Captulo 1Lmite de funciones de variable realContenido breve Mdulo 1 Nocin intuitiva del lmite Mdulo 2 Definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcin Mdulo 3 Escogencia del delta () dado el psilon ( ) Mdulo 4 Teoremas sobre lmites Mdulo 5 Lmites laterales Ejercicios Captulo 1, mdulos 1 al 5

1

La velocidad en cada libre de un paracaidista que pesa 64 kilogramos viene dada aproximadamente por v =

64 1 pies 1 - kt . seg k 4

e

El tlimv =

64 pies se conoce con el nombre de velocidad terminal, la cual depende de k (k = 3: posicin de guila extendida; k k seg

= 1: posicin plegada) y es la que debe controlar el paracaidista al llegar al suelo.

PresentacinLos temas tratados hasta ahora en el curso de lgebra y Trigonometra de esta misma serie constituyen lo que se conoce como preclculo; es decir, proporcionan las herramientas bsicas para el clculo, pero no son clculo. Nuestro propsito ahora es establecer inicialmente de una manera intuitiva por medio de ejemplos, y posteriormente mediante la definicin precisa, el concepto ms importante del clculo, como es el lmite. Algunos autores definen el clculo como el estudio de los lmites. La nocin de lmite no solamente aparece en los temas siguientes del clculo que se presentan en este curso (continuidad, derivacin e integracin), sino tambin en los temas de prximos cursos de clculo (series, funciones de varias variables, integrales mltiples y clculo vectorial). El mapa conceptual que se adjunta tiene la palabra lmite en el centro, y se ve cmo los temas principales del clculo emanan de l.

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1Nocin intuitiva del lmiteIntroduccinMaria Gaetana Agnesi

Entre todos los conceptos del clculo infinitesimal, el de lmite es sin duda el ms importante y quizs tambin el ms difcil. Por esta razn iniciamos su estudio de una manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra lmite sino la nocin de funcin que tiende hacia un lmite.

Maria Agnesi naci en Miln el 16 de mayo de 1718 y muri en esa misma ciudad el 9 de enero de 1799.

Objetivos del mdulo1. Empezar a familiarizar al estudiante con el lenguaje propio del clculo y hacer ver la necesidad de dicho lenguaje al abordar el estudio de cualquiera de sus reas. 2. Establecer de una manera intuitiva el concepto ms importante del clculo: el lmite de una funcin.

Preguntas bsicas1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso: si f (a) no existe, entonceslim f ( x ) no existe? xa

2. Considere la funcin f ( x ) =

x2 x 2 . x2

a. Existe f (2)? b. Elabore una tabla de valores de f (x), con x cercanos a 2 (por ejemplo, x =2.1, 2.01, 2.001, 1.9, 1.99, 1.999) y de esta forma estime el valor del lmite lim f ( x). x 2

Contenidos del mdulo1.1 Nocin intuitiva del lmiteUna cada con altura Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la seccin Sitios de Inters del curso Elementos Bsicos de Clculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/ lms/moodle/

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Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

1.1 Nocin intuitiva del lmiteNuestro propsito ahora es acercarnos intuitivamente a la definicin rigurosa del lmite de una funcin.Vea el mdulo 1 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

2x2 x 1 , con x 1 . El nico vax 1 lor para el cual f (x) no est definida es x = 1, pero en puntos tan cercanos a 1 como se quiera la funcin se encuentra definida. Esta situacin da lugar a la siguiente pregunta: se aproxima f (x) a algn valor especfico, cuando x se aproxima a 1?Considrese la funcin definida por y = f ( x) = En la tabla 1 se hace un seguimiento de f (x), cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha (valores mayores que 1).Tabla 1. Valores de f (x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha

1 x 0 0.3 0.5 0.75 0.9 0.95 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.9999 1.0001 1.0005 1.001 1.005 1.01 1.05 1.1 1.25 1.5 1.7 2 f (x) 1 1.6 2 2.5 2.8 2.9 2.98 2.99 2.998 2.999 2.9998 NO DEF 3.0002 3.001 3.002 3.01 3.02 3.1 3.2 3.5 4 4.4 5

