Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας - ύλης

� Χρήσιµα µεγέθη

Ενεργός διατομή είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μία αλληλεπίδραση

με ένα σωμάτιο μίας προσπίπτουσας δέσμης πάνω σε κάποιο υλικό.

Γεωμετρικά αντιστοιχεί σε μία ενεργό επιφάνεια κάθετη στη προσπίπτουσα

δέσμη, στην οποία αν πέσει ένα σωμάτιο της δέσμης θα συμβεί

αλληλεπίδραση.

Σημειώσεις:

� Μονάδα της ενεργού διατομής είναι το 1 barn = 10-24 cm-2

� Η ολική ενεργός διατομή για την αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη είναι το

άθροισμα των ενεργών διατομών όλων των επιμέρους μηχανισμών αλληλεπίδρασης.

Η πιθανότητα αυτή (σ) για μία επιφάνεια S πάχους dx υλικού πυκνότητας Ν

πυρήνων/cm3 στην οποία προσπίπτει δέσμη ροής nο σωμ./sec είναι

ΝσdxS

σSNdxπυρήνων αρ.

=

321

και η πιθανότητα αλληλεπίδρασης για n σωμάτια της δέσμης

dn=-nNσdx

όπου το μείον εκφράζει την ελάττωση των σωματίων καθώς η δέσμη

εξασθενεί. Έτσι με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης βρίσκουμε

nx=noe-Nσx=noe

-μx

που μας δίνει τον αριθμό των σωματίων που παραμένουν στην δέσμη και

μ=σΝ=σρ(ΝΑ/Α)

ο γραμμικός συντελεστής εξασθένησης που είναι ένα μέτρο της πιθανότητας

αλληλεπίδρασης ακτινοβολίας-ύλης, όπου

ρ – πυκνότητα του υλικού

Α – ατομικό βάρος του υλικού

ΝΑ – αριθμός Avogadro

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 2

Η ποσότητα μ/ρ ονομάζεται μαζικός συντελεστής εξασθένησης και η

ποσότητα

μ

1

dxe

dxxe

λ

0

μx-

0

μx-

==

∫

∫∞

∞

ονομάζεται μέση ελεύθερη διαδρομή και είναι η κατά μέσο όρο απόσταση που

διανύει ένα σωμάτιο μεταξύ δύο σκεδάσεων.

Παράδειγμα 1:

(∂7 «¶.º. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· & ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜» ™·ÎÂÏÏ›Ô˘-™·ÚËÁÈ¿ÓÓ˘)

Οι ολικές ενεργές διατομές σε barns/atom για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, το

φαινόμενο Compton και τη σκέδαση Rayleigh για φωτόνια ενέργειας 30keV είναι

αντίστοιχα 1,035⋅10-4, 5,924⋅10-1 και 5,062⋅10-3 για το Η2 και 4,247, 4,286 και 1,389 για

το Ο2. Να βρεθούν ο μαζικός συντελεστής εξασθένισης του Η2Ο και η αντίστοιχη

μέση ελεύθερη διαδρομή.

Η ολική ενεργός διατομή είναι το άθροισμα των αντίστοιχων μερικών ενεργών

διατομών αφού οι τελευταίες είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους:

σολ = σφωτ + σComp + σRayl

Έτσι σε ενέργεια 30keV βρίσκουμε ότι:

σολ(Η)=0,598 barn/atom και σολ(Ο)=10,102 barn/atom

Η ολική ενεργός διατομή για το Η2Ο είναι:

σ(Η2Ο)=2σ(Η)+σ(Ο)=11,3 barn/mol

Σημείωση:

Υποθέσαμε ότι η παρουσία κάθε ατόμου σε μία ένωση (εδώ το Η2Ο) ή σε μείγμα δεν

μεταβάλλει τη πιθανότητα των γειτονικών του ατόμων να αλληλεπιδράσουν με την

ακτινοβολία. Ο νόμος αυτός, νόμος των μειγμάτων του Bragg, είναι μία καλή

προσέγγιση και χρησιμοποιείται ευρύτατα όταν δεν αναφέρεται σε πολύ χαμηλές

ενέργειες φωτονίων, οπότε δεν μπορούν να αγνοηθούν οι τυχόντες μοριακοί ή

κρυσταλλικοί δεσμοί.

Ο μαζικός συντελεστής εξασθένισης για το Η2Ο είναι:

μ/ρ (Η2Ο) = (ΝΑ/ΜΒ) σ(Η2Ο) = 0,378 cm2/gr

Σημείωση:

Χρησιμοποιώντας την υπόθεση ισχύος του νόμου των μειγμάτων θα ισχύει και

μ/ρ (μείγματος)= ( )∑στοιχεία

στοιχ στοιχρ

μ΅W

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 3

όπου Wστοιχ η κατά βάρος συμμετοχή του κάθε στοιχείου στο μείγμα με

∑ =στοιχεία

στοιχ 1΅W

Έτσι λ=1/μ=2,65cm

Παράδειγμα 2:

(∂10 «¶.º. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· & ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜» ™·ÎÂÏÏ›Ô˘-™·ÚËÁÈ¿ÓÓ˘)

Σε ένα πείραμα απορρόφησης γ-ακτινοβολίας ενέργειας 10keV χρησιμοποιείται σαν

απορροφητής μείγμα Be-Fe πάχους 0,05cm. Αν η εξασθένηση της ακτινοβολίας

βρέθηκε ίση με 18%, να υπολογιστούν οι κατά βάρος εκατοστιαίες περιεκτικότητες

των Be και Fe στο μείγμα. ∆ίνονται ρ(Βe)=1,85gr/cm2, ρ(Fe)=7,86gr/cm3 και

μ/ρ(Be)=0,623cm2/gr, μ/ρ(Fe)=169cm2/gr.

