Vega Risk and the Smile - Columbia University
Transcript of Vega Risk and the Smile - Columbia University
���� ���� � ��� � ���
����� �� ����
��� ��������� � ��� �� ���� ���� ��� � �� ��� � � ������ ���
���� ���� �� ����� �� ���� �� ������� ��� ��� ������� ���� �������� ����������
��� �� ���� ���� �� ��� ������ � �� �������� ����� �� ���� ���� ����� � ����
����� �������� �������� ������ � ����� �� ����� � ������ ���� ������ ���� �� �
����� ������ ��� ���� ��� ��� �� ���� �������� ���� ����� �������� � ����� ��
� ��������� ���� ���� ��� � �� ���� ��� ������������ ���� ����� ��� ����� � ����
� ��� ���� ������ � �� ������� ��� ���� �� �� ��� �������� ���� �� ���� ���� ����
� ���� ���� �� ����� ����� ��� ���� ����� ���� �� ����� ��� ������ ��� ������� �
������� �� ��� �������� � �������� �� ������ �������� �� ������ �� �� ��������
������� �� � ��� ������ �� ������ ���������� ���� ���� ����� ��� �� ��� !� �"
# ���� ����� ��� ��� ��������� �������� ������ ��� ���� �� �������� ���
��� ����� ����� �� ��� !� �"# ���� ���� �� ������� �������� ��� ���� ����
������� � ��� �$ ��������� �����
%� &'��()*+�&('
���� ����� ��� ���� ������ ��� ���������� � � ���� ����������� �� �� � �����
���� �� ��� ���� �� � ��������� ������� ������� ���� ���� �� ����������� ����
�� ������� ��� ��� ����� ���� ���� �� ��� ������ ��� ����� �� �� ����
���� � ���������� ��� �������� �� ������� �� ��� ��������� �� ���������� � ����
� ��� ���������� � ��� ����� ������� ����� ����� ����� ���� ��
�� ������ �� ��� ���� ��� ������ ������ ����� ������ ���� � �����
� ���� � ���������� ���������� ��� ������ ���� �� � � ������� ���� �������
�� ����� ������� � ��������� �� �!������� "���������� ���� �������
���� ����������� ���������� ����������� #� �$�%������ � ����� ������$
����� �� ��� ���� ������$���������� �%���� ����� �� �� ��� ������ ������
���� � � ����� ������ � ���� ������ ��� ����� ���� �� ��&� �����
����� ������ � ����� ����������
'������� ���������� � ����� � ����� �� ����� ����������� ����������� �%���� �
����� ������ ��� ���� ������� �� ���� ������� ( �� � ����� ���
����� ���� ��� � ��������� �� &����� ������ �� �����$��$���� )��"*� � ������ ��
��� �!� � ���� �� ��� ��������� ���� �� ����� ���� � �����&� �� � ����+�
���� � �����&� ��&��� ������ ���� ����� ������� � ���� �� �����������
���� ���� ��� � ������������� ��" ���� ��� ����� �������� � ��������� ��������
�� �������� ��� �%���� �� ��� ���������� � ��� � ��� ��������� � ���� ���� �
����� ��������� ���� ����� ���� �������� , ��� ��������� �� ���� ������ �������
�!� ���� ���� � ����$-������ ������� �� ������ �!����� � ���� �������������.
. ��� ���� ������ ��� /0 1������ ������ �!����� ��� � ��������� ��� "���1�������
������ � ���� ������������ ��� � ��� ���� �� ������� ����� � ���������� �!������ �������� ��
���������� � ����� � ��� �����������
�
2���� ��� �������� ��� �� ���������� � ���������� ����� ������ ���
�� ������ ������� �� ��� ���� ������ �� ��� ������� ��������� �� ����$����
����� ������ ��� ��� ����� ��� �� ����������� ��� ���������� � ��� �
��� ���������� ,� ����� ������ ��� ��������� �3����� ��� � ��� � ���
��������� ���� ������ ��� �� � �������� �� ���������� �������� ��� ��� ���
���� ���� ��� ���������� ���� ���� �� �� �������� 4��� ����� ������ � ����
��� ����� �� ����� ��� ���� ����� �� � ���������� ���������� ��� �
�!������ ����� ��� ������ ��������� ���� ���� � ��� � ����� �������
����� 5 �������� ��� �� �� ���� � ��" ��� � ��������� ������� ������
���� ����� ���� ���� ��� ������ � ��� �� ����� �������� ���� ��������� ���
����������� ������ ��� ������ ������ ��� � ����$���� ����� �������
���� �������� �!������ �� ��� ������ ����� �� � ���� ���������� � ���
����������� �� � ���� ���������� ���� ������ � ��� ������� ����� ��������
��� �������� ������� ������� ��� ����������� ������ ��� ����� �����$
���� � ������ ����� ����� ��������� � ������� � �������� �� ���
����� ��" ��� ���� ����� ����� ����������� ��� ������ �������
��-����� �����&����� �� � ���������� ����
,� �-./ �� &' �1- !2/+0"#+1(2-# 3()-2
6���� �������� ��� �!���� �� � ���� �� ����� ������ 7���� � �� � ����
��� ��� �!������� �� � ����� ������� �� ������ � ��� ������ �� ���
������� ������� ����� ���� �� �� ��� �!������ �� � ����� ������� ��
������ � ��� � ���� ���������� �� ��� ������ ��� ����� � ��� ����� ����� ��
�&� �� � ������� ���������� ����� �� ���� �� ��� ����� ������� ���� ��� ���
����� ����� ��� ��� ������8
� � �)����� �����*
�)� ���� ����������*�
���� �� ������ � ������ �� ����� ���� ������� ����� � ���� ���������� �
������ ��� �� �
( � ���� ���������� �� ���� �� � ���������� ����� �������� ���� ���
��� �� � �� ��� ������ ������ ���� ������� � ���� ���������� �� �&�
��� � ��� ����!� �� � ���������� ���� � ����� ������ ��� �� ��-���� ��
������ ����� ���� �� ��� �&� �� ��� ������� ��������� �� ��� ���� �� ���
������ ��� ��� ���� ������� �� ��� � ���� ����������� ��� ������ ������ ���
���� �� � ���� �� ��� ����� � � ����$����� ����� ��
� � ����
����
����
�������� � ��� � � .
5�5��
�����
��� �.�
����� � �� ��� � ���� ����������� �� ��� ������ ������� ������ � ��� �!������
������ � ��� �� ���� �� � �� �������� � ��� �$���� &���� �� ��� �����
4���� �� ����
/� 3� 3�5�
����� � ��� ����� �������� �� ����� ������� ��� ������� ����� �� �!�����
�� ����� ���� ��� ��� �� ��� ������ � � ��� ����� �� �� ������
� � ���������� �� ���� � ��� ������ ������ ��� ��� ���������� � 9������ .
� 58
� ��� ����� �� � ��� �� ���� �������� ���������� ���� ��� � ���� �����������
��� ���� �� � ��� ����� ������� �� ��������� ������ ���������
� ���� �� �� � �!� � ��� � ��$���$ ��� ������ ��� ����� �� � ����� ��
��������� �� ��� ����� � ��� � ���� ���������� ��� � ��$���$ ��� ������
� ��� ���� �� � �����$��� ����� �� ������� ��� ���� �� � �������$���
������
0 0.05 0.1 0.15 0.2Σ0
1
2
3
4
premium
ATMFout�of�the�moneyin�the�money
1�vol shock
6&.*�- %� (���� ���� �� � �� ��� �� ������ ��������� (������ ����"�� ���������� � 478� (�������������� �9�� ��� ��� � ,�:; ����� ������� ����< ������
���� �9�� ��� ��� � ,�:; ���� ������� �����
105 110 115 120 125 St
2
4
6
8
10
12
Κ 1�mo. ATMF1�mo.in�the�money1�wk. ATMF
forward
6&.*�- ,� (���� ����� )���"�� ��� ������� � 478� ������ �������� %=�>;� &��������� �9�� ��� ��� � ,�:; ���� ������� �����
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
��� ���� �!������ �� � ����� ������� �� �&� �� ��� ����� � �������
����� �� ��� � ���� ���������� ����� � �� ��������� �� ��� ����� ���� �� �� ���
������� � ��� �� ��� ����� )��� ��� ��� �� ��������*�
��� �� ����� �������� �� �� ����� � ��" ��� � ��������� ������� ������
�� �� ����� � ���� ���������� ���������� �� ����� ����� ���� �������� ���� ��
�-����� ������ �!������ � ������� ����� �� �%���� ���������� :������� ��
������;����������;� � ���� ���������� ��� ���� � �� �� #����� �� ����
��������� ���� ��� �� ���� ���� ������� � ��� ��������� ���� �� +��� � �
������ �������$��������� ����!�5 ( �������� ���� ���� �� ����� ��$
��� �� ���-����� �� ��� ������� ����� � ���� ���� � ����� ������� �
�������� ����������� �� ������� � ���� ������������� 4�� ��� ��� ���� �$
����� ��� �������� �� �� ������� � ���� ���������� �� �� ���� ��������� ����
� �� �� +��� � � ����� ������� �������
�� ����� ��� �� ��� �����
������� �� ��� � ���� ����������� �� �����$��$������ ���� � ��� ��" ����+� �
���� � ��� <=> ��&��� ������� ��� �!�$�� � ���� ���������� ��
.�?@������ �A
,� ��� ��� ����� ���� �� � ����� ���� ����� ��� ��" �� � ���������
������� � ����� ����� ���� ��
������� � ��� � � � .�?@������ � .� ������� � ��� � � � .�?@� � ����
( ����� ������� �� �!���� �� ���� � �� � ����� �� ���� �� ����� �
����� ��� ���� �� ������� ��� � ��"� , � �� ��� ���� ����� ��" ��� �$
���� ����������� �!������ �� ���� ��� ������� ����� � �� � ����
����������� ��� ��" �� � ����� ����� ���� � .$�� ����+� � � <@> ��&���
����� ��
.�?@��������� � ���
�������������������������������������������������������������������������������������������������� �����
� � . ������������������ .