* Acercarse a 1 por la izquierda

Acercarse a 1 por la derecha *

**

** La observacin atenta de la tabla 1 sugiere una respuesta a la pregunta formulada antes. Ntese que a medida que los valores de x se acercan a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f (x) se acercan a 3. Dndole a la palabra lmite un significado intuitivo, se dice que: El lmite de la funcin f (x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmacin anterior frecuentemente se expresa simblicamente por cualquiera de las formasf ( x) 3 cuando x 1 (se lee: f (x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O tambin,lim f ( x) = 3 (se lee: el lmite de f (x), cuando x tiende a 1, es 3). x 1

De una manera ms general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra lmite, se dice que:lim f ( x) = L , si se puede hacer que f (x) est tan cerca de L como se quiera, xa

haciendo que x est suficientemente cerca de a, pero siendo distinta de a. Volviendo al ejemplo inicial, supngase que se quiere que f (x) difiera de 3 en valor absoluto en menos de 1. Es decir, se quiere que:

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Mdulo 1: Nocin intuitiva del lmite

f ( x) 3 < 1.Pregunta Cmo elegir los valores de x para que se cumpla (1)?

(1)

En primer lugar, ntese que la desigualdad (1) puede escribirse en las formas equivalentes:f ( x) 3 < 1 1 < f ( x) 3 < 1, 2 < f ( x) < 4.

(2)

En la tabla 1 se sealaron con asterisco (*) los valores de x para los cuales f (x) = 2 y f (x) = 4. Para que la desigualdad (2) se cumpla, ntese que se pueden elegir los valores de x de tal modo que

0.5 < x < 1.5, x 1,o equivalentemente,

(3)

0.5 < x < 1.5,

x 1 0.5 1 < x 1 < 1.5 1,

x 1,

0.5 < x 1 < 0.5, x 1 < 0.5, 0 < x 1 < 0.5.

x 1,

x 1,(4)

El anterior procedimiento nos indica que para que se satisfaga la desigualdad (2) basta que se satisfaga la desigualdad (4). Esto es, si 0 < x 1 < 0.5, entonces f ( x) 3 < 1. Supngase ahora que se quiere que f ( x) 3 < 0.01. (5) (6)Maria Gaetana Agnesi Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, Maria Agnesi fue la mayor de seis hermanos (cuatro hermanas y dos hermanos). En 1738 le publicaron Propositiones philosophicae, que abordaba los problemas de filosofa natural que habitualmente se discutan en los salones. Despus escribi el libro Instituciones analticas al uso de la juventud italiana, en el que explicaba una parte novedosa de las matemticas: el clculo analtico. El libro tuvo muy buena crtica. Se dedic en profundidad al estudio del lgebra y la geometra y nueve aos ms tarde aparecieron publicadas las Instituzioni analitiche, sin duda la obra ms importante de toda su carrera como matemtica. Fue editado en varios idiomas y se utiliz como manual universitario en las universidades de distintos pases, siendo an cincuenta aos ms tarde el texto matemtico ms completo. Se encarg en Italia de los cursos de su padre, convirtindose as en la primera mujer de la historia que haba dado clase de matemticas en una institucin de este nivel. El primer texto que incluy el clculo diferencial e integral, junto a la geometra analtica, las series infinitas y las ecuaciones diferenciales, fue escrito en la dcada de 1740 por la matemtica italiana Maria Gaetana Agnesi.

La pregunta que surge nuevamente es la siguiente: cmo elegir los valores de x para que se cumpla (6)? Un procedimiento similar al del caso anterior permite escribir la desigualdad (6) en la forma equivalente

f ( x) 3 < 0.01 2.99 < f ( x) < 3.01.

(7)

En la tabla se sealaron con doble asterisco (**) los valores de x para los cuales f (x) = 2.99 y f (x) = 3.01. Ahora, para que la desigualdad (7) se cumpla, los valores de x deben elegirse de tal manera que:

0.995 < x < 1.005,

x 1 0.995 1 < x 1 < 1.005 1,

x 1,

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Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

0.005 < x 1 < 0.005, 0 < x 1 < 0.005.

x 1,(8)

Escuche el audio Historia del clculo en las culturas antiguas en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

Esto nos indica nuevamente que para que se cumpla la desigualdad (7) es suficiente que se cumpla la desigualdad (8). Esto es, si 0 < x 1 < 0.005, entonces f ( x) 3 < 0.01. (9)

