PCSI 1, 2 et 3 Stanislas CB 2 2015-2016

CB 2 de PHYSIQUEMardi 3 mai 2016 (durée : 4h)

CALCULATRICES AUTORISÉES

1 Cycle moteur

Données numériques : VB = 1, 0L, VA = 330mL, T0 = 300K, P0 = 1, 0 bar, m = 10 kg, S = 100 cm2,g = 10N.kg−1, γ = 1, 4. La constante des gaz parfaits est R = 8, 314 J.K−1.mol−1. Les capacitésthermiques du gaz seront supposées indépendantes de la température.On rappelle que : R = Cpm − Cvm et γ =

Cpm

Cvmavec : Cpm et Cvm : capacités thermiques molaires,

respectivement à pression et à volume constants du gaz.

Les différentes transformations seront supposées réversibles.On imagine un cylindre aux parois diathermanes (perméables à la chaleur), fermé par un piston. Lepiston, de masse négligeable, peut glisser sans frottement entre deux cales A et B, sa section est S.Dans l’état initial, le piston est en A, le cylindre renferme un volume VA d’air supposé gaz parfait, decoefficient γ, à la température de l’extérieur : T0, pression P0, (gaz dans l’état 0 : P0, VA, T0).

On place une masse m sur le piston et on chauffe très doucement le gaz par un moyen approprié, nonreprésenté sur le schéma, jusqu’à ce que le piston décolle juste de la cale A(gaz dans l’état 1 : P1, VA, T1).

Puis, on maintient le chauffage jusqu’à ce que le piston arrive juste en B(gaz dans l’état 2 : P2, VB, T2), le chauffage est alors arrêté.

On ôte m et on laisse refroidir l’ensemble jusqu’à ce que le piston décolle juste de B(gaz dans l’état 3 : P3, VB, T3).

On laisse toujours refroidir jusqu’à la température T0, alors, le piston revient en A(gaz dans l’état 0), le cycle est terminé.

1. Exprimer les capacités thermiques à pression et à volume constants Cp et Cv du gaz en fonctionde n (quantité de matière de gaz enfermé), R et γ, puis en fonction de P0, VA, T0 et γ.

2. Quelle est la nature de la transformation de 0 à 1 subie par le gaz ?3. Exprimer la pression P1 et la température T1 en fonction de P0, T0, m, g, S. Faire l’application

numérique.4. Exprimer la quantité de chaleur (transfert thermique) Q1

0 reçue par le gaz au cours de cettetransformation 0→ 1 en fonction de P0, T1, T0, VA et γ. Faire l’application numérique.

5. Quelle est la nature de la transformation 1 à 2 subie par le gaz ?6. Exprimer la température T2 en fonction de T1, VA, VB. Faire l’application numérique.7. Exprimer la quantité de chaleur (transfert thermique) Q2

1 reçue par le gaz au cours de cettetransformation 1→ 2 en fonction de P0, T0, T1, T2, VA et γ. Faire l’application numérique.

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8. Quelles sont les natures des transformations 2 à 3 et 3 à 0 subies par le gaz ?

9. Exprimer le travail W reçu de l’extérieur par l’air contenu dans le cylindre, au cours du cycle,en fonction de m, g, VA, VB, S. Faire l’application numérique. Commenter son signe.

10. Tracer l’allure du diagramme de Watt (P, V ) d’un cycle.

11. Retrouver, d’après le diagramme, le travail W calculé précédemment.

2 Disques protoplanétaires

Depuis 1995, des milliers d’exoplanètes ont été découvertes et l’étude des mécanismes de formationd’une ou de plusieurs planètes autour d’une étoile est devenue une partie extrêmement prolifique del’astrophysique. Le scénario actuellement retenu met en jeu un disque protoplanétaire, une couche finede poussières en rotation autour de l’étoile naissante. À l’intérieur de ce disque, des phénomènes desédimentation, d’agrégation, d’accrétion et de collision aboutissent à la formation d’un système pla-nétaire en orbite autour de son étoile. Ce sujet présente quelques aspects de l’étude de ces disquesprotoplanétaires.

