ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y
CIENCIAS DE LA SALUD.
CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE
PARÁMETROS E INTERVALOS DE
CONFIANZA.
PROPORCIÓN POBLACIONAL (π).
Ing. Willians Medina.
Maturín, Junio de 2015.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 68
8.4.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN DE UNA
POBLACIÓN.
Sea p la proporción observada de éxitos en una muestra aleatoria de n observaciones
procedentes de una población con una proporción de éxitos. Entonces, si n es grande, un
intervalo de confianza del %100)1( para la proporción poblacional viene dado por:
: n
ppzp
)1(2/
(29a)
n
ppzp
n
ppzp
)1()1(2/2/
(29b)
Intervalos de confianza de una cola para la proporción.
Es posible encontrar intervalos de confianza de una cola para aproximar p mediante
una modificación simple de la ecuación (29b)
Un intervalo de confianza inferior aproximado del %100)1( es
n
ppzp
)1( (30a)
n
ppzp
)1( (30b)
El intervalo de confianza es: 1)1(
n
ppzp .
Un intervalo de confianza superior aproximado del %100)1( es
n
ppzp
)1( (31)
El intervalo de confianza es: n
ppzp
)1(0
.
En la práctica, cuando se habla de un intervalo de confianza inferior, se está refiriendo al
límite inferior del intervalo de confianza, pero la porción de la gama de valores en la recta
real que le corresponde a
realmente es la superior. De la misma manera, cuando se habla
de un intervalo de confianza superior, se está refiriendo al límite superior del intervalo de
confianza, pero la gama de valores de
realmente es la inferior.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Ejemplo 8.14. Intervalo de confianza para la proporción de una población.
Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias
para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos
compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500
reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un
intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos
de la población que no pasarán todas las pruebas.
Solución.
Tamaño de la muestra: 500n
Éxito: El reproductor falla.
Número de éxitos en la muestra: 15x
Nivel de confianza: 90.01
Intervalo de confianza para la proporción.
: n
ppzp
)1(2/
(29a)
Estimador de la proporción.
n
xp
500
15p
03.0p
Se verifica la aplicabilidad del modelo.
51503.0500 pn
5485)03.01(500)1( pn
Valor 2/z .
4500.02
90.0
2
1
2
65.164.12/
z
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645.12/ z
Intervalo de confianza para la proporción.
: 500
)03.01(03.0645.103.0
: 0125.003.0
:
0175.0
0425.0
0425.00175.0
Con un nivel de confianza de 90% se puede afirmar que la proporción de los reproductores
de discos compactos defectuosos en la población está entre 0.0175 y 0.0425.
Una segunda de expresar el intervalo de confianza para la proporción es
n
ppzp
n
ppzp
)1()1(2/2/
y efectuar los cálculos en dicha forma. En
este ejemplo escribiremos:
n
ppzp
n
ppzp
)1()1(2/2/
500
)03.01(03.0645.103.0
500
)03.01(03.0645.103.0
0125.003.00125.003.0
Resultando:
0425.00175.0
Finalmente, una tercera forma de expresar el intervalo de confianza para la proporción es
pzp 2/ , para lo cual es necesario determinar el error estándar de las proporciones:
n
ppp
)1(
500
)03.01(03.0 p
007629.0p
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Intervalo de confianza para la proporción.
: 007629.0645.103.0
: 0125.003.0
:
0175.0
0425.0
0425.00175.0
El profesor indicará la forma más conveniente de trabajo, o el estudiante lo decidirá
siempre y cuando tenga la libertad de elección.
Ejercicios propuestos.
118. Se probó una muestra aleatoria de 400 cinescopios de televisor y se encontraron 40
defectuosos. Estime el intervalo que contiene, con un coeficiente de confianza de 0.90, a la
verdadera fracción de elementos defectuosos.
Respuesta: 1247.00753.0 .
119. Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que
54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de
confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma ingñés entre los
estudiantes de esa Universidad.
Respuesta: 5247.03753.0 .
120. [JF] En una determinada población se toma una muestra al azar de 256 personas. De
esta muestra, el 20% de las personas lleva gafas graduadas y el resto no. Calcule el
intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de las personas que
llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.
Respuesta: 2490.01510.0 .