De manera similar a las dos preguntas anteriores, se podra preguntar cmo elegir los valores de x de tal forma que la diferencia f ( x) 3 sea menor que cualquier nmero positivo, tan pequeo como se quiera. Se usa frecuentemente la letra griega (psilon) para denotar tales nmeros positivos. La pregunta entonces formulada de manera general sera la siguiente: para cules valores de x, x 1 , se cumple que f ( x) 3 < ? Un procedimiento similar al desarrollado en los dos casos anteriores permite verificar que es suficiente elegir los valores de x de tal manera que la diferencia x 1 sea menor que cierto nmero positivo, corrientemente denotado por la letra griega (delta). Resumiendo: Si 0 < x 1 < , entonces f ( x) 3 < . La cantidad de ensayos que se pueden efectuar con valores pequeos dados de es innumerable y no se demostrara nada con respecto a la existencia del lmite de f (x). Slo servira para convencernos intuitivamente de que f (x) tiende al valor 3 cuando x tiende a 1. nicamente cuando se logre demostrar que para cualquier nmero positivo dado, existe al menos otro nmero positivo tal que si

0 < x 1 < , entonces f ( x) 3 < , se le dar a nuestra intuicin una formulacin exenta de ambigedades. Observacin Muchas veces las cosas no son tan simples como parece en la nocin intuitiva del lmite de una funcin. En algunos casos el uso de la calculadora puede desorientarnos, as como tambin nuestra propia intuicin. 2 cos x , y usamos la calculadora, As por ejemplo, si deseamos calcular lim x x 0 10.000 se puede construir la tabla 2 que aparece a continuacin:

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Mdulo 1: Nocin intuitiva del lmiteTabla 2. Valores de la funcin, cuando x se aproxima a 0

x 1 0.5 0.1 0.01 0

x2

cos x 10.000 0.99995 0.24991 0.00990 0.000000005

?

Si nos guiamos por la tabla, nuestra intuicin nos llevar a concluir quecos x lim x 2 = 0. x 0 10.000

Pero dicho resultado es incorrecto, ya que cerca de 0 la funcin coseno toma el valor 1. As que:cos x 1 2 lim x 2 = 0 10.000 = 0.0001. x 0 10.000

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2Definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcinIntroduccinEn este mdulo se precisan matemticamente las ideas expuestas en forma intuitiva en el mdulo 1. Es conveniente tener en cuenta que en un primer curso de clculo no es muy importante familiarizarse con la definicin rigurosa ya que a la misma matemtica le cost ms de 100 aos precisarla como se conoce actualmente. Sin embargo, el trabajo intuitivo del mdulo anterior nos permitir, al menos, entender su contenido.Augustin Louis Cauchy Augustin Cauchy naci el 21 de agosto 1789 en Pars y muri el 24 de mayo de 1857 cerca de esa misma ciudad, en Sceaux.

Objetivos del mdulo1. Establecer la definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcin y su significado geomtrico en el plano cartesiano.

Preguntas bsicasDiga si los dos enunciados siguientes son verdaderos o falsos: 1. 0 < x 3 < 2 x (1.5) ? 2. 1 < x < 5 y x 2 0 < x 2 < 3 ?

Contenidos del mdulo2.1 Definicin de lmite

Escuche el audio Newton, el clculo, la luna y las manzanas en su multimedia de Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

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Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

2.1 Definicin de lmiteSea a un punto de un intervalo abierto I, y sea f (x) una funcin definida en I excepto posiblemente en el punto a. El lmite de f(x) cuando x tiende al punto a es un real L y se escribe lim f ( x) = L , si y solamente si para cada > 0 existe un > 0 tal xaVea el mdulo 2 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

que para todo x I , f ( x) L < siempre que 0 < x a < . Observaciones 1.

(1)

La implicacin (1) puede escribirse en las siguientes formas equivalentes:

0 < x a < f ( x) L < , x a < x a < f ( x) L < , < x a < x a + L < f ( x) < + L, a < x < a + x a L < f ( x) < L + ,

x ( a , a + ) , x a f ( x) ( L , L + ) .La figura 2.1 ilustra grficamente el significado de y en esta ltima implicacin. Obsrvese que para aquellos x que pertenecen al intervalo (a , a + ), los correspondientes f (x) pertenecen al intervalo (L , L + ).

Figura

2.1

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Mdulo 2: Definicin de Cauchy (rigurosa) del lmite de una funcin 2. El lmite de una funcin no depende del valor de la funcin en el punto, aunque algunas veces coincide, sino del valor de la funcin en las cercanas del punto.

