le modèle de Mirrlees

•Des agents ayant des préférences identiques U (C,L) sur con-

sommation C et offre de travail L

• Les agents ne diffèrent que par leur productivité w v F (.)

•On souhaite compenser les malchanceux (bas w)

max

Z w1

w0

Φ [U (Cw,Lw)] · dF (w) avec Φ0 > 0 ≥ Φ00

•Mais on n’observe pas leur caractéristique w, seulement leur revenu

primaire Yw = w · Lw

Choix du barème T (.) non linéaire tel que Cw = Yw − T (Yw)

Résumé

•Caractériser l’ensemble des allocations w 7→ (Cw, Yw) qui sont implé-

mentables dans cette économie.

•Déterminer l’optimum du gouvernement

• Le cas particulier où w prend deux valeurs (Stiglitz 1982 JPubE)

• Le cas particulier d’absence d’effet revenus dans l’offre de travailU (C,L) =

C − v (L) (Piketty RFE 1997, Diamond AER 1998)...

2

Implémentation

• Soit un barème non-linéaire T (.) Un travailleur de type w résout

maxL

U (w · L− T (w · L) , L)

• Si T (.) dérivable, CN1 implique

1− T 0 (w · L) = 1

w·U 0L (w · L− T (w · L) , L)U 0C (w · L− T (w · L) , L)

3

Sous des hypothèse minimales de régularité (e.g. L borné, U (., .) et

T (.) continues), ce programme définit une allocationw 7→ (Cw,Lw, Yw, Uw)

Lw = argmaxL

U (w · L− T (w · L) , L)

et Yw = w · Lw Cw = Yw − T (Yw)

Uw = maxL

U (w · L− T (w · L) , L)

i.e. Uw = U (Cw,Lw) = U

µCw,

Yww

¶

4

• Le choix du ménage en terme de variables observables Y = w · L par

le gouvernement revient à:

maxY

U

µY − T (Y ) , Y

w

¶•Choisir Y revient à choisir parmi les paniers possibles proposés par le

gouvernement w 7→ (Yw,Cw) et donc à choisir un x (i.e. choisir un

panier (Cx, Yx)

maxx

U

µCx,

Yxw

¶

5

•Une allocation réalisable doit donc être compatible avec les con-

traintes d’incitation :

∀ (w, x) U

µCw,

Yww

¶≥ U

µCx,

Yxw

¶(IC)

•Comme

T (Yw) = Yw − Cw

et que la contrainte budgétaire du gouvernement s’écrit

E ≤Z w1

w0

T (Yw) · dF (w) (E ≥ 0 exogène)

Une allocation doit vérifier la contrainte d’emploi ressources

E +

Z w1

w0

Cw · dF (w) ≤Z w1

w0

Yw · dF (w) (ER)

6

Le principe de taxation

• Stipule que le choix d’un barème fiscal Y 7→ T (Y ) en tenant compte

du comportement des agents

Yw = argmaxY

U

µY − T (Y ) , Y

w

¶est équivalent à

• choisir une allocation w 7→ (Cw, Yw) respectant les contraintes d’incitation

∀ (w, x) U

µCw,

Yww

¶≥ U

µCx,

Yxw

¶(IC)

7

Le Modèle de Mirrlees (1971)

max(Yw,Cw)w∈[w0,w1]

Z w1

w0

Φ

∙U

µCw,

Yww

¶¸· dF (w)

sous : ∀ (w, x) U

µCw,

Yww

¶≥ U

µCx,

Yxw

¶(IC)

E +

Z w1

w0

Cw · dF (w) ≤Z w1

w0

Yw · dF (w) (ER)

• Les contraintes IC contiennent les conséquences de l’inobservabilité de

la productivité w.

•Optimum de 1er rang sans les contraintes IC

8

Les contraintes d’incitations

On pose

V (C, Y,w) = U

µC,Y

w

¶• Fonction d’utilité dans l’espace des observables (C, Y )

∂V

∂C(C, Y, w) = U 0c

µC,Y

w

¶> 0

∂V

∂Y=U 0L³C, Yw

´w

< 0

Pente décroissante avec w (Hypothèse de Spence Mirrlees)

∂C

∂Y

¯V=cst

= −U 0L³C, Yw

´w · U 0c

³C, Yw

´

9

Mesure des effets revenus

• Le choix optimal de consommation est définie implicitement par la

CN1

0 = F (C,w,R) def≡ U 0CµC,C −Rw

¶+1

w· U 0L

µC,C −Rw

¶• Si CS2 est vérifiée strictement F0C < 0, on peut appliquer le théorème

des fonctions implicites : ∂C/∂R est donc du signe de :