121. En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente
al cine. Entre qué valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de
universitarios que acude todas las semanas al cine.
Respuesta: 8453.07547.0 .
122. El Ministerio de Educación y Cultura desea conocer el interés de los padres por la
introducción de la primera Lengua Extranjera en el Primer Curso de Primaria. Encuestados
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1024 padres elegidos al azar, el 80% está a favor. ¿Cuál es el intervalo de confianza para el
porcentaje de los padres que están a favor de esta medida, con un nivel de confianza de
0.99?
Respuesta: 8322.07678.0 .
123. [JF] Se selecciona una muestra aleatoria simple de 600 familias a las que se les
pregunta si tiene computadora en casa, resultando que 240 contestan afirmativamente.
Obtener un intervalo de confianza al nivel del 95% para estimar la proporción real de
familias que poseen computadora.
Respuesta: 4392.03608.0 .
124. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron
consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 95% de
confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa
ciudad tienen consecuencias fatales.
Respuesta: 2453.01547.0 .
125. [RV] En una encuesta para verificar las aptitudes de los empleados ante el boletín
mensual se les pidió a 500 empleados de una organización nacional que indicaran con qué
frecuencia leían el boletín de noticias. De los 500, trescientos setenta y cinco (375)
informaron que leían todas las ediciones. Construir el intervalo de confianza del 95% para
la proporción real de los que leen todas las ediciones.
Respuesta: 7880.07120.0 .
126. [RV] Una muestra aleatoria de 500 semillas de caraota es seleccionada y se encuentra
que 86 de ellas no germinaron. Busque un intervalo de confianza del 99% para la
proporción de semillas que no germinan.
Respuesta: 7880.07120.0 .
127. [RV] De una muestra aleatoria simple de 300 entrevistados sacados de una población
grande de adultos, el 55% informó que su deporte favorito era el fútbol. Construir un
intervalo de confianza del 97% para la proporción real de los que consideran el fútbol como
su deporte favorito.
Respuesta: 6123.04877.0 .
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128. [RV] De una muestra elegida al azar de 400 adultos sacada de una población grande
resultó que 240 dieron una respuesta negativa de la pregunta: ¿Cree Usted que la policía
debe arrestar a los borrachos de los barrios sólo por la embriaguez? Construir el intervalo
de confianza del 92% para la proporción real de los que opinan afirmativamente.
Respuesta: 4429.03571.0 .
129. [SW] Se hace un estudio para determinar la proporción de votantes de una comunidad
cuantificable que favorecen la construcción de una planta generadora de energía nuclear. Si
se tiene que sólo 140 de 400 votantes seleccionados al azar favorecen el proyecto, obtenga
un intervalo de confianza de 95% de la proporción de todos los votantes de esta comunidad
que se expresan a favor del proyecto.
Respuesta: 3967.03033.0 .
130. El director de una empresa televisiva quiere determinar el porcentaje de hogares de la
ciudad que tiene más de 1 televisor. Una muestra aleatoria de 500 hogares reveló que en
275 hay 2 ó más aparatos. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90% para la proporción de
hogares con 2 ó más televisores?
131. Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la
proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Se sabe que en una
muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 afirmaron comprar una vez a la
semana.
Respuesta: 5141.03859.0 .
132. En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor
de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del
95% para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?
Respuesta: 5793.04762.0 .
133. De una muestra aleatoria de 2100 personas de una población hay 630 que leen un
determinado diario. Calcular el intervalo de confianza para la proporción poblacional para
un nivel de confianza del 99%.
Respuesta: 3258.02742.0 .
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134. Preguntadas 100 personas de cierta ciudad, elegidas al azar, si leen el periódico al
menos una vez a la semana, sólo 49 han contestado que sí. Encuentre un intervalo de
confianza, con un nivel de confianza del 99%, para la proporción de personas de esa ciudad
que leen el periódico al menos una vez a la semana.
Respuesta: 5262.02738.0 .
135. De una muestra de 400 jóvenes de 25 años, elegidos al azar, sólo 60 no vivían con sus
padres. Determine un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 95%, para el
porcentaje de jóvenes que no viven con sus padres a los 25 años.
Respuesta: 1850.01150.0 .
136. Se lanza una moneda 100 veces y se obtiene 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de
confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza?
