OSCILADORES SENOIDAIS
Duas técnicas principais são utilizadas para a geração de senoides:
1) Osciladores lineares:
Consistem, basicamente, de um amplificador com realimentação positiva onde a rede
β é um circuito seletivo (RC ou LC).
2) Conformadores de senóide:
A senóide é obtida pela conformação de uma onda triangular.
OSCILADORES SENOIDAIS LINEARES
Ganho de malha (“loop gain”)
Critério de Barkhausen:
Para haver oscilação senoidal
1( ) ( ) 1
0o o
o
Aj A j
A
ββ ω ω
β
== ⇒ =
“Na frequência de oscilação ωo, o ganho de malha deve ter fase 0o e módulo unitário.“
Amplificador
A
Rede β (seletiva)
Σ s1 + s2 s3
+
s4 realimentação positiva
( )( )
1 ( ) ( )f
A sA s
s A sβ=
−
( ) ( ) ( )r
t
VL s s A s
Vβ= =
Amplificador
A
Rede β (seletiva)
Σ vr
x +
+ vt -
+
~
Intuitivamente, se o sinal de retorno (Vr) for igual, em módulo e fase, ao sinal de
transmissão (Vt), a saída Vo será sustentada mesmo sem a presença do sinal de entrada do
amplificador.
( )
( ) 1( )
oo
o
r
t
V jL j
V j
ωω
ω= = (1.1)
Deve-se notar que a oscilação ocorre somente na frequência ( )oω onde a fase do ganho de
malha ( )Aβ for 0o.
Seguindo este raciocínio intuitivo, se ( ) 1o
L jω < , a oscilação não se sustenta e se ( ) 1o
L jω > a
amplitude de r
V crescerá até que o amplificador entre na região de saturação, resultando numa
senóide com distorção.
Uma visão alternativa para o estudo dos osciladores senoidais consiste na determinação dos
pólos da função de transferência
( )
( )1 ( ) ( )f
A sA s
s A sβ=
− (1.2)
Os pólos de Af(s) estão localizados nas raízes do polinômio do denominador da função de
rtransferência (equação característica):
1 ( ) ( ) 0s A sβ− = (1.3)
Por exemplo:
2( ) e ( )
1
sA s K s
s bsβ≡ ≡
+ +
1 ( ) ( ) 0s A sβ− =
21 0
1
sK
s bs− =
+ +
2 1 0s bs Ks+ + − =
( )2 1 0s b K s+ − + = (1.4)
σ
jωK b=
Para que o circuito produza oscilações sustentadas na frequência oω , as raízes devem estar
localizadas em ω= ± os j .
CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS:
Para garantir oscilação senoidal as raízes do polinômio 1 ( ) ( )s A sβ− devem estar localizadas
exatamente sobre o eixo jω . Significa dizer que ao longo do tempo ( )sβ e ( )A s não podem
sofrer alterações sob pena de parar de oscilar ou distorcer.
Sabemos que as características do circuito sofrem alterações por efeito de temperatura,
envelhecimento, etc... Desta forma, para construir um oscilador senoidal devemos utilizar
algum mecanismo de controle do ganho do amplificador.
σ
jωOscilação não sustentada
σ
jω Oscilação sustentada
Oscilação sustentada, com distorção
Limitação do amplificador
σ
jω
São duas as preocupações básicas:
1) Garantir que o circuito sempre oscilará. Para isto, devemos garantir Aβ ligeiramente
maior que a unidade na frequência oω . Isto posicionará os pólos no semiplano lateral
direito (SLD) do plano complexo s.
1Aβ > ⇒ oscilação garantida (com distorção)
2) Garantir que 1Aβ = quando a amplitude do sinal de saída atingir um valor desejado.
1ov
Aβ =
Com esta técnica, os pólos são inicialmente posicionados no SLD do plano s, garantindo o
processo de oscilação e, posteriormente, á medida que a amplitude do sinal de saída
aumenta (em módulo), os pólos vão se deslocando, suavemente, na direção do eixo jω ,
evitando a distorção.
