V: Wechselstromgenerator -...

229K-H. Kampert ; Physik für Bauingenieure ; SS2001

Wechselstrom in vielen Punkten praktischer:

4.5 Wechselstromkreise4.5 Wechselstromkreise

• Transformatoren• Elektromotoren• Frequenz als Referenz• ...

Prinzip der Erzeugung einer sinusförmigen Wechselspannung:

V: Wechselstromgenerator


Φmag B A= ⋅ ⊥ = ⋅ ⋅B A cosθ (A ist die Fläche der Leiterschleife)

θ ω δ= ⋅ +t (d Startwinkel)

Φmag B A t= ⋅ ⋅ ⋅ +( )cos ω δ

Induktionsspannung: Ud

dtindmag= −

Φ

= + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +( )B A tω ω δsin

= ⋅ ⋅ +( )U t0 sin ω δ

ω π π= =22

fT

Kreisfrequenz


Wechselspannung, WechselstromWechselspannung, Wechselstrom

Technische Wechselspannung in Deutschland:U0 @ 325 V ; f = 50 Hz

Beachte: U0 ist nicht der Effektivwert UU

eff = ≅0

2230 V

(siehe kommenden Abschnitt)

IU

R= ⇒ = ⋅ ⋅ +( ) I t I t( ) sin0 ω ϕ

Beachte: Strom und Spannung können relativ zueinander in der Phase verschoben sein !


Zeitliche Zeitliche MittelungsmMittelungsmööglicheiten glicheiten (1)(1)

1) Einfacher zeitlicher Mittelwert

U

U t dt

dt

T

T=( )

=∫

∫0

0

0

Die gleichgroßen positiven und negativenBeiträge heben sich auf.

⟨U⟩



2) Gleichrichtwert

Alle negativen Anteilewerden zuerst positivgerichtet und erstdann wird gemittelt.

U

U t dt

dt

T

T=( )∫

∫0

2

0

2

/

/ = ( )∫2

00

2

TU t dt

T

sin ω = − ( )

2 0

0

2U

T

tT

cos ωω

= 20π

U

= 0 637 0. U

U



3) Effektivwert

Der Effektivwert eines Wechselstroms erzeugt in einemOhmschen Widerstand die gleiche mittlere Wärmeleistungwie ein Gleichstrom mit I = Ieff

P U I I RU

R= ⋅ = ⋅ =2

2

=⋅ ( )∫U t dt

T

T

02 2

0

sin ω

mit U UU t dt

dteff

T

T2 2

20

0

= =( )∫

∫

= U02

2

= ⋅U T

T0

2 2/

Ueff



3) Effektivwert (Fortsetzung)

Analog: II

eff2 0

2

2=

UU

Ueff = ≅002

0 707.

II

Ieff = ≅002

0 707.

Haushaltsstrom: U0 @ 325 V

→ = ≅Ueff325

2230

V V

Ergebnis:


WiderstWiderstäände im Wechselstromkreis (1)nde im Wechselstromkreis (1)

Im Wechselstromkreis schwingen U und I i.allg. nicht gleichphasig.

Je nach Bedeutung der relativen Phasen zwischen Strom undSpannung unterscheiden wir drei Kategorien von Widerständen:

(1) Wirkwiderstand:Im Wirkwiderstand wird die elektrische Energie vollständig innichtelektrische Energie (Wärme) umgewandelt.Da Stromrichtung hierbei keine Rolle spielt, gelten für denWirkwiderstand im Wechselstromkreis die Gesetze desGleichstromkreises:

RU t

I t

U t

I t

U

I

U

Ieff

effΩ = = ⋅

⋅= =( )

( )sinsin

0

0

0

0

ωω

Strom und Spannung sind in Phase.



(2) Induktiver Blindwiderstand:

U LdI

dtL = ⋅

Spannung eilt dem Strom um 90° voraus.