Données numériques :

Constante de gravitation universelle G = 6, 7× 10−11 S.I. ;Champ de gravité à la surface terrestre g0 = 9, 8m.s−2 ;Unité astronomique 1U.A. = 1, 5× 1011m ;Année-lumière 1A.L. = 9, 5× 1015m ;Rayon du Soleil RS = 7, 5× 108m ;Masse du Soleil MS = 2, 0× 1030 kg ;Rayon moyen de la Terre RT = 6, 4× 106m ;Masse de la Terre MT = 6, 0× 1024 kg ;Constante d’Avogadro NA = 6, 0× 1023mol−1 ;Constante du gaz parfait R = 8, 3 J.K−1.mol−1.

Figure 1 – Disques protoplanétaires vus par Hubble

La figure 2 montre un disque protoplanétaire de l’étoile β Pictoris, imagé par les télescopes du VLT(Very Large Telecscope). Cette étoile est située à 63,4 années-lumière du système solaire et est 1,75 foisplus massive que le Soleil. En 2008, les astrophysiciens ont annoncé avoir détecté une planète, baptiséeβ Pictoris b, dont l’orbite autour de cette étoile a un rayon égal à 8 à 9 unités astronomiques et dontla période orbitale est de 17 à 21 ans. Cette planète est visible sur l’image de la figure 2 où la ligne enpointillés est la trace de l’intersection du plan moyen du disque avec le plan de l’image.

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Figure 2 – β Pictoris et son disque vu par la tranche, imagés par le VLT (d’après ESO/A.-M. Lagrangeet al.)

Partie I : Forme du disque

Un disque protoplanétaire est essentiellement constitué de poussière et de gaz. Sa forme est contraintepar le champ de gravité de l’étoile ainsi que par le champ propre du disque.

On peut remarquer sur les différentes figures un axe privilégié : l’axe perpendiculaire au plandu disque protoplanétaire. Nous noterons cet axe Oz en prenant z = 0 le plan moyen du disqueplanétaire (sur la figure 2, z = 0 sur la droite tracée en pointillés par exemple). Pour étudier le disqueprotoplanétaire, nous introduirons trois repères associés au référentiel de l’étoile :

— un repère cartésien (Figure 3) d’axe Oz perpendiculaire au plan du disque protoplanétaire. Leplan yOx est le plan moyen du disque protoplanétaire. O est la position de l’étoile assimilée àun point matériel. Ce repère est simplement utilisée pour définir les origines des coordonnéesangulaires des autres repères.

— un repère sphérique (Figure 4) centrée en O. On note (R, θ, φ) les coordonnées sphériques d’unpoint M de l’espace. L’origine des colatitude θ est l’axe Oz. On note (−→er ,−→eθ ,−→eφ) la base sphériqueassociée à ce repère au point M.

— un repère cylindrique (Figure 4) de même axe Oz et de centre O. On note (r, ψ, z) les coordonnéescylindriques d’un point M de l’espace. On note (−→ur,−→uψ,−→uz) la base cylindrique associée à cerepère au point M.

Figure 3 – Axes du système de coordonnées cartésiennes

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Figure 4 – Système de coordonnées cylindriques et sphériques. On a représenté ici que le plan (~uz, ~OM)

Champs de gravité

1. Champ de l’étoile.

(a) Considérant les dimensions relatives de l’étoile et sa symétrie sphérique. On peut l’assimiler àun point matériel de masseME situé au point O. Exprimer la force de gravitation

−−−−−−→Fetoile→M

subie par un point matériel M de masse m situé à une distance R de O dans le système decoordonnées sphériques (en utilisant la base sphérique).

(b) Montrer que cette force dérive d’une énergie potentielle EPgrav(M) et l’exprimer en fonctionde G,m,ME et R. On prendra l’origine des potentiels à l’infini.

(c) Par analogie avec le champ de pesanteur, déduire l’expression du champ de gravitation−→gE(M) créé par l’étoile en un point M situé à une distance R de O.

(d) Exprimer, dans le système de coordonnées cylindriques (coordonnées r, z et les vecteurs dela base −→er et −→ez ) présenté précédemment la force

−−−−−−→Fetoile→M , le champ de gravitation −→gE(M)

et l’énergie potentielle de gravitation EPgrav(M).

2. Champ du disque protoplanétaire.Pour estimer ~gD(M), champ gravitationnel propre du disque, on modélise le disque comme unecouche cylindrique de masse volumique uniforme ρD, d’épaisseur eD et de rayon RD � eD. Cettedernière hypothèse permet de négliger les effets de bords. La norme de ~gD ne peut dépendreque de ρD, eD et de la constante de la gravitation G soit ‖~gD‖ ∝ ραDe

βDG

γ . La constante deproportionnalité est de l’ordre de l’unité.Établir par analyse dimensionnelle les valeurs de α, β et γ.