F0R = −U00CL (w · L +R,L)

w−U 00LL (w · L +R,L)

w2

= − 1

w · U 0L (w · L +R,L)©U 0L · U

00CL − U

0C · U

00LL

ªcar − 1

w=U 0CU 0L

• comme U 0C > 0 > U 0L, la consommation est un bien normal ssi10

∂C/∂R > 0, i.e. ssi

U 0C · U00LL < U

0L · U

00CL

•Or∂ ∂C

∂Y

¯V=cst

∂ (1/w)= −

U 0LU 0C| {z }>0

− Yw·U 0C · U

00LL − U

0L · U

00CL¡

U 0C¢2

• Si les préférences sont telles que la consommation est un bien normal,

alors∂ ∂C

∂Y

¯V=cst

∂ (1/w)> 0 ⇔

∂ ∂C∂Y

¯V=cst

∂w< 0

et la condition de Spence Mirrlees est vérifiée

11

Y

C

V(C,Y,w’)V(C,Y,w)w < w’

C = Y - T(Y)

Yw

Cw

Yw’

Cw’

Figure 1: La condition de Spence Mirrlees

12

•Décrire les allocations w 7→ (Cw, Yw) qui vérifient IC revient à décrire

un barème Y 7→ C (Y ) ≡ Y − T (Y )

• Lorsqu’une allocation satisfait la contrainte emploi ressources, alors la

contrainte budgétaire du gouvernement est vérifiée

• Le TMS (∂V/∂Y ) / (∂V/∂C) (C, Y,w) correspond au taux marginal

de taxation

1− T 0 (Yw) = −∂V∂Y (Cw, Yw,w)∂V∂C (Cw, Yw,w)

> 0 ⇒ T 0 (Yw) < 1

•On a

T (Yw) = Yw − Cw

13

Stiglitz (1982) : Deux niveaux de productivité w ∈ {wL,wH}

Aborder en préliminaire ce modèle de façon illustrative

maxYL,CL,YH,CH

πL · Φ∙U

µCL,

YLwL

¶¸+ πH · Φ

∙U

µCH,

YHwH

¶¸U

µCH,

YHwH

¶≥ U

µCL,

YLwH

¶(ICH)

U

µCL,

YLwL

¶≥ U

µCH,

YHwL

¶(ICL)

πL · (YL − CL) + πH · (YH − CH) ≥ E (ER)

14

CN1 :

0 = πH

½Φ0HU

0C

µCH,

YHwH

¶− γ

¾+ λHU

0C

µCH,

YHwH

¶− λLU

0C

µCH,

YHwL

¶

0 = πH

⎧⎪⎨⎪⎩Φ0HU 0`³CH,

YHwH

´wH

+ γ

⎫⎪⎬⎪⎭+ λH

U 0`³CH,

YHwH

´wH

− λL

U 0`³CH,

YHwL

´wL

0 = πL

½Φ0LU

0C

µCL,

YLwL

¶− γ

¾− λHU

0C

µCL,

YLwH

¶+ λLU

0C

µCL,

YLwL

¶

0 = πL

⎧⎪⎨⎪⎩Φ0LU 0`³CL,

YLwL

´wL

+ γ

⎫⎪⎬⎪⎭− λH

U 0`³CL,

YLwH

´wH

+ λL

U 0`³CL,

YLwL

´wL

15

A priori quatre cas de figure

• λH > λL = 0 : le cas normal

• λL > λH = 0 : le cas anti-normal

• λL = λH = 0 : pas de contrainte

• λH > 0 et λL > 0 : Bouchonnement

16

Absence de contraintes IC λH = λL = 0

1

wH·U 0`³CH,

YHwH

´U 0C³CH,

YHwH

´ = 1

wL·U 0`³CL,

YLwL

´U 0C³CL,

YLwL

´ = −1•D’où T 0 (YH) = T 0 (YL) = 0

• La redistribution s’opère par transferts forfaitaires.

•Typiquement, V (CH, YH,wH) < V (CL, YL,wH) : ICH est violée.