As por ejemplo, considrese la funcin f definida por:

Vimos intuitivamente en la seccin 1.1 que lim f ( x) = 3 ; sin embargo, f (1) = 5. x 1 Ntese que f ( x) =2 x 2 x 1 ( 2 x + 1)( x 1) = = 2 x + 1 si x 1. x 1 ( x 1)

De esta forma la funcin f (x), despus de simplificarla, se puede escribir as:2 x + 1 f ( x) = 5 si x 1 si x = 1

Su grfica aparece en la figura 2.2. Ntese que los valores de f (x) estn cerca de 3, cuando los valores de x estn prximos a 1. 2x2 x 1 f ( x) = x 1 5 si x 1 si x = 1Augustin Louis Cauchy Augustin Cauchy no slo fue uno de los impulsores del anlisis en el siglo XIX, sino que tambin investig la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y fsica matemtica. En 1814 public la memoria de la integral definida que lleg a ser la base de la teora de las funciones complejas. Cauchy precis los conceptos de funcin, de lmite y de continuidad en la forma casi actual, tomando el concepto de lmite como punto de partida del anlisis y eliminando de la idea de funcin toda referencia a una expresin formal, algebraica o no, para fundarla sobre la nocin de correspondencia. Los conceptos aritmticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del anlisis, hasta entonces apoyados en una intuicin geomtrica que quedar eliminada, en especial cuando ms tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir, curvas sin tangentes. Numerosos trminos matemticos llevan su nombre: el teorema integral de Cauchy, la teora de las funciones complejas, las secuencias de Cauchy y las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Cauchy produjo 789 escritos, pero fue desaprobado por la mayora de sus colegas. Mostr una obstinada rectitud a s mismo y un agresivo fanatismo religioso.

Figura 2.2

3. .

La definicin de lmite no establece la manera de determinar el para un dado. En las demostraciones sobre lmites el procedimiento est orientado a dejar en claro cmo se puede determinar dicho . Algunas veces, como en los dos ejemplos de la seccin siguiente, se puede establecer una relacin entre y que satisface la definicin y esto es suficiente para dar por terminada la demostracin.

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3Escogencia del delta ( ) dado el psilon ()IntroduccinEn este mdulo se incluyen dos ejemplos que le ensean al estudiante a encontrar el apropiado con el dado. No se pretende con ellos dar un esquema general de demostracin, sino, ms bien, ilustrar el mtodo directo de demostracin.El trmino elongacin se utiliza en mecnica para indicar estiramiento de un resorte (dispositivo fabricado con un material elstico, que experimenta una deformacin significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza). En el bungee jumping, por ejemplo, este dispositivo suele estar arrollado y su elongacin es proporcional a la fuerza aplicada, con lo que el resorte puede calibrarse para medir dicha fuerza.

Objetivos del mdulo1. Ilustrar la definicin rigurosa de lmite por medio de ejemplos, en los cuales dado el , se pide encontrar el correspondiente en concordancia con la definicin.

Preguntas bsicas1. Diga si el siguiente enunciado es verdadero o falso (antes de responder, considere algunas propiedades del valor absoluto): Si x 2 < 1, y x 2 < 2 , entonces x 4 < ? 5

Contenidos del mdulo3.1 Ejemplo 1 3.2 Ejemplo 2

Relacin psilon-delta Para ver los enlaces relacionados con este tema, visite la seccin Sitios de Inters del curso Elementos Bsicos de Clculo Diferencial en la plataforma educativa http://docencia.udea.edu.co/lms/moodle/

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Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

3.1 Ejemplo 1Usando la definicin del lmite de una funcin, demuestre que

limVea el mdulo 3 del programa de televisin Elementos Bsicos de Clculo Diferencial.

