79

4. Condução de Calor Multidimensional em Regime Permanente

A equação da condução de calor, que é o processo de transferência de energia que

ocorre na fronteira de um sistema em repouso devido a um gradiente de temperatura, tem sido

deduzida em muitos livros. Essa equação genérica é da forma:

( , )( , ) ( , ) pT r tq r t q r t C

tρ ∂′′′−∇ + =

∂i (4.1)

na qual o primeiro termo do membro do lado esquerdo da equação representa a taxa de calor

entrando através da superfície do sistema, o segundo termo representa a taxa de geração por

unidade de volume e o termo do lado direito da equação representa a taxa de armazenamento

de energia dentro do sistema.

No caso de meios ou materiais em que a condutividade térmica independe da direção

(meios isotrópicos), o vetor fluxo de calor pode ser definido na seguinte forma (Lei de

Fourier):

q k T= − ∇ (4.2)

em que k é a condutividade térmica que pode ser uma função da temperatura, ( )k k T= .

A expressão para os componentes do fluxo de calor, em sistemas de coordenadas

curvilíneas ortogonais ( )1 2 3, ,x x x , é da forma

1 ; 1,2,3ii i

Tq k ih x∂

= − =∂

(4.3)

na qual ih são fatores de escalas que aparecem em transformações de coordenadas de um

sistemas de coordenadas para outro, em que se conheçam as relações,

( )1 2 3, , ; 1,2,3i ix x u u u i= = com ( )1 2 3, ,u u u sendo a tripla de coordenadas no novo sistema.

Os fatores de escalas são definidos na forma

23

2

1

ji

j i

xh

u=

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ (4.4)

Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas têm-se os dados na

Tabela 4.1

80

Tabela 4.1 – Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas

Coordenadas Cartesianas Cilíndricas Esféricas 1u x r r

2u y θ θ

3u z z φ

1x x r.cos(θ ) r.cos(θ )sen(φ )

2x y r.sen(θ ) r.sen(θ )sen(φ )

3x z z r.cos(φ )

1h 1 1 1

2h 1 r ( )r sen φ⋅

3h 1 1 r

No sistema de coordenadas cartesianas ( ), ,x y z , os fluxos de calor ficam, então,

definidos como

1Tq kx

∂= −

∂ (4.5a)

2Tq ky

∂= −

∂ (4.5b)

3Tq kz

∂= −

∂ (4.5c)

Para coordenadas cilíndricas ( ), ,r zθ resulta:

rTq kr

∂= −

∂ (4.6a)

Tq krθ θ∂

= −∂

(4.6b)

zTq kz

∂= −

∂ (4.6c)

Para coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ resulta:

rTq kr

∂= −

∂ (4.7a)

( )Tq k

rsenθ φ θ∂

= −∂

(4.7b)

Tq krφ φ∂

= −∂

(4.7c)

81

A partir das Equações (4.1) e (4.3) pode-se obter

( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1p

h h q h h q h h q Tq Ch h h x x x t

ρ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂′′′+ + + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

num domínio , 0tΩ > (4.8)

Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas (equações (4.5) a (4.7))

obtêm-se as equações para os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas

como a seguir.

- Sistema de coordenadas retangulares:

( , , , ) pT T T Tk k k q x y z t C

x x y y z z tρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′′+ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.9)

- Sistema de coordenadas cilíndricas:

2

1 1 ( , , , ) pT T T Tkr k k q r z t C

r r r r z z tθ ρ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′′+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4.10)

- Sistema de coordenadas esféricas:

( ) ( ) ( )22 2 2 2

1 1 1

( , , , ) p

T T Tkr k ksenr r r r sen r sen

Tq r t Ct

φφ θ θ φ φ φ

θ φ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂′′′+ =∂

(4.11)

As condições de contorno em problemas de condução podem ser escritas na seguinte

forma genérica, para uma superfície iS normal a um eixo de coordenadas ix

i

i i iì S

Tk T fn

γ∂+ =

∂∓ sobre , 0iS t > (4.12)

Assume-se que o domínio Ω tem um número de superfícies contínuas , 1, 2, ,iS i s= … em

número, tal que cada superfície iS coincide com a superfície do sistema de coordenadas

ortogonal escolhido. As combinações 0, 1i ik γ= = ou 1, 0i iδ γ= = recuperam as condições

de contorno de primeiro ou de segundo tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende

se a normal a iS está apontando no sentido positivo ou negativo da direção ix

respectivamente.

