Vega Risk and the Smile - Columbia University

23
Vega risk and the smile Allan M. Malz The RiskMetrics Group, 44 Wall Street, New York, New York 10005, USA Vega risk is analytically easy to ``nest'' into the standard risk management framework, but is complicated by the prevalence of volatility smiles and term structures in most option markets. Volatility smiles, in spite of their occasionally treacherous effects on option books, are often neglected by risk managers. This paper provides a guide to incorporating vega risk into a ``classical'' value-at-risk VaR) model. The paper includes a tractable approach to capturing the effects of the volatility smile and term structure on vega risk and their interaction with other risk factors. The author also presents a summary of the statistical behavior of implied volatility and relates it to observed differences in the pattern of implied volatilities from that predicted by the Black± Scholes model. The VaR computation strategy employs the smile to compensate for the shortcomings of the Black±Scholes model and provide improved VaR forecasts without a speci®c alternative model. 1. INTRODUCTION Vega risk, the risk arising from ¯uctuations in implied volatility, can be a large part of the risk of a portfolio containing options. Vega risk is analytically easy to ``nest'' into the standard risk management framework. The treatment of vega risk in portfolios is, however, complicated by the prevalence of volatility smiles and term structures in most option markets. These option market phenomena run counter to the benchmark Black±Scholes option pricing model, in which implied and historical volatilityare constant over time and invariant with respect to option maturity and likelihood of exercise. Researchers have developed models incorporating stochastic volatility, jump-diusions, and other alterna- tives to the pure constant-volatility diusion environment of the Black±Scholes model. Some option dealers and risk managers use these models to re®ne their option prices and return forecasts. However, volatility smiles, in spite of their occasionally treacherous eects on option books, are often neglected by risk managers. A common metric for market risk for a portfolio of ®nancial assets is value-at-risk VaR), a measure of the maximum loss to the portfolio that can occur over a speci®ed time horizon with a speci®ed con®dence level. This paper provides a guide to incorporating vega risk into a ``classical'' VaR model. The paper suggests a practical approach to capturing the eects of the volatility smile and term structure on vega risk and their interaction with other risk factors. In our discussion, we will present several examples using a high-quality database of foreign exchange implied volatilities. 1 1 The data, sourced from JP Morgan's foreign exchange desk and available from RiskMetrics, includes implied volatilities for a wide range of currency pairs and maturities, extensive coverage of volatility smiles, and term structures. 41

Transcript of Vega Risk and the Smile - Columbia University

Page 1: Vega Risk and the Smile - Columbia University

���� ���� � ��� � ���

����� �� ����

��� ��������� � ��� �� ���� ���� ��� � �� ��� � � ������ ���

���� ���� �� ����� �� ���� �� ������� ��� ��� ������� ���� �������� ����������

��� �� ���� ���� �� ��� ������ � �� �������� ����� �� ���� ���� ����� � ����

����� �������� �������� ������ � ����� �� ����� � ������ ���� ������ ���� �� �

����� ������ ��� ���� ��� ��� �� ���� �������� ���� ����� �������� � ����� ��

� ��������� ���� ���� ��� � �� ���� ��� ������������ ���� ����� ��� ����� � ����

� ��� ���� ������ � �� ������� ��� ���� �� �� ��� �������� ���� �� ���� ���� ����

� ���� ���� �� ����� ����� ��� ���� ����� ���� �� ����� ��� ������ ��� ������� �

������� �� ��� �������� � �������� �� ������ �������� �� ������ �� �� ��������

������� �� � ��� ������ �� ������ ���������� ���� ���� ����� ��� �� ��� !� �"

# ���� ����� ��� ��� ��������� �������� ������ ��� ���� �� �������� ���

��� ����� ����� �� ��� !� �"# ���� ���� �� ������� �������� ��� ���� ����

������� � ��� �$ ��������� �����

%� &'��()*+�&('

���� ����� ��� ���� ������ ��� ���������� � � ���� ����������� �� �� � �����

���� �� ��� ���� �� � ��������� ������� ������� ���� ���� �� ����������� ����

�� ������� ��� ��� ����� ���� ���� �� ��� ������ ��� ����� �� �� ����

���� � ���������� ��� �������� �� ������� �� ��� ��������� �� ���������� � ����

� ��� ���������� � ��� ����� ������� ����� ����� ����� ���� ��

�� ������ �� ��� ���� ��� ������ ������ ����� ������ ���� � �����

� ���� � ���������� ���������� ��� ������ ���� �� � � ������� ���� �������

�� ����� ������� � ��������� �� �!������� "���������� ���� �������

���� ����������� ���������� ����������� #� �$�%������ � ����� ������$

����� �� ��� ���� ������$���������� �%���� ����� �� �� ��� ������ ������

���� � � ����� ������ � ���� ������ ��� ����� ���� �� ��&� �����

����� ������ � ����� ����������

'������� ���������� � ����� � ����� �� ����� ����������� ����������� �%���� �

����� ������ ��� ���� ������� �� ���� ������� ( �� � ����� ���

����� ���� ��� � ��������� �� &����� ������ �� �����$��$���� )��"*� � ������ ��

��� �!� � ���� �� ��� ��������� ���� �� ����� ���� � �����&� �� � ����+�

���� � �����&� ��&��� ������ ���� ����� ������� � ���� �� �����������

���� ���� ��� � ������������� ��" ���� ��� ����� �������� � ��������� ��������

�� �������� ��� �%���� �� ��� ���������� � ��� � ��� ��������� � ���� ���� �

����� ��������� ���� ����� ���� �������� , ��� ��������� �� ���� ������ �������

�!� ���� ���� � ����$-������ ������� �� ������ �!����� � ���� �������������.

. ��� ���� ������ ��� /0 1������ ������ �!����� ��� � ��������� ��� "���1�������

������ � ���� ������������ ��� � ��� ���� �� ������� ����� � ���������� �!������ �������� ��

���������� � ����� � ��� �����������

Page 2: Vega Risk and the Smile - Columbia University

2���� ��� �������� ��� �� ���������� � ���������� ����� ������ ���

�� ������ ������� �� ��� ���� ������ �� ��� ������� ��������� �� ����$����

����� ������ ��� ��� ����� ��� �� ����������� ��� ���������� � ��� �

��� ���������� ,� ����� ������ ��� ��������� �3����� ��� � ��� � ���

��������� ���� ������ ��� �� � �������� �� ���������� �������� ��� ��� ���

���� ���� ��� ���������� ���� ���� �� �� �������� 4��� ����� ������ � ����

��� ����� �� ����� ��� ���� ����� �� � ���������� ���������� ��� �

�!������ ����� ��� ������ ��������� ���� ���� � ��� � ����� �������

����� 5 �������� ��� �� �� ���� � ��" ��� � ��������� ������� ������

���� ����� ���� ���� ��� ������ � ��� �� ����� �������� ���� ��������� ���

����������� ������ ��� ������ ������ ��� � ����$���� ����� �������

���� �������� �!������ �� ��� ������ ����� �� � ���� ���������� � ���

����������� �� � ���� ���������� ���� ������ � ��� ������� ����� ��������

��� �������� ������� ������� ��� ����������� ������ ��� ����� �����$

���� � ������ ����� ����� ��������� � ������� � �������� �� ���

����� ��" ��� ���� ����� ����� ����������� ��� ������ �������

��-����� �����&����� �� � ���������� ����

,� �-./ �&#0 &' �1- !2/+0"#+1(2-# 3()-2

6���� �������� ��� �!���� �� � ���� �� ����� ������ 7���� � �� � ����

��� ��� �!������� �� � ����� ������� �� ������ � ��� ������ �� ���

������� ������� ����� ���� �� �� ��� �!������ �� � ����� ������� ��

������ � ��� � ���� ���������� �� ��� ������ ��� ����� � ��� ����� ����� ��

�&� �� � ������� ���������� ����� �� ���� �� ��� ����� ������� ���� ��� ���

����� ����� ��� ��� ������8

� � �)����� �����*

�)� ���� ����������*�

���� �� ������ � ������ �� ����� ���� ������� ����� � ���� ���������� �

������ ��� �� �

( � ���� ���������� �� ���� �� � ���������� ����� �������� ���� ���

��� �� � �� ��� ������ ������ ���� ������� � ���� ���������� �� �&�

��� � ��� ����!� �� � ���������� ���� � ����� ������ ��� �� ��-���� ��

������ ����� ���� �� ��� �&� �� ��� ������� ��������� �� ��� ���� �� ���

������ ��� ��� ���� ������� �� ��� � ���� ����������� ��� ������ ������ ���

���� �� � ���� �� ��� ����� � � ����$����� ����� ��

� � ����

����

����

�������� � ��� � � .

5�5��

�����

��� �.�

����� � �� ��� � ���� ����������� �� ��� ������ ������� ������ � ��� �!������

������ � ��� �� ���� �� � �� �������� � ��� �$���� &���� �� ��� �����

4���� �� ����

/� 3� 3�5�

Page 3: Vega Risk and the Smile - Columbia University

����� � ��� ����� �������� �� ����� ������� ��� ������� ����� �� �!�����

�� ����� ���� ��� ��� �� ��� ������ � � ��� ����� �� �� ������

� � ���������� �� ���� � ��� ������ ������ ��� ��� ���������� � 9������ .