2 x2 x 1 = 3. x 1 x 1

Solucin/Anlisis preliminar Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un > 0 tal que2 x2 x 1 3 < . x 1

si 0 < x 1 < , entonces

(1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1).2x2 x 1 (2 x + 1)( x 1) 3 < 3 < (factorizando), x 1 ( x 1)

(2 x + 1) 3 < (simplificando, puesto que x 1 0), 2x 2 < , x 1 < x 1. 2

(2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger = (cualquier valor menor funciona). 2

Solucin/Prueba formal Dado > 0, existe = > 0 tal que: 2

0 < x 1 < x 1 < x 1, x 1 < x 1, 2

2 x 2 < x 1,

(2 x + 1) 3 < x 1, (2 x + 1)( x 1) 3 < , ( x 1)

2 x2 x 1 3 < . ( x 1)

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Mdulo 3: Escogencia del delta ( ) dado el psilon ( ) El significado de la dependencia entre el y el es la siguiente: si una persona A rodea al valor y = 3 con una banda de ancho , entonces B rodea el valor x = 1 con una banda de ancho = /2. En particular, si en este ejemplo A escoge un = 0.01, entonces B responder con un = 0.005. Si A propone = 0.0002, B escoger = 0.0001 (cualquier valor menor tambin cumple). La grfica de la funcin y = f ( x) =

2x2 x 1 es la misma que corresponde a la x 1

recta de ecuacin y = 2 x + 1, con x 1. En la figura 3.1 aparece la grfica de la funcin dada. Ntese que si el ancho de la banda alrededor del punto y = 3 es , entonces el ancho de la banda alrededor del punto x = 1 es = /2.

Figura 3.1

3.2 Ejemplo 2Usando la definicin del lmite de una funcin, demuestre quelim ( x 2 4 x 7) = 5.

x 2

Solucin/Anlisis preliminar Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un > 0 tal que si

0 < x (2) < , entonces ( x 2 4 x 7) 5 < .

(1)

Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). Esto es,( x 2 4 x 7) 5 < x 2 4 x 12 = ( x 6)( x + 2) < ,

x 6 x + 2 < .

(2) Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 1: Lmites de funcione de variable real Para poder establecer una relacin entre el de (1) y el de (2) debemos acotar el factor x 6 . Para ello, podemos asumir inicialmente que x + 2 < 1 . As que x 6 = ( x + 2) 8 x + 2 + 8 < 1 + 8. Esto es, x 6 < 9 x + 2 < x 6 x + 2 < 9 . (3)

Comparando las desigualdades (2) y (3) se puede escoger = /9 (cualquier valor menor funciona). Solucin/Prueba formal

Dado > 0, existe mnimo 1, tal que: 90 < x+2 < x+ 2 1), f (x) viene dada por f (x) = x + 1. Cul es entonces la f (x) apropiada para sustituir en la parte d? En situaciones como sta, es til y natural introducir los llamados lmites laterales. El smbolo x 1 significa que x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores menores que 1).

+ El smbolo x 1 significa que x se aproxima a 1 por la derecha (por valores mayores que 1).

En el caso particular que interesa, se tiene que d.lim f ( x ) = lim 3 x 2 = 2, x 1

x 1

(

)

(1) (2)

x 1+

lim f ( x) = lim ( x + 1) = 2. +x 1

Igualmente, en el caso e ocurre algo similar en las cercanas del punto x = 3. Es decir,f ( x ) = x + 1 si x 3, y f ( x ) = x 2 4 si x > 3.

As que: e.

x 3

lim f ( x) = lim ( x + 1) = 4, x 3

(3)Sonia (o Sofa) Kowalewski

x 3+

lim f ( x) = lim x 2 4 = 5. +x 3

(

)

(4)

+ En general, denotamos por x a para expresar que x se aproxima al valor a por la derecha. Esto es, por valores de x > a. Y denotamos por x a para expresar que x se aproxima al valor a por la izquierda. Esto es, por valores de x, x < a.

Lo anterior nos permite dar una definicin informal de los lmites laterales.

A los 15 aos de edad, Sonia Kowaleski comenz el estudio de la matemtica y luego se matricul en la Universidad de Heidelberg. De extraordinario talento, no slo fue la mujer matemtica ms conocida de los tiempos modernos, sino que tambin consigui una reputacin como directora del movimiento para la emancipacin de las mujeres, particularmente por lo que se refiere a su supuesta incapacidad en el campo de la educacin superior. Adems fue una brillante escritora. Despus de haber compuesto su trabajo matemtico ms importante (La memoria premiada), se dedic a la literatura como un descanso y escribi los recuerdos de su infancia en Rusia en forma de novela, que fue publicada primero en sueco y en dans. Esta obra dio lugar al siguiente comentario: La crtica literaria de Rusia y de los pases escandinavos fue unnime al declarar que Sonja Kowalewski estaba a igual altura, en estilo y pensamiento, que los mejores escritores de la literatura rusa.