82

A condição inicial geralmente é da forma:

( ) ( ),T r t F r= para 0t = no domínio Ω (4.13)

Os métodos de solução da equação de condução podem ser analíticos exatos, métodos

analíticos aproximados ou métodos numéricos dependendo da complexidade do problema a

ser analisado. Os métodos analíticos englobam os métodos de Separação de Variáveis,

Técnica de Transformada Integral, Técnica de Transformada de Laplace, por exemplo. Os

métodos analíticos aproximados incluem o Método Integral, Método de Rayleigh-Ritz,

Método de Galerkin, entre outros. Os métodos numéricos clássicos são: Método de Diferença

Finita, Método de Volume Finito e Método de Elemento Finito. Um método numérico

também usado é o método de Monte-Carlo. Alguns destes métodos serão descritos a seguir.

4.1 Soluções Analíticas

O método analítico clássico em problemas de condução de calor homogêneos é o

método de separação de variáveis. O procedimento de separação de variáveis pode ser

aplicado também ao caso dos problemas em regime permanente sem geração de calor quando

apenas uma das condições de contorno seja não homogênea. Se várias condições de contorno

são não homogêneas é possível separar o problema original em um conjunto de problemas em

que cada um dos subproblemas tenha apenas uma condição de contorno não homogênea.

Considere, por exemplo, o problema de condução multidimensional homogêneo em regime

permanente com condição de contorno não homogênea definido a seguir:

( )2 0T r∇ = num domínio Ω (4.14a)

i i iì

Tk hT fn∂

+ =∂

sobre iS (4.14b)

O problema definido por (4.14) pode ser separado em um conjunto de problemas mais

simples de forma que apenas uma condição de contorno permaneça não homogênea. Cada

subproblema será governado pelas seguintes equações

( )2 0jT r∇ = num domínio Ω (4.15a)

ji i j ij i

ì

Tk hT f

nδ

∂+ =

∂ sobre iS (4.15b)

83

nas quais

1, 2, ,1, 2, ,

1 se 0 se ij

i sj s

i ji j

δ

==

=⎧= ⎨ ≠⎩

……

A solução para a distribuição de temperatura será a superposição das soluções dos problemas

mais simples na forma

( ) ( )1

s

jj

T r T r=

=∑ (4.16)

Considere o seguinte caso de condução num paralelepípedo

0 , 0 , 0x a y b z c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ com as condições de contorno definidas a seguir

2 2 2

2 2 2 0T T Tx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.17a)

0T T= em 0x = ; T T∞= em x a= (4.17b, c)

1Tk qy

∂ ′′− =∂

em 0y = ; 1 1Tk hT hTy ∞

∂+ =

∂ em y b= (4.17d, e)

2Tk qz

∂ ′′− =∂

em 0z = ; 2 2Tk h T h Tz ∞

∂+ =

∂ em z c= (4.17f, g)

Como todas as condições de contorno são não homogêneas, inicialmente, faz a

seguinte mudança de variável T Tθ ∞= − , que homogeneíza três condições de contorno

resultando 2 2 2

2 2 2 0x y zθ θ θ∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.18a)

0θ θ= em 0x = ; 0θ = em x a= (4.18b, c)

1k qyθ∂ ′′− =∂

em 0y = ; 1 0hy kθ θ∂+ =

∂ em y b= (4.18d, e)

2k qzθ∂ ′′− =∂

em 0z = ; 2 0hz kθ θ∂+ =

∂ em z c= (4.18f, g)

Agora propõe-se a separação do problema (4.18) em três problemas mais simples,

cada um deles com apenas uma condição de contorno não homogênea, pela seguinte

superposição:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,x y z x y z x y z x y zθ θ θ θ= + + (4.19)

84

Pode-se obter os seguintes três problemas:

Problema 1 2 2 2

1 1 12 2 2 0

x y zθ θ θ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.20a)

1 0θ θ= em 0x = ; 1 0θ = em x a= (4.20b, c)

1 0yθ∂

=∂

em 0y = ; 1 11 0h

y kθ θ∂+ =

∂ em y b= (4.20d, e)

1 0zθ∂

=∂

em 0z = ; 1 21 0h

z kθ θ∂

+ =∂

em z c= (4.20f, g)

Problema 2 2 2 2

2 2 22 2 2 0

x y zθ θ θ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.21a)

2 0θ = em 0x = ; 2 0θ = em x a= (4.21b, c)

21k q

yθ∂ ′′− =∂

em 0y = ; 2 12 0h

y kθ θ∂

+ =∂

em y b= (4.21d, e)

2 0zθ∂

=∂

em 0z = ; 2 22 0h

z kθ θ∂

+ =∂

em z c= (4.21f, g)

Problema 3 2 2 2

3 3 32 2 2 0

x y zθ θ θ∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.22a)