Η ένταση της ακτινοβολίας ελαττώνεται με το νόμο Ι=Ιοe-μx.

Εξασθένιση 18% σημαίνει ότι I/Io=0,82 οπότε

x

)ln(I/Iμμx

I

Iln 0

0

−=⇒−= =3,97 cm-1

Όπως είδαμε στο παράδειγμα 1 θα ισχύει για το μείγμα

ρ

μ(μείγματος)=WFe

ρ

μ(Fe)+WBe

ρ

μ(Be) (1)

με WFe+WBe=1 (2)

Για να βρεθούν τα W από τις παραπάνω σχέσεις πρέπει να γνωρίζουμε τη

πυκνότητα του μείγματος, που όμως δεν δίνεται.

Αν το μείγμα ήταν καθαρός Fe η ένταση της εξερχόμενης ακτινοβολίας θα ήταν:

I/I0(Fe)=e-μ(Fe)x=1,43⋅10-29

Ενώ αν το μείγμα ήταν καθαρό Be

I/I0(Be)=0,94

που είναι κοντά στη τιμή 0,82 που μετρήθηκε.

Μπορούμε επομένως να συμπεράνουμε ότι η συμμετοχή του Fe στο μείγμα είναι

μικρή και δεν επηρεάζει πρακτικά την πυκνότητα. ∆εχόμαστε δηλαδή ότι

ρμείγματος=ρBe

οπότε από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουμε:

WFe=0,9% και WBe=99,1%

που κάνει αποδεκτή την υπόθεση ότι η περιεκτικότητα του μείγματος σε Fe δεν

επηρεάζει την πυκνότητα.

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 4

Αλληλεπίδραση των φωτονίων µε την ύλη

Η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (ακτινοβολία-γ / φωτόνια) αλληλεπιδρά με

την ύλη με τρεις κυρίως διαδικασίες:

- το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο (κυριαρχεί στις χαμηλές ενέργειες)

- τη σκέδαση Compton (κυριαρχεί στις ενδιάμεσες ενέργειες)

- τη δίδυμη γένεση (σε υψηλές ενέργειες).

Ακολουθούν οι θεωρητικές αντιμετωπίσεις των φαινομένων αυτών.

™‡Ì‚·ÛË:

Στα τριανύσματα και στα τετρανύσματα τον δείκτη που αναφέρεται στη ταυτότητα του

σωματιδίου θα τον βάζουμε κάτω αριστερά του γράμματος που αναπαριστά το άνυσμα.

Εξαίρεση θα αποτελούν τα βαθμωτά μεγέθη στα οποία θα τον τοποθετούμε κάτω δεξιά.

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 5

���� Φωτοηλεκτρικό φαινόµενο

Είναι η απορρόφηση ενός φωτονίου από τροχιακό ηλεκτρόνιο και όχι από

ελεύθερο ηλεκτρόνιο (γιατί παραβιάζεται η αρχή διατήρησης του

αναλλοίωτου της τετραορμής).

Ας υποθέσουμε ότι η σκέδαση γίνεται από ελεύθερο και «ακίνητο»

ηλεκτρόνιο, γιατί συνήθως η ενέργεια της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι

πολύ μεγάλη σε σχέση με τις ενέργειες των τροχιακών ηλεκτρονίων.

Εάν

ep = (Ee , ep)

γp = (Εγ , γp)

είναι οι τετραορμές του ηλεκτρονίου και του φωτονίου αντίστοιχα πριν την

απορρόφηση του φωτονίου από το ηλεκτρόνιο και

ep’ = (eE’, ep’)

η τετραορμή του ηλεκτρονίου μετά την απορρόφηση (τονούμενα σύμβολα)

τότε λόγω της διατήρησης αναλλοίωτου της τετραορμής στο σύστημα του

εργαστηρίου (LS) όπου

ep = 0 ⇒ Ee = me

θα είναι

(ep + γp)2 LS = (ep’)

2 LS ⇒

me2 + 0 + 2 epγp LS = me

2 ⇒

EeEγ – ep⋅γp = 0 ⇒

meEγ = 0 ⇒ Eγ = 0

που είναι άτοπο καθώς δεν υπάρχει σύστημα αναφοράς στο οποίο το

φωτόνιο να είναι ακίνητο.

Παρατήρηση:

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε αν χρησιμοποιήσουμε πιο «κλασική» προσέγγιση

με τις αρχές διατηρήσεως ενέργειας και ορμής αφού είναι ισοδύναμες με το

αναλλοίωτο της τετραορμής.