� �����������
� ��
����� ����� ��� ����� ���� � ���� ��� ���������� ���������� �� ���
������� ������B
� ����� � C����� � ����� ������� � � .$ ��� ��$���$ ��� ������
)(�19* �������� ���� ���� � ��� � ��� ������ ���� ��� �� � �!������
����� �� ���� � �� � ���� � �!������ ����� �-��� �� ��� ������ ������
����� �� ��� ������ ��� ������� � ��� �� D. === ===� ��� ������ ���� ���� ��
5 ��� ����� �������� �� ��" �� ������� �� ������� �� 1���� E������ ����� C� ���
).<<?*�
A 1��� ���������� ��� �!����� ����� �� ��� �������� �� ��� �!�$�� � ���� ���������� �� � � .5
5����
��� �� ����� ��� ��������� ���� ��� � F��� ���� �� ��� ���� �� �� � �������� �� �!����� � ����
���������� �� � ���� ���� � ��� ���$��$��� �� � ���� �����
B , ��������� �!������ �� ���������� �� � ������ ����� ���� ���� ����� ��" ���������� �������
��� ��$���$ ��� ������� ���� ���� �� �� ��� �!����� ������ �� ��� � 9����� .� G�� ��� ��$���$
��� ������� ���� ����� ��" �� ���� �������� ��� 1��� C���� ��"� �� ��� �!������ �� ���
������� �� ������ ������� �� 1�� � 4� �� ).<<<* ��� ��� ������
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
�.5=� ��� &���� ����� ����� ��� ��$�� ���� ���$ ����� ����� �� @= �����
������ ��� 4 ���$ ����� ���� �� @>� � ��� � ���� ���������� �� .@>� ���
������ ����� ���� �� � � .A�H?� ��� ���� �� ��� ����� ����� ������� ��
�. === ===� � ��.A H@< .==� �� �D..B ?@<���� ����� ������� �� .$�� �������� �� ������ � .$ ��� � ����
���������� �� ��� � =�=@?H )@�?H>*� ��� ��" ������ ��� ���� ����� ���������
����� ����� ������ �� .�?@ � . === ===.5= � .A�H? � =�.@ � =�=@?H � D.?=<� ��� ������
�� ��� ����� ���� �� �=�BI< A5 � ��� ���� �-������� �� � ��� �����
������� �� . === === � =�BI<A5 � DBI< A5=� ��� ���� ���� ���� ���������� ��
���� � =�==<H� ��� ��" �� ��� ���� �-�������� ������ ���� �� ���� �� ���
�� � � ������$���� ������ �!������� �� ��� ������� ���� ����� ��
.�?@ � . === === � =�BI< A5 � =�==<H � DHH<B�@ ��� ���������� �� �������� ��$
���� ���� �������� �� ������ � ��� .$ ��� � ���� ���������� �� �=�A<@���� ����� ��� � ������� ����� �� ������ ���� � ���� � ����� ������
���� �� �� �� � ������� ����� �� /������ �!������� �� ���� ����� ������
�!����� ������ �� � ������ ����� ������� ���������
��� ���� ����� ��" ��
.�?@ � . === ===
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
=�BI< � =�==<H� .
.5= � .A�H@<. � =�.@ � =�=@?H� �� . �=�A<@
�=�A<@ .
� �=�BI< � =�==<H
� ..5= � .A�H@< � =�.@ � =�=@?H
� ��
�� DI@@I� ��� ���������� ���&� ������ ��" �� HH<B� .?=<� I@@I � DIB@�
, ���� �!� ���� ���� ����;�!������ �� ��� ����� �� ��� ������� �����;
���� ������ , �� � ����� ����������� ���� ���� �� �� ��� ������� ���
���� ����� ����� � � ����$���� ������ � ������ )� ���� � ��� ���� ���
�� � �!������ �����*� � � ������� )� ���� � � ��� ���� �%���� �!������
������*�
� ����� � 2� �� � � ���� ���� �� ��� ����� �������� ��� ��
G!� ��� 5�.� �� ��� ��������� ������� �� � ����� ��� ������� �������� ���� �
����� ����� ������� �� DBI< A5=� ���� ��������� ���� �������� ���� ���
� ����� ���������� � ����� ��� ��� ��� ������ ��� �� �!���� �� �� �
� ���� �����
�� ����������� ������ ��� 1��� C���� ������� ��� ��� ��" �� ��� ����
����� ���������� 2� ������� � ������ ��������� ������� ��� � ��������� �� ��
���������� ���� � �� �� +��� � � �������$��������� ����! ���� �
����� ���� � ���������� ��� ��������� �� ������� ���� ��� ������ ������
����?
@ '��������� ������������ � ����������� ��� ����� ��������� � I 9������� .<<<�
? 2� ���� ����� ��� ���� �� ��� ����� � ��� ������ ����� ��� �� ����� ��� ��� �����
������� ��������� G�� ���� � ����� ������� ���� �%������� ���� �� @> ������� ��� ��� ���
����� � ����� 5 ����� ����� �� ��� ���� ���� �� ����� �� ������ ������� ��������� �� ����
���� ��� ����� ������� �� .>� F��� ���� ���� ��� ��" � ��� ���� ���� �� �� ������ �!�����
�� +���� "������ ������� �� ������ �� ������ �� ����� �� ��� �!����� ����� ����� �� � ������
����� ����8 �� ��� ������� ����� �� �� +���� ��� ������� �� ��� ���� �� �������� ���� ��� +����
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
����� . ����� ������� �� ��� 1��� C���� �� ������� ,���������� ���� ����
����� � ��� �������� ������� �� ��� ����� �� ��� ���� �������� ������ ��� ��"
��� D.?@< �� D5@I<�
?� 2&3&�/�&('# (6 �1- !2/+0"#+1(2-# 3()-2
?�% �� ������ �� �� �������� ���!� " #�����$ % �����&
��� ������ ������ ��� ���� �� ���� ����� ������ ������ � ��� ���� ����
� ������ ����������� ��� ������ ������ � ���� ���������� �� ��� ����� ���� ���
�� ���� ����������� ��� ���������� �� � ������� ���� ���� ��� �� �!��� � ���
������ ������ ���� , ����$���� ������� � ���� ���������� ��������� ������
����� �� ��������� � ����������� ��������� � ��� �������� ������� � ����
��� ������ ������ � ���� ���������� � ��� ������ ������ ���� �� ������ ����
����� ��� ������ ������ ��� �� ��� � ������ &��� �����!� ���� �� ��� ��������
��� ������� ���������� � ��� ������ ������ � ���� ���������� �� ��
���������� � ������� ������ �� ��������� ����������� ,� �� ������ � �����$
���� %� ������ � ����"�� ����� ����������
=�=@-������
=�<@-������
1�� 1���
�������� � �� �� �� ����� ��������� ��� ������ ���������� ����� ��������
4���� ������ ����� �� ���� ���������� �<.@I ?IAH �AI? H5
7���� ���� �H?<I HHB< �AI �?<'��� ������ ����� �� ���� ���������� �.?@< .B �B5B �.I?6����� ����� �� ��� ���������� �.?I< .@5I �A@ <
4���� ������ ����� �� ���� � ��� ���������� �<II= H@<< �B5B @B
'��� ������ ����� �� ���� � ��� ���������� �5@I< .5B= �B?5 �AAI
������� �� �� �� ����� ��������� ��� ������ ���������� ��� ����� ���������
'��� ����� ���� �����$������� � ��� �5BHB .=HI �@BA �B?='��� ����� ���� �����$������� � ��� �A=?5 .B@. �B?I �5II
������� � �� �� ������ ������ ���! ��������� ��� ����� ���������
"��� �������� ���� �����$������� � ��� �H.5 B=? �.5I �.5B"��� ��������� ������ � ��� �5.? @@. IB 5B
������� �" �� �� ����� ��������� ��� ������ ���������� ��� �� ����� ���������
'��� ����� ���� �����$������� � ��� �5AIB .=I5 �@5A �BBH
��� ��� � ��� ����� ��� .$�� ������ � ��������� ������ ��� ������� � ��� �� D. === === �
��� ������ ���� � ���� �� . ���� ��� ������ ��� ���8 ���� ���� �.5=� 4 7 ����$���� ���� @�@>�
/0J ����$���� ���� =�@>� � ���� ���������� .@>� ��� ���� �������� ��������� ������ � ��� 5@$����
�� ���� � � ����� 5@$���� �� ���� ��� =�=@ -������ ��"� ��.� �� � <@> ��&��� ������
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
