YM-II#13 BETONDA SEKIL DEGISIMLERI -...

BETONDA BETONDA ŞŞEKEKİİL L DEDEĞİŞİĞİŞİMLERMLERİİ

İİNNŞŞ2024 YAPI MALZEMES2024 YAPI MALZEMESİİ IIII

Dokuz Eylül Üniversitesi

İnşaat Mühendisliği Bölümü

DoDoDoDoçççç.... Dr. Dr. Dr. Dr. Halit YAZICI

http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici

BETONUN DBETONUN DĐĞĐĞER ER ÖÖZELLZELLĐĐKLERKLERĐĐ

•• BETONUN fBETONUN f--εεεεεεεε DAVRANIDAVRANIŞŞII

fc

f

εεεεεεεεεεεεεεεε00 εεεεεεεεbmbm

fc

3

ε

σ

ε

σ σ

Doğrusal Elastik

Doğrusal Olmayan Elastik

Doğrusal OlmayanĐç Sürtünmeli Elastik

Diğer bir çok yapı malzemesi gibi, beton da belirli bir mertebeye kadar elastik davranış gösterir. Đdeal elastik bir malzemede deformasyon gerilmenin uygulanması ile ani olarak oluşur ve gerilmenin kaldırılması ile ortadan kalkar. Bu tanımlama doğrusal gerilme-birim deformasyon ilişkisini açıklıyor olsa da, Şekil’de görüldüğü üzere elastik davranış betonda, camda ve bazı kayaçlarda olduğu gibi doğrusal olmayabilir.

GERGERİİLMELME--ŞŞEKEKİİL DEL DEĞİŞĞİŞTTİİRME RME İİLLİŞİŞKKİİSSİİ ve ve ELASTELASTİİK DAVRANIK DAVRANIŞŞ

�� YYüük altk altıında belirli mertebede nda belirli mertebede şşekil deekil değğiişştirme gtirme göösteren, ysteren, yüük k kaldkaldıırrııldldığıığında ilk haline dnda ilk haline döönen malzemelere elastik malzemeler nen malzemelere elastik malzemeler denilmektedir. Malzemenin bu tdenilmektedir. Malzemenin bu tüür davranr davranışıışı elastik davranelastik davranışış olarak olarak tantanıımlanmaktadmlanmaktadıır. Bu tr. Bu tüür davranr davranışışta Hooke Kanuna uygun olarak ta Hooke Kanuna uygun olarak gerilmelerle gerilmelerle şşekil deekil değğiişştirmeler oranttirmeler orantııllııddıır. r.

σ= ε × EBurada;σ: gerilmeε: Birim şekil değiştirme E. Elastisite modülünü ifade etmektedir.

�� ŞŞekil ekil ’’den gden göörrüüldldüüğğüü üüzere, agrega ve zere, agrega ve ççimento imento hamurunun tipik gerilmehamurunun tipik gerilme--şşekil deekil değğiişştirme etirme eğğrileri rileri dodoğğrusal iken, eksenel basrusal iken, eksenel basıınnçç altaltıında betonun nda betonun davrandavranışıışı dodoğğrusal derusal değğildir. Bir baildir. Bir başşka deyika deyişşle, le, kompozit bir malzeme olan betonun kompozit bir malzeme olan betonun öözellikleri, zellikleri, bilebileşşenlerinin enlerinin öözelliklerinin toplamzelliklerinin toplamıı olarak olarak ddüüşşüünnüülmemelidir lmemelidir

Gerilme

Birim şekil değiştirme

agrega

beton

Çimento hamuru

�� ŞŞekil ekil ’’de betonun basde betonun basıınnçç yyüüklemesi ve klemesi ve yyüükküün kaldn kaldıırrıılmaslmasıı ssıırasrasıındaki gerilmendaki gerilme--birim deformasyon ilibirim deformasyon ilişşkisi gkisi göörrüülmektedir lmektedir

