20/3/2011 1

ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΧΡΙΑ

MORSE

(WITTEN 1982).

EDWARD WITTEN

(born August 26, 1951)

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΦΥΣΙΚΟΣ

MScΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ

20/3/2011 2

ΜΙΑ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΒΑΙΜΕΝΗ ΣΟ ΑΡΘΡΟ ΣΟΤ WITTEN:

“SUPERSYMMETRY AND MORSE

THEORY”

ΣΟ ΠΕΡΙOΔΙΚΟ:

J. DIFFERENTIAL GEOMETRY 17 (1982)

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 3

ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΧΡΙΑ MORSE (WITTEN 1982).

ε θάζε θβαληηθή ζεωξία πεδίνπ ν ρώξνο Hilbert κπνξεί λα γξαθεί

ζαλ ην επζύ άζξνηζκα (direct sum) ηωλ ρώξωλ θαη , δειαδή:

: ν ρώξνο ηωλ «κπνδνληθώλ» θαηαζηάζεωλ

: ν ρώξνο ηωλ «θεξκηνληθώλ» θαηαζηάζεωλ

Οπίζουμε:

• Σνπο Εξκεηηαλνύο ηειεζηέο , πνπ απεηθνλίδνπλ ην

ρώξν ζην ρώξν θαη αληίζηξνθα.

• Σνλ ηειεζηή , ν νπνίνο δηαθξίλεη ην ρώξν από ην ρώξν

(θαη κεηξάεη ηνλ αξηζκό ηωλ θεξκηνλίωλ modulo 2)

iQ 1,2,...i N,

( 1)F

( 1) ( 1) FnF I

'cont d

Ιδηόηεηεο:

{( 1) , } 0F

iQ

2(( 1) )F I

(( 1) ) ( 1)F F

(involution),

(Εξκεηηαλόο).

Η δξάζε ηνπ ηειεζηή ζην ρώξν είλαη:( 1)F

( 1)F

( 1)F

,

,

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 4'cont d

Οη ζρέζεηο (3) θαη (4) πξέπεη λα γεληθεπζνύλ ζε κηα θβαληηθή ζεωξία

πεδίνπ (αλαιινίωην ζε Lorentz).

Πεξηνξηδόκαζηε ζε ρωξόρξνλν 2 δηαζηάζεωλ, νπόηε έρνπκε έλα κόλν

ηειεζηή νξκήο P. Έρνπκε:

2

1Q H P 2

2Q H P

1 2 2 1 0QQ Q Q

(5)Jacobi

[ , ] [ , ] 0i iQ H Q P (6)

2 2

1 2

1( )

2H Q Q

2 2

1 2

1( )

2P Q Q [ ,( 1) ] [ ,( 1) ] 0F FH P

(7)

(8) (9)

Με αξλεηηθέο ηδηνηηκέο ελέξγεηαο

,

,

ηελ απινύζηεξε «έθδνζε» ηεο ΤΚΜ, απαηηνύκε λα ηζρύνπλ:

{( 1) , } 0F

iQ (1)

[ , ] 0iQ H (2)

2 ,iQ H i (3)

{ , } 0,i jQ Q i j (4)

,

,

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

5

'cont d

Η ζπνπδαηόηεξε εξώηεζε γηα κηα ππεξζπκκεηξηθή θβαληνκεραληθή

ζεωξία είλαη ην θαηά πόζνλ ππάξρεη (ή όρη) κηα θαηάζηαζε ζην ρώξν

Hilbert ε νπνία λα «εξαϋλώνεηαι» από ηνπο ππεξζπκκεηξηθνύο ηειεζηέο

iQ , γηα ηελ νπνία δειαδή λα έρνπκε:

0iQ (10)

Αλ κηα ηέηνηα θαηάζηαζε ππάξρεη, ηόηε από ηελ (7) βιέπνπκε όηη ζα έρεη

ππνρξεωηηθά μηδενική ενέπγεια. Εθ’ όζνλ όκωο νη ηδηνηηκέο ελέξγεηαο είλαη

κε αξλεηηθέο, κηα θαηάζηαζε κε κεδεληθή ελέξγεηα ζα αληηζηνηρεί ζηελ

καηάζηαζη «κενού» ηνπ ζπζηήκαηνο. Λέκε ηόηε όηη ε ππεξζπκκεηξία είλαη

μη-ζπαζμένη (unbroken Susy)