�#���� ���� ���� � ��� ������ ������ ����� ������ ��� ���� ����� ��
������ ��� ��� �� ������� ��� ��������� �����������
�� ���������� ��������� � � ���� ����������� �� ������ .. ������� ������� �
����� 5� ����� A ������� ���������� ���������� � � ���� ����������� �� ���� ���
���� � ������ ����������� ���� ��� �� ��� ��������� ��� ���� �� ��������
�� � ���� ���������� �� ���� 9�� �!� ���� �����+� .$ ��� (�19 ������
�� ���� ���� ���� ��� ?�5> �� B=>� (� G!� ���� 5�. � 5�5 ��� ������
���� ���� �� � ���������� �� ��� ��" �� � ��������� ������� �������
6� ����� ��� ���� �� ��� ��������� ���� ���� ����� ������� �� ��� ������
� � ���� ����������� �� ���$��$���� 9�� ��������� �� ��� ������� ����� @�A>�
�� I=> ��� �� �
��� ���� ���� �� � ��� �������� ������� ���� ��� � ���� ����������
������ ������ � �� �� ����������� �� ���� ��� � ���� �����!� ����� , �����
� ���� ���������� ������ ��� ������ �������� � �������� ������ ������������
� ���� ������������ , ���� ���������� �� ������� ��$��������� �� ���� �
�/!2- ,� ������ � ��������� ��� ������ �������� �����
� ��� ��+�
(���� 7��������� � ��� ����� 2����� 7����
C1G K0@== K0@== ��!�A$ ��� �������
5I/�IA�=I6��<< B=?A I?A
C1G G�������� 4 7 A$ ��� :�����A$ ��� �������
5.1��I@�=I6��<< A?AA H@I
:�%� ����� ������� E�0 A$ ��� :�����A$ ��� �������
=A(��<=�.57��<< 5B=? @=A
C�6� A=$���� �� 4 �������� ���B.5 $ ��� �������
5B9��I?�.57��<< AB?? H5.
F� �! ���� ����� ��� C��� ����.$ ��� �������
5.1��I@�=I6��<< .HI. AHB
E�� ��� F�� J��� ����4 7 ��� ����
=@/�I@�=B/�== .5?H 5@<
4 7�/0J ��� ���������!����� ����
A.1��<5�A.(��<< .I<H AIH
4 7�G4" ��� ������ ����!����� ����
A.1��<5�.A ��<< .<=H AI<
E�0�G4" ��� �������� ����!����� ����
A.1��<=�.B7��<< 5B@@ @==
4 7�1L0 ��� ������1�!��� �����!����� ����
=59��<H�.B7��<< H5B .BI
4 7��'� ��� ���������� �����!����� ����
5=/�<@�A.(��<< ..H? 5B=
(�$���$ ��� ������������ ��� ������� ������� �� ���� ��� ���� � ����� ���� �!������ ������
�#���� �� ��� ������� ������ �� ������ C����� ������� � ���� ������������ �� ����� �����������
�� �#��$������� � ���� ������������ ���� �#���� ���������� 6�$ ��� ��$���$ ��� ������
������������ ��� ��������� � ����
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
������ B � @� ����� B ������� �������������� ���3����� ��� ��� .. ������
������ , ��� ������ ������� � ������������� ����&��� ���3����� ���
���� ��� � �� ��� ���� ���������������� � ��� &���$���� ������
�������������� ���3���� �� ������� � ������������� ����&����
����� @ ������� ������� ����� ������ 4�� ��� ���������� ���� � ����
���������� ������� � ��� ����� ��� ���$��$��� ���� � ����� �� � ������� ��
�-��� �� ��� ���$��$��� ���� � ������� ����� �������� �� ��� �-���� ���� ��
��� ������ �� ��� �� � ��������� ��� ���$��$��� ���� � ����� ����� ���� ��
�!����� �� �� ��������@
��� �� ��� ���� ���$��$���� ���� �������� �� �� �����
���� ������� ������� ����� ������ ��� ����� ������ ���$ � �����$�����
�/!2- ?� 6� ����� ��� ������� �������� � � ������ �����������
, ���� ���������� ������ , ���� ���������� �������� �� ������
1�� 1�� 1�!� 1�� 7 ������ M�������
# $���� � ����������
C1G K0@== .?�< <�? I.�. �=�== B�AI B�B5N .=?�5=N
C1G G�������� .@�@ @�B B=�? �=�=5 B�H. =�B5N H�=<N
:�%� ����� ������� .A�5 @�5 A?�= =�=. @�=? �=�5BN I�IIN
C�6� A=$���� �� .=�B ?�< 5A�@ �=�=. 5�H= �=�@HN .H�?<N
F� �! ���� ����� ��� 5<�= .B�= @<�? =�=@ B�=5 =�@5N ..�B.N
E�� ..�B B�= @A�@ =�=I ?�<B .�<AN .@�BHN
4 7�/0J ..�I ?�5 B=�= =�=5 @�5H .�=.N @�A?N
4 7�G4" .=�I ?�5 5B�= �=�=. B�.B .�I@N .B�<@N
E�0�G4" H�@ 5�@ .I�= =�=. @�?? =�5?N @.�=@N
4 7�1L0 .5�5 @�H BA�= =�=A <�I< ?�@BN <<�=<N
4 7��'� .5�. .�B ?=�= =�=5 ?�?5 5�HIN A.�=HN
% &��!�� � ����������
C1G K0@== .?�I <�H @I�= =�=5 H�IB 5�.BN 5.�AHN
C1G G�������� .@�@ @�@ A<�H �=�=H <�I? =�H=N @�HIN
:�%� ����� ������� .A�5 @�A A?�= =�=? .=�H= =�=B ?�5=N
C�6� A=$���� �� .=�B H�= 5=�5 �=�=B @�@B =�AAN H�@?N
F� �! ���� ����� ��� 5<�= .B�A @?�@ =�5B I�AH =�H5N A�=@N
E�� ..�B B�= @A�= =�AA .?�== .�@HN .=�A.N
4 7�/0J ..�I ?�B 5I�@ =�.= .=�<= .�.AN B�@<N
4 7�G4" .=�I ?�@ 5.�@ �=�=A I�B. .�5IN @�=?N
E�0�G4" H�@ 5�? .I�= =�=? ..�B= =�@AN <�=AN
4 7�1L0 ..�< @�H A5�= =�.@ 5A�== A�?5N 55�@AN
4 7��'� .5�. .�B ?=�= =�.? .H�.= 5�ABN .B�.5N
, ���� ���������� ������8 ������ ��� �� � , ���� ���������� ������8 ���� �������� �� ������� �
������� 1�� � 78 �� � ����� ������� �� ���� ��� ������ � ������� M�������8
���3���� �� �������� �!����� ������8 ������� ���3����� (������� ����� ���� ���������� ����&�$
���� �%���� ��� +��� )���� �� �� �� ����������* �� <<> ��&��� ������
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
����� ��������� �� ���+� �� ��� ������ �� ��� �� � ��������� ,� � ����
���������� ������� � ��� ����� ��� ������� ������ ��� �!����� �� �� �����
�� .� ,� ����� � ���� ���������� �� ��$��������� ��� ���$����� ���������� ��
�����$��� � ���� ���������� ������ ���� �� � ����� ��� ��� ���������� �� ��$
����� ������ � ��� ������� ������ ���� �� � ����� ��� .� ��� �������
������ �� � ���� ������������ ������ ������� ������ �� �� ��������� ,
�� ��� ��� ������ ��� ������� ������ ��� ���� ��� ����� � ����� ��� �����
����+���
6� ������ �!������ �� ���� ������ �� ��� 4 7��'� ������� ������������ �
���� ������ ����&��� �������� ��������������� � ������� ������ � �!���� ��
�/!2- C� /��� �������� ����� ���� �� ������ �������� �������
(������������� ���3����� ��!�0����� ����������
. 5 A B �@�.=
# $���� � ����������
C1G K0@== �I�5NN �?�INN �5�5 =�? BI�@NN ?5�.NN
C1G G�������� =�I �I�@NN �5�. 5�5 A.�5NN BI�=NN
:�%� ����� ������� �A�. �.�= �.�B �A�IN .=�. 5H�HNN
C�6� A=$���� �� �5�? �@�=NN �=�< �.�I .A�=NN 5=�<NN
F� �! ���� ����� ��� �.5�HNN 5�@ �5�5 �=�. A=�<NN AI�INN
E�� .=�?NN �@�INN �<�.NN �@�.N AB�5NN B@�5NN
4 7�/0J �=�I �?�@NN �I�BNN �5�5 55�?NN 5<�@NN
4 7�G4" �B�.N �=�I �<�?NN �5�? 5A�BNN AH�INN
E�0�G4" �.@�=NN �=�@ A�= �@�5NN ?A�INN ?I�@NN
4 7�1L0 A�? �5�@ �.�. �=�? .�@ 5B�.NN
4 7��'� ..�.NN .=�BNN I�?NN 5�5 AH�5NN B=�@NN
% &��!�� � ����������
C1G K0@== �@�<N �<�HNN �A�5 �A�. 5A�INN A@�BNN
C1G G�������� �<�HNN �@�= �.�? �B�H .=�< .A�5
:�%� ����� ������� �@�@ �.5�?NN I�=N �B�@ .B�5NN .?�5
C�6� A=$���� �� �<�.NN �5�? �.�H �5�I <�. ..�I
F� �! ���� ����� ��� �I�B �?�= �B�@ .�@ @�? <�5
E�� �..�?N �@�H �<�= ?�I I�< .5�<
4 7�/0J �.B�=NN �5�? �<�?N �=�@ ..�HN .@�A
4 7�G4" �.@�5NN 5�I �A�H �?�B .H�=NN .<�<N
E�0�G4" �.B�<NN �5�5 <�<NN �@�. 5=�BNN A=�.NN
4 7�1L0 �.<�@NN <�? �?�5 �I�= <�I .B�.