gerilme

Birim deformasyon

yükün boşaltılması

kalıcı deformasyon

basınç dayanımı

�� ŞŞekil ekil ’’de farklde farklıı dayandayanıım sm sıınnııflarflarıındaki betonlarndaki betonlarıın tipik gerilmen tipik gerilme--birim birim deformasyon edeformasyon eğğrileri grileri göösterilmisterilmişştir. Ayntir. Aynıı gerilme/dayangerilme/dayanıım oranm oranıında nda beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar beton ne kadar mukavemetli ise birim deformasyonu da o kadar yyüüksektir. 100 MPa basksektir. 100 MPa basıınnçç dayandayanıımmıına sahip bir betonda en bna sahip bir betonda en büüyyüük k gerilmede birim deformasyonun tipik degerilmede birim deformasyonun tipik değğeri 3eri 3--4.104.10--3 iken 20 MPa3 iken 20 MPa’’llıık k bir betonda bu debir betonda bu değğer 2.10er 2.10--33’’e kare karşışı gelir. Ancak, dayangelir. Ancak, dayanıım bir kenara m bir kenara bbıırakrakııldldığıığında ynda yüüksek dayanksek dayanıımlmlıı betonlarbetonlarıın elastisite modn elastisite modüüllüü daha daha yyüüksek olduksek olduğğundan aynundan aynıı gerilme degerilme değğerinde mukavemeti yerinde mukavemeti yüüksek ksek olan beton daha az deformasyon yapar olan beton daha az deformasyon yapar

Birim Şekil Değiştirme (10-6)

20

0

40

60

80

1000 2000 3000

Dayanım (MPa)

4000

C80

C40

C25

Betonun fBetonun f--εεεεεεεε İİlilişşkisini Tankisini Tanıımlamak mlamak İİççin in GeliGelişştirilmitirilmişş BaBağığıntntıılar lar

�� Beton iBeton iççin gerilmein gerilme--birim deformasyon ebirim deformasyon eğğrisi risi sadece bir malzeme sadece bir malzeme öözellizelliğği olmayi olmayııp deney p deney kokoşşullarullarıından da etkilenmektedir. ndan da etkilenmektedir. DolayDolayııssııyla, gerilmeyla, gerilme--birim deformasyon birim deformasyon eeğğrisi irisi iççin bir denklem formin bir denklem formüüle etmek le etmek oldukoldukçça ga güçüçttüür. Ancak, br. Ancak, bööyle bir bayle bir bağığıntntıı, , yapyapıısal analiz isal analiz iççin oldukin oldukçça kullana kullanışışllııddıır. Bu r. Bu sebeple betonun gerilmesebeple betonun gerilme--birim birim deformasyon ilideformasyon ilişşkisini bakisini bağığıntntıılarla temsil larla temsil edebilmek iedebilmek iççin bir in bir ççok ok ççalalışışma yapma yapıılmlmışışttıır. r.

�� Bunlar arasBunlar arasıında, enda, eğğrinin rinin öözelliklerine bazelliklerine bağğllııolarak tanolarak tanıımlanan Voellmy bamlanan Voellmy bağığıntntııssıından ndan ssööz etmekte fayda vardz etmekte fayda vardıır. Denklem r. Denklem şşu u şşekilde kurulmuekilde kurulmuşştur: Bir tur: Bir εεi i ’’ye karye karşışıt fi, t fi, alalıınsnsıın, n, şşekil deekil değğiişşimi imi εεi i ’’den itibaren den itibaren ∆ε∆ε

kadar artarsa, gerilme de kadar artarsa, gerilme de ∆∆f kadar f kadar artacaktartacaktıır. Yalnr. Yalnıız (z (εεi), (i), (εεoo) ) ’’a ne kadar yaka ne kadar yakıın n ise, aynise, aynıı ∆ε∆ε 'na kar'na karşışıt gelen t gelen ∆∆f o kadar f o kadar kküçüüçüktktüür.r.

�� Bu Bu öözellik gzellik gööz z öönnüüne alne alıınarak narak aaşşaağığıdaki diferansiyel denklem daki diferansiyel denklem yazyazıılabilir:labilir:

ε

dε

df

f

( )0εεKdεdf

−=

denkleminin integrali şu şekilde hesaplanabilir:

−= 0

2

ε.ε2ε

Kf

−= 0ε2

εK.εf

0εε = cff =Sınır şartlarından iken

olmaktadır. Bu nedenle K parametresi şu şekilde hesaplanabilir:

( )2ε

K - ε2ε

K.εf2

00

00c =

−=

( )( )20

c

ε

f2 - K =

�� K yerine konulursa, K yerine konulursa,

( )( )