3 0θ = em 0x = ; 3 0θ = em x a= (4.22b, c)

3 0yθ∂

=∂

em 0y = ; 3 13 0h

y kθ θ∂

+ =∂

em y b= (4.22d, e)

32k q

zθ∂ ′′− =∂

em 0z = ; 3 23 0h

z kθ θ∂

+ =∂

em z c= (4.22f, g)

A solução de cada um dos três problemas por separação de variáveis fica na forma

( ) ( ) ( ) ( ), ,x y z X x Y y Z zθ = (4.23)

que substituída em qualquer das três equações (4.20a) ou (4.21a) ou (4.22a) resulta após

algumas manipulações 2 2 2

2 2 2

1 1 1 0d X d Y d ZX dx Y dy Z dz

+ + = (4.24)

85

Para o problema 1 propões-se a seguinte separação: 2

2 2 22

1 d XX dx

β γ η= = + , 2

22

1 d YY dy

γ= − e 2

22

1 d ZZ dz

η= − (4.25)

As equações separadas se tornam, então, 2

22 0d X X

dxβ− = (4.26a)

0X = em x a= (4.26b) 2

22 0d Y Y

dyγ+ = (4.27a)

0dYdy

= em 0y = (4.27b)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (4.27c)

22

2 0d Z Zdz

η+ = (4.28a)

0dZdz

= em 0z = (4.28b)

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (4.28c)

Para o problema 2 propõe-se a seguinte separação: 2

22

1 d XX dx

β= − , 2

2 2 22

1 d YY dy

γ β η= + = + e 2

22

1 d ZZ dz

η= − (4.29)

As equações separadas se tornam, então, 2

22 0d X X

dxβ+ = (4.30a)

0X = em 0x = (4.30b)

0X = em x a= (4.30c) 2

22 0d Y Y

dyγ− = (4.31a)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (4.31b)

22

2 0d Z Zdz

η+ = (4.32a)

0dZdz

= em 0z = (4.32b)

86

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (4.32c)

Para o problema 3 propõe-se a seguinte separação: 2

22

1 d XX dx

β= − , 2

22

1 d YY dy

γ= − e 2

2 2 22

1 d ZZ dz

η β γ= = + (4.33)

As equações separadas se tornam, então, 2

22 0d X X

dxβ+ = (4.34a)

0X = em 0x = (4.34b)

0X = em x a= (4.34c) 2

22 0d Y Y

dyγ+ = (4.35a)

0dYdy

= em 0y = (4.35b)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (4.35c)

22

2 0d Z Zdz

η− = (4.36a)

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (4.36b)

O Problema 1 requer a solução das equações (4.26), (4.27) e (4.28). A solução das

equações (4.27) e (4.28) correspondem ao caso 4 da Tabela 4.2, portanto, são da forma

( ) ( ), cosn nY y yγ γ= ; ( ) 1n ntg b Hγ γ = (4.37a)

( ) ( ), cosp pZ z zη η= ; ( ) 2p ptg c Hη η = (4.37b)

Para completar a solução do Problema 1, falta resolver a equação (4.26). A solução da

Equação (4.26a) que satisfaz a condição (4.26b) é do tipo

( ) ( ),m mX x senh a xβ β⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (4.37c)

em que 2 2 2 2m np n pβ β γ η= = + (4.38)

Desta forma a solução do Problema 1 fica na forma

( ) ( ) ( ) ( )11 1

, , cos cosnp np n pn p

x y z c senh a x y zθ β γ η∞ ∞

= =

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑∑ (4.39)

87

Aplicando a condição de contorno em 0x = resulta

( ) ( ) ( )01 1

cos cosnp np n pn p

c senh a y zθ β γ η∞ ∞

= =

=∑∑ (4.40)

Tabela 4.2 – Solução, Norma e Autovalores da Equação 2

22 0d X X

dxβ+ = em 0 x L< < para

as condições de contorno mostradas na Tabela.

No. Condições

de Contorno

x = 0

Condições

de Contorno

x = L

Autofunções.

