5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral5.1. Transformasi Integral5.2. Transformasi Laplace5.3. Transformasi Fourier5.4. Persamaan Integral

5.1. Transformasi Integral

Di dalam Fisika Matematika kita sering menjumpai pasangan fungsi yang dihubungkan sbb:

∫=b

a

dttKtfg ),()()( αα

Fungsi g(α) disebut transformasi (integral) dari f(t) dengan kernel K(α,t).

Mapping fungsi f(t) di ruang-t dari fungsi g(α) di ruang-α.

Mengapa kita butuh transformasi integral??

Karena dalam banyak kasus masalah lebih mudah diselesaikan dengan cara transformasi dan inversi.

Kita membutuhkan representasi dalam ruang lain.

Contoh di fisika:

waktu frekuensiruang real ruang momentum

relatif mudah

Problem asalSolusi

problem asal

susah

Problem di ruangtransformasi

Solusi di ruangtransformasi

Transformasi integral

Inverse transformasi

dtetfg ti∫∞

∞−

= α

πα )(

21)(

dtetfg t∫∞

−=0

)()( αα

dtttJtfgb

an∫= )()()( αα

dtttfgb

a∫ −= 1)()( αα

Satu diantara transformasi yang terpenting Fourier

Ada tiga lainnya:

Transformasi Laplace:

Transformasi Hankel ( Fourier-Bessel)

Transformasi Mellin

5.2. Transformasi Laplace

dttFedttFetFLsf sta

st

a)()()}({)(

00lim ∫∫

∞−−

∞→

===

sdteL st 1}1{

0

== ∫∞

−

ksks

dteeeL ktstkt >−

== ∫∞

− untuk,1}{0

Transformasi Laplace f(s) atau L dari F(t) didefinisikan:

Beberapa fungsi sederhana:

1) F(t) = 1, t >0

2) F(t) = ekt, t >0

2211

21)}{cosh(

kss

ksksktL

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−=

2211

21)}{sinh(

ksk

ksksktL

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

3) Fungsi hiperbolik sinus dan kosinus

Karena:cosh (kt) = ½ (ekt + e-kt) dan sinh (kt) = ½ (ekt - e-kt)

Maka

dan

22)}{cos(ks

sktL+

=

22)}{sin(ks

kktL+

=

10

!}{ +

∞− == ∫ s

nstt

sndttetL

4) Fungsi sinus dan kosinus biasa

dengan menggunakan:cos (kt) = cosh (ikt) dan sin (kt) = −i sinh (ikt)

diperoleh:

dan

5) F(t) = tn

s1

ks −1

22 kss−

22 ksk−

22 kss+

22 ksk+

1!+ns

n

Tabulasi:

tn

sin (kt)

cos (kt)

sinh (kt)

cosh (kt)

ekt

1

f(s)F(t)

Tabel lengkap dapat dilihat di Arfken

)()( 22

2

kssksf+

=

)()( 22 ks

CBssAsf

++

+=

)(1)( 22 ks

ss

sf+

−=

Contoh soal:1. Carilah F(t) bila

Jawab:Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:

dengan substitusi balik, diperoleh A = 1, B = -1, C = 0, sehingga:

dengan demikian inverse f(s) menjadi:F(t) = 1 − cos (kt)

22)(ks

ssf−

=

2. Carilah F(t) bila

Jawab:Fungsi f(s) dapat diuraikan menjadi:

ksDCs

ksBAssf

−+

+++

=)(

dengan substitusi balik, diperoleh A =0, B = 1/2, C = 0, D=1/2 sehingg

22

22

ksDkCksDsCsBkBsAksAs

−++++−+−

=

∫∞

−=0

)}('{ dtdtdFetFL st

∫∞

−∞− +=0

0)()()}('{ dttFestFetFL stst

Turunan Transformasi Laplaceper-definisi:

integrasi bagian:

= sL{F(t)} – F(0)

kalau diteruskanL{F(2) (t)} = s2 L{F(t)} – sF(t) – F′(0)

dan seterusnya:

L{F(n) (t)} = sn L{F(t)} – sn-1F(t) – sn-1F′ (t) …– F(n-1)(0)

Contoh di Fisika:Kasus osilator harmonis:

A t=0, y =yo, y′=0

F = – ky y′′ + ω2y = 0

Kalau pada persamaan diferensial kita lakukan tranformasi Laplace:

L{ y′′} = – ω2 L{y}s2 L{y} – sy(0) – y′(0) = – ω2 L{y}

masukkan syarat batas, diperoleh:

022}{ ys

syLω+

=

inverse transformasi ini menghasilkan:y = yo cos ωt (seperti yang diharapkan)

Pertanyaan, apabila syarat batas diubah menjadit=0, y =0, y′=vo

apa yang terjadi?(Jawab: y = vo/ω sin ωt, buktikan!)

