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1 6. OSCILADORES 6.1 – INTRODUÇÃO Um oscilador é um sistema que transforma energia contínua em energia alternada sem necessidade de qualquer excitação (sinal) exterior. Tal como todos os sistemas de conversão, funciona com um rendimento inferior a 100%, por razões físicas. O sinal de saída, variável no tempo, caracteriza-se por um espectro contendo a frequência fundamental f 0 , harmónicas e espúrias nomeadamente em torno daquelas. Estas podem ter um valor de potência maior ou menor consoante o tipo de circuito utilizado. Para se concentrar a maior percentagem de energia na frequência f 0 , há necessidade de utilizar um circuito com um elevado factor de qualidade Q 0 . Ao ligar-se a alimentação de um oscilador, o elevado factor de qualidade permite que só a frequência pretendida f 0 , por certo contida no ruído de entrada, seja amplificada e por consequência as oscilações arranquem. Embora o arranque das oscilações seja em sinal fraco, quando estas aparecem, são crescentes até que as propriedades do circuito em sinal forte as limitem. Um oscilador é sempre, numa certa perspectiva, um circuito não linear em que tem de haver um mecanismo qualquer de limitação das oscilações. Um oscilador é um circuito constituído por: Um circuito não linear de resistência negativa com ganho de potência. O elemento activo pode ser um díodo, um transístor ou uma válvula; Um circuito linear estabilizador com um elevado factor de qualidade, Q, e com características muito estáveis em função da temperatura e do tempo; um circuito limitador que impõe as condições de sinal forte. 6.2 - ESTUDO TEÓRICO DE OSCILADORES 6.2.1 – Condição de oscilação generalizada a dispositivos de N portos Um oscilador pode ser considerado como a combinação de um multiporto activo e uma rede passiva [6.1] e [6.2], como se representa na figura 6.1. Caracterizando os blocos pelas respectivas matrizes de parâmetros S, obtém-se: = NLn 1 NL NLnn 1 NLn 12 NL 11 NL NLn 1 NL a . a S . S . S . . . S b . b (6.1)

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6. OSCILADORES

6.1 – INTRODUÇÃO

Um oscilador é um sistema que transforma energia contínua em energia alternada sem

necessidade de qualquer excitação (sinal) exterior. Tal como todos os sistemas de conversão,

funciona com um rendimento inferior a 100%, por razões físicas. O sinal de saída, variável no

tempo, caracteriza-se por um espectro contendo a frequência fundamental f0, harmónicas e

espúrias nomeadamente em torno daquelas. Estas podem ter um valor de potência maior ou

menor consoante o tipo de circuito utilizado. Para se concentrar a maior percentagem de energia

na frequência f0, há necessidade de utilizar um circuito com um elevado factor de qualidade Q0.

Ao ligar-se a alimentação de um oscilador, o elevado factor de qualidade permite que só a

frequência pretendida f0, por certo contida no ruído de entrada, seja amplificada e por

consequência as oscilações arranquem.

Embora o arranque das oscilações seja em sinal fraco, quando estas aparecem, são crescentes

até que as propriedades do circuito em sinal forte as limitem. Um oscilador é sempre, numa certa

perspectiva, um circuito não linear em que tem de haver um mecanismo qualquer de limitação

das oscilações. Um oscilador é um circuito constituído por:

• Um circuito não linear de resistência negativa com ganho de potência. O elemento activo

pode ser um díodo, um transístor ou uma válvula;

• Um circuito linear estabilizador com um elevado factor de qualidade, Q, e com

características muito estáveis em função da temperatura e do tempo;

• um circuito limitador que impõe as condições de sinal forte.

6.2 - ESTUDO TEÓRICO DE OSCILADORES

6.2.1 – Condição de oscilação generalizada a dispositivos de N portos

Um oscilador pode ser considerado como a combinação de um multiporto activo e uma

rede passiva [6.1] e [6.2], como se representa na figura 6.1.

Caracterizando os blocos pelas respectivas matrizes de parâmetros S, obtém-se:

=

NLn

1NL

NLnn1NLn

12NL11NL

NLn

1NL

a.

a

S.S.

S..

.S

b.

b

(6.1)

2

=

Cn

1C

Cnn1Cn

12C11C

Cn

1C

a.

a

S.S.

S..