Αλ νη ηειεζηέο δελ εμαϋιώλνπλ ην θελό, ιέκε όηη ε ππεξζπκκεηξία

είλαη «αυθόπμηηα ζπαζμένη» (spondaneously broken)iQ

Σώξα: : 0iK Q 0H

0P

Μπνξνύκε ινηπόλ λα εξγαζζνύκε ζηνλ ππόρωξν πνπ πεξηέρεη ηηο θαηα-

ζηάζεηο νη νπνίεο «εμαϋιώλνληαη» από ηνλ ηειεζηή P:0 0 0

0

Σν ππεξζπκκεηξηθό κνληέιν

ζα ηθαλνπνηεί ηηο εμηζώζεηο:

2

iQ H i { , } 0i jQ Q i j , ,(11) (12)20/3/2011 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

3/20/2011 Γιάννης Φιορεντίνος 6

ην paper κε ηίηιν Dynamical Breaking of Supersymmetry, Nuclear

Physics B 188 (1981), pages 513-555, o Edward Witten ππνιόγηζε

ηνλ δείθηε ( 1)Ftr κεηαμύ άιιωλ ζηηο πεξηπηώζεηο:

Τπεξζπκκεηξηθήο ζεωξίαο 4 ζε 4-δηαζηάζεηο,

Τπεξζπκκεηξηθώλ κε- Αβειηαλώλ ζεωξηώλ βαζκίδαο επίζεο ζηηο

4-δηαζηάζεηοθαη έδεημε όηη είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο. Έηζη ζηηο δύν παξαπάλω

πεξηπηώζεηο ε ππεξζπκκεηξία είλαη κηα κε-ζπαζκέλε ζπκκεηξία.

Επίζεο ζηα papers E. Witten, Nuclear Physics B 202 (1982) θαη

Toroidal Compactification without vector structure, 1997, o Witten

ππνιόγηζε ην δείθηε ζε κηα «θαζαξή» (ρωξίο δειαδή ηελ

παξνπζία ύιεο) ππεξζπκκεηξηθή ζεωξία Yang-Mills θαη ηνλ βξήθε

κε κεδεληθό. Έηζη ε «θαζαξή» SYM ζεωξία (ρωξίο ύιε) δελ ζπάεη

ηελ ππεξζπκκεηξία.

( 1)Ftr

'cont d

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:

20/3/2011 7

ηε ζπλέρεηα ζεωξνύκε:

• Μ: Ρεκάληα πνιιαπιόηεηα, δηάζηαζεο ε

• : Εμωηεξηθή παξάγωγνο , : ε ζπδπγήο ηεο

• , : Ο ρώξνο ηωλ

d d d

pV 0,1,2,...,p n p forms

Επίζεο ηνπο ππεξζπκκεηξηθνύο ηειεζηέο:

1Q d d 2 ( )Q i d d (14 )a (14 )b

Καη ηνλ ηειεζηή Η:

(δξα ζηα ) H dd d d (14 )c

ύκθωλα κε ην ιήκκα Poincare είλαη: 2 2 0d d , νπόηε:

2 2

1 2Q Q H 1 2 1 2 2 1{ , } 0Q Q QQ Q Q (15 )a (15 )b

πνπ θαζνξίδνπλ ηελ ππεξζπκκεηξηθή άιγεβξα.

p forms

'cont d

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 8

Η νκνηηκία (parity) p θαζνξίδεη ην αλ έρνπκε κπνδόλην ή θεξκηόλην:

• p = άξηηνο κπνδόλην

• p = πεξηηηόο θεξκηόλην

Θεωξνύκε ηε ιεία θαη πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε h θαη ηε κεηαβιεηή

.t R

Mέζω ηωλ ζρέζεωλ:

ht ht

td e de ht ht

td e d e ,(16 )a (16 )b

Οξίδνπκε ηνπο λένπο ππεξζπκκεηξηθνύο ηειεζηέο:

1t t tQ d d , 2 ( )t t tQ i d d (17) (18)

Όκωο:2 2 0t td d

2 2

1 2t t tQ Q H

1 2{ , } 0t tQ Q t (19)'cont d

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 9

Η λέα Υακηιηνληαλή είλαη:t t t t tH d d d d (20)

ύκθωλα ηώξα κε ηελ ζεωξία Hodge: dimkerp pB (21)

Η ζπδπγία κε ηνλ όξν θάλεη ην θάζκα ηνπ λα εμαξηάηαη από

ην t, νη κεδεληθνί όκωο ρώξνη (null spaces) ηνπ θαη ηνπ ηαπηί-

δνληαη, νπόηε:

hte tH

tH H

( ) dimker ( ) dimkerp p p pB t t B (22)

Αξηζκόο κεδεληθώλ ηδηνηηκώλ αξηζκό κεδεληθώλ ηδηνηηκώλtH HpB

Η ηδέα ηνπ Witten ήηαλ, κειεηώληαο ην θάζκα ηνπ γηα κεγάια

t (όπνπ απινπζηεύεηαη αξθεηά), λα ζέζεη έλα άλω θξάγκα ζηνλ α-

ξηζκό (Betti), ζε ζρέζε κε ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο h.

tH

pB

'cont dΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 10

ε θάζε ζεκείν p ηεο Ρεκάληαο πνιιαπιόηεηαο Μ, επηιέγνπκε

κηα νξζνθαλνληθή βάζε από εθαπηόκελα αλύζκαηα ( )ka p

Θεωξνύκε ηα ζαλ ηειεζηέο θαη ζπκβνιίδνπκε κε ηνπο

ζπδπγείο ηειεζηέο .( )ka p ( )ka p

( )ka p

Σειεζηήο δεκηνπξγίαο( )ka p

Σειεζηήο θαηαζηξνθήοΦεξκηνλίνπ

Η Υακηιηνληαλή γξάθεηαη:tH

( )ht ht

t t t t tH d d d d e dd d d e

22 2

,

( ) [ , ]i j

ii j

D hdd d d t dh t a a

D D j

2 2( ) ( )( ) ( )ij

i j

h hdh gradh

όπνπ:

(23)

'cont d

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 11

tH V

dd d d

22 2

,

[ , ] ( )i j

ii j

D hV t a a t gradh

D D j

(24)

tH Σειεζηήο ηύπνπ Schrodinger(V είλαη ν όξνο ηεο

«δπλακηθήο ελέξγεηαο»)

Γηα κεγάια t 2 2( )V t gradh (25)

Ο όξνο ηόηε γίλεηαη πνιύ κεγάινο νδεγώληαο ζε ιύζεηο κεδε-

ληθώλ ηδηνθαηαζηάζεωλ. Απηό απνηξέπεηαη ζηελ πεξηνρή ηωλ θξίζη-

κωλ ζεκείωλ , όπνπ ν ζπληειεζηήο ηνπ κεδελίδεηαη.

V

( 0)dh 2t

Γηα κεγάια ινηπόλ t νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ζπγθεληξώλνληαη,

θαηά θάπνην ηξόπν, θνληά ζηα θξίζηκα ζεκεία ηεο htH

'cont dΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

12

Μπνξνύκε λα αλαιύζνπκε ηελ αζπκπηωηηθή ζπκπεξηθνξά ηωλ ηδηνηηκώλ,

αλαπηύζζνληαο ζε δπλάκεηο ηνπ , γύξω από ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο h.1

t

Η ζπλάξηεζε h, ( κε-εθθπιηζκέλε ζπλάξηεζε Morse) δηαζέηεη ηηο ηδηόηεηεο:

• Όια ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο είλαη απνκνλωκέλα.

• Όια ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο είλαη κε-εθθπιηζκέλα.