� 58

� ��� ����� �� � ��� �� ���� �������� ���������� ���� ��� � ���� �����������

��� ���� �� � ��� ����� ������� �� ��������� ������ ���������

� ���� �� �� � �!� � ��� � ��$���$ ��� ������ ��� ����� �� � ����� ��

��������� �� ��� ����� � ��� � ���� ���������� ��� � ��$���$ ��� ������

� ��� ���� �� � �����$��� ����� �� ������� ��� ���� �� � �������$���

������

0 0.05 0.1 0.15 0.2Σ0

1

2

3

4

premium

ATMFout�of�the�moneyin�the�money

1�vol shock

6&.*�- %� (���� ���� �� � �� ��� �� ������ ��������� (������ ����"�� ���������� � 478� (�������������� �9�� ��� ��� � ,�:; ����� ������� ����< ������

���� �9�� ��� ��� � ,�:; ���� ������� �����

105 110 115 120 125 St

2

4

6

8

10

12

Κ 1�mo. ATMF1�mo.in�the�money1�wk. ATMF

forward

6&.*�- ,� (���� ����� )���"�� ��� ������� � 478� ������ �������� %=�>;� &��������� �9�� ��� ��� � ,�:; ���� ������� �����

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 4: Vega Risk and the Smile - Columbia University

��� ���� �!������ �� � ����� ������� �� �&� �� ��� ����� � �������

����� �� ��� � ���� ���������� ����� � �� ��������� �� ��� ����� ���� �� �� ���

������� � ��� �� ��� ����� )��� ��� ��� �� ��������*�

��� �� ����� �������� �� �� ����� � ��" ��� � ��������� ������� ������

�� �� ����� � ���� ���������� ���������� �� ����� ����� ���� �������� ���� ��

�-����� ������ �!������ � ������� ����� �� �%���� ���������� :������� ��

������;����������;� � ���� ���������� ��� ���� � �� �� #����� �� ����

��������� ���� ��� �� ���� ���� ������� � ��� ��������� ���� �� +��� � �

������ �������$��������� ����!�5 ( �������� ���� ���� �� ����� ��$

��� �� ���-����� �� ��� ������� ����� � ���� ���� � ����� ������� �

�������� ����������� �� ������� � ���� ������������� 4�� ��� ��� ���� �$

����� ��� �������� �� �� ������� � ���� ���������� �� �� ���� ��������� ����

� �� �� +��� � � ����� ������� �������

�� ����� ��� �� ��� �����

������� �� ��� � ���� ����������� �� �����$��$������ ���� � ��� ��" ����+� �

���� � ��� <=> ��&��� ������� ��� �!�$�� � ���� ���������� ��

.�?@������ �A

,� ��� ��� ����� ���� �� � ����� ���� ����� ��� ��" �� � ���������

������� � ����� ����� ���� ��

������� � ��� � � � .�?@������ � .� ������� � ��� � � � .�?@� � ����

( ����� ������� �� �!���� �� ���� � �� � ����� �� ���� �� ����� �

����� ��� ���� �� ������� ��� � ��"� , � �� ��� ���� ����� ��" ��� �$

���� ����������� �!������ �� ���� ��� ������� ����� � �� � ����

����������� ��� ��" �� � ����� ����� ���� � .$�� ����+� � � <@> ��&���

����� ��

.�?@��������� � ���

�������������������������������������������������������������������������������������������������� �����

� � . ������������������ .

� �����������

� ��

����� ����� ��� ����� ���� � ���� ��� ���������� ���������� �� ���

������� ������B

� ����� � C����� � ����� ������� � � .$ ��� ��$���$ ��� ������

)(�19* �������� ���� ���� � ��� � ��� ������ ���� ��� �� � �!������

����� �� ���� � �� � ���� � �!������ ����� �-��� �� ��� ������ ������

����� �� ��� ������ ��� ������� � ��� �� D. === ===� ��� ������ ���� ���� ��

5 ��� ����� �������� �� ��" �� ������� �� ������� �� 1���� E������ ����� C� ���

).<<?*�

A 1��� ���������� ��� �!����� ����� �� ��� �������� �� ��� �!�$�� � ���� ���������� �� � � .5

5����

��� �� ����� ��� ��������� ���� ��� � F��� ���� �� ��� ���� �� �� � �������� �� �!����� � ����

���������� �� � ���� ���� � ��� ���$��$��� �� � ���� �����

B , ��������� �!������ �� ���������� �� � ������ ����� ���� ���� ����� ��" ���������� �������

��� ��$���$ ��� ������� ���� ���� �� �� ��� �!����� ������ �� ��� � 9����� .� G�� ��� ��$���$

��� ������� ���� ����� ��" �� ���� �������� ��� 1��� C���� ��"� �� ��� �!������ �� ���

������� �� ������ ������� �� 1�� � 4� �� ).<<<* ��� ��� ������

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 5: Vega Risk and the Smile - Columbia University

�.5=� ��� &���� ����� ����� ��� ��$�� ���� ���$ ����� ����� �� @= �����

������ ��� 4 ���$ ����� ���� �� @>� � ��� � ���� ���������� �� .@>� ���

������ ����� ���� �� � � .A�H?� ��� ���� �� ��� ����� ����� ������� ��

�. === ===� � ��.A H@< .==� �� �D..B ?@<���� ����� ������� �� .$�� �������� �� ������ � .$ ��� � ����

���������� �� ��� � =�=@?H )@�?H>*� ��� ��" ������ ��� ���� ����� ���������

����� ����� ������ �� .�?@ � . === ===.5= � .A�H? � =�.@ � =�=@?H � D.?=<� ��� ������

�� ��� ����� ���� �� �=�BI< A5 � ��� ���� �-������� �� � ��� �����

������� �� . === === � =�BI<A5 � DBI< A5=� ��� ���� ���� ���� ���������� ��

���� � =�==<H� ��� ��" �� ��� ���� �-�������� ������ ���� �� ���� �� ���

�� � � ������$���� ������ �!������� �� ��� ������� ���� ����� ��

.�?@ � . === === � =�BI< A5 � =�==<H � DHH<B�@ ��� ���������� �� �������� ��$

���� ���� �������� �� ������ � ��� .$ ��� � ���� ���������� �� �=�A<@���� ����� ��� � ������� ����� �� ������ ���� � ���� � ����� ������

���� �� �� �� � ������� ����� �� /������ �!������� �� ���� ����� ������

�!����� ������ �� � ������ ����� ������� ���������

��� ���� ����� ��" ��

.�?@ � . === ===

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

=�BI< � =�==<H� .

.5= � .A�H@<. � =�.@ � =�=@?H� �� . �=�A<@

�=�A<@ .

� �=�BI< � =�==<H

� ..5= � .A�H@< � =�.@ � =�=@?H

� ��

�� DI@@I� ��� ���������� ���&� ������ ��" �� HH<B� .?=<� I@@I � DIB@�

, ���� �!� ���� ���� ����;�!������ �� ��� ����� �� ��� ������� �����;

���� ������ , �� � ����� ����������� ���� ���� �� �� ��� ������� ���

���� ����� ����� � � ����$���� ������ � ������ )� ���� � ��� ���� ���

�� � �!������ �����*� � � ������� )� ���� � � ��� ���� �%���� �!������

������*�

� ����� � 2� �� � � ���� ���� �� ��� ����� �������� ��� ��

G!� ��� 5�.� �� ��� ��������� ������� �� � ����� ��� ������� �������� ���� �

����� ����� ������� �� DBI< A5=� ���� ��������� ���� �������� ���� ���

� ����� ���������� � ����� ��� ��� ��� ������ ��� �� �!���� �� �� �

� ���� �����

�� ����������� ������ ��� 1��� C���� ������� ��� ��� ��" �� ��� ����

����� ���������� 2� ������� � ������ ��������� ������� ��� � ��������� �� ��

���������� ���� � �� �� +��� � � �������$��������� ����! ���� �

����� ���� � ���������� ��� ��������� �� ������� ���� ��� ������ ������

����?