22)(}sin{

kaskkteL at

+−=

22)()(}cos{

kasaskteL at

+−−

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=∫

∞

ttFLdxxf

s

)()(

Sifat-sifat lain fungsi Laplace1.Substitusi

f(s-a) = L{eatF(t)} (buktikan!)Sehingga:

2. Translasie-bs f(s) = L{F(t-b)} (buktikan!)

3. Turunan suatu transformasiTurunan ke-n:f(n)(s) = L{(-t)n F(t)} (buktikan!)

4. Integrasi suatu transformasi

Contoh kasus: Osilator Teredam

Kasus getaran harmonis teredam:

dengan m,k,b adalah konstan.

Bila kita gunakan kondisi inisial X(0)=X0, X’(0)=0, maka persamaan transformasi menjadi:

dan

0)()()( '" =++ tkXtbXtmX

0)(])([])([ 002 =+−+− skxXsxsbsXsxsm

kbsmsbmsXsx++

+= 20)(

Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan melengkapi kuadrat penyebut sbb:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++ 2

222

42 mb

mk

mbs

mks

mbs

Apabila faktor redaman (damping) kecil, b2<4 km, suku terakhir adalah positif dan sebut sebagai ω1

2

21

20 )2/(/)(

ω+++

=mbs

mbsXsx

21

211

021

20 )2/()2/(

)2/(2/

ωωω

ω +++

+++

=mbs

mbXmbs

mbsX

Kita gunakan

Didapat:

dengan

22)(}sin{

kaskkteL at

+−=

22)()(}cos{

kasaskteL at

+−−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= − t

mbteXtX tmb

11

1)2/(

0 sin2

cos)( ωω

ω

)cos( 1)2/(

1

00 ϕωωω

−= − teX tmb

mk

mb

=

=

20

12tan

ω

ωϕ

RLC AnalogAda keserupakan antara osilator harmonis teredam dengan rangkaian RLC

0=++CqRI

dtdIL

R

C

I

L01

2

2

=++ ICdt

dIRdt

IdL

Dari hukum Kirchchoff:

Didiferensialkan:

0)()()( '" =++ tkXtbXtmX

Analog dengan problem mekanika.

5.3. Transformasi Fourier

dtetfg ti∫∞

∞−

= α

πα )(

21)(

Secara Matematik transformasi Fourier dikembangkan dari deret Fourier. Secara detail dapat dilihat di Arfken.

Inversnya:

dtegtf ti∫∞

∞−

−= ααπ

)(21)(

Berbagai macam bentuk TF

Pasangan transformasi Fourier

∫∞

∞−

−= dteth H(f) fti π2)( ∫∞

∞−

=⇔ dfefHt h fti π2)()(

∫∞

∞−

−= dxexfF xiαα )()( ∫∞

∞−= dxeFxf xiαα

π)(

21)(⇔

∫∞

∞−

−= dkekgxf ikx)(21)(π∫

∞

∞−= dxexfkg ikx)(

21)(π

⇔

∫∞

∞−

−= dkekgxf ikx)(21)(π ∫

∞

∞−= dxexfkg ikx)(

21)(π

∫∞

∞−

−−= dkekgtxf txik )()(21),( ω

π

Di Mekanika Kuantum:

Paket gelombang, f(x), dengan gelombang dalam bilangan gelombang, g(k)

Lebih lengkap:

Jadi cukup banyak cara penulisan transformasi Fourier, pilih salah satu dan harus konsisten!

∫∞

∞−

−= dtethfH iftπ2)()(

)(|)(| fiefH θ

)()(|)(| 22 fIfRfH +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)()(arctan)(

fRfIfθ

Sekarang kita lihat kenyataan bahwa pada umumnya hasil transformasi Fourier adalah fungsi kompleks.

KompleksMaka:

H(f) = R(f) + i I(f)(real) (imaginer)

=fase

dengan

Topik-topik tersisa

Teorema KonvolusiRepresentasi MomentumPersamaan Integral