = . Găsim 2 676x = . Deci 26.x =

5.16 : Există numere naturale astfel încât numerele : 2 3a b c+ − , 2 3b c a+ − şi 2 3c a b+ − sunt toate impare ?

Mihai Crăciun, Paşcani

Micii MATEMATICIENI

28

SoluŃie : Dacă toate aceste numere ar fi impare atunci şi suma lor ar fi număr impar. Dar suma lor este ( )4 a b c+ + , adică număr par, fals. Deci nu pot fi toate impare.

5.17 : O mamă are doi copii. Vârsta mamei se exprimă printr-un număr de două cifre, fiecare cifră fiind vârsta unuia dintre copii. Dacă la vârsta mamei se adună vârstele celor doi copii se obŃine 49 ani. Ce vârstă are mama şi cei doi copii ?

Costache RaŃă, Deleni SoluŃie : Fie vârsta mamei .ab Din 49ab a b+ + = obŃinem 11 2 49a b⋅ + ⋅ = . Dintre valorile lui a , numere impare şi mai mici decât 5 care verifică egalitatea numai 3a = , de unde 8b = . Prin urmare, mama are 38 ani , iar vârstele copiilor sunt de 3 ani şi 8 ani . 5.18 : Dacǎ suma cifrelor unui numǎr este multiplu de 9 atunci spunem cǎ acel numǎr

este « nouar ». Sǎ se determine numărul « nouar » abc ştiind cǎ numerele xabc ;

xaybc şi xaybzc sunt numere « nouare », iar numǎrul xbyazc este numǎr palindromic (adică este egal cu rǎsturnatul sǎu).

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : xbyazc este numǎr palindromic⇒x=c ; z=b ; y=a .Din abc numǎr nouar

→a+b+c se împarte exact la 9 . Din xabc numǎr nouar ⇒ x=9 ⇒ c=9 . Din xaybc

numǎr nouar şi x=9⇒ a=9 , iar xaybzc numǎr nouar ; x=9 şi y=9⇒b=0 sau b=9 Deci

abc=909 sau abc=999. Clasa a VI a 6. 7 : Doi dintre cei trei iezi ai Caprei din poveste au vârstele mai mari de zece ani . Cu cât este iedul mijlociu mai mare decât cel mic cu atât este mai mic faŃǎ de iedul cel mare . Pe care ied a mâncat Lupul cel rǎu, dacǎ iezii rǎmaşi au împreunǎ 12 ani ? Ce vârstǎ au iezii ?

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Cei trei iezi au vârstele de forma: a ; a+m ; a+2m cu a+m>10 . Dacǎ iedul cel mijlociu ar fi fost mâncat atunci 2a+2m=12 →a+m=6 →6>10 , fals . Dacǎ iedul cel mic ar fi fost mâncat atunci 2a+3m=12→2a+2m<12 →a+m<6 , fals . Prin urmare, iedul cel mare a fost mâncat de Lupul cel rǎu . Avem 2a+m=12 →a+m<12 şi cum a+m>10 → a+m=11 →a=1 ; m=10 R: 1 an ; 11 ani ; 21 ani 6. 8 : Pentru cele 25 de locuri scoase la concurs în vederea înscrierii în clasa a V a participă un număr de concurenŃi. Ştiind că 64% dintre ei au reuşit la matematică şi 56% au reuşit la limba română, să se afle câŃi au participat la concurs.

Dana Pavel, Hîrlău SoluŃii : Au reuşit la ambele probe 120%-100%=20% din participanŃi, adică o cincime din ei. Cum sunt 25 locuri rezultă că au fost 125 concurenŃi. 6. 9 : Dacă adunăm jumătatea, sfertul şi optimea măsurii unghiului 0u , obŃinem suplementul său. Care este măsura complementului suplementului unghiului 0u ?

Mihaela Turnea, Tg. Frumos

Micii MATEMATICIENI

29

SoluŃie : Avem : 0 0 0

0 01802 4 8

u u uu+ + = − 0 0 0 0 04 2 180 8u u u u⇒ ⋅ + ⋅ + = − ⋅

0 015 1440u⇒ ⋅ = . Deci 0 096u = , de unde suplementul său este 0 0 0 0180 84s u= − = . ObŃinem complementul suplementului de 0 0 0 0 090 90 84 6s− = − = . 6. 10 : Câtul, restul şi împǎrŃitorul sunt cifre ale deîmpǎrŃitului . AflaŃi deîmpǎrŃitul.

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Avem d i c r= ⋅ + cu r i< . Cum i, c, r sunt cifre, rezultă că 89d ≤ . Din r i<

rezultă că d nu poate fi număr de o cifră. Deci, d ab= şi a b≠ .

Dacă b a< atunci r b= şi i a= . Din 10 10ab a c b a b a c b c= ⋅ + ⇒ + = ⋅ + ⇒ = , fals .

Dacă a b< atunci r a= şi i b= . Din ( )9 1ab b c a a b c= ⋅ + ⇒ = ⋅ − (*). Cum a b<

rezultă că b nu divide pe a , de unde { }9 1;3;9b D∈ = . Pentru c a= avem ( )9 1a b a= ⋅ − .

Cum a nu divide (a-1) rezultă că a b b a x⇒ = ⋅ cu 1x > .Găsim ( ) 99 1x a x D= − ⇒ ∈ şi

9 9ax x b x= − ⇔ = + . Cum b este cifră rezultă 1x ≤ , fals. Deci, c b= . Din (*) obŃinem

( )9 1a b b= ⋅ − . Dar { }9 1;3;9b D∈ = . Rezultă2

0; ;83

a ∈

.Fiind cifră, găsim 8a = şi

9b = . Deci, numărul căutat este 89. 6. 11 : Un elev întârzie la o orǎ. Profesorul observǎ cǎ poate sǎ numere elevii din clasǎ şi câte doi, şi câte trei. Dupǎ ce a venit întârziatul a constatat cǎ poate sǎ îi numere câte cinci. CâŃi elevi sunt în clasǎ ştiind cǎ nu pot depǎşi 50 elevi.

Aurel Neicu, Hirlău SoluŃie : Clasa poate avea 5 ; 10 ; 15 ; 20 ; 25 ; 30 ; 35 ; 40 ; 45; 50 elevi . Dintre acestea, îl alegem pe acel numǎr care dǎ restul 1 la împǎrŃirea cu 6. Acesta este 25. R: 25 elevi. 6. 12 : Fie a, b cifre pare consecutive, iar c şi r , restul şi câtul împǎrŃirii numerelor ab

şi ba la *n∈ℕ . ArǎtaŃi cǎ c şi r nu pot fi numere consecutive . Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

SoluŃie : Presupunem fără a restrânge generalitatea că .a b< Din a, b cifre consecutive

pare rezultă 2b a− = . Avem ba n c r= ⋅ + şi ab n r c= ⋅ + . Scăzând aceste egalităŃi găsim

( ) ( ) ( ) ( )( )10 10 1 1 9 1ba ab n c r n r c b a a b c n r n b a n c r− = ⋅ + − ⋅ − ⇒ + − − = − − − ⇒ − = − −

( ) ( )18 1n c r⇒ = − − . Presupunem prin absurd că c, r sunt consecutive 1c r⇒ − = , de

unde ( )18 1 1 19.n n= − ⋅ ⇒ = Avem ab n r c= ⋅ + 10 19a b r c⇒ + = + . łinând cont că

2b a= + şi 1c r= + găsim 11 2 20 1 11 1 20a r a r+ = + ⇒ + = . Rezultă că ultima cifră a lui 11 1a + este 0, de unde 9a = , fals căci este cifră pară. 6. 13 : DeterminaŃi cifra a din egalitatea:

2 4 2284

41 8 3

a a a a+ + = .

Costache RaŃă, Deleni

Micii MATEMATICIENI

30

SoluŃie : RelaŃia din enunŃ se scrie succesiv : 24 2 123 4 328 2 284 24 41a a a a⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )24 10 2 123 40 328 101 20 279456a a a⇔ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + = .Prin desfacerea parantezelor

şi reducerea termenilor asemenea găsim 33491 267928a⋅ = , adică 8.a =

6. 14 : Fie ABC△ cu �( ) 0120m BAC = . Perpendiculara în C pe AC intersectează

mediatoarea lui [AB] în D . Notăm cu E DC AB∈ ∩ . DemonstraŃi că 2AB AC= dacă şi numai dacă BDE△ este dreptunghic în D şi A este mijlocul lui [BE] .

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Din M mijlocul lui AB şi DM AB BDA⊥ ⇒△ este isoscel.

" "⇒ Presupunem �2AB AC AM AC A bisctMDC≡ ⇒ ≡ ⇒ ∈ � �MDA ADC⇒ ≡

Dar � � � � �BDM MDA BDM MDA ADC α≡ ⇒ ≡ ≡ = . Avem � �CAE MDA≡ întrucât MDCA

inscriptibil 2 60 30oα α⇒ = ⇒ = � 30omBDC BDE⇒ = ⇒△ dreaptunghic în D . Din BDAechilateral DA AB⇒ ≡△ şi din DAE isoscel AD AE⇒ ≡△ . Prin urmare, AB AE≡ , adică A este mijlocul lui BE .

" "⇐ Presupunem că � 90BDE = � şi A mijloc BE AC⇒ lungimea mijlocie în BDE△

12

2AC BD BD AC⇒ = ⇒ = . Din DMAC insc. � 060MDC⇒ = � 030BDM⇒ =

� 060mB⇒ = BDA⇒△ este echilateral ⇒ BD≡AB . Deci AB = 2AC. 6. 15 : Fie ABC△ . Cercul de diametru [AB] şi centru M intersectează linia mijlocieMN ( )N AC∈ în punctele D şi E . DemonstraŃi că BD şi BE sunt bisectoarele

( interioară şi exterioară ) a unghiului B. Cosmin-Alexandru Spînu, elev, Hîrlău

SoluŃie : Fiind înscris într-un semicerc ADB△ este dreptunghic în D MD AM MB⇒ ≡ ≡ .

Din BMD△ isoscel rezultă � �ABD MDB≡ . Cum MN BC� fiind linie mijlocie rezultă, din

teorema paralelelor tăiate de o secantă că� �CBD MDB≡ . Deci � �ABD CDB≡ , adică BD este

bisectoarea interioară a lui �ABC . Avem � 90EBD = � fiind înscris într-un semicerc BE BD⇒ ⊥ . łinând cont că bisectoarea interioară şi cea exterioară a unghiului B sunt

perpendiculare şi că BD este bisectoarea interioară a lui �ABC rezultă că BE este

bisectoarea exterioară a lui �ABC .

Micii MATEMATICIENI

31

Clasa a VII a 7. 8 : Să se arate că nu există nici un număr raŃional x cu proprietatea

2007 5 1 0x x− ⋅ − = . Elena Andone , Iaşi

SoluŃie : Presupunem prin absurd că ar exista un număr raŃional ,p

xq

= cu p∈ℤ , *q∈ℕ ,

prime între ele astfel încât 2007 5 1 0x x− ⋅ − = 2007

20075 1 0

p p

q q⇒ − ⋅ − = . Aducând la acelaşi

numitor obŃinem: 2007 2006 2007 2007 20065 (5 )p p q q p q p q= ⋅ ⋅ + ⇒ = ⋅ + . Cum (p,q)=1

1 1p q x⇒ = = ⇒ = ± , dar nici una dintre aceste valori nu este soluŃie a ecuatiei.

7. 9 : ArătaŃi că 2005 2007n⋅ + ∉ℕ , oricare ar fi n∈ℕ . Cezar-Marius Romaşcu

SoluŃie : Dacă ar exista n∈ℕ astfel încât 2005 2007n⋅ + ∈ℕ ar trebui ca 2005 2007n⋅ + să fie pătrat perfect. Dar ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi 0; 1; 4; 9; 6 ; 5, pe când ultima cifră a numărului 2005 2007n⋅ + poate fi 7 sau 2, contradicŃie .

Deci 2005 2007n⋅ + ∉ℕ . 7. 10 : DemonstraŃi că pentru orice x∈ℕ , numărul 2 11 30x x+ ⋅ + nu este pătrat perfect.

Elena Andone , Iaşi SoluŃie : Avem (x+5)2 =x2+10x+25 < x2 + 11x +30 <x2+12x +36=(x+6)2. Cum între două pătrate consecutive nu se află un alt pătrat rezultă că 2 11 30x x+ ⋅ + nu este pătrat perfect.

7. 11 : Bisectoarea unghilui drept A a ABC△ împarte latura BC în segmente direct proporŃionale cu 3 şi 4 . Notăm cu N, piciorul bisectoarei unghiului B. DeterminaŃi raza cercului înscris şi raza cercului circumscris a ABC△ ştiind că 25BC CN− = .