@ '��������� ������������ � ����������� ��� ����� ��������� � I 9������� .<<<�

? 2� ���� ����� ��� ���� �� ��� ����� � ��� ������ ����� ��� �� ����� ��� ��� �����

������� ��������� G�� ���� � ����� ������� ���� �%������� ���� �� @> ������� ��� ��� ���

����� � ����� 5 ����� ����� �� ��� ���� ���� �� ����� �� ������ ������� ��������� �� ����

���� ��� ����� ������� �� .>� F��� ���� ���� ��� ��" � ��� ���� ���� �� �� ������ �!�����

�� +���� "������ ������� �� ������ �� ������ �� ����� �� ��� �!����� ����� ����� �� � ������

����� ����8 �� ��� ������� ����� �� �� +���� ��� ������� �� ��� ���� �� �������� ���� ��� +����

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 6: Vega Risk and the Smile - Columbia University

����� . ����� ������� �� ��� 1��� C���� �� ������� ,���������� ���� ����

����� � ��� �������� ������� �� ��� ����� �� ��� ���� �������� ������ ��� ��"

��� D.?@< �� D5@I<�

?� 2&3&�/�&('# (6 �1- !2/+0"#+1(2-# 3()-2

?�% �� ������ �� �� �������� ���!� " #�����$ % �����&

��� ������ ������ ��� ���� �� ���� ����� ������ ������ � ��� ���� ����

� ������ ����������� ��� ������ ������ � ���� ���������� �� ��� ����� ���� ���

�� ���� ����������� ��� ���������� �� � ������� ���� ���� ��� �� �!��� � ���

������ ������ ���� , ����$���� ������� � ���� ���������� ��������� ������

����� �� ��������� � ����������� ��������� � ��� �������� ������� � ����

��� ������ ������ � ���� ���������� � ��� ������ ������ ���� �� ������ ����

����� ��� ������ ������ ��� �� ��� � ������ &��� �����!� ���� �� ��� ��������

��� ������� ���������� � ��� ������ ������ � ���� ���������� �� ��

���������� � ������� ������ �� ��������� ����������� ,� �� ������ � �����$

���� %� ������ � ����"�� ����� ����������

=�=@-������

=�<@-������

1�� 1���

�������� � �� �� �� ����� ��������� ��� ������ ���������� ����� ��������

4���� ������ ����� �� ���� ���������� �<.@I ?IAH �AI? H5

7���� ���� �H?<I HHB< �AI �?<'��� ������ ����� �� ���� ���������� �.?@< .B �B5B �.I?6����� ����� �� ��� ���������� �.?I< .@5I �A@ <

4���� ������ ����� �� ���� � ��� ���������� �<II= H@<< �B5B @B

'��� ������ ����� �� ���� � ��� ���������� �5@I< .5B= �B?5 �AAI

������� �� �� �� ����� ��������� ��� ������ ���������� ��� ����� ���������

'��� ����� ���� �����$������� � ��� �5BHB .=HI �@BA �B?='��� ����� ���� �����$������� � ��� �A=?5 .B@. �B?I �5II

������� � �� �� ������ ������ ���! ��������� ��� ����� ���������

"��� �������� ���� �����$������� � ��� �H.5 B=? �.5I �.5B"��� ��������� ������ � ��� �5.? @@. IB 5B

������� �" �� �� ����� ��������� ��� ������ ���������� ��� �� ����� ���������

'��� ����� ���� �����$������� � ��� �5AIB .=I5 �@5A �BBH

��� ��� � ��� ����� ��� .$�� ������ � ��������� ������ ��� ������� � ��� �� D. === === �

��� ������ ���� � ���� �� . ���� ��� ������ ��� ���8 ���� ���� �.5=� 4 7 ����$���� ���� @�@>�

/0J ����$���� ���� =�@>� � ���� ���������� .@>� ��� ���� �������� ��������� ������ � ��� 5@$����

�� ���� � � ����� 5@$���� �� ���� ��� =�=@ -������ ��"� ��.� �� � <@> ��&��� ������

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 7: Vega Risk and the Smile - Columbia University

�#���� ���� ���� � ��� ������ ������ ����� ������ ��� ���� ����� ��

������ ��� ��� �� ������� ��� ��������� �����������

�� ���������� ��������� � � ���� ����������� �� ������ .. ������� ������� �

����� 5� ����� A ������� ���������� ���������� � � ���� ����������� �� ���� ���

���� � ������ ����������� ���� ��� �� ��� ��������� ��� ���� �� ��������

�� � ���� ���������� �� ���� 9�� �!� ���� �����+� .$ ��� (�19 ������

�� ���� ���� ���� ��� ?�5> �� B=>� (� G!� ���� 5�. � 5�5 ��� ������

���� ���� �� � ���������� �� ��� ��" �� � ��������� ������� �������

6� ����� ��� ���� �� ��� ��������� ���� ���� ����� ������� �� ��� ������

� � ���� ����������� �� ���$��$���� 9�� ��������� �� ��� ������� ����� @�A>�

�� I=> ��� �� �

��� ���� ���� �� � ��� �������� ������� ���� ��� � ���� ����������

������ ������ � �� �� ����������� �� ���� ��� � ���� �����!� ����� , �����

� ���� ���������� ������ ��� ������ �������� � �������� ������ ������������

� ���� ������������ , ���� ���������� �� ������� ��$��������� �� ���� �

�/!2- ,� ������ � ��������� ��� ������ �������� �����

� ��� ��+�

(���� 7��������� � ��� ����� 2����� 7����

C1G K0@== K0@== ��!�A$ ��� �������

5I/�IA�=I6��<< B=?A I?A

C1G G�������� 4 7 A$ ��� :�����A$ ��� �������

5.1��I@�=I6��<< A?AA H@I

:�%� ����� ������� E�0 A$ ��� :�����A$ ��� �������

=A(��<=�.57��<< 5B=? @=A

C�6� A=$���� �� 4 �������� ���B.5 $ ��� �������

5B9��I?�.57��<< AB?? H5.

F� �! ���� ����� ��� C��� ����.$ ��� �������

5.1��I@�=I6��<< .HI. AHB

E�� ��� F�� J��� ����4 7 ��� ����

=@/�I@�=B/�== .5?H 5@<

4 7�/0J ��� ���������!����� ����

A.1��<5�A.(��<< .I<H AIH

4 7�G4" ��� ������ ����!����� ����

A.1��<5�.A ��<< .<=H AI<

E�0�G4" ��� �������� ����!����� ����

A.1��<=�.B7��<< 5B@@ @==

4 7�1L0 ��� ������1�!��� �����!����� ����

=59��<H�.B7��<< H5B .BI

4 7��'� ��� ���������� �����!����� ����

5=/�<@�A.(��<< ..H? 5B=

(�$���$ ��� ������������ ��� ������� ������� �� ���� ��� ���� � ����� ���� �!������ ������

�#���� �� ��� ������� ������ �� ������ C����� ������� � ���� ������������ �� ����� �����������

�� �#��$������� � ���� ������������ ���� �#���� ���������� 6�$ ��� ��$���$ ��� ������

������������ ��� ��������� � ����

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 8: Vega Risk and the Smile - Columbia University

������ B � @� ����� B ������� �������������� ���3����� ��� ��� .. ������

������ , ��� ������ ������� � ������������� ����&��� ���3����� ���

���� ��� � �� ��� ���� ���������������� � ��� &���$���� ������

�������������� ���3���� �� ������� � ������������� ����&����

����� @ ������� ������� ����� ������ 4�� ��� ���������� ���� � ����

���������� ������� � ��� ����� ��� ���$��$��� ���� � ����� �� � ������� ��

�-��� �� ��� ���$��$��� ���� � ������� ����� �������� �� ��� �-���� ���� ��

��� ������ �� ��� �� � ��������� ��� ���$��$��� ���� � ����� ����� ���� ��

�!����� �� �� ��������@

��� �� ��� ���� ���$��$���� ���� �������� �� �� �����

���� ������� ������� ����� ������ ��� ����� ������ ���$ � �����$�����

�/!2- ?� 6� ����� ��� ������� �������� � � ������ �����������

, ���� ���������� ������ , ���� ���������� �������� �� ������

1�� 1�� 1�!� 1�� 7 ������ M�������

# $���� � ����������

C1G K0@== .?�< <�? I.�. �=�== B�AI B�B5N .=?�5=N

C1G G�������� .@�@ @�B B=�? �=�=5 B�H. =�B5N H�=<N

:�%� ����� ������� .A�5 @�5 A?�= =�=. @�=? �=�5BN I�IIN

C�6� A=$���� �� .=�B ?�< 5A�@ �=�=. 5�H= �=�@HN .H�?<N

F� �! ���� ����� ��� 5<�= .B�= @<�? =�=@ B�=5 =�@5N ..�B.N

E�� ..�B B�= @A�@ =�=I ?�<B .�<AN .@�BHN

4 7�/0J ..�I ?�5 B=�= =�=5 @�5H .�=.N @�A?N

4 7�G4" .=�I ?�5 5B�= �=�=. B�.B .�I@N .B�<@N

E�0�G4" H�@ 5�@ .I�= =�=. @�?? =�5?N @.�=@N

4 7�1L0 .5�5 @�H BA�= =�=A <�I< ?�@BN <<�=<N

4 7��'� .5�. .�B ?=�= =�=5 ?�?5 5�HIN A.�=HN

% &��!�� � ����������

C1G K0@== .?�I <�H @I�= =�=5 H�IB 5�.BN 5.�AHN

C1G G�������� .@�@ @�@ A<�H �=�=H <�I? =�H=N @�HIN

:�%� ����� ������� .A�5 @�A A?�= =�=? .=�H= =�=B ?�5=N

C�6� A=$���� �� .=�B H�= 5=�5 �=�=B @�@B =�AAN H�@?N

F� �! ���� ����� ��� 5<�= .B�A @?�@ =�5B I�AH =�H5N A�=@N

E�� ..�B B�= @A�= =�AA .?�== .�@HN .=�A.N

4 7�/0J ..�I ?�B 5I�@ =�.= .=�<= .�.AN B�@<N

4 7�G4" .=�I ?�@ 5.�@ �=�=A I�B. .�5IN @�=?N

E�0�G4" H�@ 5�? .I�= =�=? ..�B= =�@AN <�=AN

4 7�1L0 ..�< @�H A5�= =�.@ 5A�== A�?5N 55�@AN

4 7��'� .5�. .�B ?=�= =�.? .H�.= 5�ABN .B�.5N

, ���� ���������� ������8 ������ ��� �� � , ���� ���������� ������8 ���� �������� �� ������� �

������� 1�� � 78 �� � ����� ������� �� ���� ��� ������ � ������� M�������8

���3���� �� �������� �!����� ������8 ������� ���3����� (������� ����� ���� ���������� ����&�$

���� �%���� ��� +��� )���� �� �� �� ����������* �� <<> ��&��� ������

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 9: Vega Risk and the Smile - Columbia University

����� ��������� �� ���+� �� ��� ������ �� ��� �� � ��������� ,� � ����

���������� ������� � ��� ����� ��� ������� ������ ��� �!����� �� �� �����

�� .� ,� ����� � ���� ���������� �� ��$��������� ��� ���$����� ���������� ��

�����$��� � ���� ���������� ������ ���� �� � ����� ��� ��� ���������� �� ��$

����� ������ � ��� ������� ������ ���� �� � ����� ��� .� ��� �������

������ �� � ���� ������������ ������ ������� ������ �� �� ��������� ,

�� ��� ��� ������ ��� ������� ������ ��� ���� ��� ����� � ����� ��� �����

����+���

6� ������ �!������ �� ���� ������ �� ��� 4 7��'� ������� ������������ �

���� ������ ����&��� �������� ��������������� � ������� ������ � �!���� ��

�/!2- C� /��� �������� ����� ���� �� ������ �������� �������

(������������� ���3����� ��!�0����� ����������

. 5 A B �@�.=

# $���� � ����������

C1G K0@== �I�5NN �?�INN �5�5 =�? BI�@NN ?5�.NN

C1G G�������� =�I �I�@NN �5�. 5�5 A.�5NN BI�=NN

:�%� ����� ������� �A�. �.�= �.�B �A�IN .=�. 5H�HNN

C�6� A=$���� �� �5�? �@�=NN �=�< �.�I .A�=NN 5=�<NN

F� �! ���� ����� ��� �.5�HNN 5�@ �5�5 �=�. A=�<NN AI�INN

E�� .=�?NN �@�INN �<�.NN �@�.N AB�5NN B@�5NN

4 7�/0J �=�I �?�@NN �I�BNN �5�5 55�?NN 5<�@NN

4 7�G4" �B�.N �=�I �<�?NN �5�? 5A�BNN AH�INN

E�0�G4" �.@�=NN �=�@ A�= �@�5NN ?A�INN ?I�@NN

4 7�1L0 A�? �5�@ �.�. �=�? .�@ 5B�.NN

4 7��'� ..�.NN .=�BNN I�?NN 5�5 AH�5NN B=�@NN

% &��!�� � ����������

C1G K0@== �@�<N �<�HNN �A�5 �A�. 5A�INN A@�BNN

C1G G�������� �<�HNN �@�= �.�? �B�H .=�< .A�5

:�%� ����� ������� �@�@ �.5�?NN I�=N �B�@ .B�5NN .?�5

C�6� A=$���� �� �<�.NN �5�? �.�H �5�I <�. ..�I

F� �! ���� ����� ��� �I�B �?�= �B�@ .�@ @�? <�5

E�� �..�?N �@�H �<�= ?�I I�< .5�<

4 7�/0J �.B�=NN �5�? �<�?N �=�@ ..�HN .@�A

4 7�G4" �.@�5NN 5�I �A�H �?�B .H�=NN .<�<N

E�0�G4" �.B�<NN �5�5 <�<NN �@�. 5=�BNN A=�.NN

4 7�1L0 �.<�@NN <�? �?�5 �I�= <�I .B�.

4 7��'� .5�.N B�. �@�I �5�A ?�H .?�.

(������������� ���3����� � ������� (������� )����� ��������* ����� ���� ���������� ����&�����

�%���� ��� +��� �� <@> )<<>* ��&��� ����� )���� ������ �� �� ����������*�

��!�0����� ���������� � ������� (������� )����� ��������* ����� ���� ���������� ����&����� �������

��� +��� �� <@> )<<>* ��&��� ����� )���� ������ ���$�-���� ����������*�

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 10: Vega Risk and the Smile - Columbia University

���� ��� ����� ��� �� ���� �� �� ������ ���� �� �� �!����� �� ���

���� �� �� ��� &!� �!����� ���� ����� � 5 /��� .<<H8 � ��� ������ �� �

������� ������ ���� ������� � ��� ������� �� � ���� ��� ������� ���� ����������

� � ���� ������������ ���� ���� � ��������� ����� �� ����� �� ��� �����

?�, �� ������ �� �� ' ��(���� � )��� " #�����$ % �����&

(���� ��� ��� �� �$�������� � ����������� �������� �� � ���� ����������� ���

�����$�������� ������ �� ������� � ���� ������������ ���� �%��� ��� ����

������� �� ��� ������ ������ ���� , ����$���� ������� ��� � ���� ����������

��� � ���� ����� �� � ���� �� � �� �� � ������� ������ ��� ��� ������ � �

���� ����� ������� �� � ���� �� �� ��� �%��� ��� ������ ���� �%���� �!������

������ � �%���� �� �� �� �������� ����� ������� �� � ���� ���������� ���

�/!2- :� ����� � ������ �� ������ �������� �������

� 5 � B � I � .?

# $���� � ����������

C1G K0@== =�<5 =�I= =�H5 =�?.

C1G G�������� .�=. =�<5 =�IB =�H?

:�%� ����� ������� =�<H =�<B =�I< =�H?

C�6� A=$���� �� =�<I =�<. =�I. =�H@

F� �! ���� ����� ��� =�IH =�IA =�HI =�H=

E�� .�..N .�=? =�<@ =�I5

4 7�/0J =�<< =�II =�H? =�?B

4 7�G4" =�<? =�I< =�HH =�?I

E�0�G4" =�I@ =�H< =�H. =�?@

4 7�1L0 .�=B .�=A =�<@ =�<@

4 7��'� .�.. .�A5N .�@.N .�?BN

% &��!�� � ����������

C1G K0@== =�<B =�I= =�?5 =�@=

C1G G�������� =�<. =�I= =�?I =�@H

:�%� ����� ������� =�<@ =�IB =�H? =�?<

C�6� A=$���� �� =�<. =�IA =�?< =�B<

F� �! ���� ����� ��� =�<= =�HI =�?I =�@@

E�� =�I< =�HA =�?A =�B5

4 7�/0J =�I? =�H5 =�@@ =�BA

4 7�G4" =�I@ =�H< =�?5 =�@5

E�0�G4" =�I@ =�I= =�H? =�?I

4 7�1L0 =�I5 =�I5 =�?5 =�AI

4 7��'� .�.A .�55 .�5I .�=5

(������� ����� ���� ���������� ����&����� ������� ��� +��� �� <@> ��&��� ����� )���� ������ ���$

�-���� ����������*� ��� ������� ������ � ���� ���������� ��� �"��� � ����� �� ������� ��

C� ������ :�� 1��M���� ).<<H� ��� BI%�*� ��� ���������� ��� �� ���� ���� �� � �� � ����

���������� ����� �-��� �� +����

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 11: Vega Risk and the Smile - Columbia University

��� �� ��� ���������� � ��� � ��� ��� ��������� �� ���������� � ���� ���

������� ��� ������ � ��� ������� ��� ���������� �������� ��� ���� �� ��� � ����

������������ �� � ���������� ����� �� � ������ �� �!������ ����� � �� � ��

�������� �� ���� ����� ���� ��8H

'���� ��� ���������� � ��� �������� ��� �������������� ����� �� ��� ���� ��

� ���� ������������ �� ������ �� � ���� �� � �� �!���� ������ ��� ���� ��

������ ��� �!������ �����8 ���$��$���$ ��� ������ ���� ���� ������ � ����

������������ ��� ��$���$ ��� ������� ���������� ��� ��������� �� ���� ���

�����$��� ������ ��� ��� �����$��� �������

'���! �� ����� ��� ���������� � ��� �� ���� ������ �� ���� ���$��$���$ ���

���� ������ ���� � ���� ������������ ����� �%�� ��� ����� �� �-����� ���$

��$���$ ��� ���� ��� ������ ������ �� � ���� ���������� ������ �!������

������ �� ���� ����� ��� ��� ����� �� �������� �� ����� ������������ �� �

9����� A�

(��� ��������� ��� ��� ��������� �� � ���� ���������� �������� ��� ������ ��

������ ���� ��� �� � �!������ ����� ��� �%���� ���������� ����� ��������

���� �%���� � ���� �������������

0��������� ������� ������ ��� �!���� �� ��� �� ������ � ��� ����� ��

� ���� ���������� ��� ���� ��8

� ������ � ��� ��������� � ������� �� ��� � ���O

� ������ � � ���� ���������� ����� ��� � ���O

� ������ � ��� ����� �� ��� ��� ��������� �� ����������O

1025 1030 1035 1040 1045 1050 1055 X

30.0

30.5

31.0

31.5

32.0

32.5

Σ

futures price

6&.*�- ?� ��� �������� ���� � ��� #D7 ���9 ������� &����� ���������� �%% #�������� %EEF �� )� ����� %EEF ������ � )� ����� %EEF ��������

H 6 ��� ���������� � ���� ���� � �� �� ����� �!� ����� '��� ).<<B* � 0�P �� "����� �

��� ).<<<* � �-���� ��!��� 1����� � ��� �� ).<<H* ��� ���� ��� �������� � L� � ������

).<<B* � 1��+ ).<<?* ��� ���������� 6 ��� ��� ��������� �� ����������� ���� ����� C� �� �

C��� ).<<@* � ��������� � ��� ).<I<* � �-���� ��!���

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� �

Page 12: Vega Risk and the Smile - Columbia University

� ������ ���� ��� ��� ��������� �� ���������� �� ��� ����� ���������

, ����� B� �� ���� �!� �� ��� ����� �� ����� �%��� ��" ���� �����

������� � ������ �!����� ������� ������ ��� ��� �� �� �� ������ ��

������� �� � ����������� �������� � -������� �������� �� ��� ������

�!����� ����� ������I , ������ �!����� ����� ������� ������ ��� ���

������ ������ ����� ���� �� � ����� ��� �!������ ����� � ��� ������ ������

� ���� ���������� �� � ����� ��� ������ ��� ���� � � ���� ���������� ���

������ �� ������ ����� ��� ��� ��� ������ ������ ������ �������� ���

���������� � ��� �� ��� �� ��������� �� � ������� �� � ���� ������������ ��

������ � ��� �� � ������� � ���� ��� �� � ������� ��� �%���� ������

���� ������� �� �� �������� ���� � ��-�� �!������ ����� ��������� ��

���� ���� �� ��� ���� � � ��-�� ����� ��� �� � ������� ���� ������$

��� �� ���� � ���� ����������� ��� ��� ��-�� ����� ������ ��� ��� (�19

)@=$���� ������* � ��� 5@$���� ����� � ����� ����� ��� ���� �������� ����

������ � .=$���� ����� � �����

��� ��-����� �� ���$��$���$ ��� ������ � ������ �!����� ������ ��� ��

�� ��� �������� ����� �� ����� �� �������� � ���������� ��� ������� ���

�������� � ��� ���� ��������� ��� ������ �� ���� � ���� � � ��� ���� ���

�� � �!������ ������ ������� ��� ������ ������ �������� ����� ��� ������� �

��� ���� �������� �� ��� � ���$��$���$ ��� ���� � � ���$��$���$ ��� ���

���� ��� �� � ����� ������� 5@> )���� ���� A@� A=� �� .=>*� � ��� �� �

�������� ��� �!������ ����� �� ��� ���� �� ���� �� ������ ��� ��� ������

������ �������� ����� � ��� �!������ ����� �� ��� ��� �� ����� �� �����!� �����

��� �� � ����������� � ���� ��� ������� ������� �� � ��� ���$��$���$ ���

��� � ����� ��� ���� �������� ������� �� � ��� ���$��$���$ ��� ���� � �

����� ���$��$���$ ��� ����

��� ������ �� ����� ����� �� ������� ��� �!������ � ���� ������ ���

������� ���� � ����$���$������ ����� �������� ��� � ���� ���������� �� ���

��� �� ���� �� � ��$���$ ��� ������ ������ �� ������� �� ���� �� ���

���� )�� ������ �� �������� ������* � �� ������� �� �� ��� ������ �� ��$���$

��� ������ ���������� � ���� ���� �� �� �� ��� ������ ������ ����

����� �� �������� -���� �� ��� ����� ������ ��� ������� �� ��� ���$��$���$

��� � ���� ������������ � ��� (�19 ����������� ��� ���� �������� ������

���� ���� �� �������� -���� �� ��� ����� ������ ��� ���$��$���$ ��� ����

������� ���� � ��� ������������� ,� �� �� �������� �� ��������

, 9����� B� � -������� ����� ��� �� &��� �� ��� ������� (�19 � 5@$

� H@$���� � ���� ������������� , ��� -������� ����� ��� � ��� ��� � ��������

���� ����+���� � ��� � �� ��� -���� ����� ������8

��� � �� � � 5����� =�@=� � .?������ =�@=�5� �5�

���� ����� ��� ��� ��� � ��� ������� ������� ��� ��� ������� ����� �����

��������8 ��� ������� ���������� �� � �� ������ �� ��������� �� ��� � ���� ���

I �� 1��+ ).<<H* ��� ����� � ����� ���������

4���� �� ����

/� 3� 3�5�

Page 13: Vega Risk and the Smile - Columbia University

������� ����� ������� ��� ����� �� ���������� � ��� ���� �������� �����

������� ��� ����� �� ������� �� ��� � ����

��� � ��� ������� � 9����� A �� ����� ����� ����� ������ �� ��� ���$

���� ������ ���� �� �� ��� ����� � ����� ������� ���� ���$��$���$ ��� ����

���� ������ ���� ��� �-����� ���$��$���$ ��� ������ ���� �� �� ����� �� �

��� ��� ���� ��� � ���� �� ���� � ����� ��� ������� ��� ������ ������

�!������ ������ ,� ��� ��� � ���� � ���� �%���� �� ���� ������� �������� ������

� ��� �� ��������� �������������

?�? ������!� *�� � )����+ � $��� ����,��� ���

��� �����$�������� � ����������� �� ����� � ����� ������ ���� ���� ���� �� �

����� ��� �� �������� �������� ���������� ���� �� ������ ������� ���

���������� ���� ���� ��������� ���� ��� �� ����� � ���� ��� �����������

�������� �� ��� ������� ����� ������ � � ���� �������������

��� ��� ����� ������� �� ����� ����� ���������� ��������� ���

������� ����� ���������� �� ���������� ������ ��� ������� , ���� ���������

� ������� ���������� ������� �� ������� �� ������� ���������� ���������<

"���� ���� ��� ������ � ��� �������������� �������� �����������������

)("C'* �� ��� �� ���� �� ���������� ����������� ���� ����� ��� ���������� ��

���� �� �� ������� ���� ��� ���������� � ��� � ��� ������� �� ��� �� �����

������ � �����������.=

0.25 0.5 0.75 call ∆

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

Σ

75∆ call vol

ATM forward vol25∆ call vol

6&.*�- C� ��� �������� ���� � ��� ������ �9 ���� ������� (������ ����"��������� F 6������� %EEE� #��� �G )���3���� ��

< ( �!� ��� �� ���� �������� �� ���� �� '��� � 2���� ).<IH*� ������ ������� ������ ���

� ��� ).<<.* � '���� ).<<A*� ������� � ��$�������� �����&����� ��� ��� �������� ��

����������� ����� �� -���� �������� ���� ��� � ������� ����������� ������� �����

.= 7�� ).<<<*� ��� �!� ���� ������� � �������+� ("C' )E("C'* ��� ���� ��������

������� �������� �� ��� ������� ����������� ���������� �� ������� ����� ����������� � ����������

��� ���� ���� ������ ������ �� ������ � ���$����� ���������� ��� ����� ���������� �������� ���

������� ����

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 14: Vega Risk and the Smile - Columbia University

(����� ��������� ���� ����� ������� �� �� ��� ��� ����� ����� �� ��������

� #� �$�%���� �������� (� � ��� ���������� ���������� ����� �� ����� �

������� ���������� ������� �� �������� ���� �������� ��� ��+� � �� �� ��

������� ������ � ��� ������� ����� ������ ���� �������� �� ����������

��������� ��� ������ �� �� ����� ���� ���������� ��� ��� ���������� ����������

�� ��� �� ���� � ���������� ��� ����������� �������� �� ����� �����������..

��� ���������� ���������� � #� �$�%���� ���������� ���� ������� ���$

������ 9����� ���� ������� ������� ������� �� ����� #� � ���� � ����������

����� ���� ���� �� ��������� ���� � ��� ����� ��������$����� ����

(� � ������� ��� #� � � ���������� ����� ��� �� ���� � �� �� ������ �����

�� ����� ������ ��� �� ���� � ���� �� ����� ��� ����� ����� �� �$

��������� ���� ���� 6��������� ��� ����� ����� ��� �� ����� � ��� ����!�

�� � ���������� �-�������� ��� �� ��� ���� � � ����� ������ �

��������� ��� �����&�� �� ���� ����� ���� �� ������&������� ��� �� ��

���� ��� ��� ����� �� ����� ������� ���� ������� �� +���� ���� ��� ���� �����

�� ��� �������� ����� ���� ��� �������� �� ���� ��� ������������� ������

��� ���� � ���� �� ��� ��� �� ������� ����� ������� ��� ���� � �� ����

������������ ���������� ����� ��� ����� � ����� ������� ��� �� �������

��������� ������������ ����� ��� ���� ����� �� ��� ���� ���-����� � ����

�� ������� ����� ��������� ���� �� ������ ���� � ��������� ��� �� � ��� ����

�� �$������ ���������� �� ��� ��� ������ ������ ����

( ���� �������� ������� � ���������� �� ��������� �� �������� ��� �����$

�������� �� ����� � ����� ������� ,� ��������� ���������� �� ������� ���

���� ������� ������ � �������� ���� � ����� ���������� ������ ���� ���

������ ��� � ��� ���$��������� ����� �� ��� ������� ������ , ���

���� ������ ���������� ��������� ��� ���������� ������� ��� G������ ������ ��

��� �� ���� ��� ��� ����� ���������� �������.5

��� ���� ������ ���������� ��� ��� ��� ������� �� ��������� ��� �$

��������� �������� �� ����� ������� ��� ��� �!���� ������� ������� ���� ���

�� ��� ������ ������ ���������� �� � ������ ����������� (� � ������� ��� ����������

������� �� ��� ������� ����� �� � ������ � ��� ���������� ������ � �� ���� ��

���������.A '������� �� ������� ���� ��� ����� ���������� ������ �� �� ������� (� �

������� ��� ���� ������ ���������� �������� ��������� ������ ����� ������ ���� ����

��� ��� �������� ��������� ��� �� ���� �������� �� ���� ��� ����������

������� �� �������� ������ � ���� ������������ � ���� ����� �������.B ����

�������� �� ����� � ��� �!� ������ �� ���������� ��� ����������� � �����$

�������� �� ����� � � ���� ���������� ��� ��" ���� �����

.. ��� ����� ����� ).<<.*� ����� ).<<?* �� ���� ��� #� �$�%���� � ���������� ����������

���������� �� �!���� ������� ����� ��������� ������� C��� � C�� ).<<H* ������ � � �������

������ �� �� � ���� �� ����� �����

.5 G!� ���� �� ���� �������� ����� ����� �� 7�� � � M�� ).<<B*� 7����� ).<<H*� �

7� ����& �� �� ).<<<*�

.A �� "������� ).<<B*�

.B �� ��� �!������ � ������� ���� �� 7� ��� 9�� ��� � 2����� ).<<I*�

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 15: Vega Risk and the Smile - Columbia University

C� �-./ �&#0 &' �1- 7�-#-'+- (6 / �(2/�&2&�8 #3&2-/') �-�3 #��*+�*�-

, ������� ��� �������� ��" ���� ���� ��� ���� ��� �������� ������ ������

�������� �� ����� 5� �� �� ����� � ���������� ��� �� ��� #��� ��������

�� ����� ����� ������ � ����������� ���� �� �������������� �� ���� ����������

�������� ����������� �� #� �$�%����� ������ �������� �� ����� ����������

���� ��� � ��� �������� ������� F�� �� ��� ���� ������ � ��� ����������

��� ��� ���� �� ���������� ��������� � �������� ��� #��� �������� �� ��� �����

���������� ������� � ��� ���� ����� ���� �� ��

"������ �� ��� � �������� �� ��� #��� �������� �� ��� ������� ����� �

� ���� ���������� ������� ��� ��� ���������� �������� ��� �������� ��� ����

��������� ���� ���� �� ��� ���� ������ ���������� ��������� �� ���� ��� ����������

������� ������ � � ������ ����$������ ���� ��� �� ��� ���������� �� ������

����� ������ � ����������� ���� ���������� ���� ��� ������ ��� ���� ��

���� ���������� ���������� � #� �$�%���� ���� ���� �� �� �������� �� ����

�� ����� ���� �� ���� �� ������� ����������� ������ ��� ����� �� ���

������� ����� ����� � ��� ����� � ����� �� ��� ���������� �������� ������

�� ����� ���� �� ���� ���� � � ��� � ��� �����$������� �����������

�� � ���� �������������

��� �� ������� �� ��� �������� ���� �� ���� �� ��� �� ���� � �

���������� ��� �� ��� ������� ��� ���� � ��� ��� �� ������� ���

�!������ � ��� ������ '������� �� ������ � ������ � ���� ������������

������ ��� ���������� ������� �� �� �� ������ �� ������ � ���� ��� �� � ��

���� �� ������ � � ������ ����� ���������� ����� ������ � ���� ��� �� �

����� � ��� ������ ����� �� ��� ���� �� ���������� ���������� ��� ������

� �!����������.@ 2� ���� ���� �������� � ������ &��� ���� �� ��� ����� ��

��� ���������� � ��� �� �� ������ ���� ��� �������� ����+�� � ��� ��� �����

��� ����� �� ���� ���� �� ��

C�% -�.�$ % �����& �����

, ��� �� ���� �������� �� ����������� ��� � ���� �� ����� ������ � ���

����� �� ��� ���������� � ��� � ���� ��� ������ ��� �������� ������ � ���

���������� � ��� � ������ � � ���� ���������� ���� ��� ���������� � ��� �� ���

���� ���� ������� ��� ��� �� ������ ���� �� ���� � ���� ���������� ��������

��� ���� �� �� ��� �� ��� �� ���� ��������� ������ ������ �� ��� ������

����� �� � ���� ����������� ��� �� � ������� �� ���� ��� ���������� � ���� ���

������� �� ���� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� ����� �� ��� ���� ������ ��

���� � 9����� @�

, ��� &!�$� ��� ��������� �� ���� � ��� ����� �� � ���� ���������� ������

��� ����� ���������� � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ����� ��� ����� �� ���

.@ "������� (QR �$ ������ � :� )5===* ��� ���� ��� �� ��������� � ��������� ������ ��� ����

��� �� � � �!��������� � ��� � ����$������ ����������� ������������

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 16: Vega Risk and the Smile - Columbia University

� ���� ��� � ��� ������ � �!������ ��������� ������ ��� �� � �������� ������.?

��� &!� � ��� �������� ��������� �� ������� ��� �� �� ��� ������� ��� ��

��������� ��"� ��� ���� ���� ��� ���� ���� �� �� �� ������ �� ��� �

�����!� ��� ��������� �� ��� ������ �������� �� ���� ������ � � ����

������������� ��� ���������� � ��� �� �� ���������� �� ��� �� �������

� ��� &!� � ��� �������� ���� �� ���� �� ��� ������ ���� ����� ��"

�� ���������

� ����� �� 2� ����� �� G!� ��� 5�5 �� � ����$���� ����� ��$���$ ���

�������� ����� � ������ �� ���� � ���� ��� ��$���$ ��� ���������� ��

.@>� , ������ �� ���� � ���� ��� ���� �������� � ������� ��� �5�@� �

=�@ ����� 2� ��� 1��� C���� �� �������� �� � G!� ��� 5�5 ������.H

( �������� ����� �� ��� ������� ������ ��� � ��� �� ��� ������ �� ���� ���

��$���$ ��� � ���� ���������� �� ������� �� � ������ �!������ ������ (

�!����� ��� )����* ����� ����� �������� ��� ��$���$ ��� �� �� �������� ���$

��$���$ ��� )�$���$ ���*� ,� �� ������� �� ��� � ���� ���������� ������$

���� �� ��� ��� ����� )������* ����� 9�� ��� �����$������� ���������� � ���

�� ��� �!� ���� ���� ��� ���� � �������� ����� �� ��� �!����� ���� )�����

��* ���� �� � ���� � ��� � ���� ���������� �� � ��$���$ ��� ��� � � �����

� ��� � ���� ���������� �� � ��$���$ ��� ���� ���� ��� ���������� � ����

, ��� 1��� C���� �� ������� �� ��"� �� �� ��� ��������� ������ ��

���� � � ���� ����������� �� ������ ��� �� �%��� �� ��� � ��� � ��"� ��

110 112 114 116 X

0.16

0.17

0.18

Σ

spot shock

spot shock

vol shock

6&.*�- :� 7���������� �� ���� �� �� ���� ��� $9�� ���� ������ ��#��� �G )���3���� ��

.? 7�� � ).<<<* ������ ���� �������� ��� �������� � ����� �������� �� � ���� �����������

.H ����� ��� ��� ����� �� ����� ������� � I 9������� .<<< � ������� � 9����� B� ��� ���

���� �% � ��� �!� ��� ��� ���� �� �!�������� ��� ���������� ���� � ��� �������� ����� ���

���������� ���� ��� ���� �� �� ��� ����� �� ���� ���� ������ ��� ��� ����� ��� ������� ����

�������� �� �������� ( ���� �������� �� �=�=5@ ���� �� ������� ����� ��� �� �������� ���

� ������� � ��������� �� =�==@ �� ����� ��� �� �!��� �� ��� ���������

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 17: Vega Risk and the Smile - Columbia University