( )( )

−=

−=

2ε

ε ε . ε

f2ε

2ε

ε . ε

f2- f 02

0

c02

0

c

( )( )ε2ε.ε

ε

ff 02

0

c −=

−=

00c ε

ε2

ε

εff

Bu denklem 1ε

ε

0

< değerleri için geçerlidir

�� Bir diBir diğğer baer bağığıntntıı Smith ve Young Smith ve Young taraftarafıından ndan öönerilminerilmişştir. Smith ve Young tir. Smith ve Young babağığıntntııssıınnıın deney verilerine daha iyi uyum n deney verilerine daha iyi uyum sasağğladladığıığı ifade edilmektedir.ifade edilmektedir.

= 0ε

ε - 1

0c e ε

εff

�� Betonun f Betonun f -- εε eeğğrisinin, risinin, εεo'dan bo'dan büüyyüük birim k birim kkıısalmalara karsalmalara karşışıt gelen dt gelen düüşşüüşş bböölgesinin de, lgesinin de, betonarme elemanlarbetonarme elemanlarıın davrann davranışışlarlarıında nda öönemli nemli yeri vardyeri vardıır. Yapr. Yapıılan lan ççalalışışmalar, domalar, doğğrusal brusal böölge lge ddışıışındaki zorlamalar altndaki zorlamalar altıında, en dnda, en dışıştaki lifin birim taki lifin birim kkıısalma desalma değğeri eri εεo'a ulao'a ulaşşttığıığında knda kıırrıılma durumuna lma durumuna hemen ulahemen ulaşışılmadlmadığıığınnıı ve elemanve elemanıın yn yüük tak taşışımaya maya devam ettidevam ettiğğini gini gööstermistermişştir. Bu davrantir. Bu davranışıışın n kaynakaynağığı f f -- εε eeğğrisinin, risinin, εεo 'dan bo 'dan büüyyüük birim k birim kkıısalmalara karsalmalara karşışıt gelen dt gelen düüşşüüşş kkıısmsmııddıır. Er. Eğğrinin rinin bu bu öözellizelliğğinden dolayinden dolayıı, en d, en dışıştaki lif tataki lif taşışıma gma güüccüükapasitesine ulakapasitesine ulaşışınca, anca, aşışırrıı gerilmeleri daha az gerilmeleri daha az zorlanan komzorlanan komşşu liflere aktarmaktadu liflere aktarmaktadıır. Bu olay r. Bu olay gerilmelerin yeniden dagerilmelerin yeniden dağığıllıımmıı (redistribution) (redistribution) adadıınnıı alalıır. Bu davranr. Bu davranışış nedeniyle nedeniyle Betonarmede Betonarmede TaTaşışıma Gma Güüccüü hesap kavramhesap kavramıı ve yve yööntemi ntemi dodoğğmumuşştur.tur.

Poisson OranPoisson Oranıı

�� Eksenel yEksenel yüüke maruz kalmke maruz kalmışış bir malzemede elastik bir malzemede elastik bböölge ilge iççerisinde yanal birim deformasyonlarerisinde yanal birim deformasyonlarıın n eksenel birim deformasyona oraneksenel birim deformasyona oranıı Poisson oranPoisson oranııolarak adlandolarak adlandıırrııllıır. Betonun Poisson oranr. Betonun Poisson oranıı 0.15 ile 0.15 ile 0.22 aras0.22 arasıında denda değğiişşir. ir.

ε

εµ y

=εy: yanal birim şekil

ε: eksenel birim şekil değiştirme

ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

�� Malzemenin elastisite modMalzemenin elastisite modüüllüü veya elastik veya elastik modmodüüllüü rijitlirijitliğğinin bir inin bir ööllçüçüssüüddüür. Dir. Diğğer bir deyier bir deyişşle le malzemenin malzemenin şşekil deekil değğiişştirmeye kartirmeye karşışı koyabilme koyabilme kapasitesini gkapasitesini göösterir. Betonda desterir. Betonda değğiişşik sebeplerle ik sebeplerle oluoluşşan an şşekil deekil değğiişştirmelerin ve gerilmelerin tirmelerin ve gerilmelerin hesabhesabıı iiççin elastisite modin elastisite modüüllüünnüün bilinmesi n bilinmesi gereklidir. Ygereklidir. Yüük altk altıındaki basit elemanlarda ndaki basit elemanlarda gerilmelerin ve karmagerilmelerin ve karmaşışık yapk yapıılarda momentlerin larda momentlerin ve sehimlerin hesabve sehimlerin hesabıı iiççin de elastisite modin de elastisite modüüllüüne ne ihtiyaihtiyaçç vardvardıır.r.

