Wykład 4Problem dwóch prób: porównywanie średnichi wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Magdalena Frąszczak

Wrocław, 15.03.2017r

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Problem dwóch prób

X = (X1,X2, . . . ,Xn)′ - próba z rozkładu normalnego N (µX , σ2X ),Y = (Y1,Y2, . . . ,Ym)′ - próba z rozkładu normalnego N (µY , σ2Y ).

próby zależne

próby niezależne

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test jednorodności wariancji

Niech X = (X1,X2, . . . ,Xn)′ oznacza próbę z rozkładu normalnegoN (µX , σ2X ), a Y = (Y1,Y2, . . . ,Ym)′ będzie próbą z rozkładunormalnego N (µY , σ2Y ).

Testujemy hipotezę:

H0 : σX = σY

Przy możliwych alternatywach:

H1 : σX 6= σYH2 : σX < σYH3 : σX > σY

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test jednorodności wariancji

Statystyka testowa postaci:

F =1

n−1∑n

i=1(Xi − X̄ )21

m−1∑m

i=1(Yi − Ȳ )2=

S2XS2Y

przy prawdziwości H0 ma rozkład F - Snedecora z n − 1 i m − 1stopniami swobody.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test jednorodności wariancji

Obszar odrzucenia hipotezy zerowej

Zbiór krytyczny przyjmuje postać (w zależności od alternatywy):

C1 : [0, fα2

(n − 1,m − 1)] ∪ [f1−α2 (n − 1,m − 1),∞) − dlaalternatywy H1C2 : [0, fα(n − 1,m − 1)] − dla alternatywy H2C3 : [f1−α(n − 1,m − 1),∞) − dla alternatywy H3

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób niezależnych

Niech X = (X1,X2, . . . ,Xn)′ oznacza próbę z rozkładu normalnegoN (µ, σ2X ), a Y = (Y1,Y2, . . . ,Ym)′ będzie próbą z rozkładunormalnego N (µ, σ2Y ), zakładamy że wariancje są nieznane oraz sąsobie równe, tj. σ21 = σ

22

Testujemy hipotezę:

H0 : µX = µY

Przy możliwych alternatywach:

H1 : µX 6= µYH2 : µX < µYH3 : µX > µY

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób niezależnych

Statystyka testowa postaci:

T =X̄ − Ȳ√∑n

i=1(Xi − X̄ )2 +∑m

i=1(Yi − Ȳ )2·√

nm

n + m(n + m − 2) =

=X̄ − Ȳ√

nS2X + mS2Y

·√

nm

n + m(n + m − 2),

gdzie SX i SY oznaczają wariancje obciążone dla prób X i Yodpowiednio, przy prawdziwości H0 ma rozkład t-Studenta zn + m − 2 stopniami swobody.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób niezależnych

Obszar odrzucenia hipotezy zerowej

Zbiór krytyczny przyjmuje postać (w zależności od alternatywy):

C1 : (−∞,−t1−α2 (n + m − 2)] ∪ [t1−α2 (n + m − 2),∞) − dlaalternatywy H1C2 : (−∞,−t1−α(n + m − 2)] − dla alternatywy H2C3 : [t1−α(n + m − 2),∞) − dla alternatywy H3

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Przykład 4.1

W celu sprawdzenia czy sportowcy trenujący według nowej formytreningu osiągają lepsze wyniki w skoku w dal zmierzono wyniki wgrupie sportowców trenujących standardowo i tych, którzy zostalipoddani nowemu treningowi. Wyniki w obu grupach przedstawiająsię następująco 6.20, 5.95, 6.30, 6.90, 6.15, 6.25 w grupie trenującejpo staremu oraz 6.15, 7.05, 6.10, 6.40, 6.05 w drugiej grupie. Czyna poziomie istotności 0.01 możemy uznać, że sportowcy trenującywedług nowatorskiego podejścia osiągają lepsze wyniki.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Przykład 4.1 - c.d.