( ),mX xβ

Inverso da norma

( )1/ mN β

Autovalores

são as raízes

positivas de

1 1 0dX H X

dx− + = 2 0dX H X

dx+ =

1

cosm m

m

xH sen x

β ββ

++

( ) ( )2 2

2 12 21 12 2

2

2

mm

m

H HL H H

H

ββ

β

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟+⎝ ⎠

( )1 22

1 2

m

m

m

tg LH H

H H

β

ββ

=

+

−

2 1 0dX H X

dx− + = 0dX

dx= ( )cos m L xβ − ( )

( )2 2

1

2 21 1

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

1m mtg L Hβ β =

3 1 0dX H X

dx− + = 0X = ( )msen L xβ − ( )

( )2 2

1

2 21 1

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

1m mctg L Hβ β = −

4 0dXdx

= 2 0dX H Xdx

+ = cos mxβ ( )( )

2 22

2 22 2

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

2m mtg L Hβ β =

5 0dXdx

= 0dXdx

= * cos mxβ m

m

2 para 0

1 para 0

L

L

β

β

≠

=

0msen Lβ =

6 0dXdx

= 0X = cos mxβ 2L

cos 0mLβ =

7 0X = 2 0dX H X

dx+ = msen xβ ( )

( )2 2

2

2 22 2

2 m

m

H

L H H

β

β

+

+ +

2m mctg L Hβ β = −

8 0X = 0dXdx

= msen xβ 2L

cos 0mLβ =

9 0X = 0X = msen xβ 2L

0msen Lβ =

Operando ambos os lados da equação (4.40) por ( )0

cosb

i y dyγ∫ e ( )0

cosc

q z dzη∫ e utilizando

a condição de ortogonalidade das autofunções resulta

88

( ) ( ) ( )0pn

np np n pn p

sen csen bc senh a N N

ηγθ β

γ η= (4.41)

da qual se obtém

( ) ( )( )0

1pnnp

n p np n p

sen csen bc

senh a N N

ηγθ

γ η β= (4.42)

que substituída em (4.59) leva a forma da solução para o Problema 1 na forma

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 0

1 1, , cos cosp npn

n pn p n p n p np

sen c senh a xsen bx y z y z

N N senh a

η βγθ θ γ η

γ η β

∞ ∞

= =

⎡ ⎤−⎣ ⎦= ∑∑ (4.43)

As normas na equação (4.43) correspondem ao caso 4 da Tabela 4.2 e, portanto, são

( )( )

2 21

2 2 21 1

21 n

n n

H

N b H H

γ

γ

+=

+ +;

( )( )

2 22

2 22 2

21 p

p p

H

N c H H

η

η

+=

+ + (4.44)

O Problema 2 requer a solução das equações 4.30 a 4.34. A solução do problema

(4.30) corresponde ao caso 9 da Tabela 4.2 é da forma

( ) ( ),m mX x sen xβ β= ; ( ) 0msen aβ = (4.45)

A solução da equação (4.31a) que satisfaz (4.31b) pode ser encontrada e é do tipo

( ) ( ) ( )1, coshn n n nY y b y H senh b yγ γ γ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.46)

na qual 2 2 2 2n mp m pγ γ β η= = + (4.47)

A solução da equação (4.32a) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2 e já foi mostrada na

Equação (4.37b).

A solução do Problema 2 fica na forma genérica

( ) ( )( )( )

( )21 1 1

cosh, , cos

mp mp

mp m pm p mp

b yx y z c sen x z

H senh b y

γ γθ β η

γ

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑∑ (4.48)

da qual se obtém

( ) ( )( )

( )( )

22

1 1 1

h, ,cos

cos

mp mp

mp m pm p mp mp

sen b yx y zk k c sen x z

y H h b y

γ γθβ η

γ γ

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +∂ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪− = ⎨ ⎬∂ ⎡ ⎤+ −⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∑∑ (4.49)

89

Aplicando a condição de contorno (4.21d) resulta

( ) ( ) ( ){ } ( )21 1

1 1

h cos cosmp m mp mp mp mp pm p

q k c sen x sen b H h b zβ γ γ γ γ η∞ ∞

= =

′′ = +∑∑ (4.50)

Operando ambos os lados da equação (4.50) por ( )0

a

msen x dxβ∫ e ( )0

cosc

q z dzη∫ e utilizando

a condição de ortogonalidade das autofunções resulta para a constante

( ) ( )( ) ( )

12

1

1 cos 1h cos

pmmp

m m p p mp mp mp mp

sen caqck N N sen b H h b

ηββ η γ γ γ γ

⎡ ⎤−′′ ⎣ ⎦=+

(4.51)

que substituída em (4.48) leva a forma final da solução do Problema 2

( )( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )11

2 21 1 1

coshcos

1 cos, ,

h cos

mp mp

m p

mppm

m p m m p p mp mp mp mp

b ysen x z

H senh b ysen caqx y zk N N sen b H h b

γ γβ η

γηβθ

β η γ γ γ γ

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤− ⎪ ⎪′′ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭=+∑∑

(4.52)

A norma mN corresponde ao caso 9 da Tabela 4.2. A norma pN corresponde ao caso

4 da Tabela 4.2. Assim tem-se

1 2

mN a= ;

( )( )