Sorin Căileanu, Tg. Frumos

SoluŃie : Avem 4

NBCN = . Din teorema bisectoarei rezultă că

CN AC

NB AB=

3

4

AC

AB⇒ =

3 , 43 4

AC ABk AC k AB k⇒ = = ⇒ = = . Aplicând teorema lui Pitagora obŃinem

( ) ( )223 4 5BC k k k= + = . Cum 3 3 4

4 7 7

CN CN BC CM

NB BC BC

−= ⇒ = ⇒ =

25 4

7BC⇒ = .

17543,75

4BC⇒ = = . Cum raza cercului circumscris într-un triunghi drept este

1

2din

ipotenuză 175

21,8758

R⇒ = = . Din formula S r p= ⋅ 2 2

AC AB AC AB BCr

⋅ + +⇒ = ⋅

( )212

3 4 3 4 512

kK K r k k k r r k

k⇒ ⋅ = ⋅ + + ⇒ = ⇒ = .

Micii MATEMATICIENI

32

Prin urmare raza cercului înscris este 35

8,755 4

BCr k= = = = .

7. 12 : La o furtună, un stâlp de transport al energiei electrice se rupe, vârful său ajungând pe sol la o distanŃă de 5 m de trunchiul rămas şi formând un unghi de 060 . Pentru ca pe viitor să nu se mai întâple astfel de incidente constructorul s-a gândit să asigure stabilitate stâlpilor cu o ancoră confecŃionată din cablu oŃelit şi legată de acesta la o înălŃime ce reprezintă 80 % din cea a stâlpilor. DeterminŃi lungimea acestui cablu şi la ce distanŃă de stâlp va fi ancorat dacă el va face cu solul un unghi de 030 .

Cezar-Marius Romaşcu, SoluŃie : Notăm cu AC lungimea stâlpului înainte de furtună, cu B punctul în care s-a rupt; T punctul de unde este legată ancora. Avem AC = 5 de unde BC = 10.

Din teorema lui Pitagora în ABC△ găsim 75 5 3AB = =

Lungimea stâlpului este AC’ = AB + BC = 5 3 10+

Cum 80 85( 3 2)

' 4( 3 2)100 10

AT AC AT+

= ⋅ ⇒ = = +

rezultă că lungimea ancorei este 2 8( 3 2)ST AT= = + . În STA△ dreptunghic în A

0 3cos30

2 8( 3 2)

AS AS

ST⇒ = ⇒ =

+ .

Deci cablul va fi ancorat la distanŃa ( )4 3 2 3AS = + de stâlp

7. 13 : În triunghiul dreptunghic ABC (m( )= ) se consideră punctele

( ),D N BC∈ , ( ),M Q AB∈ astfel încât AD BC⊥ , DM AB⊥ , MN BC⊥ şi

PQ BC⊥ . Dacă AB = a şi BC = 20 , calculaŃi , determinaŃi natura patrulaterului

MPND şi aflaŃi aria acestuia. Bogdan Dorneanu, Hirlău

SoluŃie :Aplicăm teorema catetei: : a2 = 2aDB DB = ;

în : DB2 = MB AB =MB a MB = ;

în : MB2 = NB DB

NB = ;

MNB: NB2 = PB MB

= PB PB = ;

NPB: PB2 = BQ BN

= BQ BQ = .

A B

C

D

M

N

P

Q

C’

T

B

C S A

6030

Micii MATEMATICIENI

33

Deci obŃinem: = .

b) Deoarece DM AB şi NP AB obŃinem că DM NP, deci MPND este un trapez

dreptunghic. Atunci . Pentru a calcula NP şi MD se aplică fie

teorema înălŃimii, fie teorema lui Pitagora şi se obŃine: şi NP = .

MP = MB – PB = Deci:215 3

512MPND

aA =

7. 14 : Fie ABCD un trapez ( )AD BC� în care diagonala AC este bisectoarea

unghiului BCD . Dacă E AB DC∈ ∩ , DC=7,5 cm , BC=12 cm, AB=6 cm să se arate că ABCD este trapez dreptunghic şi apoi, să se calculeze perimetrul şi aria BDE△ .

Cosmin-Alexandru Spînu, elev, Hîrlău

SoluŃie : Din AD DE AE

AD BC ADE BCEBC EC BE

⇒ ⇒ = =� △ ∼△ . Cu AD BC� şi AC

secantă � � �DAC ACB ADC⇒ ≡ ≡ Deci ADC△ este isoscel ⇒ AD = DC = 7,5.

Deci 7,5 4,5 6

1612 12

AEBE

BE BE= ⇔ = ⇒ = . Cum

7,5 7,512,5

12 7,5 4,5

DE DEDE

EC= ⇒ = ⇒ =

Avem 2

2 25

4DE = şi ( )

222 2 2 25

10 7,54

AE AD+ = + = Deci 2 2 2DE AE AD= + , de unde

. .R T P

ADE⇒ △ drept în A⇒ ABCD trapez dreptunghic.În . .

2 2 2T P

BAD BD AD AB⇒ = +△ .

941

2BD⇒ = Deci

47 9 41

2BDEP BE BD DE cm+

= + + = şi

16 7,560

2 2DBE

AD BES cm

⋅ ⋅= = = .

7. 15 : Fie ABC△ , dreptunghic în A şi punctele ,D AB E BC∈ ∈ astfel încât AD=3 cm şi CE=3,75 cm. Ştiind că BC=10 cm şi AC=6 cm, se cere:

a) Să se arate că DE AC� ; b) Să se calculeze lungimile segmentelor DE şi DC ; c) Să se arate că (CD este bisectoarea unghiului ACB .

Şerban Alexandru, elev, Hîrlău

SoluŃie : a) Avem BE = 10 – 3,75 = 6,25 6, 25 625 25 5

3,75 375 15 3BEEC⇒ = = = = .

În 2 2 2 28TP

ABC AB BC AC⇒ = − = ⇒△ AB = 8cm 8 3 5BD AB AD⇒ = − = − =

Deci 5

3

BD

AB= . Prin urmare

BE BD

EC DA=

.. .

,T fNR T Th

DE AC BDE BAC⇒ ⇒� △ ∼△

b) 6 5 30 15

3,758 8 4

DE BDDE cm

AC AB

⋅⇒ = ⇒ = = = =

Micii MATEMATICIENI

34

Deci 2 2 2 2 2 23 3 4 3 5 3 5DC AD AC DC cm= + = + ⋅ = ⋅ ⇒ =

c) Din � �DE AC EDC DCA⇒ ≡� (alt int.) adică 3,75DE CE DEC≡ = ⇒△ isoscel � �EDC BCD⇒ ≡ Deci � �DCA DCB CD≡ ⇒ bisectoare

Clasa a VIII a 8. 8 : Fie , ,a b c Z∈ astfel încât numǎrul abc+ab+ac+bc+a+b+c+7 este numǎr prim. DemonstraŃi cǎ a , b , c nu pot fi numere consecutive.

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Presupunem, prin absurd, cǎ a , b , c sunt numere consecutive ⇒ cǎ existǎ x Z∈ astfel încât a=x-1 ; b=x şi c=x+1 . Atunci expresia

E=abc+ab+ac+bc+a+b+c+7=…= ( ) ( )3 2 22 3 6 3 2x x x x x+ + + = + +

Cum E este număr prim rezultǎ situaŃiile : • x+3=1 2 6x E⇒ = − ⇒ = nu este prim, contradicŃie . • x+3=-1 4 18x E⇒ = − ⇒ = − nu este prim , contradicŃie . • 2 22 1x x+ = ± ⇒ nr negativ , absurd .

Prin urmare, a , b , c nu pot fi numere consecutive .

8. 9 : Ştiind că ( )( )4 3 2 2 27 5 14 6 2 7 3x x x x x a x b x x− ⋅ + ⋅ − ⋅ + = + ⋅ + ⋅ − ⋅ + x∀ ∈ℝ , să

se verifice adevărul propoziŃiei : ( )2 2 2a b a b+ = + .

Mihaela Manole, Darlington High School, SC, USA SoluŃie : Coeficientul lui 4x din membrul drept al egalităŃii este b, deci 1b = . Membrul

stâng se descompune astfel : ( ) ( )4 3 2 4 3 2 27 5 14 6 7 3 2 14 6x x x x x x x x x− + − + = − + + − +

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 27 3 2 7 3 7 3 2x x x x x x x x= − + + − + = − + + . Deducem că x∀ ∈ℝ avem

( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 7 3 2 7 3x x x x a x x x+ − ⋅ + = + ⋅ + − ⋅ + ⇒ 2 22 2,x x a x x+ = + ⋅ + ∀ ∈ℝ , de

unde 0a = . Aceste valori verifică egalitatea ( )2 2 2a b a b+ = + .

8. 10 : Fie mulŃimea { }, ,A a b a b= − unde ( )2007 2 1 2 3 ... 2006a = + ⋅ + + + + ;

2 20061 2 2 ... 2b = + + + + . Să se determine mulŃimea A Q∩ . Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

SoluŃie : Pe scurt: avem 22007a = ⇒ a = 22007 2007= ∈ℚ , iar 20072 1b = − .

Deoarece utima cifrǎ a lui 20072 este 8 deci a lui b este 7 rezultǎ cǎ b nu este pǎtrat perfect

şi deci b∉ℚ . Cum ultima cifra a lui a este 9 rezultǎ cǎ ultima cifrǎ a lui a-b este 2

deci a b− ∉ℚ . Prin urmare A∩ℚ ={ }2007

Micii MATEMATICIENI

35

8. 11 : Pe planul dreptunghiului ABCD cu AD<CD se ridică perpendiculara MD astfel

încât MD=3 cm . Notăm cu N mijlocul MB şi P mijlocul MC . a) DemonstraŃi că NDC△ este isoscel ; b) ArătaŃi că ( )AM BPD� ;

c) CalculaŃi MA, MC, MB ştiind că sunt trei numere naturale consecutive. Mihaela Turnea, Tg. Frumos

SoluŃie :

a) Din ( )MD ABCD MD BD⊥ ⇒ ⊥ . Cum DN mediană în rezultă 2

BMND = .Cum

( )MD ABCD⊥ şi DC CB⊥ rezultă din 3T ⊥ că MC CB⊥ . Atunci 2

BMCN = fiind

mediană în △ dreptunghic. Deci ND = CN ⇒ △CND isoscel. b) Notăm cu O AC BD∈ ∩ . Rezultă OP linie mijlocie în △CAM, deci OP AM� . Cum OP ⊂ (BPD) rezultă că ( )AM BPD� . c) Din AD<CD<BD resultă că MA<MC<MB. Fiind consecutive rezultă că

1; ; 1MA x MC x MB x= − = = + . Aplicând teorema lui Pitagora în △MDC, △MDB,

△MDA găsim ( ) ( )2 22 2 2 21 9; 9; 1 9BD x CD x AD x= + − = − = − −

Cum 2 2 2 2BD AC AD CD= = + rezultă ecuaŃia ( ) ( )2 221 9 9 1 9x x x+ − = − + − − 2 2 22 8 2 2 17 4 9 0x x x x x x⇔ + − = − − ⇔ − − = de unde 2 13x = + .

8. 12 : În cubul / / / /ABCDA B C D diferenŃa dintre diagonala cubului şi diagonala unei

feŃe este 17 4 15 13 4 10+ − + . a) CalculaŃi perimetrul şi aria secŃiunii diagonale a cubului.

b) DeterminaŃi aria şi perimetrul AMN△ , unde M este mijlocul lui /CC , iar

Neste mijlocul lui / /C D .

c) CalculaŃi distanŃa de la D la planul ( )/ABC

Cezar-Marius Romaşcu, SoluŃie : Notăm cu l latura cuburilor. Cum diagonala cuburilor este 3l şi a unei feŃe

2l rezultă, din enunŃ, că ( ) ( )2 2

3 2 5 2 3 5 2 2l l− = + − +

( )3 2 2 3 2 2l⇒ − = − , adică l = 2.

a)SecŃiunea diagonală este un dreptunghi cu dimensiunile 2 şi 2 2 , deci are perimetrul

egal cu 4 4 2+ şi aria de 4 2 .

b)Din MN linia mijlocie în ' 'D C C△ găsim 2 2

22

MN = = .Aplicând legea lui

Pitagora în 'AD N△ dreaptă în D’ şi în ACM△ dreaptă C obŃinem AN=AM=3.

Micii MATEMATICIENI

36

Deci perimetrul 'AM N△ este 6 2+ . Notăm cu S mijlocul lui MN. Fiind isoscel rezultă

că AS înălŃime în AMN△ . Avem

2

2 2 2 2 29

2AN AS SN AS

= + ⇒ = −

34

2AS⇒ = Deci

17

2 2AMN

AS MNA

⋅= =

c) Notăm O intersecŃia diagonalelor pătratului ADD’A’. Rezultă ' ' 'DO A D DO BC⊥ ⇔ ⊥ . Cum ( )' 'AB ADD A⊥ rezultă AB DO⊥ . Deci

( )'DO ABC⊥ .Din distanŃa de la D la planul (ABC’) este 2

22

lDO = = .