Przetestujemy najpierw równość wariancji w obu próbachTestujemy hipotezę:

H0 : σX = σYH1 : σX 6= σY

Wyznaczamy wartości wariancji nieobciążonych:S2X = 0.103 S

2Y = 0.171

F =S2XS2Y

=0.1030.171

= 0.603

Zbiór krytyczny jest postaci

C : [0, f0.025(5, 4)] ∪ [f0.975(5, 4),∞) = [0, 0.135] ∪ [9.364,∞)

A zatem na poziomie istotności 0.05 nie ma podstaw doodrzucenia hipotezy o równości wariancji w obu próbach.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób niezależnych -Przykład 4.1 c.d.

Testujemy hipotezę:

H0 : µX = µYH1 : µX < µY

Obliczamy:X̄ = 6.29 Ȳ = 6.35S2X = 0.08 S

2Y = 0.13

Statystyka testowa jest postaci:

T =6.29− 6.35√6 · 0.08+ 5 · 0.13

√5 · 65+ 6

(5+ 6− 2) = −0.05·√24.54 = −0.26

Zbiór krytyczny przyjmuje postać:

C : (−∞,−t0.99(9)] = (−∞,−2.82]T = −0.26 > −2.82, a zatem nie możemy powiedzieć, żesportowcy z drugiej grupy osiągają lepsze wyniki.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Pakiet R

x

Pakiet R

x

Test studenta dla prób zależnych

Niech (X1,Y1), (X2,Y2), . . . , (Xn,Yn) będą parami obserwacji zrozkładu normalnego, wzajemnie niezależnych, przy czym zmiennew parze mogą być zależne

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób zależnych

Zmienne losowe postaci Di = Xi − Yi tworzą próbę niezależnychzmiennych losowych o rozkładzie normalnym N(µD , σ2D) znieznaną średnią i wariancją.

Testujemy hipotezę:µD = 0

Przy możliwych alternatywach:

H1 : µD 6= 0H2 : µD < 0H3 : µD > 0

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób zależnych

Statystyka testowa postaci:

T =D̄

SD·√n

przy prawdziwości H0 ma rozkład t-Studenta z n − 1 stopniamiswobody.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Test studenta dla prób zależnych

Obszar odrzucenia hipotezy zerowej

Zbiór krytyczny przyjmuje postać (w zależności od alternatywy):

C1 : (−∞,−t1−α2 (n − 1)] ∪ [t1−α2 (n − 1),∞) − dlaalternatywy H1C2 : (−∞,−t1−α(n − 1)] − dla alternatywy H2C3 : [t1−α(n − 1),∞) − dla alternatywy H3

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Przykład 4.2

Autor nowej diety odchudzającej twierdzi, że jego metoda jestidealna dla chcących szybko zrzucić zbędne kilogramy. W celusprawdzenia skuteczności diety zważono 8 ochotników przed i pozastosowaniu diety otrzymując następujące wyniki:

przed dietą 61 73 59 89 94 68 78 115 93 69po diecie 60 69 57 82 95 65 74 107 87 63

Czy na poziomie istotności 0.05 możemy wnioskować, że dieta jestskuteczna?

Testujemy hipotezęH0 : µD = 0H1 : µD > 0

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Przykład 4.2 - c.d.

Wektor różnic jest postaci D = (1, 4, 2, 7,−1, 3, 4, 8, 6, 6).

Statystyka testowa jest postaci:

T =D̄

SD·√n =

42.82

√10 = 4.47

Zbiór krytyczny jest postaci: C : [t0.95(9),∞) = [1.83,∞).Odrzucamy hipotezę zerową, a zatem dietę można uznać zaskuteczną.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Przykład 4.2 - c.d.

Wektor różnic jest postaci D = (1, 4, 2, 7,−1, 3, 4, 8, 6, 6).Statystyka testowa jest postaci:

T =D̄

SD·√n =

42.82

√10 = 4.47

Zbiór krytyczny jest postaci: C : [t0.95(9),∞) = [1.83,∞).Odrzucamy hipotezę zerową, a zatem dietę można uznać zaskuteczną.

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych

Pakiet R

x

Literatura:

Bartoszewicz J.,Wykłady ze statystyki matematycznej, PWN,Warszawa 1989.

Koronacki J. i Mielniczuk J., Statystyka, dla studentówkierunków technicznych i przyrodniczych, WNT, 2001

Magdalena Frąszczak Wykład 4 Problem dwóch prób: porównywanie średnich i wariancji z populacji o rozkładach normalnych