Uji Turunan Kedua Fungsi Dua Variabel
September 29, 2015
Tinjau kembali uraian deret Taylor untuk fungsi f(x, y) di sekitar titik (a, b) yang dinyatakan dengan
(sampai orde kedua)
f(x, y) ≈ f(a, b) + hfx(a, b) + kfy(a, b) +1
2
[h2fxx(a, b) + 2hkfxy(a, b) + k2fyy(a, b)
]serta fungsi Φ yang menyatakan selisih antara nilai fungsi di titik sembarang f(x, y) dan di titik stasion-
ernya f(a, b)
Φ = h2fxx + 2hkfxy + k2fyy = k2
[fxx
(h
k
)2
+ 2fxy
(h
k
)+ fyy
]Φk = fxxξ
2 + 2fxyξ + fyy
dengan Φk ≡Φ
k2dan ξ ≡ h
k. Karena k2 selalu positif berarti tanda Φk akan sesuai dengan Φ, artinya jika
Φ > 0 berarti Φk > 0 dan jika Φ < 0 berarti Φk < 0. Perhatikan bahwa Φk merupakan bentuk fungsi
kuadrat dalam variabel ξ. Variabel ξ sendiri bisa bernilai besar maupun kecil juga bisa bernilai positif
maupun negatif.
• Jika titik (a, b) adalah titik maksimum berarti Φk < 0. Bila ditinjau persamaan kuadrat tersebut
maka
fxxξ2 + 2fxyξ + fyy < 0
Bila digambarkan dalam persamaan kuadrat maka kondisi tersebut adalah berupa kurva persamaan
kuadrat yang tidak memotong sumbu datar dan semua bagian fungsi kuadrat tersebut ada di bagian
bawah (kurva persamaan kuadrat membuka ke bawah). Persamaan kuadrat yang tidak memo-
tong sumbu datar berarti diskriminan D < 0 dan kurva membuka ke bawah berarti koe�sien suku
kuadratnya bernilai negatif. Dalam hal ini berarti
D < 0→ 4f2xy − 4fxxfyy < 0 atau f2xy − fxxfyy < 0⇒ fxxfyy > f2xy
dan karena fxx < 0 maka berarti fyy < 0Dengan demikian berarti titik maksimum di (a, b) ditandai dengan
fxx < 0, fyy < 0 dan fxxfyy > f2xy
• Jika titik (a, b) adalah titik minimum berarti Φk > 0. Bila ditinjau persamaan kuadrat tersebut
maka artinya
fxxξ2 + 2fxy + fyy > 0
Bila digambarkan dalam persamaan kuadrat maka kondisi tersebut adalah berupa kurva persamaan
kuadrat yang tidak memotong sumbu datar dan semua bagian fungsi kuadrat tersebut ada di bagian
1
atas (kurva persamaan kuadrat membuka ke atas). Persamaan kuadrat yang tidak memotong sumbu
datar berarti diskriminan D < 0 dan kurva membuka ke bawah berarti koe�sien suku kuadratnya
bernilai positif. Dalam hal ini berarti
D < 0→ 4f2xy − 4fxxfyy < 0 atau f2xy − fxxfyy < 0⇒ fxxfyy > f2xy
dan karena fxx > 0 maka berarti fyy > 0Dengan demikian berarti titik minimum di (a, b) ditandai dengan
fxx > 0, fyy > 0 dan fxxfyy > f2xy
• Tinjau kondisi persamaan kuadrat dalam ξ tersebut bisa bernilai positif ataupun negatif. Kondisi ini
bila digambarkan dalam kurva persamaan kuadrat berarti kurva yang memotong sumbu datar baik
membuka ke atas ataupun membuka ke bawah. Agar suatu kurva persamaan kuadrat memotong
sumbu datar maka nilai diskriminan D > 0. Dalam hal ini berarti
D > 0→ 4f2xy − 4fxxfyy > 0 atau f2xy > fxxfyy
syarat tersebut memberikan kondisi untuk titik pelana (sadle point).
Dengan demikian berarti titik pelana (sadle point) di (a, b) ditandai dengan
fxxfyy < f2xy artinya termasuk bila fxxfyy < 0
• Selanjutnya bagaimana jika diskriminan D = 0? Dalam hal ini berarti
4f2xy − 4fxxfyy = 0→ f2xy = fxxfyy
Kondisi ini digambarkan dalam kurva persamaan kuadrat yang menyinggung sumbu datar, baik
kurva membuka ke atas ataupun membuka ke bawah. Untuk kondisi ini belum bisa disimpulkan
tentang kategori titik esktremum di (a, b) dan diperlukan uji yang lain.
Dengan demikian dapat disimpulkan untuk uji turunan kedua pada fungsi dua variabel f(x, y) yang
mempunyai titik ekstremum di (a, b):
• Titik (a, b) merupakan titik minimum (lokal) jika fxx > 0, fyy > 0 dan fxxfyy > f2xy
• Titik (a, b) merupakan titik maksimum (lokal) jika fxx < 0, fyy < 0 dan fxxfyy > f2xy
• Titik (a, b) merupakan titik pelana jika fxxfyy < f2xy
• jika f2xy = fxxfyy maka tidak dapat disimpulkan kategori titik (a, b) menggunakan uji turunan kedua
dan diperlukan metode lain untuk menentukan jenis titik ekstremum di (a, b)
2
Top Related