2 22

2 22 2

21 p

p p

H

N c H H

η

η

+=

+ + (4.53)

O Problema 3 é similar ao Problema 2, exceto a direção da condição de contorno não

homogênea. Analogamente, então, tem-se a solução de (4.36a) e (4.36b) na forma

( ) ( ) ( )2, cosh hp p p pZ z c z H sen c zη η η η⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.54)

na qual 2 2 2 2p mn m nη η β γ= = + (4.55)

A solução para 3θ , então, será da forma

( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )12

3 21 1 1

coshcos

1 cos, ,

h cos

mn mnm n

mnm n

m n m m n n mn mn mn mn

c zsen x y

H senh c za sen bqx y zk N N sen c H h c

η ηβ γ

ηβ γθ

β γ η η η η

∞ ∞

= =

⎧ ⎫⎡ ⎤− +⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎨ ⎬

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤− ⎪ ⎪′′ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭=+∑∑

(4.56)

90

4.2 Métodos aproximados

Os métodos aproximados servem para estimativas de soluções quando alguma

complicação dificulta uma solução analítica. Hoje, com o grande desenvolvimento de

métodos numéricos e disponibilidade de computadores, talvez, os métodos aproximados

sejam menos utilizados. Entre os vários métodos aproximados tem-se o método integral,

método de análise de escala e métodos gráficos.

4.4.1 Método integral

Considere o problema de encontrar a máxima temperatura na seção transversal de um

condutor elétrico de dimensões L por H, cujo contorno esteja à temperatura T∞ , e com geração

interna q′′′ . Este problema é governado pela seguinte equação, supondo condutividade

térmica constante, 2 2

2 2

T T qx y k

′′′∂ ∂+ = −

∂ ∂ (4.57)

com as condições de contorno

T T∞= em / 2x L= ± (4.58a, b)

T T∞= em / 2y H= ± (4.58c, d)

A temperatura máxima para este problema ocorre na posição ( )0, 0x y= = que é o

ponto mais distante de todos os contornos. A chave do método integral é a escolha de um

perfil de temperatura que satisfaça as condições de contorno e que quando substituído na

equação integrada permita estimativa de parâmetros de interesse no problema. Definindo o

excesso de temperatura como T Tθ ∞= − . Um perfil razoável para ( ),T x y pode ser da forma

( )2 2

max, 1 1/ 2 / 2x yT x y T

L Hθ∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(4.59)

que satisfaz as condições de contorno e no qual maxθ é a incógnita. Integrando a equação

(4.57) tem-se

2 2/ 2 / 2

2 2/ 2 / 2

L H

L H

T T qdxdy HLx y k− −

′′′⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ (4.60)

91

Derivando a equação (4.59) em relação a x e y duas vezes obtém-se 22

max2 2

8 1 4T yx L H

θ ⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.61a)

22max

2 2

8 1 4T xy H L

θ ⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.61b)

Substituindo (4.61a, b) em (4.60) e integrando o lado esquerdo resulta 2 2

max163

H L q HLHL k

θ′′′⎛ ⎞+

− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.62)

da qual se obtém a temperatura máxima como 2 2

max 2 2

316

q L Hk H L

θ′′′

=+

(4.63)

A máxima diferença de temperatura aumenta proporcionalmente com a razão /q k′′′ e com o

quadrado do menor dos dois lados. A fórmula (4.63) aproxima-se da solução exata quando a

seção transversal é plana ( ) ou H L H L>> << . Ela é menos precisa no caso de uma seção

quadrada, quando ela superestima a máxima diferença de temperatura em cerca de 27 %.

4.4.2 Método de análise de escala

O primeiro termo na equação (4.57) representa a curvatura da distribuição de

temperatura na direção x. A curvatura representa a mudança na inclinação /T x∂ ∂ , a ordem

de grandeza derivada segunda pode ser avaliada como

2/ 2 0

2 / 2 0x L x

T TT x x

x L= =

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ −

∼ (4.64)

O símbolo ∼ significa da mesma ordem de grandeza. Por simetria, ( ) 0/ 0

xT x

=∂ ∂ = . O

gradiente de temperatura deve ser proporcional à diferença máxima de temperatura; desta

forma,

max

/ 2 / 2x L

Tx L

θ

=

∂⎛ ⎞ −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∼ (4.65)

e conseqüentemente,

92

( )

2max

22 / 2T

x Lθ∂

−∂

∼ (4.66)

Por um argumento semelhante pode-se concluir que

( )

2max

22 / 2T

y Hθ∂

−∂

∼ (4.67)

Substituindo (4.66) e (4.67) em (4.57) resultará

( ) ( )max max

2 2/ 2 / 2qkL H

θ θ ′′′+ ∼ (4.68)

da qual se obtém a diferença máxima de temperatura como 2 2

max 2 24q L Hk L H

θ′′′

+∼ (4.69)

A análise de escala levou a um resultado que é cerca de 33 % maior do que o resultado

da análise integral (Eq. (4.63)). A análise de escala produz um resultado compacto e barato

que concorda com a solução exata dentro de um fator de grandeza de ordem 1 com a solução

exata do problema.