Betrache Spule mit Induktivität L undvernachlässigbarem Ohmschen Widerstand RΩ

Beim Anlegen einer Gleichspannung würde esalso zum Kurzschluss kommen.Beim Anlegen einer Wechselspannung entsteht durch dieSelbstinduktionsspannung ein induktiver Widerstand:

= ⋅ ⋅L

d I t

dt

( sin )0 ω = ⋅ ⋅ ⋅L I t0 ω ωcos

= ⋅ ⋅ ⋅ +

L I t0 2

ω ω πsin

Folgerungen:U L IL,max = ⋅ ⋅ω 0

U L Ieff eff= ⋅ ⋅ωU

IR Leff

effL= = ⋅ω

U(t)



(2) Induktiver Blindwiderstand (Fortsetzung):

Wie groß ist die Wirkleistung des induktiven Widerstands?M.a.W.: Wieviel Energie wird in Wärme umgewandelt ?

PT

U t I t dtL

T

= ⋅ ⋅ ⋅∫1

0

( ) ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫U I

Tt t dt

T0 0

0

sin cosω ω = 0

Induktive Wirkleistung ist Null !



(3) Kapazitiver Blindwiderstand

Betrache Kondensator mit Kapazität C

Anlegen einer Gleichspannung Ladestrom, bis I = 0;D.h.: Zu Beginn zeigt der Kondensator einen endlichenWiderstand, der langsam auf ∞ ansteigt.

U(t)

Wechselspannung ständige Umladung, d.h. ständiger StromEs scheint, als habe der Kondensator einen endlichen Widerstand

I tdQ t

dt

d C U t

dtC

dU t

dt( )

( ) ( ( )) ( )= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅C Ud t

dt0sinω

= ⋅ ⋅ ⋅ω ωC U t0 cos

= ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω π

C U t0 2sin



(3) Kapazitiver Blindwiderstand (Fortsetzung)

U(t)

I t C U t( ) sin= ⋅ ⋅ ⋅ +

ω ω π

0 2

Strom eilt der Spannung um 90° voraus.Folgerungen:

U t U t( ) sin= ⋅0 ω

U

Ieff

eff

=⋅ ⋅U

C U0

0ω=

⋅1

ω C= RC

RCC =

⋅1

ω

Kapazitive Wirkleistung ist Null, daauch hier keine elektrische Energie in Wärmeumgewandelt wird.


Frequenzverhalten von Spulen und KondensatorenFrequenzverhalten von Spulen und Kondensatoren

R LL = ⋅ω → ∞ für w → ∞d.h. hohe Frequenzen werden blockiert→ 0 für w → 0d.h. lässt Gleichstrom ungehindert hindurch

RCC =

⋅1

ω→ 0 für w → ∞d.h. lässt Höchstfrequenzen ungehindert hindurch → ∞ für w → 0d.h. blockiert Gleichstrom



(4) Scheinwiderstand (Impedanz):

Sei nun der Ohmsche Widerstand der Spule nicht vernachlässigt(in der Realität ist das immer so):

I(t)

RL

I(t)

RLRΩ

Ersatzschaltbild

Spannungsabfall an RΩ ist phasengleich mit dem Strom I(t)

UL UΩ

Spannungsabfall an RL eilt dem gemeinsamen Strom I(t) um90° voraus, damit auch dem Spannungsabfall an RΩ .



(4) Scheinwiderstand (Fortsetzung):

I(t)

RLRΩ

UL UΩ

Veranschaulichung von Strom undSpannung im Zeigerdiagramm:

UΩ=I·RΩ

I(t)

UL=I·w·L

jUGes

Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick

UGes


U

I

U

IR L Zeff

eff

0

0

2 2 2= = + =Ω ωU

I

U

IR L Zeff

eff

0

0

2 2 2= = + =Ω ω



I(t)

RLRΩ

UL UΩ

UΩ=I·RΩ

I(t)