�� �� ����+� ��� �%��� � ��������� ����� �� ��� ���� �������� �� �������

�� �������� � ������� ������ �� ����� ��� �������8

'��� ��) ��� �� ���� �� ��� ����� �� ������ ��� ��� ���� ����� ��$���$

��� ���� ��� ���� � ��� ����� ������� � ���� �� ��� ����� ���� )�� ����

�� ��� ���� ��� � ��� � ����*� ��� ����� ����������� ���� ����� ���

���������� �� ��� ��� ������ ���� ��� � ���� �� �� ���� ��� ���� � B=$ ������

��� @=$���� ������ ���� ���������� ����� ���� �� � ������ �� ��� ����� ��

���������� � �� � ������ �� ��� ����� � �������

'��� ��) ��� �*� ��� ���� � ��� ������� ����� ������� � �� �� � �����

���� � ����� ��� ���������� �� ��� ��� ������ ���� ��� � ���� , ���� ����� ���

���� � ��� ���� ��� � ��� �� �%��� �� ��� ����� �� �� ��� ��� ������

'��� �*�) ��� �� ��� ���� � ��� ������� ����� ���� ������� � �� � ����� ���

��� ����� ���� ��� ���������� � ��� �� ��� ��� ���� ��� ���� � ?=$���� ������

�%������ ��� ���� �� �� ��� ��� ������

'��� �*�) ��� �*� ���� �� ��� ���� �� ������ ��� ��� ���� ����� ��$���$

��� ���� ��� ��� ����� ���� ���� ��� � ��� � ������� �� ��� ��� ������

��� ������ �� � ��� �%��� ��� �� ��� �� � �����

( �� ���� ������� �� �� ������ �� ���� ��� ���� � ��� � ����� �����

����������� ��� ��� ��� ��������� ������� ��������� �� ��� ��� ����� ���

���������� ��� ���� ���� �������� ��� ���� ���� ��������� ������� � ���������

��� �� � ��� �� ��� ���� ��� ����������

�� ������ ��� �� �%��� �� ��� � ��� � ��"� �� �� ���� �� ������ ���

���������� ������ ��� ��$���$ ��� � ���� ���������� � ��� ���� �����

������� �� ��� ������� ������� ���������� ������ ���� � ���� ����� ��

� ���������� �� �������� � ����� ���� � ��� ��� � �������� ���������

����� ���� �� �%������ �%���� �� ��� � ��� � ��� ��� ������ (� � ������� ���

� ��� ������ ��" ��� D5@I< �� D5BHB� , ������� �� �� �!���� � �������

���������� � ���� ����� �� ����� �� ����� �������� ��� ����� �� � �������

���������� ������ � ���� ���������� � ��� ������� ������ ��� � ��� ��

���� ��� �� �� ����� ������ �� ����� ������$��������� 2��� � �����$

������� � ���� � �������� ��" �� ������� �� DA=?5�

� ����� �� ��� � ��� �� ���� � ����� � � ���� � ��� ��" �� � ����

��������� ( ���� �������� �� ���� ������8 ��� ���� �� ��������� �-��� �� =�@= �� ����� � �� �� �������� ���� �� �� ���� � ����� � ��� ������� ���� ����� ��

5@>� ����� ��� ���� �� ����� �� +��� �� ��������� �� ��� � 9����� ?� (� �� ���

���� ��� �� ��������� �� ������� ��� ���� � ���� ��� �� �������� ����

�� ��� ���� ���� ������� (� ��� �� � �� ��������� � ��� ������ �� � ����������

� ���� ��� ����� ���&�� �� ��� ���� �������� �� ����� �� �������� , ��� �������

�� � � ���� ��� ����� ���������� �� � ����� �� �������� ��� �� �� �������

������

C����� � ����� ������� � � ��$������� ���� �������� �������� �� � ���

������� � � 5@$���� ����� ��� � � 5@$���� ����� ���� � � ����� � �����

��� ���������� � ��� �� �� ���� � 9����� B� 7������ ���� ���� ���� � �������

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 18: Vega Risk and the Smile - Columbia University

������� �� ����� �� � � ��� ��������� ������ � ������ ������ ������� �

���� �������� �� ����$������ � ��� ��� �� � ����� ��� ��" �� � ����$����

���� �������� �� ���� ��� � ��� ������ �� ��� � ���� , ��� ������� �� � � ����

�������� ��� ��" �������� �� ��������� , ��� ���� �� ��� ��" ��� ���

�������� ��� D5.? �� DH.5� �� ��� � ����� .�

C�, ���$ � % �����& �����

����� �� � ��� �� ���! �������� �� ����������� � ��� �%���� � ��"� �

����� ��� 5@$� @=$� � H@$���� � ���� ������������ ��� ��� ���� �� ���� �

��������� ������� 9�� �!�����$���� ������� �� �� ��� �� ��� ��$���$

��� � ���� ���������� � ��� ���� ���������� �� �� �� ��� ������� �

���� ��� �� ��� ������ ������� ����� �� ���� ��������� ��� �������� ��

���������� �������� �� �� � �������� ���� � ������� ������� � �� �����

� � ���� ���������� ��� ��� ������ ����� �� ��� ������� ������ ��

���������� ������ ��� ������ � ��� ����� ���� ��� ����������� ���� �

������� ������

� ����� ��� 2� &��� ��������� ��������� ������ �� ���� � ��� 5@$� @=$� �

H@$���� � ���� ������������� ��� ������ �� ����� �������� �� �=�==<H� =�=@@I�=�=@?H� =�=@@B� � ��� ���������� ����! ��

. �=�A== �=�A<@ �=�BIA. =�<I? =�<B?

. =�<I?

.

������

�������

105 110 115 120 St

�5

0

5

10

Κ

75∆ callstrike

forward

25∆ callstrike

ATM forwardrisk reversal

6&.*�- =� ���� �� � ���� �������� (������ ����"�� ������� ������� � 478� F6������� %EEE� !� �"# ���� ���� � ��������� ��� ���� �� �������� �H����� �% ���� �� � ���� �� ��� ���� ����� �� ��� ������ �������� ���� ����� ���� ��� ���� ��� ����

���� ����� #��� �G )���3���� ��

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 19: Vega Risk and the Smile - Columbia University

��� 5@$� @=$� � H@$���� � ���� ������������ ��� ������ ��������� ���� ��

������� ��� H@$���� ���� ��� ��� � ������ ������ ������� ���������� ����

��� ���� ����� ����� ��� ��� ����� ������ ��� ������� ������ ��� �����

���� �� ��� ������� � ��� ���� �������� ����� ���� �� ��� ��������

���� �� � ����� �� � �� ��� �%���� �� ��� � ��� � ��" ������ � ���

�������� ������� , ��� ���� �� ��� ����� ��$���$ ��� ��� ���������� ��� �%����

��� � ���� �� ��� � ����� .� ��� ��" �� �� D5AIB�

���� ��� ��� ��������� � ��� ����� �� ��� ���������� � ��� �������� �����

������ ���� �� � �� ���� ���� ��� ����� �� � ���� ����������� '������� ���

��� ������ �� ���� � � ���� ���������� ����� ��������� �� �� ���� ���� ����

�� � ����� ����� � ��� ����� �� ��� ��� ��������� � ��� ��������� �� ���

� ���� 2� ��� ������� �� ���� �� ����� ������������ ���� ��� ����� �����

���� ���� ������� � ���� ������������� � �� �� �������� ���� �� ������$���� ���

����� �%����� ( ����� �� ������ � ��� ������ � ������� �� � ��� ���������

���� ����� ����� ������ � ���� ������ � � ���� ���������� �� ������

�������� ��� ���� ������ ������ 9����� H ����� ��� �������� ��� � ��� �� �����

������

C�? ��� ��� ����� " % �����& ��$ %�+� ����

6� �%��� �� ��� ��� ��������� �� ���������� �� ���� �� � ����� ��������� ���

� ���� ���������� ������ ���� ��� ��� ���������� ��� ������� �� ��� ����

�� ������ � ���� ����� � ���� ������������ ���� ��� ��������� ��� ���������

��� �������� �� ��� ������� �� ���� ����� ������ ���� � ���� ������������

�� ������ ���� ��� � ���� ��� �%����� �� ���� ��� �%��� �� �������� ��

���� ������ ������ ��� ��� �

G!���� ��� ���� ����� ��� ������ )���� ��� . ���*� ��� ��" ����+� �� .

�� �� ��������� ����� �� ���� ���� ��� ����� ������ ��� ���� �� ������ ����

Jan 96 Jan 97 Jan 98 Jan 99�4

�3

�2

�1

0

strangle

risk reversal

6&.*�- >� )���"�� %����� ,:����� ���� �������� �� ��������#��� �G )���3���� ��

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��

Page 20: Vega Risk and the Smile - Columbia University

�%���� ���������� ��� �������� �� ��� ����� ������� �� . ��� �� ���

.= ���� �� ��������� ������� �� ����� ��� � ���� ���������� ��������� ���� ���

��� ���������� 9�� �!� ���� �� ��� ����� ������ ��� .$ ��� � ���� ����������

� ��� A$ ��� � ���� ���������� �� � ���������� ���� .�5= ����� ��� ���� �� � A$

��� ����� ���� ����� ��� ���������� �� ��� .@ ����� ����� )=�==.@* ��� ���

���� �� ��������� � ��� �� ���� ���� ��� ���$��$���� ����� � G!� ��� 5�. ���

=�=@?H� 2� ���� ��������� ����� ������ � ��� ��� �� ��� ������

/��� �� ���� ������ ��� ����� ������ � ��� ����� �� ��� ���������� � ���

�� ���� ������ ���� ��� � ��� �� �� ��������� � ���� ������� ���� ��� ����

��� ������ ������ � ��� ����� �� ��� ��� ��������� �� ����������� ���

��������� ����� �� �� ������ �� ����� ��� ������� ������� ��� ��������

9�� ���� ������� ������ ������ � ���� ������� ������ ��� � ���� ����

��������� ���� ���� �� ����� ������� �������� ���� ��� ���� ����� ������� �

���� ����� ������� , ��������� ��� ������������ �� � ���� ���������� ��� �� �� ��

��� &���� �� ��� ������� ����

� ����� ��� ����� ��������� �� �����!"�� #����$�$�$��% "������ �� ��� �!$

� ��� �� ��������� ��� ������ �� ����� �������� �� �=�==<H� =�=@?H� =�=55?�� ��� ���������� ����! �� ��� ���� ���� � ��� .$ � .5$ ��� � ����

������������ ��

. �=�A<@ �=�=I@. =�H?<

.