4.4.3 Método gráfico

O método gráfico é ilustrado na Figura 4.1. Suponha o caso de uma região retangular

com as faces esquerda e direita isoladas termicamente. Suponha que o topo esteja numa

temperatura mais alta do que o fundo. As linhas horizontais serão linhas isotérmicas, normais

a estas linhas têm-se as linhas de fluxo, que serão as linhas verticais. A taxa total de calor que

entra na parede superior é suposta ser composta de n mini-correntes de igual dimensão, cada

obtida como

( )1,2, ,iqq i nn

= = … (4.70)

Cada mini-corrente escoa através de um tubo de calor, isto é, o espaço entre duas linhas de

fluxo adjacentes.

93

Figura 4.1 – Malhas de isotermas e linhas de fluxos: (a) malha quadrada; (b) malha curva

O desenho das linhas de fluxo e das isotermas formam uma malha ou grade. Suponha

que a dimensão de cada malha seja x yΔ ×Δ . Se a dimensão vertical for dividida em m malhas,

pode-se estimar a variação de temperatura em um malha como

( )1,2, ,h cj

T TT j mm−

Δ = = … (4.71)

De acordo com a lei de Fourier, a mini-corrente que passa através do quadrado ( ),i j é

ji j

Tq k xW kW T

yΔ

= Δ = ΔΔ

(4.72)

na qual W é a dimensão normal ao plano da folha. Pela combinação das equações (4.70)-

(4.72) pode-se obter a taxa total de transferência de calor

( )h cnq Wk T Tm

= − (4.73)

Na equação (4.73), define-se o que se chama de fator de forma como

nS Wm

= (4.74)

94

Este procedimento que resultou na Eq. (4.73) se aplica mesmo no caso das linhas

isotermas e de fluxo serem curvas. Existem nos livros de transferência de calor fatores de

forma para várias configurações.

4.3 Métodos numéricos

Atualmente, com o desenvolvimento e maior disponibilização de computadores, os

métodos mais comumente usados para se resolver a equação de condução multidimensional

são métodos numéricos, em que um meio continuo é substituído por subdomínios que formam

uma malha ou conjunto de pontos. Os pontos são nós (nódulos) na intersecção das linhas da

malha ou grade. Em condução de calor, o método numérico mais comumente usado é o

método de diferença finita. Com o uso de métodos numéricos, muitas das simplificações para

se obter soluções analíticas não necessitam serem feitas.

4.3.1 Volume finito

Considere um volume de controle de dimensões ( ) ( )x y WΔ × Δ × , Figura 4.2, um

balanço de energia leva ao

0w e s nq q q q q x yW′′′+ + + + Δ Δ = (4.75)

na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é

identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste

voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N .

As taxas de calor são definidas como

( )

( ) ( )

( )

N Pn n

n

W P E Pw w e e

w e

S Ps s

s

T Tq k W xy

T T T Tq k W y x yWq q k W yx x

T Tq k W xy

δ

δ δ

δ

−≅ Δ

− −′′′≅ Δ Δ Δ ≅ Δ

−≅ Δ

(4.76)

No centro da eq. (4.76) está indicada a taxa de geração de calor dentro do volume de controle.

95

Figura 4.2 – Volume de controle em torno de um ponto P.

Substituindo (4.76) em (4.75) obtém-se

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

s n w eP

s n w e

w e s nW E S N

w e s n

k x k x k y k y Ty y x x

k y k y k x k xT T T T q x yx x y y

δ δ δ δ

δ δ δ δ

⎡ ⎤Δ Δ Δ Δ− + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Δ Δ Δ Δ ′′′+ + + + + Δ Δ =

(4.77)

se for considerado que a geração seja uma função da temperatura: p p Cq S T S′′′ = + , a equação

(4.77) fica na forma

p P W W E E S S N Na T a T a T a T a T b= + + + + (4.78)

na qual

( )e

Ee

k yaxδΔ

= (4.79a)

( )w

Ww

k yaxδΔ

= (4.79b)

( )n

Nn

k xayδΔ

= (4.79c)

( )s

Ss

k xayδΔ

= (4.79d)

p E W N S Pa a a a a S x y= + + + − Δ Δ (4.79e)

Cb S x y= Δ Δ (4.79f)

96

A equação (4.78) se escrita numa forma matricial sugere um arranjo pentadiagonal,

que pode ser resolvida por técnicas numéricas bem conhecidas.