.S

b.

b(6.2)

Para que o sistema constitua um oscilador, os dois blocos têm que estar com os n portos

ligados em correspondência numérica, de forma a:

[bC]=[aNL] (6.3)

e

[bNL]=[aC] (6.4)

Multiportoactivo[SNL]

aNL1

bNL1

aNLn

bNLn

Redepassiva

[SC]

aC1

bC1

aCn

bCn

Figura 6.1 – Multiporto constituintes de um oscilador

De (6.3) e (6.4) chega-se à relação:

[aC]=[SNL].[SC].[aC], (6.5)

ou

[SNL].[SC]-[I].[aC]=0,

onde I é a matriz identidade.

Como [aC]≠0

[M]=[SNL].[SC]-[I] (6.5)

é uma matriz singular, ou seja:

Det[M]≠0 (6.6)

Esta expressão representa a condição de oscilação generalizada de um oscilador com um

dispositivo de n portos. Como a matriz de parâmetros S é definida para sinais fracos, existe

oscilação se para:

3

Arg Det [SNL].[SC]-[I]=0 (6.7)

se tem

|Det[SNL] ].[SC]-[I]|>0 (6.8)

As oscilações são crescentes até as não linearidades do circuito determinarem o ponto de

estabilidade, i.e. até [SNL] se modificar de forma a verificar-se Det[M]=0. Se o dispositivo activo

e a rede passiva forem definidos pelas respectivas matrizes Z ou Y, a condição será,

respectivamente:

Det [ZNL]+[ZC]=∆Z= 0 (6.9)

Det [YNL]+[YC]=∆Y=0 (6.10)

De notar que ∆ é o determinante do circuito total, parte não linear (activa) e linear (passiva). Em

condições estáveis:

∆(jω0,A10 …,An0)=R∆+jX∆=0 (6.10a)

sendo A0, …, An0 as amplitudes das variáveis independentes nos portos 1…n, no ponto de

oscilação, e ω0 a frequência do oscilador.

Em termos de coeficiente de reflexão, num dos portos de ligação da rede activa à passiva,

as condições de oscilação correspondem a:

|ρNL|.|ρC|=1 (6.11)

argρNL+argρC=0 (6.12)

em que ρNL e ρC são, respectivamente, os coeficientes de reflexão dos portos de interligação da

rede não linear (rede activa) e linear (rede passiva), respectivamente (fig. 6.1).

Imag.ZC (ω)

-ZNL(A)

Real

P

Figura 6.2 - Interpretação gráfica da condição de oscilação

4

As impedâncias ZNL e ZC são essencialmente função da amplitude e da frequência,

respectivamente, pois são relativas a um dispositivo não linear e a uma rede passiva. Na realidade

ZNL também é função da frequência, embora se possa considerar independente numa primeira

aproximação. Representando graficamente -ZNL(A) e ZC(ω), a intersecção das duas curvas (ponto

P da figura 6.2) corresponde precisamente ao ponto de oscilação do sistema em regime

permanente (ZNL+ZC=0). Também se poderia representar graficamente as variações dos

coeficientes de reflexão, ou do determinante do sistema, com o mesmo resultado.

6.2.2 - Estabilidade e condição de ruído mínimo

Entende-se por estabilidade de um oscilador a capacidade que este tem de voltar a um

dado estado de oscilação depois de uma pequena perturbação o ter desviado desse estado. A

condição de estabilidade, pode ser resumida pela condição seguinte [6.3]:

0AXRX

ARA

n

1i ii0i >∑

∂∂

ω∂∂−

ω∂∂

∂∂

=

∆∆∆∆ (6.13)

Esta condição de estabilidade é um invariante do oscilador. A desigualdade (6.13) em

termos gráficos, implica um ângulo Ψ, definido na fig. 6.3, compreendido entre 0 e π radianos.

Imag. ∆(ω,Vi)∆(ω,V10)

Real

Ψ

Figura 6.3 - Representação gráfica da condição de estabilidade

Pode-se ainda definir o coeficiente dinâmico normalizado Sn dado por:

ω∂∂+

ω∂∂

∂∂

∑+

∂∂

∂∂

ω∂∂−

ω∂∂

∂∂

=

∆∆∆

=

=

=

∆∆∆∆

222

i

n

1i0i

2

i

n

1i0i

n

1i ii10

nXR.

AXA

ARA

AXRX

ARA

S (6.14)

5

Este coeficiente é positivo quando o ponto de oscilação é estável, e igual a 1 quando os ruídos de

AM e FM são mínimos.

Pelas expressões matemáticas do ruído AM e FM, deduzidas por Kurokawa [6.4],

conclui-se que quando o ângulo Ψ formado pelas curvas da figura 6.3, no ponto de intersecção, é

de 90º, não há correlação entre aqueles ruídos o que leva à situação de ruído mínimo.