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 6

Το φωτοηλεκτρόνιο, το ηλεκτρόνιο δηλαδή που απομακρύνεται από το άτομο

κατά το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, δεν ήταν ελεύθερο αλλά ένα από τα

ισχυρά συνδεδεμένα στο άτομο ηλεκτρόνια (≈ 80% του φαινομένου

αντιστοιχεί σε Κ-ηλεκτρόνιο) εξασφαλίζοντας έτσι την ανάκρουση όλου του

ατόμου μάζας Μ. Η ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ·Ó¿ÎÚÔ˘Û˘ ÙÔ˘ ·ÙfiÌÔ˘ είναι

2M

E

2M

pT

2γ

2M

M ≤=

βλέπουμε δηλαδή πως ακόμη και αν δεχθούμε ότι το άτομο παίρνει το

μεγαλύτερο μέρος από την ορμή του φωτονίου Eγ, επειδή Μ >> Εγ η ενέργεια

ανάκρουσης του ατόμου στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο είναι αμελητέα.

Παράδειγμα:

Για φωτόνια Εγ=30keV που προσπίπτουν σε O2 (mn≅1GeV, οπότε για O2 Μ≅16GeV)

πρoκύπτει ότι ΤΜ≅0,028eV που είναι όντως αμελητέα σε σχέση με την Εγ.

Η ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· Τe ÙÔ˘ ʈÙÔËÏÂÎÙÚÔÓ›Ô˘ είναι

Te = Εγ – Ιe

όπου Ιe η ενέργεια σύνδεσης του ηλεκτρονίου. Αυτή για Κ-ηλεκτρόνιο

βρίσκεται από τη προσεγγιστική σχέση

Ικ (eV) = 13.6 (Z-1)2

όπου Ζ ο ατομικός αριθμός του ατόμου.

Η ÂÓÂÚÁfi˜ ‰È·ÙÔÌ‹ (πιθανότητα του φαινομένου ανά κέντρο σκέδασης και

μονάδα επιφάνειας) του φωτοηλεκτρικού φαινομένου, σph, βρέθηκε

πειραματικά ότι ακολουθεί μια ισχυρή εξάρτηση ανάλογη των Z και Εγ:

για Εγ >> Ικ → σph ∼ Ζ5/Εγ

για Εγ > Ικ → σph ∼ Ζ5/Εγ

7/2

Κατά συνέπεια η φωτοηλεκτρική αλληλεπίδραση γίνεται πολύ πιθανότερη

στα βαρύτερα υλικά και / ή στις χαμηλότερες ενέργειες.

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 7

���� ∆ίδυµη γένεση (pair production)

Η διάσπαση φωτονίου σε ζεύγος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου (e-,e+). Το

φαινόμενο αυτό ∆ΕΝ λαμβάνει χώρα στον ελεύθερο χώρο αλλά απαιτεί τη

παρουσία πεδίου Coulomb.

Υποθέτουμε ότι μπορεί να πραγματοποιηθεί η αντίδραση στο κενό:

γ → e+ + e-

Τότε λόγω της διατήρησης του αναλλοίωτου της τετραορμής στο σύστημα

κέντρου μάζας (CMS) όπου ισχύουν

∑∑∑ =⇒= mE0CMSCMS

p

θα είναι

(γp)2 CMS = (+p + -p)

2 CMS ⇒

0 = +p2 + -p

2 + 2-p+p CMS = 22em + 2(E+E-) = 4

2em ≠ 0

που σημαίνει ότι η παραπάνω αντίδραση δεν είναι εφικτή και αφού δεν

πραγματοποιείται σ’ ένα σύστημα αναφοράς δεν μπορεί να λάβει χώρα

οπουδήποτε αλλού.

Έτσι συνάγουμε ότι “για να διατηρηθεί η ορμή” στη δίδυμη γένεση απαιτείται

η παρουσία κάποιου πεδίου (συνήθως πυρήνα, ο οποίος πρέπει να δρα σαν

“καταλύτης” σε φαινόμενα ανάδρασης). Πρακτικά ο πυρήνας μέσω του

πεδίου Coulomb, απορροφά μέρος της ορμής της αντίδρασης, αλλάζει την

κινητική του κατάσταση αλλά όχι και τη φύση του. Θα υπολογίσουμε την

ελάχιστη κινητική ενέργεια (ενέργεια κατωφλίου) που πρέπει να έχει το

φωτόνιο για να παρατηρηθεί το εν λόγω φαινόμενο.

Υποθέτουμε ότι ο

πυρήνας αρχικά είναι

ακίνητος και έτσι για την

αντίδραση

γ + Ν → e+ + e- + Ν

Ν Ν

γp

+p

-p

Np γ

e+

e-

LS CMS

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 8

λόγω του αναλλοίωτου σε οποιοδήποτε σύστημα αναφοράς θα έχουμε:

(γp + Νp)2 LS = (+p + -p + Np)

2 CMS ⇒

(Eγ + EN)2 LS – (γp + 0)

2 LS =

(E+ + E- + EN)2 CMS - (+p + -p + Np)

2 CMS ⇒

(Eγ + M)2 - 2

γE = (me + me + M)2 ⇒

2ΜΕγ + Μ2 = 4me

2 + M2 + 4meM ⇒

M

2m2mE

2e

eγ +=

Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι:

αν M >> me τότε Eγ = 2me = 1 MeV

αν M = me τότε Eγ = 4me= 2 MeV

δηλαδή αν η δίδυμη γένεση γίνει στο πεδίο ενός ηλεκτρονίου τότε το φωτόνιο

θα πρέπει να διαθέτει διπλάσια ενέργεια απ’ ότι στην περίπτωση όπου αυτή

πραγματοποιείται στο πεδίο του πυρήνα του ατόμου. Αυτό οφείλεται στο ότι

EΝ < Τe δηλαδή η κινητική ενέργεια που αποκτά ο πυρήνας είναι μικρότερη

από την κινητική ενέργεια που θα αποκτούσε ένα ηλεκτρόνιο στη θέση του.