�� BasBasıınnçç veya veya ççekme altekme altıında betonun statik nda betonun statik elastisite modelastisite modüüllüü eksenel yeksenel yüükleme altkleme altıında nda gerilmegerilme--birim deformasyon ebirim deformasyon eğğrisinin erisinin eğğimi imi olarak verilir. Betonun gerilmeolarak verilir. Betonun gerilme--birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisinin dorisinin doğğrusal olmayan rusal olmayan karakterinden dolaykarakterinden dolayıı elastisite modelastisite modüüllüünnüün n bulunmasbulunmasıında zorluklar yanda zorluklar yaşşanmaktadanmaktadıır. Bu r. Bu nedenle elastisite modnedenle elastisite modüüllüünnüün hesabn hesabıında nda farklfarklıı tantanıımlar gelimlar gelişştirilmitirilmişştir tir

•• ELASTELASTİİSSİİTE MODTE MODÜÜLLÜÜ

0.4 fc

Teğet Modülüf

εεεεεεεε

fc

f -εεεε eğrisine herhangi bir noktada çizilen teğetin eğimine ise Teğet Modülü denir. Uygulamada bu teğet yaklaşık olarak eğrinin 0.4 fc gerilmesine karşıt gelen noktası esas alınarak çizilir.


Başlangıç Modülüf

εεεεεεεε

fc

Betonun bir başka elastisite modülü, Et ile

gösterilen, f-ε eğrisinin başlangıçtaki teğetinin

eğimidir (Et = tanα).


Sekant Modülü

f

εεεεεεεε

fc

Sekant modülü, f - εεεε eğrisinin herhangi bir noktasını, koordinat merkezine birleştiren doğrunun eğimidir. Gerilmenin değeri ile değişir. Bu nedenle, sekant modülünün hesaplandığı gerilme değeri belirtilmelidir. Gerilme değeri, dayanımın (fc) belirli bir oranı olarak seçilir. Bu oran Đngiliz standardında %33 Amerikan standardında ise %40 olarak öngörülmüştür.

�� YukarYukarııdaki tdaki tüüm Elastisite modm Elastisite modüüllerinin kullanllerinin kullanıımmıında baznda bazıısorunlar vardsorunlar vardıır. r. ÖÖrnerneğğin, bu tanin, bu tanıımlamalar basmlamalar basıınnççdayandayanıımmıınnıın mertebesine ve yn mertebesine ve yüükleme hkleme hıızzıına gna gööre farklre farklııdedeğğerler alabilir. Daha gerler alabilir. Daha güüvenilir bir devenilir bir değğer olarak, Ed ile er olarak, Ed ile ggöösterilen sterilen Dinamik ElastisiteDinamik Elastisite modmodüüllüü tantanıımmıı geligelişştirilmitirilmişştir. tir. ff--εε eeğğrisinin risinin şşekli uygulanan gerilmenin hekli uygulanan gerilmenin hıızzıına bana bağğllııolduolduğğundan, yundan, yüükleme hkleme hıızzıına bana bağğllıı olarak Et de deolarak Et de değğiişşir. Hir. Hıız z arttarttııkkçça Et daha ba Et daha büüyyüük dek değğerler alerler alıır. Yalnr. Yalnıız Etz Et‘‘nin bu nin bu şşekilde artekilde artışıışınnıın da bir sn da bir sıınnıırrıı vardvardıır. Gerilmenin artr. Gerilmenin artıım hm hıızzııbelirli bir debelirli bir değğerin erin üüststüüne ne ççııkacak olursa, elde edilecek fkacak olursa, elde edilecek f--εεeeğğrileri hep barileri hep başşlanglangııççtaki ayntaki aynıı bir OA dobir OA doğğrusuna terusuna teğğet olur. et olur. Bu karakteristik baBu karakteristik başşka bir deyika bir deyişşle, Etle, Et‘‘nin alabilecenin alabileceğği en i en fazla defazla değğerdir. Genel olarak en erdir. Genel olarak en ççok 2ok 2--4 dakika s4 dakika süüren, bir ren, bir basbasıınnçç deneyinden elde edilen, fdeneyinden elde edilen, f--εε eeğğrisinin barisinin başşlanglangııççteteğğetinin eetinin eğğimi Ed, dinamik elastisite modimi Ed, dinamik elastisite modüüllüü olarak kabul olarak kabul edilebilir. Dinamik elastisite modedilebilir. Dinamik elastisite modüüllüü ultrasonik ultrasonik ööllçüçümlerle mlerle de bulunabilmektedir. Dinamik elastisite modde bulunabilmektedir. Dinamik elastisite modüüllüü, , gerilmenin bgerilmenin büüyyüüklklüüğğüüne ve gerilme artne ve gerilme artıım hm hıızzıına bana bağğllııolmadolmadığıığından, dindan, diğğer elastisite moder elastisite modüüllerine kllerine kııyasla daha yasla daha ggüüvenilirdir. Yvenilirdir. Yüüksek dayanksek dayanıımlmlıı betonlarda daha bbetonlarda daha büüyyüük k dedeğğerler alerler alıır. r.

