Zakon potencije (“Power Law”)

ff((xx) ~ ) ~ xxαα

loglogf(xf(x) ~ ) ~ ααloglogxx

Zakon potencije u biomehanici

time (sec)1 10 100

Stre

ss (k

Pa)

0.1

1

Control, =0.053After elastase, same length=0.054

After elastase, same mean force=0.049

= a + b*t-

MolekulMolekul ĆĆelijaelija

TkivoTkivo SistemSistem

Karakteristike zakona potencije

Zakon potencija nema određenu vremensku skalu. Konsekventno:

• Puzanje: J(t) ~ tα

• Relaksacija: G(t) ~ tα

• Fazni pomak: tgφ α

Frakcioni izvod kao matematički okvir za opis ponašanja po zakonu

potencijeRimanova definicija frakcionog izvoda:Rimanova definicija frakcionog izvoda:

gde je 0 α < 1.

t

t tdf

dtdfD

0

)(

)()(

)1(1)(

Osnovni reološki model

Relacija napon-deformacija pri smicanju:

TT DDtt((αα))((γγ))

α = 0 T Dt(0)(γ) = γ(t) - Hukov zakon

α 1 T Dt(1)(γ) = - njutnovski fluid)(t

Generalni reološki model

n

ktkSt

kDGTbDT1

)()( )()(

gde su 0 β < 1 and 0 α1 < α2 <…< αn < 1.

(Pritz, 1996)

Rezultati reoloških merenja na živim ćelijama

GG* * MM//uu(Fabry et al., 2001)

Prelaz iz vremenskog u frekventni domen

Dinamički modul: G* = F[T]/F[γ] = G + iG

F[Dt(α)(f)] = (iω)αF[f]

)(1

)(* 1

ib

iGG

n

kkS

k

Ponašanje na visokim frekvencijama

1

1

)( )()1(n

kntkS

kDGTb

Merenja: ω , d(logG)/d(logω) 1.

Model: ω :

αn β 1 αn 1 i β 0.

2)(sin~"

nn n

bG

Pojednostavljenje modela

)()(tS DGT

Pretpostavke i definicije: b = 0; αn = 1; n = 2; λ1 λ; λ2 μ; α1 α

Predviđanja modela

2sin

2cos)(* iGG S

)()1(

)()( tttHGtG S

•DinamiDinamiččki modul:ki modul: γ = γ0eiωt

•ModulModul relaksacijerelaksacije napona:napona: γ = γ0H(t)

•ModulModul puzanja:puzanja: T = T0H(t)1)(,0)(0 SGtJttJt

Zadovoljen uslov: G(t) = 1/J(t) kada t 0, .

Elastični i viskozni moduli

2sin"

2cos'

G

GG S

Fitovanje modela

Uslovi Gs

  Pa(s/rad)   (Pa) (Pa.s)

Kontrolni 1162.1905 0.2335 598.4835 1.5393

p 0.0064 <0.0001 0.1552 <0.0001

Histamin 1383.2984 0.2212 1139.7425 1.067

p 0.0125 0.0002 0.0545 <0.0001

DBcAMP 345.0529 0.3097 186.1381 1.3356

p 0.009 <0.0001 0.2506 <0.0001

CytoD 215.1585 0.286 0 0.7654

p <0.0001 <0.0001 1 <0.0001

Dalje pojednostavljenje modela

GS = 0, λ G0/Ω0α

2sin"

2cos'

00

00

GG

GG

Fitovanje pojdnostavljenog modela

Uslovi G0 Ω0 α μ(kPa) (rad/s) (Pa·s)

Kontrolni 2.01 107

HistaminDBcAMP

CytoD

4.870.8338.9 47.2

30.7 0.185 0.1900.1800.185 0.1900.180

0.164 0.1690.1580.164 0.1690.158

0.256 0.2600.2510.256 0.2600.251

0.313 0.3200.3070.313 0.3200.307

1.76 1.931.591.76 1.931.59

1.23 1.371.091.23 1.371.09

1.50 1.631.361.50 1.631.36

0.78 0.860.700.78 0.860.70

Vrednosti parametara sa intervalom sigurnosti od 95%Vrednosti parametara sa intervalom sigurnosti od 95%

Fizička interpretacija modela - reologija mekog stakla

• Kada je efektivna temperatura fluktuacije = 0, element ostaje zarobljen u energetskom kavezu – čvrsto (“stakleno”) stanje.

• Kada je > 0, element iskače iz kaveza – prelaz od čvrstog ka tečnom stanju.

• Kada je = 1 – njutnovski fluid.

Enegretski kavezEnegretski kavez

(Sollich, 1998)

Veza izmedju reologije stakla i modela sa frakcionim izvodima

2sin

2cos*

00 iGG

• α = 0 G = G0, G = 0; čvrsto telo čiji je modul elastičnosti G0;

• α = 1 G = 0, G = (G0/Ω0)ω; njutnovski fluid čija je viskoznost G0/Ω0.

(Fabry et al., 2001)

Faza Fluorescencija (0.2 μm)

Ćelijski prednapon deformiše elastičnu podlogu

Furijeova naponska mikroskopijaE = 1.3 kPa h = 70 μm

20 m

Displacement field

200 Pa

150

100

50

0

Polje deformacije

Matematički algoritam

Furijeova naponska mikroskopija

(Butler et al., 2002)

Displacement field

200 Pa

150

100

50

0

Polje Polje deformacije napona

Matematički algoritam

(Butler et al., 2002)

Furijeova naponska mikroskopija

Izračunavanje prednapona

PAPA = = ττAA

Fizička interpretacija modela –uloga prednapona

(Stamenović et al., 2002)

Veza između eksponenta α i prednapona

2cos1.0'

'

00

GG

cPG

2cos1.0

0

0

cGP

(Stamenović et al., 2004)

Za ω = 0.1 Hz:

On Power Laws in Nature“In ordinary systems all quantities follow bell curves, and correlations decay rapidly, obeying exponential laws. But all that changes if the system is forced to undergo a phase transition. Then power laws emerge – nature’s unmistakable sign that chaos is departing in favor of order. The theory of phase transitions told us … that power laws are not just another way of characterizing a system’s behavior. They are the patent signatures of self-organization in complex systems.”

Albert-László Barabási: Albert-László Barabási: Linked: The New Science of Networks.Linked: The New Science of Networks.Perseus Publishing, Cambridge, MA, 2002.Perseus Publishing, Cambridge, MA, 2002.