6.2.3 - Condições de arranque

Neste ponto aborda-se de forma qualitativa o processo de arranque das oscilações. Tal

como foi referido, no momento inicial não há senão ruído de baixo nível no circuito,

apresentando o ganho o seu valor mais elevado. Só o sinal com frequência para o qual o oscilador

foi projectado, e presente no ruído, é fortemente amplificado devido à selectividade da malha de

realimentação. Com o aumento da amplitude do sinal, o ganho vai decrescendo à medida que se

atinge o nível para o qual as não linearidades do circuito se fazem sentir. Esta variação do ganho

observa-se até o sistema atingir o seu ponto de equilíbrio. Simultaneamente com a diminuição do

ganho há um estreitamento da largura de banda do espectro do oscilador, o que provoca um

aumento da densidade de potência do sinal à frequência pretendida [6.5].

Ganhoinstantâneo emmalha fechada

Densidade depotência de

sinal

Ganho em t1

Ganho em t2

Largura de banda emregime permanente

Largura de banda em t2

Largura de banda em t1

Frequência

Frequência

1 Ganho em regimepermanente

Figura 6.4 - Variações do ganho em malha fechada e largura de banda

6

Na fig. 6.4 representam-se as variações do ganho de retorno e largura de banda na fase de

arranque (t1<t2). Todo o sinal fora da banda é atenuado. Este estreitamento da banda é semelhante

à resposta global de um amplificador com vários andares de banda estreita: o sinal é cada vez

mais concentrado numa banda cada vez mais estreita.

Do ponto de vista das impedâncias e de acordo com (6.7) e (6.8), este processo de

arranque implica as seguintes condições em sinais fracos:

|Re(ZNL)|≥Re(ZC) e Im(ZC)=-Im(ZNL) (6.15)

Na fig. 6.5 representa-se a variação do valor da parte real da impedância ZNL e ZC, em função da

potência de saída, e o ponto de funcionamento permanente P.

Re[ZC];-Re[ZNL]

Re[ZC]

-Re[ZNL(PO)]

Posc Pot. de saída

P

Figura 6.5 - Variação da parte real das impedâncias

Há autores [6.7] que utilizam a relação |Re[ZNL]|>1,2.Re[ZC], puramente empírica, para

garantir o arranque das oscilações.

Fazendo a análise com os factores de reflexão ρNL e ρC as condições de arranque obtêm-se

de (6.14):

|ρNL|.|ρC|>1, e argρNL+argρC=0 (6.16)

em que ρNL é o coeficiente de reflexão do bloco não linear e ρC o da rede ressonante.

Apesar da utilização deste critério (6.16) estar bastante generalizado para a análise do

arranque dos osciladores, ele não é rigoroso em todos os casos. Considerando os circuitos (A) e

(B) da fig. 6.6 e analisando-os pelos métodos tradicionais conclui-se que o circuito (A) tem os

seus pólos no semi-plano complexo esquerdo enquanto o (B) os tem no semi-plano complexo

direito. Por consequência o circuito (A) é estável e o (B) instável.

7

60Ω

(A) (B)

ρNLρCρNL 60Ω

-70Ω

ρC

-70Ω

Figura 6.6 - Circuitos para análise dos factores de reflexão

Os módulos dos coeficientes de reflexão ρNL e ρC são, respectivamente, 6 e 0,091 à

frequência de ressonância e tendo como referência 50Ω. Pelo critério (6.16) concluir-se que

ambos os circuitos são estáveis, o que é errado no caso (B). Este facto leva a admitir que a

condição estabelecida em (6.16) não é universal. Para a utilização de um critério mais preciso foi

proposto por Jackson [6.7] a aplicação do critério de Nyquist, escrito em termos das quantidades

normalmente utilizadas em microondas. Com este critério perde-se a informação da frequência,

mas ganha-se rigor na informação da instabilidade.

A função de transferência genérica de um sistema com realimentação, é:

io X)s(H)s(G1

)s(GX+

= (6.17)

em que X são as amplitudes genéricas dos sinais de entrada e de saída, G(s) a função da rede de

acção e H(s) a da rede de realimentação. O critério de Nyquist estabelece que para um sistema

estável com uma função de transferência em malha aberta, GH(s), o sistema em malha fechada é

instável se o ponto +1 é circundado pelo menos uma vez, na representação polar de GH(jω), com

−∞<ω<∞.