17

Le cas normal λH > λL = 0

γ · πH =¡πH · Φ0H + λH

¢· U 0C

µCH,

YHwH

¶γ · πH · wH =

¡πH · Φ0H + λH

¢· U 0`

µCH,

YHwH

¶γ · πL = πL · Φ0L · U

0C

µCL,

YLwL

¶− λH · U 0C

µCL,

YLwH

¶γ · πL · wL = πL · Φ0L · U

0`

µCL,

YLwL

¶− λH ·

wLwH

· U 0`µCL,

YLwH

¶

18

Y

C

V(C,Y,wH)V(C,Y,wL)wL < wH

YL

Figure 2:

19

•D’où

1− T 0 (YH) =1

wH·U 0`³CH,

YHwH

´U 0C³CH,

YHwH

´ = 1 ⇒ T 0 (YH) = 0

•

1− T 0 (YL) =1

wL·U 0`³CL,

YLwL

´U 0C³CH,

YLwL

´ < 1 ⇒ T 0 (YL) > 0

20

Interprétation : Diminuer YL, LL et CL à UL inchangé

• augmente T 0 (YL) (courbure des courbes d’indifférences)

•Distort la consommation et le loisir (perte d’efficacité) => ressert

la contrainte emploi/ressources

• Permet de diminuer V (CH, YH,wH) = gain en équité => dessert

la contrainte emploi ressources

• Pour T 0 (YH) même coût mais pas de gain => T 0 (YH) = 0.

21

Le cas quasilinéaire

U (C,L) = C − v (L) v0 (L) > 0 v00 (L) > 0

Un travailleur de type w résout (on se restreint aux allocations

maxY

w · L− T (w · L)− v (L)

CN1 : w ·¡1− T 0 (w · L)

¢= v0 (L)

•Absence d’effet revenu dans l’offre de travail

• Lw ne dépend que de T 0 (Yw) et non de T (Yw)

22

Contraintes IC

∀ (w, x) U

µCw,

Yww

¶≥ U

µCx,

Yxw

¶(IC)

∀ (w, x) Cw − vµYww

¶≥ Cx − v

µYxw

¶Autrement dit w = x est le maximum de la fonction x 7→ X (w, x) définie

par

x 7→ X (w, x) ≡ Cx − vµYxw

¶

23

On a :

∂X∂w

(w, x) =Yxw2· v0µYxw

¶et

∂2X∂w∂x

(w, x) =Yxw2·∙v0µYxw

¶+Yxw· v00

µYxw

¶¸Supposons que le mécanisme w 7→ (Cw, Yw) est dérivable alors IC im-

pliquent

∀w ∂X∂x(w,w) = 0 ⇒ Cw =

Yww· v0µYww

¶(IC1)

∀w ∂2X∂x2

(w,w) ≤ 0 (IC2)

24

Mais alors, comme

Uw ≡ U (Cw, Yw/w) = X (w, x)

Uw =∂X∂w

(w,w) +∂X∂x(w,w)

IC1 est équivalente à l’équation différentielle :

Uw =Yww2· v0µYww

¶=Lw · v0 (Lw)

w(IC1)

De plus,

∀w ∂X∂x(w,w) = 0 ⇒ ∂2X

∂w∂x(w,w) +

∂2X∂x2

(w,w) = 0

25

Aussi IC2 se réécrit

0 ≤ ∂2X∂w∂x

(w,w) =Yww2·∙v0µYww

¶+Yww· v00

µYww

¶¸= Yw ·

v0 (Lw) + Lw · v00 (Lw)w2

et donc

Yw ≥ 0 ⇔ Lw + w · Lw ≥ 0 (IC2)

On a également Cw ≥ 0.

26

Réciproquement

Soit w 7→ (Lw,Uw) tels que pour tout w,

Uw =Lw · v0 (Lw)

wet Lw + w · Lw ≥ 0

Est-ce qu’une telle allocation vérifie IC ? i.e. :

∀ (w, x) Cw − vµYww

¶≥ Cx − v

µYxw

¶On pose

Yw = w · Lw Cw = Uw + v (Lw)

Cx − vµYxw

¶= Cx − v

µYxx

¶+ v

µYxx

¶− v

µYxw

¶= Ux −

Z x

w

Yxt2· v0µYxt

¶· dt

27

Aussi

Cx − vµYxw

¶− Cw − v

µYww

¶= Ux − Uw −

Z x

w

Yxt2· v0µYxt

¶· dt

=

Z x

w

∙Ytt2· v0µYtt

¶− Yxt2· v0µYxt

¶¸· dt

=

Z x

w

⎡⎢⎣Yt · v0³Ytt

´− Yx · v0

³Yxt

´t2

⎤⎥⎦ · dt• Si x > w, Yx ≥ Yt , v0 (Yt/t) ≤ v0 (Yx/t) donc Yt · v0

³Ytt

´≤ Yx ·

v0³Yxt

´. On a bien IC

• Si x ≤ w, Yx ≤ Yt , v0 (Yt/t) ≥ v0 (Yx/t) donc Yt · v0³Ytt

´≥ Yx ·

v0³Yxt

´. On a bien IC

28

Aussi IC (double continuum d’inégalités) est équivalent à

Uw =Yww2· v0µYww

¶=Lw · v0 (Lw)

w(IC1)