�� Bazen deney sBazen deney sıırasrasıında, gerilmenda, gerilme-- birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisinin barisinin başşlanglangııccıı iiççbbüükey olarak key olarak ggöözlenir. Bzlenir. Bööyle durumlarda gerilmeyle durumlarda gerilme-- birim birim deformasyon edeformasyon eğğrisi risi üüzerindeki iki nokta araszerindeki iki nokta arasıında nda ççizilmiizilmişş dodoğğrunun erunun eğğimi olan imi olan ChordChord (kiri(kirişş) ) ModModüüllüünnüün n kullankullanıımmıı tercih edilebilir.tercih edilebilir.

�� ÇÇooğğu standart betonun elastisite modu standart betonun elastisite modüüllüünnüün ve n ve Poisson oranPoisson oranıınnıın bulunmasn bulunmasıı iiççin kiriin kirişş metodunu metodunu tantanıımlar. Bu amamlar. Bu amaççla, 150 x 300 mmla, 150 x 300 mm’’lik silindir lik silindir öörnekler kullanrnekler kullanııllıır. Deformasyonlar komparatr. Deformasyonlar komparatöör r (dial gage) veya strain gage ile (dial gage) veya strain gage ile ööllçüçüllüür (r (ŞŞekil ekil 11.10). S11.10). Süünme olaynme olayıınnıı devre ddevre dışıışı bbıırakmak ve rakmak ve komparatkomparatöörrüün oturmasn oturmasıınnıı sasağğlamak amaclamak amacııyla yla deney sdeney sıırasrasıında en az iki nda en az iki öön yn yüükleme yapkleme yapııllıır. r.

Elastisite modElastisite modüüllüü deneysel ydeneysel yööntemler ntemler ddışıışında nda şşu u şşekillerde de hesaplanabilir:ekillerde de hesaplanabilir:

�� ff--εε eeğğrisi irisi iççin kabul edilen fonksiyonun in kabul edilen fonksiyonun εε 'na 'na ggööre tre tüürevi, revi, εε = 0 durumunda betonun = 0 durumunda betonun elastisite modelastisite modüüllüünnüü verir. verir. ÖÖrnerneğğin, Voellmy in, Voellmy parabolparabolüü betonun fbetonun f--εε eeğğrisini simgeliyorsa ;risini simgeliyorsa ;

( ) c0

2

0

c

00c f

ε

ε -

ε

.ε2.fε

ε2

ε

εff

2=

−= bağıntısının ε ’na göre türevi

( ) c00

c fε

2ε -

ε

2.f

dεdf

2=

ε

2.f

dεdf

0

c= ε

2.f E

0

c=ε=0 için

Smith Smith -- Young fonksiyonunun betonun fYoung fonksiyonunun betonun f-- εε

davrandavranışıışınnıı simgeledisimgelediğği varsayi varsayııllıırsa ;rsa ;

= 0ε

ε - 1

0c e ε

εff

−+= 00 ε

ε - 1

00c

ε

ε - 1

0c e

ε

1.