Um circuito de controle eficiente:
RfR1
R2
R3
R4
R5
Vo
U1+
-
OUT
VCC +
VCC -
D1
D2
Vi
iV
oV
oV +
oV −
Inclinação:3
1
/ /1 fR RR
+
Inclinação:4
1
/ /1 fR RR
+
Inclinação:
1
1 fRR
+
Posição final β = 1A
σ
jω
Posição inicial β ≥ 1A
Ação do mecanismo de controle do ganho A
Para D1 e D2 cortados e aplicando superposição na determinação de VA e VB, tem-se:
1
1o f
i
V RAV R
= = +
3 2
2 3 2 3A CC o
R RV V VR R R R
= ++ +
54
4 5 4 5B CC o
RRV V VR R R R
= − ++ +
A situação de D1 e D2 cortados ocorre para baixas amplitudes de Vo. Com o aumento da
amplitude ocorrerá a condução dos diodos D1 e D2, respectivamente nos semi-ciclos negativo e
positivo, colocando Rf em paralelo com R3 ou R4 e, consequentemente forçando a redução do
ganho. Os limites (vo+ e vo
-) de condução de D1 e D2 são dados pelas expressões:
D1 conduz:
oA i D A D
VV V V V VA
−
= − ⇒ = −
D2 conduz:
oB i D B D
VV V V V VA
+
= + ⇒ = +
Assim:
3 2
2 3 2 3
oA D CC o
V R RV V V VA R R R R
− = − = + + +
32
2 3 2 3
1o CC D
RRV V VR R A R R
− − = − + + +
Fazendo :
( )3 2
2 3 2 3
1R Rk kR R R R
= ⇒ − =+ +
Vem:
( ) ( )1 1o CC D
AV kV VA k
− = − +− −
Analogamente:
( ) ( ) 4
4 5
onde,1 1o CC D
RAV kV V kA k R R
+ = − + =− − +
OBS.: Como a curva de condução do diodo é exponencial, as transições em torno de
eo oV V+ − são suaves, contribuindo para a redução da distorção.
OSCILADOR EM PONTE DE WIEN
Cálculo de βA:
( )( )
2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 2 2 1
1 2 2
1 11 1 1
1
R RsR C sR CA A AsR C R sR C sR C sR C
sC sR C
β + += =
+ + + +++
2 12
1 2 1 2 1 1 2 2 2 11sR CA A
s R R C C sR C sR C sR Cβ =
+ + + +
1 21 2
2 1 2 1
11 1
A A R CsR CsR C R C
β =+ + + +
Vo
R2
R1C1
C2pZ
sZ
A
REDE β
1 11
1 1
11s
sR CZ RsC sC
+= + =
22
2 2 2
1/ /1p
RZ RsC sR C
= =+
VoA
sZ
pZ
tV+
−rV
pr t
p s
ZV A V
Z Z=
+
pr
t p s
ZVA AV Z Z
β = =+
Aplicando o critério de Barkhausen:
Para os jω=
1 21 2
2 1 2 1
11 1o
o
A AR Cj R C
R C R C
βω
ω
=
− + + +
0oAβ =
1 22 1 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 10 ou2o o o
o
R C fR C R R C C R R C C
ω ωω π
− = ⇒ = ⇒ =
Nesta frequência, onde a 0oAβ = , tem-se a condição de oscilação:
1 2
2 11 2
2 1
1 1 11
o
R CA A AR CR C
R C
ω ωβ
== = ⇒ = + +
+ +
Usando o amplificador com ganho controlado pela amplitude do sinal de saída:
RfR1
R2
R3
R4
R5
Vo
U1+
-
OUT
VCC +
VCC -
D1
D2
R
RC
C
1
1
1 3
p.ex.:0,03
o
f
RC
RAR
A
ω
δ
δ
=
= + = +
=
Análise alternativa
Usando, por simplicidade, 1 2R R R= = e 1 2C C C= = , vem:
( ) ( ) ( )2 2 2 3 1A sRCs A s
s R C s RCβ =
+ +
Calculando as raízes de ( ) ( )1 0s A sβ− =
( ) ( ) ( )( )
( )2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 11 1 0
3 1 3 1s R C s A RCA sRCs A s
s R C s RC s R C s RCβ
+ − +− = − = =
+ + + +
( )2 2 2 3 1 0s R C s A RC+ − + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
22 2
3 3 4 1 3 3 42 2
A RC A R C R Cs A A
R C RC− − ± − − = = − − ± − −
raízes: reais
( )2 12
2
11
3 4 0 6 9 4 01
5
A sRCA A A
A sRC
= ⇒ = −− − ≥ ⇒ − + − = ⇒
= ⇒ =
raízes: complexos conjugados:
raízes: sobre o eixo imaginário:
1 5 A
raízes: complexos conjugados
raízes: reais σ
jω= 3A
= 1A = 5A
−1
RC
−1
jRC
1jRC
1RC
< <1 5A = ⇒ = ±1
3A s jRC
Oscilador em ponte de Wien com controle de frequência.