Yw ≥ 0 ⇔ Lw + w · Lw ≥ 0 (IC2)

Par ailleurs

Uw = Cw − v (Lw) ⇒ Yw − Cw = w · Lw − v (Lw)− Uw

La contrainte emploi-ressources se réécritZ w1

w0

[w · Lw − v (Lw)− Uw] · dF (w) ≥ E

29

On peut donc réécrire le programme du gouvernement en terme des

seules inconnues Lw et Uw :

max(Lw,Cw,Yw,Uw)w∈[w0,w1]

Z w1

w0

Φ [Uw] · f (w) · dw

sous : Yw = w · Lw Uw = Cw − v (Lw)

Uw =Lw · v0 (Lw)

w(IC1 (qw))

Lw + w · Lw ≥ 0 (IC2)Z w1

w0

[w · Lw − v (Lw)− Uw] · f (w) · dw ≥ E (ER (λ))

Approche du 1er ordre, on résout ce programme sans IC2 par contrôle

optimal, puis on vérifie que Yw est bien croissante.

30

Le cas Maximin

On veut maximiser Uw0 (préférences extrêmement redistributives)

IC1 unduit

Uw = Uw0 +

Z w

w0

Ut · dt = Uw0 +Z w

w0

Lt · v0 (Lt)t

· dt

ER induit

E =

Z w1

w0

[w · Lw − v (Lw)− Uw] · f (w) · dw

31

D’où :

E =

Z w1

w0

£w · Lw − v (Lw)− Uw0

¤· f (w) · dw

−ZZw0≤t≤w

Lt · v0 (Lt)t

· f (w) · dt · dw

Théorème de Fubini (inversion de l’ordre d’intégration)

E =

Z w1

w0

[w · Lw − v (Lw)] · f (w) · dw − Uw0

−Z w1

w0

Lt · v0 (Lt)t

· (1− F (t)) · dt

32

d’où

Uw0 =

Z w1

w0

½[w · Lw − v (Lw)] · f (w)−

Lw · v0 (Lw)w

· (1− F (w))¾·dw−E

cpo£w − v0 (Lw)

¤· f (w) = [1− F (w)] ·

£v0 (Lw) + Lw · v00 (Lw)

¤

33

Comme la cpo du travailleur s’écrit :

w ·¡1− T 0 (w · L)

¢= v0 (L)

On en déduit d’une part que :

εw =w

L· ∂L∂w

¯T 0=

v0 (L)L · v00 (L)

d’autre part :

v0 (Lw)w

=¡1− T 0 (Yw)

¢w − v0 (Lw) = T 0 (Yw) · w

On a alors

T 0 (Yw) · w · f (w) = [1− F (w)] · w ·¡1− T 0 (Yw)

¢·µ1 +

1

εw

¶34

d’oùT 0 (Yw)

1− T 0 (Yw)=

µ1 +

1

εw

¶·µ1− F (w)w · f (w)

¶

35

Hamiltonien

H (U,L,w, q,λ) ≡ {Φ (U) + λ · [w · L− v (L)− U ]}·f (w)+ qw·L·v0 (L)

Conditions d’optimalité

0 =∂H∂L

(Uw,Lw,w, qw,λ)

0 = λ ·£w − v0 (Lw)

¤· f (w) + q

w

£v0 (Lw) + Lw · v00 (Lw)

¤−qw =

∂H∂U

(Uw,Lw,w, qw,λ) =©Φ0 (Uw)− λ

ª· f (w)

qw1 = qw0 = 0

36

D’où

qw =

Z w1

w−qt · dt =

Z w1

w

©Φ0 (Ut)− λ

ª· f (t) · dt

qw0 = 0 ⇔ λ =

Z w1

w0

Φ0 (Ut) · f (t) · dt

L’optimum est donc donné par£w − v0 (Lw)

¤·f (w) =

R w1w

©λ− Φ0 (Uw)

ª· f (t) · dt

λ·v0 (Lw) + Lw · v00 (Lw)

w

Comme la cpo du travailleur s’écrit :

w ·¡1− T 0 (w · L)

¢= v0 (L)

On en déduit d’une part que :

εw =w

L· ∂L∂w

¯T 0=

v0 (L)L · v00 (L)

37

d’autre part :

v0 (Lw)w

=¡1− T 0 (Yw)