4 7��'� .5�.N B�. �@�I �5�A ?�H .?�.
(������������� ���3����� � ������� (������� )����� ��������* ����� ���� ���������� ����&�����
�%���� ��� +��� �� <@> )<<>* ��&��� ����� )���� ������ �� �� ����������*�
��!�0����� ���������� � ������� (������� )����� ��������* ����� ���� ���������� ����&����� �������
��� +��� �� <@> )<<>* ��&��� ����� )���� ������ ���$�-���� ����������*�
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
���� ��� ����� ��� �� ���� �� �� ������ ���� �� �� �!����� �� ���
���� �� �� ��� &!� �!����� ���� ����� � 5 /��� .<<H8 � ��� ������ �� �
������� ������ ���� ������� � ��� ������� �� � ���� ��� ������� ���� ����������
� � ���� ������������ ���� ���� � ��������� ����� �� ����� �� ��� �����
?�, �� ������ �� �� ' ��(���� � )��� " #�����$ % �����&
(���� ��� ��� �� �$�������� � ����������� �������� �� � ���� ����������� ���
�����$�������� ������ �� ������� � ���� ������������ ���� �%��� ��� ����
������� �� ��� ������ ������ ���� , ����$���� ������� ��� � ���� ����������
��� � ���� ����� �� � ���� �� � �� �� � ������� ������ ��� ��� ������ � �
���� ����� ������� �� � ���� �� �� ��� �%��� ��� ������ ���� �%���� �!������
������ � �%���� �� �� �� �������� ����� ������� �� � ���� ���������� ���
�/!2- :� ����� � ������ �� ������ �������� �������
� 5 � B � I � .?
# $���� � ����������
C1G K0@== =�<5 =�I= =�H5 =�?.
C1G G�������� .�=. =�<5 =�IB =�H?
:�%� ����� ������� =�<H =�<B =�I< =�H?
C�6� A=$���� �� =�<I =�<. =�I. =�H@
F� �! ���� ����� ��� =�IH =�IA =�HI =�H=
E�� .�..N .�=? =�<@ =�I5
4 7�/0J =�<< =�II =�H? =�?B
4 7�G4" =�<? =�I< =�HH =�?I
E�0�G4" =�I@ =�H< =�H. =�?@
4 7�1L0 .�=B .�=A =�<@ =�<@
4 7��'� .�.. .�A5N .�@.N .�?BN
% &��!�� � ����������
C1G K0@== =�<B =�I= =�?5 =�@=
C1G G�������� =�<. =�I= =�?I =�@H
:�%� ����� ������� =�<@ =�IB =�H? =�?<
C�6� A=$���� �� =�<. =�IA =�?< =�B<
F� �! ���� ����� ��� =�<= =�HI =�?I =�@@
E�� =�I< =�HA =�?A =�B5
4 7�/0J =�I? =�H5 =�@@ =�BA
4 7�G4" =�I@ =�H< =�?5 =�@5
E�0�G4" =�I@ =�I= =�H? =�?I
4 7�1L0 =�I5 =�I5 =�?5 =�AI
4 7��'� .�.A .�55 .�5I .�=5
(������� ����� ���� ���������� ����&����� ������� ��� +��� �� <@> ��&��� ����� )���� ������ ���$
�-���� ����������*� ��� ������� ������ � ���� ���������� ��� �"��� � ����� �� ������� ��
C� ������ :�� 1��M���� ).<<H� ��� BI%�*� ��� ���������� ��� �� ���� ���� �� � �� � ����
���������� ����� �-��� �� +����
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
��� �� ��� ���������� � ��� � ��� ��� ��������� �� ���������� � ���� ���
������� ��� ������ � ��� ������� ��� ���������� �������� ��� ���� �� ��� � ����
������������ �� � ���������� ����� �� � ������ �� �!������ ����� � �� � ��
�������� �� ���� ����� ���� ��8H
'���� ��� ���������� � ��� �������� ��� �������������� ����� �� ��� ���� ��
� ���� ������������ �� ������ �� � ���� �� � �� �!���� ������ ��� ���� ��
������ ��� �!������ �����8 ���$��$���$ ��� ������ ���� ���� ������ � ����
������������ ��� ��$���$ ��� ������� ���������� ��� ��������� �� ���� ���
�����$��� ������ ��� ��� �����$��� �������
'���! �� ����� ��� ���������� � ��� �� ���� ������ �� ���� ���$��$���$ ���
���� ������ ���� � ���� ������������ ����� �%�� ��� ����� �� �-����� ���$
��$���$ ��� ���� ��� ������ ������ �� � ���� ���������� ������ �!������
������ �� ���� ����� ��� ��� ����� �� �������� �� ����� ������������ �� �
9����� A�
(��� ��������� ��� ��� ��������� �� � ���� ���������� �������� ��� ������ ��
������ ���� ��� �� � �!������ ����� ��� �%���� ���������� ����� ��������
���� �%���� � ���� �������������
0��������� ������� ������ ��� �!���� �� ��� �� ������ � ��� ����� ��
� ���� ���������� ��� ���� ��8
� ������ � ��� ��������� � ������� �� ��� � ���O
� ������ � � ���� ���������� ����� ��� � ���O
� ������ � ��� ����� �� ��� ��� ��������� �� ����������O
1025 1030 1035 1040 1045 1050 1055 X
30.0
30.5
31.0
31.5
32.0
32.5
Σ
futures price
6&.*�- ?� ��� �������� ���� � ��� #D7 ���9 ������� &����� ���������� �%% #�������� %EEF �� )� ����� %EEF ������ � )� ����� %EEF ��������
H 6 ��� ���������� � ���� ���� � �� �� ����� �!� ����� '��� ).<<B* � 0�P �� "����� �
��� ).<<<* � �-���� ��!��� 1����� � ��� �� ).<<H* ��� ���� ��� �������� � L� � ������
).<<B* � 1��+ ).<<?* ��� ���������� 6 ��� ��� ��������� �� ����������� ���� ����� C� �� �
C��� ).<<@* � ��������� � ��� ).<I<* � �-���� ��!���
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� �
� ������ ���� ��� ��� ��������� �� ���������� �� ��� ����� ���������
, ����� B� �� ���� �!� �� ��� ����� �� ����� �%��� ��" ���� �����
������� � ������ �!����� ������� ������ ��� ��� �� �� �� ������ ��
������� �� � ����������� �������� � -������� �������� �� ��� ������
�!����� ����� ������I , ������ �!����� ����� ������� ������ ��� ���
������ ������ ����� ���� �� � ����� ��� �!������ ����� � ��� ������ ������
� ���� ���������� �� � ����� ��� ������ ��� ���� � � ���� ���������� ���
������ �� ������ ����� ��� ��� ��� ������ ������ ������ �������� ���
���������� � ��� �� ��� �� ��������� �� � ������� �� � ���� ������������ ��
������ � ��� �� � ������� � ���� ��� �� � ������� ��� �%���� ������
���� ������� �� �� �������� ���� � ��-�� �!������ ����� ��������� ��
���� ���� �� ��� ���� � � ��-�� ����� ��� �� � ������� ���� ������$
��� �� ���� � ���� ����������� ��� ��� ��-�� ����� ������ ��� ��� (�19
)@=$���� ������* � ��� 5@$���� ����� � ����� ����� ��� ���� �������� ����
������ � .=$���� ����� � �����
��� ��-����� �� ���$��$���$ ��� ������ � ������ �!����� ������ ��� ��
�� ��� �������� ����� �� ����� �� �������� � ���������� ��� ������� ���
�������� � ��� ���� ��������� ��� ������ �� ���� � ���� � � ��� ���� ���
�� � �!������ ������ ������� ��� ������ ������ �������� ����� ��� ������� �
��� ���� �������� �� ��� � ���$��$���$ ��� ���� � � ���$��$���$ ��� ���
���� ��� �� � ����� ������� 5@> )���� ���� A@� A=� �� .=>*� � ��� �� �
�������� ��� �!������ ����� �� ��� ���� �� ���� �� ������ ��� ��� ������
������ �������� ����� � ��� �!������ ����� �� ��� ��� �� ����� �� �����!� �����
��� �� � ����������� � ���� ��� ������� ������� �� � ��� ���$��$���$ ���
��� � ����� ��� ���� �������� ������� �� � ��� ���$��$���$ ��� ���� � �
����� ���$��$���$ ��� ����
��� ������ �� ����� ����� �� ������� ��� �!������ � ���� ������ ���
������� ���� � ����$���$������ ����� �������� ��� � ���� ���������� �� ���
��� �� ���� �� � ��$���$ ��� ������ ������ �� ������� �� ���� �� ���
���� )�� ������ �� �������� ������* � �� ������� �� �� ��� ������ �� ��$���$
��� ������ ���������� � ���� ���� �� �� �� ��� ������ ������ ����
����� �� �������� -���� �� ��� ����� ������ ��� ������� �� ��� ���$��$���$
��� � ���� ������������ � ��� (�19 ����������� ��� ���� �������� ������
���� ���� �� �������� -���� �� ��� ����� ������ ��� ���$��$���$ ��� ����
������� ���� � ��� ������������� ,� �� �� �������� �� ��������
, 9����� B� � -������� ����� ��� �� &��� �� ��� ������� (�19 � 5@$
� H@$���� � ���� ������������� , ��� -������� ����� ��� � ��� ��� � ��������
���� ����+���� � ��� � �� ��� -���� ����� ������8
��� � �� � � 5����� =�@=� � .?������ =�@=�5� �5�
���� ����� ��� ��� ��� � ��� ������� ������� ��� ��� ������� ����� �����
��������8 ��� ������� ���������� �� � �� ������ �� ��������� �� ��� � ���� ���
I �� 1��+ ).<<H* ��� ����� � ����� ���������
4���� �� ����
/� 3� 3�5�
������� ����� ������� ��� ����� �� ���������� � ��� ���� �������� �����
������� ��� ����� �� ������� �� ��� � ����
��� � ��� ������� � 9����� A �� ����� ����� ����� ������ �� ��� ���$
���� ������ ���� �� �� ��� ����� � ����� ������� ���� ���$��$���$ ��� ����
���� ������ ���� ��� �-����� ���$��$���$ ��� ������ ���� �� �� ����� �� �
��� ��� ���� ��� � ���� �� ���� � ����� ��� ������� ��� ������ ������
�!������ ������ ,� ��� ��� � ���� � ���� �%���� �� ���� ������� �������� ������
� ��� �� ��������� �������������
?�? ������!� *�� � )����+ � $��� ����,��� ���
��� �����$�������� � ����������� �� ����� � ����� ������ ���� ���� ���� �� �
����� ��� �� �������� �������� ���������� ���� �� ������ ������� ���
���������� ���� ���� ��������� ���� ��� �� ����� � ���� ��� �����������
�������� �� ��� ������� ����� ������ � � ���� �������������
��� ��� ����� ������� �� ����� ����� ���������� ��������� ���
������� ����� ���������� �� ���������� ������ ��� ������� , ���� ���������
� ������� ���������� ������� �� ������� �� ������� ���������� ���������<
"���� ���� ��� ������ � ��� �������������� �������� �����������������
)("C'* �� ��� �� ���� �� ���������� ����������� ���� ����� ��� ���������� ��
���� �� �� ������� ���� ��� ���������� � ��� � ��� ������� �� ��� �� �����
������ � �����������.=
0.25 0.5 0.75 call ∆
0.17
0.18
0.19
0.2
0.21
Σ
75∆ call vol
ATM forward vol25∆ call vol
6&.*�- C� ��� �������� ���� � ��� ������ �9 ���� ������� (������ ����"��������� F 6������� %EEE� #��� �G )���3���� ��
< ( �!� ��� �� ���� �������� �� ���� �� '��� � 2���� ).<IH*� ������ ������� ������ ���
� ��� ).<<.* � '���� ).<<A*� ������� � ��$�������� �����&����� ��� ��� �������� ��
����������� ����� �� -���� �������� ���� ��� � ������� ����������� ������� �����
.= 7�� ).<<<*� ��� �!� ���� ������� � �������+� ("C' )E("C'* ��� ���� ��������
������� �������� �� ��� ������� ����������� ���������� �� ������� ����� ����������� � ����������
��� ���� ���� ������ ������ �� ������ � ���$����� ���������� ��� ����� ���������� �������� ���
������� ����
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
(����� ��������� ���� ����� ������� �� �� ��� ��� ����� ����� �� ��������
� #� �$�%���� �������� (� � ��� ���������� ���������� ����� �� ����� �
������� ���������� ������� �� �������� ���� �������� ��� ��+� � �� �� ��
������� ������ � ��� ������� ����� ������ ���� �������� �� ����������
��������� ��� ������ �� �� ����� ���� ���������� ��� ��� ���������� ����������
�� ��� �� ���� � ���������� ��� ����������� �������� �� ����� �����������..