Observe que o caminho de realimentação positiva é o que passa pela associação em
série de R1 e C1 e a impedância de entrada R2, do amplificador A, é a impedância vista por C2
formando a ponte de Wien. Desta forma, esta estrutura apresenta a mesma frequência e
condição de ocilação da estrutura analisada anteriormente:
1 2
2 11 2 1 2
1 1oR Cw e AR CR R C C
= = + +
Entretanto, a estrutura do amplificador é diferente e, conseqüentemente, o ganho Av
será diferente. O sinal que chega em vx é amplificado passando por dois caminhos distintos.
Assim, o sinal de saída vo pode ser obtido aplicando-se superposição, Isto é, o sinal de saída
será a soma das contribuições de vx amplificadas em cada um dos caminhos:
5 3 5
4 2 4
3 5 5
2 4 4
1
1
o x x
ov
x
R R Rv v vR R R
v R R RAv R R R
= + + − −
= = + +
Por inspeção, verificamos que a escolha conveniente de R3, R4 e R5 fará com que o
ganho Av ajustado no amplificador seja sempre igual ao ganho A da condição de oscilação,
Vo
Vx
U2+
-
OUT
U1
+
-
OUT
R1
R4 R5
R3
C1
C2
R6
R7
R7
R6
VCC +
VCC -
D1
D2R2
A
para qualquer valor de R2. Assim, variando R2, a condição de oscilação é mantida enquanto a
frequência de oscilação varia, desde que os componentes sejam ajustados seguindo o critério:
5 523 1
4 1 4
R RC e R RR C R
= =
Oscilador em ponte de Wien com controle de amplitude alternativo.
Neste circuito, a tensão instantânea sobre Rf depende da amplitude de vo. Os diodos só
começam a conduzir quando esta tensão for maior que vd (≈ 0,6V). A partir desta amplitude, o
resistor Rx, em série com a resistência dinâmica do diodo, é colocado em paralelo com o
resistor Rf, reduzindo o ganho do amplificador, limitando a amplitude do sinal de saída no valor
ajustado através de Rx.
R
R
RfR1
C
C
Rx
U1
+
-
OUT Vo
D1
D2
Oscilador por desvio de fase (“phase shift oscilator”)
Para verificar a frequência e condição de oscilação desta estrutura, devemos abrir a
malha de realimentação positiva e determinar a função de transferência A(s)β(s) e aplicar o
critério de Barkhausen. Observando o circuito, vemos que existem dois ramos de
realimentação e ambos conduzem sinal realimentado para a entrada (–) do amplificador
operacional, o que caracterizaria a existência, somente, de realimentação negativa. Entretanto,
a rede RC do outro ramo de realimentação provoca um desvio na fase do sinal realimentado.