ZNL

ρNL ρC

ZCV+

V-

Vi

~

Figura 6.7 - Sistema genérico de microondas

8

Um sistema de microondas, como o representado na fig. 6.7, pode ser descrito por uma

expressão semelhante a (6.17). VI é uma onda de entrada emitida por uma fonte ideal através de

um acoplador, V+ pode ser considerada a onda de saída. Da fig. 6.7 tem-se:

V+=ρNL(Vi+V+)=ρNLVI+ρNLρCV+ (6.18)

donde a função do sistema se pode escrever na forma

iCNL

NL V)s()s(1

)s(Vρρ+

ρ=+ (6.18a)

Assumindo que ρNL representa um dispositivo potencialmente instável, o sistema será instável se

o ponto +1 for circundado pelo menos uma vez pela representação polar de ρNL.ρC(jω) com

−∞<ω<∞. Isto quer dizer que os pólos da função (6.18a) situam-se no semi-plano complexo

direito.

A fig. 6.8 é a representação polar dos coeficientes de reflexão dos circuitos da fig. 6.6,

onde se verifica uma antevisão correcta da estabilidade do circuito (A) e da instabilidade do

circuito (B).

180º

90º

270º

ρNL.ρC(A)

ρNL.ρC(B)

1 2 3

ω0

Figura 6.8 - Representação polar dos coeficientes de reflexão

6.3 - RUÍDO NOS OSCILADORES

Nos osciladores com transístores de efeito de campo os dois principais tipos de ruído são:

o ruído de 1/f (baixa frequência) e o ruído térmico às frequências mais elevadas.

9

Estes tipos de ruído criam flutuações no sinal por dois processos:

− Por conversão (mistura): o sinal do oscilador é modulado pelo ruído devido às não

linearidades do transístor. Deste modo a sua influência é predominante na proximidade da

portadora (frequência de oscilação).

− Por adição: a contribuição do ruído é directa somando-se ao sinal. Em geral, na proximidade

da portadora é mais baixo do que o ruído de conversão.

O sinal ideal de um oscilador pode ser representado pela relação:

( )tj0 0e.ARe)t(x ω= (6.19)

Na realidade existem diversas fontes de ruído que perturbam o funcionamento do sistema

e o sinal correspondente é:

( )))t(t(j0 0e).t(a1(ARe)t(x φ∆+ω∆+= (6.20)

sendo ∆a(t) e ∆φ(t) grandezas aleatórias que correspondem, respectivamente, às flutuações de

amplitude e fase do sinal. Na hipótese de flutuações aleatórias e estacionárias, o espectro de ruído

de um oscilador é caracterizado por duas grandezas espectrais:

− a densidade espectral de ruído de amplitude: SA(t);

− a densidade espectral de ruído de fase: Sφ(f) (a densidade espectral de ruído de frequência

também utilizada é deduzida a partir de Sφ(f)).

Como em baixa frequência o ruído de 1/f é superior ao térmico, que é suposto branco, junto à

portadora o ruído é essencialmente ruído de 1/f convertido.

Para ilustrar o espectro do ruído de fase de um oscilador apresenta-se o gráfico da fig. 6.9.

Sφ(f)

conversão de ruído térmico

ruído aditivo

f0 fα fβ Distância à portadora (f0)

conversão de ruído 1/f

Figura 6.9 - Representação do espectro do ruído de fase típico

10

6.5 - OSCILADORES COMANDADOS POR TENSÃO

Para se proceder à sintonia ou estabilizar a frequência de osciladores é corrente o recurso

a osciladores comandados por tensão (VCO - Voltage Control Oscillators). A frequência poderá

deste modo ser alterada electronicamente em malha aberta ou malha fechada. Neste último caso a

situação mais usual é a sua integração numa malha de captura de fase (PLL - phase lock loop).

Normalmente a tensão de comando altera a reactância de um ou mais componentes e, por

consequência, o ponto de equilíbrio do sistema.

Idealmente a variação de frequência não deveria ser acompanhada por variação da

potência de saída. Na prática há sempre pelo menos uma ligeira variação, porque a variação da

reactância é sempre acompanhada por uma alteração da resistência que afecta a potência do sinal

de saída. Existem vários tipos de VCO [6.7], sendo os mais simples aqueles que utilizam a

variação da própria tensão de alimentação do dispositivo para alterar a frequência. São muito

pouco usados porque têm a grande desvantagem da potência de saída ser bastante variável.

Outro tipo de osciladores são os sintonizados com YIG1. A esfera YIG é aplicada no

circuito oscilador e proporciona uma sintonia eléctrica de alto factor de qualidade (Q), a partir do

momento em que lhe é aplicado um campo magnético. O YIG é controlado por corrente porque a

frequência de ressonância é linearmente dependente da intensidade do campo magnético e este é

dependente da corrente de polarização.