Respuesta: 7450.04950.0 .
137. En una encuesta realizada a 2000 propietarios de automóviles en la ciudad de Maturín,
800 manifestaron la intención de cambiar el auto en el próximo año. Construya un IC del
90% para la proporción de todos los propietarios de autos de Maturín que pretenden
cambiar su automóvil en el próximo año.
Respuesta: 4180.03820.0 .
138. Es común utilizar aceros inoxidables en las plantas químicas para manejar fluidos
corrosivos. Sin embargo, estos aceros tienen especial susceptibilidad al agrietamiento por
corrosión causada por esfuerzos en ciertos entornos. En una muestra de 295 fallas de
aleaciones de acero que ocurrieron en refinerías de petróleo y plantas petroquímicas en
Japón durante los últimos 10 años, 118 se debieron a agrietamiento por corrosión causada
por esfuerzos y a fatiga de corrosión. Establezca un intervalo de confianza de 95% para la
verdadera proporción de fallas de aleaciones causadas por agrietamiento por corrosión
debido a esfuerzos.
Respuesta: 4559.03441.0
139. Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta
cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos
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días volvemos a pescar otro montón y observamos qué proporción están marcadas con el
anillo. En esta última pesca obtenemos 100 ranas de las que 7 están marcadas.
a) Calcular un intervalo al 90% de confianza para la proporción de ranas marcadas.
b) Calcular un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total N, de ranas del
estanque, teniendo en cuenta que la proporción de ranas marcadas es N
p30
.
Respuesta: a) 1120.00280.0 ; b) 1065269 N .
140. [MR] Un fabricante de calculadoras electrónicas está interesado en estimar la fracción
de unidades defectuosas producidas. Una muestra aleatoria de 800 calculadoras contiene 10
unidades defectuosas. Calcule un intervalo de confianza superior del 99% para la fracción
defectuosa.
Respuesta: 0216.0 .
141. [MA] En 1980, el Bureau of Labor Statistics estadounidense realizó un estudio de
1000 lesiones oculares leves que sufrieron trabajadores en los centros de trabajo. El estudio
reveló que en 600 de los casos el trabajador no usaba equipo de protección ocular en el
momento de la lesión. También mostró que 900 de las lesiones habrían sido previsibles con
el uso de tal equipo. Suponga que las condiciones actuales en los centros de trabajo no han
cambiado sustantivamente de las que había en 1980, en lo relativo al uso de equipos de
protección ocular.
a) Determine un intervalo de confianza de 90% para la proporción de trabajadores que sufre
lesiones oculares leves este año y no usa equipo de protección ocular en el momento de la
lesión.
b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para la proporción de lesiones oculares leves
que ocurre este año y habrían sido previsibles con el uso apropiado de equipo de protección
ocular.
Respuesta: a) 6255.05745.0 ; b) 9186.08814.0 .
142. [MA] “En la operación Tormenta del Desierto, la regla de combate dictaba que cuando
la tripulación de un avión no podía localizar o identificar positivamente sus blancos
primario o secundario, debía regresar a la base con su armamento”. Esa regla tenía como
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fin minimizar el daño a civiles. Durante las operaciones Tormenta del Desierto y Escudo
del Desierto, las fuerzas aliadas realizaron 72 000 vuelos de combate. En 18 000 casos,
regresaron a la base con su armamento. (Basado en información de “Operations Law and
the Rules of Engagement in Operations Desert Shield and Desert Storm”, Teniente Coronel
John G. Humphries, Airpower Journal, otoño de 1992, pp. 25 – 41).
a) Calcule una estimación punctual de , la proporción de vuelos de combate que regresan
a la base con su armamento en futuros conflictos donde estén vigentes esas reglas, con base
en los datos precedentes.
b) Determine un intervalo de confianza de 95% para .
c) Suponga que en un conflicto futuro se vuelan 10 000 misiones de combate. Calcule un
intervalo de confianza de 95% del número de misiones en las que los aviones regresan a la
base con su armamento.
Respuesta: a) 25.0p ; b) 2532.02468.0 ; c) 2585.02415.0 .
143. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a
la edad adulta. De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3.1 kilos con una
desviación típica de medio kilo.
a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad
adulta, con un nivel de confianza del 90%.
b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que
llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95%.