8. 13 : Să se arate că triplul ariei totale a unui tetredru este mai mc decât suma pătratelor muchiilor.

Costache RaŃă, Deleni SoluŃie : Fie VABC – un tetraedu oarecare. Notând cu Al aria laterală avem:

VAB VBC VCAAl A A A= + + ⇒� � �sin sin sin

2 2 2

VA VB AVB VB VC BVC VC VA CVAAl

⋅ ⋅ ⋅= + +

Cum � � �sin 1,sin 1,sinAVB BVC CVA≤ ≤ ≤ obŃinem: (1)2

VA VB VB VC VC VAAl

⋅ + ⋅ + ⋅≤

Avem inegalitatea adevărată: ( ) ( ) ( )2 2 20,VA VB VB VC VC VA− + − + − ≥ de unde rezultă

2 2 2VA VB VB VC VC VA VA VB VC⋅ + ⋅ + ⋅ ≤ + + şi inegalitatea (1) devine: 2 2 2

(2)2

VA VB VCAl

+ +≤

Scriem inegalităŃile analoage pentru toate vârfurile:

2 2 2

(3)2

BA BV BCAl

+ +≤

2 2 2

(4)2

CA CV CDAl

+ +≤

2 2 2

(5)2

AB AV ACAl

+ +≤

Însumând inegalităŃile (2), (3), (4), (5) obŃinem inegalitatea cerută în enunŃ cu semnul mai mic (<), deoarece nu putem avea în toate vârfurile 3 unghiuri drepe.

2 2 2 2 2 22(3

2

AB AC BC VA VB VCAt

+ + + + +⋅ <

De unde 2 2 2 2 2 23 At AB AC BC VA VB VC⋅ < + + + + +

C

V

B

A

Micii MATEMATICIENI

37

8. 14 : Există trei numere naturale mai mici decât 1 astfel încât a b c+ + să fie multiplu de 3 , dar numărul 3 3 3a b c+ + să nu fie multiplu de 3 ?

Mihai Crăciun, Paşcani SoluŃie : Evaluând diferenŃa ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3a b c a b c a a b b c c+ + − + + = − + − + − găsim

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 3 3 1 1 1 1 1 1a b c a b c a a a b b b c c c+ + − + + = − + + − + + − + . Cum produsul

a trei numere consecutive este multiplu de 3, rezultă că ( )3 3 33a b c a b c+ + − + + ∈Μ .

łinând cont că 3a b c+ + ∈Μ rezultă că 3 3 33a b c+ + ∈Μ , în contradicŃie cu ipoteza. Prin

urmare nu este posibilă situaŃia problemei.

MATEMATICA LICEALĂ Clasa a IX a 9. 8 : FuncŃiile , :f g →ℝ ℝ au proprietăŃile : ( ) ( )670 669 2007 1f x x+ = − + şi

( ) ( )2007 2010 669 1g x x− = − , pentru orice x , număr real. Graficul funcŃiei f

intersectează Ox şi Oy în A, respective B, iar graficul funcŃiei g intersectează Ox şi Oy în C, respective D . DeterminaŃi funcŃiile. ArătaŃi că AD BC⊥ şi aflaŃi coordonatele ortocentrului .ABC△

Sorin Căileanu, Tg. Frumos

SoluŃie : Pentru 670 669a x= +670

669

ax

−⇒ = ( ) 3 3,f a a a⇒ = − + ∀ ∈ℝ . Pentru

2007 2010b x= −2010

2007

bx

+⇒ = ( ) 1

1,3

g b a b⇒ = + ∀ ∈ℝ .Coordonatele intersecŃiilor

cu axele sunt ( )0;3A ; ( )1;0B ; ( )3;0C − şi ( )0;1D . Se observă că AD BC⊥ căci axele

sunt perpendiculare. Cum 1

3CD gm m= = ; 3AB fm m= = − şi 1CD ABm m⋅ = − rezultă că

CD AB⊥ . Cum AD şi CD sunt înălŃimi rezultă că ( )0;1D este ortocentrul ABC△ .

9. 9 : Sǎ se determine *n∈ℕ astfel încât prima zecimalǎ a numǎrului 2 2n n+ să fie cifră pară.

Aurel Neicu, Hirlău

SoluŃie : Se observǎ cǎ ( )22 2 2 1n n n n< + < + 2 2 1n n n n⇒ < + < + Deci n este partea

întreagǎ a lui 2 2n n+ . Cǎutǎm prima zecimalǎ a numǎrului 2 2n n+ . Dacǎ 5n ≥ vom arǎta cǎ este 9 , ; pentru aceasta este suficient sǎ demonstrǎm cǎ :

292 1

10n n n n+ ≤ + ≤ +

229

210

n n n ⇔ + ≤ +

2 29 812 2

10 100n n n n+ + ≤ +

Micii MATEMATICIENI

38

815

20n n⇔ ≥ ⇔ ≥ (A). Pentru 1n = avem 2 2 3 1,73n n+ = ≅ ; pentru

2n = ⇒ 2 2 8 2,82n n+ = ≅ ; pentru 3n = ⇒ 2 2 15 3,87n n+ = ≅ ; pentru 4n = ⇒ 2 2 24 4,89n n+ = ≅ . Deci { }2,3,4n∈ .

9. 10 : Fie punctele A(0, 6), B(-4, 3), C(-4, -2), D(0, -5), E(4, - 2) şi F(4, 3). ReprezentaŃi punctele într-un reper cartezian şi:

a) StabiliŃi natura triunghiurilor ACE şi DBF .

b) ArătaŃi că

c) CalculaŃi aria poligonului ABCDEF Bogdan Dorneanu, Hirlău

SoluŃie : Prin aplicarea teoremei lui Pitagora se obŃine: AC =

În mod analog: AE = BD = DF = Deci triunghiurile sunt triunghiuri isoscele. Aplicând tot teorema lui Pitagora se găseşte că: AB = BC = CD = DE = EF = FA = 5. Prin compararea triunghiurilor:

Pentru calcularea ariei poligonului ABCDEF, vom considera că acesta este format din două trapeze: ABCD şi AFED.

În mod analog Deci

9. 11 : Fie [ ]: 1,3f → ℝ , ( ) 3 1f x x x= − + − .

a) ArătaŃi inegalitatea ( ) ( )3 1 1,x x x− − ≤ ∀ ∈ℝ

b) DeterminaŃi imaginea funcŃiei f .

c) Să se rezolve în ×ℝ ℝ ecuaŃia ( )23 1 2x x x y− + − = + − .

Aurel Neicu, Hîrlău SoluŃie :

a) Din ( )2 2 22 0, 4 4 0, 4 3 1,x x x x x x x− ≥ ∀ ⇒ − + ≥ ∀ ⇔ − + − ≤ ∀

( ) ( ) ( )( )2 3 3 1, 1 3 3 1, 3 1 1,x x x x x x x x x x x⇒ − + + − ≤ ∀ ∈ ⇒ − − − ≤ ∀ ⇔ − − ≤ ∀ ∈ℝ ℝ

Cu egalitate când x=2.

A

B

C

D

E

F

Micii MATEMATICIENI

39

b) Cum radicaii sunt ≥0 rezultă că ( ) [ ]0, 1,3f x x≥ ∀ ∈ . Egalitatea nu poate avea loc căci

ar rezulta 3 1 0 1 3x x− = − = ⇔ = fals. Deci ( ) [ ]0, 1,3f x x> ∀ ∈ .

Cu ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 2 3 1 1 2 2 3 1f x x x x x x x= − + − − + − = + − − Rezultă din a) că

( ) ( ) [ ]2 4 2, 1,3f x f x x≤ ⇔ ≤ ∀ ∈ Deci im f=(0; 2]

c) Cum ( ) ( ) ( )2 20 2 0 3 1 2 0 2 2 0f x x x x y x y< ≤ ⇔ < − + − ≤ ⇔ < + − ≤ ⇒ − ≤

Deci ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 4 2 3 1 2 3 1 1 2x y f x f x x x x x x= ⇒ = ⇔ = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ =

Deci ( ) ( ), 2, 2x y = .

9. 12 : Fie mulŃimea { }1,kA a k n= ∈ . Ştiind că funcŃia :f A A→ este strict monotonă

să se arate că există ( ):x A f x x∈ = dacă şi numai dacă n este număr impar.

CodruŃ-Andrei Onofrei, elev, Hirlău SoluŃie : Presunem că elementele mulŃimii A sunt ordonate crescător : 1 2 ... na a a< < < .

Dacă f este strict crescătoare atunci ( ) ( ) ( )1 2 ... nf a f a f a< < < . Cum Im f A= rezultă

că ( ) , 1,k kf a a k n= ∀ = . Deci toate elementele ( ):x A f x x∈ = . Dacă f este strict

descrescătoare atunci ( ) ( ) ( )1 2 ... nf a f a f a> > > . Cum Im f A= rezultă

( ) ( ) ( )1 2 1 1; ;....;n n nf a a f a a f a a−= = = . Deci ( ) 1 , 1,k n kf a a k n+ −= ∀ = .

Fie ( ) 1, : ix A i n x a∈ ⇒ ∃ = = . CondiŃia există ( ):x A f x x∈ = ⇔ ( ) ( )1, : i ii n f a a∃ = =

1 1 2 1n i ia a n i i n i+ −⇔ = ⇔ + − = ⇔ = − ⇔ n impar.

9. 13 : Fie k un număr natural astfel încât k nu este multiplu de 3 . DemonstraŃi că există

*m∈ℕ cu proprietatea că 3 1m − se divide cu k . Mihai Crăciun, Paşcani

SoluŃie : Fie următoarele 1k + numere naturale: 2 3 13 1;3 1;3 1 ; ... ;3 1 .k+− − − − Cum sunt 1k + numere şi există k resturi posibile la împărŃirea cu k , rezultă conform principiului

lui Dirichlet că există cel puŃin două din numerele considerate care dau acelaşi rest r la

împărŃirea cu k . Fie acestea 3 1i − şi 3 1j − cu i j> . Avem ( ) ( )3 1 3 1i jk− − − ∈Μ , adică

( )3 3 1j i jk

−⋅ − ∈Μ . Cum ( )3, 1k = rezultă că 3 1i j− − este divizibil cu k . Deci există *m i j= − ∈ℕ cu proprietatea că 3 1m − se divide cu k .

9. 14 : Există m∈ℝ pentru care ecuaŃia 2 7x x m m− + = are patru soluŃii reale în

progresie aritmetică ? Dar în progresie geometrică ? Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

SoluŃie : Presupunem că există m∈ℝ astfel încât ecuaŃia să aibă 4 soluŃii reale. Rezultă că 0m > căci altfel ecuaŃia ar avea cel mult 2 soluŃii reale. Din 2 7x x m m− + =

Micii MATEMATICIENI

40

D C

M

N A

B

1 20; 7x x⇒ = = , iar 2 7x x m m− + = − are alte două soluŃii reale distincte 3 4,x x dacă

49 8 0m∆ = − > . Deci 49

0;8

m ∈

. Din relaŃiile lui Viette rezultă că 3 4 7x x+ = şi

3 4 2x x m⋅ = . Cum 1 2 3 4 7x x x x+ = + = găsim ordinea 3 40 7x x< < < . Pentru a fi în

progresie aritmetică trebuie ca 4 32x x= ⋅ şi 37 3 x= ⋅ . Deci 7 14 49

23 3 9

m m= ⋅ ⇒ = .

Patru numere în progresie geometrică sunt de forma: 2 3, , ,a a q a q a q⋅ ⋅ ⋅ . Cum sunt soluŃii ale ecuaŃiei date rezultă că una din ele este 0 , iar alta 7 . Dacă 0a = atunci toate sunt 0 şi atunci 0=7 , fals. Dacă 0a ≠ atunci 0q = şi 7a = . Rezultă că celelate două soluŃii sunt egale cu 0 , dar suma lor este 7, fals. Nu există m cu soluŃiile în progresie geometrică.

9. 15 : Fie ABCD un paralelogram şi punctele M , N astfel încât a

AM ADb

=���� ���

şi

b

BN BMc

=��� ����

cu , ,a b c ∗∈ℝ . ArătaŃi că punctele A, N, C sunt coliniare dacă şi numai

dacă a b c+ = . Lucian Rotaru, elev , Hîrlău

SoluŃie :

Avem b b b c b b a

AN AB BN AB BM AB BA AM AB ADc c c c c b

−= + = + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

��� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ���� ��� ���

Deci (1)c b a

AN AB ADc b

−= +

��� ��� ���

" " pP a b c⇒ + = şi arătăm A, N, C puncte coliniare.

Din (1) rezultă că ( )a aAN AB AD AC

c c= + =

��� ��� ��� ���

(regula paralelogramului).

Deci ,AN AC��� ���

vectori coliniari ⇔ A, N, C puncte coliniare

" " , ,pP A N C⇒ puncte coliniare şi arătăm a+b=c

Din A, N, C coliniare ⇒ ( ) :x AN xAC∃ ∈ =��� ���

ℝ . Înlocuim AN���

cu (1) obŃinem

( )c b a c b aAB AD x AB AD x AB x AD

c c c c

− − + = + ⇒ − = −

��� ��� ��� ��� ��� ���

Cum AB���

; AD���

sunt vectori necoliniari rezultă:0

0

c bx

ca

xc

− − = − =

.