O tipo de VCO mais utilizado é sintonizado com um díodo varicap. A reactância deste

dispositivo é função, normalmente não linear, da tensão que lhe está aplicada, permitindo alterar

a frequência do circuito oscilador. Ao contrário dos osciladores simples pode-se dizer que tem

uma rede ressonante activa.

No projecto de um VCO a primeira opção a fazer é escolher entre as alternativas

apresentadas nos parágrafos anteriores. Esta escolha é, como normalmente acontece, função da

aplicação. Pretendendo-se, na maioria dos casos, uma potência de saída constante a escolha fica

restrita aos YTO2 ou aos sintonizados por díodo varicap. A diferença fundamental entre ele é o

nível de ruído e a velocidade de resposta. Os YTO são mais lentos na variação de frequência mas

menos ruidosos. Hoje em dia a utilização de VCOs com díodos varicap está mais generalizada

por ser uma solução económica e também porque já há dispositivos, com zonas de variação da

1 YIG é a abreviatura de Ytrium-Iron-Garnet (Y3Fe5O12) um cristal magnético usualmente com a forma de uma esfera2 YTO é a abreviatura de Ytrium-Tunable-Oscillator

11

capacidade em função da tensão, praticamente lineares. Neste capítulo só é estudado este tipo de

VCO por ser o mais utilizado.

O díodo varicap deve ser escolhido com algum critério de modo a poder-se tirar o

máximo rendimento de VCO. Para o demonstrar recorre-se ao seguinte exemplo. Considerem-se

dois díodos varicap com as seguintes características capacitivas:

1) 100pF a 4pF

2) 2pF a 0,4pF

O díodo varicap 1) tem uma razão de capacidade de 25 enquanto que o 2) tem 5.

Pretendo-se um VCO com a frequência central a 10Ghz a reactância do varicap 1) varia de 0,16Ω

a 3,98Ω, e a do 2) varia de 8,0Ω a 39,8Ω. Neste caso a escolha acertada deve ser o 2) porque a

ordem de grandeza dos valores da reactância são semelhantes aos dos restantes elementos do

circuito, o que permite uma maior variação na frequência.

Se o VCO for para 1GHz a reactância do 1) varia de 1,6Ω a 39,8Ω e a do 2) de 80Ω a

398Ω. Agora a melhor escolha seria o 1), pelas mesmas razões.

A metodologia de projecto, à partida, pode ser semelhante à utilizada para os osciladores

monocromáticos. No entanto, é aconselhável a simulação nas frequências extremas pretendidas

para verificar se, com a topologia escolhida, a gama de variação necessária para os valores dos

componentes é compatível com os objectivos pretendidos. Outro dos aspectos a analisar, caso a

caso, é a colocação do elemento de reactância variável (díodo varicap). Dependendo da

tecnologia utilizada e/ou da banda desejada, pode não ser possível só com um díodo alcançar o

objectivo pretendido. Infelizmente, não há nenhuma regra nem procedimento para a definição da

melhor topologia. Somente a experiência e a sensibilidade do projectista pode levar aos melhores

circuitos. Na figura 6.10 apresentam-se de uma forma genérica, as seis configurações básicas

mais comuns para circuitos VCOs com TECMES [6.8].

Como exemplo de aplicação refere-se o trabalho apresentado em [6.9] onde se relatam os

resultados do estudo do funcionamento de dois tipos de circuitos para VCO com TECMES:

− realimentação série, com um condensador na fonte, a saída no dreno e um varicap na porta

(4);

− realimentação série, com uma bobina no dreno, a saída na fonte e um varicap na porta (6);

12

Fonte comum Porta comum Dreno comum

1

4

3

65 SD

2 DS

Figura 6.10 - Configurações básicas mais comuns para circuitos VCOs com TECMES

Ambos os circuito mostraram desempenhos semelhantes. No entanto, o primeiro mostrou-

se mais simples de ajustar em baixas frequências (3GHz<f<5GHz) e o segundo em frequências

mais elevadas (12GHz<f<16GHz).

Num oscilador sintonizado por um varicap é a susceptância apresentada pelo dispositivo

activo e circuitos associados que limitam em primeira análise, a banda de sintonia pelo que é

muito importante a escolha da topologia.

Considere-se a admitância do transístor e circuitos associados, Y=G(ω)+jB(ω), presente

aos terminais do díodo varicap e, representada na fig. 6.11, em que G(ω) e B(ω) < 0.