Respuesta: a) 7897.06325.0 ; b) 2225.39775.2 .
Determinación del tamaño de la muestra requerido para la estimación de la
proporción de una población.
Antes de recolectar la muestra, el tamaño de muestra mínimo requerido puede
determinarse especificando el nivel de confianza y el error de muestreo o error de
estimación aceptable y haciendo una estimación inicial de , la proporción poblacional
desconocida.
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p
pZ
, donde
np
)1(
(32)
Sea p el error de estimación, entonces
n
Z)1(
(33)
nz
)1(2/
(34)
Al despejar n, el tamaño de la muestra:
2
2
2/ )1(
zn (35)
Ejemplo 8.15. Cálculo del tamaño muestral para estimar la proporción de una
población con una determinada precisión.
Se desea estimar la proporción, , de individuos daltónicos de una población a través del
porcentaje observado en una muestra aleatoria de individuos, de tamaño n.
a) Si el porcentaje de individuos daltónicos en la muestra es igual al 30%, calcule el valor
de n para que, con un nivel de confianza de 0.95, el error cometido en la estimación sea
inferior al 3.1%.
b) Si el tamaño de la muestra es de 64 individuos, determine, usando un nivel de
significación del 1%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de
daltónicos de la población.
Solución.
a) Proporción de éxitos en la población: 30.0
Tamaño de la muestra: ?n
Nivel de confianza: 95.01
Error de estimación: 031.0
Tamaño de la muestra.
2
2
2/ )1(
zn (35)
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Valor 2/z .
4750.02
95.0
2
1
96.12/ z
Tamaño de la muestra.
2
2
)031.0(
)3.01()3.0()96.1( n
48.839n
El número mínimo de individuos requeridos es 840.
b) Tamaño de la muestra: 64n
Nivel de significancia: 01.0
Intervalo de confianza para la proporción.
: n
ppzp
)1(2/
(29a)
Valor 2/z .
4950.02
99.0
2
1
2
58.257.22/
z
575.22/ z
Intervalo de confianza para la proporción.
: 64
)3.01(3.0575.23.0
: 1475.03.0
:
1525.0
4475.0
4475.01525.0
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Con un nivel de confianza de 99% se sabe que la proporción de daltónicos en la población
se encuentra entre 0.1525 y 0.4475.
Ejercicios propuestos.
144. Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 8% de las nueces están vacías. Se
eligieron 500 nueces al azar y se detectaron 80 vacías. Si se mantiene el porcentaje muestral
de nueces que están vacías y 95.01 , ¿qué tamaño muestral se necesitaría para estimar
la proporción de nueces con un error menor del 1%?
Respuesta: 1980n .
145. Un ingeniero de control de calidad quiere estimar la fracción de elementos defectuosos
en un gran lote de lámparas. Por la experiencia, cree que la fracción real de defectuosos
tendría que andar alrededor de 0.2. ¿Qué tan grande tendría que seleccionar la muestra si se
quiere estimar la fracción real, exacta dentro de 0.01, utilizando un nivel de confianza de
95%?
Respuesta: 6147n .
146. Suponga que un estudio se diseña para reunir nuevos datos de fumadores y no
fumadores, entre los 18 años o más. La mejor estimación preliminar de la proporción
poblacional de quienes fuman en este tramo de edades es de 30%.
a) De qué tamaño debe tomarse la muestra para estimar la proporción de fumadores en la
población con un margen de error de 0.02? Emplee un nivel de confianza 95%.
b) Suponga que el estudio usa su recomendación de tamaño de muestra del inciso a), y ve
que hay 520 fumadores. ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de fumadores?
c) ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de fumadores?
Respuesta: 2017n ; b) 2578.0p ; c) 2769.02387.0 .
147. Se investigó que el 26% de quienes visitan un determinado sitio deportivo de internet
son mujeres. El porcentaje se basó en una muestra de 380 visitantes.
a) Hallar el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de usuarios
mujeres.
b) ¿Cuál es el margen de error asociado con la proporción estimada de mujeres?
c) ¿Qué tamaño debería tener la muestra si queremos tener un margen de error del 3%?
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Respuesta: a) 3041.02159.0 ; b) 0441.0 ; c) 822n .