Eliminând x obŃinem c=a+b.

Micii MATEMATICIENI

41

Clasa a X a 10. 9 : Câte submulŃimi ale mulŃimii numerelor mai mici ca 2008 au intersecŃia nevidă cu mulŃimea cifrelor numărului 2008 ?

Mihaela Manole, Darlington High School, SC, USA

SoluŃie : Numărul tuturor submulŃimilor unei mulŃimi cu n elemente este2 .n MulŃimea

numerelor mai mici ca 2008 are 20082 submulŃimi. Numărul submulŃimilor care nu conŃin

cifrele 0; 2; 8 sunt în număr de 20052 .Avem

2008 2005 20052 2 7 2− = ⋅ submulŃimi care au intersecŃia nevidă cu mulŃimea cifrelor numărului 2008 .

10.10 : Să se arate că: 2 4 6 8 10 1

cos cos cos cos cos11 11 11 11 11 2

π π π π π+ + + + = −

Mihaela Turnea, Tg. Frumos

SoluŃie : SoluŃiile ecuaŃiei binome 11 1 0x − = sunt z0=1; 2 2

cos sin11 11k

k kz i

π π= + 1,10k =

Din relaŃiile lui Viette rezultă că suma acestor soluŃii este 0⇒ 1 2 10... 1z z z+ + + = − .Cum

11 , 1,5k kz z k−= = 1 2 3 4 52Re 2Re 2Re 2Re 2Re 1z z z z z⇒ + + + + = − . Prin urmare,

2 4 6 8 102cos 2cos 2cos 2cos 2cos 1

11 11 11 11 11

π π π π π+ + + + = − .

10.11: DeterminaŃi numărul natural m pentru care are loc:

3sin, 0,

cos 2

m mm

m m

x tg xtg x x

x ctg x

π− = ∀ ∈ −

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

SoluŃie : 3

11sin cos , 0,

1cos 21sin

m mm

m

m

x x tg x xx

x

π⋅−

⋅ = ∀ ∈ −

3sin cos 1 sin

cos cos sin 1

m m mm

m m m

x x xtg x

x x x⋅−

⇔ ⋅ ⋅ =−

Avem 2 cos 1 sin0, 0;

sin 1 cos 2

m mm

m m

x xtg x x

x x

π⋅ − ⋅ − = ∀ ∈ − . Cum 2 0, 0;

2mtg x x

π⋅ ≠ ∀ ∈

rezultă

că 2 2cos cos sin sin 0, 0;2

m m m mx x x x xπ⋅ ⋅ − − + = ∀ ∈

a cărui descompunere în factori

este ( ) ( )cos sin cos sin 1 0, 0;2

m m m mx x x x xπ − ⋅ + − = ∀ ∈

(*). Pentru

3x

π= găsim

ecuaŃia exponenŃială1 3

12 2

mm + = .Cum ( ): 0,f → ∞ℝ , ( ) 1 3

2 2

mm

f m = +

este

o funcŃie strict descrescătoare fiind suma a două funcŃii exponenŃiale de baze subunitare , deci injectivă. Cum ( ) ( )2 1f m f= = rezultă că singura soluŃie a ecuaŃiei este 2m = .

Micii MATEMATICIENI

42

Pentru 2m = avem 2 2cos sin 1 0, 0;2

x x xπ + − = ∀ ∈

. Rezultă că are loc (*) , prin

urmare şi egalitatea din enunŃ.

10.12 Să se rezolve în mulŃimea numerelor naturale ecuaŃia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 23 3 3 0x y x y y z x y z y x z z x y+ + − + − − − − − − + =

Florin Bularda, Hîrlău SoluŃie : Aplicând formulele de dezvoltare a cubului sumei şi a diferenŃei ecuaŃia devine:

3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3x x y xy y x x z xz z y y z yz z x y x z y x+ + + + − + − + − + − − + − +2 2 23 3 3 0y z z x z y+ − − = . Reducând termenii asemenea obŃinem 3 3 32 2 2 0x y z+ − = , adică

3 3 3x y z+ = . Aplicând Marea teoremă a lui Fermat a cărui enunŃ este: “ EcuaŃia xn + yn = zn nu are soluŃii dacă n>2 este număr natural,iar x,y,z sunt numere întregi nenule. ”, rezultă că ecuaŃia dată nu are soluŃii naturale. Nota redacŃiei. Marea teoremă a lui Fermat este o celebră teoremă de teoria numerelor Ea a fost enunŃată de Pierre de Fermat în anul 1637, iar demonstraŃia completă a fost găsită de-abia 357 de ani mai tîrziu de către matematicianul englez Andrew Wiles. Pentru n=2, enunŃul nu este adevărat. Există triplete de numere naturale (x,y,z) cu care se pot forma laturile unui triunghi dreptunghic; de aici, conform teoremei lui Pitagora, avem 2 2 2x y z+ = . De exemplu (3,4,5) sau (5,12,13). Există chiar o infinitate de astfel de triplete,forma lor generală fiind x=2uv, y=u2-v2, z=u2+v2,unde u, v sunt numere naturale. Pentru n>2, doar cazul n=4 admite o demonstraŃie elementară, schiŃată de Fermat însuşi. Chiar şi pentru cazul n=3 demonstraŃia depăşeşte nivelul manualelor de liceu; primul care s-a ocupat de cazul n=3 a fost matematicianul Leonhard Euler, în 1753. În 1825, francezii Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet şi Adrien-Marie Legendre tranşează cazul n=5, demonstraŃia având ca punct de plecare o idee mai veche a lui Sophie Germain. După câŃiva ani, este finalizată demonstraŃia pentru n=7,de către francezul Gabriel Lamé. La mijlocul secolului XIX, Academia Franceză instituie un premiu de 3000 franci (o sumă enormă atunci) pentru o demonstraŃie completă a teoremei. DemonstraŃii pentru numere prime mai mici ca 100 au fost date aproximativ în aceeaşi perioadă,de către matematicianul german Ernst Eduard Kummer. În 1908, magnatul german Paul Wolfskehl alocă uriaşa sumă de 100.000 de mărci celui ce va demonstra teorema (oferta fiind valabilă până în 2007). După apariŃia calculatoarelor electronice,au fost abordate cazuri particulare pentru valori tot mai mari ale lui n ; prin anii 1980,erau elucidate toate cazurile în care n<4.000.000. În ultimii ani de dinaintea găsirii demonstraŃiei complete pentru orice n>2, matematicienii erau convinşi că prin metode elementare nu se mai poate aduce nimic nou. În anul 1983, matematicianul german Gerd Faltings a demonstrat că există cel mult o mulŃime finită de contra-exemple la marea teoremă a lui Fermat. În septembrie 1994, matematicianul englez Andrew Wiles a dat demonstraŃia completă a teoremei, după ce, în 1993, propusese o altă demonstraŃie, care se dovedise a fi greşită.

Micii MATEMATICIENI

43

10.13: Să se afle x, y, z ∈ℝ dacă 2 3 233 3 3 3 6y

x z y x z− − −+ + + = Mihaela Turnea, Tg. Frumos

SoluŃie : Aplicând inegalitatea mediilor pentru 3 3 3

2 3 23 3 33 ; ; ; ;3 ;3

3 3 3

y y y

x x y x z− − − obŃinem

3 3 32 3 23 3 3

3 3 33 3 3

y y y

x z y x z− − −+ + + + +2 3 23 3 3

6 363 3

3 3 3 3 3 3 16 6 3 6

3 3

y y yx z y x z− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

≥ = = . Cum

32 3 2 2 3 23

36 3 3 3 3 3 3 3 3

3

yy

x z y x z x z y x z− − − − − −= + + + = + + + rezultă că are loc egalitatea pentru

( ) ( )2 1 3 2 , , 0,3,33

yx z y x z x y z= − = − = − − ⇒ = .

10.14: Fie a∈ℝ şi egalitatea z a z a+ = + cu z număr complex.

a) ArătaŃi că egalitatea este adevărată pentru z∀ ∈ℂ dacă şi numai dacă 0a = . b) Există z∈ℂ astfel încât egalitatea să fie adevărată pentru a∀ ∈ℝ ?

Aurel Neicu, Hirlău SoluŃie : a) Pentru 0z = ∈ℂ avem a a= , pentru z a= − ∈ℂ avem 0 a a= − + 0a⇒ = .

Dacă 0a = atunci z a z a+ = + este evidentă pentru z∀ ∈ℂ .

b) Dacă ar exista z∈ℂ astfel încât z a z a+ = + a∀ ∈ℝ atunci pentru 1a z= − − ∈ℝ

am obŃine 1z a+ = − , fals. Deci nu există z∈ℂ astfel încât egalitatea să fie adevărată

pentru a∀ ∈ℝ .

10.15 : În rombul ABCD se consideră M, mijlocul lui [BC] şi punctul N astfel încât

1

3CN CD=��� ���

. DemonstraŃi că AM BN⊥ dacă şi numai dacă 1

cos .5

C =

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie :

Avem ( )( ) 1 1

2 3AM BN AB BM BC CN AB BC BC CD

⋅ = + + = + ⋅ + =

���� ��� ��� ���� ��� ��� ��� ��� ��� ���

2 2 21 1 1 5 1 1

3 2 6 6 2 3AB BC AB BA BC BC BA AB BC BC AB⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + − =��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���

2 25 1 5 1cos

6 6 6 6AB BC AB AB BC B AB⋅ + = ⋅ ⋅ +��� ���

( ) ( )2 21 15cos 1 1 5cos

6 6AB B AB C= + = −

Deci 1

0 cos5

AM BN AM BN C⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ =���� ���

D

N

A

M

B

C

Micii MATEMATICIENI

44

10.16 Dacă , , 1a b c > atunci avem:

( ) ( )2 2 2

2 2 2ln ln lnln ln ln ln

ln ln ln

a b ca b c abc

bc ac ab

+ + + + ≥

Mihai Crăciun, Paşcani

SoluŃie : Notăm cu ln ln ln ln ln ln

ln ln ln ln ln ln ln ln ln

a b c a b cE

bc ac ba b c a c b a= + + = + +

+ + + .

Rezultă că ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln ln

ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln

a b cE

a b a c a b b c b c a c= + +

+ + +. Folosind

inegalitatea lui Cauchy găsim că

( )( )

( )( )

2 2

2 2 2

ln ln ln ln

2 ln ln ln ln ln ln 2 ln ln ln

a b c abcE

a b b c c a a b c

+ +≥ ≥

+ + + +

Prin urmare ( ) ( )2 2 2 2ln ln ln2 2 2 ln ln ln ln

ln ln ln

a b ca b c abc

bc ac ba ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + ≥

de unde

are loc inegalitatea ( ) ( )2 2 2

2 2 2ln ln lnln ln ln ln

ln ln ln

a b ca b c abc

bc ac ab

+ + + + ≥

.

Clasa aXI a 11. 6 : Se dă numărul complex ( )2 1, ,z a b i i a b= + ⋅ = − ∈ℝ şi matricea asociată

( )2

a iA

b a

= ∈Μ −

ℂ . Notăm cu A matricea conjugată (obŃinută prin conjugarea

elementelor matricei A). a) Să se arate că A A A A⋅ = ⋅ dacă şi numai dacă z∈ℝ .

b) DeterminaŃi z astfel încât 1A A− = şi detA=z . c) AflaŃi ,nA n∈ℕ ştiind că A este matricea asociată numărului real z.

Aurel Neicu, Hirlău

SoluŃie : a) Cum ,a b∈ℝ rezultă că a i

Ab a

− = −

. Avem2

2

0

2

a ibA A

ab a ib

−⋅ =

− + şi

2

2

0

2

a ibA A

ab a ib

+⋅ =

− − . Prin urmare A A A A⋅ = ⋅ 2 2 0a ib a ib b z⇔ − = + ⇔ = ⇔ ∈ℝ .

b) Avem 2det A a ib= + . Din 1A A− = )2 0aA A A A I b⇒ ⋅ = ⋅ = → = . Din det A z=

{ }2 0;1a a a⇒ = ⇒ ∈ . Din { }22 1 1;1A A I a a⋅ = ⇒ = ⇒ ∈ − . Deci 1 1a z= ⇒ = .

Micii MATEMATICIENI

45

c) Din z∈ℝ rezultă 20

a iA aI B

a

= = +

, unde 0

0 0

iB

=

. Aplicând binomul lui

Newton şi Ńinând cont că 2 , 2nB O n= ∀ ≥ găsim ( ) ( ) 10 12 2

n nnn nA C aI C aI B

−= + ⋅ . Prin

urmare 1

12

0

n nn n n

n

a n a iA a I n a B

a

−− ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ =

.