Ερώτηση:

∆È Û¯¤ÛË ¤¯Ô˘Ó ÔÈ ÎÈÓËÙÈΤ˜ ÂÓ¤ÚÁÂȘ ÙÔ˘ ˙‡ÁÔ˘˜ ËÏÂÎÙÚÔÓ›ˆÓ Î·È ÙÔ˘ ,˘Ú‹Ó· ÛÙËÓ

,ÂÚ›,ÙˆÛË ,Ô˘ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ¤Ó· ,ÚˆÙfiÓÈÔ;

Η διαθέσιμη ενέργεια για την αντίδραση είναι Εγ-2me=2me2/M, όπου Μ=mp≅1GeV.

Υπολογίζεται περίπου στα 5keV, είναι μικρή και θα μοιραστεί σαν κινητική ενέργεια

στα προϊόντα. Στο σύστημα κέντρου μάζας τα προϊόντα είναι ακίνητα, οπότε στο

σύστημα του εργαστηρίου θα έχουν όλα την ίδια ταχύτητα β, εκείνη του κέντρου

μάζας. Οπότε επειδή η διαθέσιμη ενέργεια είναι μικρή μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε τις κλασικές σχέσεις:

M

2m

Mβ2

1

(2m)β2

1

T

T

2

2

M

ee ==−+

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 9

���� Σκέδαση Compton

Ένα φωτόνιο σκεδάζεται από ένα (σχεδόν ελεύθερο) ατομικό ηλεκτρόνιο,

χάνοντας μέρος της ενέργειας του την οποία αποκτά το σκεδαζόμενο

ηλεκτρόνιο.

Φωτόνιο ενέργειας Εγ συγκρούεται με ηλεκτρόνιο που κινείται κατ’ αντίθετη

φορά με ορμή ep και σκεδάζεται σε γωνία θ ως προς την αρχική του

διεύθυνση. Θα υπολογίσουμε την ενέργεια Εγ’ του φωτονίου μετά τη σκέδαση.

Έτσι για τις αναπαραστάσεις

γp = (Eγ, γp)

ep = (Ee, ep)

γp’ = (E’γ, γp’)

ep’ = (E’e, ep’)

λόγω του αναλλοίωτου της τετραορμής θα είναι:

γp + ep = γp’ + ep’ ⇒ (ep’)2 LS = (γp + ep - γp’)

2 LS

(όπου οι υπολογισμοί θα γίνουν στο LS γιατί στο CMS Εγ’ = 0 – άτοπο.)

⇒ ( ) ( )22

γeγ2e EEEm ppp γeγ

′−+−′−+= ⇒

⇒ +′−+−+−= 2γ

2

΅

'γ

22e

2γ

2γ

2e EΕEm ppp e

+2EeEγ-2EeEγ’-2EγEγ’-2ep⋅γp+2ep⋅γp’+2γp⋅γp’

Όμως

2γ΅

2γE p− = 0m'E 2

γ2

γ΅2γ ==′− p και 2

e2

e΅2e mΕ΅ =− p

και έτσι καταλήγουμε σε

EeEγ-EeEγ’-EγEγ’-ep⋅γp+ep⋅γp’+γp⋅γp’=0

Επίσης

Εγ = γp και Ε’γ = γp’

ep⋅⋅⋅⋅γp = epγpcosπ = -epγp = -Eγep

ep⋅⋅⋅⋅γp’ = epγp’cos(π-θ) = -epγp’cosθ = -E’γepcosθ

γp⋅⋅⋅⋅γp’ = ãpγp’cosθ = EγΕ’γcosθ

οπότε θα είναι:

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 10

EeEγ-EeEγ’-EγEγ’+ Eγep-E’γepcosθ + EγΕ’γcosθ = 0 ⇒

⇒ ( )

( ) ( )cosθEEE

ΕΕE

eγeγ

eeγ'γ

p

p

−−++

=

Αν τώρα θεωρήσουμε το ηλεκτρόνιο αρχικά

ακίνητο (σχήμα), δηλαδή ep=0 (⇒ Εe=me)

τότε προκύπτει η σχέση που συνήθως δίνεται

στη βιβλιογραφία για το φαινόμενο Compton:

( )cosθ1EE

ΕΕE

γe

eγ'γ −+= ⇒

( )cosθ1m

E1

Ε̈́E

e

΅γ

γ΅

γ΅

−+=′

Η ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ʈÙÔÓ›Ô˘ προκύπτει για σκέδαση σε γωνία θ=π:

e

γ

γ

γ

m

E1

ΕE

+=′

Μπορούμε να υπολογίσουμε τη Û˘¯ÓfiÙËÙ· ω’ ÙÔ˘ ʈÙÔÓ›Ô˘ μετά την

ανάκλαση αν γνωρίζουμε την αρχική του συχνότητα ω (γιατί Εγ=hω) μέσω

μιας βολικής σχέσης, καθώς:

( )⇒−=−⇒−=−

cosθ1m΅Ε

1

΅Ε

1cos΅θ1

EE

EEm

γ΅

'γ

'γγ΅

'γγ

( )2

΅θsin

m

2cosθ1

mλ'-λ

ω

1

ω'

1 2hh=−==−

Για δύο διαδοχικές σκεδάσεις Compton σε γωνίες θ1, θ2 θα είναι

( )1e

γ

γ

γ

cosθ1m

E1

ΕE

−+=′ ,

( )2e

γ

γ

γ

cosθ1m

E'1

Ε''E'

−+=

οπότε κάνοντας την αντικατάσταση

γp

γp’

ep’

me θ

φ

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 11

( ) ( )2e

γ

1

e

γ

γ

γ

cosθ1m

Ecosθ1

m

E1

Ε'E'

−+−+=

Η παραπάνω σχέση είναι συμμετρική ως προς τις γωνίες θ1, θ2, οπότε το

αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά διαδοχής των σκεδάσεων.