��� ���������� ���������� � #� �$�%���� ���������� ���� ������� ���$
������ 9����� ���� ������� ������� ������� �� ����� #� � ���� � ����������
����� ���� ���� �� ��������� ���� � ��� ����� ��������$����� ����
(� � ������� ��� #� � � ���������� ����� ��� �� ���� � �� �� ������ �����
�� ����� ������ ��� �� ���� � ���� �� ����� ��� ����� ����� �� �$
��������� ���� ���� 6��������� ��� ����� ����� ��� �� ����� � ��� ����!�
�� � ���������� �-�������� ��� �� ��� ���� � � ����� ������ �
��������� ��� �����&�� �� ���� ����� ���� �� ������&������� ��� �� ��
���� ��� ��� ����� �� ����� ������� ���� ������� �� +���� ���� ��� ���� �����
�� ��� �������� ����� ���� ��� �������� �� ���� ��� ������������� ������
��� ���� � ���� �� ��� ��� �� ������� ����� ������� ��� ���� � �� ����
������������ ���������� ����� ��� ����� � ����� ������� ��� �� �������
��������� ������������ ����� ��� ���� ����� �� ��� ���� ���-����� � ����
�� ������� ����� ��������� ���� �� ������ ���� � ��������� ��� �� � ��� ����
�� �$������ ���������� �� ��� ��� ������ ������ ����
( ���� �������� ������� � ���������� �� ��������� �� �������� ��� �����$
�������� �� ����� � ����� ������� ,� ��������� ���������� �� ������� ���
���� ������� ������ � �������� ���� � ����� ���������� ������ ���� ���
������ ��� � ��� ���$��������� ����� �� ��� ������� ������ , ���
���� ������ ���������� ��������� ��� ���������� ������� ��� G������ ������ ��
��� �� ���� ��� ��� ����� ���������� �������.5
��� ���� ������ ���������� ��� ��� ��� ������� �� ��������� ��� �$
��������� �������� �� ����� ������� ��� ��� �!���� ������� ������� ���� ���
�� ��� ������ ������ ���������� �� � ������ ����������� (� � ������� ��� ����������
������� �� ��� ������� ����� �� � ������ � ��� ���������� ������ � �� ���� ��
���������.A '������� �� ������� ���� ��� ����� ���������� ������ �� �� ������� (� �
������� ��� ���� ������ ���������� �������� ��������� ������ ����� ������ ���� ����
��� ��� �������� ��������� ��� �� ���� �������� �� ���� ��� ����������
������� �� �������� ������ � ���� ������������ � ���� ����� �������.B ����
�������� �� ����� � ��� �!� ������ �� ���������� ��� ����������� � �����$
�������� �� ����� � � ���� ���������� ��� ��" ���� �����
.. ��� ����� ����� ).<<.*� ����� ).<<?* �� ���� ��� #� �$�%���� � ���������� ����������
���������� �� �!���� ������� ����� ��������� ������� C��� � C�� ).<<H* ������ � � �������
������ �� �� � ���� �� ����� �����
.5 G!� ���� �� ���� �������� ����� ����� �� 7�� � � M�� ).<<B*� 7����� ).<<H*� �
7� ����& �� �� ).<<<*�
.A �� "������� ).<<B*�
.B �� ��� �!������ � ������� ���� �� 7� ��� 9�� ��� � 2����� ).<<I*�
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
C� �-./ �� &' �1- 7�-#-'+- (6 / �(2/�&2&�8 #3&2-/') �-�3 #��*+�*�-
, ������� ��� �������� ��" ���� ���� ��� ���� ��� �������� ������ ������
�������� �� ����� 5� �� �� ����� � ���������� ��� �� ��� #��� ��������
�� ����� ����� ������ � ����������� ���� �� �������������� �� ���� ����������
�������� ����������� �� #� �$�%����� ������ �������� �� ����� ����������
���� ��� � ��� �������� ������� F�� �� ��� ���� ������ � ��� ����������
��� ��� ���� �� ���������� ��������� � �������� ��� #��� �������� �� ��� �����
���������� ������� � ��� ���� ����� ���� �� ��
"������ �� ��� � �������� �� ��� #��� �������� �� ��� ������� ����� �
� ���� ���������� ������� ��� ��� ���������� �������� ��� �������� ��� ����
��������� ���� ���� �� ��� ���� ������ ���������� ��������� �� ���� ��� ����������
������� ������ � � ������ ����$������ ���� ��� �� ��� ���������� �� ������
����� ������ � ����������� ���� ���������� ���� ��� ������ ��� ���� ��
���� ���������� ���������� � #� �$�%���� ���� ���� �� �� �������� �� ����
�� ����� ���� �� ���� �� ������� ����������� ������ ��� ����� �� ���
������� ����� ����� � ��� ����� � ����� �� ��� ���������� �������� ������
�� ����� ���� �� ���� ���� � � ��� � ��� �����$������� �����������
�� � ���� �������������
��� �� ������� �� ��� �������� ���� �� ���� �� ��� �� ���� � �
���������� ��� �� ��� ������� ��� ���� � ��� ��� �� ������� ���
�!������ � ��� ������ '������� �� ������ � ������ � ���� ������������
������ ��� ���������� ������� �� �� �� ������ �� ������ � ���� ��� �� � ��
���� �� ������ � � ������ ����� ���������� ����� ������ � ���� ��� �� �
����� � ��� ������ ����� �� ��� ���� �� ���������� ���������� ��� ������
� �!����������.@ 2� ���� ���� �������� � ������ &��� ���� �� ��� ����� ��
��� ���������� � ��� �� �� ������ ���� ��� �������� ����+�� � ��� ��� �����
��� ����� �� ���� ���� �� ��
C�% -�.�$ % �����& �����
, ��� �� ���� �������� �� ����������� ��� � ���� �� ����� ������ � ���
����� �� ��� ���������� � ��� � ���� ��� ������ ��� �������� ������ � ���
���������� � ��� � ������ � � ���� ���������� ���� ��� ���������� � ��� �� ���
���� ���� ������� ��� ��� �� ������ ���� �� ���� � ���� ���������� ��������
��� ���� �� �� ��� �� ��� �� ���� ��������� ������ ������ �� ��� ������
����� �� � ���� ����������� ��� �� � ������� �� ���� ��� ���������� � ���� ���
������� �� ���� ��� � ��� �� ���� �� �� ��� ����� �� ��� ���� ������ ��
���� � 9����� @�
, ��� &!�$� ��� ��������� �� ���� � ��� ����� �� � ���� ���������� ������
��� ����� ���������� � ��� �� �� ��� ��� ��� �� ����� ��� ����� �� ���
.@ "������� (QR �$ ������ � :� )5===* ��� ���� ��� �� ��������� � ��������� ������ ��� ����
��� �� � � �!��������� � ��� � ����$������ ����������� ������������
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
� ���� ��� � ��� ������ � �!������ ��������� ������ ��� �� � �������� ������.?
��� &!� � ��� �������� ��������� �� ������� ��� �� �� ��� ������� ��� ��
��������� ��"� ��� ���� ���� ��� ���� ���� �� �� �� ������ �� ��� �
�����!� ��� ��������� �� ��� ������ �������� �� ���� ������ � � ����
������������� ��� ���������� � ��� �� �� ���������� �� ��� �� �������
� ��� &!� � ��� �������� ���� �� ���� �� ��� ������ ���� ����� ��"
�� ���������
� ����� �� 2� ����� �� G!� ��� 5�5 �� � ����$���� ����� ��$���$ ���
�������� ����� � ������ �� ���� � ���� ��� ��$���$ ��� ���������� ��
.@>� , ������ �� ���� � ���� ��� ���� �������� � ������� ��� �5�@� �
=�@ ����� 2� ��� 1��� C���� �� �������� �� � G!� ��� 5�5 ������.H
( �������� ����� �� ��� ������� ������ ��� � ��� �� ��� ������ �� ���� ���
��$���$ ��� � ���� ���������� �� ������� �� � ������ �!������ ������ (
�!����� ��� )����* ����� ����� �������� ��� ��$���$ ��� �� �� �������� ���$
��$���$ ��� )�$���$ ���*� ,� �� ������� �� ��� � ���� ���������� ������$
���� �� ��� ��� ����� )������* ����� 9�� ��� �����$������� ���������� � ���
�� ��� �!� ���� ���� ��� ���� � �������� ����� �� ��� �!����� ���� )�����
��* ���� �� � ���� � ��� � ���� ���������� �� � ��$���$ ��� ��� � � �����
� ��� � ���� ���������� �� � ��$���$ ��� ���� ���� ��� ���������� � ����
, ��� 1��� C���� �� ������� �� ��"� �� �� ��� ��������� ������ ��
���� � � ���� ����������� �� ������ ��� �� �%��� �� ��� � ��� � ��"� ��
110 112 114 116 X
0.16
0.17
0.18
Σ
spot shock
spot shock
vol shock
6&.*�- :� 7���������� �� ���� �� �� ���� ��� $9�� ���� ������ ��#��� �G )���3���� ��
.? 7�� � ).<<<* ������ ���� �������� ��� �������� � ����� �������� �� � ���� �����������
.H ����� ��� ��� ����� �� ����� ������� � I 9������� .<<< � ������� � 9����� B� ��� ���
���� �% � ��� �!� ��� ��� ���� �� �!�������� ��� ���������� ���� � ��� �������� ����� ���
���������� ���� ��� ���� �� �� ��� ����� �� ���� ���� ������ ��� ��� ����� ��� ������� ����
�������� �� �������� ( ���� �������� �� �=�=5@ ���� �� ������� ����� ��� �� �������� ���
� ������� � ��������� �� =�==@ �� ����� ��� �� �!��� �� ��� ���������
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
�� �� ����+� ��� �%��� � ��������� ����� �� ��� ���� �������� �� �������
�� �������� � ������� ������ �� ����� ��� �������8