11. 7 : Fie figura de mai jos. Ştiind că ecuaŃia tangentei ( )0TM este ( )( )0 0 0' ,y y f x x x− = − a normalei ( )0 :M N

( )( )0 0

0

1

'y y x x

f x− = − − şi că ( )0 0'tg f xα = să se afle:

a) lungimea tangentei 0TM , normalei 0NM , subnormalei PN şi subtangentei TP.

b) EcuaŃia tangentei şi a normalei la curba ( )2

3f x x= în punctul 0 8x = .

Dana Pavel, Hîrlău

SoluŃie : a) Avem ( )0 0M P f x= . În 0M PT△ dr în P avem 00

M Ptg

TPα = , de unde

( )0

0'( )

f xTP

f x= ⇒ ( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )2 2

20 02 2 2 20 0 0 02

00

1 '''

f x f xTM TP M P f x f x

f xf x = + = + = +

Deci ( )( )

( )200 0

0

1 ''

f xTM f x

f x = + . În 0M PN△ avem 0

0

PNtg

M Pα =

( ) ( )0 0 0 0'PN M P tg f x f xα⇒ = ⋅ = ⋅ . Din teorema lui Pitagora rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0' 1 'NM PN M P f x f x f x f x f x = + = ⋅ + = +

de unde ( ) ( )2

0 0 01 ' .NM f x f x= +

b) Avem ( ) ( ) ( )2

3 30 8 2 4f x f= = = . Derivata este ( )

1

33

2 2'

3 3f x x

x

−= = , de unde

( ) 2 1' 8

6 3f = = .EcuaŃia tangentei este: ( )1

4 82

y x− = − sau 2 0x y− + = , iar

Micii MATEMATICIENI

46

ecuaŃia normalei este: ( )4 2 8y x− = − − sau 2 20 0.x y+ − =

11. 8 : GăsiŃi o funcŃie :f →ℝ ℝ cu următoarele proprietăŃi:

a) Are exact două rădăcini: 1 1x = şi 2

3

2x = − ;

b) Are exact două asimptote verticale de ecuaŃii: 7x = ş1

2x = − ;

c) 1)(lim)(lim ==−∞→∞→

xfxfxx

;

d) )3()(lim3

−≠−→

fxfx

.

Lucian Rotaru, elev , Hîrlău

SoluŃie : FuncŃia ( )

3 2

3 2

2 7 9 1, 3; ;7

2 7 46 21 2

1, 3; ;7

2

x xx

x x xf x

x x

+ − ∉ − − − − − = ∈ − −

îndeplineşte condiŃiile

din enunŃ.

11. 9 : Fie matricea 2 2008

0 2A

=

. DeterminaŃi matricea ( )2X M∈ ℝ cu

proprietatea că 2007X X A+ = .

Mihaela Turnea, Tg. Frumos

SoluŃie : Avem: ( ) ( )2007 2007X X X X X X+ = + . Dacă ar exista o matricea b

Xc d

=

cu 2007X X A+ = atunci AX XA= 2 2008 2 2 2008 2 2008

0 2008 2 2 2

a a b a c b d

c d c d

+ + + ⇒ = +

.

Găsim 0c = şi a d= . Deci 0

a bX

a

=

. Se arată uşor prin inductie 1

0

n nn

n

a na bX

a

− =

Pentru 2008n = avem 2007 2006

2007

2007

2007

0

a a a b bX X

a a

+ ++ =

+ . Egalând cu A găsim

Altfel 2007 2a a+ = şi 20062007 2008a b b+ = . FuncŃia ( ) 2007f x x x= + este strict

crescătoare şi cum ( ) ( )1 1f a f a= ⇒ = şi 1b = . Deci 1 1

0 1X

=

.

Micii MATEMATICIENI

47

11. 10 : DeterminaŃi domeniul maxim de definiŃie şi apoi, asimptotele funcŃiei

( ) ( )( )( )

2008 2008

2007 2

sin cos

1 3

x x xf x

x x

−=

+ +

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie :CondiŃia de existenŃă este ( ) ( )2007 21 3 0x x+ + ≠ . Cum 2 3 0,x x+ ≠ ∀ ∈ℝ rezultă

( )20072007 1 1x x≠ − ⇒ ≠ − căci funcŃia putere de grad impar este strict crescătoareşi

injectivă. Deci domeniul de definiŃie maxim este ( ) ( ), 1 1,D = −∞ − ∪ − ∞ .Cum sinx , cosx

sunt subunitare şi ( ) ( ) ( )

2008 20082008 2008 2008 2008

2007 2 2007 2

sin cos sin cos

1 3 1 3

x x x x x xf x

x x x x

− += ≤

+ + + + rezultă că

( ) ( )2008 2008

2007 2

2

111

31 3 1 1

x xf xx x x

x

++≤ =

+ + + +

. Folosind criteriul cleştelui şi cum

2008

2

11

lim 03

1 1x

x

xx

→±∞

+=

+ +

rezultă ( )lim 0x

f x→±∞

= . Deci f are axa Ox asimptotă orizontală la

±∞ şi nu avem asymptote oblice la ±∞ . Definim funcŃia ( ) sin cosh x x x= − a cărei

derivată este ( )/ cos sin 0, ;4 2

h x x x xπ π = + > ∀ ∈

, deci h este strict crescătoare . Cum

( ) 2008 20081 1 sin1 cos1 sin 1 cos 14 4

h hπ π > ⇒ > ⇒ > ⇒ >

.Atunci ( )1sl − = −∞ , ( )1dl − = ∞

căci ( ) ( ) ( )2008 20082008 2008 2008 20081 sin 1 cos 1 sin 1 cos1 sin 1 cos 1 0− ⋅ − − − = − − = − > . Deci

dreapta 1x = − este asimptotă verticală la stânga spre −∞ şi la dreapta spre ∞ . 11. 11 : Fie numerele reale a, b > 0. DemonstraŃi că:

a) ...

lim 1n

x

b b b

n→∞

+ + += b)

ln...lim

...

nn n

nx

a a a a

bb b b→∞

+ + += + + +

Mihaela Turnea, Tg. Frumos

SoluŃie : a) Cum( ) ( )1 11 lim

1... ...

lim lim 11 1

n

n n nn

n

n n

b b b b b b b bb

n n→∞

+ ++

→∞ →∞

+ + + + − + + += = =

+ −

rezultă din teorema Stoltz-Cesaro că ...

lim 1n

x

b b b

n→∞

+ + += .

b) Pentru punctul b observăm, folosind a) , cazul de nedeterminare ∞1 . Adunăm 1, scădem 1 şi obŃinem

Micii MATEMATICIENI

48

n

n

bbb

bababale

n

nn

n

l

ln...

....lim, ⋅

+++

−++−+−=

∞→. Folosind şi a)

n

bababal

nn

n ln

...lim

−++−+−=

∞→. Aplicăm lema lui Stolt-Cesaro

1 1

1 1

11 11

1 11

lim lim lim1 1 1 1

ln ln(1 ) ( 1) ln(1 )1

n n

n nn

n n n

a aa b b b

l bn

nn n n n

+ +

+ ++

→∞ →∞ →∞

− − − = = = ⋅ ⇒+

+ + ++

1

1ln lim

1ln(1 )

n n

al

bn

→∞ += =

+ln

a

b, limita finală va fi

b

ae b

a

=ln

Clasa aXII a 12. 8: Pe mulŃimea ( )2Μ ℝ se defineşte legea de compoziŃie " "� prin

( ) ( ) ( )2, ,X Y X Y X Y X Y= + ⋅ − ∀ ∈Μ� ℝ Să se arate că:

a. 2 2X Y X O O Y= +� � � dacă şi numai dacă X Y Y X⋅ = ⋅

b. dacă X Y Y X=� � şi X Y Y X⋅ = ⋅ atunci det detX Y=

c. dacă matricele X, Y comută faŃă de legea " "� şi faŃă de înmulŃirea matricelor atunci det detX Y= dacă şi numai dacă ttrX rY=

d. dacă ( ) ( )X X X X X X=� � � � atunci det 0X trX= =

e. există x∈ℝ astfel încât ( ) ( )2 2 22008x I I O⋅ ⋅ =�

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău SoluŃie : Avem 2 2X Y X X X Y Y X Y Y X X Y Y X Y= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ −� (1) şi ( )( ) ( ) ( ) 2 2

2 2 2 2 2 2X O O Y X O X O O Y O Y X Y+ = + − + + − = −� � .

a) Are loc 2 2X Y X O O Y= +� � � 2 2 2 2X X Y Y X Y X Y⇔ − ⋅ + ⋅ − = − X Y Y X⇔ ⋅ = ⋅

b) Din X Y Y X⋅ = ⋅ rezultă din (1) că 2 2X Y X Y= −� (2 ). Din X Y Y X=� � rezultă 2 2 2 2 2 2X Y Y X X Y− = − ⇒ = . Găsim ( ) ( )2 2

det det det detX Y X Y= ⇒ = .

c) Din teorema Cayley-Hamilton avem 22 2detX trX X X I O− ⋅ + ⋅ = şi analog pentru Y.

Cum X Y Y X=� � , X Y Y X⋅ = ⋅ ⇒ 2 2X Y= 2 2det dettrX X trY Y Y I X I⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ (*).

łinând cont de ( ) 2det detk X k X⋅ = avem echivalenŃele det detX Y= ⇔

trX X trY Y⋅ = ⋅ ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2det dettrX X trY Y trX trY trX trY⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔ = .

d) Cum 2 2 2X X O O X X O= ⇒ =� � � şi cum 2 2X O O X⋅ = ⋅ rezultă din b) că

2det det 0 det 0X O X= = ⇒ = . Cum 2det detX O= rezultă din c) că 2t 0trX rO= = .

Micii MATEMATICIENI

49

e) Cum ( ) ( )2 2 22008x I I O⋅ ⋅ =� ( ) ( )2 2 2 2 22008 2008x I I x I I O⇔ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = .

Prin urmare, ( )2 22 22008x I O− = 2 22008 2008x x⇔ = ⇔ = ± .

12. 9: Există [ ]P X∈ℝ un polinom cu proprietatea că

( ) ( ) ( )21 ,P x P x P x x= − + ∀ ∈ℝ

CodruŃ-Andrei Onofrei, elev, Hirlău SoluŃie : Avem ( ) ( ) ( )21 0,P x P x P x x− − = ≥ ∀ ∈ℝ ( ) ( )1 ,P x P x x⇒ ≥ − ∀ ∈ℝ (1) .

Atribuind lui x valoarea1 x− în enunŃ găsim ( ) ( ) ( )21 1 0,P x P x P x x− − = − ≥ ∀ ∈ℝ .

Deci, ( ) ( )1 ,P x P x x− ≥ ∀ ∈ℝ (2) . Din (1)şi (2) , folosind proprietatea de antisimetrie a

relaŃiie de inegalitate rezultă că ( ) ( )1 ,P x P x x− = ∀ ∈ℝ . Înlocuind în relaŃia din enunŃ

obŃinem ( )2 0,P x x= ∀ ∈ℝ , adică polinomul nul verifică proprietatea din enunŃ.

12. 10: ArătaŃi că imaginea mulŃimii numerelor întregi negative prin funcŃia

( ]: ; 1f −∞ − → ℝ ( )2

2 2

1

1 1

x xf x dx

x x x

+ −=

+ + +∫ , este disjunctă cu mulŃimea *Q .

Aurel Neicu, Hirlău

SoluŃie : Avem ( )( )2

2 2

1

1 1

x xf x dx

x x x

+ −=

+ + +∫ = ( )2

21 1

1

xx x dx

x

− − − +

+ ∫

( ) ( )/

2 21 1x x x x dx= − − + − +∫( )

22 1

2

x x− += −

22 2 1

12

xx x

+= + − . Presupunem

că există ( )* *y f − −∈ ∩ℤ ℚ ( )* :x y f x−⇒∃ ∈ =ℤ 2

2 2 11

2

y xx

x x

+⇒ + = + ∈ℚ . Cum

( ) ( )2 22 21 1 1x x x x− < + < − + ⇒ + ∉ℚ , contradicŃie, de unde concluzia dorită.

12. 11: DeterminaŃi mulŃimea ( )1 ln , 0xI x x x x dx x= ⋅ + + >∫

Mihai Crăciun, Paşcani

SoluŃie : Cu ( )1 ln1 x xxx e ++ = ⇒ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )// / /1 ln 1 ln1 1 ln 1 lnx x x xxx e e x x x x+ ++ = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ .

Deci ( ) ( )/1 1 ln 1

1 lnx x xx x xx x x x x x

x+ + ⋅ + +

= ⋅ = + + . Avem ( )/1 1x xI x dx x k+ += = +∫ .

12. 12: Fie o funcŃie derivabilă *:f +→ℝ ℝ şi fie şirul cu 0 1a = , ( )/ *,na f n n= ∀ ∈ℕ .

Să se determine funcŃia f ştiind că ( ) ,nf a f x dx n∈ ⋅ ∀ ∈∫ ℕ .