UL=I·w·L

jUGes

Beide Spannungen addieren sich in jedem Augenblick

UGes

U U UL0 02

02= +Ω, , = ⋅( ) + ⋅( )I R I L0

20

2Ω ω

= ⋅ +I R L02 2 2

Ω ωQuotient Z ist konstantund gleich demScheinwiderstand (Impedanz)der Spule mit demOhmschen Widerstand RΩ




I(t)

RLRΩ

UL UΩ

UΩ=I·RΩ

I(t)

UL=I·w·L

jUGes

Phasenverschiebung j zwischen Strom und Spannung:

UGes

tan ,

,

ϕ =U

UL 0

0Ω= ⋅ ⋅

⋅I L

I R0

0

ωΩ

= ⋅ω L

RΩ



(4) Scheinwiderstand - allg. Serienschaltung:

UΩ=I·RΩI(t)

UL=I·w·L

jUGes I(t)

RLRΩ

UL UΩ

UGes

UC

UC=I/w·C

Scheinwiderstand(Impedanz):

Z R LC

= + −

Ω

221ω

ωWirk-

widerstandBlind-

widerstand

Phasenverschiebung zwischen UGes und I: tanϕω

ω=−L

CR

1

Ω



(4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung:

IΩ gleichphasigU(t)

IC eilt U voraus

jIGesIL hinkt U

nach

Jetzt ist dieSpannung anallen Bauelementengleich !

I I I IGes C L2 2 2= + −( )Ω I I I IGes C L= + −( )Ω

2 2

= ⋅

+ −

U

RC

L

1 12 2

Ωω

ω

Y = Scheinleitwert = 1/Z

IΩ

IL

IC



(4) Scheinwiderstand - allg. Parallelschaltung:

IΩ gleichphasigU(t)

IC eilt U voraus

jIGesIL hinkt U

nach

Jetzt ist dieSpannung anallen Bauelementengleich !

Phasenschiebung zwischen der Gesamtstromstärke I und U :

tanϕ = −I I

IC L

Ω=

−ωω

CL

R

1

1

Ω

= ⋅ −

R C

LΩ ωω1

V: Phasenschiebung


ZusammenfassungZusammenfassung

Scheinwiderstand:

Z R LC

= + −

Ω

221ω

ω

Reihenschaltung von R, L, C:Phasenverschiebung:

tanϕω

ω=−L

CR

1

Ω

Scheinleitwert:

Parallelschaltung von R, L, C:

Phasenverschiebung:

YZ R

CL

= =

+ −

1 1 12 2

Ωω

ωtanϕ ω

ω= ⋅ −

R C

LΩ1

Scheinwiderstand (Impedanz) undScheinleitwert jeweils minimal für

ωωr

r

LC

= 1⇔ = ωr LC

1

& Resonanz& Resonanz


ResonanzResonanz

Z: Scheinwiderstand wird minimal,I =U/Z I wird maximal beiResonanz, und hängt dann nur nochvon RΩ ab

Reihenresonanz

Hohe Teilspannungen an L,C(heben sich nach außen gegenseitig auf)

Gefahr für Bauelemente, Maximale Leistung wird umgesetzt

Parallelresonanz

Y: Scheinleitwert minimalI =U·Y I wird minimalbei Resonanz, und hängtdann nur noch von RΩ ab

Hohe Teilsströme an L,C


ResonanzversuchResonanzversuch

w klein L1 & L3 leuchten

w groß L2 & L3 leuchten

w=wr L3 aus, L1 und L2 leuchten gleich hell (Sperrkreis)

Schaltung wirkt als Filter, d.h.:Der Durchgang von Störfrequenzen wird gesperrt

V: Resonanz/Sperrkreis


Resonanz - Ein BeispielResonanz - Ein Beispiel

L = 2 HC = 1 µFR = 50 ΩU0 = 100 V

ωr LC= 1 =

⋅ −1

2 10 6 s-1 = 707 s-1

= ⋅2π f ⇒ = − s 1f 112

Res.-Frequenz:

Res.-Stromstärke: IU

Zrr

= 0 = 10050

V Ω

= 2 A= U

R0

Einzelspannungen im Resonanzfall:

UI

CC rr

, =ω

=⋅ −2

707 10 6

AΩ

= 2828 V U I LL r r, = ⋅ω = ⋅ ⋅2 707 2 V

= 2828 V

U I Rr rΩ, = ⋅ = ⋅ =2 50 100 V

!!