'��� ��) ��� �� ���� �� ��� ����� �� ������ ��� ��� ���� ����� ��$���$
��� ���� ��� ���� � ��� ����� ������� � ���� �� ��� ����� ���� )�� ����
�� ��� ���� ��� � ��� � ����*� ��� ����� ����������� ���� ����� ���
���������� �� ��� ��� ������ ���� ��� � ���� �� �� ���� ��� ���� � B=$ ������
��� @=$���� ������ ���� ���������� ����� ���� �� � ������ �� ��� ����� ��
���������� � �� � ������ �� ��� ����� � �������
'��� ��) ��� �*� ��� ���� � ��� ������� ����� ������� � �� �� � �����
���� � ����� ��� ���������� �� ��� ��� ������ ���� ��� � ���� , ���� ����� ���
���� � ��� ���� ��� � ��� �� �%��� �� ��� ����� �� �� ��� ��� ������
'��� �*�) ��� �� ��� ���� � ��� ������� ����� ���� ������� � �� � ����� ���
��� ����� ���� ��� ���������� � ��� �� ��� ��� ���� ��� ���� � ?=$���� ������
�%������ ��� ���� �� �� ��� ��� ������
'��� �*�) ��� �*� ���� �� ��� ���� �� ������ ��� ��� ���� ����� ��$���$
��� ���� ��� ��� ����� ���� ���� ��� � ��� � ������� �� ��� ��� ������
��� ������ �� � ��� �%��� ��� �� ��� �� � �����
( �� ���� ������� �� �� ������ �� ���� ��� ���� � ��� � ����� �����
����������� ��� ��� ��� ��������� ������� ��������� �� ��� ��� ����� ���
���������� ��� ���� ���� �������� ��� ���� ���� ��������� ������� � ���������
��� �� � ��� �� ��� ���� ��� ����������
�� ������ ��� �� �%��� �� ��� � ��� � ��"� �� �� ���� �� ������ ���
���������� ������ ��� ��$���$ ��� � ���� ���������� � ��� ���� �����
������� �� ��� ������� ������� ���������� ������ ���� � ���� ����� ��
� ���������� �� �������� � ����� ���� � ��� ��� � �������� ���������
����� ���� �� �%������ �%���� �� ��� � ��� � ��� ��� ������ (� � ������� ���
� ��� ������ ��" ��� D5@I< �� D5BHB� , ������� �� �� �!���� � �������
���������� � ���� ����� �� ����� �� ����� �������� ��� ����� �� � �������
���������� ������ � ���� ���������� � ��� ������� ������ ��� � ��� ��
���� ��� �� �� ����� ������ �� ����� ������$��������� 2��� � �����$
������� � ���� � �������� ��" �� ������� �� DA=?5�
� ����� �� ��� � ��� �� ���� � ����� � � ���� � ��� ��" �� � ����
��������� ( ���� �������� �� ���� ������8 ��� ���� �� ��������� �-��� �� =�@= �� ����� � �� �� �������� ���� �� �� ���� � ����� � ��� ������� ���� ����� ��
5@>� ����� ��� ���� �� ����� �� +��� �� ��������� �� ��� � 9����� ?� (� �� ���
���� ��� �� ��������� �� ������� ��� ���� � ���� ��� �� �������� ����
�� ��� ���� ���� ������� (� ��� �� � �� ��������� � ��� ������ �� � ����������
� ���� ��� ����� ���&�� �� ��� ���� �������� �� ����� �� �������� , ��� �������
�� � � ���� ��� ����� ���������� �� � ����� �� �������� ��� �� �� �������
������
C����� � ����� ������� � � ��$������� ���� �������� �������� �� � ���
������� � � 5@$���� ����� ��� � � 5@$���� ����� ���� � � ����� � �����
��� ���������� � ��� �� �� ���� � 9����� B� 7������ ���� ���� ���� � �������
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
������� �� ����� �� � � ��� ��������� ������ � ������ ������ ������� �
���� �������� �� ����$������ � ��� ��� �� � ����� ��� ��" �� � ����$����
���� �������� �� ���� ��� � ��� ������ �� ��� � ���� , ��� ������� �� � � ����
�������� ��� ��" �������� �� ��������� , ��� ���� �� ��� ��" ��� ���
�������� ��� D5.? �� DH.5� �� ��� � ����� .�
C�, ���$ � % �����& �����
����� �� � ��� �� ���! �������� �� ����������� � ��� �%���� � ��"� �
����� ��� 5@$� @=$� � H@$���� � ���� ������������ ��� ��� ���� �� ���� �
��������� ������� 9�� �!�����$���� ������� �� �� ��� �� ��� ��$���$
��� � ���� ���������� � ��� ���� ���������� �� �� �� ��� ������� �
���� ��� �� ��� ������ ������� ����� �� ���� ��������� ��� �������� ��
���������� �������� �� �� � �������� ���� � ������� ������� � �� �����
� � ���� ���������� ��� ��� ������ ����� �� ��� ������� ������ ��
���������� ������ ��� ������ � ��� ����� ���� ��� ����������� ���� �
������� ������
� ����� ��� 2� &��� ��������� ��������� ������ �� ���� � ��� 5@$� @=$� �
H@$���� � ���� ������������� ��� ������ �� ����� �������� �� �=�==<H� =�=@@I�=�=@?H� =�=@@B� � ��� ���������� ����! ��
. �=�A== �=�A<@ �=�BIA. =�<I? =�<B?
. =�<I?
.
������
�������
105 110 115 120 St
�5
0
5
10
Κ
75∆ callstrike
forward
25∆ callstrike
ATM forwardrisk reversal
6&.*�- =� ���� �� � ���� �������� (������ ����"�� ������� ������� � 478� F6������� %EEE� !� �"# ���� ���� � ��������� ��� ���� �� �������� �H����� �% ���� �� � ���� �� ��� ���� ����� �� ��� ������ �������� ���� ����� ���� ��� ���� ��� ����
���� ����� #��� �G )���3���� ��
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
��� 5@$� @=$� � H@$���� � ���� ������������ ��� ������ ��������� ���� ��
������� ��� H@$���� ���� ��� ��� � ������ ������ ������� ���������� ����
��� ���� ����� ����� ��� ��� ����� ������ ��� ������� ������ ��� �����
���� �� ��� ������� � ��� ���� �������� ����� ���� �� ��� ��������
���� �� � ����� �� � �� ��� �%���� �� ��� � ��� � ��" ������ � ���
�������� ������� , ��� ���� �� ��� ����� ��$���$ ��� ��� ���������� ��� �%����
��� � ���� �� ��� � ����� .� ��� ��" �� �� D5AIB�
���� ��� ��� ��������� � ��� ����� �� ��� ���������� � ��� �������� �����
������ ���� �� � �� ���� ���� ��� ����� �� � ���� ����������� '������� ���
��� ������ �� ���� � � ���� ���������� ����� ��������� �� �� ���� ���� ����
�� � ����� ����� � ��� ����� �� ��� ��� ��������� � ��� ��������� �� ���
� ���� 2� ��� ������� �� ���� �� ����� ������������ ���� ��� ����� �����
���� ���� ������� � ���� ������������� � �� �� �������� ���� �� ������$���� ���
����� �%����� ( ����� �� ������ � ��� ������ � ������� �� � ��� ���������
���� ����� ����� ������ � ���� ������ � � ���� ���������� �� ������
�������� ��� ���� ������ ������ 9����� H ����� ��� �������� ��� � ��� �� �����
������
C�? ��� ��� ����� " % �����& ��$ %�+� ����
6� �%��� �� ��� ��� ��������� �� ���������� �� ���� �� � ����� ��������� ���
� ���� ���������� ������ ���� ��� ��� ���������� ��� ������� �� ��� ����
�� ������ � ���� ����� � ���� ������������ ���� ��� ��������� ��� ���������
��� �������� �� ��� ������� �� ���� ����� ������ ���� � ���� ������������
�� ������ ���� ��� � ���� ��� �%����� �� ���� ��� �%��� �� �������� ��
���� ������ ������ ��� ��� �
G!���� ��� ���� ����� ��� ������ )���� ��� . ���*� ��� ��" ����+� �� .
�� �� ��������� ����� �� ���� ���� ��� ����� ������ ��� ���� �� ������ ����
Jan 96 Jan 97 Jan 98 Jan 99�4
�3
�2
�1
0
strangle
risk reversal
6&.*�- >� )���"�� %����� ,:����� ���� �������� �� ��������#��� �G )���3���� ��
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��
�%���� ���������� ��� �������� �� ��� ����� ������� �� . ��� �� ���
.= ���� �� ��������� ������� �� ����� ��� � ���� ���������� ��������� ���� ���
��� ���������� 9�� �!� ���� �� ��� ����� ������ ��� .$ ��� � ���� ����������
� ��� A$ ��� � ���� ���������� �� � ���������� ���� .�5= ����� ��� ���� �� � A$
��� ����� ���� ����� ��� ���������� �� ��� .@ ����� ����� )=�==.@* ��� ���
���� �� ��������� � ��� �� ���� ���� ��� ���$��$���� ����� � G!� ��� 5�. ���
=�=@?H� 2� ���� ��������� ����� ������ � ��� ��� �� ��� ������
/��� �� ���� ������ ��� ����� ������ � ��� ����� �� ��� ���������� � ���
�� ���� ������ ���� ��� � ��� �� �� ��������� � ���� ������� ���� ��� ����
��� ������ ������ � ��� ����� �� ��� ��� ��������� �� ����������� ���
��������� ����� �� �� ������ �� ����� ��� ������� ������� ��� ��������
9�� ���� ������� ������ ������ � ���� ������� ������ ��� � ���� ����
��������� ���� ���� �� ����� ������� �������� ���� ��� ���� ����� ������� �
���� ����� ������� , ��������� ��� ������������ �� � ���� ���������� ��� �� �� ��
��� &���� �� ��� ������� ����
� ����� ��� ����� ��������� �� �����!"�� #����$�$�$��% "������ �� ��� �!$
� ��� �� ��������� ��� ������ �� ����� �������� �� �=�==<H� =�=@?H� =�=55?�� ��� ���������� ����! �� ��� ���� ���� � ��� .$ � .5$ ��� � ����
������������ ��
. �=�A<@ �=�=I@. =�H?<
.