Για την ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔÓ›Ô˘ μετά τη σκέδαση, σύμφωνα με την

αρχή διατήρησης της ενέργειας θα είναι:

Εγ + me = E’γ + Τ’e + me ⇒

T’e = Eγ - Ε’γ

Αν θεωρήσουμε ότι Εγ = σταθερή τότε:

για θ = 0 θα είναι Ε’γ = Εγ οπότε Τ’e,min = 0 και

για θ = π θα είναι Ε’γ = Εγ / (1 + 2Εγ / me)

οπότε Τ’e,max = Εγ(1 + me / 2Eγ)

Η ÁˆÓ›· ·Ó¿ÎÚÔ˘Û˘ φ ÙÔ˘ ËÏÂÎÙÚÔÓ›Ô˘ υπολογίζεται εφαρμόζοντας την

αρχή διατήρησης της ορμής στους άξονες x και y:

Άξονας x:

γp = (γp’)x + (ep’)x ⇒ γp = γp’cosθ + ep’cosφ

και επειδή γp = Εγ, γp’ = Ε’γ παίρνουμε Eγ = Ε’γcosθ + ep’cosφ ⇒

cosφ='

cosθEE

e

'γγ

p

− (1)

Άξονας y:

0 = (γp’)y + (ep’)y ⇒ 0 = γp’sinθ + ep’sinφ ⇒

E’γsinθ = ep’sinφ ⇒

sinφ='

sinθE

e

'γ

p (2)

∆ιαιρώντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη, παίρνουμε

2

θcos2

θ2sin

2

θsin2)

m

Ε1(

sinθ

θ)cos1)(m

Ε1(

θsinE

cosθΕ-Εφcot

2γγ

'γ

'γγ

+=

−+== ⇒

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 12

2

θtan

m

Ε1cotφ

e

γ

+=

Που δείχνει ότι το ηλεκτρόνιο σκεδάζεται πάντα σε γωνία φ ≤ 90ο.

Για την ÂÓÂÚÁfi ‰È·ÙÔÌ‹ του φαινομένου Compton έχει βρεθεί ότι η ενεργειακή

της εξάρτηση είναι μικρή ( 1γE−∝ ). Η προσέγγιση ότι το ηλεκτρόνιο είναι

ελεύθερο (ειδικά για τα βαριά υλικά) και ότι η σκέδαση είναι ελαστική δεν είναι

ικανοποιητική στις χαμηλότερες ενέργειες (≈30keV) που όμως το

φωτοηλεκτρικό φαινόμενο γίνεται ιδιαίτερα ισχυρό.

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 13

���� Αλληλεπίδραση φορτισµένων σωµάτιων µε την ύλη

Έστω φορτισμένο σωμάτιο μάζας Μ με ενέργεια Εi και ορμή ip που

σκεδάζεται (σχήμα) από ελεύθερο σωμάτιο μάζας m που είναι πριν τη

σκέδαση ακίνητο, ενώ μετά τη σκέδαση το φορτισμένο σωμάτιο έχει ενέργεια

Ef και ορμή fp ενώ το αρχικά ακίνητο αποκτά ενέργεια Ε’ και ορμή p’.

Έτσι για τις αναπαραστάσεις

ip = (Ei, ip)

p = (m, 0)

fp = (Ef, fp)

p’ = (E’, p’)

λόγω της διατήρησης του αναλλοίωτου της τετραορμής θα είναι:

ip + p = fp + p’ ⇒

(ip – p’)2 = (fp – p)

2 ⇒

M2 + m2 -2(EiE’ – ip⋅⋅⋅⋅p’) = M2 + m2 – 2Efm ⇒

EiE’- ipp’cosφ = Efm

και επειδή λόγω της Α.∆.Ε. είναι

Ei + m = Ef + E’ ⇒ Ef = Ei + m – E’

έχουμε

EiE’ – (Ei + m – E’)m = ipp’cosφ ⇒

(Ei + m) (E’ – m) = ipp’cosφ ⇒

(Ei + m)2 (E’ – m)2 = ip

2 (E’2 – m2) cos2φ ⇒

(Ei + m)2 (E’ – m) = ip

2 (E’ + m) cos2φ ⇒

(Ei + m)2 T’ = ip

2 (T’ + 2m) cos2φ ⇒φcosm)(E

φcosm2'T

222ι

22

p

p

i

i

−+=

δηλαδή απομακρύνεται ενέργεια από το φορτισμένο σωμάτιο Μ και

μεταφέρεται στο αρχικά ακίνητο m. Η μέγιστη μεταφορά Τ’max ισχύει για

cos2φ=1, οπότε

(Ei,ip)