Elementos Bsicos de Clculo Diferencial

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Captulo 1: Lmite de funciones de variable real

5.2 Definiciones intuitivas de los lmites laterales 5.2.1 Lmite por la derechaDecir que xlim+ f ( x) = L significa que cuando x est cerca, pero a la derecha de a, a entonces f (x) est cerca de L.

5.2.2 Lmite por la izquierdaDecir que xlim f ( x ) = L significa que cuando x est cerca, pero a la izquierda de a, a entonces f (x) est cerca de L. Observacin Decir que x a es diferente a decir que x a. El siguiente teorema, cuya demostracin se deja para el lector, establece la relacin que existe entre el lmite de una funcin en un punto y los lmites laterales.

5.3 Teorema: relacin entre lmite y lmites lateraleslim f ( x ) = L lim+ f ( x ) = L lim f ( x ) = L.xa xa xa

Observaciones 1. Otra forma equivalente de enunciar el teorema 5.3 es la siguiente: lim f ( x ) no xa existe si y slo si no existe alguno de los lmites laterales, o, si existen, son diferentes. 2. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del lmite de una funcin; en particular, para la funcin inicial de estudio en este mdulo se deduce de (1) y (2) que:lim f ( x ) existe y lim f ( x ) = 2, puesto que lim f ( x ) = lim f ( x ) = 2 . x 1 x 1 x 1+ x 1

De igual forma, de (3) y (4) se deduce que:lim f ( x ) no existe, ya que lim f ( x) = 5 lim f ( x) = 4. + x3x 3 x 3

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Ejercicios del captulo 1 (mdulos 1 al 5) Ejercicios resueltos1. Usando la definicin rigurosa de lmite de una funcin, pruebe que lim ( 9 3x ) = 6. x 5 Solucin Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un > 0 tal que

0 < x 5 < (9 3x) (6) < .Para ello considere la desigualdad de la derecha de (1).

(1)

(9 3x) (6) < 9 3x + 6 < , 15 3x < ,

3 x 15 < , 3 x 5 < (factorizando), x5 < . 3

(2)

Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger = cualquier valor menor funcionar para ). Prueba formal Dado > 0, existe = > 0 tal que 3 , 3

(por supuesto, 3

0 < x5 < x 5 0 y 0 < t < . 2 1 cos 2t < t 2 1 2t 2 < cos 2t. 2 t en la ltima desigualdad, se dice que: 2

Es decir,

En particular, reemplazando t por1 1 2 t < cos t. 2

(6)

De (5) tambin se tiene

cos t 0. x c 2. Evale los siguientes lmites:

b. lim x 2

2 x 2 3x 2 = 5. x2

c. lim(mx + b) = ma + b. xa1 1 f. lim = , c 0. x c x c

2 e. lim( x + x 5) = 7. x 3

a. lim x 3

4x2 36 . x 3

b. lim x 1 e. lim x 1 h. lim h 0.

3 10 x . x 1

c. lim x 1 f. lim x 2 i. lim x 4

x 3 3x + 2 . x4 4 x + 3 x 2 5x + 6 . x 2 12 x + 202x + 1 3 x2 2 .

4 d. xlim3(2 x 3 x).

x 4 x5 . 1 x

g. limx 3

x3 27 . x+3

( x + h)3 x 3 . h

3

j. lim x 2

x2 2x + 7 x +72

1 1 1 . k. lim x 0 x 2 + x 2 n. limh 0

l. lim x 0 o. lim x 1

1 + x 1 . x3

m. lim 3x 1

x2 2 x + 1 . x3 1

(1 + h )

32

1

h

.

x 1 x 1

.

56 U de @ - Educacin no presencial

Ejercicios de los mdulos 1 al 5 p. lim x 2 3.x 2 . x2 4

q. lim x y

xn y n . x y

r. lim x 0

x2 + p2 p x2 + q 2 q

.

Encuentre el valor de cada uno de los siguientes lmites o establezca que no existen:

a. lim x 1lim c. x 1

x 1 x 1

.

b. lim x 1

x 1 x 1

.

x2 x 1 1 x 1

.

1 1 lim d. x 1 x 1 x 1 .

4.

Bosqueje la grfica de las siguientes funciones y encuentre luego los lmites dados o establezca que no existen. x2 f x = x a. ( ) 2 1 + x si si si x0 0 < x