Rcarga

Y=G(ω)+jB(ω)

Transístor+

redepassiva

Figura 6.11 - Representação geral de um oscilador sintonizado por um díodo varicap

A gama de variação de frequência do VCO é limitada às frequências que verificam as

igualdades:

Cmin.ωmax = -B(ωmax) e Cmax.ωmin = -B(ωmin)

13

Para se aumentar a banda de funcionamento, com a mesma relação de capacidades do

díodo, torna-se necessário diminuir a relação B(ωmin)/B(ωmax). Colocando uma bobina, tal como

se mostra na fig. 6.12, a relação de susceptância passa a ser:

maxCmax

minCmin

maxT

minT

L1)(B

L1)(B

)(B)(B

ω+ω

ω+ω

=ωω (6.21)

Rcarga

Transístor+

redepassiva

LC

Figura 6.12 - Esquema do oscilador com a bobina adicional LC

Na fig. 6.13 representa-se a curva da variação de -B(ω), -BT(ω) e as curvas correspondentes à

susceptância de Cmin.ω e Cmax.ω, sendo Cmin e Cmax os valores extremos da capacidade do díodo

varicap. Conforme se verifica na figura, a banda (f1max-f1min) correspondente ao sistema sem a

bobina LC é bastante menor que a banda (f2max-f2min) relativa ao sistema já incluindo a bobina.

Susceptância

Cminω

Cmaxω

f1min f2min f1max f2max ω

-B(ω)

-B(ω)-(1/LCω)

Figura 6.13 - Gráfico com as curvas de variação da susceptância

Na prática o valor da indutância tem de ser optimizado porque existe sempre uma

indutância em série (LV) com a capacidade do díodo varicap. As expressões (6.22) [6.9] levam-

nos a um valor da bobina LC, a colocar em paralelo, que poderá servir de partida para a

optimização.

14

0QPP

1L2C ≥−±

= (6.22)

com

−ω

ω+ω

ω=VHT

H

LT

LL1

)(X)(X.

21P (6.22a)

H

maxL

L

HHT

maxL

LT

H

VHTLT

HL )(X)(X.L1

)(X).(X.Q

ωρω−

ωω

ωρω−

ωω

−ωω

ωω= (6.22b)

minCCmax

max =ρ (6.22c)

LV é a indutância série (parasita) com a capacidade do díodo; XT é a reactância total do conjunto

díodo varicap mais bobina série LV; ωL é a frequência mínima e ωL é a frequência máxima.

Principalmente em osciladores com transístores de feito de campo e para frequências

relativamente baixas, o valor necessário para LC pode ser incompatível com a utilização de

tecnologias monolíticas (principalmente nas de Silício), devido ao forte carácter capacitivo

daqueles dispositivos.

PROJECTO DE OSCILADORES

O método que vai ser descrito baseia-se na aproximação de considerar que no dispositivo

activo, descrito pela sua matriz de dispersão [S], só o módulo de S213 se altera, em sinais fortes e

essa alteração é obtida a partir de uma fórmula empírica. É de esperar que para não linearidades

fracas isto aconteça porque a transcondutância do transístor (y21) será o primeiro elemento a ser

afectado pelo aumento da amplitude da tensão de base ou de porta.

Potência adicionada

Considere-se o diporto da figura 6.14 caracterizado à frequência f0 pelos seus parâmetros

Y de sinais fortes dependentes da tensão V1. Define-se potência adicionada (PAD) como a

potência gerada pelo diporto:

3 Se o dispositivo for descrito pela sua matriz dos yy será só o módulo de y21 que varia.

15

V2[Y(V1)] YC

I1

V1

PIN POUT

Figura 6.14 - Diporto não linear carregado

PAD=POUT-PIN (6.23)

A qual se pode calcular para um dado V1 fixo em função do ganho de tensão AV=V2/V1 [6.10]:

+++−= V12112

V22*

V212

1AD AYYAYAYReVP (6.24)

O ganho de tensão que maximiza PAD, para uma dada tensão V1, e por conseguinte para um dado

conjunto de parâmetros Y, é dado por:

)YRe(2YYA0

AP

22

21*

12Vopt

V

AD +−=⇒=∂∂ (6.25)

Este ganho é obtido com uma admitância de carga

22*1221

2221Copt Y

YY)YRe(Y2Y −

+= (6.26)

a que corresponde uma admitância de entrada igual a

)YRe(2YYY

YY22

2121221

11INopt+

−= (6.27)

Note-se que, se o diporto tiver fraca retroacção, Y12≈0, então YCopt=Y22* que é a condição

de adaptação conjugada na saída.

Condição de máxima eficiência

Como PAD=f(AV, V1), para calcular o máximo absoluto de (6.24) basta achar o valor de

V1 que com AV=AVopt maximiza PAD.