148. En una encuesta hecha por los alumnos de un instituto a un total de 100 votantes
elegidos al azar en su municipio, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual.
a) Calcular un intervalo de confianza al 99% y otro al 99.73% para la proporción de
votantes favorables al alcalde actual.
b) ¿Cuántos deben ser los tamaños muestrales en el sondeo para tener, con los mismos
niveles de confianza, la certeza de que el alcalde actual salga reelegido por mayoría
absoluta, en el caso de arrojar la encuesta los mismos resultados?
Respuesta: a) 6781.04219.0 , 6992.04008.0 ; b) 657n y 891n .
149. En una muestra aleatoria de 500 familias que tienen televisores en la ciudad de
Maturín, Venezuela, se encuentra que 340 están suscritas a HBO. ¿Qué tan grande se
requiere que sea una muestra si se quiere tener 95% de confianza de que la estimación de
está dentro de 0.02?
Respuesta: 2090n .
150. [MR] De 1000 casos de cáncer pulmonar seleccionados al azar, 823 resultaron en la
muerte del paciente.
a) Construya un intervalo de confianza de 95% de dos colas para el índice de decesos por
cáncer pulmonar.
b) ¿Cuál sería el tamaño de la muestra necesaria para tener una confianza de al menos 95%
de que el error al estimar el índice de decesos por cáncer pulmonar sea menor que 0.03?
Respuesta: a) 8467.07993.0 ; b) 622n .
151. [MR] Una muestra aleatoria de 50 cascos de suspensión usados por motociclistas y
pilotos de automóviles de carreras se sometieron a una prueba de impacto, y en 18 de estos
cascos se observó algún daño.
a) Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la proporción real de este
tipo de cascos que mostrarían daños en esta prueba.
b) Utilizando una estimación puntual de obtenida de una muestra preliminar de 50
cascos, ¿cuántos cascos es necesario probar para tener una confianza de 95% de que el error
al estimar el verdadero valor de es menor que 0.02?
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c) De qué tamaño debe ser la muestra si se quiere tener una confianza de al menos 95% de
que el error al estimar es menor que 0.02, independientemente del verdadero valor de .
Respuesta: 4930.02270.0 ; b) 2213n ; c) 2401n .
152. [MA] Un estudio de dispositivos de protección electromecánicos usados en sistemas
de alimentación eléctrica muestra que 193 fallan al someterlos a prueba, 75 de ellos a causa
de falla de piezas mecánicas.
a) Encuentre un estimador puntual de , la proporción de fallas resultantes de fallas
mecánicas.
b) Determine un intervalo de confianza de 95% para .
c) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar con exactitud de 0.03 y
confianza de 95%?
Respuesta: a) 3886.0p ; b) 4574.03198.0 ; c) 1015n .
153. [MA] La efectividad de las señales reflejantes en autopistas requiere verlas con la luz
de los faros. Hacerlo a grandes distancias precisa usar las luces “altas” de los faros. Un
estudio de ingenieros de autopistas revela que en 45 de 50 automóviles seleccionados
aleatoriamente en un área de tráfico intenso se usan las luces “bajas” de los faros.
a) Calcule un estimador puntual de , la proporción de automóviles en el área que usa las
luces bajas.
b) Determine un intervalo de confianza de 90% para .
c) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar con exactitud de 0.02 y
confianza de 90%?
Respuesta: a) 9000.0p ; b) 9698.08302.0 ; c) 609n .
154. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al
teatro regularmente.
a) Hallar, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estudiar la proporción de los
ciudadanos que van a teatro regularmente.
b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir
una cota de error de 0.01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra?
Respuesta: a) 4196.03189.0 ; b) 8239n .
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Si no es posible determinar un estimado inicial de la proporción poblacional ( ), se le
deberá estimar en 50% (0.5). Esta estimación representa el valor para el que se requeriría
del tamaño de muestra mayor. Con base en este supuesto, la formula general para el tamaño
de muestra sería:
2
2
2/25.0
zn
(36)
Ejemplo 8.16. Cálculo del tamaño muestral para estimar la proporción de una
población con una determinada precisión. Comportamiento de la proporción de la
población desconocido.
Una legisladora estatal desea encuestar a los residentes de su distrito para conocer qué
proporción del electorado conoce la opinión de ella, respecto al uso de fondos estatales para
pagar abortos. ¿Qué tamaño de muestra se necesita si se requiere una confianza del 95% y
un error máximo de estimación de 0.10?