Έζηω: Αξηζκόο θξίζηκωλ ζεκείωλ ηεο h κε δείθηε ppM

Ολνκάδνπκε: n-νζηή κηθξόηεξε ηδηνηηκή ηνπ ηειεζηή ( ) ( )n

p ttH

Γηα κεγάια t:

( ) ( )

( ) ( )

2( ) ( ...)

n n

p pn n

p p

B Ct t A

t t (26)

'cont d

Ο αξηζκόο Betti = Αξηζκό ηωλ πνπ είλαη κεδέλ pB ( ) ( )n

p t

Ο Αξηζκόο ηωλ κεδεληδόκελωλ δελ είλαη κεγαιύηεξνο από

ηνλ αξηζκό ηωλ κεδεληδόκελωλ (ζρέζε 26)

( ) ( )n

p t( )n

pA

Αξηζκόο κεδεληδόκελωλ = (Αξηζκόο θξίζηκωλ

ζεκείωλ ηεο h κε δείθηε p.)

( ) ( )n

p t pMΚαη όπωο ζα δνύκε παξαθάηω:

20/3/2011 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 13

2 3

1

1( ) (0) [ ]

2

n

i i i

i

h h O

(27) γηα θάπνηα i

ηελ πεξηνρή ινηπόλ ηνπ θξίζηκνπ ζεκείνπ ε Υακηιηνληαλή πξνζεγγίδεηαη από

ηελ έθθξαζε:

22 2 2

2( [ , ])

i

i

i i

t i i

i

H t t a a

(28) , ή

( )t i i i

i

H H t K

22 2 2

2 i

i

i iH t

[ , ]j j

jK a a(29)

iH Υακηιηνληαλή ελόο απινύ αξκνληθνύ ηαιαληωηή

'cont d

ηελ πεξηνρή ελόο θξίζηκνπ ζεκείνπ p, κπνξνύκε λα εηζάγνπκε Επθιείδεηεο ζπληεηαγκέλεο

επηιέγνληαο λα είλαη: θαη αλαπηύζζνπκε ηε κεηξηθή κέρξη όξνπο i

( ) 0i p 2i

2 2 231 1 2 2 ...

( ) (0) [ ]2

n nih h O

Λήκκα ηνπ Morse ή

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 14

Σώξα: [ , ] 0i i δξα ζην θνκκάηη Φ ηεο θπκαηνζπ-

λάξηεζεο πνπ βξίζθεηαη κπξνζηά από

ην

iH

p form

Οη ηδηνηηκέο ηνπ ζα είλαη ην άζξνηζκα ηωλ ηδηνηηκώλ

ηνπ θαη απηώλ ηνπ «δηνξζωηηθνύ όξνπ»tH

iH i it K

Οη αληίζηνηρεο ηδηνηηκέο είλαη:

iH (1 2 )i it N κε 0,1,2...iN

iK 1 , νπόηε:

tH [ (1 2 ) ]i i i i

i

t N n 1in 0,1,2...iN , ,

Αξηζκόο ζεηηθώλ in p

Γηα ην κεδεληζκό ηωλ ηδηνηηκώλ ηνπ απαηηνύκε λα είλαη ,

θαη επίζεο επηιέγνπκε λα είλαη:

0iN tH ii in sign

(30)

'cont dΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

20/3/2011 15

Ο ηειεζηήο έρεη κία αθξηβώο κεδεληθή ιύζε, ζηελ πεξηνρή ηνπ

θξίζηκνπ ζεκείνπ, αλ απηό έρεη δείθηε ίζν κε p.

Οη ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ κπνξεί λα βξίζθνληαη ζηελ πεξηνρή νη-

νπδήπνηε θξίζηκνπ ζεκείνπ.

Γηα θάζε θξίζηκν ζεκείν κε δείθηε p, έρνπκε κηα κεδεληθή ηδηνηη-

κή πνπ αληηζηνηρεί ζε έλα .

Ο νιηθόο αξηζκόο ηωλ κεδεληθώλ ηζνύηαη κε ηνλ αξηζ-

κό ηωλ θξίζηκωλ ζεκείωλ κε δείθηε p.

Αλ ν ππνινγηζκόο ήηαλ αθξηβήο:

Αξηζκόο κεδεληθώλ =

Οξηζκέλα από ηα κεδεληθά

κπνξεί λα κελ

πθίζηαληαη πιένλ

(Αζζελείο αληζόηεηεο Morse)

p pB M

tH

tH

p forms

p forms

p forms

pB

p form

1

2

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