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

Micii MATEMATICIENI

50

SoluŃie : Avem ( ) ( )/ ,nf x a f x x n= ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ căci ( ) ,nf a f x dx n∈ ⋅ ∀ ∈∫ ℕ (1).

Pentru x n= ∈ℕ , (1) devine ( ) ( )/nf n a f n n= ⋅ ∀ ∈ℕ ( )n na a f n n⇒ = ⋅ ∀ ∈ℕ (2). Cum

0 1a = rezultă ( )0 1f = . Pentru 0n = în (1) găsim ( ) ( )/ 0 0nf a f n= ⋅ ∀ ∈ℕ

1,na n⇒ = ∀ ∈ℕ , de unde ( ) 1,f n n= ∀ ∈ℕ (3) . Conform lui (1) rezultă că

( ) ( )/f x f x x= ∀ ∈ℝ( )( )

/

1,f x

f x⇔ = ∀∈ℝ ( )( )/

ln 1,f x x⇔ = ∀ ∈ℝ , de unde există

k∈ℝ astfel încât ( )ln ,f x x k x= + ∀ ∈ℝ . Pentru x n= ∈ℕ din (3) găsim k n= − . Deci

( ) ,x nf x e −= ∀∈ℝ .

12. 13: Fie A un inel astfel încât 2 0,x x A= ∀ ∈ . DemonstraŃi că

0 , , ,abc abc a b c A+ = ∀ ∈ . Mihai Crăciun, Paşcani

SoluŃie : Din ;a A b A a b A∈ ∈ ⇒ + ∈ şi ( )22 20 ; 0 ; 0.a b a b= = + = Cum

( )2 2 2a b a ab ba b+ = + + + rezultă că 0ab ba+ = , de unde ,ab ba a b A= − ∀ ∈ (1) .

Folosind relaŃia (1) şi Ńinând cont de asociativitatea înmulŃirii şi (1) avem: �

( )�

( )�

( )( )�

( )( ) ( )�

( )�

( )(1) (1) (1)asoc asoc asoc

abc a bc bc a b ca ca b ca b c ab ab c abc= = − = − = − − = = = − = − .

Prin urmare, 0 .abc abc+ =

Micii MATEMATICIENI

51

PROBLEME PROPUSE

MATEMATICA PITICĂ P. 25 : Răzvan şi tatăl său aveau în în anul 2000 împreună 48 de ani. CâŃi ani au cei doi împreună în anul 2009, dacă în anul 2002 tatăl a împlinit 39 de ani ?

Înv. Mariana Chelaru, Şc. „Petru Rareş”, Hîrlău

P. 26 : Să se determine necunoscuta din egalitatea: ( ) ( )7 : 287 7 5 : 287 7 7 2009a a⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = .

Înv. Ramona Mihaela Săcăleanu, łuŃora, Iaşi

P. 27 : DiferenŃa a două numere naturale este egală cu 2007. AflaŃi numerele ştiind că unu este rezultatul scăderii lui 2008 din suma lor.

Inst. Gabriela Onofrei, Şc.”Petru Rareş”, Hîrlău

P. 28 : Miriapozii numiŃi Geophilus longicornus au 4 cm lungime şi cel puŃin 49 şi cel mult 57 de perechi de picioare. Un juriu format de 13 păianjeni a câte 7 picioare căci pe al optulea şi l-au pierdut în lupte vrea să medieze disputa dintre două familii de miriapozi, fiecare cu câte nouă membri. AflaŃi câte picioare sunt în sala de judecată ştiind că în fiecare familie de miriapozi nu există doi membri cu acelaşi număr de picioare?

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

P. 29 : Elena a fost rugată de mama sa să aranjeze camera pentru primirea musafirilor. Camera ei are forma unui pătrat, iar scaunele sunt în număr de nouă. Mama i-a spus că acestea să fie aranjate astfel încât în dreptul fiecărui perete să se găsească acelaşi număr de scaune. Elena e nedumerită. Tu ai putea aranja cele nouă scaune, ajutând-o pe Elena?

Înv. Marieta Muşei, Şc. „Petru Rareş”, Hîrlău

P. 30 : Să se determine numărele de trei cifre care îndeplinesc simultan condiŃiile: • produsul celor trei cifre să fie egal cu 42; • diferenŃa dintre cifra unităŃilorşi cea a sutelor să fie număr par; • diferenŃa dintre numărul format din primele două cifre şi numărul format din

ultimele două cifre să fie 5 . Înv. Maria RaŃă, Şc. Preventoriu, Deleni

P. 31 : În seara de 5 decembrie 2008, Moş Nicolae i-a adus Simonei un sac cu şase cutii Fiecare cutie conŃinea, la rândul ei, şase pacheŃele având fiecare câte şase bomboane de ciocolată. Deschizându-le, Simona a mâncat în aceea seară câte o bomboană din cele şase pacheŃele. Ea a calculat că dacă ar mânca câte 10 bomboane pe zi, restul i-ar ajunge până în ziua în care împlineşte 12 ani. Care este data sa de naştere ?

Daniela Simona Creangă, elevă, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

P. 32 : GăsiŃi cel mai mare şi cel mai mic număr natural scris cu cifre distincte, ştiind că suma cifrelor numărului este egală cu 13.

Înv. Maria Ilie, Şc. « Vasile Conta », Iaşi

Micii MATEMATICIENI

52

5.19 : ArătaŃi că : ( )7 7 1 2 3 ... 12 13 7 7 7 4 2009⋅ ⋅ + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ≠ .

ŞtergeŃi o singură cifră de 7 astfel ca relaŃia precedentă devină să falsă . Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

P. 33 : FolosiŃi de şapte ori cifra 7 şi operaŃiile de înmulŃire, împărŃire, adunare şi scădere de cel mult două ori pentru a obŃine numărul 100.

Înv. Ana Iacob, Şc. Maxut, Deleni

P. 34 : Pentru Ziua Şcolii şase elevi au pictat un perete în cinci zile . CâŃi elevi vor picta jumătate de perete în trei zile ?

Înv. Maria-Tereza Rugină, Şc. “Petru Rareş”, Hîrlău

P. 35 : Trei copii au colecŃionat împreună 216 cartele telefonice. Câte are fiecare, dacă primul are de trei ori mai mult decât ceilalŃi doi la un loc, iar al treilea are cu 20 mai mult decât al doilea ?

Înv. TomiŃa Stoleriu, Şc.”Petru Rareş”, Hîrlău

P. 36 : Priveam cu încântare tablourile pictorului român Sabin Balaşa şi am observat cum o furnică se învârtea în acelaşi sens pe marginea tabloului „ Exploratorul” , având dimensiunile de 41 cm şi 49 cm. Pornind dintr-un colŃ al tabloului ea ajungea în acelaşi loc după 42 secunde. PrecizaŃi în ce colŃ al tabloului se află furnica şi ce distanŃă a parcurs după 8 minute şi 3 secunde ?

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

P. 37 : Spunem că un număr este factorial dacă el se poate scrie ca produs de cel puŃin două numere consecutive. Să se stabilească dacă este număr factorial valoarea numărului “a” din egalitatea: ( ) ( )45 :5 10 2 14 5 : 7 4 21: 7 13 23 729a+ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = .

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

P. 38 : Suma a 4 numere este 747. Dacă la primul număr adaug 2, din al doilea scad 2, pe al treilea îl măresc de două ori, iar pe al patrulea îl micşorez de două ori, numerele devin egale. Care sunt cele patru numere?

Înv. Şorodoc Silvia,Şc. „Nicolae Iorga“, Paşcani

P. 39 : Vlad a desenat un extraterestru astfel: capul şi gâtul au la un loc 30 de cm. Picioarele sunt de două ori mai lungi decât capul, gâtul şi o jumătate din trunchi. Toată fiinŃa măsoară cu 1 m mai mult decât capul, gâtul şi picioarele la un loc. Ce înălŃime are extraterestrul desenat de Vlad?

Înv. Mirela Munteanu, Şc. “Petru Rareş”, Hirlău

P. 40 : Trei şoricei harnici îşi numără boabele de porumb şi constată că, dacă ar avea de 3 ori mai multe boabe faŃă de câte au numărul lor ar fi 192; dacă primul ar mai avea un grăunte, al doilea cu două mai puŃin, iar ultimul de 3ori mai multe, atunci fiecare s- ar lăuda cu acelaşi număr de boabe. Câte boabe a adunat fiecare şoricel?

Inst. Corneliu Constantin Ilie, Şc. « Vasile Conta », Iaşi

Micii MATEMATICIENI

53

P. 41 : Emi şi-a propus să numere zilele pare din calendarele anilor 2008 şi 2009 într-o secundă, iar pe cele impare în două secunde. Socotind secundele pe fiecare lună, el a obŃinut într-o lună un număr de secunde cu cifre egale. Despre ce lună şi despre ce an e vorba ?

Înv. Ramona Mihaela Săcăleanu, łuŃora, Iaşi

P. 42 : Elevii unei clase vor să se aşeze în bănci. Dacă se aşează câte doi elevi într-o bancă, atunci rămân trei bănci libere şi dacă se aşează câte unul în fiecare bancă, atunci rămân şapte elevi în picioare. Câte bănci şi câŃi elevi sunt în acea clasă ?

Prof. Madlena Bulboacă, Lic.”D. łichindeal”, Arad

P. 43 : Cei şase cântăreŃi ai trupei RBD au vârstele diferite, de cel puŃin 26 ani şi cel mult 31 ani . În funcŃie de vârstele lor se ştie că Dulce este cea mai mică; Anahi cea mai mare; Christofer se află lângă Dulce şi nu se se află lângă Maite sau Christian şi că Alfonsa se află între doi băieŃi, să se afle vârsta fiecărui cântăreŃ.

IvănuŃă Andreea Simona, elevă, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

P. 44 : Pe o planetă din Univers trăieşte un extraterestru . Dacă ar fi locuit numai pe acea planetă ar fi trăit 41 de ani extratereştri. Când a împlinit 40 de ani şi 6 luni, el s-a hotărât să-şi trăiască ultima lună pe Terra. CâŃi ani tereştri a trăit pe planeta noastră ştiind că dacă ar fi trăit numai pe Terra durata vieŃii sale ar fi de 2009 ani tereştri ?

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

P. 45 : Un copil se consideră că este preşcolar dacă are vârsta nici mai puŃin de 3 ani şi nici mai mult de 6 ani . Doamna educatoare alege un grup de copii şi constată că diferenŃele de ani dintre cei aleşi sunt numere consecutive. Să se afle câŃi copii sunt în grup şi care sunt vârstele lor.

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

MATEMATICA GIMNAZIALĂ Clasa aV a 5.20 : AflaŃi vârstele a trei fraŃi ştiind că este adevărată următoarea relaŃie: 47 x a + (2 x b + c) : a = 52, unde a,b,c reprezintă vârstele celor trei fraŃi. Ce observaŃie puteŃi face?

Înv. Marieta Muşei, Şc.”Petru Rareş”, Hîrlău

5.21 : Ludovic Van Bethowen , vrând să compună o nouă melodie, a aranjat notele muzicale în următorul fel: La; Sol; Fa; Mi; Fa; Mi; Re; Do; RE; ….. GăsiŃi regula de formare şi completează cu încă zece note.

Denisa Elena Pletan, elevă, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.22 : Să se găsească două numere cu proprietatea că atât diferenŃa cât şi câtul lor sunt egale cu 5.

Prof. Leonard Sava, Şc.Poiana Mărului, CepleniŃa, Iaşi

Micii MATEMATICIENI

54

5.23 : Un număr se consideră “norocos” dacă se poate scrie ca sumă de două numere consecutive şi dacă are suma cifrelor egală cu 8. AflaŃi numerele norocoase de două cifre.

Adina-Diana Jitariu, elevă, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.24 : Este adevărată egalitatea ( )9 9 3 37 1:9 2 2009+ ⋅ ⋅ + ⋅ = ?

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.25 : Numerele naturale c şi r verifică egalitatea:

( ): 2 1 0 :1 7 : 49 41r c c c c c c c⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = .

Să se determine valorile numerice ale lui c ştiind că r este o cifră şi stabiliŃi dacă aceste valori sunt numere consecutive.

Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

5.26 : Maria s-a născut când mama ei avea 26 de ani . Să se afle vârsta actuală a Mariei ştiind că peste opt luni va avea vârsta de patru ori mai puŃin decât o va avea mama sa .

Daniela Simona Creangă, elevă, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.27 : Numărul ab împărŃit la oricare din cifrele sale are câtul q şi restul r .

DemonstraŃi că restul împărŃirii numărului ab la suma cifrelor sale este o cifră a

numărului ab . DeterminaŃi q şi r . Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.28 : La Polul Nord, Moş Crăciun şi-a chemat toŃi spiriduşii la el pentru a verifica pregătirile sărbătorilor de iarnă. Întâi a chemat un spiriduş care a lăsat două rânduri de urme pe zăpada proaspăt aşternută, apoi câte doi, câte trei şi tot aşa până au venit toŃi spiriduşii. AflaŃi câŃi spiriduşi are Moşul ştiind că în fiecare grup spiriduşii mergeau unul lângă altul în aşa fel încât fiecare păsea pe cel puŃin un rând de urme lăsate de cei din grupul precedent şi că în final au fost lăsate în zăpadă 198 rânduri de urme.