(m,0) θ

φ

(Ef,fp)

(E’,p’)

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 14

22i

ii22

i

ii22

i2

i

22i

22ι

2'max

Mmm)MT(2

)M2T(mT2

MmmE2

)ME)(ME(m2

)ME()mE(

)ME(m2

m)(E

m2T

++++

=++−+

=−−+

−=

−+=

p

p

i

i

⇒i

2ii'

maxmT2)Mm(

)M2T(mT2T

+++

=

Θα διερευνήσουμε τώρα την παραπάνω σχέση για διάφορα σωμάτια,

θεωρώντας πάντα ότι το ακίνητο σωμάτιο είναι ηλεκτρόνιο

(m=me=0.511MeV) καθώς η ενεργός διατομή για σκέδαση από ηλεκτρόνια

είναι πολλές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από εκείνη της σκέδασης από

πυρήνες.

Πρωτόνιο

(Μ=938.3MeV >> m,Τi → Ti/M ≅ 0, m/M ≅ 0). Έτσι

i2ii'

maxmT2)Mm(

)M2T(mT2T

+++

= i

2i2

iiM

1

M

1T

M

m4

M

mT2)1

M

m(

)2M

T(T

M

m22

2

≅++

+=

Παρατηρούμε ότι χάνεται πολύ μικρό μέρος της ενέργειας του βαριά

φορτισμένου σωμάτιου σε κάθε σκέδαση (2,17keV στη περίπτωση του

πρωτονίου).

Ηλεκτρόνιο

(Μ=m)

i

ii

i2ii'

maxTm2

)m2T(T

mT2)mm(

)m2T(mT2T

++

=+++

= =Ti

∆ηλαδή μπορούμε να έχουμε μεγάλες απώλειες ενέργειας στην

ελαστική σκέδαση ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου και συνεπώς μεγάλες

γωνίες σκέδασης που σημαίνει ακανόνιστες τροχιές στην ύλη.

Νετρόνιο

Τα νετρόνια δεν έχουν φορτίο και αλληλεπιδρούν μόνο με τον πυρήνα.

Έτσι για m≅M (σκέδαση με υδρογόνο)

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 15

i

ii

i2ii'

maxTM2

)M2T(T

MT2)MM(

)M2T(MT2T

++

=+++

= =Ti

δηλαδή μπορεί να χάσει όλη την ενέργεια του στη σκέδαση με

υδρογόνο ενώ για βαρύ υλικό (m>>M, Ti/M ≅ 0)

i2

M

1

M

1i

2ii'

max T)Mm(

mM4

mT2)Mm(

)M2T(mT2T

+≅

+++

=

αφού οι μάζες m,M (GeV) είναι πολύ μεγαλύτερες από την Τi (MeV).

Έτσι τα νετρόνια κατά την ελαστική τους σκέδαση σε βαριά υλικά

μπορεί να χάσουν τόσο λιγότερη ενέργεια, όσο βαρύτερο γίνεται το

υλικό. Επομένως τα βιολογικά υλικά, επειδή αποτελούνται από κυρίως

από ελαφρά στοιχεία είναι ιδιαίτερα ευάλωτα στα νετρόνια και έτσι

επίσης εξηγείται η θωράκιση από ελαφρά υλικά γύρω από ένα

πυρηνικό αντιδραστήρα.

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 16

���� Απώλεια ενέργειας φορτισµένων σωµάτιων µε την ύλη

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗΣ:

ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΣΚΕ∆ΑΣΗ

(με τα περιφερειακά ηλεκτρόνια των ατόμων της ύλης)

↓↓↓↓

Ιονισμοί και ∆ιεγέρσεις

↓↓↓↓

Απόδοση της ενέργειας στο μέσο (θερμότητα)

Η ·,ÒÏÂÈ· ÎÈÓËÙÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ανά μονάδα μήκους σε απορροφητή δίνεται

από τη σχέση Bethe-Bloch

−−−=− 22

2e

e2e

24

β)β1ln(I

um2lnΝ

um

Zπe4

dx

dT

Παρατηρήσεις:

� Η απώλεια κινητικής ενέργειας είναι ανεξάρτητη της μάζας του

φορτισμένου σωμάτιου και το ίδιο ισχύει και για την ενέργεια ιονισμού.

� Σε μη σχετικιστικές ταχύτητες οι απώλειες είναι ανάλογες της u-2.

� H σχέση Bethe-Bloch δεν ισχύει στην περιοχή των χαμηλών ταχυτήτων.

Η ÂÌ‚¤ÏÂÈ· ÙÔ˘ ÊÔÚÙÈṲ̂ÓÔ˘ ۈ̿ÙÈÔ˘ στην ύλη δίνεται από τη σχέση

∫−

=0

T

dx

dTdT

R

Μία προσεγγιστική σχέση για την εμβέλεια των ,ÚˆÙÔÓ›ˆÓ ÛÙÔÓ ·¤Ú· είναι η

σχέση Wilson-Brobeck

Rp(T)=8.1

3.9

T

(T→MeV)

Φορτ. σωμάτιο

Πυκνότητα e-

απορροφητή: ρ(Ζ/Α)ΝΑ

Μέση δυναμική ενέργεια ιονισμού και διέγερσης των ατόμων του απορροφητή: Ι(eV)=16Z0.9

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 17

∆ιερεύνηση της σχέσης Bethe-Bloch στις μικρές ενέργειες (χαμηλές

ταχύτητες):