3. Comparaison entre les deux champs gravitationnels.On cherche à comparer ‖~gE‖ et ‖~gD‖ afin de déterminer s’ils interviennent tous deux sur larépartition de matière dans le disque.

(a) Montrer que l’on peut négliger le champ du disque devant le champ de l’étoile pour desrayons inférieurs à un rayon RC à expliciter en fonction de ρD, eD et ME .

(b) Dans le système solaire, 99,9% de la masse est concentrée dans le Soleil. Si on suppose que larépartition étoile-disque est à peu près identique dans le disque de β Pictoris, sans chercherà déterminer eD, valider l’hypothèse qui consiste à négliger le champ du disque devant lechamp de l’étoile. Cette hypothèse sera conservée par la suite.

Disque de gaz évasé

On traite le gaz du disque comme un fluide de masse volumique ρ, soumis à un champ de gravitélocal ~gE(M) et dans lequel règne une pression P . On admet que le champ de pression à l’intérieurdu disque est régi par le principe fondamental de la statique des fluides. Pour déterminer la massevolumique en un point quelconque du disque protoplanétaire, on procède par analogie avec le modèlede l’atmosphère isotherme dans un champ de pesanteur uniforme.

4. Modèle de l’atmosphère isotherme dans un champ de pesanteur uniforme

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(a) Rappeler l’expression scalaire du principe fondamental de la statique des fluides dans unchamp de pesanteur uniforme vertical. On choisira un axe Oz vertical ascendant.

(b) En assimilant l’air à un gaz parfait à la température T0, exprimer la masse volumique del’air en fonction de la pression, R, T0 etMf la masse molaire du fluide. En déduire l’équationdifférentielle liant la pression et l’altitude en se plaçant dans le modèle isotherme.

(c) En déduire la pression P (z) puis la masse volumique ρ(z) de ce fluide en fonction de latempérature T0, de la masse molaire Mf du fluide de l’intensité de la pesanteur g et de laconstante R des gaz parfaits. On posera P0 et ρ0 respectivement la pression et la massevolumique du fluide à l’altitude z = 0.

(d) Rappeler l’expression de l’énergie potentielle EPpes(z) d’une entité de masse m placée dansle champ de pesanteur uniforme terrestre (prendre Ep(z = 0) = 0). En déduire que

ρ(z) = ρ0 exp

(−EPpes

kBT0

)(1)

où kB = RNA

désigne la constante de Boltzmann.5. Distribution de masse dans le disque.

On traite le disque comme un gaz formé de grains élémentaires de massem placés dans le champgravitationnel −→gE(M) déterminé précédemment. L’énergie potentielle associée est : EPgrav =

− GmME√r2+z2

(a) En utilisant l’analogie avec l’atmosphère isotherme vue à la question précédente, montrerque la masse volumique au point générique M se met sous la forme :

ρ(r, z) = ρ0 exp

(H(T )√z2 + r2

)(2)

où T est la température du gaz ; on exprimera la fonction H(T ).(b) Le disque protoplanétaire est supposé de faible épaisseur, ce qui revient à considérer |z| � r.

De plus, la température du gaz ne dépend que de r et on la note désormais T (r). Onadmettra qu’il est possible d’utiliser l’expression de la question précédente dans le cas où latempérature du gaz dépend de r.Montrer que ρ(r, z) peut se mettre sous la forme approchée

ρ(r, z) = ρ1(r) exp

(−z2

h(r)2

)où on donnera l’expression de h(r), qui s’interprète comme l’épaisseur locale du disque, enfonction de kB, G, ME , m, r et de la température locale T (r). Discuter de la distributionspatiale, suivant l’axe Oz, des grains de poussière en fonction de leur masse.

(c) De nombreux disques ont une structure évasée qu’on peut prédire à l’aide d’un calcul menépar Kenyon et Hartmann (1987). Ces chercheurs ont montré que la température locale peutse mettre sous la forme T (r) ∝ r−1/2. En déduire la forme de h(r) dans ce modèle.