Pode mostrar-se [6.10] que a seguinte fórmula empírica é válida

16

−−=

SAT

IN0SATOUT P

PGexp1PP (6.28)

em que PSAT é a potência de saturação na saída e G0 é o ganho para a máxima eficiência (GME)

em sinais fracos. O GME de um diporto [6.11] é o seu ganho de potência quando a potência

adicionada é máxima, ou seja, quando AV=AVopt ou YC=YCopt. Então de (6.26) tem-se:

−==

= 1yyK2

1yy

PPG

12

21

2

12

21

AAIN

OUTME

VoptV

(6.29)

onde K é o factor de estabilidade de Linvill. A maximização de (6.24) em ordem a V1 (AV=AVopt)

obriga-nos a conhecer a dependência dos parâmetros Y com V1. Substituindo (6.28) em (6.23) e

derivando, obtém-se:

1P

PGexpPGP

PP

SAT

IN0

SAT

0SAT

IN

AD −

−=

∂∂ (6.30)

Igualando a zero (6.30) calcula-se a potência de entrada PIN (ou V1) que nas condições de

AV=AVopt maximiza PAD:

0

)0SATmaxIN G

Gln(PP = (6.31)

Nestas condições pode calcular-se o GME que é dado por:

)Gln(1G

PPG

0

0

IN

OUTmaxME

−== (6.32)

Esta fórmula permite, devido à expressão (6.28), obter o ganho de máxima eficiência

óptimo em sinais fortes, a partir dos parâmetros Y de sinais fracos. A expressão também pode ser

deduzida em termos dos parâmetros S

−=

1SSK2

1SS

G

12

21

2

12

21

ME (6.33)

17

onde K é o factor de estabilidade definido no capítulo 3 e ∆ o determinante da matiz S.

O método de caracterização empírica de um diporto por parâmetros S de sinais fortes

resume-se aos seguintes procedimentos:

1 -Calcular G0 pela expressão (6.33) a partir dos parâmetros S de sinais fracos, que normalmente

são fornecidos pelo fabricante.

2 -Através da expressão (6.32) calcula-se o valor de GMemax.

3 -Fazendo GME=GMemax, da expressão (6.33) pode-se calcular o |S21| de sinais fortes para PInmax

invertendo a fórmula.

Os restantes parâmetros S de sinais fortes são idênticos aos de sinais fracos.

Para determinar as tensões e correntes na entrada e saída do diporto nas condições de GMemax,

tem de se calcular, em primeiro lugar, V1max a partir de (6.27) e de (6.31). Para o cálculo de PSAT,

pode-se usar, o valor do ponto de compressão a -1dB.

POUT

PSATPOUTx x

PINx PIN

G0Gmax x

PINx PIN

Figura 6.14 - Gráficos de , a) POUT(PIN), b) GME(PIN)

Na figura 6.14 estão representadas a curva POUT(PIN) definida pela fórmula (6.28) e a curva de

GME(PIN), que é dada por:

−−=

SAT

IN0

IN

SATME P

P.Gexp1.P

PG (6.34)

O fabricante costuma fornecer o valor de POUTx, pelo que a partir de (6.28) como PInx.GMEx=POUTx

obtém-se a equação

1PP.xexp1.

PP

SAT

OUTx

OUTx

SAT =

−− (6.35)

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em que x=G0/GMex=100,1. Resolvendo esta equação não linear com um método iterativo obtém-se

PSAT. Convém frisar que, como as fórmulas (6.24) a (6.35) pressupõem que estamos com

YC=YCOPT (para cada V1 ou PIN), o ponto de compressão também devia ser metido nestas

condições.

Osciladores de máxima instabilidade

Considere um transístor carregado por uma carga ZC e sem realimentação. A condição de

oscilação R<0, pode ser expressa em função do factor de reflexão de entrada em que |ρe|>1. De

facto, se para qualquer valor de carga o módulo do factor de reflexão de entrada fôr inferior à

unidade, não é possível pôr esse transístor a oscilar. Como já se viu no capítulo 3 tal acontece

quando o transístor é incondicionalmente estável. Na prática, teremos portanto de escolher um

dispositivo que, à frequência a que se pretende obter a oscilação, tenha K<1. (ver capítulo 3).

Transístor[S] ZC|ρe| > 1

ρe ρC

Figura 6.15 - Factor de reflexão de entrada do oscilador: condição de oscilação

Tendo escolhido um transístor, o primeiro passo do projecto consiste em desenhar na

Carta de Smith o lugar geométrico do factor de reflexão na carga (ρC) que conduz a |ρe|=1 (que

como se viu no capítulo 3 é uma circunferência) e determinar a zona de instabilidade na carta. É

nessa zona que se vai escolher ρC ao contrário do que se fazia no projecto de amplificadores.

