Uji Turunan Kedua Fungsi Dua Variabel

September 29, 2015

Tinjau kembali uraian deret Taylor untuk fungsi f(x, y) di sekitar titik (a, b) yang dinyatakan dengan

(sampai orde kedua)

f(x, y) ≈ f(a, b) + hfx(a, b) + kfy(a, b) +1

2

[h2fxx(a, b) + 2hkfxy(a, b) + k2fyy(a, b)

]serta fungsi Φ yang menyatakan selisih antara nilai fungsi di titik sembarang f(x, y) dan di titik stasion-

ernya f(a, b)

Φ = h2fxx + 2hkfxy + k2fyy = k2

[fxx

(h

k

)2

+ 2fxy

(h

k

)+ fyy

]Φk = fxxξ

2 + 2fxyξ + fyy

dengan Φk ≡Φ

k2dan ξ ≡ h

k. Karena k2 selalu positif berarti tanda Φk akan sesuai dengan Φ, artinya jika

Φ > 0 berarti Φk > 0 dan jika Φ < 0 berarti Φk < 0. Perhatikan bahwa Φk merupakan bentuk fungsi

kuadrat dalam variabel ξ. Variabel ξ sendiri bisa bernilai besar maupun kecil juga bisa bernilai positif

maupun negatif.

• Jika titik (a, b) adalah titik maksimum berarti Φk < 0. Bila ditinjau persamaan kuadrat tersebut

maka

fxxξ2 + 2fxyξ + fyy < 0

Bila digambarkan dalam persamaan kuadrat maka kondisi tersebut adalah berupa kurva persamaan

kuadrat yang tidak memotong sumbu datar dan semua bagian fungsi kuadrat tersebut ada di bagian

bawah (kurva persamaan kuadrat membuka ke bawah). Persamaan kuadrat yang tidak memo-

tong sumbu datar berarti diskriminan D < 0 dan kurva membuka ke bawah berarti koe�sien suku

kuadratnya bernilai negatif. Dalam hal ini berarti

D < 0→ 4f2xy − 4fxxfyy < 0 atau f2xy − fxxfyy < 0⇒ fxxfyy > f2xy

dan karena fxx < 0 maka berarti fyy < 0Dengan demikian berarti titik maksimum di (a, b) ditandai dengan

fxx < 0, fyy < 0 dan fxxfyy > f2xy

• Jika titik (a, b) adalah titik minimum berarti Φk > 0. Bila ditinjau persamaan kuadrat tersebut

maka artinya

fxxξ2 + 2fxy + fyy > 0

Bila digambarkan dalam persamaan kuadrat maka kondisi tersebut adalah berupa kurva persamaan

kuadrat yang tidak memotong sumbu datar dan semua bagian fungsi kuadrat tersebut ada di bagian

1

atas (kurva persamaan kuadrat membuka ke atas). Persamaan kuadrat yang tidak memotong sumbu

datar berarti diskriminan D < 0 dan kurva membuka ke bawah berarti koe�sien suku kuadratnya

bernilai positif. Dalam hal ini berarti

D < 0→ 4f2xy − 4fxxfyy < 0 atau f2xy − fxxfyy < 0⇒ fxxfyy > f2xy

dan karena fxx > 0 maka berarti fyy > 0Dengan demikian berarti titik minimum di (a, b) ditandai dengan

fxx > 0, fyy > 0 dan fxxfyy > f2xy

• Tinjau kondisi persamaan kuadrat dalam ξ tersebut bisa bernilai positif ataupun negatif. Kondisi ini

bila digambarkan dalam kurva persamaan kuadrat berarti kurva yang memotong sumbu datar baik

membuka ke atas ataupun membuka ke bawah. Agar suatu kurva persamaan kuadrat memotong

sumbu datar maka nilai diskriminan D > 0. Dalam hal ini berarti

D > 0→ 4f2xy − 4fxxfyy > 0 atau f2xy > fxxfyy

syarat tersebut memberikan kondisi untuk titik pelana (sadle point).

Dengan demikian berarti titik pelana (sadle point) di (a, b) ditandai dengan

fxxfyy < f2xy artinya termasuk bila fxxfyy < 0

• Selanjutnya bagaimana jika diskriminan D = 0? Dalam hal ini berarti

4f2xy − 4fxxfyy = 0→ f2xy = fxxfyy

Kondisi ini digambarkan dalam kurva persamaan kuadrat yang menyinggung sumbu datar, baik

kurva membuka ke atas ataupun membuka ke bawah. Untuk kondisi ini belum bisa disimpulkan

tentang kategori titik esktremum di (a, b) dan diperlukan uji yang lain.

Dengan demikian dapat disimpulkan untuk uji turunan kedua pada fungsi dua variabel f(x, y) yang

mempunyai titik ekstremum di (a, b):

• Titik (a, b) merupakan titik minimum (lokal) jika fxx > 0, fyy > 0 dan fxxfyy > f2xy

• Titik (a, b) merupakan titik maksimum (lokal) jika fxx < 0, fyy < 0 dan fxxfyy > f2xy

• Titik (a, b) merupakan titik pelana jika fxxfyy < f2xy

• jika f2xy = fxxfyy maka tidak dapat disimpulkan kategori titik (a, b) menggunakan uji turunan kedua

dan diperlukan metode lain untuk menentukan jenis titik ekstremum di (a, b)

2