Desta forma, em determinadas condições a serem determinadas, por esta malha, o critério de
barkausen pode ser atendido, fazendo com que o circuito oscile. Para esta análise, a malha
que deve ser aberta para determinação da frequência e condição de oscilação é a malha que
contem a rede RC.
Interrompendo o circuito conforme indicado na figura e aplicando um sinal Vt, a função de
transferência A(s)β(s) pode ser obtida utilizando o método das malhas para análise de
circuitos:
2
3 22
1
1 2 0
0 0
1 1 1 10 2 2
1 2
10
t
t
R R vsC
R RsC
RR vi
R R R R R RsC sC sC sC
R R RsC
R RsC
+ −
− +
−
= = + − + + − +
− + −
− +
U1+
-
OUT
C C C
Rf
RR VotV
+
−rV
+
−1i 2i 3i
terra virtual
( )
3 2 3 2 2
3 2 13 4 1 3 4
f fr f t t
s R C R s RC Rv i R v v
sRC sRC sRCsRC
= − = − = −+ + + +
Aplicando o critério de Baerkhausen:
2 2
:
13 4
o
o fr
to
o
para s jww RC RvA
vj w RC
w RC
β
=
= =
− +
( )2
2
0
1 1 13 033o o o
o
A
w RC w ww RC RCRC
β =
− = ⇒ = ⇒ =
Na frequência oω tem-se a condição de oscilação:
( )
2 2
2 22
2
4 41 12143
o
o ff fw w
o
w RC RA R R R
w RC RCRC
β=
= = ⇒ = = ⇒ =
Usando o controle de ganho no amplificador:
Vo
R1
R2
R2
R1
VCC +
VCC -
D1
D2U1+
-
OUT
C C C
Rf
RR
OSCILADORES LC Oscilador Colpitts
Considerar:
Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):
Aplicando lei de Kirchoff no coletor ( )0iΣ = :
2
1
( 1) 01/ /
cb fe b
o
Vi sr C h ir
sC
π′ + + + =
[ ]22
1
( 1)( 1) 01
1
bb fe b
o
i sr C sL ri sr C h i
sCr
π ππ
′ + +′ + + + =
+
R2 REC2 C1
Q1
L
VCC +
R1C → ∞
C → ∞
L → ∞
C → ∞
1 2/ /BR R R rπ=
bi
bi ′
rπrπ or 1
1sC 2
1sC
sL
fe bh i
cV2( 1)bi sr C
π′ +
[ ]2 2 11( 1) ( 1) 0b fe b bo
i sr C h i i sr C sL r sCrπ π π
′ ′+ + + + + ⋅ =+
[ ]2 2 11( 1) ( 1)
b fe
b
o
i hAi
sr C sr C sL r sCrπ π π
β′ −
= =
+ + + + +
( )22 2 1
1( 1)
b fe
b
o
i hAi
sr C s LC r sL r sCrπ π π
β′ −
= =
+ + + + +
2 3 22 2 1 2 1 11
b fe
b
o o o
i hA r rsLi sr C s LC s LC C r s LC sr Cr r rπ π
π π π
β′ −
= =+ + + + + + +
3 21 2 2 1 2 1 1
b fe
b
o o o
i hAi r rLs LC C r s LC LC s r C r C
r r rπ π
π π π
β′ −
= =
+ + + + + + +
Para os jω=
3 21 2 2 1 2 1 1
b fe
bo o o
o o o
i hAi r rLj LC C r LC LC j r C r C
r r rπ π
π π π
βω ω ω
′ −= =
− − + + + + + +
3 22 1 1 2 2 1 1
b fe
bo o o
o o o
i hAi r rLj r C r C LC C r LC LC
r r rπ π
π π π
βω ω ω
′ −= =
+ + − − + + +
Aplicando o critério de Barkhausen:
0Aβ =
232 1 1 2o o
o
Lr C r C LC C rrπ π πω ω
+ + =
2 12 2
1 21 2 1 2
1 2
1 1oo o
o
Lr C r Cr
C CLC C r C C r rLC C
π π
π π
ω ω
+ +
= ⇒ = +
+
Fazendo:
1 21 2
1 2 1 2o o
C C LL C C r r r rC C C Cπ π⇒
+ +
2
1 2
1 2
1 1 1o o
eq eqC C LC LCL
C C
ω ω≅ = ⇒ ≅
+
1o
Aω ω
β=
=
22 1 2 1
1 2
1 2
111 1
fe fe
oo o o o
h hAr r r rLC LC LC LCC Cr r r rL
C C
π π π π
βω
− −= = =
− + + + − + + +
+
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
11 1 1 1
fe fe
o o o o
h hA r rC C C C r rC CC r C r C r C r
π π π π
β− −
= = =+ + − − + + − + − + + +
2 1 2 1
1 2 1 2
1fe fe
o o
h hA r rC C C CC r C C r C
π πβ
−= = =
− − +
Na prática:
2 1
1 2fe
o
rC ChC r C
π> +
Oscilador Hartley
Considerar:
Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):
Aplicando lei de Kirchoff no coletor ( )0iΣ = :
( )2 1
1 0/ /
cb fe b
o
r Vi h isL r sL
π ′ + + + =
2
2
1
111 01
1 1
b
b fe b
o
ri rsL sCri h i
sL
r sL
ππ
π
′ + +
′ + + + =
+
bi
bi ′
rπrπ or 1sL 2sL
1sC
fe bh i
cV2
1b
ri
Lsπ′ +
RE
C
Q1
L1
VCC +
R1
L2R2
C → ∞
C → ∞
L → ∞
C → ∞
1 2/ /BR R R rπ=
2 2 1
1 1 11 1 0b fe b bo
r ri h i i rsL sL sC r sL
π ππ
′ ′+ + + + + ⋅ =+
2 2 1
1 1 11 1
b fe
b
o
i hAi r r r
sL sL sC r sLπ π
π
β′ −
= =
+ + + + ⋅ +
2 2 12
2 2 1
b fe
b o
o
i hAi sL r sL r rsLr
sL s L C sr Lπ π
π
β′ −
= = + + ++ + ⋅
( )( )22 2 12
32 1 2
b fe
b o
o
i hAi s r L C sL r sL rsL r
sL s r L L Cπ ππ
β′ −
= = + + + + +
( )( ) ( )
31 2
3 2 3 2 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2
fe ob
b o o o o o
h s r L L CiAi s r L L C s r r LC s r L L C s L L s rL s r r L C s rL r rπ π π π π
β−′
= =+ + + + + + +
( )( ) ( ) ( )
31 2
3 21 2 1 2 1 2 1 2
fe ob
b o o o o o
h s r L L CiAi s r r L L C s L L r r LC r r L C s r L r L r rπ π π π π
β−′
= =+ + + + + + +
( )( ) ( ) ( )
2
2
31 2
3 21 2 1 2 1 2 1 2
fe ob
obo o o o
h s r L L CiA r ri s r r L L C s L L r r LC r r L C s r L r Ls
ππ π π π
β/−′
= =+ + + + + + +
Para os jω=
( )( ) ( ) ( )
21 2
21 2 1 2 1 2 1 2
fe o ob
obo o o o o o
o
h r L L CiA r ri r r L L C j L L r r LC r r L C r L r L j ππ π π π
ωβ
ω ωω
− −′= =
− + + + + + + −
( )( ) ( ) ( )
21 2
21 2 1 2 1 2 1 2
fe o ob
b oo o o o o o
o
h r L L CiAi r rr r L L C r L r L j L L r r LC r r L C π
π π π π
ωβ
ω ωω
− −′= =
− + + + + + + −
Aplicando o critério de Barkhausen:
0Aβ =
( )1 2 1 2o
o o oo
r rL L r r LC r r L C ππ πω
