TS DEVOIR N° 5 ( 1h ) Le 2/02/2017

Il sera apporté le plus grand soin à la présentation et la rédaction

Exercice 1 5,5 points

Pré-requis : soit z un nombre complexe tel que z=a+ib ( , b réels ) . On note z=a−ib

1. Démontrer que :

Pour tout entier naturel n et tout nombre complexe z : zn=zn

2. Soit (E) l’équation : z3−z2+z−1=0a. Démontrer que si z est solution de l’équation (E) , alors z est également solution de 

l’équation (E)b. Montrer que 1 et i sont solutions de (E ) . Donner la troisième solution de (E)3. En factorisant l’expression z3−z ², retrouver les solutions de (E)

  

Exercice 2 3 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O;u⃗ , v⃗).

A tout point M  d’affixe z du plan on associe le point M '  d’affixe z '  définie par : 

z '=z ²+4 z+3

1. Un point M  est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point M '  associé, c’est-à-dire lorsque z=z 'Démontrer qu’il existe deux points invariants dont on donnera l’affixe sous forme algébrique.

2. Déterminer l’ensemble ε  des points M  d’affixe z tel que le point M '  associé soit sur l’axe des réels .On interprétera graphiquement le résultat.

Exercice 3 6,5 points

Résoudre dans C  les équations suivantes en donnant vos réponses sous forme algébrique :

a. i z=3 z−2ib. 3z ²+z z+6 i √2=0c. ( z−2 )2=(3+iz) ²