(maximal)


Leistung im WechselstromkreisLeistung im Wechselstromkreis- Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor -- Blindleistung, Scheinleistung, Leistungsfaktor -

Gleichstromkreis: P=U·INur in einem Ohmschen Widerstand wird elektrische Energiein Wärme umgesetzt → Wirkwiderstand

Momentanleistung im Wechselstromkreis:

a) Ohmscher Widerstand:

P t U t I t( ) ( ) ( )= ⋅

Strom und Spannung gleichphasig

→ = ⋅ ⋅∫PT

U t I t dtT1

0 00

sin sinω ω

= ⋅∫U I

Tt dt

T0 0 2

0

sin ω

= U I0 0

2= ⋅U Ieff eff


Leistung im Wechselstromkreis (2)Leistung im Wechselstromkreis (2)Momentanleistung im Wechselstromkreis:

b) Kapazitiver Widerstand:P t U t I t( ) ( ) ( )= ⋅

Strom eilt der Spannung 90° voraus

∫P(t)dt = 0 , d.h.: keine Wirkleistung

c) Induktiver Widerstand:

∫P(t)dt = 0 , d.h.: keine Wirkleistung

Strom hinkt der Spannung 90° nach

Ideale Spule und Kondensatorverbrauchen keine Wirkleistung


Leistung im Wechselstromkreis (3)Leistung im Wechselstromkreis (3)

Ideale Spulen und Kondensatoren verbrauchen also keineelektrische Leistung,trotzdem können wir im Wechselstromkreis einen endlichenStrom messen...

Definiere daher:

Blindleistung eines reinenkapazitiven oder induktiven Widerstands:

Q = U·I

Blindleistung tritt nach außen nicht in Erscheinung,„Energie pendelt zwischen Kondensator, bzw. Spule undder Spannungsquelle hin und her“



d) Wirk- und Blindwiderstand:

Betrachte nun Kombination aus

UIWirk

IBlind

I

j

Wirk- undBlindstromstärke

P t U t I tWirk Wirk( ) ( ) ( )= ⋅ = ⋅ ⋅U t I t( ) ( ) cosϕ

Integration wie auf S. 251 (Leistung eines Wirkwiderstands)liefert analog:

P U IWirk eff eff= ⋅ ⋅cosϕ

Wirkleistung für beliebige Wechselstromkreise

IWirk=I · cosj

IBlind=I · sinj



heißt Leistungsfaktor

P U Ieff eff= ⋅ ⋅cosϕ

λ ϕ= =⋅

cosP

U Ieff eff

=1 : rein Ohmscher Widerstand=0 : rein kapazitiver oder induktiver Widerstand

Am Haushaltsstromzähler bezahlen wir:

W U I telek eff eff= ⋅ ⋅ ⋅cosϕ

d.h. nur die wirklich erbrachte Leistung.Dennoch ist auch die Ermittlung der Blindleistung Q=Ueff·Ieff·sinjwichtig. Blindleistung sollte möglichst klein sein, um das Stromnetznicht unnötig zu belasten.



Bsp: Ein Elektromotor mit großen Magnetfeldwicklungen führt leicht zu einem Leistungsfaktor cosj = 0.6. Die Leistungsaufnahme betrage 2208 Watt.

P U IWirk eff eff= ⋅ ⋅cosϕ

IP

UeffWirk

eff

=⋅

=⋅

=cos .ϕ

2208230 0 6

16 W

V A

Ein besserer Motor mit gleicher Leistungsaufnahmehabe einen Leistungsfaktor cosj = 0.8.Wie groß ist der Strom jetzt ?

