Fluxo de um campo vetorial
⊥==→== vAdtdsAdsAdV;
dtdV
φφ
ds
n̂
A⊥v
//vv!
⊥⊥ =+== vA)t̂vn̂.(vn̂Av.A //!!
φ
v!A!n̂
t̂
∫=A
dAnrv ˆ).(!!φ
Ad!
)(rv !!
Definição:
Fluxo de um campo vetorial
O fluxo do campo elétrico Qual é o fluxo do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas através de uma superfície fechada?
∫ ⋅=A
dAnrE ˆ)(!!
φ
0ˆ)( <⋅= dAnrEd !!φ
0ˆ)( =⋅= dAnrEd !!φ
0ˆ)( >⋅= dAnrEd !!φ
Fluxo de um campo vetorial
00321 =++−=++= EAEAφφφφ
Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção de um campo elétrico uniforme
Fluxo do campo elétrico
θφ cos)(ˆ)( dArEdAnrEd !!!=⋅=
Ω= drdA 2cosθ
Ângulo sólido e a lei de Gauss
Ω= drrEd 2)(!φ
0
int2
0
2
4 επεφφ
qrdrqd =Ω
== ∫∫
2
cosr
dAd θ=Ω
r Ad!
)(rE !!
θcosdA
Ωd
θ
Fluxo do campo elétricoA lei de Gauss
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície:
Cálculo do campo elétrico
Carga puntiforme (simetria esférica)
0
2 )(4ˆ)(ε
πφqrErdAnrE
A
==⋅= ∫!!
rrq
E ˆ41
20πε
=!
A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo elétrico devido a uma distribuição de cargas depende da simetria do problema.
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
Cálculo do campo elétricoCondutores
O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá se situar na sua superfície.
00
int ==ε
φq
No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor.
0)( =rE !! 0)( =rE !
!
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
Cálculo do campo elétricoSimetria plana: camada condutora
AEA σε =0
nE ˆ0εσ
=!
+
A!
E!
+
++
+
++ +
+0=E
! +
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do condutor carregado, em equilíbrio eletrostático.
Cálculo do campo elétricoCarga induzida em uma camada condutora
0ˆ)(0
)(
0
int =+=⋅= +
∫ εεφ
qqdAnrEA
!!
int)( qq −=+
int)()( qqq =−= +−
e
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
Cálculo do campo elétrico Simetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado
0
2)(ελ
πφlrlrE ==
!
rr
rE ˆ2
)(0επ
λ=
!
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
Cálculo do campo elétricoAnálise do raio
--- -
+ ++
-
+
+ + +++
- --
- -
--
--
O líder age como um fio carregado que quando toca o solo descarrega a nuvem. O raio propriamente dito parte de baixo para cima!
Cálculo do campo elétricoPlaca não condutora (simetria plana)
AEA σε =0202ε
σ=E
0
intˆ)(ε
φqdAnrE
A
=⋅= ∫!!
Cálculo do campo elétricoDuas placas condutorasDensidades superficiais de carga e
1σ 1σ−
!!"
!!#
$
−=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
1
εσ
εσ
E
!!"
!!#
$−
=placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
2
εσ
εσ
E
!"
!#$
=+=placasdasfora0
placasasentre2
0
1
21 εσ
EEEtotal
Cálculo do campo elétricoDuas placas não condutorasDensidades superficiais de carga e)(+σ )(−−σ
!!"
!!#
$
−
=+
+
+
placadaesquerdaà2
placadadireitaà2
0
)(
0
)(
)(
ε
σ
ε
σ
E
!!"
!!#
$−
=−
−
−
placadaesquerdaà2
placadadireitaà2
0
)(
0
)(
)(
ε
σ
ε
σ
E
0
)()(
2εσσ −+ −=RE
0
)()(
2εσσ +− −=LE
0
)()(
2εσσ −+ +=BE
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