���

����

, ���� �!� ���� �������$ � �����$��� � ���� ������������ ��� �� �� ������

��������� ���� �� ������ �� ����� � ��� ���������� � ���� ��� ����������� ��

� ���� ���������� ���� ��� ���� ���� ���� ������ �� ��� �� � �� �������

Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97 Jan 98 Jan 99

10

15

20

25

30

35

401�month IV12�month IV

6&.*�- F� )���"�� %����� �� %,����� ����������� ������� ������ ���������#��� �G )���3���� ��

4���� �� ����

/� 3� 3�5��

Page 21: Vega Risk and the Smile - Columbia University

��������� (� �� ���� �!���� � ����� �� ��� ��$�������� ����������� �����$

��� � ���� ���������� �� ���� �������� ��� �������$��� � ���� ����������� �����

� ������ �%����� ������ �������$ � �����$��� ���������� �� �� ��

������� � � �������� ��" ������� �� � ��������� ������� �����

(� ��� �� ��� � �� ��� ���� ������� � �� �� ��� � 9����� I� ��� ���

��������� �� ����� ����� ��������� �������� �� ��� �� � �� � ���� ���� ������

� ��� ����� � ����� �� ���������� � ��� ��� �������� ����� ������ �� ��������� �

��-���� ������ �� �� ����� ��" ��������

:� +('+2*#&('#

2� ������ ���� �� � �������+����� � ���������� ��� ���� ������ �

����� ���� ���� ����� ����� �� �� ���������� ��� � ����� ���� �� ��� ��� ����

�� ��� ��" �� � ��������� ������� �������

��� ���������� � ��� �� ���� � ����� � ���� � ��"� '������� ��� � ��� ��

���� ����� ���� ���� ������� ����� ���������� ������ ���� ��� � ��� ��� �%���

�� ���������� ������ ��������� ���� ���� ��� ����

( ����$������ ��������� ��� ��� � � ��� �!������ �� ��� ������ ����� ��

� ���� ����������� ��� �� ���� � ���� ����� �!������ �� ��� ���������� � ���� "���

������ ��������� ����$������ ����� ����� �� ��������� �� ��" �������

���� � �� ���� ������ �� ��� � ����

, ���� �� ��� ��� ��� ��������� �� ��� ���� ������ �� �����-��� �������

���� �� ������� �� ��������� �� ���� ������ ������� � ��" �� ��������

"������� �������� ���� ���� �� �������� � �������� ���� ���� � ���

����� �� ��� ���-���� �� ��" �� � ������ ���� ������ � ���� �� ��� �����

��� ����� �� ����� ����� ���������.I ��� �����-��� ������� � ���� �����

���� ������ �� ����� �� ������ ����� ������$���� ������� ���� �� ��� ����

��� � ������ @$ �� .=$��� ��� � � ������ �� �������

9�� �!� ���� ��� �����-��� ������� � ����� B ���� � ���� � ����

���������� �� #����� ����� ���� ��������� ���� ����� ����� ������ � ���� �

��� ���������� � ��� �� ������� ���� ���� ���� ���� ��� ������� �!����� �����

���������� )� ��� ����$������ ����*� "��� ������ � ��� ����� �� ��� � ���

��� ������ �� ���� ��� ����� ������ � ��� ������ �� � ���� ���������� �

���� ������� ����� ������ �� ������ ��� ������������ �� � ��������� �� �����

� ��� ������� ���������� ��� � ����$������ �� ���$���� ���������� G!������

�� ��� ���� ������� � ���� ����� � ������� �������� � ���� ����

���� �� �������� ����� ���� ������ �� ���� �������� ���� �� �

������ ������� �!��� � ����� ������� � ����� ���������� �� ������� ��� ����

�� ����� �������

.I 1�� ����� �!� ���� �� ���� ���� �� �� ��� � ��� #�� # ��� +��������,��! ��� ���� ��

����������������� ��� ���������� � � ��� (���� 5=== ����� �� ��� ,��!-������ .�������

��������� ����������������� �������� ������� �����������

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� �

Page 22: Vega Risk and the Smile - Columbia University

�-6-�-'+-#�-6-�-'+-#

(QR �$ ������� J�� � :�� (� 2� )5===*� F����� ����� ���� ���� �� � � ���� ����

�������� .������ /� ������������� ��).S5*� <�@.�

������� E�� C��� C�� � C��� T� ).<<H*� G ������� ������ ��� �� ���������� �����

������ ����� .������ �� 0������� ��)@*� 5==A�5=B<�

������ 7� � ).<<.*� ��� C���� �� �IH8 ��� �� �!�����U ��� ������ ��� ������

������� .������ �� 0������� ��)A*� .==<�.=BB�

������ 7� � ).<<?*� /� �� � ���������� ����������8 G!����� ���� ��������� � ������ �

7������� 1��� ������� .������ �� 0�������� '�� ���� �).*� ?<�.=H�

C� ��� /� 1�� � C���� 0� M� ).<<@*� ������ ��� �!��������� ���������� � ��� ���

��������� �� ������������ � ������ �!����� ������� .������ �� 0������� ��)5*� @5<�@BH�

C� ������ /� J�� :�� (� 2�� � 1��M����� (� C� ).<<H*� (�� ������������ �� 0��������

-��!���� 0������ 4�������� 0�����

7� ����&� M�� 7�� �� G�� M� ��� 1�� � T��� /� ).<<<*� ( ���� �� ���������� �

������� ������ .������ �� $����������� �)B*� <�A5�

7�� �� G� ).<<<*� "��� �� �� ����������� V���������� ��������� "������� F�����

E�� � ����� (�������� �� ��������� �� ��� �����������

7�� �� G�� � M��� ,� ).<<B*� "��� � � � ���� ,��!� �)5*� A5�A<�

7��� /�$C� ).<<<*� C��������� ���$����� ����������� � ��� ���������� � ��� �

������� 1� ��� (�������� �� ����������� ������ �����������

7� ��� ��� 9�� ��� /�� � 2������ "� G� ).<<I*� , ���� ���������� �������8 G �������

������ .������ �� 0������� ��)?*� 5=@<�5.=?�

7������ �� ).<<H*� 0����� � ����� ���� � ����� ,8 -���������� �� $���������

'��������� )�� 1� (� 7� ����� � � "� 0�����*� ��� .=A�...� C� ����� 4��������

0�����

'����� � :� ).<<A*� ( �����$��� ������� ��� ������ ���� ���������� ���������� ����

����������� �� �� � ������� ������� ,����* �� 0�������� '�� ���� �)5*� A5H�ABA�

'���� "� ).<<B*� ( � ������� ����������� �� ������� � ��� �������� ,����* ��

0������ -��!���� �)5*� A.H�A@B�

'���� /�� � 2����� (� ).<IH*� ��� ������ �� ������ � ������ ���� ����������

������������� .������ �� 0������� ��)5*� 5I.�A==�

1��+� (� 1� ).<<?*� 4��� ����� ������ �� ���� ��� ������ �� ������������� � ���

G������ 1������ ���� 8 ��� ���� �� �������$ ���� .������ �� 1������������ -����

�� 0������� �)@*� H.H�HBI�

1��+� (� 1� ).<<H*� G��� ���� ��� ����������� ����������� �� ��� ������ �!����� ����

��� ����� ������� .������ �� $����������� �)5*� .I�A?�

1������ 2� "�� � ��� ��� C� 0� ).<<H*� "�������� � ������� � ���� 079 ���

����� ������8 ( ���������� �� ��� ������ ���� ��� E��� C������ .������ �� 0��������

�� 2����������� #�������� ��).*� <.�..@�

4���� �� ����

/� 3� 3�5�

Page 23: Vega Risk and the Smile - Columbia University

1��� /�� � 4� ��� (� ).<<<*� 7����$�� � ���� ����� 2����� 0����� "���1������

E�����

1���� E������ ����� C� ��� ).<<?*� ,��!-������ (�������� $�������� B�� ��

0�P �� ,�� "����� E�� � ���� E� ).<<<*� 2�� � �� � ���U 6 ��� ���� ���� �� ���

� ���� ���������� ������� .������ �� %��!��� �� 0������� ��)I*� ..@.�..H<�

"�������� 1� ).<<B*� , ���� ��� ��� ������ .������ �� 0������� ��)A*� HH.�I.I�

���� G� 1�� � ���� /� C� ).<<.*� ���� ����� ����������� ���� ���������� ����������8

( ������� ��������� ,����* �� 0�������� '�� ���� �)B*� H5H�H@5�

���� /� ).<I<*� 6����������� � ��� ����� ������� .������ �� 0������� ��)B*�

.=..�.=5A�

L�� L�� � ������� � /� ).<<B*� ��� ��� ��������� �� ���������� � ���� �� ������

�!����� ������� .������ �� 0�������� �� 2����������� #�������� ��).*� @H�HB�

����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%

���� ���� �� ��� ���� ��