No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e

existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (4.78) e os coeficientes ficam na forma

p P W W E E S S N N T T B Ba T a T a T a T a T a T a T b= + + + + + + (4.80)

na qual

( )e

Ee

k y zaxδ

Δ Δ= (4.81a)

( )w

Ww

k y zaxδΔ Δ

= (4.81b)

( )n

Nn

k x zayδΔ Δ

= (4.81c)

( )s

Ss

k x zayδ

Δ Δ= (4.81d)

( )t

Tt

k x yazδ

Δ Δ= (4.81e)

( )b

Bb

k x yazδ

Δ Δ= (4.81f)

p E W N S T B Pa a a a a a a S x y z= + + + + + − Δ Δ Δ (4.81g)

Cb S x y z= Δ Δ Δ (4.81h)

No caso de problemas tridimensionais, a equação (4.80) sugere um arranjo

heptadiagonal.

4.3.2 Diferença finita

No caso em que se usa o método clássico de diferenças finitas pode-se ter as três

seguintes aproximações para o gradiente de temperatura num ponto ,i j , Figura 4.3,

( ) ( )1, 1,2

T i j T i jT Tx x x

+ − −∂ Δ≈ =

∂ Δ Δ (4.82a)

( ) ( ), 1,T i j T i jT Tx x x

− −∂ Δ≈ =

∂ Δ Δ (4.82b)

97

( ) ( )1, ,T i j T i jT Tx x x

+ −∂ Δ≈ =

∂ Δ Δ (4.82c)

Figura 4.3 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.

As equações (4.82a), (4.82b) e (4.82c) são conhecidos como diferenças centrais,

diferenças para trás e diferenças para frente respectivamente. Derivadas segundas podem ser

aproximadas como

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

1, , , 1,

1, 2 , 1, =

k T i j T i j T i j T i jTkx x x

k T i j T i j T i j

x

⎡ ⎤+ − − + −∂ ∂⎛ ⎞ ⎣ ⎦≈ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ Δ

⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦Δ

(4.83)

Analogamente, tem-se

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2

, 1 , , , 1

, 1 2 , , 1 =

k T i j T i j T i j T i jTky y y

k T i j T i j T i j

y

⎡ ⎤+ − − + −⎛ ⎞∂ ∂ ⎣ ⎦≈ =⎜ ⎟∂ ∂ Δ⎝ ⎠

⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦Δ

(4.84)

Desta forma a equação de condução em regime permanente discretizada em diferenças

finitas fica na forma

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 2 2 2 2 2

, 1 1, 2 , 2 , 1, , 10

T i j T i j T i j T i j T i j T i j qky x x y x y

− − + + ′′′+ − − + + + =

Δ Δ Δ Δ Δ Δ (4.85)

que numa forma mais compacta fica como

, 1 1, , 1, , 1 ,i j i j i j i j i j i jaT bT cT bT aT d− − + ++ + + + = (4.86)

na qual

98

( )21ay

= −Δ

(4.87a)

( )21bx

= −Δ

(4.87b)

( ) ( )2 22 2cx y

= +Δ Δ

(4.87c)

,i jqdk′′′

= (4.87d)

4.3.3 Elemento finito

O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 4.4, também tem sido usado para

se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretizção de domínios

complexos

( ) 0k T q′′′∇ ∇ + =i (4.88)

Multiplicando a equação (4.88) por uma função de ponderação W e integrando no domínio de

um elemento, após uma integração por partes obtém-se

0

0e e

e e e

e e e

W k Td Wq d

W k Td Wk T nd Wq d

TW k Td Wk d Wq dn

Ω Ω

Ω Γ Ω

Ω Γ Ω

′′′∇ ∇ Ω+ Ω =

′′′− ∇ ∇ Ω+ ∇ Γ+ Ω =

∂ ′′′∇ ∇ Ω = Γ + Ω∂

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

i

i i

i

(4.89)

Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:

{ }eT N T= (4.90)

na qual

1

2

T

Ne

NN

N

N

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

; { }1

2e

Ne

TT

T

T

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(4.91a, b)

em que iN e iT são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e

os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método

de Galerkin, em que

99

W N= (4.92)

e substituindo (4.90) e (4.92) em (4.89) resultará

{ } { } { } { }e e e

e TN k N d T N k d N q dnΩ Γ Ω

∂ ′′′∇ ∇ Ω = Γ + Ω∂∫ ∫ ∫i (4.93)

Figura 4.4 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos

quadrilaterais.