Επειδή β2<<1 θα είναι

ln(1-β2) ≅ -β2+... (από ανάπτυγμα σε σειρά) οπότε -ln(1-β2)-β2 ≅ β2-β2 ≅ 0

Τώρα για να ισχύει η σχέση Bethe-Bloch θα πρέπει

2

e

2e

2e β

m2

I1

I

um20

I

um2ln <⇒>⇒>

όμως β2=22

22

2

2

)MT(

)M2T(T

)MT(

ME

E

p

++

=+−

= και επειδή Μ>>Τ, β2≅M

T2

και τελικά

M

T2

m2

I

e

< ⇒em4

IMT >

Εφαρμογή:

� Σωμάτια: πρωτόνια (Μ=938.3MeV, έστω Τ=20ΜeV)

� Απορροφητής: Al (ΖAl=13 AAl=26,98 ρAl=2,7gr/cm3)

Θα είναι Ι=16⋅130,9=160,94eV (οπότε θα πρέπει Τ>74keV, στη πράξη οι αποκλίσεις

αρχίζουν από τα 0,5ΜeV περίπου)

Επίσης

β2(=u2)=T(T+2M)/(T+M)2=4,13⋅10-2

–ln(1-β2)-β2=8,77⋅10-4 (αμελητέοι οι ρελατιβιστικοί όροι)

ln(2meu2)/I=5,567

Ne=NAρ(Ζ/Α)=7,83⋅1023 e-/cm3

(4πΝe/me)e4=(4πNe/me)(h ca)

2=4⋅1025 MeVfm2/cm3=0,4MeV/cm

οπότε

-dT/dx = 0,4 (MeV/cm) (1/4,13⋅10-2) (5,567 + 8,77⋅10-4) ⇒

-dT/dx = (53,9176 + 0,0085) MeV/cm

Το σφάλμα που προκύπτει αν αγνοήσουμε τους ρελατιβιστικούς όρους είναι

0,0085/53,9175=0,016%

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 18

Εφαρμογή:

Πως σχετίζονται οι απώλειες ενέργειας και οι εμβέλειες στο ίδιο υλικό ενός πρωτονίου και

ενός σωμάτιου α της ίδιας ταχύτητας;

Η σχέση Bethe-Bloch μπορεί να γραφεί συνοπτικά ως

dx

dT− =Α Ζ2 f(u)

όπου Α σταθερά που εξαρτάται από τον απορροφητή και Ζ, f(u) από τη φύση του

φορτισμένου σωμάτιου και την ταχύτητα του. Έτσι θα είναι

2α

2p

α

p

Ζ

Ζ

dx

dT

dx

dT

=−

−

αφού f(u) κοινό και επειδή Zp=1, Zα=2

−=−

pα dx

dΤ4

dx

dT

Για την εμβέλεια των σωμάτιων είναι

∫−

=0

T

dx

dTdT

R

όπου Τ=m(γ-1)=m[(1-β2)-1/2 -1] και όχι Τ=(mu2)/2 γιατί για m=mp και Τ=100MeV είναι

β=0,43. Έτσι

)u(FΑΖ

m

f(u)ΑΖ

)u(dR

22== ∫

οπότε

p

p

αα

2α

α

2p

p

α

pR

m4

mR

Z

m

Z

m

R

R=⇒=

και επειδή mα≅4mp προκύπτει ότι

Rα≅≅≅≅Rp

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 19

���� Ακτινοβολία Cherenkov

Είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μήκους κύματος συνήθως στην

υπεριώδη και ορατή περιοχή. ∆ημιουργείται όταν ένα φορτισμένο

σωματίδιο διασχίζει ένα διηλεκτρικό μέσο (όχι στο κενό) γρηγορότερα απ’

ότι το φως στο μέσο αυτό. Η ακτινοβολία εκπέμπεται σαν κώνος φωτός.

Έστω σωμάτιο τετραορμής p=(E,p) που

εκπέμπει φωτόνιο γp=(Eγ,γp) και έπειτα

αποκτά p’=(E’,p’). Λόγω της διατήρησης του

αναλλοίωτου της τετραορμής θα είναι:

p = γp + p’ ⇒ (p – γp)2 = p’2 ⇒

p2 + γp2 – 2pγp = p’

2 ⇒

m2 + Eγ2 – γp

2 – 2(ΕΕγ – p⋅⋅⋅⋅γp) = m2 ⇒

Eγ2 – γp

2 – 2ΕΕγ+2pγpcosθ = 0 ⇒

pp γ

2γ

2γγ

2

)p-(Ε-2ΕΕθcos =

Στο κενό είναι Εγ=γp οπότε cosθ=Ε/p>1 που είναι ΑΤΟΠΟ.

Σε μέσο με δείκτη διάθλασης n=c/cn όπου cn η ταχύτητα του φωτός στο μέσο

αυτό, είναι

Εγ = hν = h(cn/λ) = (h/λ)(c/n) = (c/n)γp

οπότε

2

2γ

γ

2

22

γγ

n2

1n

n

E

2

1n

c-

n

c2Ε

θcos−

+=

−

=p

p

ppp

pp

και επειδή Εγ∼eV (ορατό φως) θα είναι γp/p→ 0, άρα

nβ

1

n

Εθcos ==

p

Επίσης επειδή

(Ε,p)

θ

(Ε’,p’)

(Εγ,γp)

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 20

cosθ≤1 ⇒ n

1β ≥

που είναι η ÔÚȷ΋ Û˘Óı‹ÎË ÁÈ· ÙËÓ ÂÎ,ÔÌ,‹ ·ÎÙÈÓÔ‚ÔÏ›·˜ Cherenkov.