¢w − v0 (Lw) = T 0 (Yw) · w

Aussi

T 0 (Yw) · w · f (w) =R w1w

©λ− Φ0 (Ut)

ª· f (t) · dt

λ·µ1 +

1

εw

¶·¡1− T 0 (Yw)

¢T 0 (Yw)

1− T 0 (Yw)=

µ1 +

1

εw

¶·

R w1w

n1− Φ0(Ut)

λ

o· f (t) · dt

w · f (w)T 0 (Yw)

1− T 0 (Yw)=

µ1 +

1

εw

¶· 1− F (w)w · f (w) ·

Ã1−

Ef¡Φ0 (Ut) |t ≥ w

¢Ef (Φ0 (Ut) |t ≥ w0)

!

38

Interprétations

Soit un barème T (Y ). Considérons une hausse du taux marginal de

∆Tm pour Y ∈ [Y, Y + δY ].

• Pour les individus de revenus primaires supérieurs à Y + δY

— Leur taux marginal, donc leur offre de travail et leur revenu primaire

ne changent pas

— Le niveau de la taxe qu’ils payent augmente de ∆T = ∆Tm × δY

—Gain budgétaire λ, mais coût en terme de bien être Φ0 (Uw)

39

— d’où un effet total égal à½Z w1

w

¡λ− Φ0 (Ut)

¢· f (t) · dt

¾·∆Tm × δY

• Pour les individus directement concernés de productivité [w,w + δw]

—Réduction de leur offre de travail∆YwYw

=∆LwLw

= −² (w) · ∆Tm1− T 0 (Yw)

— et donc réduction de leurs impots

T 0 (Yw) ·∆Yw = −ε (w) ·T 0 (Yw)

1− T 0 (Yw)· Yw ·∆Tm

—On a la relationδY

Y= (1 + ε)

δw

w40

Ils sont donc au nombre de f (w) · δw

— d’où un effet total

λ · ε (w)

1 + ε (w)· T 0 (Yw)1− T 0 (Yw)

· w · f (w) ·∆Tm × δY

•A l’optimum les deux effets se compensent d’où

λ · ε (w)

1 + ε (w)· T 0 (Yw)1− T 0 (Yw)

· w · f (w) =Z w1

w

¡λ− Φ0 (Ut)

¢· f (t) · dt

T 0 (Yw)1− T 0 (Yw)

=

µ1 +

1

ε (w)

¶·R w1w

¡λ− Φ0 (Ut)

¢· f (t) · dt

λ · w · f (w)

T 0 (Yw)1− T 0 (Yw)

=

µ1 +

1

ε (w)

¶·

R w1w

³1− Φ0(Ut)

λ

´· f (t) · dt

w · f (w)

41

Implications économiques

T 0 (Yw)1− T 0 (Yw)

= A (w) ·B (w) · C (w)

•A (w) : effet désincitation : plus l’élasticité est haute et plus T 0 diminue

A (w) =

µ1 +

1

εw

¶

42

•B (w) : effet de la distribution des skills : une hausse du taux marginal

des individus de type w réduit l’offre de travail (désincitation propor-

tionnelle à w · f (w) mais permet d’augmenter le niveau de taxes des

individus supérieurs à w en nombre 1− F (w).

B (w) =1− F (w)w · f (w)

—B est décroissant à gauche d’un mode

— Si w1 fini, B (w1) = 0. Donc T 0¡Yw1

¢= 0

— Si Loi de Pareto en haut de la distribution B (w) = cst (Diamond

AER 1998, Saez REStud 2001)

43

• C (w) : Effet de l’objectif social : selon la concavité de Φ, i.e. la

vitesse à laquelle le poids social marginal décroît avec w, il devient

plus intéressant d’augmenter le niveau de taxe.

—C (w0) = 0. Aussi T 0¡Yw0

¢= 0 sauf si bouchonnement en

bas

—C (w1) = 1 et

—C (w) croissant dès que Φ concave.

— Si Maximin, C (w) est constant et égale à 1

C (w) = 1−Ef¡Φ0 (Ut) |t ≥ w

¢Ef (Φ0 (Ut) |t ≥ w0)

44

Empiriquement

Données US, Diamond AER 1998

Figure 3:

Saez REStud 200145

•Données françaises : d’Autume RFE 2001.

• Et IC2 ? Voir Lollivier Rochet JET 1983 pour le cas U (C,L) =

v (C)− L

• Le cas U (C,L) = v (C) − L est synthétisé en détails dans Boadway

CuffMarchand Journal Public Economic Theory 2000.

46

Figure 4:

47