Solución.
Tamaño de la muestra: ?n
Nivel de confianza: 95.01
Error de estimación: 10.0
Tamaño de la muestra.
2
2
2/25.0
zn
(36)
Valor 2/z .
4750.02
95.0
2
1
96.12/ z
2
2
)1.0(
)96.1(25.0n
04.96n
El número mínimo de residentes requeridos es 97.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 83
Ejercicios propuestos.
155. El gerente de un banco quiere tener una confianza del 90% de estar en lo correcto en
una escala de más o menos 0.05 de la proporción real de los depositantes que tienen al
mismo tiempo cuenta de ahorro y cheque. ¿Qué tamaño de la muestra se necesita?
Respuesta: 271n .
156. [MR] El Departamento de Transporte de Arizona desea hacer una encuesta entre los
residentes del estado para determinar qué proporción de la población estaría de acuerdo en
aumentar el límite de velocidad en las carreteras estatales de 55 mph a 65 mph. ¿Cuántos
residentes deberán encuestarse si se quiere tener una confianza de al menos 99% de que la
proporción de la muestra está dentro del 0.05 de la proporción real?
Respuesta: 664n .
157. [MR] Va a realizarse un estudio del porcentaje de hogares que tienen al menos dos
televisores. ¿De qué tamaño debe ser la muestra si se quiere tener una confianza de 99% de
que el error al estimar esta cantidad es menor que 0.017?
Respuesta: 5736n .
158. Un gabinete de investigación quiere estimar la proporción de consumidores que
adquirirían antes un producto de fabricación nacional que uno elaborado por un competidor
extranjero. Su intención es construir un intervalo de confianza del a) 95% y b) 99% para la
proporción poblacional con una amplitud máxima a cada lado de la proporción muestral de
0.04. ¿Cuántas observaciones se necesitan para alcanzar este objetivo?
Respuesta: a) 606n ; b) 1021n .
159. [MA] Se realizará una encuesta de compañías mineras para estimar , la proporción
de empresas que piensa contratar pasantes de ingeniería o ingenieros experimentados
durante el año próximo.
a) ¿Cuán grande debe ser la muestra para estima a a no más de 0.04 con confianza de
94%?
b) Una muestra de 500 compañías revela que 105 planea efectuar tales contrataciones.
Encuentre la estimación puntual de . Calcule un intervalo de confianza de 94% para .
Respuesta: a) 553n ; b) 2100.0p , 2443.01757.0 .
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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160. Un ingeniero industrial desea estimar con un 90% de confianza y una precisión del 3%
la proporción de artículos defectuosos que están saliendo de la línea de producción. ¿De
qué tamaño deberá tomar la muestra si:
a) No dispone de información alguna.
b) Conoce que la proporción de artículos defectuosos nunca ha sido mayor de 0.12.
Respuesta: 752n ; 318n .
Ejemplo 8.17. Cálculo del nivel de confianza a partir del error.
Intentamos conocer el porcentaje con el que se da una determinada característica en una
muy amplia población, para ello decidimos realizar un muestreo aleatorio simple. Cada
encuesta (muestra) que realizamos tiene un coste de Bs. 1000 y disponemos de Bs. 100 000.
Si se pretende trabajar con un error del 8% ¿Cuál será el nivel de confianza con el que
trabajaremos, si conocemos que dicha característica a estudiar es imposible que se dé en
más del 35% de la población?
Solución.
Costo de la muestra: 1000c
Monto disponible para el estudio: 100000C
08.0
?1
35.0
n
z)1(
2/
(33)
Tamaño de la muestra.
Para determinar el tamaño de la muestra, se divide el monto disponible para el estudio entre
el costo individual de cada muestra.
1000
100000n
100n
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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100
)35.01(35.0
08.02/
z
68.12/ z
De la tabla de distribución normal.
4535.02
1
9070.01
El nivel de significancia es 90.70%
Factor de corrección para una población finita.
Cuando se conoce el tamaño de la población (N), y 05.0N
n, se aplica el factor de
corrección por población finita.
Intervalo de confianza para la proporción.