Ο κώνος ακτινοβολίας έχει άνοιγμα 2θ και σύμφωνα με τα παραπάνω

θ=arcos βn

1

Το κατώφλι κινητικής ενέργειας για την εκπομπή ακτ. Cherenkov είναι

Τ = Ε – m = mγ - m = m[(1-β2)-1/2 – 1] ⇒

Τ ≥ m [(1-2n

1)-1/2 – 1]

και η αντίστοιχη ορμή

p2 = E2 – m2 = m2 (γ2 - 1) ⇒

p = m (γ2 – 1)1/2 = mβ(1-β2)-1/2 ⇒

p ≥ mn

1 (1-

2n

1)-1/2

Η απώλεια ενέργειας ανά μονάδα μήκους της διαδρομής τόσο κβαντικά όσο

και κλασικά προκύπτει

∫

−=− γγ2222

221 dEE

nβ

11

c

eZ

dx

dE

h

Εφαρμογή:

(™∆8 «¶.º. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· & ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜» ™·ÎÂÏÏ›Ô˘-™·ÚËÁÈ¿ÓÓ˘)

Να υπολογιστούν οι ενέργειες κατωφλίου για την εκπομπή ακτινοβολίας Cherenkov

σε νερό (n=1,33) για ηλεκτρόνια (me=0,51MeV), π μεσόνια (mπ=139,6MeV) και

πρωτόνια (mp=938,3MeV). Σε ποια περιοχή ορμών των π, p μπορεί να

χρησιμοποιηθεί ανιχνευτής Cherenkov με νερό για το διαχωρισμό τους;

Σύμφωνα με τα όσα έχουμε πει η ελάχιστη τιμή κατωφλίου για το νερό προκύπτει

Τκατ=0,517⋅m

Αντικαθιστώντας τις τιμές των μαζών για τα σωμάτια της εκφώνησης έχουμε

Τe=0,264MeV Tπ=72,14MeV και Τp=484,88MeV.

Από τις ενέργειες κατωφλίου που βρέθηκαν ενδιαφέρον παρουσιάζει η τιμή

(0,26MeV) για τα ηλεκτρόνια που είναι σχετικά μικρή. Τα περισσότερα ηλεκτρόνια

των β-διασπάσεων όπως και πολλά ηλεκτρόνια κατά την αλληλεπίδραση Compton

ΑΛΛΗΛΕΠΙ∆ΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ-ΥΛΗΣ

Σελ. 21

διαθέτουν την ενέργεια αυτή. Το μπλε χρώμα που παρουσιάζει το νερό ενός

πυρηνικού αντιδραστήρα οφείλεται στην ακτινοβολία Cherenkov των ηλεκτρονίων

αυτών.

Αντικαθιστώντας τις τιμές των μαζών βρίσκουμε τις ελάχιστες τιμές ορμών για τις

οποίες τα πιόνια και τα πρωτόνια δίνουν φως Cherenkov:

pπ=159,2ΜeV και pp=1069,7MeV

Άρα η περιοχή στην οποία μπορούμε να διακρίνουμε πιόνια από πρωτόνια είναι από

159,2MeV μέχρι 1069,7MeV. Στη περιοχή αυτή τα μεν πιόνια θα εκπέμπουν

ακτινοβολία Cherenkov, ενώ τα πρωτόνια όχι (έξω από την περιοχή αυτή και τα δύο

ή δεν θα εκπέμπουν ή θα εκπέμπουν).

Εφαρμογή:

(£¤Ì· ∂ÍÂÙ¿ÛÂˆÓ º˘ÛÈÎÔ‡ ∞ı‹Ó·˜)

Μια δέσμη σωματιδίων συνίσταται από θετικά φορτισμένα πιόνια, καόνια και

πρωτόνια ορμής 10GeV. Προτείνετε τις συνθήκες λειτουργίας ενός συστήματος

ανιχνευτών Cherenkov αερίου αζώτου, κατάλληλου για την ταυτοποίηση των

σωματιδίων, λαμβάνοντας υπ’όψιν ότι ο δείκτης διάθλασης του αζώτου

μεταβάλλεται με την πίεση P (atm) σύμφωνα με τη σχέση: n=1+3⋅10-4P

∆ίνονται mπ=0,140GeV, mκ=0,494GeV, mp=0,938GeV.

Έχουμε δείξει ότι για την ορμή κατωφλίου είναι

pκατ = mn

1 (1-

2n

1)-1/2

οπότε

1)p

m(n)

p

m(1n

)n

11(n

mp 2

κατ

2

κατ

2

2

2

22κατ +=⇒=−⇒

−=

και επειδή n=1+3⋅10-4P

καταλήγουμε ότι

42

κατ

10)11)p

m((

3

1)atm(P ⋅−+=

Έτσι για pκατ=10GeV και τις δοθείσες μάζες βρίσκουμε τις τιμές της πίεσης για τις

οποίες γίνεται ο διαχωρισμός των σωματιδίων.

m(GeV) P(atm)

0,140 0,327

0,494 4,065

0,938 14,632