Partie II : Modèle d’accrétion planétaire dans un disque

On étudie dans cette partie quelques étapes-clés de la formation d’une planète, en détaillant suc-cessivement le phénomène de sédimentation verticale dans le disque, puis le phénomène d’accrétionlui-même.

Mouvement de la poussière : étude de la sédimentation verticale

Une particule de poussière située dans le disque protoplanétaire suit une orbite dans le champgravitationnel de l’étoile centrale avec des traversées périodiques du plan médian. On se limite au casd’un disque fin tel que |z| � r.

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Figure 5 – Orbite de poussière (d’après la thèse de C. Pinte)

6. On cherche à étudier le mouvement vertical d’un grain de poussière, pour un rayon axial r fixé.

On rappelle l’expression ~gE = − GME

(r2 + z2)3/2(r~ur + z~uz). Déterminer l’équation du mouvement

du grain de poussière. Montrer que, toujours pour un disque fin, l’équation du mouvementvertical à r fixé peut se mettre sous la forme approchée : z(t) = −ω2(r)z(t) où ω(r) est unepulsation typique des oscillations verticales que l’on exprimera uniquement en fonction de G,ME et r.

7. Un modèle numérique permet d’obtenir la courbe donnée figure 6, qui simule la trajectoiresuivant l’axe Oz d’un grain de 10 mètres de rayon, initialement lâché à un rayon d’une unitéastronomique et à une hauteur de 0,01 unité astronomique par rapport au plan médian.

Figure 6 – Trajectoire d’un grain de poussière d’après Garaud et al.

Cette courbe permet-elle de valider le modèle précédent ? Déterminer l’échelle de temps utiliséepour ce graphe pour un rayon fixé à une unité astronomique. On prendra ME = 1, 75MS .

8. Pour des grains de plus petites tailles et de masse m, l’interaction avec le gaz du disque estplus importante. On rajoute à l’équation précédente un terme de frottement fluide de la forme−mαz(t), où α est une fonction simple de la taille du grain et de la densité particulaire dunuage. On obtient alors les trajectoires données figure 7.

Figure 7 – Trajectoires des grains de poussière en fonction de leur taille.

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Analyser qualitativement les résultats présentés figure 7 et en déduire le sens de variation de αavec la taille des particules. Commenter physiquement le comportement des très petits grains.

9. En régime pseudo-périodique, on peut estimer le facteur de qualité comme étant (approxima-tivement) le nombre d’oscillations visibles. Pour des grains de 1 mètre, estimer le facteur dequalité. En déduire la valeur de α correspondante. Comparer avec la valeur de α tirée de laforce de Stokes, ~FS = −6πηR~v, où η ∼ 10−5S.I. est la viscosité du gaz et R le rayon d’un grainsachant qu’après une étude statistique, C. Pinte propose dans sa thèse de prendre une massevolumique moyenne des grains égale à ρgr ∼ 0, 5 g.cm−3. Commenter la vraisemblance de lamodélisation.On montre ainsi l’inévitable sédimentation verticale des particules et la constitution d’un disquefin de poussière dans lequel les phénomènes de collision et d’accrétion vont avoir lieu.

Modèle de collision

Après la sédimentation verticale commence une phase d’accrétion (succession de collisions entre lespoussières, les astéroïdes et les planétésimaux) qui aboutit à la formation d’une planète. On étudie iciun modèle simple d’accrétion afin de le comparer au modèle numérique conduisant à la figure 8, dansla laquelle on distingue la formation progressive d’une planète et la constitution d’un sillon dans ledisque de poussière.

Figure 8 – Sillon creusé dans la composante de poussières d’un disque protoplanétaire, vu de haut, àdes instants successifs (de gauche à droite) c©CRAL, d’après Gonzalez et Fouchet

10. Estimation de la vitesse relative.Dans le modèle cinétique d’accrétion, un des paramètres importants est la vitesse relative desastéroïdes par rapport à l’astre en accrétion. On cherche à estimer l’ordre de grandeur de cettevitesse relative. On envisage le cas d’une collision entre la Terre et un astéroïde rocheux.

Figure 9 – Meteor Crater (Arizona) de diamètre 1,2 km dû à l’impact d’une météorite de 150m dediamètre. Source : Shane.torgerson via Wikimedia Commons

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Cette partie constitue un problème non guidé contenant essentiellement une ques-tion préliminaire, une question principale et une question d’analyse. Les variablesintervenant dans le problème ne sont volontairement pas toutes définies. Le can-didat est invité à définir les variables qu’il jugera pertinentes, à les nommer et, sinécessaire, à les estimer.