IP

UeffWirk

eff

'cos .

=⋅

=⋅

=ϕ

2208230 0 8

12 W

V A

Dieser Motor belastet das Netz also um 25% weniger !



Wie kann man die Beschaltung des Elektromotors modifizieren,um die Blindleistung zu reduzieren, d.h. den Leistungsfaktorzu erhöhen ?

Bei dem Elektromotor handelt es sich (elektrotechnischgesehen) im wesentlichen um eine Spule mit einer Induktivität Lund einem (seriellen) Ohmschen Widerstand RΩ

Phasenschiebung zwischenI und U um so größer,je größer L

Motor: L + R

Parallelschaltung von Kapazität Creduziert die Phasenschiebungund verbessert den Leistungsfaktor

Motor: L + R


TransformatorTransformator

Windungszahl der Primärspule: N1

Windungszahl der Sekundärspule: N2

U1~

IU U

Rind= +1~

ΩPrimärspule: = − ⋅U N

R1 1~ φ

Ω⇔ ⋅ = − ⋅ I R U NΩ 1 1~ φ

Sei RΩ ≈ 0: → = ⋅ U N1 1~ φDer gleiche magnetische Fluss durchsetzt die Sekundärspule:

→ = − ⋅ U N2 2~ φ („-“ wenn gleichsinnig gewickelt)

⇒ = − U

N

U

N1

1

2

2

~ ~ bzw.: U

U

N

N1

2

1

2

~

~

= − ≈ − I

I2

1

U

U

N

N1

2

1

2

~

~

= −

Damit ist die Primärseitig aufgenommene Wirkleistung≈ der sekundärseitig abgegebenen. (Psek/Pprim≈ 0.96-0.98 für gute Transf.)

V: Transformator


DreiphasenwechselstromDreiphasenwechselstrom

Zweckmäßig zur Übertragung großer elektrischer Leistungenund für größere Motoren (P > 2.5 kW)

Prinzip derErzeugung:3 Spulenpaareje um 120° versetzt

R

S

T

Umax gleich für alle drei Phasen

U tii

( )=∑ =

1

3

0

Wenn Belastung für alledrei Phasen gleich I ti

i

( )=∑ =

1

3

0

120° 240°


DreieckschaltungDreieckschaltung

Durch geschickte Verkettung müssen für den Stromtransportnicht 3 Leitungspaare mit 6 Drähten verwirklicht werden:

Knotenregel an jedem Punkt:IR = I1 - I2 ; IS = I2 - I3 ; IT = I3 - I1

Ströme jeweils um 120°phasenverschoben:

120° I1

I2

–I2

60°

IR = √3·I1

Leitungsstromstärke:IR = IS = IT = √3·IStrang

Leiterspannung:URS = UST = URT = UStrang

Also nur drei Leitungen nötig !


SternschaltungSternschaltung

Wie groß ist z.B. die Spannung zwischenT & S ?

120° UT

US

–US

60°

UST = √3·US

Leitungsstromstärke: IR = IS = IT = IStrang

Leiterspannung:URS = UST = URT = √3·UStrang

Mittelpunktsleiter MP(„Nullleiter“) führt beigleicher Belastung der dreiPhasen R,S,T keinen Strom.


ÖÖffentliches Stromnetzffentliches Stromnetz

Öffentliches Stromnetz = Sternschaltung (4-Leiter System)

Strangspannungen:UT=UR=US = 230 V (effektiv)Jeweils: ein Strang gegen Nulleiter(Steckdosen-Schaltung)

Werden höhere Spannungen benötig,z.B. für einen starken E-Motor verwende LeiterspannungenURS , oder UST , oder URT ,jeweils 230 V ·√3 ≈ 400 V

Stern-Dreieck-Schaltung für „Drehstrommotoren“:jeweils MP gegenStrang an die 3 Spulendes Motors; je 230 V

Anlaufen desMotors:

Betrieb desMotors:

jeweils Leiter-spannungen...je 400 V

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