Adina-Diana Jitariu, elevă, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.29 : Un copil notează ziua, luna , anul, ora şi minutul prin secvenŃe de două cifre, care împreună reprezintă un moment din viaŃa sa . Momentul naşterii sale este

04.11. 97. 11: 58 . Spunem că a existat un moment important în viaŃa sa dacă cele cinci secvenŃe de numere sunt identice. a)Câte momente importante a trăit copilul până astăzi, 8 august 2008 , ora 8 şi 9 minute ? b)De câte momente importante poate avea parte copilul în întrega sa viaŃă ?

Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

5.30 : CalculaŃi suma numerelor naturale cuprinse între 2009 şi 20009 dau restul 29 la împărŃirea cu 209 .

Prof. Popa Gabriela, Şc. Nr. 43 “D.A.Sturza”, Iaşi

Micii MATEMATICIENI

55

5.31 : AflaŃi cifra unităŃilor numărului 2009 2008 2007 19637 6 7 6 7 ... 6 7 .a = − ⋅ − ⋅ − − ⋅

Prof. Mihai Crăciun, Colegiul “M. Sadoveanu”, Paşcani

5.32 : DeterminaŃi a şi b astfel încât egalităŃile : 98a a b b⋅ + ⋅ = şi 28a a b b+ + + = să fie simultan adevărate .

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.33 : Fie 2001 2001 20012005 2007 2006A = + + şi 2008 2007 2008 2006 2008 501B = ⋅ − ⋅ + ⋅ . StabiliŃi care din aceste numere sunt pătrate perfecte.

Prof. Madlena Bulboacă, Lic.”D. łichindeal”, Arad

5.34 : O curte este împrejmuită cu un gard sub forma unui triunghi oarecare. Mediile aritmetice ale lungimilor laturilor gardului, luate două câte două, sunt de 50, 70 şi 60 m.

a.) DeterminaŃi lungimea gardului “de jur împrejur”. b.) Ştiind că pentru construcŃia întregului gard s-a cheltuit 7200 lei, aflaŃi cât s-a

cheltuit pentru lungimea fiecărei laturi de gard. Prof. Hermina Romaşcu , Ş. A. M. LeŃcani

5.35 : Se consideră şirul de numere naturale 4 , 10 , 28 , 82 , … . DeterminaŃi ultima

cifră a numărului de pe poziŃia 2009. Prof.Mihai Crăciun, Colegiul “M. Sadoveanu”, Paşcani

5.36 : Într-o împărŃire restul este un sfert din cât, iar deîmpărŃitul este suma dintre cât şi rest. Poate fi deîmpărŃitul egal cu 2009 ? Dar împărŃitorul poate fi 2009 ?

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

5.37 : ComparaŃi numerele 2009528 cu 512023 . Prof. Popa Gabriela, Şc. Nr. 43 “D.A.Sturza”, Iaşi

5.38 : ScrieŃi numărul 532 ca o sumă de trei cuburi perfecte.

Prof. Madlena Bulboacă, Lic.”D. łichindeal”, Arad

Clasa a VI a 6. 16 : Mama a plantat în grădină unanumit număr de lalele roşii, galbene şi de zambile. Acum florile au crescut şi au înflorit. Numărul lalelelor roşii reprezintă 30 % din numărul zambilelor, iar cele galbene 40 % din cele roşii. Se ştie că mama rupe câte două flori de fiecare tip în fiecare zi şi că suma dintre numărul zambilelor din a doua zi şi numărul lalelelor roşii din prima zi este 644. Să se afle numărul garoafelor plantate dacă ele reprezintă 10 % din numărul lalelelor şi a zambilelor plantate.

Melissa-Florina Mititelu, elevă, Lic.”Ştefan cel Mare”, Hîrlău

Micii MATEMATICIENI

56

6. 17 : Un obiect costă 200 lei. a) Dacă 2n este 4 % din valoarea obiectului aflaŃi valoarea lui n .

b) Mărirea cu p % a obiectului este un sfert din mărirea cu 3 %p a obiectului . AflaŃi p . Prof. Petru Oprişanu, Hîrlău

6. 18 : Câte numere de două cifre ab îndeplinesc condiŃia2

ba a b

aab

+=

⋅ ? Dar

2?

ba a

a bab

⋅=

+

Prof. Costache RaŃă, Şc. Preventoriu, Deleni

6. 19 : Fie numerele rationale pozitive:

a = + + + ……. + şi b = + + ……… + . ArătaŃi că ∈N .

Prof. Marcela Gosman,Şc. Buznea , Ion Neculce, Iaşi 6. 20 : Un număr are proprietatea (p) dacă el este egal cu suma cifrelor sale la care se

adună produsul cifrelor sale. Să se determine numărul abc ştiind că bc , ca şi ab au proprietatea (p).

Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

6. 21 : Să se determine x din proporŃia: 7

x

defdefdef

abcabcabc= , ştiind că defabc 5= .

Prof. Ana Marioara Spiridon, Şc.,, Iordachi Cantacuzino’’, Paşcani

6. 22 : La ora de educaŃie fizică elevii unei clase ( nEEE ;...;; 21 ) sunt aşezaŃi coliniar

la o distanŃă unul de celălalt ce este direct proporŃională cu numerele )1(;...;3;2;1 −n (în

această ordine), iar între primii doi este o distanŃă de doar m1 . a) CalculaŃi numărul de elevi prezenŃi la oră ştiind că distanŃa totală dintre 1E nE este

m190 . b) CalculaŃi ce distanŃă (m) ar fi necesară pentru o astfel de înşiruire ştiind că în clasă

sunt înscrişi 24 elevi. Prof. Cezar – Marius Romaşcu, Şc. Picioru Lupului, Ciurea ,Iaşi.

6. 23 : Fie unghiul ascuŃit �AOB şi semidreptele [OC şi [OD cu OC OA⊥ şi

OD OB⊥ , iar interioarele unghiurilor �AOB şi �COD să nu aibă puncte comune. a) Să se arate că unghiurile şi sunt suplementare.

b) Dacă (OE este bisectoarea unghiului �AOB iar (OF este bisectoarea lui�COD , arătaŃi că punctele E, O, F sunt coliniare.

c) Dacă (OG este bisectoarea unghiului �COB , să se calculeze măsura unghiului�FOG .

Prof. Popa Gabriela, Şc. Nr. 43 “D.A.Sturza”, Iaşi

Micii MATEMATICIENI

57

6. 24 : Fie punctele A, B, C coliniare şi D, E astfel ca ( ) ( ) 45Om ABD m CBE= =∢ ∢ .

ArătaŃi că punctele D, B, E sunt coliniare sau că BD BE⊥ . Prof. Bogdan Dorneanu, Şc. “Petru Rareş”, Hîrlău

6. 25 : AflaŃi cifrele a şi b, diferite de zero, din baza de numeraŃie zece, ştiind că

numărul natural aba20 este simultan divizibil cu 2a şi 3a. Prof. Spiridon Ana Marioara, Şc.,, Iordachi Cantacuzino’’, Paşcani

6. 26 : Fie y1, y2, … , y2008

*N∈ . Dacă y1+ y2+ … + y2008=4034072 şi

1...

20072008200821 yyy

=== , să se calculeze y1, y2, … , y2008.

Prof. Spiridon Gheorghe – Şcoala ,, N. Iorga’’ Paşcani

6. 27 : Fie ABC∆ , M mijlocul segmentului BC, D∈( BM) piciorul înălŃimii din A a

ABC∆ . Dacă CAMMADDAB ˆˆˆ ≡≡ şim( CMA ˆ ) = 2m( MAB ˆ ), determinaŃi : a) natura triunghiurilor ABM şi AMC; b) raportul dintre măsurile segmentelor AM şi CD; c) măsurile unghiurilor triunghiului ABC

Prof. Turnea Mihaela, Lic.Teoretic “I.Neculce” Tg.Frumos

6. 28 : Numerele dintr-un grup spunem că sunt „legate între ele” dacă diferenŃele oricăror două din grup sunt numere consecutive.

a) GăsiŃi trei numere„legate între ele” a căror sumă să fie 2008. b) DemonstraŃi că nu există un grup cu patru numere „legate între ele” .

Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

6. 29 : Fie ABC∆ - dreptunghic în A cu ( ) ( )CmBm ˆˆ > şi −D mijlocul ipotenuzei

[ ]BC . Perpendiculara în D pe [ ]BC intertsectează cateta [ ]AC în E .

a) ArătaŃi că �( ) �( ) �( )m ADE m ABC m ACB= − ;

b) CalculaŃi măsurile unghiurilor ABC∆ ştiind că [ ] [ ]EDAE ≡ . Prof. Popa Gabriela, Şc. Nr. 43 “D.A.Sturza”, Iaşi

Clasa a VII a 7. 16 : Un număr de două cifre are proprietatea că produsul succesorilor cifrelor sale este

egal cu succesorul numărului respectiv. AflaŃi cifrele a şi b ştiind că numerele ab şi ba au proprietatea menŃionată mai sus .

Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău 7. 17 : Un pirat porneste din punctul A, merge 3 km spre sud, apoi 6 km spre est, apoi 8 km spre sud, apoi 2 km spre est, si in fine, 5 km spre nord si ajunge la punctul B, unde era ascunsa comoara. Care e distanta in linie dreapta intre cele două puncte?

Prof.Mihaela Manole, Darlington High School, SC, USA

Micii MATEMATICIENI

58

7. 18 : Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A având perimetrul 24 şi cateta AC

media aritmetică a celorlalte două laturi .

a) Să se demonstreze că 5 4 3

BC AB AC= = .

b) Să se afle aria triunghiului ABC. Prof. Petru Oprişanu, Hîrlău

7. 19 : Fie triunghiul dreptunghic în A şi punctul ( )M AB∈ astfel încât � �ACM ABC≡ .

Ştiind că are loc relaŃia : 2 2

2

AM AB AC

CM BC

−= , să se demonstreze că (CM este bisectoarea

unghiului ACB . Prof.Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

7. 20 : ArătaŃi că oricare ar fi n număr întreg numărul

A = ( )

( )2 1 3 2 4 3 11 1

2 1 3 2 3 4 1

n nn n

n n

− − − + − + + + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

⋯ este număr natural.

Prof. Bogdan Dorneanu, Şc. “Petru Rareş”, Hîrlău

7. 21 : Fie punctele A, B, C, D, E, F. Ştiind că este adevărată relaŃia 2 2 2AB BC CA AB DE BC EF CA FD DE EF FD+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ,

să se demonstreze că punctele D, E, F sunt coliniare dacă şi numai dacă A, B, C sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic .

Prof.Mihaela Turnea, Tg. Frumos ; Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

7. 22 : Să se rezolve în mulŃimea numerelor întregi ecuaŃia : ( )3 2x y x y⋅ = ⋅ + − .

Prof.Mihai Crăciun, Colegiul “M. Sadoveanu”, Paşcani

7. 23 : În ABC△ , consirǎm punctele ( )D AC∈ şi ( )E AB∈ . Notǎm cu F BD CE∈ ∩ .

Dacǎ 1BF AB

FD BC= + şi

2CF BC

EF AB= atunci BD este bisectoare şi CE este medianǎ în

ABC△ . Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

Clasa a VIII a 8. 15 : Numărul { }2 * \ 1m ∈ℕ are proprietatea că în baza 13 ultima cifră a sa este zero,

iar penultima cifră este diferită de zero. Să se demonstreze că \m∈ℝ ℕ . Ing. Florin Bularda, Hîrlău

Micii MATEMATICIENI

59

8. 16 : Fie fracŃia algebrică ( )2 222 223

9 2007

x xF x

x

− ⋅ −=

− .

a) EfectuaŃi calculul ( ) ( )1 223x x+ ⋅ − .

b) SimplificaŃi fracŃia F . c) ArătaŃi că 2007-2005+2003-2001+….+5-3= ( )9 2006F⋅

Prof. Petru Oprişanu, Hîrlău

8. 17 : Sa se rezolve in multimea numerelor reale ecuatia

x+y+z+u+v= x +3

2• y +

2

1• z +2 1−u +2 2−v +

144

83 .

Prof.Mihai Crăciun, Colegiul “M. Sadoveanu”, Paşcani

8. 18 : Să se calculeze 3a + 3b – c, ştiind că : 2 2 210 28 6 11 12 37 6a a b b c c− + + + + + − + ≤ .