���
����
, ���� �!� ���� �������$ � �����$��� � ���� ������������ ��� �� �� ������
��������� ���� �� ������ �� ����� � ��� ���������� � ���� ��� ����������� ��
� ���� ���������� ���� ��� ���� ���� ���� ������ �� ��� �� � �� �������
Jan 94 Jan 95 Jan 96 Jan 97 Jan 98 Jan 99
10
15
20
25
30
35
401�month IV12�month IV
6&.*�- F� )���"�� %����� �� %,����� ����������� ������� ������ ���������#��� �G )���3���� ��
4���� �� ����
/� 3� 3�5��
��������� (� �� ���� �!���� � ����� �� ��� ��$�������� ����������� �����$
��� � ���� ���������� �� ���� �������� ��� �������$��� � ���� ����������� �����
� ������ �%����� ������ �������$ � �����$��� ���������� �� �� ��
������� � � �������� ��" ������� �� � ��������� ������� �����
(� ��� �� ��� � �� ��� ���� ������� � �� �� ��� � 9����� I� ��� ���
��������� �� ����� ����� ��������� �������� �� ��� �� � �� � ���� ���� ������
� ��� ����� � ����� �� ���������� � ��� ��� �������� ����� ������ �� ��������� �
��-���� ������ �� �� ����� ��" ��������
:� +('+2*#&('#
2� ������ ���� �� � �������+����� � ���������� ��� ���� ������ �
����� ���� ���� ����� ����� �� �� ���������� ��� � ����� ���� �� ��� ��� ����
�� ��� ��" �� � ��������� ������� �������
��� ���������� � ��� �� ���� � ����� � ���� � ��"� '������� ��� � ��� ��
���� ����� ���� ���� ������� ����� ���������� ������ ���� ��� � ��� ��� �%���
�� ���������� ������ ��������� ���� ���� ��� ����
( ����$������ ��������� ��� ��� � � ��� �!������ �� ��� ������ ����� ��
� ���� ����������� ��� �� ���� � ���� ����� �!������ �� ��� ���������� � ���� "���
������ ��������� ����$������ ����� ����� �� ��������� �� ��" �������
���� � �� ���� ������ �� ��� � ����
, ���� �� ��� ��� ��� ��������� �� ��� ���� ������ �� �����-��� �������
���� �� ������� �� ��������� �� ���� ������ ������� � ��" �� ��������
"������� �������� ���� ���� �� �������� � �������� ���� ���� � ���
����� �� ��� ���-���� �� ��" �� � ������ ���� ������ � ���� �� ��� �����
��� ����� �� ����� ����� ���������.I ��� �����-��� ������� � ���� �����
���� ������ �� ����� �� ������ ����� ������$���� ������� ���� �� ��� ����
��� � ������ @$ �� .=$��� ��� � � ������ �� �������
9�� �!� ���� ��� �����-��� ������� � ����� B ���� � ���� � ����
���������� �� #����� ����� ���� ��������� ���� ����� ����� ������ � ���� �
��� ���������� � ��� �� ������� ���� ���� ���� ���� ��� ������� �!����� �����
���������� )� ��� ����$������ ����*� "��� ������ � ��� ����� �� ��� � ���
��� ������ �� ���� ��� ����� ������ � ��� ������ �� � ���� ���������� �
���� ������� ����� ������ �� ������ ��� ������������ �� � ��������� �� �����
� ��� ������� ���������� ��� � ����$������ �� ���$���� ���������� G!������
�� ��� ���� ������� � ���� ����� � ������� �������� � ���� ����
���� �� �������� ����� ���� ������ �� ���� �������� ���� �� �
������ ������� �!��� � ����� ������� � ����� ���������� �� ������� ��� ����
�� ����� �������
.I 1�� ����� �!� ���� �� ���� ���� �� �� ��� � ��� #�� # ��� +��������,��! ��� ���� ��
����������������� ��� ���������� � � ��� (���� 5=== ����� �� ��� ,��!-������ .�������
��������� ����������������� �������� ������� �����������
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� �
�-6-�-'+-#�-6-�-'+-#
(QR �$ ������� J�� � :�� (� 2� )5===*� F����� ����� ���� ���� �� � � ���� ����
�������� .������ /� ������������� ��).S5*� <�@.�
������� E�� C��� C�� � C��� T� ).<<H*� G ������� ������ ��� �� ���������� �����
������ ����� .������ �� 0������� ��)@*� 5==A�5=B<�
������ 7� � ).<<.*� ��� C���� �� �IH8 ��� �� �!�����U ��� ������ ��� ������
������� .������ �� 0������� ��)A*� .==<�.=BB�
������ 7� � ).<<?*� /� �� � ���������� ����������8 G!����� ���� ��������� � ������ �
7������� 1��� ������� .������ �� 0�������� '�� ���� �).*� ?<�.=H�
C� ��� /� 1�� � C���� 0� M� ).<<@*� ������ ��� �!��������� ���������� � ��� ���
��������� �� ������������ � ������ �!����� ������� .������ �� 0������� ��)5*� @5<�@BH�
C� ������ /� J�� :�� (� 2�� � 1��M����� (� C� ).<<H*� (�� ������������ �� 0��������
-��!���� 0������ 4�������� 0�����
7� ����&� M�� 7�� �� G�� M� ��� 1�� � T��� /� ).<<<*� ( ���� �� ���������� �
������� ������ .������ �� $����������� �)B*� <�A5�
7�� �� G� ).<<<*� "��� �� �� ����������� V���������� ��������� "������� F�����
E�� � ����� (�������� �� ��������� �� ��� �����������
7�� �� G�� � M��� ,� ).<<B*� "��� � � � ���� ,��!� �)5*� A5�A<�
7��� /�$C� ).<<<*� C��������� ���$����� ����������� � ��� ���������� � ��� �
������� 1� ��� (�������� �� ����������� ������ �����������
7� ��� ��� 9�� ��� /�� � 2������ "� G� ).<<I*� , ���� ���������� �������8 G �������
������ .������ �� 0������� ��)?*� 5=@<�5.=?�
7������ �� ).<<H*� 0����� � ����� ���� � ����� ,8 -���������� �� $���������
'��������� )�� 1� (� 7� ����� � � "� 0�����*� ��� .=A�...� C� ����� 4��������
0�����
'����� � :� ).<<A*� ( �����$��� ������� ��� ������ ���� ���������� ���������� ����
����������� �� �� � ������� ������� ,����* �� 0�������� '�� ���� �)5*� A5H�ABA�
'���� "� ).<<B*� ( � ������� ����������� �� ������� � ��� �������� ,����* ��
0������ -��!���� �)5*� A.H�A@B�
'���� /�� � 2����� (� ).<IH*� ��� ������ �� ������ � ������ ���� ����������
������������� .������ �� 0������� ��)5*� 5I.�A==�
1��+� (� 1� ).<<?*� 4��� ����� ������ �� ���� ��� ������ �� ������������� � ���
G������ 1������ ���� 8 ��� ���� �� �������$ ���� .������ �� 1������������ -����
�� 0������� �)@*� H.H�HBI�
1��+� (� 1� ).<<H*� G��� ���� ��� ����������� ����������� �� ��� ������ �!����� ����
��� ����� ������� .������ �� $����������� �)5*� .I�A?�
1������ 2� "�� � ��� ��� C� 0� ).<<H*� "�������� � ������� � ���� 079 ���
����� ������8 ( ���������� �� ��� ������ ���� ��� E��� C������ .������ �� 0��������
�� 2����������� #�������� ��).*� <.�..@�
4���� �� ����
/� 3� 3�5�
1��� /�� � 4� ��� (� ).<<<*� 7����$�� � ���� ����� 2����� 0����� "���1������
E�����
1���� E������ ����� C� ��� ).<<?*� ,��!-������ (�������� $�������� B�� ��
0�P �� ,�� "����� E�� � ���� E� ).<<<*� 2�� � �� � ���U 6 ��� ���� ���� �� ���
� ���� ���������� ������� .������ �� %��!��� �� 0������� ��)I*� ..@.�..H<�
"�������� 1� ).<<B*� , ���� ��� ��� ������ .������ �� 0������� ��)A*� HH.�I.I�
���� G� 1�� � ���� /� C� ).<<.*� ���� ����� ����������� ���� ���������� ����������8
( ������� ��������� ,����* �� 0�������� '�� ���� �)B*� H5H�H@5�
���� /� ).<I<*� 6����������� � ��� ����� ������� .������ �� 0������� ��)B*�
.=..�.=5A�
L�� L�� � ������� � /� ).<<B*� ��� ��� ��������� �� ���������� � ���� �� ������
�!����� ������� .������ �� 0�������� �� 2����������� #�������� ��).*� @H�HB�
����� ?@'����� ,� A���� ,BBB@,BB%
���� ���� �� ��� ���� ��