ε

εf e

ε

1f

dεdf

fonksiyonunu

n ε’na göre

türevi alınırsa

−+= 00 ε

ε - 1

00c

ε

ε - 1

0c e

ε

1.

ε

εf e

ε

1f

dεdf

ε=0 için

0

df 2*eE

dε ε= =

AyrAyrııca deneysel ca deneysel ççalalışışmalardan yararlanarak, malardan yararlanarak, elde edilen ampirik formelde edilen ampirik formüüllerden elastisite llerden elastisite modmodüüllüü tahmin edilebilir tahmin edilebilir

�� Bu baBu bağığıntntıılardan biri L'Hermite formlardan biri L'Hermite formüüllüüddüür r

cfKE =

Đlişkideki K parametresi 18 000-23 000 arasında değerler alabilmektedir.

Amerikan Beton EnstitAmerikan Beton Enstitüüssüünce belirlenen nce belirlenen babağığıntntııya gya gööre (ACI Building Code 318re (ACI Building Code 318--92) 92)

�� Normal aNormal ağığırlrlııklklıı betonlar ibetonlar iççin (in (ρρ=2300 kg/m3) =2300 kg/m3)

cc f4.73E = fc<40 MPa

6.9f3.32E cc += 40<fc<80 MPa

cc f3.65E = 80<fc<140 MPa

TS 500TS 500’’de ise betonun basde ise betonun basıınnçç dayandayanıımmıına na babağğllıı olarak elastisite modolarak elastisite modüüllüünnüün an aşşaağığıdaki daki babağığıntntııyla hesaplanabileceyla hesaplanabileceğğini belirtmektedir ini belirtmektedir

14000f3250E ckjcj +=

Elastisite modElastisite modüüllüü ayrayrııca ultrases ca ultrases yyööntemiyle de saptanabilir ntemiyle de saptanabilir

�� L uzunluL uzunluğğunda bir beton unda bir beton üüzerinde zerinde öözel aygzel aygııtlarla tlarla üüretilen ultrases dalgalarretilen ultrases dalgalarıınnıın, beton elemann, beton elemanıın bir n bir ucundan diucundan diğğer ucuna varabilmesi ier ucuna varabilmesi iççin, gein, geççen (t) en (t) zamanzamanıı mikrosaniye mertebesinde mikrosaniye mertebesinde ööllçüçüllüür. Beton r. Beton iiççindeki V ses hindeki V ses hıızzıı ;;

t

LV = olarak cm/s boyutunda bulunur

g

δxVE 2=

bağıntısından E hesaplanabilir. Burada δ betonun birim hacim ağırlığı, g yerçekimi

ivmesidir

Boyut değişimi yapıldığında bağıntı şu şekle gelir :

9.81δ

xxV10E 25=

Burada, V km/sn, δ kg/lt, E kgf/cm2 birimlerinde alınır

Tablo Tablo ’’da farklda farklıı ssıınnııflardaki betonlarflardaki betonlarıın basn basıınnççdayandayanıımlarmlarıı kullankullanıılarak elastisite modlarak elastisite modüülleri delleri değğiişşik ik standartlara veya bastandartlara veya bağığıntntıılara glara gööre hesaplanmre hesaplanmışışttıır. r.

Elastisite Modülü (MPa)

fc (MPa) TS500 ACI CEBSmith-

Young Voellmy

20 28534 21153 27088 27100 20000

30 31801 25907 31008 35348 26087

40 34555 29915 34129 43360 32000

50 36981 30376 36764 45167 33333

80 43069 36595 43000 72267 53333

ÖÖRNEK SORULARRNEK SORULAR

�� 20 cm ayr20 cm ayrııtltlıı bir beton kbir beton küüp p üüzerinde yapzerinde yapıılan lan basbasıınnçç deneyinde; 12 tonluk ydeneyinde; 12 tonluk yüük altk altıında nda betonun 1,6x10betonun 1,6x10--2 2 mm kmm kıısaldsaldığıığı, 6 ton y, 6 ton yüük k altaltıında ise 0,83x10nda ise 0,83x10--22mm kmm kıısaldsaldığıığı ööllçüçülmlmüüşşttüür. r. Bu sonuBu sonuççlara glara gööre betonun re betonun σσ--εε (f(f--εε) davran) davranışıışı““Voellmy ParabolVoellmy Parabolü”ü” ile simgelenmekte ise ile simgelenmekte ise betonun olasbetonun olasıı basbasıınnçç dayandayanıımmıınnıı bulunuz.bulunuz.