Prof. Spiridon Gheorghe – Şcoala ,, N. Iorga’’ Paşcani

8. 19 : Două paralelipipede dreptunghice cu dimensiunile a, b, c respectiv x, y, z. au

diagonalele egale cu a x b y c z⋅ + ⋅ + ⋅ . Să se demonstreze că cele două paralelipipede

sunt congruente . Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

8. 20 : Un tetraedru are exact patru unghiuri drepte şi trei laturi de lungime a cm. Să se determine a ştiind că valoarea numerică a ariei tetraedrului este egală cu cea a volumului.

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

8. 21 : Fie A,B,C,D patru puncte necoplanare si N mijlocul segmentului (BD) si S (BC)

astfel incat AS să nu fie perpendicular pe BC. Dacă BM ⊥ AS, M AS, demonstraŃi că

MN (ADC) dacă şi numai dacă (AS este bisectoarea BAC.

Prof. Nicu Gosman, Şc.,,G.Ibraileanu” ,Tg.Frumos

MATEMATICA LICEALĂ Clasa a IX a 9. 16 : Fie funcŃia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 6 ,f x x x m m= − + + ∈ℝ . DeterminaŃi 2, , ,V Vm x y x

ştiind că tabelul de variaŃie al funcŃiei este: ( )

21

0 0V

V

x x x

f x y

−∞ +∞

şi apoi, reprezentaŃi grafic funcŃia. Prof. Petru Oprişanu, Hîrlău

Micii MATEMATICIENI

60

9. 17 : Fie numerele întregi a, b şi c. Dacă c este multiplul lui 5 , iar 15 divide suma lor

atunci suma cuburilor lor este multiplu de 15 . Prof.Mihai Crăciun, Colegiul “M. Sadoveanu”, Paşcani

9. 18 : Prin scrierea n

mp

înŃelegem numărul m p n

p

⋅ + având n p≤ şi *p∈ℝ .

Considerăm *,a b +∈ℝ . Ştiind că rădăcina pătrată a numerelor reale 2

1a

b şi

21b

a este

numărul 1

12 a b⋅ ⋅

, să se arate că ( )3 0,4 9a b⋅ < .

Nicu Goşman, Tg. Frumos, Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău

9. 19 : Să se demonstreze că pentru orice x real, are loc inegalitatea: 422 22cos1sin1 >+++ xx .

Prof. Spiridon Gheorghe , Şc. ,, N. Iorga’’, Paşcani

9. 20 : a) Există funcŃii [ ): 0;f ∞ →ℝ care să verifice egalitatea:

( ) ( ) [ ), 0;y f x f x y x y+ = + ∀ ∈ ∞ ∀ ∈ℝ ?

b) Există funcŃii [ ): 0;f ∞ →ℝ care să verifice egalitatea:

( ) ( ) , ,y f x f x y x y+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℝ ?

Aurel Neicu şi Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

9. 21 : RezolvaŃi ecuaŃia xxxx

6533

2 2 +=

−+

.

Prof. Turnea Mihaela, Lic.Teoretic “I.Neculce” Tg.Frumos

9. 22 : Un trapez isoscel de baze B şi b are laturile neparalele perpendiculare. Să se demonstreze că valoarea absolută a cosinusului unghiului format de diagonalele sale este

egală cu 2 2

2 b B

B b

⋅ ⋅+

.

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

9. 23 : În sistemul cartezian de coordonate Oxy, se consideră dreapta (d) de ecuaŃie 3 5 0x y− + = . Să se arate că punctele ( ) [ ], 2,1P a b d cu a∈ ∈ − verifică

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1 2 10a b a b+ + − + − + − = .

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

Micii MATEMATICIENI

61

Clasa a X a 10. 17: Să se rezolve ecuaŃia: 2009 2009 3 2 2009 2 .x x x+ + + = +

Prof. Petru Oprişanu, Hîrlău

10. 18: Să se rezolve în mulŃimea numerelor complexe ecuaŃia :

( ) ( )1 2 2007 1 2 20071 ... 2007 1 ... 2007z z z z z z+ + + + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

10. 19: Fie ecuaŃia: 2 2 2cos sin 0x xβ β⋅ − + = , β fiind parametru real . a) DeterminaŃi β astfel încât ecuaŃia să nu aibă două soluŃii reale.

b) Dacă o soluŃie a ecuaŃiei date este 1

3, care este valoarea lui β ?

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

10. 20: DeterminaŃi numărul de triunghiuri ale căror laturi sunt numere naturale mai mari ca 10 şi nedepăşind 20. Câte triunghiuri sunt isoscele? Dar echilaterale?

Prof. Oana Rădeanu, S.A.M. , Hîrlău

10. 21: Se dă un triunghi ABC cu centrul de greutate G şi două puncte M şi N în spaŃiu. Notând cu P mijlocul segmentului MN, să se exprime suma de produse scalare

NCMCNBMBNAMAS

⋅+⋅+⋅= în funcŃie de lungimile laturilor triunghiului dat şi de lungimile MN=l şi GP=λ.

Prof. Turnea Mihaela, Lic.Teoretic “I.Neculce” Tg.Frumos

10. 22: Să se determine numerele reale supraunitare a, b şi c ştiind că are loc egalitatea :

( )( ) ( )( ) ( )( )max ln ;ln max ln ;ln max ln ;ln max ln ;ln max ln ;ln max ln ;lna b c

c a b a bc b ac c abb c a

+ + = + +

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

Clasa aXI a 11. 13: ForŃa de frânare a unei frâne electrice cu şaibă este dată în funcŃie de viteza

periferică x , de formula ( ) 2 2; , 0; 0

axF x a b x

b x= > ≥

+. Să se determine forŃa de frânare

cea mai mare posibilă. Prof. Teodora Dana Pavel, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

Micii MATEMATICIENI

62

11. 14: Se consideră funcŃia ( ): 1,f − ∞ →ℝ , ( ) ( )ln 1 1xf x e x= − + − .

a) Să se determine asimptotele funcŃiei f şi intervalele de monotonie.

b) Să se arate că ( ) ( )1 1

ln 11log log , 0,

x

e e

xex

x x

+ −≤ ∀ ∈ ∞

.

Prof. Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel mare”, Hîrlău

11. 15: ArătaŃi că pentru orice număr natural *n∈ℕ are loc egalitatea:

2 21 1

1 12

1 sin 8 sin2 3 2 3 34 318 4

1 4 3 2 3 2 31 cos4 8

n

n n n

n n n

π π

π

− −

− −

+ + ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ +

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

11. 16: Se consideră matricea njiijaA ɺɺɺ,1,)( ∈= cu 3,,1,,2

,)sin( ≥==+=−

nnjin

jiaij

πθθ .

a) CalculaŃi det A pentru n=3; b) GeneralizaŃi pentru n>3.

Prof. Turnea Mihaela, Lic.Teoretic “I.Neculce” Tg.Frumos

11. 17: Se consideră funcŃia ( ): 0 ,f ∞ →ℝ , ( ) ln ,nf x x x n= − ∈ℕ

a) Să se determine asimptotele funcŃiei f b) Să se arate că f este concavă pe ( ) *0, , n∞ ∀ ∈ℕ .

c) Să se arate că funcŃia f este strict descrescătoare pe ( )1,∞ .

d) Să se demonstreze că derivata de ordin n este ( )( ) ( ) ( )1

1 1 !!

n

n

x n

nf n

x

−− −

= − .

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău Clasa aXII a

12. 14: Să se determine ( )1

lim lne n

nx x dx

→∞−∫ .

Prof.Aurel Neicu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hîrlău

12. 15: a) ArătaŃi că ( )( )2

2 2

b

a

b ax a b x dx

π− − − = ⋅ ∫ .

b) DeterminaŃi ( )( )1 1

20

1lim 1

n k

knk

k x k k x dxn

− +

→∞=

⋅ ⋅ − + −∑ ∫ .

Aurel Neicu şi Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

Micii MATEMATICIENI

63

12. 16: Să se determine funcŃia derivabilă :g →ℝ ℝ cu ( )1 0g − = din relaŃia :

( ) ( ) 2 xg x dx x g x x e= ⋅ − ⋅∫ .

Prof. Ioan Sǎcǎleanu, Lic.” Ştefan cel Mare”, Hirlău

12. 17: Fie ),,( ⋅+A un inel. Spunem că inelul are proprietatea (B) dacă x2 = x , x A∀ ∈ . a)Să se arate că dacă inelul A are proprietatea (B), atunci Axxx ∈∀=+ )(,0 şi inelul este comutativ. b) Să se arate că inelul A are proprietatea (B) dacă şi numai dacă Axxx ∈∀=+ )(,03 .

Prof. Turnea Mihaela, Lic.Teoretic “I.Neculce” Tg.Frumos

Rubrica rezolvitorilor

Au dat soluŃii corecte la problemele din nr. 2 următorii elevi: Clasa a VI a LICEUL “ŞTEFAN CEL MARE” , HÎRLĂU

• Alistar Andreea Ştefania ( P.12; P.16; P.21; 5.14; 5.17; 6.7; 6.11 ) • Brânză Carla Gabriela ( 5.11; 5.13; 5.16; 6.9 ) • Buzilă Maria Bianca ( 5.11; 5.15; 6.9; 6.11; 6.13) • HuŃanu Mădălina Georgiana ( 5.11; 5.12; 5.15; 6.9; 6.11; 6.13) • Mititelu Melissa Florina ( P.15; P.16; 5.12; 5.17; 6.9 ) • Neicu Mara ( 5.15; 6.9; 6.13; )

Clasa a VII a LICEUL “ŞTEFAN CEL MARE” , HÎRLĂU

• Ceucă Răzvan Ştefan ( 5.12; 5.17; 6.9; 6.13; 7.8; 7.9; 7.10 ) • IvănuŃă Andreea Simona (5.14; 6.8; 6.9; 6.11; 7.10 ) • Jitariu Adina Diana ( 6.5; 6.7; 6.11; 7.9; 7.10)

Micii MATEMATICIENI

64

Concursul de creaŃie a revistei “m M-2009” “Cea mai frumoasă problemă”

Concursul se adresează tuturor elevilor (clasele I-XII) . Elevii pot participa doar cu probleme originale. Problemele care nu sunt originale nu vor fi publicate sau nu vor participa la premiere. Fiecare problemă propusă trebuie însoŃită de rezolvarea completă şi de clasa pentru care este propusă. ExpediaŃi problemele folosind una din variantele:

• prin poştă , pe adresa Liceul Teoretic “ Ştefan cel Mare” , Hîrlău , str. Mihai Eminescu, nr. 5 , cu menŃiunea Pentru concursul mM-2009”

• direct prof. Ioan Săcăleanu • prin e-mail, pe adresa : cicisme68@yahoo.com

În luna decembrie a fiecărui an vor fi stabiliŃi câştigătorii pentru fiecare clasă .Va fi premiat autorul celei mai frumoase probleme, pentru fiecare clasă. Alte informaŃii găsiŃi pe site-ul liceului http://hirlau.licee.edu.ro/

În atenŃia elevilor ! Numele elevilor ce vor trimite redacŃiei soluŃii corecte la problemele din rubrica Probleme propuse vor fi menŃionate în Rubrica rezolvitorilor. Se va Ńine seama de următoarele reguli:

1. Pot trimite soluŃii la minim 3 probleme propuse în numărul anterior; pe o foaie va fi redactată soluŃia unei singure probleme;

2. Elevii din clasele III—VI au dreptul să trimită soluŃii la problemele propuse până la clasa lor şi pentru orice clasă mai mare. Elevii din clasele VII-XII pot trimite soluŃii la problemele propuse pentru clasa lor, pentru orice clasă mai mare şi din două clase mai mici , imediat anterioare.

3. Vor fi menŃionate următorele date personale: numele şi prenumele, clasa, şcoala, localitatea şi profesorul clasei.

4. Plicul cu probleme rezolvate se va trimite prin poştă pe adresa RedacŃiei: Liceul “Ştefan cel Mare”, Hîrlău, str. Mihai Eminescu, nr. 5 sau va fi adus direct prof. Ioan Săcăleanu.

Micii MATEMATICIENI

65

SUMAR

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE � Asupra unor probleme de analiză reală şi complexă

Prof. Dr.Teoodor Bulboacă � Notă matematică

Prof. Petru Asaftei � Ce este numărul ?

Prof. Costache RaŃă, Înv. Maria RaŃă � Teoria inteligenŃelor multiple-o provocarea pedagogiei moderne

Prof. Psiholog Liliana Bulgagiu VIAłA MATEMATICĂ ZONALĂ

� Concursul de creaŃie matematică ”Cea mai frumoasă problemă”- 2008.

� Concursul „Micii matematicieni”, ediŃia a III a � Rezultatele concursului � Probleme de concurs. Bareme de corectare

� Prezentarea proiectului educaŃional „SUPER MATE” � Testarea pentru clasa a V a. Variantele propuse.

PROBLEME ŞI SOLUłII � SoluŃiile poblemelor propuse în numărul 2

� Matematica pitică � Matematica gimnazială � Matematica liceală

PROBLEME PROPUSE � Matematica pitică � Matematica gimnazială � Matematica liceală

RUBRICA REZOLVITORILOR