: 1
)1(2/
N
nN
n
ppzp (37a)
1
)1(
1
)1(2/2/
N
nN
n
ppzp
N
nN
n
ppzp (37b)
Error de estimación.
1
)1(2/
N
nN
nz
(38)
Longitud del intervalo de confianza.
1
)1(2 2/
N
nN
nzL
(37)
Tamaño de la muestra.
)1()1(
)1(2
2/
2
2
2/
ppzN
Nppzn
(38)
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Ejemplo 8.18. Intervalo de confianza con factor de corrección por población finita.
Estimar el porcentaje de individuos que no lee ningún periódico al día en un pueblo de
1000 habitantes y con un nivel de significación del 1%. Para ello llevamos a cabo una
muestra de tamaño 100 a personas distintas del pueblo, resultando que de éstas 80 no leen
el periódico.
Solución.
Tamaño de la población: 1000N
Nivel de significancia: 01.0
Tamaño de la muestra: 100n
Éxito: La persona no lee el periódico.
Número de éxitos en la muestra: 80x
Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario verificar si aplica la
utilización del factor de corrección por población finita.
05.01.01000
100
N
n
Es necesario aplicar factor de corrección por población finita.
Intervalo de confianza para la proporción.
: 1
)1(2/
N
nN
n
ppzp (37a)
Proporción de la muestra.
n
xp
100
80p
80.0p
Valor 2/z .
4950.02
01.01
2
1
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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2
58.257.22/
z
575.22/ z
Intervalo de confianza.
: 11000
1001000
100
)80.01(80.0575.280.0
: 0978.080.0
:
7022.0
8978.0
8978.07022.0
Con un nivel de confianza de 99% se puede afirmar que la proporción de individuos que no
lee ningún periódico al día en el pueblo de 1000 habitantes se encuentra entre 0.7022 y
0.8978.
Ejercicios propuestos.
161. En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20%
de ellas y se les preguntó si disponían de gas ciudad en su vivienda. Sabiendo que todas las
familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas,
se pide:
a) ¿Qué estimación puntual podrías dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que
disponen de gas ciudad en su vivienda?
b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de
confianza del 95%? Justificar las respuestas.
Respuesta: a) 30.0p ; b) 0508.0 .
162. [MA] Una fuente de contaminación del agua es la gasolina que se fuga de los tanques
de almacenamiento subterráneos. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 estaciones de
servicio y se inspeccionan los tanques. Se determina que hay fuga de por lo menos un
tanque en 20 de ellas.
a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción de estaciones de servicio
en todo el país con problema de fugas.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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b) Suponga que existen unas 375000 estaciones de servicio en Estados Unidos. Calcule un
intervalo de confianza de 95% del número de estaciones de servicio con problemas de
fugas.
c) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar la proporción de estaciones de
servicio con problema de fuga a no más de 0.02 con confianza de 95%?
Respuesta: a) 2784.01216.0 ; b) 2784.01216.0 ; c) 781n .
Ejemplo 8.19. Estimación del error en proporciones.
En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20
defectuosas. Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar ,
que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas
por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación tal que se pueda tener
un 95% de confianza en que dista menos de de p.
Solución.
Tamaño de la muestra: 400n
Éxito: La pila es defectuosa.
Número de éxitos en la muestra: 20x
Error de estimación: ?
Nivel de significancia: 95.01
Error de estimación.
nz
)1(2/
(34)
Proporción en la muestra.
n
xp
400
20p
05.0p
Valor 2/z .
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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4750.02
95.0
2
1
96.12/ z
Error.
400
)05.01(05.096.1
0213.0
El error máximo en la estimación de la proporción es 0.0213.
Ejemplo 8.20. Estimación puntual a partir del error.
Mediante una muestra aleatoria de tamaño 400 se estima la proporción de residentes en
Puerto La Cruz que tienen intención de asistir a un partido de beisbol entre Caracas y
Magallanes. Si para un nivel de confianza del 95% resulta un error máximo en la
estimación del 3%, obtenga el valor de la estimación sabiendo que es inferior a 0.25.
Solución.
Tamaño de la muestra: 400n
Proporción en la muestra: ?p
Nivel de confianza: 95.01
Error de estimación: 03.0
Error de estimación.
n
ppz
)1(2/
(34)
De la ecuación anterior, se obtiene al resolver la ecuación siguiente:
0
2
2/
2
znpp
Valor 2/z .