ω+ + =
( )2 2
1 21 2 1 21 2
1oo o
o o
o
r rL LL L r r LC r r L C L L Cr r
π
π π
π
ω ω= ⇒ =+ + + +
Fazendo:
( ) ( )1 2 1 2
1 21 2
oo
L L L LL L C r rr r L L C π
π
+ ⇒+
( )2
1 2
1 1 1o o
eq eqL L C L C L Cω ω≅ = ⇒ ≅
+
1o
Aω ω
β=
=
( )( ) ( )
21 2
21 2 1 2 1 2
21 2
1fe o o fe o
o o o oo
o
h r L L C h rAr r L L C r L r L r L r Lr r
L L Cπ π π
π
ωβ
ωω
− − −= = =
− + + + ++ −
2 1
1 2 1 2
1 2
1 2
11 1
fe o fe o
o oo
o
h r h rAL Lr r r rr L r L L Lr r L L
L L
π ππ
π
β− −
= = =
+ − + − + + + − +
2 12 1
1 21 2
11 1
fe o fe o
oo o
h r h rA L LL L r rr r r r L LL Lππ π
β− −
= = = − −+ − + − +
2 1 1 2
1 2 2 1fe o o fe
L L L Lh r r r h rL L L Lπ π= + + ⇒ = +
Na prática:
21
2 1fe
o
L rLhL L r
π> +
OSCILADOR A CRISTAL
Cp
L
VtVr
A
Cp > > Cs
Circuito Equivalente
XTAL
Símbolo
Z2Z1
Z3
XTAL
CsR
( ) ( )
22
3 322
11 1 1 1( ) 1
1 1
s s
s ps p p s s pp p
ss p
s
ss LC LCZ s sC sCs LC C s C C C CsC sC ss LC LC CsL
sC
++
= = = = ⋅+ + ++ + +++
( )
2
3
2
11( ) s
p s p
s p
s j
LCZ j jC C C
LC C
ω
ωω
ωω
=
−= − ⋅
+−
( )
2
2 2
3 2 2
2
1
1( ) onde: como1
ss
p ssp s
p sp p
ps p
s p
LCZ j j C C
C
C CL
C C
ωω ωω ωωω ωω ω ω
ω
=
>− = − ⋅ >> ⇒ ≈− = +
Pode-se observar que ( )3( )Z j jXω ω= . A reatância ( )X ω é indutiva na faixa s pω ω ω< < . Então,
nesta faixa de frequência, o cristal se comporta como um indutor, e o circuito se torna um
oscilador Colpitts.
Curva de reatância do cristal:
Calculando-se Aβ , obtém-se:
( ) ( )1 2
1 2 3 2 1 3
r
t
v AZ ZAv R Z Z Z Z Z Z
β = =+ + + +
Considerando 1 21 2
1 1Z e Zj C j Cω ω
= = , temos para a frequência oω ω= :
21 2
2 2 2 2
2 2 2 21 2 2 1
1
1 1 1 1 1 1o
o s o s
o o o p o p o o o p o p
AC CA
jRC C C C C C
ωβω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
−=
− −− − − + − − − −
0
X(ω)
ωs ωp ω
indutivo
capacitivo
3Z é indutivo para s pω ω ω< < XTAL
L
≡
Aplicando o critério de Barkhausen:
0
1
o
Aβ
ω
=
1
1
oC ω+
2
1
oC ω+
2 2
2 2 0o s
o ppCω ωω ω
−= −
Explicitando 2oω , vem:
2 2
1 2
1 2
1 11 , comoso p s o
s sp
C C CC CLC LCCC C
ω ω
= + + +
1Aβ =
2
1
o
A
Aω
β
−
= 1 2C C
1oω 2C
1oω
−1
1oC ω
−2 2
2 2
1o s
o ppCω ωω ω
= − −
2 2 2 2
12 2 2 2
1 1
1 1 1 1o s o s
p o p p o p
CA AC C C C
ω ω ω ωω ω ω ω
− −= + ⇒ = + − −
como p sω ω≅ , então:
2 21
2 21 o s
p o p
CAC
ω ωω ω
−= + −
( )1
1 1p
CAC
≅−
⇒ = − −
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