(a) Construire, par analyse dimensionnelle, une expression littérale permettant d’estimer l’ordrede grandeur de la portée d’un corps lancé à une vitesse v0 dans un champ de gravité uniformeg0. Il s’agit de la distance horizontale parcourue par le corps entre le moment où il est lancéà la vitesse v0 et celui où il retombe sur le sol.

(b) Proposer un modèle qui permette d’estimer littéralement l’ordre de grandeur du diamètredu cratère formé sur la Terre par un astéroïde métallique arrivant frontalement à la vitessevr dans un sol sédimentaire. On pourra ou non utiliser le graphe donné figure 10, établi parRichard J. Pike à partir d’une étude de 204 cratères lunaires, qui figure l’évolution de laprofondeur d’un cratère contre celle de son diamètre.

Figure 10 –

(c) Une modélisation numérique de ce problème conduit à la loiD = 1, 161(ρi/ρt)1/3L0,78v0,44i g−0,22

avec D le diamètre du cratère. Identifier les variables de cette loi numérique et comparer leslois de puissance de ce modèle à celles de votre modèle. Commenter.

(d) En déduire la vitesse relative vr de l’astéroïde responsable de la formation du Meteor Crateraux États-Unis (cf. Figure 9). On donne la masse volumique du fer ρFe = 8, 9.103kg.m−3.

Modèle simple d’accrétion

On développe à présent un modèle simple d’accrétion. On considère à l’intérieur du disque proto-planétaire un astre A, à symétrie sphérique, de rayon RA. On suppose que le disque protoplanétaireautour de l’astre A est constitué d’un grand nombre de petits corps, répartis aléatoirement et ayanttous la même vitesse vr dans une même direction et même sens ~u. On note n∗ le nombre de corps parunité de volume. On rappelle qu’on suppose que tous ces corps ont une vitesse de même direction etque l’astre A est immobile.On néglige les interactions gravitationnelles et on négligera la taille des petits corps devant RA.

11. Faire un schéma du volume occupé par les corps susceptibles de heurter A pendant l’intervallede temps dt. Exprimer le nombre de particules frappant A pendant dt en fonction de n∗, dt, RAet vr.

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12. On note m la masse des petits corps qui heurtent l’astre A et s’y écrasent. On suppose quel’impact ayant eu lieu, les petits corps restent collés à A et augmentent ainsi sa masse MA. Onsuppose aussi que sous l’effet de sa rotation propre, ces corps écrasés sur A se répartissent detelle sorte que A reste sphérique, de masse volumique ρA = 0, 5 g.cm−3 constante, mais de rayonRA variable.Donner l’expression de la vitesse d’accrétion dRA/dt en fonction de n∗, vr, ρA et m. En déduireRA(t) si on néglige le rayon en début d’accrétion.

13. Une analyse de la masse et du volume du disque protoplanétaire permet de lui attribuer unemasse volumique moyenne de l’ordre de ρD ∼ 5.10−7 kg.m−3. De même, on prendra une vitesserelative dans le disque de l’ordre de vr ∼ 1 km.s−1.Lier ρD, n∗ et m. En déduire une estimation de la valeur numérique du temps nécessaire pourqu’un astre évoluant dans ce disque protoplanétaire atteigne la moitié de la taille de la Terrepar accrétion. Comparer le résultat avec les 40 millions d’années actuellement retenus. Peut-onvalider ce modèle ?Proposer deux explications, une en lien avec la simulation de Gonzalez et Fouchet présentée endébut de partie sur le modèle de collision, et l’autre en lien avec une des valeurs numériques dumodèle.En fait, en plus des problèmes évoqués, le modèle présenté peut encore être amélioré de diversesmanières : d’une part, la prise en compte des interactions gravitationnelles entre les embryons deplanètes et la poussière modifie grandement la dynamique d’accrétion et conduit à des périodesd’emballement — on parle d’accrétion galopante — et d’autre part, le freinage des embryons parla poussière et le gaz conduit à un phénomène de transit planétaire qui explique la très grandetaille du sillon creusé par la planète lors de sa formation.

********* FIN de l’ÉPREUVE *********

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