A equação (4.93) pode ser escrita numa forma matricial como

{ } { }e e eK T Q⎡ ⎤ =⎣ ⎦ (4.94)

No caso de um problema bidimensional os elementos da matriz eK⎡ ⎤⎣ ⎦ e do vetor fonte são

definidos por

ije

j je i iN NN NK k dxdyx x y yΩ

∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫ (4.95)

e e

ei i i

TQ N k d N q dxdynΓ Ω

∂ ′′′= Γ +∂∫ ∫ (4.96)

100

O primeiro termo do lado direito da Eq. (4.96) será avaliado somente nos elementos

que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor

especificado. Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando

a contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,

[ ]{ } { }K T Q= (4.97)

na qual, agora, a matriz [ ]K e o vetor { }Q conterão a contribuição de todos os elementos:

[ ]1

Neleme

eK K

=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑ ; { } { }1

Neleme

eQ Q

=

= ∑ (4.98)

O vetor { }T conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.

A solução da equação (4.97) é feita após introdução dos valores conhecidos de

temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas

para solução de sistemas lineares esparsos.

No caso de condução num meio anisotrópico, a equação de condução ficaria na forma:

0iji j

Tk qx x⎛ ⎞∂ ∂ ′′′+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(4.99)

Em tal caso, a matriz eK⎡ ⎤⎣ ⎦ será definida na forma para um problema tridimensional:

11 12 22

13 23

33

e

e

N N N NN N N Nk k kx x x y y x y y

N N N NN N N NK k k dxdydzx z z x y z z y

NNkz z

αβ

β β β βα α α α

β β β βα α α α

βα

Ω

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥∂∂⎢ ⎥+⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∫ (4.100)

O vetor do termo fonte ficará na forma

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

e e

e

T T Tk k k nx y z

T T TQ N k k k n d N q dxdydzx y z

T T Tk k k nx y z

α α αΓ Ω

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ′′′= + + + + Γ +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ (4.101)

Portanto, pode-se ver a vantagem de usar o método de elementos finitos neste

problema mais complexo.

101

4.4 Resolução das Equações Geradas pelo Método de Diferenças Finitas

Qualquer que seja o método numérico empregado para solução de uma equação

diferencial parcial, o resultado final é a obtenção de um sistema algébrico de equações que

pode ser escrito na seguinte forma genérica:

AT B= (4.102)

na qual A é a matriz de coeficientes que depende da geometria, das propriedades do material,

etc. T é o vetor de incógnitas das temperaturas em pontos do domínio que depende do

método de discretização. B é o vetor de termos fontes, etc.

Existem vários métodos de solução: diretos e iterativos que podem ser encontrados na

literatura.

4.4.1 Método de Inversão de Matriz

Trata-se de um método direto, mas nem sempre pode ser aplicado, por exemplo,

quando a matriz A depende de T , o que torna o problema não linear. Em essência o método

consiste em multiplicar pela esquerda a Eq. (4.102) pela inversa de A , ou seja, por 1A− 1 1 1 1A AT A B IT A B T A B− − − −= ⇔ = ⇔ = (4.103)

A solução para T pode também ser escrita na forma:

T C= (4.104)

em que 1C A B−= (4.105)

4.4.2 Método de Iterativo de Gauss-Seidel

11 1

1 11 2 3

i n( k ) ( k ) ( k ) ( k )

i i i ij j ij j iij j i

Dado T fazer T T ( b a T a T ) / a , k , , ,....−

− −

= = += + − − =∑ ∑o (4.106).

Nesta equação o termo

11

1 1

i n( k ) ( k )

ij j ij jj j i

a T a T−

−

= = ++∑ ∑ (4.107).

pode ser simplesmente implementado como

1 1 11 2 1 1

1

n( k ) (k) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k )

ij j i i n nj

ˆ ˆa T , onde T (T ,T T ,T T ,T )− − −− −

==∑ T (4.108)

102

Portanto, basta manter o vetor T atualizado e utilizar esta informação assim que se torne

disponível. Abaixo apresenta-se o algoritmo baseado na equação (4.106)

Algoritmo - Método iterativo de Gauss-Seidel Escolha um vetor inicial T(0), aproximante de T Defina o número máximo de iterações, iMax for k = 1:iMax T(k-1) = T(k) for i = 1:n Calcule o resíduo: r(k)(i) = b(i) – A(i,:)T(k)(:) T(k)(i) = T(k-1)(i) + r(i)/A(i,i) end for Calcule ||r(k)|| Calcule ||T(k) – T(k-1)|| Teste o critério de convergência, continue se necessário end for