No segundo passo, determina-se o valor do factor de reflexão de gerador (ρg) que o

transístor deve ver na entrada. Para tal pode-se usar a configuração da figura 6.16 e comparando

com a figura 6.1 vem de 6.11 e 6.12

eg

=ρ (6.36)

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Transístorcom a carga

ZC

Zg

|ρe| > 1

ρeρg

Figura 6.16 - Factor de reflexão de entrada do oscilador: condição de oscilação

Tendo determinado ρg e ρC, podemos passar a exemplificar o projecto concreto de um

oscilador.

Exemplo prático:

Nem sempre é fácil encontrar um transístor com |K|<1. No entanto, o HXTR 4101 da HP,

especialmente projectado para a concretização de osciladores apresenta, na sua configuração em

base comum, a 2Ghz, o seguinte conjunto de parâmetros S:

s11=0.964∠ 144° s21=1.95∠ -59° s12=0.039∠ 120° s22=1.068∠ -45°

De (3.21) e (3.23) obtem-se:

∆=0.97075∠ 101.8° e K=-0.83865

confirmando que K<1. Vamos então desenhar na Carta de Smith a circunferência de instabilidade

da carga dada por (3.26) e (3.27):

Cc=0.71084∠ 63.9° e Rc=0.38358

Pode-se verificar que |Cc|-Rc>0 e que, portanto, o cículo não contem o centro da Carta de Smith,

sendo a área dentro dele de instabilidade. É dentro desse cículo que vamos escolher ρc, resta

escolher onde.

É natural considerar a priori que a solução seja única uma vez que se pretende obter o

ponto de máxima instabilidade isto é o ponto em que |ρe| é o maior possível mantendo |ρc|<1

(cargas passivas).

Relembrando que

c22

c211211e S1

SSSρ−ρ+=ρ

(6.37)

o módulo do factor de reflexão de entrada (ρe) é máximo quando for infinito ou seja quando

ρc=1/s22 e portanto só é possível utilizar este critério se |s22|>1 (pode fazer-se um raciocínio

20

idêntico com |ρs| e s11). Neste caso a malha de entrada fica simplificada pois ao impôr a condição

de oscilação (6.36) obte-se |ρg|=0 pelo que o oscilador não necessita de malha de adaptação de

entrada.

Para outros casos, ou seja casos em que K<1 mas |s11| e |s22| são menores que 1 pode

demonstrar-se ρe se encontra sobre circunferências cujos centros (6.38) e raios (6.39) são função

do valor que se pretende para |ρe|>1, |ρe|=X. Na condição limite |ρe|=1 são iguais às

circunferências de estabilidade da carga (3.26) e (3.27) de finidas no capítulo 3 enquanto na

condição limite |ρe|=∞ RC=0 e CC=1/s22.

2222

2

2*22

*11

cX|S|||

XSS)X(C−∆−∆= (6.38)

2222

22112

cX|S|||

SXS)X(R−∆

= (6.39)

Nestes casos, em que |s22|<1, a máxima instabilidade que se pode obter é aquela para a qual a

circunferência |ρe|=X é tangencial à Carta de Smith (|CC(X)|=RC(X)+1 ou RC(X)=CC(X)+1) em

que X é dado por (6.40):

222

22222

|S|1

)11s)(22s1(21s12s21s12sX

−∆−−+=

(6.40)

e o valor de |ρc| que deve ser adoptado é o ponto tangencial à Carta de Smith, isto é

ρe=1∠ argCC(X) ou ρe=1∠ argCC(X)+180°. Quanto a ρe, cujo módulo já sabemos ser dado por X,

é calculado por (6.37) e depois aplicada a condição de oscilação (6.36) o que nos permite

dimensionar a malha de entrada.

BIBLIOGRAFIA

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Primer Armonico", Tesis Doctoral, ETSI Telecomunication U.P. Madrid, 1983.

21

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Theory and Tech., vol. MTT-40, n03, Março, 1992.

[6.8] - T. Ohira, et al., "MMIC 14GHz VCO and Miller Frequency Divider for Low-Noise Local

Oscillators", IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech., vol. MTT-35, n07, pp.657-

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Oscillators", IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech., vol. MTT-34, n010, pp.1059-

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Microwave Theory and Tech., vol. MTT-27, n03, Março, 1979.

[6.11]- K. L. Kotzebue, "Maximally Efficient Gain: A Figure of Merit for Linear Active 2-Ports",

Electronic Letters, vol. 12, n019, Setembro, 1976.