4750.02
95.0
2
1
96.12/ z
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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096.1
03.0400
2
2
pp
00937.02 pp
La solución de la ecuación de segundo grado anterior es:
8953.0p y 1047.0p
Se toma como solución 1047.0p .
Ejemplo 8.21. Tamaño de la muestra con factor de corrección por población finita.
Usted planea realizar una encuesta para saber qué proporción de la fuerza laboral
conformada por 5 000 empleados tiene dos o más empleos. Ud decide un nivel de confianza
del 95% y afirma que la proporción estimada debe ser 2% de la proporción de la población.
Una encuesta piloto revela que 5 de los 50 participantes en la muestra tienen dos o más
empleos. ¿A cuántos miembros de la fuerza laboral debe entrevistar para cubrir sus
requerimientos?
Solución.
Tamaño de la población: 5000N
Nivel de confianza: 95.01
Error de estimación: 02.0
Número de éxitos en la muestra piloto: 5x
Tamaño de la muestra piloto: 50n
Tamaño de la muestra: ?n
)1()1(
)1(2
2/
2
2
2/
ppzN
Nppzn
(40)
Proporción en la muestra piloto.
n
xp
50
5p
1.0p
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
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Valor 2/z .
475.02
95.0
2
1
96.12/ z
Tamaño de la muestra.
)1.01(1.0)96.1()15000()02.0(
5000)1.01(1.0)96.1(22
2
n
09.737n
El número mínimo de miembros a entrevistar es 738.
Para el valor de n calculado, se tiene:
05.01476.05000
738
N
n
Queda justificado el uso de la ecuación (34) para determinar el tamaño de la muestra.
Ejemplo 8.22. Prueba de una aseveración respecto de una proporción.
En una empresa de 5000 trabajadores desea conocerse si ha variado mucho la valoración
positiva de la gestión de la dirección, que el año pasado se concluyó fehacientemente que
era del 80% de los trabajadores. Para ello se realiza una muestra de tamaño 200 resultando
que la valoración positiva era considerada por el 55% de los trabajadores encuestados.
¿Podemos afirmar que la valoración ha variado con probabilidad de equivocarnos del 1%?
Solución.
Tamaño de la población: 5000N
Proporción en la población: 80.0
Tamaño de la muestra: 200n
Éxito: La valoración del trabajador es positiva.
Proporción de éxitos en la población: 55.0p
Nivel de significancia: 01.0
Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario verificar si aplica la
utilización del factor de corrección por población finita.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 92
05.004.05000
200
N
n
No es necesario aplicar factor de corrección por población finita.
Intervalo de confianza para la proporción.
: n
ppzp
)1(2/
(29a)
Valor 2/z .
4950.02
99.0
2
1
2
58.257.22/
z
575.22/ z
Intervalo de confianza para la proporción.
: 200
)55.01(55.0575.255.0
: 0906.055.0
:
4594.0
6406.0
6406.04594.0
El valor 80.0 no se encuentra dentro del intervalo determinado, por lo cual, a un nivel
de confianza de 99%, podemos afirmar que la valoración positiva de la gestión de la
dirección ha disminuido.
Ejercicios propuestos.
163. En una encuesta de 673 grandes almacenes, 521 declararon tener problemas con los
robos de los empleados. ¿Se puede llegar a la conclusión con una confianza del 99% de que
éstos datos indican que el 78% de todas la tiendas tienen dificultades como señalaba un
informe reciente de la CNN?
Respuesta: a) 8157.07326.0 , Si, 0.78 se encuentra dentro del intervalo.
Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Proporción poblacional (π).
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 93
164. [MA] Una encuesta de compañías que usan robots muestra que, de 200 robots en uso,
48 están dedicados a operaciones de carga y descarga.
a) Encuentre un intervalo de confianza de 95% para , la proporción de robots que se usa
actualmente en tareas de carga y descarga.
b) ¿Le sorprendería la afirmación de que la mayor parte de los robots en uso se dedican a
operaciones de carga y descarga? Explique su respuesta.
Respuesta: a) 2992.01808.0 ; b) Si. 0.50 no se ubica en este intervalo; se ha
descartado como posible valor de .
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