ÖRNEK - 1

ÇÖÇÖZZÜÜM:M:

ise fise f--εε dodoğğrusal rusal davrandavranışış ggöösterir.sterir.

A

B

84,15

15

30

εεεε (x10-5)

f

3

ff <

0 0

(2 )cf fε ε

ε ε= −

2

1

600015 /

20*20f kgf cm= = 2

2

1200030 /

20*20f kgf cm= =

25

1

0,83*104,15*10

200ε

−−= =

25

2

1,6*108*10

200ε

−−= =

�� ABAB’’nin enin eğğimi yaklaimi yaklaşışık olarak betonun Ek olarak betonun E’’si kabul edilebilir.si kabul edilebilir.

5 2

5

30 153,9*10 /

(8 4,15)*10E kgf cm

−

−= =

−

0

2 cfEε

= (Voellmy bağıntısının εεεε’na göre türevi alınır, εεεε=0 verilirse bulunur.)

(εεεε0=tepe noktasında birim şekil değiştirme)

5 5

0 0

23,9*10 1,95*10c c

f f

ε ε= → = f=30 için

58*10ε −= (30<fc/3)

55

0 0

8*1030 8*10 * (2 )cf

ε ε

−−= −

55 5

0

8*1030 8*10 *1,95*10 (2 )

ε

−−= −

5 55

0

0 0

8*10 8*101,92 2 0,08 104*10ε

ε ε

− −−= − → = → =

5 5 5 2

0

1,95*10 . 1,95*10 *104*10 203 /cc

fidi f kgf cm

ε−= ⇒ = =


�� 15 cm 15 cm ççaplaplıı, 30 cm y, 30 cm yüükseklikli beton silindir kseklikli beton silindir öörnekleri rnekleri ortalama 56 ton basortalama 56 ton basıınnçç yyüükküünde knde kıırrıılmlmışışlardlardıır. Kr. Kıırrıılma anlma anıında nda ise 0,6 mm kise 0,6 mm kıısalmsalmışışlardlardıır. Betonun fr. Betonun f--εε davrandavranışıışı Smith Young Smith Young fonksiyonu ile simgelenmektedir.fonksiyonu ile simgelenmektedir.a)Basa)Basıınnçç dayandayanıımmıınnıı ve kve kıırrıılma anlma anıındaki birim ndaki birim şşekil deekil değğiişşimini imini hesaplayhesaplayıınnıız.z.b)Elastisite modb)Elastisite modüüllüünnüü hesaplayhesaplayıınnıız.z.c)Bu malzemeden yapc)Bu malzemeden yapıılmlmışış 40*20 cm enkesitli, 2,50 m 40*20 cm enkesitli, 2,50 m yyüükseklikli kolonun en fazla 1,25 mm kkseklikli kolonun en fazla 1,25 mm kıısalma yapmassalma yapmasıına izin na izin verilmektedir. Sverilmektedir. Sööz konusu kolona kaz konusu kolona kaçç ton yton yüük emniyetle k emniyetle yyüüklenebilir?klenebilir?(Emniyet katsay(Emniyet katsayııssıı=2,5)=2,5)

ÖRNEK - 2

2

2

56000*4316,9 /

*15c

f kgf cmπ

= =3

0

0,62*10

300ε −= =

0 0

(2 )cf fε ε

ε ε= −a)

B

ε0=2*10-3

fc=316,9 kgf/cm2

εεεε

f

b) Elastisite modülü

0

(1 )

0

cf f e

ε

εε

ε

−

= Smith-Young fonksiyonunun εεεε’a göre türevi alınıp εεεε=0 için değeri bulunursa

0

*fc eE

ε= olarak elde edilir.

5 2

3

361,9*4,3*10 / 2,718

2*10

eE kgf cm e

−= = ⇒ =

250

4020

1, 25l mm∆ = izin verilen kısalma

41, 255*10

2500

l

Lε −∆

= = =

4

3

0

5*100, 25

2*10

ε

ε

−

−= =

(1 0,25) 2316,9*0, 25* 167,72 /

167,72*20*40 134176

13417653670 53,5

2,5emn emn

f e kgf cm

P kg

P kg P ton

−= =

= =

= = → =

c)


�� 10*10*50 cm ayr10*10*50 cm ayrııtltlıı bir beton prizma bir beton prizma üüzerinde eksenel zerinde eksenel dodoğğrultuda yaprultuda yapıılan ultrases deneyinde sesin 50 cmlan ultrases deneyinde sesin 50 cm’’lik boyu lik boyu 128 mikrosaniye de ge128 mikrosaniye de geççtitiğği saptani saptanııyor. Bu betondan yor. Bu betondan yapyapıılacak 275 cm ylacak 275 cm yüükseklikli ve 40*40 cm enkesitli bir kolon kseklikli ve 40*40 cm enkesitli bir kolon 91200 kg91200 kg’’llıık dk düüşşey ve eksenel yey ve eksenel yüük altk altıında ani olarak ne nda ani olarak ne miktarda kmiktarda kıısalsalıır?r?VarsayVarsayıımlar; mlar; betonun fbetonun f--εε davrandavranışıışı voellmy parabolvoellmy parabolüüne uymaktadne uymaktadıır.r.LL’’ Hermitte formHermitte formüüllüü gegeççerlidir. K=20000 alerlidir. K=20000 alıınacaktnacaktıır.r.Betonu birim hacim aBetonu birim hacim ağığırlrlığıığı 2,4 kg/lt2,4 kg/lt’’dir.dir.Kolonun kendi aKolonun kendi ağığırlrlığıığı ve burkulma ihmal edilecektir.ve burkulma ihmal edilecektir.

ÖRNEK - 3

Betonun içindeki ses hızı V=L/t (cm/sn)

5

6

503,91*10 /

128*10V cm sn

−= = veya 3,91 km/sn

5 210 * *E Vg

∆= 2, 4 /kg lt∆ = g=9,81 cm/sn2

5 2 22,410 *3,91 * 373300 /

9,81E kgf cm= =

cE K f= (L’ Hermitte formülü)2373300 20000 348 /c cf f kgf cm= → =

Voellmy bağıntısından elastisite modülü

0

2 cfEε

=0 0

(2 )cf fε ε

ε ε= − 3

0

0

2*348373300 1,867*10ε

ε−= → =

40*40 cm enkestli kolonda 91200 kg’lık yük altında oluşacak gerilme;

29120057 /

40*40f kgf cm= =

0 0

(2 )cf fε ε

ε ε= − Voellmy

3 3 357 348 (2 )

1,867*10 1,867*10 1,867*10x

ε ε ε− − −

= − ⇒ =

2

2

1,2 1 2

57 348 (2 ) 0,164 2

2 0,164 0

4 4*0,1642 1,91| 0,0855

2

x x x x

x x

x x x

= − → = −

− + =

−= ⇒ = =m

0

1ε

ε<

olacağında x2

kökü kullanılmalıdır.

B

ε0εi

fi

εεεε

f

3 41,867*10 (0,0855) 1,6*10ε − −= =

4 41,6*10 1, 6*10 * 2750 0, 451mmhh mm

− −∆= → ∆ = =

∆


•• BETONUN ZAMANA BABETONUN ZAMANA BAĞĞLI DAVRANILI DAVRANIŞŞII

•• SSÜÜNMENME f

tt

tt

εεεεεεεε


•• BETONUN ZAMANA BABETONUN ZAMANA BAĞĞLI DAVRANILI DAVRANIŞŞII

•• SSÜÜNMENME

•• RRÖÖTRETRE

•• YORULMAYORULMA

BETONDA BETONDA ŞŞEKEKİİL L DEDEĞİŞİĞİŞİMLERMLERİİ

İİNNŞŞ2024 YAPI MALZEMES2024 YAPI MALZEMESİİ IIII

Dokuz Eylül Üniversitesi

İnşaat Mühendisliği Bölümü

DoDoDoDoçççç.... Dr. Dr. Dr. Dr. Halit YAZICI

http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici

YM-II#13 BETONDA SEKIL DEGISIMLERI -...

Documents

Transcript of YM-II#13 BETONDA SEKIL DEGISIMLERI -...